SIMULACIÓN DINÁMICA DE PUENTES AGRIETADOS RESUMEN

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3 Socedad Mexcana de Ingenería Estructural SIMULACIÓN DINÁMICA DE PUENTES AGRIETADOS Rolando Salgado Estrada 1, Jesús M. Santamaría López 1 y A. Gustavo Ayala Mlán RESUMEN En este trabao, se realza la evaluacón de tres métodos para la obtencón del comportamento dnámco de estructuras agretadas. Estos métodos presentan dferencas notables en cuanto a smplcdad, exacttud y aplcabldad. Por lo cual se evalúa su efcenca para la deteccón de escenaros de daño smulados en puentes de seccón compuesta (vgas de acero losa de concreto). Los resultados ndcan claramente la sensbldad que tenen los métodos analzados a pequeños cambos en la respuesta dnámca smulada. Este efecto puede provocar que no se detecte el daño cuando exste en el puente o causar una falsa deteccón cuando éste no exste. ABSTRACT In ths paper, the performance evaluaton of three dynamc smulaton methods for cracked beams s carred out. These methods have large varatons related to ther smplcty, accuracy and applcablty. Subsequently, the effcency of these methods s evaluated for the detecton of smulated damage scenaros n composte concrete-steel brdges. Results clearly ndcate the senstvty of the evaluated methods to small changes n the smulated dynamc response. Ths fact may lead to no damage detecton, when t s present n the brdge, or false detecton, when t does not exst. INTRODUCCIÓN Es de todos ben conocdo que el daño estructural causa cambos en los parámetros dnámcos de las estructuras. Basados en esto, desde fnales del Sglo XX se han propuesto nnumerables métodos para detectar, localzar y cuantfcar daño en estructuras exstentes. Desafortunadamente, estos métodos no se encuentran totalmente desarrollados y no exste un método de deteccón de daño que pueda aplcarse a todas las condcones de daño exstente. En esta perspectva, se consdera que el desarrollo de métodos para la smulacón dnámca de puentes agretados puede ayudar a valdar los métodos de deteccón de daño. Tradconalmente, la smulacón de daño en modelos estructurales se ha realzado por medo de modelos matemátcos. La presenca de una greta en un elemento estructural ntroduce un cambo de flexbldad cerca de la punta de la greta. Uno de los prmeros métodos que fue consderado como un mportante paso en el desarrollo de métodos para la smulacón dnámca de vgas agretadas fue el propuesto por Chrstdes y Barr (1984). Para ello, utlzando el prncpo varaconal de Hu-Washzu, dervaron las ecuacones dferencales de equlbro en conunto con sus condcones de frontera de una vga Euler-Bernoull de seccón transversal unforme tenendo uno o mas pares de gretas smétrcas. Basados en este método, Chondros et al. (1998) propuseron un método más robusto empleando para ello la teoría de la Mecánca de la Fractura. Un procedmento muy utlzado para determnar la respuesta de estructuras agretadas consste en dvdr el elemento tantas veces como gretas exstan las cuales se representan por medo de un resorte rotaconal sn masa (Shfrn y Ruotolo, 1999). A la par de estas dos propuestas, se han tambén desarrollado procedmentos basados en Método de los Elemento Fnto (MEF). Estos métodos tratan de calcular la matrz de rgdeces de los elementos agretados. En esta categoría se encuentra el procedmento propuesto por Zheng y 1 Profesor, Facultad de Ingenería, Unversdad Veracruzana, Blvd. A. Ruz Cortnes no. 455, Fracc. Costa Verde, Boca del Río, Veracruz. Tel.: (9) ; rosalgado@uv.mx y santamara@uv.mx Profesor, Insttuto de Ingenería, UNAM, Cudad Unverstara, Delegacón Coyoacán, C.P , Méxco, D.F. Tel.: (55) ; GAyalaM@ngen.unam.mx 1

