CÁLCULO TEMA 5 DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA

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1 CÁLCULO TEMA 5 DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA

2 . Conocimientos previos Pr poder seguir decudmente este tem, se requiere que el lumno repse: Límite de un función. Derivción y derivción n-ésim. Integrles indefinids elementles Integrl definid elementl 2. Introducción L derivción, o diferencición, y l integrción numérics son operciones muy frecuentes en computción científic. Otener nlíticmente l derivd de un función puede ser complicdo, incluso imposile cundo l función no es elementl, como ocurre con ls funciones de Bessel, empleds en propgción de onds o potenciles electrostáticos, ls ecuciones de Airy 2, utilizd en l físic de prtículs, o muchs otrs. Por otro ldo, encontrr un primitiv que nos permit clculr su integrl es, en numerosos csos, imposile. Muchs funciones se definen trvés de integrles que no pueden clculrse de mner exct, como pueden ser l función de error 3, ls funciones logritmo 4, seno integrl 5 y l función gmm de Euler 6, por citr lgunos ejemplos. En estos csos, es muy común empler ls técnics de diferencición e integrción numéric que se descrien en este tem. Por otro ldo, cundo únicmente conocemos el vlor de l función en un conjunto de puntos (x i, f i ), como ocurre con los resultdos de un experimento, sus derivds e Se conocen como funciones de Bessel ls soluciones de l ecución, x 2 y''+ xy'+ (x 2 n 2 )y = siendo n un número rel o complejo Un ecución de Airy tiene l form, prentemente simple, de L función de error tiene l form generl Erf (x) = L función logritmo tiene l form generl li(x) = L función seno integrl tiene l form Si(x) = x e t2 y'' = xy Est función extiende el concepto de fctoril los números complejos: Γ(z) = x x sen t t dt dt lnt dt t z e t dt Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

3 integrles sólo pueden otener numéricmente, lo cul motiv ún más l necesidd de otener derivds e integrles prtir de conjuntos discretos de dtos. 3. Concepto de Derivd f (x + Δx) f (x + Δx) f (x) f (x) Δx x x + Δx Figur 5-. Cociente incrementl L expresión: se denomin cociente incrementl de f en el punto x pr un vlor de x. Est expresión represent l pendiente de l secnte l gráfic de l función f que une los puntos (x, f(x)) y (x + x, f(x + x)). Entonces: L derivd de un función f(x) en un punto x es el límite del cociente incrementl, f (x + Δx) f (x) lim Δx Δx f (x + Δx) f (x) Δx Este vlor represent l pendiente de l rect tngente l gráfic de f en el punto (x, f(x)) y se d e n o t por f '(x) o dy dx o df dx tnα = lim Δx f (x + Δx) f (x) Δx f (x + Δx) f (x + Δx) f (x) f (x) x α Δx x + Δx Figur 5-2. Representción gráfic del concepto de derivd Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

4 Trs l definición forml de derivd podemos cercrnos un definición intuitiv. L derivd de un función f(x) podemos definirl como un función f (x) que es igul l rpidez o velocidd de cmio de f(x) con respecto x. L pendiente de l tngente l curv vrí tn rápidmente como lo hg el incremento de x cero. Conviene detenerse un momento e intentr visulizr dinámicmente sore l Figur 5-2 cómo l reducirse el incremento de x, es decir, l desplzrse en l figur hci l izquierd, su correspondiente imgen sore l figur, es decir, el vlor de l función en ese punto que vrí, se v cercndo l tngente l curv en x. Por tnto, l vrición de l pendiente de l tngente nos d l vrición del cmio de l curv pr los vlores de x. L importnci de visulizr este cmio se dee que es quí precismente donde se encierr todo el vlor del concepto de derivd. Medinte dicho concepto, tenemos un definición nlític de cómo medir el cmio de un función l ser recorrid. Por tnto, no es un representción gráfic más ni un rtefcto mtemático más o menos sofisticdo, es l representción rel del cmio que precimos en tntos fenómenos de l nturlez. De hí que el estudio de l derivd esté presente en todos los mnules y se l se del cálculo diferencil que re l puert l oservción y nálisis de csi todos los fenómenos físicos. Como decimos, hy muchos fenómenos físicos en los que nos interes medir l rpidez del cmio de un vrile. Por ejemplo, l velocidd es l rpidez del cmio de l posición de un móvil, y l celerción es l rpidez del cmio de l velocidd. Tmién puede demostrrse que l integrl de l celerción es l velocidd y l integrl de l velocidd es l posición. Por tnto l integrl y l derivd tienen un relción especil en cunto que pueden considerrse inverss l un de l otr: l integrl de un derivd devuelve l función originl, y l derivd de un integrl devuelve l función originl más o menos un vlor constnte. 4. Derivción numéric Ls técnics de derivción numéric estimn l derivd de un función en un punto x k proximndo l pendiente de l líne tngente en x k usndo vlores de l función en puntos cercnos dicho punto x k. L proximción l pendiente de l rect tngente puede hcerse de diverss forms como se muestr en l Figur 5-3. Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

5 () f (x k+ ) () f (x k+ ) (c) f (x k+ ) f (x k ) f (x k ) f (x k ) f (x k ) f (x k ) f (x k ) x k x k x k+ x k x k x k+ x k x k x k+ Figur 5-3 En l Figur 5-3 () se supone que l derivd en x k se estim clculndo l pendiente de l líne entre f(x k- ) y f(x k ), sí: f '(x k ) = f (x k ) f (x k ) x k x k Este tipo de proximción l derivd se denomin proximción por diferenci hci trás o diferenci regresiv. En l figur Figur 5-3 () se supone que l derivd en x k se estim clculndo l pendiente de l líne entre f(x k ) y f(x k+ ), sí: f '(x k ) = f (x k+ ) f (x k ) x k+ x k Este tipo de proximción l derivd se denomin proximción por diferenci hci delnte o diferenci progresiv. En l Figur 5-3 (c) se supone que l derivd en x k se estim clculndo l pendiente de l líne entre f(x k- ) y f(x k+ ), sí: f '(x k ) = f (x k+ ) f (x k ) x k+ x k Este tipo de proximción l derivd se denomin proximción por diferenci centrl. L clidd de los resultdos de estos tres tipos de cálculos depende de l distnci entre los puntos empledos pr estimr l derivd; l estimción de l derivd mejor l disminuir l distnci entre los puntos considerr. Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

