Tema 3: Producto escalar

Transcripción

1 Tem 3: Producto esclr 1 Definición de producto esclr Un producto esclr en un R-espcio vectoril V es un plicción f : V V R que verific ls siguientes propieddes: 1. Bilinel:. Simétric: (i) f(u + u 0,v) f(u, v)+f(u 0,v) pr todo u, u 0,v V (i 0 ) f(u, v + v 0 ) f(u, v)+f(u, v 0 ) pr todo u, v, v 0 V (ii) f(αu, v) f(u, αv) αf(u, v) pr todo α R ytodou, v V. Pr todo u, v V se tiene que f(u, v) f(v,u). 3. Definid positiv: Pr todo vector u V no nulo se tiene que f(u, u) > 0. L expresión f(u, v) es un esclr l que se le denomin producto esclr de u y v. L notción hbitul que empleremos pr esto será u v (hy utores que utilizn pr esto l notción <u,u>). Con est notción l definición de producto esclr quedrí reescrit del siguiente modo: 1. Bilinel:. Simétric: (i) (u + u 0 ) v u v + u 0 v) pr todo u, u 0,v V (i 0 ) u (v + v 0 ) u v + u v 0 pr todo u, v, v 0 V (ii) αu v u αv α(u v) pr todo α R ytodou, v V. Pr todo u, v V se tiene que u v v u. 3. Definid positiv: Pr todo vector u V no nulo se tiene que u u>0. Al pr (V, ), formdo por un R-espcio vectoril junto con un producto esclr se le denomin espcio vectoril euclídeo. Incluso suele hblrse del espcio vectoril euclídeo V sin mencionr el producto esclr, que se supone sobreentendido. Propieddes: En un espcio vectoril euclídeo (V, ) se cumple que: 1. Pr culquier vector v V se tiene que. Si v 6 0entonces 3. v 00. v v>0. v v 0 v 0. 1

2 Ejemplo El producto esclr usul (cnónico o euclídeo) enr n. Ddos (x 1,x,...,x n ), (y 1,y,..., y n ) R n se define el producto esclr euclídeo en R n del siguiente modo: (x 1,x,..., x n ) (y 1,y,..., y n )x 1 y 1 + x y x n y n. He quí un ejemplo de un producto esclr (distinto del euclídeo) definido en R 3 : (x 1,x,x 3 ) (y 1,y,y 3 )x 1 y 1 +5x y +x 3 y 3 3. En R 3 con el producto esclr euclídeo obtenemos (, 1, 3) (5,, 4) 5+1 +( 3) y con el producto esclr visto en el ejemplo ) obtenemos (, 1, 3) (5,, 4) ( 3) Un form de crcterizr un producto esclr (suponiendo que se cumple l bilinelidd) es l siguiente: Propiedd: Se : V V R un plicción bilinel, con V un espcio vectoril rel, y se B {v 1,v..., v n } un bse de V. Entonces es un producto esclr si y sólo si l mtriz v 1 v 1 v 1 v... v 1 v n v v 1 v v... v v n v n v 1 v n v... v n v n es simétric y definid positiv (esto último signific que los menores principles de l mtriz [los que se formn pr cd k 1,,..., n tomndo ls k primers fils y ls k primers columns] son todos positivos). Ejemplo 1. Determinr si ls siguientes plicciones bilineles son o no productos esclres: 1. En R (x, y) (x 0,y 0 )xx 0 +xy 0 +yy 0. Como l mtriz que se obtiene tomndo l bse cnónic de R es (1, 0) (1, 0) (1, 0) (0, 1) (0, 1) (1, 0) (0, 1) (0, 1) Ã! 0 yéstnoessimétric,setienequenoesunproductoesclr.. En R (x, y) (x 0,y 0 )xx 0 + xy 0 + yx 0 + yy 0. L mtriz que se obtiene tomndo l bse {(, 0), (1, 1)}

