Razones y Proporciones

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1 Instituto Ncionl de Chile Deprtmento de Mtemátic Prof. Luis Arncibi Año 2008 Rzones y Proporciones Definición Rzón: Cociente entre dos cntiddes; : b como rzón debe leerse es b, y l rzón es el cociente; generlmente se not como frcción. No import l nturlez de ls cntiddes representds por los números. Ejemplo : en un cnsto, ls pers son ls mnzns como 3 es 5. Definición Proporción Es l iguldd entre dos rzones. Su notción riguros es : b :: c : d y se lee es b como c es d; quí y d son extremos, b y c medios. Y l proporción se verific, si y sólo si, el producto de los extremos es igul l producto de los medios, es decir, ( : b :: c : d) ( d = c d) Un notción busiv, unque más cómod es b = c d iguldd de frcciones. d = b c, el inconveniente es que se confunde con l Con esto podemos formulr un cntidd de teorems, que espermos no pregunten por su nombre sino que su plicción. Sólo por su msividd, usremos l notción busiv, es decir b = c d = bc d Teorems Hipótesis Generl: b = c d 1) c = b d permut los medios 2) d b = c permut los extremos 3) c d = b simetrí 4) b = d c recíproc 5) + b b 6) + b = = c + d d 7) b = + c b + d = c d Etc. componer ntecedentes c componer consecuentes c + d sum de ntecedentes y consecuentes Ls combinciones son muchs, sólo que deben ser demostrds 1 l.rncibi@institutoncionl.cl

2 podrímos considerr l siguiente situción b = c d = e f como hipótesis, entonces serí l tesis. b = α + βc + γe αb + βd + γf Como ejemplo demostrremos el cso 5) Hipótesis: b = c d Sumemos 1 mbos miembros + b b b = c d +1 b + 1 = c d + 1 = c + d, lo cul es l tesis d l 6) puede ser primero 5) y después 4) sobre ell Hy otrs especificciones, como en l proporción b = b, donde se denomin proporción continu y b recibe el nombre de medi proporcionl. o d reciben el d nombre de tercer proporcionl En l proporción b = c d culquier de los términos se llm curt proporcionl. Por lo generl, los problems que involucrn proporcionlidd se dn entre conjuntos, ún cundo ést teorí es muy nterior l de conjuntos. Sen A = { 1, 2, 3,... n } y B = {b 1, b 2, b 3,..., b n } dos conjuntos, sus elementos se relcionn según sus índices, es decir, ( 1, b 1 ); ( 2, b 2 ); ( 3, b 3 );...;( n, b n ). Se dice que A y B son directmente proporcionles, si y sólo si: 1 b 1 = 2 b 2 = 3 b 3 =... = n b n = k; donde k es l constnte de proporcionlidd. De quí 1 = k b 1, 2 = k b 2, 3 = k b 3,..., n = k n. Su gráfic es un rect de l form y = 1 k x Se dice que A y B son inversmente proporcionles, si y sólo si : 1 1 b 1 = 2 1 b 2 = 3 1 b 3 =... = n 1 b n = K, por propieddes ritmétics y/o lgebrics, tmbién se not 1 b 1 = 2 b 2 = 3 b 3 =... = n b n = K De quí se tiene que : 1 = K b 1, 2 = K b 2, 3 = K b 3,..., n = K b n, y su gráfic es un curv (un brzo de un hipérbol) 2 l.rncibi@institutoncionl.cl

