Problemas aritméticos

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1 3 Poblemas aitméticos Antes de empeza Objetivos En esta quincena apendeás a: Recoda y pofundiza sobe popocionalidad diecta e invesa, popocionalidad compuesta y epatos popocionales. Recoda y pofundiza sobe pocentajes y vaiaciones pocentuales. Distingui ente inteés simple e inteés compuesto. Conoce el significado de la Tasa anual equivalente en poductos financieos. Calcula el capital final que se obtiene si depositamos peiódicamente dineo en algunos poductos de capitalización. Calcula la cuota peiódica que hay que paga paa amotiza un péstamo. 1.Popocionalidad diecta e invesa pág. 4 Popocionalidad diecta Popocionalidad invesa Repatos popocionales Popocionalidad compuesta 2.Pocentajes pág. 10 Pocentajes Aumentos y disminuciones Pocentajes sucesivos 3.Inteés simple y compuesto pág. 14 Inteés simple Inteés compuesto Tasa anual equivalente Capitalización Amotización Ejecicios paa pactica Paa sabe más Resumen Autoevaluación MATEMÁTICAS Oientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO 1

2 2 MATEMÁTICAS Oientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO

3 Antes de empeza Poblemas aitméticos Pepaa distintas cantidades de una disolución es una actividad de popocionalidad diecta. Calcula el númeo de obeos paa acaba a tiempo es una actividad de popocionalidad invesa. Planifica la cianza de los animales de una ganja es una actividad de popocionalidad compuesta. Repati los beneficios de un negocio es una actividad de epatos popocionales. La popoción de alumnos, alumnas, maticulaciones, apobados, suspensos se expesan con %. Los pesupuestos de instituciones paa un año se calculan mediante vaiaciones pocentuales. Las vaiaciones del pecio de las acciones de una empesa se expesan con pocentajes. Qué inteesa más, deposita un capital a un inteés simple o a un inteés compuesto? Al coloca un capital a un inteés compuesto, qué peiodo de capitalización inteesa más? Qué significado tiene la Tasa anual equivalente (T.A.E.)? Cuánto dineo tendemos al acaba el peiodo fijado paa un plan de pensiones? Qué cuota tendemos que paga en un péstamo pesonal o hipotecaio con unas condiciones deteminadas? Investiga: opeaciones bancaias En las opeaciones bancaias, los bancos y cajas de ahoo ofetan un inteés según unos índices de efeencia. Cuáles son algunos de estos índices? Cuál es el más utilizado? MATEMÁTICAS Oientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO 3

4 1. Popocionalidad diecta e invesa Popocionalidad diecta Dos magnitudes son diectamente popocionales si al multiplica o dividi una de ellas po un númeo, la ota queda multiplicada o dividida po ese mismo númeo. Al dividi cualquie valo de la segunda magnitud po su coespondiente valo de la pimea magnitud, se obtiene siempe el mismo valo (constante). A esta constante se le llama constante o azón de popocionalidad diecta. Pimea Magnitud Segunda magnitud Constante de popocionalidad diecta = = = = = = Paa esolve un ejecicio de popocionalidad diecta o invesa se puede utiliza: La azón de popocionalidad. Una egla de tes. Reducción a la unidad. He compado 31 lápices po 8,68, cuánto costaán 7 lápices? Razón de popocionalidad 8, 68 x 8,68 7 = x = = 1, Regla de tes 8,68 7 x = = 1, Reducción a la unidad 1ª magnitud 2ª magnitud Nº lápices euos ,68 : 31 : ,28 x 7 x ,96 Solución: 1,96 euos. Popocionalidad invesa Dos magnitudes son invesamente popocionales si al multiplica o dividi una de ellas po un númeo, la ota queda dividida o multiplicada po ese mismo númeo. Al multiplica cualquie valo de la pimea magnitud po su coespondiente valo de la segunda magnitud, se obtiene siempe el mismo valo. A este valo constante se le llama constante de popocionalidad invesa. Pimea Magnitud Segunda magnitud Constante de popocionalidad invesa = 2 60 = 3 40 = 4 30 = 5 24 = 6 20 = 120 Un gupo de 18 alumnos ha ganado un pemio po un tabajo ealizado y han ecibido 200 cada uno. Cuánto ecibiían si hubiean paticipado 10 alumnos? Razón de popocionalidad = 10 x x = = Regla de tes x = = Reducción a la unidad 1ª magnitud 2ª magnitud Nº alumnos euos : 18 x x 10 : Solución: 360 euos. 4 MATEMÁTICAS Oientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO

5 EJERCICIOS esueltos 1. Un automóvil consume 56 litos de gasolina al ecoe 800 kilómetos, cuántos litos de gasolina consumiá al ecoe 500 kilómetos? Regla de tes diecta 1ª magnitud 2ª magnitud kilómetos litos de gasolina x 56 x = x = = Solución: 35 litos de gasolina. Reducción a la unidad 1ª magnitud 2ª magnitud kilómetos litos de gasolina : 800 : ,07 x 500 x Solución: 35 litos de gasolina. 2. Un ectángulo tiene 25 cm de base y 18 cm de altua. Qué altua debeá tene un ectángulo de 15 cm. de base paa que tenga la misma supeficie? Regla de tes diecta 1ª magnitud 2ª magnitud base altua x = 15 x Solución: 30 cm x = = Reducción a la unidad 1ª magnitud 2ª magnitud base altua : 25 x x 15 : Solución: 30 cm. 3. Completa las siguientes tablas según sean las magnitudes: Diectamente popocionales Invesamente popocionales 5 b d a c 184 e f g 24 h Constante de pop.: 96 =8 12 a =8 a=8 5= =8 56 b= =7 b 8 c = 8 a = 8 16 = = d = = 23 d 8 Constante de pop.: = e = e = = f = f = = g = g = = h = h = = MATEMÁTICAS Oientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO 5

6 Repatos popocionales Diectamente popocionales Se va a epati una cantidad en vaias pates con unas condiciones deteminadas. Cada una de las pates debe ecibi una cantidad diectamente popocional a unos valoes iniciales. A mayo valo inicial de una pate le coespondeá mayo cantidad en el epato. 1. Se suman los valoes iniciales de cada una de las pates. 2. Se divide la cantidad a epati ente la suma anteio. 3. Se multiplica el cociente obtenido po los valoes iniciales de cada una de las pates. 4. Compobación. La suma de todas las cantidades coincide con la cantidad a epati. Un pade epate entes sus dos hijos 36 golosinas de foma diectamente popocional a las edades de cada uno que son 2 y 7 años. Cuántas golosinas le da a cada uno? 1. Se suman los valoes iniciales: = 9 2. Se divide 36 ente 9 36 : 9 = 4 3. Se multiplican los valoes iniciales po = 8 golosinas 7 4 = 28 golosinas Compobación: = 36 Invesamente popocionales Se va a epati una cantidad en vaias pates con unas condiciones deteminadas. Cada una de las pates debe ecibi una cantidad invesamente popocional a unos valoes iniciales. A mayo valo inicial de una pate le coespondeá meno cantidad en el epato. Hace un epato invesamente popocional a unos valoes iniciales es igual que hace un epato diectamente popocional a los invesos de dichos valoes iniciales. 1. Se suman los invesos de los valoes iniciales de cada una de las pates. 2. Se divide la cantidad a epati ente la suma anteio. 3. Se multiplica el cociente obtenido po los invesos de los valoes iniciales de cada una de las pates. 4. Compobación. La suma de todas las cantidades coincide con la cantidad a epati. Un pade epate entes sus dos hijos 36 golosinas de foma invesamente popocional a las edades de cada uno que son 2 y 7 años. Cuántas golosinas le da a cada uno? 1. Se suman los invesos de los valoes iniciales: = + = Se divide 36 ente 9/14 36 : = = Se multiplican los invesos de los valoes iniciales po = = Compobación: = 36 6 MATEMÁTICAS Oientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO

7 EJERCICIOS esueltos 4. Un pade epate ente sus tes hijos 310 euos de foma diectamente popocional al númeo de asignatuas apobadas, que han sido 2, 3 y 5 espectivamente. Cuánto da a cada uno? 1. Se suman los valoes iniciales: = Se divide 310 ente 10: 310 : 10 = Se multiplican los valoes iniciales po = 62 euos 31 3 = 93 euos 31 5 = 155 euos 5. Un pade epate ente sus tes hijos 310 euos de foma invesamente popocional al númeo de asignatuas suspensas, que han sido 2, 3 y 5 espectivamente. Cuánto da a cada uno? 1. Se suman los invesos de los valoes iniciales: = Se divide 310 ente 31/30: : = Se multiplican los invesos de lo valoes iniciales po = = = Cuato socios pusieon en macha un negocio apotando 3000, 5000, 9000 y espectivamente. El pime año obtienen 5800 de beneficio, cómo deben epatíselos? 1. Se suman los valoes iniciales: = Se divide 5800 ente 29000: 5800 : = Se multiplican los valoes iniciales po = 600 euos = 1800 euos = 0 euos = 2400 euos 7. Cuato amigos se epaten 35 pasteles de foma invesamente popocional a sus pesos, que son espectivamente 60 kg, 80 kg, 90 kg y 120 kg. Cuántos pasteles coesponde a cada uno? Se suman los invesos de los valoes iniciales: = = Se divide 35 ente 7/144: 35 : 7 = Se multiplican los invesos de los valoes iniciales po = = = = MATEMÁTICAS Oientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO 7