6 5. Derivción numéric con MATLAB. L función diff Est función y l vimos en cpítulos nteriores trjndo sore vriles simólics y, por lo tnto, relizndo derivds simólics. En est ocsión hremos un uso de dich función sdo en su cpcidd de relizr diferencis sore vectores y mtrices y, por lo tnto, su cpcidd pr l derivción numéric. Puede que usted se pregunte cómo se l función si dee clculr diferencis o relizr un derivción simólic. L función puede determinr lo que se dese en cd momento nlizndo los rgumentos de entrd: si el rgumento es un vector, relizrá un cálculo de diferencis numérics. Si el rgumento es un expresión simólic reliz un derivción simólic. L función diff clcul diferencis entre vlores dycentes en un vector, generndo un vector con un vlor menos. Si l función diff se plic un mtriz, oper sore ls fils de l mtriz como si cd un de ells fuer un vector. Por tnto, l mtriz devuelt tiene el mismo número de columns pero un fil menos. Conviene, como en csos nteriores, consultr l yud de MATLAB pr ver tods ls opciones posiles. Como ilustrción, supongmos que el vector x contiene los vlores [ ] y que el vector y contiene los vlores [ ]. Entonces, el vector generdo por diff(x) es [ ], y el generdo por diff(y) es [ ]. L derivd f (x) = dy/dx se clcul medinte l división término término diff(y)./diff(x). Ce señlr que estos vlores de f (x) son correctos tnto pr l ecución de diferenci hci delnte como l de diferenci hci trás. L elección o distinción entre mos métodos pr clculr l derivd está determind por los vlores de xd que corresponden l derivd dy. Si los vlores correspondientes de xd son [ ], dy se clcul como diferenci hci trás. Si los vlores de xd son [ 2 3 4] los vlores se clculn como diferenci hci delnte. Ejemplo 5. Supongmos que tenemos l función dd por el polinomio siguiente: f (x) = x 5 3x 4 x x 2 +x 24 Diujr l gráfic. Clculr l derivd de est función dentro del intervlo [-4, 5] usndo un ecución de diferenci hci trás. Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

7 Solución Primero diujmos l función del enuncido. Tener en cuent l notción punto que utiliz MATLAB pr operr vectores componente componente. En este cso es necesri pr elevr l vrile los exponentes del polinomio: >> x = -4:.:5; >> f = x.^5-3*x.^4 - *x.^3 + 27*x.^2 + *x - 24; >> grid on >> title('f(x) = x^5-3x^4 - x^3 + 27x^2 + x - 24') >> plot(x, f); L gráfic del polinomio se muestr en l figur siguiente: Figur 5-4. Grá/ic del polinomio del Ejemplo 5.. Y hor podemos clculr l derivd. En los siguientes comndos, df represent l derivd y xd son los vlores de x que corresponden l derivd: >> df = diff(f)./diff(x); >> xd = x(2:length(x)); >> plot(xd, df) >> title('derivd de f(x)') Y l figur es l siguiente: Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

8 Figur 5-5. Grá/ic de l derivd del polinomio del Ejemplo 5. Osérvese el vlor de l vrile xd. Se h construido un vector con un vlor menos que el vector x, y que como hemos dicho, l producirse ls diferencis dicho vector tiene un componente menos. El comndo que hemos usdo se leerí crer un vector xd que se igul l vector x, empezndo en l segund posición y hst l longitud totl del vector x. Podemos provechr que tenemos los vlores de l derivd pr encontrr los puntos críticos de l función, es decir, los máximos y mínimos. Semos que si hy un máximo o un mínimo, su derivd se hce cero en ese punto (verificrlo en ls figurs 5-4 y 5-5). Si en esos puntos l derivd es cero, ntes será positiv y después será negtiv. Por tnto, si nosotros clculmos el producto de ls componentes de l derivd, cd un con l siguiente, quellos productos que sen negtivos nos indicrán que se h psdo de positivo negtivo o vicevers, es decir, que se h psdo por un punto crítico. Hremos esto con un pr de línes: Si vemos el contenido del vector critico oservmos que recoge los vlores de los máximos y mínimos locles de l función f(x): [ ]. Sus correspondientes >> producto = df(:length(df)-).*df(2:length(df)); >> critico = xd(producto < ); coordends y pueden ser otenids de l función por el mismo procedimiento: >> coordendy = f(find(x == -2.3)), coordendy = f(find(x == -.2)) >> coordendy = f(find(x ==.5)), coordendy = f(find(x == 3.4)) Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

9 Si quisiérmos clculr l derivd por medio de diferencis centrles usndo los vectores nteriores, solo tendrímos que tener cuiddo con los índices, es decir, ls posiciones, de los elementos restr, tnto en el numerdor como en el denomindor. Recuérdese que en % Uso de diferencis centrles pr el cálculo de f (x) numerdor = f(3:length(f)) - f(:length(f)-2); denomindor = x(3:length(x)) - x(:length(x)-2); dy = numerdor./ denomindor; xd = x(2:length(x)-); diferencis centrles entrn en juego los elementos, posiciones, k+ y k-: En el ejemplo nterior, hemos supuesto que tenímos l ecución de l función por diferencir; esto nos h permitido generr los puntos de l función. En muchos prolems de ingenierí los dtos por diferencir se otienen de experimentos. Por ello, no podemos escoger que los puntos estén más cercnos entre sí pr otener un estimción más exct de l derivd. En estos csos, podrí ser conveniente usr ls técnics del Tem 3 que nos permiten determinr un ecución que se juste un conjunto de dtos, y luego clculr puntos de es ecución pr usrlos en el cálculo de l derivd. Ejemplo 5.2 Los siguientes dtos representn vlores de telemetrí (tiempo y ltur) pr un cohete sond que está relizndo investigciones tmosférics en l ionosfer: Tiempo (s) Altur (m) Tiempo (s) Altur (m) Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

