TEMAS DE MATEMÁTICAS (OPOSICIONES DE SECUNDARIA)

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1 TEMAS DE MATEMÁTICAS (OPOSICIONES DE SECUNDARIA) TEMA 48 ESPIRALES Y HÉLICES. PRESENCIA EN LA NATUTALEZA, LA TÉCNICA Y EL ARTE. 1. Intoducción. 2. La espial de Aquímedes: Descipción y ecuación. Actividades. 3. La espial equiangula: Descipción y ecuación. Popiedades. 4. Otas espiales Hipebólica De dos, tes, cuato centos o de paso De Dueo. 5. Hélices Ecuaciones de la Hélice. 6. Helicoides. Descipción y constucción. Bibliogafía Recomendada. 1/8

2 TEMA 48 ESPIRALES Y HÉLICES. PRESENCIA EN LA NATUTALEZA, LA TÉCNICA Y EL ARTE 1.- INTRODUCCIÓN. Existen en la Natualeza numeosos ejemplos de fomas enolladas cuya epesentación gáfica es una espial o una hélice. Se tata en casi todos los casos de un cecimiento en foma de gio ligado a una expansión, po ejemplo: las galaxias espiales, las conchas de las caacolas y otos moluscos, el cecimiento de una planta tepadoa a lo lago de un sopote, las astas de los caneos, etc. Igualmente, el hombe ha necesitado también estas fomas unas veces po necesidades pácticas y otas po necesidades estéticas. El diseño de una escalea de caacol, constucción de muelles y solenoides son ejemplos pácticos; las espiales en vasos, los volantes en aquitectua, etc., son manifestaciones atísticas. El estudio de ellas se dificulta siempe poque las coodenadas ectangulaes no son idóneas. Se pecisan coodenadas polaes. No obstante puede conseguise una apoximación a ellos válida paa último cuso de ESO (con muchas esevas y pescindiendo de ecuaciones), y sobe todo paa las matemáticas de la foma, del futuo Bachilleato atístico. Estudiaemos en pime luga las espiales, en especial las de Aquímedes, y la logaítmica o equiangula. Se citaan también otas espiales y falsas espiales. 2.- LA ESPIRAL DE ARQUÍMEDES. Es la más antigua conocida. Ya Aquímedes la citaba como ejemplo de la tayectoia que sufe un punto móvil sometido a un gio a velocidad angula constante y a un cecimiento del adio también constante. Se puede detemina su ecuación fácilmente: Si á es el ángulo de gio en adianes, V a la velocidad angula y t el tiempo, se tiene: α = V a t Si es el adio de gio, V 1 la velocidad constante de cecimiento del adio, se tiene: = V1t. eliminando t: α = V = kα 1 V a 2/8

3 = kα Ecuación espial de Aquímedes en c. polaes. Es cuioso el paecido que existe ente una ecta que pase po el oigen en coodenadas ectangulaes y = mx, y la espial de Aquímedes en coodenadas polaes = kα. La foma de la espial de Aquímedes la detemina el valo de k pues la distancia ente dos espias se obtiene estando los adios de dos espias consecutivas al da una vuelta completa. ' = k( α + 2π) = kα ' = 2kπ lo que pueba que la anchua de la espial es constante. Es clao también que al aumenta el adio las espias se vayan paeciendo cada vez más a cicunfeencias. Actividades: 1.- Puede tantease la foma de la espial usando papel pola, o macando con ayuda de un semicículo gaduado ángulos cada 5º y deteminando los adios coespondientes. 2.- Igualmente, un pocedimiento en LOGO muy sencillo pemite simula espiales de foma muy apoximada PARA ESPIRAL :LADO :INC :ANGULO AV :LADO GD :ANGULO ESPIRAL :LADO + :INC :INC :ANGULO FIN (Es conveniente indica valoes pequeños, po ejemplo ESPIRAL constuye una poligonal que ya se paece a una espial). Como el incemento de lado es constante también lo es el del adio. 3.- Un pocedimiento dinámico más útil, es el de los alfaeos. Sobe el pivote cental se coloca una egla fija, y se desplaza un lápiz a velocidad constante de dento afuea. El lápiz descibe una espial, y la foma de la espial depende de la velocidad del tono, y de la velocidad con que se desplaza el lápiz. Este método, que explica po qué se utiliza tanto la espial de Aquímedes como motivo atesanal, puede simulase también con un tocadiscos y un papel colocado sobe él. 3/8

4 3.- LA ESPIRAL EQUIANGULAR. La Natualeza no entiende de velocidades constantes, y así el cecimiento suele depende de lo cecido hasta entonces. Así, las espiales en la Natualeza no suelen mantene la distancia ente espias. Como intoducción, modifiquemos el pocedimiento LOGO anteio así: PARA ESPIRAL2 :LADO :RAZON :ANGULO AV :LADO GD :ANGULO ESPIRAL2 :LADO*:RAZON :RAZON :ANGULO FIN y pobemos, po ejemplo con ESPIRAL Al descibi la totuga de LOGO un segmento foma con un tiángulo. El siguiente segmento dibujado foma con oto tiángulo semejante al anteio siendo la azón de semejanza 1 1. Entonces P n-3 n-2 P n-2 n-1 5 o L P n-1 5 o n L.1'1 P n n n+ 1 = 1'1 O En este tipo de espiales el adio no se incementa cada vez una longitud constante, sino que aumenta un pocentaje del valo anteio. Supongamos ahoa que el adio aumenta cada 1º un pocentaje del 2%, e intent e- mos halla una fómula que mida (la línea descita seá poligonal). º 1º + '2 = (1 + '2) 2º (1 + '2) + (1 + '2)'2 = (1 + '2) Paa un ángulo x (múltiplo de 1º) seá: x 1 (1 '2) = + 2 Intentemos halla una expesión paa cualquie valo de x, aunque no sea múltiplo de 1º. Si dividimos el intevalo [x, x + 1] anteio en n pates, y así mismo que apoximamos cada el pocentaje de cecimiento sea, se tendía 1 '2 n n ' '2 = 1 + n nx 1 4/8