3 de R es (, 0) (, 0) (, 0) (1, 1) (1, 1) (, 0) (1, 1) (1, 1) ( 1) ( 1) ( 1) +( 1) ( 1) + ( 1) 1+( 1) ( 1) Ã! por lo que ést es simétric. Los determinntes principles vlen 0 y 0 0 0, luego no es definid positiv. Así no es un producto esclr. 3. En R 3 (x, y, z) (x 0,y 0,z 0 )xx 0 +xy 0 +yx 0 yz 0 zy 0 +5yy 0. TomndobsecnónicdeR 3 obtenemos l mtriz y ést es simétric. Los determinntes principles vlen 1 1 > 0, 5 1> 0 y luego no es definid positiv. Así no es un producto esclr < 0, 4. En R (x, y) (x 0,y 0 )4xx 0 +yy 0 xy 0 yx 0 A prtir de l bse cnónic de R se obtiene l mtriz à 4 que es simétric. Los determinntes principles vlen 4 4 > 0 y 4> 0, luego es definid positiv. Así l plicción bilinel es un producto esclr.! 3

4 Norm socid un producto esclr Se (V, ) un espcio vectoril euclídeo. Se llm norm socid l producto esclr nterior l plicción kk: V R + definid por kvk + v v. A este vlor lo llmremos norm (módulo o longitud) del vector v. Observción.1 L norm socid l producto esclr euclídeo de R n está dd pr un vector (x 1,x,..., x n ) R n por q k(x 1,x,..., x n )k x 1 + x x n (l llmremos norm euclíde). Se dice que un vector es unitrio cundo tiene norm 1. A prtir de culquier vector no nulo siempre puede construirse un vector unitrio dividiendo por l norm. Ejemplo. Con el producto esclr usul en R 3 l norm del vector (, 3, 0) vle k(, 3, 0)k p +( 3) Entonces el vector es unitrio, pues u kuk (, 3, 0) u kuk (, 3 s, 0) ( ) +( 3 ) r r Ejemplo.3 Utilizndo l norm socid l producto esclr en R ddo medinte l expresión (x, y) (x 0,y 0 )4xx 0 +yy 0 xy 0 yx 0 l norm del vector (, 1) es k(, 1)k p (, 1) (, 1) mientrs que l norm euclíde del mismo vector es k(, 1)k p (, 1) (, 1) p Ortogonlidd Se dice que dos vectores u y v de un espcio vectoril euclídeo son ortogonles (o perpendiculres) cundo u v 0. Un sistem de vectores se dice que es un sistem ortogonl de vectores cundo los vectores son ortogonles dos dos. Si demás todos los vectores son unitrios entonces se dirá que el sistem es ortonorml. 4

5 Un bse de un espcio vectoril euclídeo V que demás es un sistem ortogonl (respectivmente ortonorml) de vectores se llmrá bse ortogonl de V (respectivmente bse ortonorml de V ). L bse cnónic de R n es siempre un bse ortonorml de este espcio vectoril, si estmos considerndo el producto esclr euclídeo en R n. Propiedd: En un espcio vectoril euclídeo se verificn ls siguientes propieddes: 1. El vector 0 es ortogonl todos los vectores.. Un sistem ortogonl de vectores no nulos es un sistem LI de vectores. En consecuenci un sistem ortonorml de vectores es un sistem LI de vectores. 3. L ortogonlidd es un propiedd que se conserv por CL, en prticulr por múltiplos. De este modo, si u es un vector ortogonl v entonces es ortogonl todo múltiplo de v (del mismo modo se cumple que si u no es ortogonl v entonces no es ortogonl ningún múltiplo de v. Como csos prticulrmente interesntes tnemos los siguientes: 4. Si tenemos un bse ortogonl podemos multiplicr cd vector por un esclr no nulo que el resultdo sigue siendo un bse ortogonl. () Si en un bse ortogonl de un espcio vectoril euclídeo de V dividimos cd vector por su norm, entonces el sistem resultnte de vectores es un bse ortonorml de V. (b) Un sistem formdo por un solo vector es un sistem ortogonl. 3.1 Método de ortogonlizción de Grm-Schmidt Se {u 1,u,..., u n } un bse de un espcio vectoril euclídeo V. Vmos construir un bse ortogonl de V prtir de l bse dd. Empezmos cogiendo w 1 u 1. Después buscmos un vector de l form w u + α 1 w 1, donde α 1 es un esclr del cuerpo, el único pr el que se cumple que w es ortogonl w 1. Pr hllrlo se hce el producto esclr por el vector w 1 en l iguldd nterior, y obtenemos l iguldd w w 1 0u w 1 + α 1 w 1 w 1, de donde deducimos que α 1 u w 1. w 1 w 1 Supongmos que tenemos definidos vectores ortogonles w 1,w,..., w k 1,prk 1 <n. Entonces buscremos un nuevo vector de l form w k u k + α k1 w α kk 1 w k 1, donde los α k1, α k,...,α kk 1 se hlln imponiendo que w k es ortogonl w 1,w,..., w k 1, respectivmente, de un form similr l nterior (o se, multiplicndo esclrmente w k por w 1,w,...,w k 1 ). Así cd uno de los esclres puede clculrse medinte l expresión α ki u k w i w i w i 5