10 Tiempo (s) Altur (m) Tiempo (s) Altur (m) L función velocidd es l derivd de l función ltur. Usndo derivción numéric, clculr los vlores de velocidd prtir de estos dtos usndo diferenci hci trás. Diujr los gráficos de ltur y velocidd en dos gráficos distintos. (Ce señlr que se trt de un cohete en dos etps). % Introducimos los vlores de tiempo y ltur según los dtos en tl t = ::25; h = [ ]; % Diujmos l gráfic t/h suplot(2,, ), plot(t, h); title('cohete-sond: gráfico Tiempo-Altur') xlel('tiempo') ylel('altur') grid on % Cálculo de l derivd numéric (con diferencis hci trás) dh = diff(h)./diff(t); td = t(2:length(t)); % Diujo de l gráfic de l velocidd suplot(2,, 2),plot(td, dh); title('cohete-sond: gráfico Tiempo-Velocidd') xlel('tiempo') ylel('velocidd') grid on Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

11 Solución Y ls figurs quedn como se muestr l Figur 5-6: Figur 5-6. Gráfics de Altur y velocidd del Ejemplo 5.2. Ejemplo 5.3 Considere l siguiente ecución: y = f (x) = x 3 + 2x 2 x + 3 Definir un vector x desde -5 hst +5 y usrlo pr proximr l derivd de y con respecto x. L derivd de y con respecto x que se encuentr nlíticmente es: y' = f '(x) = 3x 2 + 4x Evlur est función con el vector x previmente definido. Cómo difieren los resultdos? Solución % Comprción entre derivd simólic y numéric % Derivción numéric x = -5:.5:5; y = x.^3 + 2*x.^2 - x + 3; dy = diff(y)./diff(x); dx = x(2:length(x)); suplot(, 3, ), plot(x, y), grid on, title('y = x^3 + 2x^2 - x + 3'), xlel('x'), Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

12 gtext('y') suplot(, 3, 2), plot(dx, dy, '-or'), grid on, title('dy = 3x^2 + 4x - '), xlel('x'), gtext('dy/dx (Num)') % Derivción simólic syms x y y = x^3 + 2*x^2 - x + 3; dy = diff(y); suplot(, 3, 3), ezplot(dy, [-5 5]), grid on, gtext('dy/dx (Sym)') Osérvese en l figur siguiente que ms derivds, numéric y simólic, coinciden siempre y cundo el número de puntos de recorrido de l vrile x se suficientemente grnde. En el ejemplo, Figur 5-7, segund gráfic, se hn considerdo 2 puntos. L derivd simólic se clcul con un pso de., es decir, superior puntos. Nótese tmién que se h utilizdo l función gtext que nos permite poner un título en tiempo de ejecución pr hcer más legile y clr l figur. Figur 5-7. Comprción entre derivds numérics y simólics L diferencición numéric es muy sensile los dtos. Esto quiere decir que l trtr con dtos experimentles, l distnci entre los mismos o los errores que hyn podido producirse por ruido o redondeo, fectn directmente l vlor de l pendiente de l curv, es decir, de l derivd. Por este motivo, normlmente no se us de derivción numéric si no se está muy seguro de los dtos experimentles recogidos y del número insuficiente de dtos pr representr con ciert grntí l función. Lo que suele hcerse Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

13 es utilizr lgun técnic de ls estudids en el Tem 3 pr otener un polinomio del grdo suficiente que nos permit representr l función con precisión. Con dicho polinomio y se puede clculr l derivd simólic como lo hemos hecho hst hor con un myor seguridd de que los resultdos otenidos no están sujetos los errores comentdos nteriormente. Podemos nlizr este error cometido entre l derivción numéric y l derivción simólic diujndo el vlor soluto del error con el siguiente código (sore el ejemplo nterior): % Clculmos el vlor de l función en l derivd simólic... d_error = sus(dy, x, [-4.5:.5:5]) % Hllmos el error por diferenci entre l derivd numéric y % simólic Ey = dy - d_error % Diujmos l figur del error (en vlor soluto)... plot([-4.5:.5:5], s(ey)), grid on, title('error entre l... derivd numéric y simólic'), xlel('x'), ylel('error... soluto') Figur 5-8. Error en el cálculo de l derivd numéric y simólic Si nlizmos l Figur 5-8 y l ponemos en comprción con l segund gráfic de l Figur 5-7, vemos que el error es myor cunto myor se l seprción entre puntos (menor en el vértice y myor en los extremos). Esto pone de mnifiesto l sensiilidd de l derivd numéric l seprción entre los puntos en el intervlo considerdo. Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

14 6. Integrción indefinid Definición: Se dice que un función F es un primitiv 7 de f en un intervlo I si F (x) = f(x) pr todo x en el intervlo I. Teorem: Si F es un primitiv de f en un intervlo I, entonces G es un primitiv de f en el intervlo I si y sólo si G es de l form G(x) = F(x) + C, pr todo x en I y donde C es un constnte. L primer consecuenci del teorem nterior es que podemos representr l fmili complet de primitivs de un función gregndo un constnte un primitiv conocid. Por ejemplo, siendo [x 2 ] = 2x, es posile representr l fmili de tods ls primitivs de f(x) = 2x por G(x) = x 2 + C. L C recie el nomre de constnte de integrción. Un ecución diferencil en x e y es un ecución que incluye ls vriles x e y y ls derivds de y. Por ejemplo, y = 3x o y = x 2 + son ejemplos de ecuciones diferenciles. L derivd y tmién se puede denominr l diferencil de y con respecto x y se escrie: y' = dy dx Cundo se resuelve un ecución diferencil de l form: dy dx = f (x) es conveniente escriirl en l form diferencil equivlente dy = f (x)dx L operción pr determinr tods ls soluciones de est ecución se denomin integrción indefinid y se denot medinte el símolo integrl: y = f (x)dx = F(x)+ C 7 Tmién se denomin veces ntiderivd Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