5 La expesión eal del adio debeía se '2x n 1 nx '2 '2 1 1 = lim 1 lim 1 + = = e n n n + n '2 La ecuación en polaes de la espial equiangula es: ' 2x 1 = e siendo k constante. Expliquemos lo que significa k. Ente dos vueltas consecutivas: k ( θ + 2π ) = e ' e = k( θ + 2π ) e ' = e = e 2kπ = cte. Además, si fijamos un ángulo è, se tiene (è = è + h) veifica: ' = e ', y cualquie ángulo è >è = k ( θ ' + h) ' kh e = e = e e = ' e kh. Luego a pati del punto (è, ) la espial es una copia ampliada (azón de semejanza ) de la espial inicial. Po eso se dice que la espial equiangula es una cuva de cecimiento amonioso. 4.- OTRAS ESPIRALES Hipebólicas. Cualquie ecuación en polaes donde no sea peiódica (es deci, que dependa diectamente de è) puede popociona una espial. Po ejemplo = epesenta una k θ espial hipebólica, cuya foma depende mucho de los intevalos de ángulo consideado De dos, tes o cuato centos o de paso 2. Pueden considease otas falsas espiales: espiales de dos centos, de tes centos, de cuato centos, etc., o constuidas mediante acos de cicunfeencias cuyas longitudes y adios están en una popoción dada, po ejemplo 2, el númeo áueo (espial de Dueo, etc.). 5/8

6 A B A B C 4.3. Espial de Dueo Espial áuea o de Dueo. Vaiantes de ella son, po ejemplo, la de paso gnómico 2, donde dos adios consecutivos están en esa popoción. 5.- HÉLICES. La hélice es una foma muy abundante en la Natualeza: la foma de cecimiento de las plantas tepadoas, la disposición de las bácteas de una piña, los cuenos de muchos umiantes. En otos casos es menos accesible peo quizás más impotante: la doble hélice de la cadena de ADN. También en la técnica se utiliza la hélice y sus popiedades: muelles, sacacochos, tonillos, escalea de caacol, etc. Puede considease la hélice como geneada po un punto del espacio que gia alededo de un eje, y se desplaza paalelamente al mismo. Actividades: 1.- Puede constuise una hélice con una expeiencia. Se coloca un cilindo de catón hueco sujeto sobe un plato giadiscos y bien centado. Fijamos una egla a lo lago de una de las geneatices y desplazamos el lápiz sobe el cilindo apoyado en la egla que ha de queda fija. 2.- Como puede que el exponente anteio esulte muy pequeño, se sugiee esto oto: sobe un vaso cilíndico gotea un poco de miel. Hay una mosca situada en ota geneatiz. Cuál es el camino más coto paa la mosca paa llega a la miel?. 6/8

7 Si hacemos un desaollo plano, vemos que dicho camino es la línea ecta. Tazando de nuevo obtenemos un aco de hélice. 3.- Es posible constui una hélice tazando sobe un folio líneas paalelas a longitud constante (solo es peciso que al fabica el cilindo casen las líneas) Ecuaciones de la Hélice. x = cosα y = sin α z = kα α IR los puntos de la hélice están contenidos en el cilindo de ecuación x = y. Al descibi un gio completo, si P(x, y, z) es un punto de hélice paa un valo á, P (x, y, z ) es un punto de la hélice situado sobe la geneatiz paa el valo α + 2π siendo z ' = ( α+ 2π) k, luego el paso de la hélice es, entonces, 2ðk. Es fácil medi la longitud de una espial (ecoida po la hélice ente dos pasos consecutivos po la misma geneatiz si ecuimos nuevamente a los desaollos planos. Ejemplo: x = y = z = 3cosα 3sin α 2α La longitud de una espia es L = π + 16π = 52π 7.- HELICOIDES. La misma idea de hélice sugiee ota posibilidad, qué ocue cuando no es constante y depende de á Ejemplo: x = acosa y = asin a a IR z = a 2 2 Repesenta una línea, peo los puntos de L línea veifican x + y 2 z =. Está po tanto contenida en un cono y ecibe el nombe de helicoide. En la Natualeza existen numeosas muestas de helicoides, po ejemplo, en cietos caacoles. 7/8

8 Estos movimientos son geneados po 3 elementos: un gio alededo del eje, una taslación vetical paalela al eje y un alejamiento del eje. Sin embago, son muy complejas po lo que se ecue a otas técnicas. Puede ocui que la distancia ente espias se mantenga a lo lago de una geneatiz o que no (al igual que ocuía con las espiales). Actividad: Si desaollamos el cono en el plano y dibujamos espiales con una plantilla pola (espiales incompletas po supuesto) al constui el cono se epoduce la helicoide (téngase en cuenta que las dos geneatices deben uni). Bibliogafía Recomendada. No existe bibliogafía matemática adecuada paa un tema tan novedoso. Casi todas las actividades son epescadas de aquí y allá. Podíamos cita: Mathemática vielle ealitá de Inma Castelnuovo de 12 a 16: un poyecto de cuiculo de matemáticas, gupo Ceo. Publicaciones de los centos de pofesoes y gupos de tabajo de matemáticas. Dibujo Técnico con vaias editoiales, en especial Buño. 8/8