6 De este modo se obtiene un bse ortogonl {w 1,w,..., w n } de V. Además, prtir de est bse ortogonl puede obtenerse un ortonorml {w 0 1,w 0,..., w 0 n} tomndo wi 0 w i kw i k pr cd i, es decir, dividiendo cd vector de l bse ortogonl por su propi norm. Observción 3.1 Si en lgún momento nos sle un vector con frcciones en l bse ortogonl que se v obteniendo, puede reemplzrse éste (en ese momento) por culquier múltiplo suyo (como y dijimos en l últim propiedd), pr sí eliminr ls frcciones. Ejemplo 3. Con el producto esclr usul hllr un bse ortonorml de R 3 prtirdelbse {u 1 (1, 1, 1),u (, 1, 0),u 3 (1, 0, 0)}. En primer lugr pongmos Ahor ponemos donde De este modo obtenemos que w 1 u 1 (1, 1, 1). w u + αw 1 (pongo α 1 α), α u w 1 (1, 1, 1)(, 1, 0) w 1 w 1 (1, 1, 1)(1, 1, 1) w (, 1, 0) (1, 1, 1) (1, 0, 1). Finlmente necesitmos hllr un vector w 3 u 3 + βw 1 + γw (pongo α 31 β y α 3 γ), donde sbemos que y Entonces β u 3 w 1 (1, 1, 1)(1, 0, 0) w 1 w 1 (1, 1, 1)(1, 1, 1) 1 3 γ u 3 w (1, 0, 1)(1, 0, 0) w w (1, 0, 1)(1, 0, 1) 1. w 3 (1, 0, 0) 1 3 (1, 1, 1) 1 (1, 0, 1) (1, 0, 0) + ( 1 3, 1 3, 1 3 )+( 1, 0, 1 ) ( 3 1, 1 3, )(1 6, 1 3, 1 6 ). Así hemos obtenido un bse ortogonl de R 3 : {(1, 1, 1), (1, 0, 1), ( 1 6, 1 3, 1 6 )}. 6

7 Como lo que se pedí er un bse ortonorml es suficiente con dividir cd uno de estos vectores por su norm. Como kw 1 k 3, kw k 3, kw 3 k 1, 6 obtenemos l bse {w 0 1,w 0,w 0 3} de R 3, w (1, 1, 1) ( 1 3, 1 1, ), 3 3 w 0 1 (1, 0, 1) ( 1, 0, 1 ), w3 0 6( 1 6, 1 3, )( 6, 3, 6 )( 1, 1, ) Not: Podrímos hber tomdo l bse ortogonl {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1,, 1)} obtenid de l nterior cmbindo el último vector. De quí hbrímos obtenido l finl l mism bse ortonorml. Ejemplo 3.3 Utilizndo el producto esclr en R ddo medinte l expresión hllemos un bse ortonorml prtir de l bse (x, y) (x 0,y 0 )4xx 0 +yy 0 xy 0 yx 0 {(1, 0), (0, 1)}. Tommos Ahor considermos donde De este modo obtenemos que w 1 (1, 0). w (0, 1) + α(1, 0), (0, 1) (1, 0) α (1, 0) (1, 0) Así hemos obtenido un bse ortogonl de R : w (0, 1) + 1 (1, 0) (1, 1). {(1, 0), ( 1, 1)}. Multiplicmos el último vector por y seguimos teniendo un bse ortogonl, en este cso {(1, 0), (1, )}. Como lo que se pedí er un bse ortonorml es suficiente con dividir cd uno de estos vectores por su norm (l norm socid este producto esclr) y se tiene que k(1, 0)k 4 1 1, k(1, )k Finlmente obtenemos l bse ortonorml {w 0 1,w 0 } de R (con el producto esclr con el que estmos trbjndo), con w (1, 0) (1, 0), w 0 1 (1, ) (1, 1). 7