15 Condiciones iniciles y soluciones prticulres Se h visto que l ecución: y = f (x)dx tiene muchs soluciones (cd un difiriendo de otrs en un constnte). Esto signific que ls gráfics de culesquier dos primitivs de f son trslciones verticles un de otr. Ejemplo 6. En l Figur 5-9 se muestrn ls gráfics de vris primitivs de l form: y = (3x 2 )dx = x 3 x + C pr diversos vlores enteros de C. Cd un de ests primitivs es un solución de l ecución diferencil: dy dx = 3x2 + Figur 5-9. Fmili de funciones dependiendo del vlor de l constnte de integrción En muchs plicciones de l integrl, se d suficiente informción pr determinr un solución prticulr. Pr hcer esto, sólo se necesit conocer el vlor de y = F(x) pr un vlor determindo de x. Est informción recie el nomre de condición inicil. Por ejemplo, en l Figur 5-9, sólo un de ls curvs ps por el punto (2, 6). Pr encontrr dich curv se utiliz l siguiente informción: Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

16 F(x) = x 3 x + C F(2) = 6 Utilizndo l condición inicil en l solución generl, es posile determinr que F(2) = C = 6 C = Y por tnto, l solución prticulr pr est condición inicil dd es: F(x) = x 3 x = x(x 2 ) Otro ejemplo que nos yudrá comprender el importnte concepto de l solución prticulr: Ejemplo 6.2 Encontrr l solución generl de: F '(x) = x 2 con x > y determinr l solución prticulr que stisfce l condición inicil F() =. Solución Pr encontrr l solución generl, integrmos l expresión dd: F(x) = dx = x 2 dx = x + C = x 2 x + C, x > Utilizndo l condición inicil F() =, resolvemos pr hllr el vlor de C: F() = + C C = De tl modo, l solución prticulr, como se muestr en l Figur 5-, es: F(x) = + con x > x Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

17 Figur 5-. Fmili de funciones dependiendo del vlor de l constnte de integrción del Ejemplo 2 Ejemplo 6.3. Un prolem de movimiento verticl Un pelot se lnz hci rri con un velocidd inicil de 2 metros por segundo prtir de un ltur de 24 metros. Encontrr l función posición que expres l ltur s en función del tiempo t. Cuándo llegrá l pelot l suelo? Solución Considermos que el instnte t = es el instnte inicil. Ls dos condiciones iniciles pueden escriirse de l siguiente mner: s() = 24 s'() = 2 Utilizndo -9,8 m/s 2 como l celerción de l grvedd, se tiene: s''(t) = 9,8 s'(t) = s''(t)dt = 9,8dt = 9,8t + C Emplendo l velocidd inicil se tiene que s () = 2 = 9,8()+ C. De donde deducimos que C = 2. Después, integrndo s (t), se otiene s(t) = s'(t) = ( 9,8t + 2)dt = 4, 9t 2 + 2t + C 2 Utilizndo l ltur inicil como condición inicil, se encuentr que Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

18 s() = 24 = 4, 9()+ 2()+ C 2 Y por tnto C 2 = 24. De este modo l función posición es: s(t) = 4, 9t 2 + 2t + 24 Cundo l pelot lleg l suelo, s(t) =, 4, 9t 2 + 2t + 24 = Resolviendo, ls soluciones son -,9 y 5. Como el tiempo no puede ser negtivo, l pelot lleg l suelo los 5 segundos de ser lnzd. En l Figur 5- vemos l práol descrit. Figur 5-. Gráfic del movimiento verticl de l pelot del Ejemplo Integrción definid Definición.- Si f se define en el intervlo cerrdo [, ] y el límite: lim n Δx i= f (c i )Δx i existe, entonces f es integrle en [, ] y el límite se denot por n lim f (c i )Δx i = f (x)dx Δx i= Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

19 Este límite recie el nomre de Integrl Definid de f de. El número es el límite inferior de integrción, y el número es el límite superior de integrción. Propieddes de ls integrles definids. Si f está definid en x = entonces f (x)dx = 2. Si f es integrle en el intervlo [, ], entonces f (x)dx = f (x)dx 3. Si f es integrle en los dos intervlos definidos por, y c, de mner que < c <, f (x) dx = f (x)dx + f (x)dx c c 4. Si f y g son integrles entre [, ] y k es un constnte, entonces kf (x)dx = k f (x)dx [ f (x)± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx Teorem fundmentl del cálculo: Si un función f es continu en el intervlo [, ], y F es un primitiv de f en dicho intervlo, entonces: f (x)dx = F() F() Ejemplo 7. 3 " x 3 dx = x 4 % $ ' # 4 & 3 = = 2 Gráficmente, el vlor de l integrl definid nos proporcion el áre de l zon delimitd entre l función f(x) con el eje OX en el intervlo [, ]. Por ejemplo: Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

20 Ejemplo 7.2 Encontrr el áre de l región delimitd por l función: y = 2x 2 3x + 2 el eje OX y ls rects verticles definids por x = y x = 2. El áre será igul, A = 2 (2x 2 3x + 2)dx = # = % 2x3 3 3x2 $ 2 2x & ( ' ) = + 6 * ,. ( + ) - 2 = 3 L gráfic de l curv se muestr continución: Figur 5-2. Representción del áre de l curv del Ejemplo 7.2 Ejemplo 7.3 Clculr el áre de l función en el intervlo que se indic 4 3 xdx Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

