GUIA Nº 1: EJERCICIOS DE POLINOMIOS

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María del Rosario Torres Sánchez
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1 ALGEBRA - INGENIERIA GUIA Nº : EJERCICIOS DE POLINOMIOS ) Usndo el Teorem del Resto demuestre el enuncido ddo, si ) es divisible ectmente por + si n es pr b) + es divisible ectmente por + si n es impr c) + no es divisible ectmente por + si n es pr d) + no es divisible ectmente por si n es pr + n Z ) En los siguientes ejercicios obteng el cuociente y el resto usndo l división sintétic ) ( ) ( + ) Resp + +, 8 b) ( + 0 7) ( ) 6 c) ( + ) ( ) Resp + + +, d) ( + + 7) ( + ) Resp +, ) Demostrr que y + son fctores de p ( ) y determinr los fctores restntes Resp, + ) Usr l división sintétic pr hllr el cuociente y el resto l dividir el polinomio + + por + Sugerenci Efectur l división sintétic dividiendo por + y luego dividir el cuociente por Resp +, resto ) Determinr, b, c de modo que ( )( + )( ) se fctor de b + c Resp 8, b, c 6 6) Se p ( ) + + b + c Al dividir p () tnto por + como por + el resto que se produce es cero; pero l dividir por el resto es Clculr el vlor de A b + c Resp, b, c 7) Al dividir un polinomio p () seprdmente por y se obtiene como resto y respectivmente Clculr el resto que se produce l dividir p () por el producto ( )( ) Resp + 7 8) Comprobr que l ecución + 0 tiene l ríz doble y hllr ls restntes ríces Resp ± 9) Determine l ecución mónic de grdo mínimo con coeficientes reles que teng ls ríces indicds, -,, Resp +

7 ) ( + ) Resp + +, 8 b) ( + 0 7) ( ) 6 c) ( + ) ( ) Resp + + +, d) ( + + 7) ( + ) Resp +, ) Demostrr que y + son fctores de p ( ) + 7 8 + y determinr los fctores restntes Resp, + ) Usr l división

2 ALGEBRA - INGENIERIA Ecución de segundo grdo A) Determine el conjunto solución de ls ecuciones: ) ( ) (7 ) Resp -, ) 9 ( ) 0( ) Resp, ) ( + + ) ( + )( ) ( ) Resp 0, B) Resuelv ls siguientes ecuciones irrcionles ) ) + 9 ) ) ) + + 6) + Resp ) -; ) ; ) 8 ) ) 6) ; C) Determine el conjunto solución de ls ecuciones: ) ) ) ) D) Resuelv ls siguientes ecuciones de segundo grdo ) b ( b ) b + Resp ) b, ;, b 0 b Resp, 8 ) c + c 0 ) ) Resp c c, m Resp + m, m 0b b Resp b, b + Resp, 7b 6) ( + 7b) + b 0 7) b b b b 8) Resp ( + ) ( ) Resp b,,

Determine el conjunto solución de ls ecuciones: ) ) + + 0 0 + + + ) + 9 7 + 9 6 ) D) Resuelv ls siguientes ecuciones de segundo grdo ) b ( b ) b