8 Ejemplo 3.4 Con el producto esclr usul, hllr un bse ortononorml de U {(x, y) R : x y 0}. Es sencillo hllr un bse. A prtir de l ecución implícit de U que se d, x y 0, se obtienen ls ecuciones prmétrics de dicho subespcio ( x y y y y por tnto un bse de U es {(, 1)}. Al estr formd por un solo vector est bse de U es ortogonl. Y como k(, 1)k 5 se tiene que un bse ortonorml de U es {( 5, 1 5 )}. Ejemplo 3.5 Con el producto esclr usul, hllr un bse ortogonl de W {(x, y, z, t) R 4 : x + y z +3t 0,y+ z +t 0}. Nos hn ddo W medinte ecuciones implícits. Psemos prmétrics. Bst observr que el sistem está esclondo con los pivotes x e y, luego los prámetros son z y t. Despejndo tenemos x z t y z t z z t t y por tnto un bse de W es {(, 1, 1, 0), ( 1,, 0, 1)}. Empleremos hor el método de Grm-Schmidt pr ortogonlizrl. Empezmos considerndo w 1 (, 1, 1, 0). Ahor considermos donde De este modo obtenemos que w ( 1,, 0, 1) + α(, 1, 1, 0), ( 1,, 0, 1) (, 1, 1, 0) α 0 (, 1, 1, 0) (, 1, 1, 0) 6 0. Así hemos obtenido un bse ortogonl de W : w ( 1,, 0, 1) + 0(, 1, 1, 0) ( 1,, 0, 1). {(, 1, 1, 0), ( 1,, 0, 1)}. Observemos que es l mism bse que hbímos obtenido. Esto es csul y se debe que los vectores y ern ortogonles entre sí. Por est mism rzón nos sle α Subespcio ortogonl Proposición 3.6 Se V un espcio vectoril euclídeo y W un subespcio suyo. Entonces el conjunto de los vectores de V que son ortogonles todos los de W es un subespcio vectoril de V,llmdoelsubespcio ortogonl de W, y será denotdo por W. Es decir, tenemos que W {v V v w 0 w W }. 8

9 Observción 3.7 Además se tiene que V W + W y que est sum es direct, es decir, V W L W Luego dim V dimw L W dimw +dimw. En ls condiciones nteriores, conocid un bse (o más generlmente, un SG) de W, se cumple que un vector v V es ortogonl todos los vectores de W si y sólo si es ortogonl todos los vectores de dich bse (o SG). A prtir de hí se puede obtener W, el subespcio ortogonl de W. Veámoslo en el cso más sencillo en que V R n. Un vector (x 1,..., x n ) R n pertenece W si y sólo si es ortogonl todos los vectores de l bse B {( 11,..., 1n ),..., ( k1,..., kn )} de W, es decir, si y sólo si se cumplen ls siguientes ecuciones (que serán ls ecuciones implícits de W ) ( 11,..., 1n ) (x 1,..., x n ) 0... ( k1,..., kn ) (x 1,..., x n ) 0 que dependerán del producto esclr con el que estemos. En el cso del producto esclr euclídeo ls ecuciones de W quedrán sí 11 x n x n 0... k1 x kn x n 0 En el cso del producto esclr euclídeo, de modo simétrico puede obtenerse que si el subespcio inicil está ddo por ecuciones implí cits entonces el subespcio ortogonl tiene como sistem generdor ls fils de l mtriz de coeficientes del sistem nterior. Ejemplo Supongmos que tenemos el subespcio de R 4 siguiente W < (1,, 0, 3), ( 3, 0,, 0), (5, 0, 1, 0) >. Entonces, respecto l producto esclr euclídeo tenemos que W tiene por ecuciones implícits (1,, 0, 3) (x, y, z, t) 0 ( 3, 0,, 0) (x, y, z, t) 0 (5, 0, 1, 0) (x, y, z, t) 0 es decir x y +3t 0 3x +z 0 5x z 0.. Supongmos que tenemos el subespcio de R 3 siguiente U < ( 3,, 1), (, 0, 1) >. Entonces, respecto l producto esclr euclídeo tenemos que U tiene por ecuciones implícits ( 3x +y + z 0 x z 0. 9