21 A = 4 3 xdx = 4 = 3 x /2 dx " % = 3$ x3/2 ' # 3 / 2& 4 = 2(4) 3/2 2() 3/2 =4 Y su representción gráfic es: Figur 5-3. Representción del áre de l curv del Ejemplo 7.3 Ejemplo 7.4 Clculr el áre de l función en el intervlo que se indic 3 dx x A = 3 dx x 3 = [ ln x] = = ln3 ln = ln3 Y l figur que muestr el áre es l siguiente: Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

22 Figur 5-4. Representción del áre de l curv del Ejemplo 7.4 Ejemplo 7.5: Integrl definid de un vlor soluto. Clculr l integrl: 2 2x dx Si nos fijmos en l Figur 5-5 y l definición de vlor soluto, se puede reescriir el integrndo como se indic continución: 2 2x dx = (2x )dx = x 2 # $ x% 2 & + # x 2 + x $ % (2x )dx 2 & 2 ' = 4 + * ) ( 2 +, ( + )+ (4 2) ' 4 * ) ( 2, = A prtir de esto, es posile reescriir l integrl en dos prtes como se indic continución: # (2x ) pr x < ' % 2x = 2% $ % 2x pr x ( % &% 2 )% Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

23 Figur 5-5. Representción del áre de l función en vlor soluto del Ejemplo 7.5 Definición del vlor medio de un función en un intervlo: Si f es integrle en el intervlo cerrdo [, ], entonces el vlor medio de f en el intervlo es: Vlor medio = f (x)dx Ejemplo 7.6: Determinción del vlor medio de un función Determinr el vlor medio de l función: f (x) = 3x 2 2x en el intervlo [, 4]. f (x)dx = 3 ( 3x 2 2x)dx 4 = " # 3 x3 x 2 4 $ % = [ 64 6 ( ) ] = =6 Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

24 Ejercicio propuesto L velocidd del sonido A diferentes lturs de l tmósfer de l Tierr, el sonido vij diferentes velociddes. L velocidd del sonido s(x) (en metros por segundo) puede modelrse medinte # ' % % % 4x + 43 pr x <.5 % % % % 295 pr.5 x < 22% % 3 % s(x) = $ x pr 22 x < 32 ( % 4 % % 3 % % x pr 32 x < 5 % 2 % % % 3 x pr 5 x < 8 % & ) 2 donde x es l ltur en kilómetros. Cuál es l velocidd medi del sonido sore el intervlo [, 8]? Diujr l gráfic de l función s(x) con el vlor medio otenido. 8.- Aplicciones de l Integrl definid Curv en explícits. El áre limitd entre y = f(x), el eje OX y ls rects x = y x = es A = f (x) dx 2. El áre entre dos curvs f y g en el intervlo [, ] se clcul como: A = f (x) g(x) dx Not: pr resolver ests integrles se dee clculr primero el vlor soluto de l diferenci de funciones, es decir, cuál de ls dos funciones es l myor en el intervlo [, ]. Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

25 Curv en prmétrics Se C l curv dd por ls ecuciones prmétrics x = x(t), y = y(t) con t [t, t 2 ]. El áre limitd por l curv C y el eje OX es A = t 2 t y(t)x'(t) dt 2. El áre limitd por l curv C y el eje OY es A = t 2 t x(t)y'(t) dt Curv en polres El áre encerrd por l curv C dd por ρ = ρ(θ), pr θ [θ,θ 2 ] A = 2 θ 2 θ ρ(θ) 2 dθ Volúmenes de sólidos de revolución Figur 5-6. Representción del áre de un función expresd en coordends polres Si f es un función derivle en el intervlo [, ], entonces el volumen del sólido generdo l girr el áre jo l curv y = f(x) respecto del eje OX entre x = y x = es V = π f (x) 2 dx El volumen del sólido generdo l girr dich áre respecto del eje OY es Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

26 V = 2π xf (x) dx Áre de superficies de revolución Si f es un función derivle con derivd continu en el intervlo [, ], entonces el áre de l superficie generd hciendo girr lrededor del eje OX el rco de curv y = f(x) entre x = y x = es S = 2π f (x) + f '(x) 2 dx Longitudes Si f es un función derivle con derivd continu en el intervlo [, ], l longitud de l curv y = f(x) entre x = y x = es L = + f '(x) 2 dx 9. Integrles indefinids con MATLAB Aunque quí trtremos ls funciones que dispone Mtl pr l resolución de integrles tnto indefinids como definids, es preciso hcer un dvertenci previ. Relizr un integrl de form nlític puede convertirse en csi un rte. Es cierto que existen métodos muy estudidos pr resolver integrles, pero tmién es cierto que hce flt much práctic y hilidd pr dominr l resolución de ls misms y en muchos csos, l resolución dependerá de lo que comúnmente se h denomindo ide feliz, que no es más que un determindo cmio de vrile o mnipulción que no es trivil y que requiere muchs hors de esfuerzo pr llegr él. Sin pretender llegr conseguir que el lumno se un experto en l resolución de integrles, tmién es cierto que es necesrio que se diestre en l resolución mnul de ls misms pr conocer su complejidd, repsr técnics de mnipulción lgeric, trigonométric y otrs que le vendrán muy ien pr futurs tres y le costumrrán preprr su mente pr l resolución de prolems más complejos. Pr conseguir este fin, en el Apéndice Tl de integrles inmedits y más se ofrece un tl de integrles inmedits, y no tn inmedits, que pueden yudr l lumno en sus primeros psos en l resolución nlític de integrles. Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

