MATEMATICAS I Primer curso de Ciencias Ambientales / Curso HOJA 1

Transcripción

1 MATEMATICAS I Primer curso de Ciecias Ambietales / Curso HOJA 1 1. E 1978, H. Cavedish realizó ua serie de 9 experimetos co objeto de medir la desidad de la tierra. Sus resultados, tomado como uidad la desidad del agua, fuero: a) Represeta los datos por medio de u diagrama de tallos y hojas. b) Halla la mediaa y los cuartiles; represeta los datos por medio de u diagrama de caja y bigotes. Cálculos ecesarios para el cálculo del diagrama de cajas y bigotes. Mediaa. Como hay 9= (14) 1 datos. La mediaa es el dato x 15 m = x 15 = 5, 46 Cuartiles El primer cuartil es la mediaa del primer grupo de datos. E este caso teemos 9 datos asi que el primer grupo so 14. Como 14 es par la mediaa sera (x t + x 8 )/ Por tato Del mismo modo para Q 3 Q 1 = m(x 1 : x 14 ) = x 7 + x 8 = 5, 9 + 5, 9 = 5, 9 Barreras y rago itercuartil Q 3 = m(x 16 : x 9 ) = x + x 3 = 5, , 6 = 5, 615 (R.I) = (Q 3 Q 1 ) = 0,35; 1,5R.I = 0, 4875 (B.I.I) Barrera Itercuartil iterior iferior, (B.I.E) Barrera itercuartil iterior exterior B.I.I = Q 1 1,5R.I = 4,805, B.I.E = Q 3 + 1,5R.I = 6,01 Como o existe datos fuera de las barrera iteriores o calculamos la exteriores. c) Halla la media y la desviació típica. x = 1 x i = 5, 4479, v x = 1 i=1 (x x i ) = 1 i=1 x i x = 0, 0471, s x = v x = 0, 17 d) Agrupar los datos e 5 clases y hallar la media y la desviació típica co los datos agrupados. Defio las clases A 1 = (4, 8; 5, ), A = [5, ; 5, 4), A 3 = [5, 4; 5, 6), A 4 = [5, 6; 5,8), A 5 = [5, 8, 6) Calculo la tabla de frecuecias absolutas, relativas y acumuladas (Por completitud o me haria falta e este caso). Defio la marca de clase como el puto medio de la clase. A 1 A A 3 A 4 A 5 marcas a k 5 5, 3 5, 5 5, 7 5, 9 frecuecias absolutas k frecuecias relativas f k = k 0, 103 0, 310 0, 310 0, 41 0, 034 frecuecias relativas acumuladas F k = i j=1 j 0, 103 0, 413 0, 74 0, i=1 1

2 Formula para la media e caso de datos agrupados (Supoemos que tuvieramos datos simples e los que cada vez que tego u dato e la clase A k me sale la marca a k ). Como f k = k las siguietes fórmulas so equivaletes x = 1 k=1 ka k = k=1 f ka k = 5, 448 Para la variaza hago lo mismo. Tomo la fórmula mas secilla v x = 1 k a k x = f k a k x = 0, 05 Importate: Usar e esta fórmula, la media obteida mediate datos agrupados. Y la desviació típica s x = v x = 0, 5 e) Se puede cosiderar que hay datos atípicos? No porque o hay datos fuera de las barreras itercuartiles.. El maíz es u alimeto importate para los aimales pero carece de alguos amioácidos que so eseciales. U grupo de cietíficos desarrolló ua ueva variedad que sí coteía iveles apreciables de dichos amioácidos. Para comprobar la utilidad de esta ueva variedad para la alimetació aimal se llevó a cabo el siguiete experimeto: a u grupo de 0 pollos de 1 día se les sumiistró u pieso que coteía haria de maíz de la ueva variedad. A otro grupo de 0 pollos (grupo de cotrol) se le alimetó co u pieso que sólo se difereciaba del aterior e que o coteía haria de la variedad mejorada de maíz. Los resultados que se obtuviero sobre las gaacias de peso de los pollos (e gramos) al cabo de 1 días de alimetació fuero los siguietes: Variedad ormal Variedad mejorada a) Para comparar las dos distribucioes, represeta los dos diagramas de caja y bigotes e u mismo gráfico. Qué se puede deducir de estos diagramas? b) Cuáles so las medias y desviacioes típicas de los datos de ambos grupos? Qué diferecias hay etre ambos? : Los datos se ecuetra e el fichero Excel. Observamos que la variedad mejorada aumeta los estadisticos de cetralizació (media y mediaa) y dismiuye los estadisticos de dispersió variaza y distacia itercuartil. Asi que e pricipio el experimeto es positivo respecto a la mejora del graño. 3. La EPA (Agecia de Protecció del medio ambiete de EEUU) exige a los fabricates de automóviles que idique los cosumos, tato por ciudad como por carretera, de cada uo de sus modelos. A cotiuació se preseta los datos de cosumo por carretera de 30 modelos de automóvil de 1994, expresados e litros por cada 100 km: 1, 3 9, 1 10, 1 10, 4 9, 7 11, 3 11, 3 10, 8 9, 7 10, 1 10, 8 10, 5 11, 3 9, 7 10, 8 10, 5 1, 8 1, 3 10, 8 11, 3 9, 1 11, 8 11, 8 14, 1 10, 8 18, 8 10, 8 10, 4 10, 1 10, 8 a) Represeta los datos co u diagrama de tallos y hojas. b) Cuál es el cosumo mediao? 10,8 Cuátos litros por cada cie km. debe cosumir como máximo u automóvil para estar etre el 5 % de modelos que cosume meos? Nos esta pregutado cual es el primer cuartil. Ordeados de mayor a meor queremos saber el umero que delimita el primer cuarto de los datos. Recordamos Q 1 = m(x 1 ; x 1 5) = x 8 = 10, 1