8 Popocionalidad compuesta Popocionalidad compuesta Una actividad de popocionalidad compuesta elaciona más de dos magnitudes que pueden se diecta o invesamente popocionales. Paa esolve una actividad de popocionalidad compuesta se hace de foma odenada con el pocedimiento de educción a la unidad, elacionando dos magnitudes y dejando la ota invaiante. Paa valla un teeno, 4 pesonas constuyen un muo de 120 m 2 en 18 días.. Cuántos días tadaán 12 pesonas en constui un muo de 800 m 2? 1ª magnitud 2ª magnitud 3ª magnitud pesonas metos cuadados días : 4 x x 12 : : 120 : x 800 x Solución: 40 días. Pocedimiento de esolución: En pime luga se deja fija la segunda magnitud y se elaciona la pimea con la tecea. En segundo luga se deja fija la pimea magnitud y se elaciona la segunda con la tecea. También se puede esolve mediante una egla de tes compuesta La pimea y la tecea magnitud son invesamente popocionales. Más pesonas tabajando tadaán menos días. La segunda y la tecea magnitud son diectamente popocionales. Si el muo es más gande se tadaán más días en constuilo. 1ª mag. 2ª mag. 3ª mag x Regla de tes compuesta x = = Solución: 4 días. Una piscina de 400 m 3 se llena con 5 gifos en 30 hoas. Cuántas hoas se tadaá en llena una piscina de 600 m 3 con 9 gifos? 1ª magnitud 2ª magnitud 3ª magnitud metos cúbicos gifos hoas : 400 : Pocedimiento de esolución x 600 x : 5 x x 9 : Solución: 25 hoas. La pimea y la tecea magnitud son diectamente popocionales. Más metos cúbicos de agua se llenaán en más tiempo. La segunda y la tecea magnitud son invesamente popocionales. Si hay más gifos echando agua se tadaá menos tiempo en llena la piscina. 1ª mag. 2ª mag. 3ª mag x Regla de tes compuesta x = = Solución: 25 hoas. 8 MATEMÁTICAS Oientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO

9 EJERCICIOS esueltos 8. En una cadena de poducción, 3 pesonas tabajando 4 hoas diaias, fabican 240 piezas. Cuántas piezas fabicaán 9 pesonas tabajando 5 hoas diaias? La pimea y la tecea magnitud son diectamente popocionales. Más pesonas fabicaán más piezas. La segunda y la tecea magnitud son diectamente popocionales. Si se tabaja más tiempo se fabicaán más piezas. Reducción a la unidad 1ª magnitud 2ª magnitud 3ª magnitud pesonas hoas piezas : 3 : x 9 x : 4 : x 5 x Regla de tes compuesta x x = = Solución: 900 piezas. 9. Paa impimi unos folletos publicitaios, 12 impesoas han funcionado 6 hoas al día y han tadado 7 días. Cuántos días tadaán 3 impesoas funcionando 8 hoas diaias? La pimea y la tecea magnitud son invesamente popocionales. Menos impesoas tadaán más dias. La segunda y la tecea magnitud son invesamente popocionales. Funcionando más hoas se tadaá menos días. Reducción a la unidad 1ª magnitud 2ª magnitud 3ª magnitud impesoas hoas días : 12 x x 3 : : 6 x x 5 : Regla de tes compuesta x x = = Solución: 21 hoas. MATEMÁTICAS Oientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO 9

10 2. Pocentajes Tanto po ciento de una cantidad Calcula un pocentaje % de una cantidad C es igual que esolve la siguiente actividad de magnitudes diectamente popocionales: C P Po cualquiea de los métodos estudiados, el valo de P (% de C) es igual a: P=C Cálculo del tanto po ciento de una cantidad. Un depósito tiene una capacidad de 1150 litos, peo ahoa tiene el 68% del total. Cuántos litos de agua contiene? % de 1150 = = 782 También se puede hace: ,68 = 782 Solución: 782 litos Se puede calcula diectamente el tanto po ciento de una cantidad multiplicando dicha cantidad po /. Cálculo del tanto po ciento coespondiente a una popoción. Tanto po ciento coespondiente a una popoción Calcula el % que epesenta una cantidad P de un total C equivale a esolve ota actividad de magnitudes diectamente popocionales: C P Un depósito tiene una capacidad de 175 litos, peo ahoa tiene 42 litos. Qué pocentaje de agua contiene? 42 = 24 % 175 Solución: 24 % Ahoa hay que calcula el valo de. = P % C Se puede calcula diectamente el tanto po ciento dividiendo la pate P po el total C y multiplicando el cociente obtenido po. Cálculo del total conociendo la pate y el tanto po ciento. Un depósito contiene 348 litos, que epesenta el 12% del total. Cuál es su capacidad? En la fómula: C 0,12 = 348 Se puede despeja el total: 348 C = = ,12 Solución: 2900 litos 10 MATEMÁTICAS Oientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO

11 EJERCICIOS esueltos 10. a) Calcula el 27 % de 450. b) a) Calcula el 85 % de % de 450 = = 450 0,27 = % de 2360 = = ,85 = a) Qué pocentaje epesenta 15 de un total de 120? b) Qué pocentaje epesenta 3120 de un total de 8000? 15 = 12.5% = 39% a) El 64 % de una cantidad es 112. Calcula dicha cantidad. b) El 3,5 % de una cantidad es 63. Calcula dicha cantidad. C 0,64 = C = = 175 0,64 C 0,035 = C = = , En las vacaciones navideñas un hotel ha tenido una ocupación de un 96%. Si el hotel tiene 175 habitaciones, cuántas se han ocupado? % de 175 = = 175 0,96 = 168 habitaciones 14. En mi clase hay 30 alumnos. De ellos, hay 18 que vienen al instituto desde ota localidad utilizando el tanspote. Qué pocentaje del total de alumnos utilizan tanspote? 18 = 60% El 4,2% de los habitantes de mi pueblo son jóvenes ente 14 y 18 años. Si hay 756 pesonas en este intevalo de edad, cuántos habitantes habá? 756 C 0,042 = 756 C = = ,042 habitantes MATEMÁTICAS Oientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO 11

12 Aumentos y disminuciones pocentuales Paa aumenta un % a una cantidad inicial CI, hay que suma CI el pocentaje coespondiente. Se obtiene así una cantidad final CF. CF = CI +CI = CI 1+ Paa disminui un % a una cantidad inicial CI, hay que esta a CI el pocentaje coespondiente. Se obtiene así una cantidad final CF. CF = CI - CI = CI 1 - Si llamamos índice de vaiación a 1±/, se obtiene la fómula: Paa calcula el aumento que coesponde a una cantidad inicial CI, bastaá multiplica CI po el índice de vaiación. Pocentajes sucesivos Paa aplica vaios pocentajes sucesivos a una cantidad inicial CI: Se aplica el pime pocentaje a la cantidad inicial obteniendo así una segunda cantidad C2. Se aplica el siguiente pocentaje a la cantidad obtenida obteniendo una tecea cantidad C3. Se continúa con este pocedimiento paa cada pocentaje. En el caso de dos pocentajes se tiene: CF = CI IV CF = CI IV1 IV2 Mi pade cobaba 1200 al mes y este año le han subido el sueldo un 2%. Cuánto coba ahoa? Paso a paso: % de 1200 = = = 1224 euos Diectamente: I.V.= 1+ 2 = 1+ 0,02 = 1, ,02 = 1224 euos Solución: 1224 euos Hemos compado a mis pades un egalo que valía 65. Al pagalo nos han hecho un descuento del 4%. Cuánto nos ha costado? Paso a paso: % de 65 = = 2, ,60 = 62, 40 euos Diectamente: I.V.= 1-4 = 1-0,04 = 0, ,96 = 62, 40 euos Solución: 62,40 euos Aplica a 2500 un aumento del 24% y a la cantidad esultante una disminución del 15 %. IV1 = = 1+ 0,24 = 1,24 IV2 = 1-15 = 1-0,15 = 0,85 CF = CI IV1 IV ,24 0,85 = MATEMÁTICAS Oientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO

13 EJERCICIOS esueltos 16. Después del aumento de este año de un 14%, el sueldo de mi made es ahoa de 1938 euos. Cuánto cobaba antes? 14 Índice de vaiación: I.V.=1+ =1+0,14 =1, CI IV = CF CI 1,14 =1938 CI = =1700 euos 1, Mi pade cobaba al mes 1600 euos y después de la subida de este año coba ahoa 1792 euos. Qué tanto po ciento le han subido? CI IV = CF 1600 IV =1792 IV = =1,12=1+ 12% Después de hacenos un 8% de descuento en la compa de un egalo, hemos pagado 156,40 euos. Cuál ea el pecio inicial? 8 Índice de vaiación: I.V.=1- =1-0,08 = 0,92 156,40 CI IV = CF CI 0,92 =156,40 CI = =170 euos 0, Hemos compado un egalo que valía 80 euos, peo después de hacenos un descuento hemos pagado 71,20 euos. Qué pocentaje nos han descontado? 71,20 11 CI IV = CF 80 IV = 71,20 IV = = 0,89=1-11% El pecio de un objeto en una tienda de egalos es de 208 euos. En pime luga aumenta el pecio un 45% y posteiomente vuelve a aumenta un 66%. Cuál es el pecio final? Aumento del 46%: Aumento del 66%: Índice de vaiación: Índice de vaiación: 45 IV1=1+ =1+0,45 =1,45 66 IV2 =1+ =1+0,66 =1,66 CF = CI IV1 IV2 = 208 1,45 1,66 = 500,66 euos 21. El pecio de un objeto en una tienda de egalos es de 180 euos. En pime luga educe el pecio un 12% y posteiomente aumenta un 27%. Cuál es el pecio final? Disminución del 12%: Índice de vaiación: Aumento del 27%: Índice de vaiación: 12 IV1=1- =1-0,12 = 0,88 27 IV2 =1+ =1+0,27 =1,27 CF = CI IV1 IV2 = 180 0,88 1,27 = 201,17 euos MATEMÁTICAS Oientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO 13