27 MATLAB ofrece un función específic pr clculr integrles indefinids. Dich función es int(función,vrile), donde función es l función que queremos integrr y vrile es l vrile con respecto l cul queremos relizr l integrl. A continución resolvemos lgunos ejemplos con Mtl. Ejemplo 9. Resolver l integrl >> syms x I = ln(x + )dx x >> int(log(x +/x)) ns = 2*tn(x) - x + x*log(x + /x) Recordemos que hy que declrr como simólic l vrile x ntes de usr int. Ejemplo 9.2 Resolver l integrl: I = (sec 2 x senx)dx >> int((sec(x))^2 - sin(x)) ns = cos(x) + sin(x)/cos(x) Ejemplo 9.3 Resolver l integrl: I = sec x(tn x sec x)dx >> int(sec(x)*(tn(x)-sec(x))) ns = 2/(tn(x/2) + ) Ejemplo 9.4 Resolver l integrl: I = x 2 y 2 xydx (En l integrl, l vrile que no interviene se comport como un constnte) >> int((x^2)*(y^2)*sqrt(x*y), x) ns = Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

28 (2*(x*y)^(7/2))/(7*y) >> pretty(ns) 7/2 2 (x y) y Ejemplo 9.5 Resolver l integrl: I = xydx dy >>int(int((x*y), x), y) ns = (x^2*y^2)/4 >> pretty(ns) 2 2 x y Ejemplo 9.6 Resolver l integrl: >> syms I = sen (x)cos(x)dx >> int(sin(*x)*cos(*x)) ns = piecewise([ + ==, cos(2**x)/(4*)], [ == nd ~=, -cos(2**x)/(4*)], [ ~= nd + ~=, - cos(x*( - ))/(2* - 2*) - cos(x*( + ))/(2* + 2*)]) Merece l pen que nos detengmos estudir el ejemplo nterior. MATLAB no nos proporcion un únic solución, y que est dependerá de los vlores de y. En el primer cso, si + =, entonces l solución es: I = cos(2x) + C 4 En el segundo cso, si = y distinto de : Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

29 I = cos(2x) + C 4 Y en el tercer cso, si es distinto de y ( + ) es distinto de : I = cos[( )x] (2 2) Ejemplo 9.7 cos[( + )x] + C (2 + ) En versiones nteriores de MATLAB, l siguiente integrl no tení solución: I = cos(ln x)dx Y devolví el mensje: Explicit integrl could not e found Actulmente, con el cmio de motor de mtemátic simólic (de Mple MuPd), l solución puede encontrrse. Primero, resolveremos l integrl por medio de un cmio de vrile y dos plicciones de l integrl por prtes: I = cos(t) e t dt " I = cos(ln x)dx " $ $ # e t = u;e t dt = du # ln x = t; x = e t ;dx = e t dt%$ cos(t)dt = dv;v = sen(t) $ % $ I = cos(t) e t dt = e t sen(t) sen(t) e t dt} sen(t) e t dt " $ e t = u;e t dt = du # sen(t)dt = dv; cos(t) = v $ % $ I = e t sen(t) ' ( e t cos(t)+ = e t cos(t)+ cos(t) e t dt cos(t) e t dt) * = et sen(t) ' ( e t cos(t)+ I) * 2I = e t (sen(t)+ cos(t)); como ln x = t, entonces e t = x I = x sen(lnx)+cos(lnx) 2 Con MATLAB lo resolveremos del siguiente modo: Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

30 >> syms x >> f=cos(log(x)); >> integrl = int(f,x); >> pretty(integrl) x (cos(log(x)) + sin(log(x))) Integrles definids con MATLAB L función en MATLAB que resuelve ls integrles definids es l mism que resuelve ls integrles indefinids pero con un sintxis especil pr introducir los límites de integrción. Lo vemos con un ejemplo: Ejemplo. (del Ejemplo 7.6) Determinr el vlor medio de l función: f (x) = 3x 2 2x en el intervlo [, 4]. >> syms x >> f = 3*x^2-2*x; >> vlormedio=(/3)*int(f,, 4); vlormedio = 6 f (x)dx = 3 ( 3x 2 2x)dx 4 Ejemplo.2 Clculr el re limitd por ls curvs: f (x) = xe x g(x) = x 2 e x Ams curvs se cortn formndo un recinto cerrdo, cuy áre queremos determinr. Pr verlo, primero diujmos ls curvs: Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

31 >> x = :.:; >> f = x.*exp(-x); >> g = (x.^2).*exp(-x); >> plot(x,f) >> hold on >> plot(x,g, r ) >> grid on Y l figur es l siguiente: Figur 5-7 Áre encerrd entre ls curvs f(x) y g(x) del ejemplo.2 En l figur se ven los puntos de corte de ms funciones pero, cuáles son? Pr determinrlos resolvemos el sistem de ecuciones con y = f(x) e y = g(x), pr lo cul emplemos l función solve que y es conocid: >> solucion = solve(y == x.*exp(-x), y ==(x.^2).*exp(-x)) solucion = x: [2x sym] y: [2x sym] >> solucion.x ns =, >> solucion.y ns =, exp(-) Por tnto en los puntos (, ) y (, e - ) están los puntos de corte. Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

32 Si clculmos l integrl de f(x) en el intervlo [, ] tendremos el áre jo dich curv. Si le restmos el áre de l función g(x) en el mismo intervlo, tendremos el áre pedid. Lo vemos con MATLAB: >> Afx = int(x*exp(-x),, ) Afx = - 2*exp(-) >> Agx = int((x^2)*exp(-x),, ) Agx = 2-5*exp(-) >> Are = Afx - Agx Are = 3*exp(-) - Por tnto, el áre pedid es (3/e) -. Ejemplo.3 Determinr el áre de l región limitd por ls curvs: f (x) = x 2 + 3x g(x) = x 3 2x 2 + x Diujmos ls funciones: >> x = -2:.:3; >> f = -x.^2 + 3.*x -; >> g = x.^3-2.*x.^2 + x -; >> plot(x, f) >> grid on >> hold on >> plot(x, g, r') Y otenemos l siguiente figur: Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