3 c) Halla la media y explica cómo se compara co la mediaa. x = 11, 14 La media se aleja e parte de la mediaa debido a la existecia de u dato atípico y otro extremadamete atípìco 4. El úmero de acidos e España e 1995, por grupos de edades de la madre, es el siguiete Necesitamos hallar la tabla de frecuecias relativas y acumuladas a) Elabora u histograma que represete estos datos. b) Halla la mediaa, los cuartiles y la distacia itercuartílica. Dibuja u diagrama de caja y bigotes. c) Elige marcas de clase y halla la media y la desviació típica de la variable edad de la madre. Los datos se ecuetra e el fichero Excell. 5. La tabla siguiete da las emisioes de CO (TM per capita), Reta per capita (GNI) e idice de aumeto de la població (porcetaje aual) de 4 paises e 004 Pais RPC Emisioes I.Població Pais RPC Emisioes I.Població Albaia ,51 Egipto ,83 Algeria ,7 F iladia ,18 Agola ,9 F racia ,39 Argetia ,0 Georgia ,35 Australia ,9 Alemaia ,01 Armeia ,31 Espaa ,15 Austria ,13 Guatemala ,78 BosiaHerzegovia , 15 Idia ,67 Bagladesh 440 4,08 Ira ,86 Belgica ,16 Japo ,08 Bolivia ,55 Libao ,30 Brasil ,10 M alasia ,8 Bulgaria ,91 M ejico ,18 U K ,8 Rusia ,5 Cameru ,8 Suecia ,17 Chile ,00 suda 530 8,64 Chia ,56 U SA ,9 Colombia ,5 T urquia ,1 Cogo ,08 V eezuela ,44 Croacia ,0 U craia ,7 Checoslovaquia ,04 V ietam ,05 Hacer u diagrama de tallos y hojas de las variables RPC y emisioes, calcular los cuartiles y hacer u diagrama de caja. Calcular la media y desviació típica. (Fuetes: El estudiate iteresado puede cosultar los datos completos e estas pagias web, e particular se puede decidir u ivel de pobreza de los datos del problema y compararlo co el cosiderado e obteido de los datos de todos los pauses del mudo). 3

4 6. Estamos iteresados e la variable X= Tiempo de vida (e días) de ua especie de isectos. a) E ua muestra pequeña de 11 isectos, los resultados muestrales fuero: 0, 5, 13, 18, 3, 5, 0, 15, 8, 40, 7 Cuál es el tiempo mediao de vida? Los ordeamos: 13, 15, 18, 0, 0, 5, 5, 7, 8, 3, 40 x 6 = 5 b) E ua muestra grade, los resultados obteidos se resume de la siguiete forma: Percetil Tiempo de vida Hallar el tiempo medio de vida (idicado previamete las clases, marcas de clase y frecuecias proporcioadas por la iformació muestral). : Teemos que iterpretar la iformacio de los percetiles e termios de clases y frecuecias relativas. El percetil 30 igual a 18 quiere decir que el 30Es decir que la frecuecia relativa de la clase [0,18] es 0,3. Aálogamete defio las clases A 1 = (0, 18], A = (18, ), A 3 = (, 6], A 4 = (6, 30] A 1 A A 3 A 4 marcas a k frecuecias relativas acumuladas F k 0, 3 0, 5 0, 7 1 frecuecias relativas f k = F k F k 1 0, 3 0, 0, 0, 3 La expresió de f k = F k F k 1 os iforma de como calcular las frecuecias relativas a partir de las acumuladas. E este caso o podemos coocer las frecuecias absolutas! Co la tabla de frecuecias podemos ya calcular los estadisticos. El resultado o es úico pues depede de la elecció de las marcas x = f k a k = 0, , 0 + 0, 4 + 0, 3 8 = 19, 9 7. Co el fi de cotrolar la cotamiació de u río, todas las semaas se hace ua medició del ivel de ácido úrico. a) Las medicioes durate 9 semaas fuero: Hallar el ivel mediao de ácido úrico. : 5,5,5,7,7,9,10,1,13 m = (x 5 + x 6 )/ = 8 b) E u estudio más completo, las medicioes semaales de ácido úrico se resumiero de la siguiete forma: Percetil Nivel de ácido úrico Hallar el ivel medio de ácido úrico y dibujar el histograma (idicado previamete las clases, marcas de clase y frecuecias proporcioadas por la iformació muestral). A 1 = (0, 6], A = (6, 8], A 3 = (8, 1], A 4 = (1, 18] 4