3 Gráfics de: un proporción direct un proporción invers L proporcionlidd es l más prolífic de ls ides Mtemátics, estudi l vrición y el cmbio. Sus plicciones son muchs. Es ltmente constructivo el rzonmiento ritmético involucrdo, sin embrgo, deberemos scrificr todo esto pr poder responder l evlución que se hrá l finl del proceso, l que contempl muy poco de cd tem. Cuándo nos enfrentmos un problem, cómo sber que se trt de proporciones? 1 ero Si no dice explícitmente que se trt de proporciones Cómo reconocerl? Lmentblemente l respuest es sentido común en lgunos csos será fácil, por ejemplo si hy velocidd, tiempo y distnci, si hy precios y rtículos, si hy ldos y áres, rists y volúmenes, etc. que vn vrindo. 2 2do Cómo sber si es direct o invers? Será direct si mbs cntiddes comprr umentn o mbs disminuyen. Será invers si l umentr un disminuye l otr, y vicevers. 3ero Si son más de dos conjuntos qué hcer? Reconocer el conjunto en el cul está l pregunt y comprrlo con cd un de ls otrs. 4to Cómo llegr tener sentido común Rzonndo cd situción que se plnte e intentr su resolución con lgún método ritmético. Asocido l concepto de proporción está el de porcentje o tnto por ciento; tmbién se us el tnto por mil, unque mucho menos. Si l rzón es es b, y b es, entonces se trt de un porcentje ( es el ntecedente y b el consecuente). Ls situciones con porcentjes se reducen los siguientes csos fundmentles: I) Clculr el % de un cntidd C II) Qué porcentje es un cntidd b de un cntidd C? III) De qué cntidd es b el %? Cso I) Clculr el % de un cntidd dd C El problem se resuelve clculndo el ntecedente de un rzón de consecuente C de modo que su vlor se igul l rzón porcentul. Es decir, clculr x en l rzón x C de modo que x C =, en este cso el vlor de x es el % de C, de l proporción se deduce que x = C 3 l.rncibi@institutoncionl.cl

4 Cso II) Qué porcentje es un cntidd b de un cntidd C En este cso se nos pide el ntecedente de l rzón porcentul de modo que su vlor se igul l de l rzón b : C Es decir, clculr x en l rzón x : de modo que se deduce que x = b C x = b, en este cso b es el x% de C, de l proporción C Cso III) De qué cntidd es b el %? El problem rdic en conocer el consecuente de un rzón cuyo ntecedente es l cntidd b de modo que se igul l rzón porcentul. Es decir, clculr x en l rzón b : x de modo que b x =, en este cso b es el % de x, de l proporción se deduce que x = b Los problems de porcentje son muy usdos en ls operciones comerciles y se prestn muy bien pr construir pregunts. Por ejemplo: Si el precio de vent rroj un utilidd del 10 % sobre el costo Cuál es el costo si l vent es por $ ? El vlor del costo está considerdo 11 veces en el precio de vent, por lo tnto el costo es de $ Qué porcentje es de b? Un Problem Doñ Florind mndó Kiko comprr post con un 12 % de grs, y como Kiko es pjrón, el crnicero le dio con un 18 % de grs. Doñ Florind reclmó l crnicero y éste le dio un trozo de post de 1 4 Kg prácticmente sin grs, y juntándol con l otr se stisfizo el 12 % Cuánt crne mndó comprr doñ Florind? Vemos un rzonmiento: se x l cntidd que doñ Florind mndó comprr, de ést un 18 % es grs, es decir de x post 18 x es grs, y se greg Kg de post sin grs por lo tnto x es hor el 12 % de x por lo que (x ) 12 = 18 x 12x + 3 = 18x = 6x = 3 = x = 1 2 Doñ Florind mndó comprr 1 2 kg de post con 12 % de grs y se l dieron con 18 %. Comprobemos: 12 % de Kg = 3 4 = 0, 09, es decir 90 grmos y 18 % de Kg = 1 2 grmos, con lo que corrobormos l respuest. = 0, 09, tmbién 90 Un corroborción generl se llm demostrción. El crnicero por engñr un niño perdió 1 4kg de post, con l que tuvo que compensr su engño. Que bien nos sentirímos los chilenos si en un prueb Ncionl se preguntse lgo como esto y demás fuese bien respondido; l espernz nunc se pierde. 4 l.rncibi@institutoncionl.cl

5 Actividdes comunes son ls referentes los empréstitos, los cules se pgn en cuots. Cundo este lo reliz un entidd bncri o finncier cobr interés compuesto, el cul proyect de cuerdo con un índice ddo por el Bnco Centrl, y este lo mortiz en cuots fijs. Su cálculo es un lgoritmo con porcentjes o un simple fórmul exponencil que puede resolverse con logritmos. En un prueb se podrí preguntr este tem con períodos cortos de dos o tres cuots (meses). Por ejemplo: Don Rmón pidió l Sr. Brrig (prestmist y rentist) un préstmo de $.000 pr pgárselo en tres cuots igules con un 5 % de interés mensul. Si nos fijmos bien sólo un mes tiene los $ por lo que h cumuldo un interés de $ Si en l primer cuot pgse 1 3 del préstmo más los intereses, entonces deberí pgr $ ; el segundo mes deberí pgr el 5 % de $80.000, es decir $4.000 de interés, en totl $ y por último el tercer mes pgrí el 5 % de más los $40.000, es decir $ Totl: $( ) = , en resumids cuents $ de interés. Si los $ se prestn por tres meses l 5 % mensul, los intereses scienden 120, = 18,000 Es clr l diferenci. L cuot de Don Rmón serí $ 132,000 3 = $44,000 5 l.rncibi@institutoncionl.cl