33 Figur 5-8 Áre encerrd entre ls curvs f(x) y g(x) del ejemplo.3 Clculmos los puntos de corte: >> syms x y >> Cortes = solve(y == -x^2 + 3*x -, y == x^3-2*x^2 + x -) Cortes = x: [3x sym] y: [3x sym] >> Cortes.x ns = 2 - >> Cortes.y ns = - -5 Por tnto los puntos de corte encontrdos son (2, ), (, -) y (-, -5). Ahor hy que fijrse ien en l figur y tener en cuent que no existen ls áres negtivs. Si nos fijmos en el primer sector del áre, l que v desde el punto - l punto, el áre serí f(x) - g(x), pero pr que se un áre positiv deemos hcer -(f(x) - g(x)) o lo que es lo mismo g(x) - f(x). En el segundo sector del áre pedid, entre los puntos y 2, ps lo mismo siendo el sentido correcto f(x) - g(x). Dejmos que lo resuelv MATLAB: >> re = int((x^3-2*x^2 + x -) - (-x^2 + 3*x -), -, ) re = 5/2 >> re2 = int((-x^2 + 3*x -) - (x^3-2*x^2 + x -),, 2) re2 = 8/3 >> Are = re + re2 Are = 37/2 Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

34 Ejemplo.4 Encontrr el volumen del sólido formdo l girr l región cotd por l gráfic de y el eje x ( x ) lrededor del eje OX. V = π ( f (x)) 2 dx π = π ( sen x ) 2 dx o π = π sen xdx [ ] π = π (+) = 2π = π cos x f (x) = sen x Resolviendo con MATLAB: >> syms x >> volumen = pi * int(sin(x),, pi) volumen = 2*pi Ejemplo.5 Encontrr el volumen del sólido formdo l girr l región cotd por f (x) = 2 x 2 y g(x) = lrededor de l rect y =, como se muestr en l Figur 5-9 f (x) g(x) f (x) g(x) Figur 5-9 Áre de revolución lrededor de l rect y = Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

35 Igulndo ms funciones encontrmos los puntos de corte que son x = ±. Pr encontrr l porción de curv que generrá el volumen de revolución, restmos f(x) y g(x) como se muestr en l figur, dndo como resultdo - x 2. V = π Y con MATLAB: >> syms x y >> f = 2-x^2; >> g = ; >> cortes = solve(y==f, y==g) cortes = x: [2x sym] y: [2x sym] >> cortes.x ns = - >> cortes.y ns = >> Volumen = pi*int((f - g)^2, -, ) Volumen = (6*pi)/5 ( f (x)) 2 dx Ejemplo.6 = π ( x 2 ) 2 dx = π ( 2x 2 + x 4 )dx # = π x 2x2 3 + & % x5 ( $ 5 ' = 6π 5 Encontrr el volumen del sólido formdo l girr l región cotd por ls gráfics de y = x y = x 2 Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

36 lrededor del eje x, como se muestr en l figur 5-2. Integrndo entre y produce Figur 5-2 Volumen de revolución generdo por dos curvs lrededor del eje OX V = π " # f (x) 2 g(x) 2 $ % dx Suponiendo que se hn clculdo los puntos de corte con solve 8, l resolución de l integrl con MATLAB se present continución: >> syms x y >> f = sqrt(x); >> g = x^2; = π " #( x ) 2 (x 2 ) 2 $ % dx = π (x x 4 )dx " = π x2 2 $ ' x5 ( # 5 % = 3π >> Volumen = pi*int((f^2 - g^2),, ) Volumen = (3*pi)/ 8 Si tiene prolems con el cálculo de los puntos de corte, puede consultr el ejemplo.3. Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

37 Ejemplo.7 Encontrr l longitud del rco de l función: y = x x en el intervlo [ / 2, 2]. Figur 5-2 Longitud del rco (en rojo) de un curv dd (en zul) y' = 3x2 6 2x = " $ 2 2 x2 # x 2 2 ) L = + (y') 2 dx = + " 2 x2 %, + $ ' * # x 2. dx &- = 2 /2 /2 % ' & ) " 4 x %, + $ ' * # x 4. dx &- 2 " = x 2 + % $ 'dx 2 # x 2 & /2 = ) x 3 2 3, +. * x- 2 /2 = " % $ ' # 24 & = Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

38 >> syms x y >> y = (x^3/6)+ /(2*x); >> dx = diff(y) dx = x^2/2 - /(2*x^2) >> L = int(sqrt(+(dx)^2),.5, 2) L = 33/6 Ejemplo.8 Encontrr l longitud de rco de l función y = ln(cos x) en el intervlo [, π/4] como se muestr en l figur 5-22 Figur 5-22 Cálculo de l longitud de rco de l función y = ln(cos x) y' = sen x cos x = tn x L = + (y') 2 dx = + tn 2 xdx π /4 π /4 = sec 2 xdx π /4 = sec xdx π /4 = #$ ln sec x + tn x % & = ln( 2 +) ln,88 Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

39 >> dx = diff(log(cos(x))) dx = -sin(x)/cos(x) >> L = int(sqrt(+(dx)^2),, pi/4) L = log(2^(/2) + ) Ejemplo.9 Un cle eléctrico cuelg entre dos torres que están seprds 2 metros de distnci. El cle tom l form de un ctenri cuy ecución es: y = 75(e x/5 + e x/5 ) =5cosh x 5 Encontrr l longitud del rco del cle entre ls dos torres. y' = 2 (ex/5 e x/5 ) (y') 2 = 4 (ex/75 + e x/75 2) + (y') 2 = " 4 (ex/75 + e x/75 + 2) = % 2 (ex/5 + e x/5 ) # $ & ' L = + (y') 2 dx = 2 >> y = 75*(exp(x/5) + exp(-x/5)) y = 75*exp(-x/5) + 75*exp(x/5) >> dx = diff(y) dx = exp(x/5)/2 - exp(-x/5)/2 >> L = int(sqrt( + (dx)^2), -, ) L = 5*exp(-2/3)*(exp(4/3) - ) >> evl(l) ns = = 75" # e x/5 + e x/5 (e x/5 + e x/5 ) dx % & 5(e 2/3 + e 2/3 ) 25 metros 2 Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