10 3. Supongmos que tenemos el subespcio de R 3 siguiente T x +y z 0, Entonces, respecto l producto esclr euclídeo tenemos que T < ( 1,, 1) >. 4. Supongmos que tenemos el subespcio de R 3 siguiente Entonces, respecto l producto esclr siguiente S < (1, 3, ), ( 1, 0, 3) >. (x, y, z) (x 0,y 0,z 0 )xx 0 +yy 0 +4zz 0 tenemos que S tiene por ecuciones implícits ( (x, y, z) (1, 3, ) 0 (x, y, z) ( 1, 0, 3) 0, es decir, ( x +6y 8z 0 x +1z Proyección ortogonl Se W un subespcio de un espcio vectoril euclídeo V. Debido que V se descompone como sum direct de W y su ortogonl W, todo vector del espcio puede ponerse de modo único como sum de un vector de W yotrode W.Sev V y supongmos que tenemos v v 1 + v, con v 1 W y v W. Entonces v 1 lo llmremos proyección ortogonl de v sobre W. Además, este vector cumple que v v 1 W y es el único de todos los vectores de W que cumple est propiedd, es decir, si w W cumple que v w W, entonces w v 1 (l proyección ortogonl de v sobre W ). Vemos continución un método pr hllr l proyección ortogonl de un vector sobre un subespcio: Se v V y W V. Supongmos que tenemos un bse ortogonl B {w 1,w,..., w k } de W (siempre es posible hllrl prtir de un bse culquier medinte el método de Grm-Schmidt). Entonces puede escribirse v v 1 + v, donde v 1 es l proyección ortogonl de v sobre W y v W. Entonces v 1 se pone como CL de los vectores de B en l form v 1 α 1 w 1 + α w α k w k. Si multiplicmos esclrmente v por cd w i, prtir de l iguldd v v 1 + v, obtenemos que v w i v 1 w i + v w i α 1 w 1 w i + α w w i α k w k w i α i w i w i (observemos que v w i 0,yquev W y w i W ; igulmente w j w i 0si j 6 i, y que son vectores de un bse ortogonl). De quí despejmos el vlor del esclr α i v w i w i w i. 10