14 3. Inteés simple y compuesto Inteés simple Si depositamos un capital C en un banco duante un año, el banco nos daá una cantidad I, llamada inteés, que se obtiene aplicando un pocentaje %, llamado édito, a la cantidad C. Si depositamos el capital duante t años, el inteés se calculaá con la fómula: C t I= Si depositamos el capital duante t meses, el édito, que se expesa en tanto po ciento anual, hay que dividilo ente 12 meses paa calcula el édito que coesponde a un mes. El inteés se calculaá con la fómula: C t I= 1200 Si depositamos el capital duante t días, el édito, que se expesa en tanto po ciento anual, hay que dividilo ente 360 días paa calcula el édito que coesponde a un día. El inteés se calculaá con la fómula: C t I= Al finaliza el peiodo de tiempo el banco nos devolveá nuesto capital inicial más el inteés poducido. Calcula el inteés que poduce un capital de euos colocado a un inteés simple del 3,25% duante 4 años. C t I= ,25 4 I = = 2080 Solución: 2080 Capital final: =18080 Calcula el inteés que poduce un capital de euos colocado a un inteés simple del 4,5% duante 21 meses. C t I= ,5 21 I = = 1795, Solución: 1795,50 Capital final: ,50=24595,50 Calcula el inteés que poduce un capital de euos colocado a un inteés simple del 2% duante 329 días. C t I= I = = 484, Solución: 484,36 Capital final: ,36 =26984,36 14 MATEMÁTICAS Oientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO

15 EJERCICIOS esueltos 22. Calcula el capital que hay que coloca duante 3 años a un édito del 4% paa que poduzca un inteés de 5640 euos. C t I 5640 I = C = = = t 4 3 euos 23. Calcula el édito al que hay que coloca un capital de euos duante 2 años paa que poduzca un inteés de 5150 euos. C t I 5150 I = = = = 9,04% C t Cuántos años hay que tene un capital de 8500 euos a un édito del 3,75% paa que poduzca un inteés de 2868,75 euos? C t I 2868,75 I = t = = = 9 años C , Calcula el capital que hay que coloca duante 10 meses a un édito del 5% paa que poduzca un inteés de 2956 euos. C t I I = C = = = t 5 10 euos 26. Calcula el édito al que hay que coloca un capital de euos duante 8 meses paa que poduzca un inteés de 1710 euos. C t I I = = = = 8,69% 1200 C t Calcula el inteés que poduce un capital de euos colocado a un inteés simple del 1,5% duante 163 días. C t ,5 163 I = = = 70,63 euos Cuántos días hay que tene un capital de euos a un édito del 2% paa que poduzca un inteés de 182 euos? C t I I = t = = = C días MATEMÁTICAS Oientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO 15

16 Inteés compuesto Oto tipo de inteés es el llamado inteés compuesto, en el que cada cieto tiempo, llamado peiodo de capitalización, los inteeses geneados po el capital inicial se añaden al capital y genean más inteeses. Si llamamos al capital inicial CI, al édito y al tiempo en años t, el capital final CF es igual a: t CF = CI ( 1+ ) Si el peiodo de capitalización es mensual, en un año habá 12 peiodos de capitalización; si es timestal, habá 4 peiodos de capitalización; si es semestal habá 2 peiodos. Si k es el númeo de peiodos de capitalización en un año, la fómula queda: k t CF = CI ( 1+ k ) Tasa anual equivalente (T.A.E.) Cuando ingesamos una cantidad de dineo en un banco a un inteés compuesto del % anual, los inteeses que poduce se van añadiendo al capital cada peiodo de capitalización. La cantidad final que ecibimos seá mayo cuanto más pequeño sea este peiodo, como se puede compoba en la tabla de la deecha. La TAE indica el % de cecimiento eal del capital duante un año. Es una cantidad algo supeio al %. Se calcula mediante la fómula: ( ) k t TAE = 1+ 1 k Se deposita un capital de a un inteés compuesto del 3,25% duante 4 años. Calcula el capital final si el peiodo de capitalización es anual. CF = CI 1+ = t 3,25 CF = CF 18183,61 euos Solución: 18183,61 Se deposita un capital de a un inteés compuesto del 3,25% duante 4 años. Calcula el capital final si el peiodo de capitalización es mensual. CF = CI ,25 CF = CF = 18208,05 euos 4 12 t Solución: 18208, Capital final que se obtiene al deposita duante 1 año un capital de 1 euo, paa distintos inteeses y distintos peiodos de capitalización. % 1 mes 3 meses 4 meses 12 meses 1% 1,0 1,0 1,0 1,0 2% 1,0202 1,0202 1,0201 1,0200 3% 1,0304 1,0303 1,0302 1,0300 4% 1,0407 1,0406 1,0404 1,0400 5% 1,0512 1,0509 1,0506 1, MATEMÁTICAS Oientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO

17 EJERCICIOS esueltos 29. Se deposita un capital de 8200 euos a un inteés compuesto del 5,5% duante 6 años. Calcula el capital final si el peiodo de capitalización es anual. t 6 5,5 = CF = CI 1+ = ,51 euos 30. Se deposita un capital de euos a un inteés compuesto del 1,75% duante 7 años. Calcula el capital final si el peiodo de capitalización es timestal. Si la capitalización es timestal, en un año habá 4 peiodos de capitalización. 4 t 4 7 1, CF = CI 1+ = ,50 euos = 31. Se deposita un capital de euos a un inteés compuesto del 4,5% duante 5 años. Calcula el capital final si el peiodo de capitalización es semestal. Si la capitalización es semestal, en un año habá 2 peiodos de capitalización. 2 t 2 5 4,5 2 2 CF = CI 1+ = ,98 euos = 32. Se coloca un capital de 0 euos a un inteés del 1%. Calcula el capital final obtenido desde 1 hasta 5 años distinguiendo los tipos de inteés simple y compuesto. Años Inteés Inteés simple compuesto Difeencia , , , ,10 0, , ,30 0, , ,60 0, , ,01 1, Calcula la tasa anual equivalente (TAE) coespondiente a un 2,5% anual con capitalización mensual. k 12 2,5 TAE = = = 2,53 % k Calcula la tasa anual equivalente (TAE) coespondiente a un 4,75% anual con capitalización timestal. k 4 4,75 TAE = = = 4,84 % k 4 MATEMÁTICAS Oientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO 17

18 Capitalización Las opeaciones de capitalización son opeaciones bancaias en las que se ingesa una cantidad fija cada peiodo de tiempo. Esta cantidad se añade a la cantidad existente y a los inteeses geneados hasta ese momento y foman una nueva cantidad, a la que hay que aplica el inteés coespondiente. El capital final CF que se obtiene al ingesa una cantidad c, duante t peiodos, a un inteés del % en cada peiodo, se puede calcula mediante la fómula: siendo i el inteés en cada peiodo de capitalización: i= k Amotización t+1 c ( 1+i) - ( 1+i) CF = i Al solicita un péstamo la cantidad ecibida CI se devuelve (amotiza) al banco mediante cantidades fijas c, llamadas mensualidades o anualidades de amotización, cada cieto peiodo de tiempo t, meses, años,... Esta cantidad fija que debemos amotiza se puede calcula con la fómula. Una pesona abe un plan de pensiones a lo 33 años. Cada mes ingesa. El banco le da un inteés del 5% anual. Qué cantidad tendá a los 67 años? 67-33=34 años t+1 c ( 1+i) - ( 1+i) CF = i ( ) ( ) 1+0, ,0042 CF = 0,0042 Solución: ,02 Una pesona abe una cuenta de ahoo vivienda duante 4 años, con una cuota anual de 600 y un inteés del 2,75% aual. De qué cantidad dspondá cuando etie el dineo? t+1 c ( 1+i) - ( 1+i) CF = i 4+1 ( ) ( ) , ,0275 CF = 0,0275 Solución: 2569,60 ( ) t ( 1+i) 1 t CI i 1+i c= siendo i el inteés en cada peiodo de capitalización: i= k Un comeciante solicita un péstamo de a un inteés del 5,5% anual y a devolve en 16 años. Qué cantidad tendá que paga cada timeste? ( ) t ( 1+i) 1 t CI i 1+i c= ( ) 16 4 ( 1+0,0138) , ,0138 c= Solución: 2123,65 18 MATEMÁTICAS Oientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO

19 EJERCICIOS esueltos 35. Una pesona abe un plan de pensiones a lo 22 años. Cada año ingesa 0. El banco le da un inteés del 5,25% anual. Qué cantidad tendá a los 65 años? Qé cantidad de dineo coesponde a sus cuotas? El plan de pensiones está abieto 65-22=43 años ,25 5, c 1+i - 1+i = ,18 euos i 5,25 t+1 ( ) ( ) CF = = Ha pagado de cuotas: 43 0 = euos. 36. Una pesona tiene una cuenta de ahoo vivienda duante 8 años, con una cuota mensual de 150 euos y un inteés del 2,5% anual De qué cantidad dispondá cuando etie el dineo? ,5 2, c 1+i - 1+i = 15955,88 euos i 2,5 12 t+1 ( ) ( ) CF = = 37. Una pesona tiene un deposita cada timeste en un banco 400 euos, duante 10 años. El banco le da un inteés del 5%. Qué cantidad de dineo tendá a los 5 años? c 1+i - 1+i 4 4 = 20853,27 euos i 5 4 t+1 ( ) ( ) CF = = 38. Una pesona tiene un péstamo pesonal de a un inteés del 5% anual y a devolve en 20 años. Qué cantidad tendá que paga cada año? Cuánto pagaá en total? CI i 1+i = 9629,11 euos t 20 1+i t ( ) c= = ( ) En total pagaá: 9629,11 20 = ,20 euos. 39. Una pesona tiene un péstamo hipotecaio de a un inteés del 4,5% anual y a devolve en 15 años. Qué cantidad tendá que paga cada mes? Qué cantidad de dineo pagaá en total? ,5 4, CI i 1+i = 535,50 euos t i -1 4, t ( ) c= = ( ) En total pagaá: 535, = euos. MATEMÁTICAS Oientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO 19