4 XVII Congreso Naconal de Ingenería Estructural ón, Guanauato novembre 010. Kessssoglou (004) el cual trata de determnar la matrz de rgdeces del elemento agretado a partr de los factores de ntensdad de esfuerzo y de su matrz de flexbldades. A pesar de que exsten nnumerables métodos para calcular la respuesta dnámca de elementos agretados (Dmarogonas, 1996) su aplcacón a estructuras compleas tales como puentes o edfcos es todavía un tema pendente de estudar. En este estudo fueron selecconados tres métodos para la determnacón de la respuesta dnámca de un puente de seccón compuesta. Estos métodos fueron comparados para determnar su exacttud y facldad de mplementacón. Los métodos selecconados fueron: a) Método de Chrstdes y Barr modfcado basado en el prncpo varaconal de Hu-Washzu, b) Método de Shfrn y Ruotolo basado en la ntroduccón de resortes rotaconales sn masa para representar las gretas, y c) Método de Zheng y Kessssouglou basado en el MEF. DESCRIPCIÓN DE LOS MÉTODOS SELECCIONADOS La evaluacón de los métodos selecconados se realzó, en una fase prelmnar, por medo de vgas con gretas vertcales sempre abertas con profunddad unforme a lo largo de toda la seccón transversal. Para lo cual se defneron 3 grados de lbertad por nudo (ver fg 1) consderando que las gretas no alterarían la masa ncal del elemento. Fgura 1 Varables consderadas para el elemento agretado adoptado MÉTODO DE CHRISTIDES Y BARR MODIFICADO Este Método, basado en la solucón analítca de la vga Euler-Bernoull, ntroduce el efecto causado por una greta medante una modfcacón en la flexbldad local del elemento en la vecndad de la greta. Este procedmento fue posterormente modfcado por Salgado (008) para determnar la flexbldad en forma más senclla para su mplementacón en un programa de computadora. En este método, no se consderaron posbles cambos en la poscón del ee neutro del elemento causados por las gretas. El efecto local de las gretas sobre la rgdez a flexón del elemento, EI, (Chrstdes y Barr, 1984) está dado por: EI ( x) EI o = 1+ C exp( α x x / d) (1) donde C=(Io Ic)/Ic, Io es el momento de nerca de la seccón transversal de la vga sn daño, Ic es el momento de nerca de la seccón transversal en la localzacón de la -ésma greta, d es el peralte de la vga, E es el modulo de Young, a es un coefcente obtendo expermentalmente cuyo valor fue establecdo en.67 al comparar las frecuencas obtendas medante este método con aquellas determnadas expermentalmente por Chondros et al. (1998) en vgas agretadas. De acuerdo a Salgado (008), s los elementos son lo sufcentemente pequeños, se puede consderar sn pérdda de exacttud, que la rgdez a flexón, EI, en la zona cercana a la greta tene una varacón lneal. Como resultado, la matrz de rgdeces del elemento [Ke] se puede expresar como:

5 Socedad Mexcana de Ingenería Estructural EI Em K e = + () L 6 4L e smétrca e smétrca 4L 3L [ ] e donde EI 1 es la rgdez a flexón determnada con la ec 1 para el prmer nodo del elemento; L e es la longtud del elemento; es el elemento a ser evaluado y m representa la dferenca entre la rgdez a flexón entre el prmer y segundo nodo del elemento. MÉTODO DE SHIFRIN Y RUOTOLO En este método, los parámetros modales se determnan usando resortes rotaconales sn masa para smular la presenca de las gretas. Este método conduce a un sstema de n+ ecuacones lneales para una vga con n gretas, menor en orden, que otros métodos smlares. En consecuenca se tene un decremento consderable en el tempo computaconal requerdo para encontrar los parámetros modales. Este método determna los parámetros modales del elemento agretado