11 Entonces tenemos determindo v 1, l proyección ortogonl de v sobre W, sustituyendo el vlor de cd α i,esdecir, v 1 α 1 w 1 + α w α k w k v w 1 w 1 + v w w v w k w k. w 1 w 1 w w w k w k Si B es un bse ortonorml entonces pr cd i se tiene que w i w i kw i k 1con lo que l fórmul de los esclres qued más sencillmente sí: α i v w i yportnto v 1 α 1 w 1 + α w α k w k (v w 1 )w 1 +(v w )w (v w k )w k. Observción 3.9 Hemos elegido un bse ortogonl u ortonorml pr que el cálculo necesrio pr hllr los esclres α i se lo más sencillo posible. Pero previo esto probblemente se necesrio hllr est bse ortogonl u ortonorml, lo cul requiere tmbién operciones. Es posible inicilmente coger un bse culquier de W (no necesrimente ortogonl ni ortonorml) y relizr, como hemos hecho nteriormente, los productos esclres de un modo similr l nterior. L diferenci está en que hor no podemos despejr directmente los vlores de los α i que hor precerín, pues su vlor se hllrá resolviendo el sistem de ecuciones que prece, y que éstos serán ls incógnits de este sistem. Tmbién es cierto que de est mner nos horrrímos plicr el método de Grm-Schmidt l hor de hllr l bse ortogonl. Así que puede elegirse l bse de l form que cd cul considere oportun. Ejemplo 3.10 Consideremos en el espcio vectoril euclídeo R 4 con el producto esclr usul, el subespcio W < (1, 0, 0, 1), (1, 1,, 1) > yelvector v (0, 1, 3, 0). Vmos hllr l proyección ortogonl de v sobre W. Sbemos que v v 1 + v, pr ciertos v 1 W y v W. En est situción v 1 es l proyección ortogonl de v sobre W. Tenemos que hllr un bse de W. En este cso es inmedito que los vectores u 1 (1, 0, 0, 1) y u (1, 1,, 1) nos sirven como bse de W. Entonces sbemos que v 1 αu 1 + βu. Pues bien, si multiplicmos esclrmente v con cd uno de estos vectores obtenemos por un ldo que v u 1 (v 1 + v ) u 1 v 1 u 1 + v u 1 (αu 1 + βu ) u 1 +0αu 1 u 1 + βu u 1, de donde, clculndo los productos esclres deducimos que α +β, y por otro ldo que v u 1 (0, 1, 3, 0) (1, 0, 0, 1) 0, u 1 u 1 (1, 0, 0, 1) (1, 0, 0, 1), u u 1 (1, 1,, 1) (1, 0, 0, 1), v u (v 1 + v ) u v 1 u + v u (αu 1 + βu ) u +0αu 1 u + βu u, de donde, hllndo hor los productos v u (0, 1, 3, 0) (1, 1,, 1) 5, u 1 u (1, 0, 0, 1) (1, 1,, 1), u u (1, 1,, 1) (1, 1,, 1) 7, 11

12 deducimos que α +7β. Entonces resolviendo el sistem 0 α +β 5 α +7β obtenemos que α 1, β 1. Así, l proyección ortogonl del vector v sobre el subespcio W es v 1 1 (1, 0, 0, 1) + 1 (1, 1,, 1) (0, 1,, 0). Otr form de hcerlo serí prtir de un bse ortogonl de W. UtilizndoelmétododeGrm-Schmidttomemos w 1 u 1 (1, 0, 0, 1). Busquemos hor un vector de l form w u + λw 1, de donde sbemos que debe ser λ w 1 u (1, 0, 0, 1) (1, 1,, 1) w 1 w 1 (1, 0, 0, 1) (1, 0, 0, 1) 1. Entonces w (1, 1,, 1) (1, 0, 0, 1) (0, 1,, 0). Entonces v 1 w 1 + bw y ls ecuciones que obtendrímos con l bse ortogonl {w 1,w } serín luego v w 1 w 1 w 1 + bw w 1 w 1 w 1 v w w 1 w + bw w bw w v w 1 (0, 1, 3, 0) (1, 0, 0, 1) w 1 w 1 (1, 0, 0, 1) (1, 0, 0, 1) 0 0, b v w (0, 1, 3, 0) (0, 1,, 0) w w (0, 1,, 0) (0, 1,, 0) Entonces v 1 0 (1, 0, 0, 1) + 1 (0, 1,, 0) (0, 1,, 0). Finlmente podrímos tmbién hcerlo con un bse ortonorml. Por ejemplo, l resultnte de l bse ortogonl nterior, l dividir cd vector por su norm. Así tendrímos l bse ortonorml {w1 0,w0 } de W,con w1 0 w 1 w 1 ( 1 1, 0, 0, ), w 0 w w (0, 1,, 0). 5 5 Ls ecuciones serín similres ls de l bse ortogonl v w w 0 1 w b 0 w 0 w w 0 1 w 0 1 v w 0 0 w 0 1 w 0 + b 0 w 0 w 0 bw 0 w 0 1