20 Paa pactica 1. Una disolución contiene 176 g. de un compuesto químico po cada 0,8 litos de agua. Si se han utilizado 0,5 litos de agua, cuántos gamos del compuesto químico habá que añadi? 2. Si 10 albañiles ealizan un tabajo en 30 días, cuántos se necesitaán paa acaba el tabajo en 25 días? 3. Un gupo de 43 alumnos ealizan un viaje de estudios. Tienen que paga el autobús ente todos, pagando cada uno 90. Po ota pate los gastos totales de alojamiento son Cuál seía el pecio total y el pecio individual si fuesen 46 pesonas? 4. Paa alimenta a 11 pollos duante 16 días hacen falta 88 kilos de pienso. Cuántos kilos de pienso haán falta paa alimenta a 18 pollos en 8 días? 5. Si 10 obeos tabajando 9 hoas diaias tadan en hace un tabajo 7 días, cuántos días tadaán en hace el mismo tabajo 5 obeos tabajando 6 hoas diaias? 6. Tes socios aben un negocio apotando 20000, y espectivamente. Al finaliza el año obtienen unos beneficios de Cómo deben epatilos? 7. Tes camaeos de un ba se epaten 238 de las popinas de un mes de foma invesamente popocional al númeo de días que han faltado, que ha sido 1, 4 y 6 días espectivamente. Cuánto coesponde a cada uno? 8. En mi instituto hay 450 estudiantes. El númeo de alumnas epesenta el 52% del total. Cuántas alumnas hay? 9. El 28 % de los alumnos de un instituto ha apobado todas las asignatuas. Sabiendo que han apobado 196 pesonas. Cuántos alumnos hay en el instituto? 10. Este año el pesupuesto de una localidad ha sido de Paa el póximo año se va a incementa un 1.7 %. Cuál seá el pesupuesto? 11. La población de una localidad costea ha pasado de a habitantes. Qué % ha aumentado? 12. Un bosque tiene áboles. En un incendio ha adido el 18 % de los áboles. Cuántos áboles quedan? 13. Después de epati el 90 % de las botellas que levaba, un lecheo egesa a su almacén con 27 botellas. Con cuántas botellas salió? 14. Dos hemanos colocan un mismo capital de 22 a un édito del 9% duante 6 años. Uno lo hace a inteés simple y oto a inteés compuesto con capitalización anual. Qué difeencia hay ente los inteeses que ecibe cada uno? 15. Una pesona coloca un capital de duante 1 año a un inteés compuesto del 4,2% con capitalización mensual. Calcula la TAE que coesponde y calcula el capital que se obtendía con los mismos datos a un inteés simple igual a la TAE. 16. Una pesona abe un plan de pensiones a la edad de 28 años. Cada mes ingesa 120. El banco le da un inteés del 1,5 %. Cuánto dineo tendá cuando se jubile a los 67 años? Cuánto dineo habá ingesado duante la vigencia del plan? 17. Hemos solicitado un péstamo hipotecaio de a paga en 18 años y a un inteés del 9,1 % anual. Cuándo tendemos que paga cada mes? Cuál seá el impote total del péstamo? 20 MATEMÁTICAS Oientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO

21 Paa sabe más IPC. Índice de Pecios al Consumo. El IPC es una medida estadística que indica la evolución de los pecios de los bienes y sevicios que consumen las familias en España. Se expesa en % y ente sus aplicaciones económicas está la se un indicado de la inflación y la de sevi de efeencia paa la evisión de los salaios de los tabajadoes. Euíbo. Tipo euopeo de ofeta intebancaia. El euíbo es la media aitmética de los tipos de inteés al que los pincipales bancos de la zona euo se pestan dineo unos a otos. Se expesa en % y se actualiza a diaio. Su valo a un año es el que se usa de efeencia paa el inteés de los péstamos hipotecaios. Algunas entidades financieas utilizan como índice el IRPH (Índice de efeencia de péstamos hipotecaios). El Banco Cental Euopeo y el pecio del dineo. El Banco Cental Euopeo (BCE) se fundó el 1 de junio de Tiene su sede en Fancfot (Alemania). Es la entidad esponsable de la política monetaia de la Unión euopea. La función pincipal del BCE es mantene el pode adquisitivo del euo. Se encaga de fija los tipos de inteés (pecio del dineo). El euo se adoptó como moneda única el 1 de eneo de MATEMÁTICAS A 21