ntroducendo, entre dos elementos, las condcones necesaras para garantzar la contnudad de desplazamentos, momento flexonante y fuerza cortante. Tambén se toma en cuenta la dscontnudad de la rotacón en las zonas cercanas a las gretas. Esta condcón es necesara para garantzar el equlbro entre la transmsón del momento flexonante y la rotacón del resorte smulando la greta. Tomando en cuenta estas hpótess, la solucón al problema es obtenda medante las ecs. 3 y 4: e y ( x) = Acos( λx) + B sn( λx) + C cosh( λx) + D snh( λx) + 0 λ 4 n x ( ) snh( λ( x s)) sn( λ( x s)) = cλ Dcλ snh( λx ) + 4 M s x = Ac λ cos( λx ) Bc λ sn( λx ) + Cc λ cosh( λx ) + n = 1 ds, = 1,,... n (3) (4) donde A, B, C y D son coefcentes a determnar; n es el número de gretas; x es la dstanca medda desde el extremo zquerdo de la vga, y es la ampltud de la vga medda desde la poscón x; y y y y son la prmera y segunda dervada de y respecto a la dstanca x, en ese orden. Las otras varables se defnen como: M ' λ 4 = ω ρs / ( EI ) (5) ' '' y + 1( x ) y ( x ) = = c y ( x ) (6) x ( snh( λ( x s)) + sn( ( x s)) ) ( ) = λ 0 s x λ (7) donde ω es la frecuenca crcular, S es el área de la seccón transversal, ρ es la masa por densdad de volumen de la vga y s es una varable de transformacón. La solucón del sstema lneal de n+4 ecuacones formado por la ec 4 para A, B, C, D y necesta, para su solucón, de la ntroduccón de 4 ecuacones adconales, las cuales se obtenen de las condcones de frontera (apoyos) de la vga analzada, esto es, ec 3 para y 0 (x=0,l) y su segunda dervada y 0 (x=0,l) para una vga smplemente apoyada; y y 0 (x=0,l) y su prmera dervada y 0 (x=0,l) en el caso de una vga doblemente empotrada. Fnalmente, las frecuencas de vbracón de la vga agretada se determnan de las raíces del ds 3

6 XVII Congreso Naconal de Ingenería Estructural ón, Guanauato novembre 010. polnomo (λ 1, modes ) resultante del determnante del sstema lneal de ecuacones U (cuatro ecuacones resultantes de la ec 3 más n ecuacones de la ec 4) gualado a cero, es decr: MÉTODO DE ZHENG Y KESSISSOGLOU ( [ ( λ) ] ) 0 det = U (8) Zheng y Kessssoglou fueron de los prmeros en consderar el efecto causado en la rgdez de la vga agretada la dstanca entre la localzacón de la greta y el nudo extreme derecho del elemento. Esta dstanca no se consderó en métodos anterores basados en el MEF lo cual conduo a resultados menos precsos. Para tomar en cuenta este problema adconaron una matrz de flexbldades total C ovl a la matrz de flexbldades tradconal C nt como ndcado en la ec 9: + c11 c1 c13 EA 3 = + = C c + + tot Cnt Covl 1 c c3 (9) c 31 3EI + c EI los elementos de la matrz de flexbldades total c se determnan de: 3 EI + c EI G 1 c = da; G = [( K I1 + K I + K I 3 ) + K II ] ;, = 1,, 3 (10) P P E Ac donde K I1, K I, K I3 y K II son los Factores de Intensdad de Esfuerzo (FIE) de la seccón transversal unforme de la vga para los modos fundamentales de fractura I y II, A c es el área de la seccón transversal en la localzacón de la greta, y P y P son las fuerzas en el nodo derecho del extremo agretado, tal y como se muestra en la fg 1. Uno de los nconvenentes que presentaba este método, radcaba en la obtencón de los FIE para dferentes seccones transversales comunes en estructuras cvles. Tales FIE pueden determnarse sn la necesdad de expermentacón o programas avanzados del MEF medante el método propuesto por Rcc y Vola (006). Una vez determnados los FIE, la matrz de rgdeces del elemento agretado K c se obtene como sgue: T T K = = c LCtot L L (11) donde el superíndce T ndca la transpuesta de la matrz. Fnalmente las frecuencas de vbracón de la vga se determnan usando cualquer procedmento para la obtencón de egenvalores los cuales requeren la determnacón de la matrz de masa la cual se obtene drectamente del modelo numérco. Para calcular las correspondentes formas modales, Zheng y Kessssoglou propuseron funcones de nterpolacón que cumpleran con las condcones de frontera en la localzacón de las gretas. 