13 luego 0 v w1 0 (0, 1, 3, 0) ( 1 1, 0, 0, )0, b 0 v w 0 (0, 1, 3, 0) (0, 1,, 0) Entonces v 1 0 ( 1, 0, 0, 1 )+ 5 (0, 1,, 0) (0, 1,, 0) L únic diferenci entre este cso y el nterior es que l despejr los vlores de ls ecuciones los denomindores vlen todos 1. Ejemplo 3.11 Consideremos en el espcio vectoril euclídeo R 4 con el producto esclr usul, el subespcio W < (1, 0, 0, 1), (1, 1,, 1) > yelvector v (,, 1, 0). Vmos hllr l proyección ortogonl de v sobre W. Sbemos que v v 1 + v, pr ciertos v 1 W y v W. En est situción v 1 es l proyección ortogonl de v sobre W. Tenemos que hllr un bse de W. En este cso es inmedito que los vectores u 1 (1, 0, 0, 1) y u (1, 1,, 1) nos sirven como bse de W. Entonces sbemos que v 1 αu 1 + βu. Pues bien, si multiplicmos esclrmente v con cd uno de estos vectores obtenemos por un ldo que v u 1 (v 1 + v ) u 1 v 1 u 1 + v u 1 (αu 1 + βu ) u 1 +0αu 1 u 1 + βu u 1, de donde, clculndo los productos esclres deducimos que α +β, y por otro ldo que v u 1 (,, 1, 0) (1, 0, 0, 1), u 1 u 1 (1, 0, 0, 1) (1, 0, 0, 1), u u 1 (1, 1,, 1) (1, 0, 0, 1), v u (v 1 + v ) u v 1 u + v u (αu 1 + βu ) u +0αu 1 u + βu u, de donde, hllndo hor los productos v u (,, 1, 0) (1, 1,, 1), u 1 u (1, 0, 0, 1) (1, 1,, 1), u u (1, 1,, 1) (1, 1,, 1) 7, deducimos que α +7β. Entonces resolviendo el sistem α +β α +7β obtenemos que α 1, β 0. Así, l proyección ortogonl del vector v sobre el subespcio W es v 1 1 (1, 0, 0, 1) + 0 (1, 1,, 1) (1, 0, 0, 1). 13

14 Otr form de hcerlo serí prtir de un bse ortogonl de W. En el ejemplo nterior l tenemos y clculd yes {w 1,w } {(1, 0, 0, 1), (0, 1,, 0)}. Entonces v 1 w 1 + bw y ls ecuciones que obtendrímos con l bse ortogonl serín luego v w 1 w 1 w 1 + bw w 1 w 1 w 1 v w w 1 w + bw w bw w v w 1 (,, 1, 0) (1, 0, 0, 1) w 1 w 1 (1, 0, 0, 1) (1, 0, 0, 1) 1, b v w (,, 1, 0) (0, 1,, 0) w w (0, 1,, 0) (0, 1,, 0) Entonces v 1 1 (1, 0, 0, 1) + 0 (0, 1,, 0) (1, 0, 0, 1). Finlmente podrímos tmbién hcerlo con un bse ortonorml. L tenemos y clculd en el ejemplo nterior {w 0 1,w 0 } {( 1, 0, 0, Ls ecuciones serín similres ls de l bse ortogonl 1 ), (0, 1,, 0)}. 5 5 luego v w w 0 1 w0 1 + b0 w 0 w0 1 0 w 0 1 w0 1 v w 0 0 w 0 1 w 0 + b 0 w 0 w 0 bw 0 w 0 0 v w 0 1 (,, 1, 0) ( 1, 0, 0, b 0 v w 0 (,, 1, 0) (0, 1 5, 1 ), 5, 0) 0. Entonces v 1 ( 1, 0, 0, 1 )+0 (0, 1,, 0) (1, 0, 0, 1). 5 5 L únic diferenci entre este cso y el nterior que l despejr los vlores de ls ecuciones los denomindores vlen todos 1. 4 Apéndice Ejemplo 4.1 Comprobr cuáles de ls siguientes plicciones son bilineles, y en cso firmtivo si represent un producto esclr: 1. En R : Ést no es bilinel porque (x, y) (x 0,y 0 )3 xx 0 +yx 0. (0, 0) (x 0,y 0 )3, ydeberíslirnulo. 14