3 ALGEBRA - INGENIERIA 9) b + b Resp b, ; ) + Resp, ; b ) ( + b) ( b) + b Resp, + b Alguns ecuciones de segundo grdo, clásics El pretón de mnos Problem Ls persons que sistieron un reunión se estrechron l mno Uno de ellos dvirtió que los pretones de mno fueron 66 Cuánts persons concurrieron l reunión? Solución L cuestión se resuelve con fcilidd si recurrimos l álgebr Cd un de ls persons dio l mno ls otrs Por tnto, el totl de pretones de mnos debe ser ( - l) Además hy que tener en cuent que cundo A d l mno B, B estrech l mno de A; estos dos pretones de mnos deben ser considerdos como uno solo Por eso, el número de pretones de mnos contdos es dos veces menor que ( -) En consecuenci surge l ecución trnsformciones se tendrá ( ) 66 que, después de ls correspondientes 0 de donde ± + 8, sí, ; Como l ríz negtiv (- persons) crece de todo sentido, l rechzmos, conservndo únicmente l primer: en l reunión estuvieron persons El enjmbre de bejs Problem En l ntigüedd estb muy etendid en l Indi un diversión singulr: l solución de rompecbezs en competiciones públics Los mnules de mtemátics de ese pís contribuín l celebrción de tles cmpeontos de cálculo mentl "Aplicndo ls regls quí epuests -escribí el utor de uno de dichos libros -, un hombre inteligente puede ider miles de problems semejntes Así como el Sol hce plidecer ls estrells con sus destellos, un hombre discreto eclips l glori de otro hombre en los concursos populres, proponiendo y resolviendo problems lgebricos" En el originl, ests plbrs presentn un specto más poético, por cunto el libro está escrito en verso Los problems tmbién precen versificdos Enunciemos en pros uno de estos rompecbezs Un grupo de bejs, cuyo número er igul l ríz cudrd de l mitd de todo su enjmbre, se posó sobre un jzmín, hbiendo dejdo muy trás 8/9 del enjmbre; sólo un bej del mismo enjmbre revoloteb en torno un loto, tríd por el zumbido de un de sus migs que cyó imprudentemente en l trmp de l florecill, de dulce frgnci Cuánts bejs formbn el enjmbre?

Solución L cuestión se resuelve con fcilidd si recurrimos l álgebr Cd un de ls persons dio l mno ls otrs Por tnto, el totl de pretones de mnos debe ser ( - l) Además hy que tener en cuent que cundo A

4 ALGEBRA - INGENIERIA Solución Si epresmos el número buscdo de bejs del enjmbre con l letr, tendremos l ecución Podemos simplificr l ecución introduciendo un incógnit uilir: Entonces y, por lo que resultrá l ecución 6y 9 y y + + y, o l ecución de segundo grdo y 9y 8 0 L ecución tiene dos ríces pr y: y 6; y y ls soluciones pr son 7;, Como el número de bejs debe ser entero y positivo, es válid sólo l primer ríz: el enjmbre constb, pues, de 7 bejs Comprobémoslo: (7) L mnd de monos Problem Otro de los problems indios puede ser presentdo en verso tl y como fue trducido por Lébedev, utor del ecelente libro Quién inventó el álgebr? Regocíjense los monos divididos en dos bndos: el cudrdo de su octv prte en el bosque se solz, con legres gritos, doce tronndo el cmpo están Sbes cuntos monos hy en l mnd, en totl? Solución Si el número totl de l mnd es, entonces: + 8 de donde 8; 6 El problem tiene dos soluciones positivs: en l mnd puede hber 8 y 6 monos Ls dos soluciones stisfcen por ls condiciones del problem ) El numero totl de digonles que se pueden trzr en un polígono de n ldos n n est ddo por l formul d De cuntos ldos es el polígono en el que se pueden trzr digonles en totl? Resp ldos ) Un buelo tiene 67 ños y sus dos nietos tienen y ños En cuntos ños más, l edd del buelo será igul l producto de ls eddes de mbos nietos? Resp en ños más ) L sum de los cudrdos de los tres enteros pres consecutivos es 96 Determinr el myor entero del trío Resp 6 ) L rist de un cubo es cm más cort que l rist de un segundo cubo Determinr l superficie de cd cubo, si l diferenci de sus volúmenes es 6 cm Resp 8cm y 86cm

válid sólo l primer ríz: el enjmbre constb, pues, de 7 bejs Comprobémoslo: 7 8 + (7) + 6 + 6 + 7 9 L mnd de monos Problem Otro de los problems indios puede ser presentdo en verso tl y como fue