33 CONDICIONES ADOPTADAS PARA LA EVALUACIÓN DE LOS MÉTODOS Las vgas consderadas para la evaluacón de los métodos analzados tenen una seccón rectangular con dmensones tales que su prmera frecuenca de vbracón se encuentre entre los y los 10 Hz. En este rango caen la mayoría de los puentes con claros menores a los 100 m. Se consderaron vgas de 10 m de claro con 4

7 Socedad Mexcana de Ingenería Estructural dos dferentes condcones de frontera, smplemente apoyadas y doblemente empotradas. Las vgas se analzaron bao dos tpos de materales, acero y concreto con módulos de Young de of.5 x 10 7 kn/m y.1 x 10 8 kn/m, respectvamente. La fraccón de amortguamento crítco para todas las vgas fue del %. Se evaluaron dos dferentes casos de daño. En el prmero se smuló la aparcón de una greta al centro del claro de la vga, con una profunddad de ¼ del peralte total para seccones de concreto y otras con ½ del peralte total para seccones de acero. En el segundo caso, se smuló la aparcón de cuatro gretas adconales colocadas equdstantemente a una dstanca de 0.5 m desde el centro del claro. Todas las gretas tenían una profunddad de 1 7 del peralte total para seccones de concreto y 7 del peralte total para seccones de acero. Las propedades geométrcas de las vgas, la localzacón de las gretas a lo largo de su longtud y sus condcones de frontera se muestran en la fg. Fgura Varables consderadas para el elemento agretado adoptado La respuesta dnámca de las vgas agretadas se determna empleando el algortmo propuesto por Wlson, (00). Las frecuencas de muestreo y los tempos de adquscón fueron establecdos a fn de determnar con exacttud, las 3 prmeras frecuencas de vbracón. Las vgas analzadas fueron dvddas en 0 elementos. La fuerza exctadora se consderó actuando en dreccón vertcal (sentdo de la gravedad), dentro de una magntud predefnda y cambando de poscón aleatoramente a cada paso de la frecuenca de muestreo. Con este procedmento se trata de smlar el caso de vbracones ambentales durante la adquscón de la respuesta dnámca en el cual la fuerza exctadora no fue consderada durante el proceso de dentfcacón modal. Por lo tanto, los parámetros modales fueron obtendos a partr de la hstora de aceleracones. Para este fn, se aplcó el Método Meorado de Descomposcón en el Domno de las Frecuencas (MDDF) (Brncker, et al., 001) a la hstora de aceleracones de las vgas agretadas a fn de determnar los parámetros modales tal cual se determnaría en una forma expermental. En total, se realzaron 7 smulacones dnámcas e dentfcacones modales como combnacón de todos los casos. COMPARACIÓN DE PARÁMETROS MODALES EN VIGAS AGRIETADAS En esta fase del estudo, se realzó una comparacón de los parámetros modales de vgas agretadas (frecuencas de vbracón, formas modales y amortguamento), obtendos a partr de su respuesta dnámca, con aquellas obtendas en las vgas sn daño. Los parámetros modales obtendos medante el método MDDF se compararon con los correspondentes parámetros modales sn daño. La prmera frecuenca de vbracón de las vgas de concreto fueron cercanas a 10 Hz, smulando estructuras de puente rígdas, mentras que para vgas de acero este valor fue cercano al.5 Hz, representando valores típcos de puentes flexbles. La comparacón se llevo a cabo usando la relacón entre la condcón con y sn daño para las frecuencas de vbracón y los porcentaes de amortguamento. La comparacón de formas modales se realzó utlzando el método de dferencas modales normalzadas (DMN) (Gentle y Gallno, 008). El método de DMN es más sensble a pequeñas dferencas entre la comparacón de dos vectores que el Crtero de Aseguramento modal 5