5 A 1 A A 3 A 4 marcas a k frecuecias relativas acumuladas F k 0, 0, 4 0, 7 1 frecuecias relativas f k 0, 0, 0, 3 0, 3 x = f k a k = 0, 3 + 0, 7 + 0, ,3 15 = 9,5 8. Se ha estudiado la edad del público de u cie dode se exhibe ua película para mayores de 18 años, e las dos últimas sesioes. Los datos obteidos so: Edad (18, 3) (3, 8) (8, 33) (33, 38) (38, 43) (43, 48) (48, 68) Asistetes a) Calcular la edad media de los asistetes y elaborar u histograma. E este caso os da las marcas de clase y las frecuecias absolutas k. Calculamos = k k = = 300 Co las defiicioes obvias de clases la tabla es, A 1 A A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 marcas a k 0,5 5,5 30., 5 35,5 40,5 45,5 58 frecuecias absolutas k frecuecias relativas f k = k 0, 0, 66 0, 166 0, , 1 0,0666 0,0666 frecuecias relativas acumuladas F k = F k 1 + f k 0, 0, 466 0, 633 0, ,866 0,933 1 Edad media x = 31,666 b) Qué edad hay que teer para estar etre el 5 % más jove de los asistetes? Nos pide el percetil 5 es decir el primer cuartil. Lo hacemos e dos pasos El itervalo cuartil es A ya que la frecuecia acumulada de A 1 es 0. y la de A es Ahora iterpolamos calculado la recta que pasa por (3, 0,) y (8, 0,466). La ecuació de la recta que pasa por (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ) es y y 0 = y 1 y 0 x 1 x 0 (x x 0 ) E euestro caso (x 0, y 0 ) = (3, 0,); (x 1, y 1 ) = (8, 0,466), y = 0,5. Sustituyedo Despejado x = 3 + 0,5 0, = 0,466 0, (x 3) (0,5 0,) = 3, ,466 0, c) Si hubiera otro espectador más co 97 años, cómo ifluiría este dato sobre la media y sobre la mediaa? Justificar la respuesta si hacer igú cálculo. Nigua de las dos se veria muy afectada porque el umero de datos es 300. De las dos la mediaa se veria meos afectada porque es mas robusta que la media. Asi que la uica modificacio e su calculo seria que iterpolariamos etre 60/301 = 0,199333, 80/301 = 0,4651. La media se modificaría u poco mas porque iterviee todas las frecuecia y ademas ifluye el valor. Notar que para la modificació de la mediaa da igual que el uevo expectador tega 90,10 o 3000 años si fuera posible. Si embargo este dato si es relevate para la media. 9. Se ha estudiado la edad de los excursioistas que visita el Parque Regioal de la Pedriza e u domigo de primavera. Los datos obteidos so: 5

6 Edad Visitates a) Elaborar u histograma que represete estos datos. A 1 A A 3 A 4 A 5 A 6 marcas a k ,5 frecuecias absolutas k frecuecias relativas f k = k 0,05 0,7 0,4 0, 0,05 0,01 frecuecias relativas acumuladas F k = F k 1 + f k 0,05 0,3 0,7 0,94 0,99 1 b) Hallar la edad media de los visitates. x = 6, 95 c) Qué edad hay que teer para estar etre el 40 % más jove de los visitates?(hacer ua iterpolació lieal). Buscamos primero el itervalo que deja la frecuecia acumulada e medio y es A 3. Teemos que iterpolar etre (0, 0,3) y (30, 0, 7) y hallar la x para que y sea 0,4. Obteemos que x = ,7 0,3 (0,4 0,3) = 3, Estimamos que el 40 % de los visitates tiee meos de 3, años. (la estimació solo es fiable si se cumple que la distribucio de los visitates etre 0 y 30 años es homogeea). 6