6 Ejercicios 1) Cuánto cuestn 27 durznos, si vle $ 240 l docen? A) $480 B) $540 C) $600 D) $450 E) ningun nterior 2) Si M : N = 1 : 10 y N : P = 1 : 10, cundo P = 10, entonces cuánto vle M? A) 0,1 B) 2 C) 0,6 D) 5 E) 0,2 3) x 8 = y 3 y x y = 5, determinr x e y. A) 2; 5 B) 8; 0,3 C) 8; 3 D) 2; 1 E) 3; 8 4) El 12 % de 5 6 es: A) 0,4 B) 0,2 C) 6 D) 0,1 E) ningun nterior 5) Un grifo que entreg 0,6 litros de gu por segundo, llen un pilet en 21 hors. Cuánto trdrá en llenrl otro grifo que d 0,9 litros por segundo? A) 14 hors B) 15 hors C) 10 hors D) 12 hors E) otro vlor 6) Si m = b y n = b c, entonces m n =? A) b B) c2 b 2 C) c b 2 D) E) c 7) Comprmos p scos de pps en n pesos. Cuántos scos de pps podemos comprr con s pesos? A) sp n B) snp C) sn p D) np s E) ningun de ls nteriores 8) Un person gstó $ lo que equivle l 25 % de su sueldo, entonces su sueldo es de: A) $ B) $ C) $ D) $ E) $ ) Si 64 se divide en tres prtes proporcionles 3, 5, 8, l prte más pequeñ es:? A) 15 B) 12 C) 10 D) 13 E) 16 6 l.rncibi@institutoncionl.cl

7 10) Un utomóvil subió un pendiente 10 km/hr y bjó por l mism pendiente 20 km/hr. L velocidd promedio en el vije de id y vuelt es de: A) 15 km/hr B) poco menos de 15 km/hr C) poco ms de 15 km/hr D) depende de l distnci E) no se puede sber con estos dtos 11) Si el rdio de un esfer ument en un 10 %. En qué porcentje ument su volumen? A) (1, 1 3 )% B) (1, 1 3 1)% C) (1, 1 2 )% D) ((10 %) 3 )% E) 30 % 12) Si 1 x + y = 2 y x + 1 = 3, cuál es l rzón x : y? y A) 3:2 B) 2:3 C) 1:2 D) 2:1 E) otr rzón 13) El complemento de un ángulo es l suplemento de este mismo ángulo como 1 : 3. El ángulo mide: A) 90 o B) 30 o C) 50 o D) 45 o E) N.A. 14) Se = 4cm. y b el ldo de un cudrdo. Si : b = 1 : 2; entonces l mitd del áre del cudrdo es: A) 64 cm 2 B) 32 cm 2 C) 4 cm 2 D) 16 cm 2 E) 8 cm 2 15) Pr construir un cs se usron 180m 3 de concreto. Pr l tercer prte se ocupó un mezcl de 1 : 3 (un prte de cemento por tres prtes de ren) y pr el resto se ocupó un mezcl de 1 : 4. Cuántos metros cúbicos de cemento se utilizron en totl? A) 50 B) 20 C) 39 D) 24 E) 15 16) Un jugdor de tenis gnó 8 prtidos y perdió 24. L rzón entre los prtidos perdidos y los jugdos es: A) 1 4 B) 1 3 C) 2 3 D) 3 4 E) ) En un clse hy 18 niños y 12 niñs. L rzón entre el número de niñs y el totl de l clse es: A) 2 3 B) 3 5 C) 2 5 D) 1 15 E) ) En l proporción 2x A) 2 B) 3 C) 4 D) E) 5 x+5 = 3 4 el vlor de x es: 19) Si con m obtengo. nrnjs, con (m 2) obtengo: A) (m 2) nrnjs B) 2 nrnjs (m 2) C) nrnjs m m D) m 2 nrnjs E) N. A. 7 l.rncibi@institutoncionl.cl

8 20) 4 lápices cuestn n y 6 cudernos cuestn m. Cuánto cuestn 2 lápices y 3 cudernos? 21) Si 8 20 = x 30 A) m + n 2 B) m + n 5 C) m + n 6 D) m + n 10 E) 3n+2m 4 es un proporción, entonces x =? A) 2 B) C) 12 D) 18 E) 24 22) Si un uto recorre Km. en un hor, entonces en un hor y 25 minutos recorrerá: A) + 12 B) + 25 C) + 60 D) E) ) Si x : y = 3 : 2 5x + y = 34, entonces el vlor de y es: A) 4 B) 5 C) 6 D) 6,5 E) 10 24) Si (x 2 y 2 ) : (x + y) = 48 : 16, entonces (x y) 2 =? A) 9 B) 964 C) 16 D) 1296 E) 36 25) Si x : y = 2 : 3, el vlor de ( x + y ) cundo y = 6 es: A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10 26) Un metro es equivlente 0,1 decámetro. Cuántos decámetros son 0,5 metros? A) 0,05 B) 0,02 C) 0,5 D) 5,0 E) N. A. 27) En un fiest los de los invitdos son csdos, cuál es l rzón entre csdos y solteros? A) 2 : 3 B) 2 : 1 C) 3 : 1 D) 3 : 2 E) 1 : 3 28) Dos ángulos suplementrios están en l rzón 4 : 5. Cuánto mide el menor de ellos? A) 40 B) 50 C) D) 80 E) Otro vlor. 29) Por cd $ 7 que recibe Jun, Pedro recibe $ 5. Si Jun recibe $ 70 más que Pedro, cuánto recibe Jun? A) $ 245 B) $ 175 C) $ 120 D) $ 98 E) $ 50 8 l.rncibi@institutoncionl.cl

9 30) Ls áres de un cudrdo de ldo m, de un rectángulo de ldos m y 2m y de un triángulo de bse m y ltur m están, respectivmente, en l rzón de A) 2 : 4 : 1 B) 2 : 3 : 1 C) 1 : 2 : 4 D) 2 : 4 : 2 E) 4 : 2 : 1 31) Dos números enteros están en l rzón 5 : 3 y l sum de ellos es - 24.L diferenci entre el menor y el myor es: A) 6 B) 9 C) 15 D) 6 E) 9 32) Un trzo p mide 2r cm. y un trzo q mide (3p + r) cm. L rzón entre el trzo p y el trzo q es: A) 2 : 4 B) 2 : 3,5 C) 1 : 7 D) 1 : 3,5 E) No se puede determinr. 33) Con 25 gr de leche en polvo se pueden preprr 200 cc de leche líquid. Cuántos litros de leche se pueden preprr con 1 kilogrmo de leche en polvo? A) 4 B) 8 C) 20 D) 40 E) 80 34) Si : b = 2 : 3 y + b = 15, entonces 2b =? A) 9 B) 12 C) 3 D) 6 E) 24 35) Los ángulos interiores de un triángulo están en l rzón 3 : 5 : 10. Cuánto mide el suplemento del ángulo menor? A) B) 80 C) 90 D) 150 E) ningun nterior 36) Un cordel mide 2,4 m., se deben hcer dos nudos de modo que los tres segmentos en que qued dividido sen entre sí como 3 : 4 : 5. Cuál es l medid que debe tener el segmento myor? A) 60 cm B) 80 cm C) cm D) 120 cm E) 140 cm 37) Si H hombres hcen un trbjo en D dís, entonces H + r hombres pueden hcer el mismo trbjo en: A) D + r dís B) D r dís C) HD H+r dís D) D H+r dís E) D(H+r) H dís 38) Si l es l longitud del ldo de un cudrdo y p es el perímetro del mismo. Cuál(es) de ls siguientes firmciones es(son) verdder(s)? I) l : p = 1 : 4 II) l es directmente proporcionl p III) l = 4p A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III 9 l.rncibi@institutoncionl.cl

10 39) Con ciert cntidd de dinero se pueden comprr 18 blones $ n cd uno. Si se ument el precio de cd blón en $. El número de blones que se pueden comprr con el mismo dinero es: A) 18(n + ) B) 18 n+ C) 18n n+ D) 18n + E) n ) Cuál es el vlor de x y x? (1) x : y = 2 (2) y = 3 A) (1) por sí sol B) (2) por sí sol C) Ambs junts (1) y (2) D) Cd un por sí sol, (1) ó (2) E) Se requiere informción dicionl 41) El lrgo de un rectángulo es de 24 cm. Su áre es : (1) El lrgo y el ncho están en l rzón de 5 : 3 (2) El perímetro y el áre están en l rzón 2 : 5 A) (1) por sí sol B) (2) por sí sol C) Ambs junts (1) y (2) D) Cd un por sí sol, (1) ó (2) E) Se requiere informción dicionl 42) Cuál es el vlor de 2x + y 2z? (1) x : y : z = 2 : 3 : 1 (2) x + y 2z = 56 A) (1) por sí sol B) (2) por sí sol C) Ambs junts (1) y (2) D) Cd un por sí sol, (1) ó (2) E) Se requiere informción dicionl 43) Cuánto es el 0,1 % de 0,1? A) 0,1 B) 0,01 C) 0,001 D) 0,0001 E) Ningun de ls nteriores 44) Cuánto es el 0, 35% de 11 7? A) 0, 5 B) 0, 5 C) 0, 05 D) 0, 005 E) 0, ) Qué porcentje es 0, 12 de 0, 15? A) 80 % B) 60 % C) 40 % D) 20 % E) 125 % 46) Si 189 x = 27 qué porcentje es 189 de x? A) 5 % B) 70 % C) 27 % D) x% E) Ningun de ls nteriores 47) Si 210 es el 70 % de un número. Cuál es el número? A) 30 B) 70 C) 300 D) 480 E) l.rncibi@institutoncionl.cl

11 48) es el 0, 7% de los 3 4 de qué número? A) 480 B) 160 C) 360 D) 14 E) Ningun de ls nteriores 49) El 25 % del 40 % de 250 es: A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 50) El 30 % de es b y el 10 % de b es 6. Cuánto vle? A) 50 B) C) 150 D) 200 E) ) El 60 % de 80 es igul l (40 %de70) + z. Cuál es el vlor de z? A) 40 B) 20 C) 60 D) 76 E) 70 52) Cuánto vle el 14 % del reciproco de 7 5? A) 7 2 B) 25 7 D) C) 3 5 E) Ningun de ls nteriores 53) Cuánto vle el reciproco del 20 % de 10 7? A) 30 B) 7 C) 2 7 D) 20 7 E) ) Cuánto vle el 40 % de l mitd del reciproco de 5 7? A) 7 2 B) 25 7 C) 8 5 D) 7 25 E) ) Cuál es l 5 prte del 11 % de $? A) 5 : 11 B) 11 : 5 C) 11 : 5 D) ( 11 ) : 5 E) Otro vlor 56) Un mercderí que vle $p se vende con $q l contdo y el sldo con un recrgo del 10 % en 6 cuots igules. Cuál es el vlor de cd cuot? A) p (p q) 10 : 6 B) ((p q) + (p q) 10 : 6 C) (p q) q 10 : 6 D) (p q) 10 : 6 E) p q 10 : 6 57) En un liceo con 700 lumnos hn probdo 679. Cuál es el porcentje de reprobdos? A) 5 % B) 10 % C) 11 % D) 15 % E) Ningun de ls nteriores 11 l.rncibi@institutoncionl.cl

12 58) Un empledo gst l mitd de su sueldo en comer, l mitd de lo que le qued en un hbitción ; l mitd de lo que qued en movilizción y el resto en gstos vrios. Entonces en movilizción gst de su sueldo. A) 6 % B) 8 % C) 1 8 % D) 12,5 % E) 6, 25 % 59) En que porcentje debe umentr el numerdor de l frcción 5 8 A) 10 % B) 0,125 % C) 20 % D) 40 % E) 75 % pr que vlg 0,75? 60) Si un deud de $ se le hce un descuento de b % y se le permite pgr en 4 mensuliddes igules. Cuál es el vlor de cd mensulidd? A) ( b ) : 4 B) ( b ) : 4 C) b : 4 D) ( b ) : 4 : 4 E) b - 61) Un liceo tiene n lumnos. El p % de ellos está en 4 t o medio y el q % del resto está en 3 ero medio. Cuántos lumnos hy en 3 ero medio? q A) (n p) B) (n np ) q C) (n p ) q D) n nq E) (n nq ) p 62) Si el señor A recibe un comisión del 5 % por sus vents. A cuánto scendieron sus vents, si recibió $ como comisión? A) $ B) $ C) $ D) $ E) $ l.rncibi@institutoncionl.cl