15 . En R : Ést no es bilinel porque (x, y) (x 0,y 0 )x yy 0 + xy 0. (1, 0) (0, 0) 1, ydeberíslirnulo. 3. En R : (x, y) (x 0,y 0 )xy +3yx 0. Ést no es bilinel porque (1, 1) (0, 0) 1, ydeberíslirnulo. 4. En R : (x, y) (x 0,y 0 )x x 0 + yy 0. Ést no es bilinel porque (, ) (1, 1) 4 y deberí coincidir con [(1, 1) (1, 1)] En R : (x, y) (x 0,y 0 )xx 0 + yx 0. Sí es bilinel, bst utilizr l definición: (i) [(x 1,y 1 )+(x,y )] (x 0,y 0 )(x 1 + x,y 1 + y ) (x 0,y 0 ) (x 1 + x )x 0 +(y 1 + y )x 0 x 1 x 0 + x x 0 + y 1 x 0 + y x 0 y (x 1,y 1 ) (x 0,y 0 )+(x,y ) (x 0,y 0 )x 1 x 0 + y 1 y 0 + x x 0 + y x 0 y mbs coss coinciden. (i 0 ) (x, y) [(x 0 1,y 0 1)+(x 0,y 0 )] (x, y) (x x 0,y y 0 ) x(x x 0 )+y(x x 0 )xx xx 0 + yx yx 0 y (x, y) (x 0 1,y 0 1)+(x, y) (x 0,y 0 )xx yx xx 0 + yx 0 y mbs coss coinciden. (ii) [α(x, y)] (x 0,y 0 )(αx, αy) (x 0,y 0 ) (αx)x 0 +(αy)x 0 α(xx 0 + yx 0 )α[(x, y) (x 0,y 0 )] ytmbién (x, y) [α(x 0,y 0 )] (x, y) (αx 0, αy 0 ) x(αx 0 )+y(αy 0 )α(xx 0 + yx 0 )α[(x, y) (x 0,y 0 )]. Ahor bien, est plicción bilinel no es simétric (luego no es un producto esclr), pues (1, ) (0, 3) y sin embrgo no coincide con (0, 3) (1, )

16 6. En R [x], el espcio vectoril de los polinomios de grdo menor o igul que : p(x) q(x) p(x)q(x)dx donde [, b] es culquier intervlo de l rect rel. 1. Es bilinel: (i) [p 1 (x)+p (x)] q(x) p 1 (x)q(x)dx+ [p 1 (x)+p (x)]q(x)dx [p 1 (x)q(x)+p (x)q(x)]dx p (x)q(x)dx p 1 (x) q(x)+p (x) q(x). (i 0 ) p(x) [q 1 (x)+q (x)] p(x)q 1 (x)dx+ p(x)[q 1 (x)+q (x)]dx [p(x)q 1 (x)+p(x)q (x)]dx p(x)q (x)dx p(x) q (x)+p(x) q (x). (ii) ydelmismomodo. Es simétric: [αp(x)] q(x) αp(x)q(x)dx α p(x) [αq(x)] α [αp(x)]q(x)dx p(x)q(x)dx α[p(x) q(x)] p(x)[αq(x)]dx αp(x)q(x)dx p(x)q(x)dx α[p(x) q(x)]. p(x) q(x) p(x)q(x)dx 16

17 q(x)p(x)dx q(x) p(x). 3. Es definid positiv: Si p(x) es un polinomio culquier se tiene que p(x) 0 pr todo x luego p(x) p(x) p(x)p(x)dx p(x) dx 0. Prqueestcntiddfuesenul,comolintegrldeunfunciónrepresentelárequeencierrlgráfic, el único modo de ello, teniendo en cuent que l gráfic de l función está en el semiplno superior, serí que p(x) fuese l función nul. Hemos demostrdo pues que el único vector p(x) que cumple que p(x) p(x) 0es el vector nulo p(x) 0. 17