8 XVII Congreso Naconal de Ingenería Estructural ón, Guanauato novembre 010. (MAC, por sus sglas en Inglés) (Gentle y Gallno, 008), para comparar formas modales con el propósto de detectar daño. En la fg 3 se muestra la comparacón de los resultados prevamente menconados utlzando los parámetros antes descrtos. a) Seccones de concreto b) Seccones de acero Fgura 3 Comparacón de los métodos medante las formas modales. ( modo 1, modo y modo 3). En la fg 3 fr, es la dferenca entre las tres prmeras frecuencas de vbracón de la vga con y sn daño, ξ, es la dferenca entre los amortguamentos de la vga con y sn daño; C, S y Z se referen a los métodos de Chrstdes, Shfrn y Zheng, respectvamente, donde sus subíndces ndcan el número de gretas; S/NE ndca que no se encontró solucón con este método. De la fg 3 es posble resaltar que el modo más sensble al daño es el tercero. En el caso de comparacón de frecuencas, el segundo modo fue el menos sensble al daño. Este modo tene un punto de nflexón en la localzacón del daño lo cual conduce a cambos pequeños en los parámetros comparados. En la comparacón de amortguamentos, el prmer modo da las mayores dferencas. Consderando los métodos evaluados, el método de Chrstdes y Barr modfcado fue el más sensble al daño, en especal cuando se smulaban 5 gretas smultáneamente. Este método es el más smple de aplcacón, pero tambén es el menos precso. En efecto, su exacttud está nfluencada por el número de elementos consderados. Al evaluar el método de Shfrn, la respuesta dnámca cuando se tenen 5 gretas smultáneamente en una vga doblemente empotrada no pudo obtenerse. El cálculo de las raíces con la ec 8 se vuelve más compleo cuando el número de grados de lbertad y gretas se ncrementa. Además, la solucón analítca para otras condcones de frontera y seccones transversales debe ser obtenda con anterordad. Los resultados obtendos con el método de Zheng tenen un comportamento smlar de aquellos obtendos con el método de Shfrn, con la dferenca que la solucón para determnar la respuesta dnámca de la vga fue determnada en todos los casos evaluados con el método de Zheng. Asmsmo, el método de Zheng tene la ventaa de su fácl mplementacón en un programa de computadora para el análss de estructuras más compleas. 6

9 Socedad Mexcana de Ingenería Estructural IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO DE SIMULACIÓN DINÁMICA EN PUENTES AGRIETADOS En esta seccón se llevó a cabo la smulacón dnámca de un puente vehcular de seccón compuesta (vgas de acero y losa de concreto). El daño se smuló en las vgas I de acero medante gretas vertcales. Las gretas se localzaron cerca de los apoyos y al centro del claro. Estas gretas representan daño por fatga causado por tráfco pesado. La respuesta dnámca del puente agretado se determna usando el procedmento propuesto por Zheng y Kessssoglou (004). CARACTERÍSTICAS DEL PUENTE El puente adoptado se encuentra smplemente apoyado en 4 vgas de acero. La losa es de concreto reforzado de 00 mm de espesor con una resstenca a la compresón de 40 MPa. Este puente fue dseñado conforme a los estándares del códgo de puentes de las normas AASHTO (005). La geometría del puente descrto se muestra en la fg 4. SIMULACIÓN DINÁMICA Fgura 4. Geometría del puente adoptado como eemplo. Después de la obtencón