40 Ejemplo. Encontrr el áre de l superficie formd l girr l gráfic de: f (x) = x 3 en el intervlo [, ] l girr lrededor del eje OX. f '(x) = 3x 2 S = 2π f (x) +[ f '(x)] 2 dx = 2π x 3 = 2π 36 + (3x 2 ) 2 dx 36x 3 (+ 9x 4 ) /2 dx = π "(+ 9x 4 ) 3/2 % $ ' 8# 3 2 & = π " # 27 3/2 % & >> syms x y >> y = x^3; >> dy = diff(y) dy = 3*x^2 >> S = 2*pi*int(y*sqrt(+(dy)^2),, ) S = 2*pi*((5*^(/2))/27 - /54) >> evl(s) ns = Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

41 . Integrción numéric con MATLAB Muchos prolems de ingenierí requieren el cálculo de l integrl definid f (x)dx, limitd l intervlo [, ]. A menudo es muy dificultoso, o incluso imposile, clculr est integrl nlíticmente. En tles csos podemos proximr l integrl definid por medio de un sum ponderd de un serie de vlores de función, f (x ), f (x ),..., f (x n ) evluds, o medids, en n puntos x i del intervlo [, ]. Esto es: f (x)dx i f (x i ) n i= Los coeficientes i se llmn multiplicdores o pesos. A continución se citn lgunos csos donde no tendremos más remedio que utilizr est proximción: () El integrndo nos es ddo por un expresión mtemátic pero dicho integrndo no puede ser expresdo como un cominción de funciones elementles. Por ejemplo e x2 dx + cos 2 xdx senx x dx π /2 cos x x dx dx ln x dx x 4 (2) Integrles que sí pueden ser expresds por funciones elementles pero su evlución es muy tedios. En est ctegorí incluimos numerosos csos en los cules no podemos conocer si existe o no un form más sencill de l integrl. L úsqued de es integrl más sencill requiere tiempo y esfuerzo y el éxito no está segurdo y es, por tnto, mucho más práctico recurrir l integrción numéric. (3) Integrles de funciones definids por tls u otenids medinte evluciones o medids en cierto número de puntos y no por expresiones mtemátics. En este cso se utiliz el término de integrl dd en form tulr. MATLAB utiliz dos funciones pr clculr estos tipos de integrles. L primer trpz, proxim el áre de l función uscd entre los límites definidos medinte trpecios. L Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

42 segund función es integrl y l veremos más delnte. Vemos en el ejemplo.: Semos que el áre de ls siguientes integrles definids es. 9 sen x dx 9 cos x dx Vemos cómo se clcul con MATLAB: >> ngulo = :5:9; % Evlumos en [ ] >> x = (pi*ngulo/8) ; % Cálculo en rdines >> y = [sin(x) cos(x)]; % Clculmos de un vez el seno y coseno >> trpz(x, y) ns = Vemos que el error cometido por l proximción trpecios es del,57%. Podemos mejorr el resultdo umentndo el número de trpecios evludos, es decir, evlundo más puntos en el recorrido del ángulo: >> ngulo = :5:9; % Evlumos en [ ] >> x = (pi*ngulo/8) ; >> y = [sin(x) cos(x)]; >> trpz(x, y) ns = L función nterior, trpz, utiliz un descomposición en trpecios pr clculr l integrl por proximción. Existe otr función, integrl, que clcul el áre de form más sofisticd y demás es cpz de trjr con funciones que tienen singulriddes. Además, permite expresr l tolernci, es decir, el error máximo con el que se quiere otener l solución. Veámoslo con en el ejemplo.2: π.5 sen x dx x Est integrl no tiene solución nlític y deemos, por tnto, utilizr forms de integrción numéric: Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

43 >> formt long; >> fun sin(x)/x; >> S = integrl(fun,.5, pi, 'ArryVlued',true, AsTol',e-9) S = Merece l pen detenerse un momento en el nálisis del código nterior. Primero de todo, l función integrl no dmite directmente l expresión del integrndo dentro de l función. Necesit pr operr que le psemos un mnejdor (hndle). Esto lo hcemos medinte l definición de un función nónim que es definid en l primer líne medinte l En segundo lugr, oservmos el prámetro ArryVlued estlecido true. Esto es necesrio pr indicrle l función integrl que l entrd y l slid serán evluds como un list de vlores que se irán clculndo y proximndo l tolernci expresd por AsTol, que expres l tolernci solut o el error con el que se quiere otener el resultdo. Por último, hemos introducido el comndo formt long pr que el resultdo pued ser expresdo con los decimles que indic l tolernci. Ejemplo.3: cálculo de trjo de fronter móvil En este ejemplo se utilizrán ls técnics de integrción numérics de MATLAB pr encontrr el trjo producido en un pistón l resolver l ecución: W = V 2 V P dv Con se en l suposición de que PV = n R T donde P = Presión en K, V = Volumen en m 3, n = número de moles, kmol, V =m 3 V = 5m 3 Figur 5-23 Expnsión de un pistón pr producir trjo (W) R = constnte universl de los gses 8,34 K m 3 /K kmol T = tempertur, K (grdos Kelvin) Tmién se supone que el pistón contiene mol de gs 3 K y que l tempertur permnece constnte en todo el proceso. Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá

44 Encontrr el trjo producido por el pistón que se muestr en l figur 5.23 Resolvemos el prolem con MATLAB: % Cálculo de trjo de fronter móvil cler, clc, formt short % Definición de ls constntes % Se limpi pntll y vriles n = ; % número de moles del gs R = 8.34; % constnte universl de los gses T = 3; % tempertur en ºK % Definición de l función nónim pr l presión Presion n*r*t./v; % Uso de l función integrl % Cremos l función nónim Presión Trjo = integrl(presion,, 5) Trjo = 4.43e+3 oo Tem Prof. Dr. Igncio Grcí Juliá