5 ALGEBRA - INGENIERIA ) Encontrr los tres ldos de un tringulo rectángulo si se sbe que sus medids corresponden tres múltiplos consecutivos de 0 Resp 0, 0 y 0 6) El ncho de un rectángulo mide cm menos que el lrgo Si el áre del rectángulo es 0 cm, determine sus medids Resp 8 cm y cm 7) Encontrr tres enteros consecutivos tles que l dividir el triple del myor por el menor se obtiene uumero que es igul del numero intermedio Resp 8,9 y 0 8) Qué número debe sumrse l numerdor y restrse del denomindor de l frcción y simultánemente debe sumrse tnto l numerdor como l 0 denomindor de l frcción pr que ls frcciones resultntes sen 0 equivlentes? Resp o ) L ecución + permite resolver el siguiente problem Un v v + hombre vij en un bote remos 7 kilómetros río rrib y, luego, d l vuelt y nveg 7 kilómetros río bjo Si en este recorrido se demoró hors y el río corre kilómetros por hor A que velocidd remrí el hombre si estuvier en un lgo con gus quiets? Eplicr como se deduce l ecución pr resolver el problem b Resolver l ecución y dr respuest l problem Resp Remrí 6 kilómetros por hor 0) Determinr l velocidd de un río si se sbe que un person rem km/h en gus quiets y se demoró 6 h evegr 0 km río rrib y 0 km río bjo Respuest 0 km/h ) Un pisjist quiere roder un jrdín rectngulr con un sendero de ncho uniforme Pr esto usrá un toneld de grvill que es cpz de cubrir m Si el jrdín tiene 0 m de lrgo y m de ncho, de que ncho debe ser el sendero pr que se use tod l grvill disponible? Resp, metros ) Determinr los vlores que deben tomr p y q pr que ls ríces de l ecución + p + q 0 sen p y q Resp p, q (en generl bst que se cumpl l relción q p ) ) L sum de dos números es y l dividir el número myor por el menor, el cociente es un seto del número menor y el resto es Determine mbos números Resp 07 y

igul del numero intermedio Resp 8,9 y 0 8) Qué número debe sumrse l numerdor y restrse del denomindor de l frcción y simultánemente debe sumrse tnto l numerdor como l 0 denomindor de l frcción pr que

6 ALGEBRA - INGENIERIA 6 ) El producto de dos números es y l dividir el myor por el menor el cociente es un seto del número menor y el resto es determinr mbos números Resp 07 y ) El producto de dos números positivos es 6 y l dividir el número myor por el menor el cociente es y el resto es Cuáles son los números? Resp 8 y 7 6) Encontrr todos los pres de números cuy sum es y l sum de sus recíprocos es 8 Resp y 8 7) L diferenci de dos enteros positivos es y l sum de sus cudrdos es 70 Determine tles números Resp7 y 8) Uúmero de dos cifrs es tl que el dígito de ls decens es uniddes myor que el dígito de ls uniddes demás, l dividir el número por el doble del dígito de ls uniddes se obtiene el doble de l sum de mbs cifrs del número Cuál es el número? Resp 7 9) L sum de ls dos cifrs de uúmero es Si l producto de ells se le sum 66 se obtiene el primer número con su cifrs invertids Cuál es el número? Resp 9 Trnsforme en producto ) y + z ) + ) + ) + ) + b 6) ( y ) ( + y) 7) ( + y)( b) + ( + b)( + y) 8) ( b ) + b 9) y + y + y 0) 9 b b y ) ) 6 8y ) ) + y 7 8b + ) 6) ) 8) + 0 9) ) + y + y ) 6 + y 9b 6by ) ) 6 y + 9b 6 + b + b c Respuests ) ( y + z) ) ( + ) ) ( +) 7) ( + b) 9) ( + y)( + b) ) ( b)( + b ) ) ( + b)( b ) + y y + y ) ( )( )( ) + y y + y 7) ( )( ) b + b + 8) ( )(9 6 ) ) ( + )( ) b

Resp 8 y 7 6) Encontrr todos los pres de números cuy sum es y l sum de sus recíprocos es 8 Resp y 8 7) L diferenci de dos enteros positivos es y l sum de sus cudrdos es 70 Determine tles números

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