de los parámetros dnámcos la respuesta dnámca del puente agretado se calculó utlzando el algortmo recursvo propuesto por Wlson (00). La fuerza exctadora presenta una varacón aleatora en poscón y magntud a lo largo de los nudos del modelo estructural. Esta fuerza trata de representar vbracones ambentales. La respuesta dnámca fue adqurda con una frecuenca de muestreo de 150 Hz con un tempo total de 300 s. Un eemplo de las prmeras 6 frecuencas naturales y una funcón típca del espectro de potenca con la hstora de las aceleracones y fuerzas obtenda al centro del claro de la vga I externa del puente se muestra en la fg 5. 7

10 XVII Congreso Naconal de Ingenería Estructural ón, Guanauato novembre 010. a) b) Fgura 5. a) Formas modales y b) Procedmento para el análss modal del caso donde la greta está a 8.5 m del apoyo zquerdo); elemento dañado. CONCLUSIONES En este artículo se comprueba que es posble la smulacón dnámca de puentes agretados. Los métodos utlzados fueron propuestos para estructuras smples, tales como vgas de seccones transversales rectangulares o crculares. Los métodos antes menconados fueron adaptados y generalzados para su aplcacón en estructuras de puentes. El método propuesto de Zheng y Kessssoglou, s ben no es el más precso, s el más smple de mplementar en un programa de computadora, lo cual puede facltar su mplementacón en otro tpo de tpologías de puentes. El método mplementado en este artículo tene una mportanca trascendental cuando se quere evaluar un método de deteccón de daño en este tpo de estructuras. La falta de datos expermentales puede en este caso suplrse medante smulacones dnámcas ben fundamentadas. AGRADECIMIENTOS Se agradece a la Facultad de Ingenería de la Unversdad Veracruzana y al Insttuto de Ingenería de la Unversdad Naconal Autónoma de Méxco las facldades prestadas para la realzacón de este proyecto de nvestgacón conunta. 8

11 Socedad Mexcana de Ingenería Estructural REFERENCIAS AASHTO, (005), Amercan Assocaton of State Hghway and Transportaton Offcals, LRFD Brdge Desgn Specfcatons, 3 a edcón, Washngton, D.C. Brncker, R., Ventura, C.E. y Andersen, P. (001), Dampng estmaton by frequency doman decomposton, Proc. 19th Int. Modal Analyss Conference (IMAC), Kssmmee, FL. Chondros, T.G., Dmarogonas, A.D. y Yao, J. (1998), A Contnuous Cracked Beam Vbraton Theory, J. Sound and Vbraton, vol. 15(1), pp Chrstdes, S. y Barr, A.D.S. (1984), One-Dmensonal Theory of Cracked Euler Bernoull Beams, Int. J. Mech. Sc., vol. 6(11/1), pp Dmarogonas, A.D. ( 1996), Vbraton of Cracked Structures: A State of the Art Revew, Eng. Fracture Mech., vol. 55(5), pp , Gentle, C. y Gallno, N. (008), Ambent Vbraton Testng and Structural Evaluaton of an Hstorc Suspenson Footbrdge, Advances n Engneerng Software, vol. 39(4), pp Rcc, P. y Vola, E. (006), Stress Intensty Factors for Cracked T-Sectons and Dynamc Behavour of T-beams, Eng. Fracture Mech., vol. 73, pp Salgado, R. (008), Vbraton-based damage detecton methods n brdges, Evaluaton and applcaton, Tess de doctorado, Unversdad de Mnho, pp 30. Shfrn, E.I. y Ruotolo R. (1999), Natural Frequences of a Beam wth an Arbtrary Number of Cracks, J. Sound and Vbraton, vol. (3), pp Snha, J.K., Frswell, M.I. y Edwards, S. (00), Smplfed Models for the Locaton of Cracks n Beam Structures usng Measured Vbraton Data, J. Sound and Vbraton, vol. 51(1), pp Wlson, E.L. (00), Three-Dmensonal Statc and Dynamc Analyss of Structures, 3 a Computers and Structures, Inc., Berkeley, CA. edcón, Zheng, D.Y. y Kessssoglou, N.J. (004), Free Vbraton Analyss of a Cracked Beam by Fnte Element Method, J. Sound and Vbraton, vol. 73, pp