22 Recueda lo más impotante 1. Popocionalidad diecta e invesa. Magnitudes diectamente popocionales. Si se multiplica o divide una de ellas po un númeo, la ota queda multiplicada o dividida po el mismo númeo. Magnitudes invesamente popocionales. Si se multiplica o divide una de ellas po un númeo, la ota queda dividida o multiplicada po el mismo númeo. Popocionalidad compuesta. La popocionalidad compuesta consiste en elaciona tes o más magnitudes. Al esolve una actividad de popocionalidad compuesta se elacionan las magnitudes de dos en dos y se mantienen constantes las demás. También se puede esolve mediante una egla de tes compuesta Repatos popocionales. Diectamente. Repati una cantidad ente vaias pates de foma que cada una de ellas eciba una cantidad diectamente popocional a un valo inicial de cada pate. Invesamente. Se hace el epato de foma diectamente popocional a los invesos de los valoes iniciales de cada una de las pates. 2. Pocentajes. Paa aplica un pocentaje % a una cantidad C: C % de C = = C Vaiaciones pocentuales. Se llama índice de vaiación a la vaiación que expeimenta una unidad. Paa un aumento: I.V. =1+ Paa una disminución: I.V. =1 - Paa una cantidad CI cualquiea la cantidad final se calcula con: CF = CI IV 3. Inteés simple y compuesto. Inteés simple. Si depositamos un capital C en un banco, duante un tiempo t a un édito %, se obtiene un inteés I dado po: C t C t C t I= I= I= según t se expese en años, meses o días. Inteés compuesto. Si cada cieto peiodo de tiempo, los inteeses geneados se añaden al capital, éstos poducián más inteeses. A estos peiodos de tiempo (años, meses, ) se les llama peiodos de capitalización. Si k es el númeo de peiodos de capitalización que hay en un año, el capital final es igual a: k t CF = CI 1+ k Tasa anual equivalente (TAE). Expesa el cecimiento eal de un capital duante un año. Se calcula con la fomula: k TAE = k siendo k el númeo de peiodos de capitalización. Capitalización. El capital final que se obtiene al ingesa una cantidad c, duante t peiodos a un inteés del % en cada peiodo es: t+1 c ( 1+i ) - (1+i) CF = i = i Amotización. k Si tenemos un péstamo de una cantidad CI, a un inteés del %, a devolve en t cuotas peiódicas, cada cuota es igual a: ( 1+i) t ( 1+i) -1 CI i c= i= t k 22 MATEMÁTICAS Oientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO

23 Autoevaluación 1. Un automóvil consume 14 litos de gasolina cada 60 kilómetos. Cuántos litos consumiá en 90 kilómetos? 2. Repati 130 objetos de foma invesamente popocional a 4 y Si 37 gifos iguales llenan un depósito de 15 m 3 en 6 hoas, cuánto tiempo tadaán 2 gifos en llena un depósito de 35 m 3? 4. En un congeso hay 154 pesonas españolas. Sabiendo que suponen el 55 % del total, cuántas pesonas hay en el congeso? 5. El pecio de un odenado ea En pime luga se aplica un aumento del 6 % y después una ebaja del 4 %. Cuál es su pecio final? 6. Calcula el inteés que poduce un capital de 2500 colocado a un inteés simple del 8 % duante 160 días. 7. Se coloca un capital de 6800 duante 5 años a un inteés compuesto del 3,5% con peiodos de capitalización anuales. Calcula el capital final que se obtiene. 8. Calcula la tasa anual equivalente coespondiente a un 5,25 % con capitalización mensual. 9. Una pesona ha tenido abieto un plan de pensiones duante 31 años a un 4,25 %. Cada año ha ingesado una cuota única de 500. De qué cantidad de dineo dispone ahoa? 10. Una pesona tiene un péstamo hipotecaio de 100 a un inteés del 9 % anual y a devolve en 23 años. Cuánto tendá que paga cada mes? MATEMÁTICAS A 23

24 Soluciones de los ejecicios paa pactica gamos albañiles 3. Pecio total: Pecio individual: 373, kilos días , 1400, , 42, alumnas alumnos , % áboles botellas , Capital final: 18770,72 TAE: 4,28 % 16. Capital final: 76351,51 Ingesa: 56160, Cuota mensual: 1395,20 Impote: ,42 Soluciones AUTOEVALUACIÓN litos y 40 objetos espectivamente hoas pesonas , , , ,38 % , , % 24 MATEMÁTICAS Oientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO