TIPOS DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD

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1 Aálisis matemático TEMA 1 TIPOS DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD Las fucioes poliómicas Las fucioes cuadráticas so las que se expresa mediate u poliomio del segudo grado, de la forma: f(x)= ax + bx + c. Su represetació gráfica siempre es ua parábola. La gráfica de la fució tedrá las siguietes características: El vértice está situado e el puto (p,q) cosiderado la fució e la forma a(x-p) + q. E esta fórmula el coeficiete a determia si la parábola se ecuetra más abierta o más cerrado (cuato mayor es a mas cerrada) y el sigo de ese mismo a determia si las ramas de la parábola va hacia arriba (positivo) o hacia abajo (egativo). P y q los podemos relacioar co la fórmula geérica de la fució cuadrática mediate las fórmulas: p= -b / a y q= c (b / 4a) La tasa de crecimieto de ua fució cuadrática aua dos coceptos diferetes. Por u lado la tasa de crecimieto habitual seria restar el resultado de la fució e el puto meos el resultado e el puto 1 dividido por puto meos puto 1. Ello os lleva a la tasa istatáea de crecimieto de ua fució f e u puto a como la tasa de crecimieto etre a y a+h cuado h es muy pequeño o dicho de otra forma, su límite tiede a cero. Tasa de crecimieto: f(x) f(x1) / x x1 Tasa istatáea de crecimieto: lim(h0) f(a+h) f(a) / h La derivada de u poliomio es fudametal para el estudio de la tasa de crecimieto istatáeo, es decir, cuado ua fució es icremetal e u puto, y cuado es decreciete (lo cual os ayuda tambié a saber los máximos y míimos que tiee. Para ello es ecesario y básico hacer la derivada del poliomio. Para explicarlo aquí teemos u ejemplo de ello: a la izquierda teemos el poliomio de cuarto grado: f(x)=1/4x 4-4/3x 3-7/x + 10x; y a su derecha la derivada. f (x)= X 3 4X 7X Observamos e la dibujo superior como la derivada es positivo (se matiee por ecima del eje de las x) cuado el poliomio es creciete; mietras que se ecuetra bajo el eje de las x o sea es egativa cuado su poliomio es

2 Aálisis matemático decreciete. Además corta la derivada el eje de las x e los máximos y míimos de su fució correspodiete. El álgebra de los poliomios Para poder hacer fácilmete maipulacioes e poliomios debemos recordar alguos hechos algebráicos que os ayudara a operar co ellos: 1. U poliomio de grado co coeficietes reales, tiee raices. Estas raíces puede ser reales o complejas, simples o múltiples.. Las raices complejas, que o os iteresa demsiado, va siempre de dos e dos, es decir u poliomio de grado debe teer, -, -4 raices reales: Si el poliomio es de grado impar, podemos ecotrar al meos ua raiz real, o 3, 5, 7 ; si es par ecotraremos 0,, Si u poliomio tiee los coeficietes eteros y algua raíz etera, ésta será u divisor del térmio idepediete del poliomio. 4. Si x0 es la raiz de u poliomio p(x) etoces este poliomio es divisible por (x-xo); es decir, se puede determiar u poliimo q(x) tal que p(x)=(xxo)*q(x). 5. Se dice que x0 es raíz multiple de u poliomio si (x-xo) es divisor de p(x). 6. Ua raíz de u poliomio es múltiple si y solo si es tambié raíz de la derivada del poliomio. O sea, si u resultado de x para u poliomio da 0 y tambié da 0 para ese mismo resultado e su derivada; e el poliomio origial esa raiz toca el eje de las x pero o lo atraviesa (es raíz múltiple). 7. El comportamieto del poliomio cuado la x toma valores muy grades e valor absoluto depedo sólo del coeficiete de mayor grado. Por ello, mirado el grado del poliomio podemos saber si las ramas del poliomio tedrá la misma direcció (grado par) o o (grado impar) y mirado el sigo del coeficiete su direcció. El resto de los térmios, comparados co el de mayor grado para u valor de x muy grade o tiee valor: so egligibles. 8. La gráfica de u poliomio de grado o puede tocar el eje horizotal más de veces y o puede teer más de -1 putos críticos (putos e los que la fució i crece i decrece), hecho que se desprede de que los putos críticos so las raíces de las derivadas. Las fucioes racioales Las fucioes racioales so las que se puede expresar como cociete de dos poliomios. E estos casos, los rasgos pricipales que ecotramos so: 1. Las fucioes so cotiuas e todos los putos excepto e aquellos e los que el deomiador se aula. Si el deomiador se aula y el umerador o lo hace e u puto x0, la fució preseta e x0 ua discotiuidad asitótica. x 6x 5 Por ejemplo: ; e este caso x 1 ecotramos que el deomiador se aula e 1 y -1. Pero como el umerador solo se aula e -1; solo e x=-1 la discotiuidad es asitótica.. Si el umerador tambié se aula e x0 es ecesario ver la multiplicidad de la raiz e cada uo de los poliomios o, dicho de otra maera, simplificar los factores (x-xo) y

3 Aálisis matemático 3 redefiir la fució. E caso de que obtegamos u deomiador que o se aula, decimos que la discotiuidad es evitable. x 6x 5 x 5 parax 1; por lo tato la discotiuidad es evitable x 1 x 1 e x=1, pero e x=-1 o hay ada que hacer dado que tambié se aula el deomiador. 3. Cuado la x toma valores elevados, el comportamieto se puede termiar observado úicamete los moomios de mayor grado del umerador y deomiador. Si el grado del umerador es mayor que el del deomiador, la fució crecerá al aumetar x. E cambio si el grado del deomiador es mayor, la fució tederá a cero al aumetar x. E cambio, si los grados del umerador y deomiador coicide, la fució tedrá como asítota horizotal la recta resultate de dividir el coeficiete del máximo x del umerador por el coeficiete del máximo x del deomiador. Como resume diremos que co el fi de coocer el comportamieto asitótico de ua fució racioal, se divide el umerador y el deomiador por la variable elevada al mayor expoete que aparezca e la expresió y se aaliza los térmios que queda cuado la x crece. Las fucioes poteciales Teiedo ua fució del tipo f(x)= x c, para cualquier valor de c, cabe destacar u par de hechos curiosos, todas las gráficas pasa por el puto (1,1); además o solo todas las gráficas se cruza e ese puto, sio que además si la cruza por ecima, sale por debajo y si lo hace por la derecha, sale por la izquierda. Las fucioes expoeciales y logarítmicas Si la població de México (valga el ejemplo) crece u,6% cada año, y sabemos que la població e el año 1980 era de 67,38 milloes de habitates. la població e el año 000 será: P000 = 67,38 1,067 0 Si además calculásemos el tiempo que tarda e doblarse la població co esa tasa de crecimieto veríamos que sería 7 años; y e volver a doblarse otros 7, o sea que es ua característica del crecimieto expoecial que el tiempo ecesario para doblar la magitud que crece es costate, o depede del mometo del que partimos. Co las fucioes logarítmicas (decrecimieto expoecial) ocurre prácticamete lo mismo. Si pesamos que teemos ua piscia cotamiada y co u determiado tratamieto cada hora se suprime el 0% de los productos cotamiados que dicha piscia cotiee; la catidad de producto que queda por descotamiar P e u tiempo t, sería (siedo el mometo iicial que tomamos P0) P(t) = 0,8 t P0. Si ahora quisiéramos saber el tiempo que tardamos e reducir la cotamiació a la mitad, bastaría co aplicar la fórmula: 0.8 t P0 = 1/ P0 Y ese resultado es (aplicado logaritmos) que t=3.1 horas; idepedietemete del mometo Po que cojamos. Este resultado se desprede de la utilizació de los logaritmos; si ellos o podríamos resolver determiados euciados como el aterior. Cómo se defie u logaritmo? u logaritmo es lo siguiete: y=logax x=a y.

4 4 Aálisis matemático Los logaritmos cueta co las siguietes propiedades: 1. Solo se puede calcular el logaritmo de u úmero positivo (i siquiera el log 0).. log(x y) = log x + log y. Podemos así, trasformar productos e sumas. 3. loga x y = y loga x; esto os idica que loga 1/x = -loga x. 4. loga b = 1 / logb a. 5. Fórmula de coversió, para poder efectuar cálculos logarítmicos e ua sola base: loga x = logb x /logb a. U ejemplo de los cálculos que os permite llevar a cabo los logaritmos. Por ejemplo, y haciedo referecia al ejemplo aterior de México; si queremos saber e qué mometo la població llega a 100 milloes de habitates, habría que calcular: 67,38 1,06 (t-1980) = 100 ; l (67,38 1,06 (t-1980) = l100 ; l 67,38 + (t-1980) l 1,06 = l100; t= (l 100 l 67,38) / l 1,06 ; t= (4,6 4.1) / 0.05 = 1995,5 Respecto a la represetació gráfica, os debe quedar claro que las gráficas e x y l x so simétricas co respeto a la recta y=x. Debido a ello y tras muchas elucubracioes os queda que la derivada de la fució logaritmo e el puto x es 1/x, que podemos escribir: d l x 1 dx x Cocepto de límite de ua fució e u puto Este cocepto es uo de los más importates del tema, dado que permite itroducir el cocepto de cotiuidad. Ituitivamete el límite de ua fució e u puto, equivale al valor al que la fució tiede, idepedietemete del valor que por defiició tiee e aquel puto. Asi, e cada puto de la recta real, teemos dos límites: uo por la derecha y otro por la izquierda. La coicidecia de ambos límites resulta e la existecia del límite de la fució e u puto. Al estudiar los límites, alguos so imediatos, como por ejemplo el límite cuado x tiede a 1 de (x+) es igual a 3. E cambio otros so idetermiados, como por ejemplo limite cuado x tiede a 1 de x*x-1/(x-1), que os da 0/0 y eso es ua idetermiació. Ecotramos dos grades tipos de idetermiacioes: las racioales y las poteciales: Idetermiacioes racioales: So aquellas cuyos resultados so 0/0, /. y 0. E estos casos podemos resolver ciertas idetermiacioes de fraccioes dividiedo el umerador y el deomiador por la máxima potecia que aparezca e la expresió. Otra forma es multiplicar por el cojugado umerador y deomiador. Como cometario añadir que 1/0 o es ua idetermiació, pues ese limite tiede a ifiito. Idetermiacioes poteciales: so del tipo uo elevado a ifiito, o elevado a cero e ifiito elevado a 0. Como regla geeral, itetaremos reducir la expresió y quede algo así:

5 Aálisis matemático 5 Ua fució se dice que es cotiua e u puto a, cuado cumple que: La fució está defiida e ese puto, o esa f(a) existe. Los límites por arriba y por abajo existe (se puede calcular y so fiitos) y so iguales. Coicide el límite de la fució e u puto co su valor e dicho puto. Existirá ua discotiuidad cuado cualquiera de los tres putos ateriores o se satisface y, e ese caso, clasificaremos las discotiuidades e: 1. Discotiuidad evitable: Cuado los límites laterales (por la derecha y por la izquierda) e u puto coicide, pero la fució o bie o está defiida e aquel puto o bie toma u valor diferete del de los límites laterales.. Discotiuidad o evitable de salto: Cuado los dos límites laterales existe, pero so diferetes. 3. Discotiuidad o evitable de salto ifiito o co asítota vertical: Cuado alguo de los límites laterales tiede a ifiito. Es ua forma de decir que cuado x se acerca a los valores de a, los valores de f(x) se hace cada vez mayores o meores. La forma más secilla de calcular los límites so varias, y e cada problema debemos actuar segú la fució iicial que tegamos: Lo primero hay que evaluar esa fució para ese valor de a; si existe pues ya hemos ecotrado el límite (ormalmete o va a ser ta fácil, claro). U problema frecuete que se suele presetar es que se aule el deomiador: e este caso, si el umerador o se aula, la fució e aquel puto toma valores ifiitamete grades, cuyo sigo, positivo o egativo habrás que estudiar por separado cuado x sea mayor o meor que a. Si tato el umerador como el deomiador se aula, teemos ua idetermiació 0/0 que ya hemos tratado ateriormete. Si ua fució preseta ua discotiuidad e u puto, o existe la derivada de la fució e aquel puto o, dicho de otra forma, si ua fució es derivable e u puto, tiee que ser cotiua e ese puto. Si f es ua fució derivable: Allí dode la gráfica de f es ascedete, al recorrerla de izquierda a derecha, la fució es creciete, la derivada por tato, es positiva. Dode la gráfica es descedete, la derivada es egativa. E los putos e los que la fució i es creciete i decreciete (cumbres y hodoadas) la tagete es horizotal y, por tato, la derivada vale 0.

6 6 Aálisis matemático TEMA DERIVACIÓN, INTEGRACIÓN Y PRINCIPALES TEOREMAS DEL CÁLCULO El Cocepto de derivada Ua fució es derivable e u puto a si existe el limite cuado h tiede a 0 e ese puto a. La derivada de ua fució e u puto es u úmero real que mide como está creciedo la fució e el puto, co relació al cambio de la variable. Si ua fució preseta discotiuidad e u puto, o existe la derivada de la fució e aquel puto, o dicho de otra forma, si ua fució es derivable e u puto, tiee que ser cotiua e ese puto. Geométricamete, la derivada de ua fució f e u puto a se puede represetar como la pediete de la recta tagete a la gráfica de f e el puto (a,f(a)) Si ua fució es derivable: Allí dode la gráfica de f es ascedete, al recorrerla de izquierda a derecha, la fució es creciete, la recta tagete tiee pediete positiva y la derivada es positiva. Dode la gráfica es descedete, la fució es decreciete, la recta tagete tiee pediete egativa y la derivada es egativa. E los putos e que la fució i sube i baja (cumbres y hodoadas), la tagete e el grafo de f es horizotal y, por tato, la derivada vale cero. El cálculo automático de derivadas 1. La derivada de ua costate es cero.. La derivada de ua suma es la suma de derivadas. Si f(x)= g1(x)+g(x); f (x)=g1 (x)+g (x) 3. La derivada del producto de fucioes es la derivada del primero por el segudo si derivar, más el primero si derivar por la derivada del segudo. Si f(x)= g1(x) g(x); f (x)= g1 (x) g(x) + g1(x) g (x) 4. La derivada de los poteciales es igual al potecial por el coeficiete elevado al potecial meos uo. Así si f(x)=x, etoces f (x)= N x La regla de la cadea: si f(x)=g1(g(x)); f (x)=g1 (g(x)) g (x). 6. Aplicació de la regla de cadea. si f(x)=g(x) c, siedo c ua costate cualquiera, f (x)=c g(x) c-1 g (x). 7. La derivada de ua fució expoecial es ella misma. 8. La derivada del producto por ua costate, es esa costate por la derivada de la fució. 9. La derivada de la divisió es: d(f(x) / g(x))= f (x) g(x) f(x) g (x) / g(x) 10. f(x)=l(x); f (x)= 1/x La regla de L Hopital La regla de L Hopital resulta ua herramieta secilla para el cálculo de ciertos límites idetermiados e forma de cocietes. Cuado se satisface ciertas codicioes, el límite de u cociete f(x) / g(x), si es ua idetermiació del estilo 0/0 o /, se pude reducir al límite del uevo cociete f (x) / g (x): si éste existe, etoces tambié existe el límite iicial y so iguales, eso sí x debe teder a xo y o a ifiito. Por ejemplo: el limite cuado x tiede a cero de se x/x os da la idetermiació 0/0; aplicamos la regla de L hopital, haciedo la derivada e umerador y deomiador y obteemos cos x / 1; por tato el límite es 1. Podemos aplicar la regla de L Hopital e los siguietes casos: 1. Límites de cocietes ifiitos; cuado e deomiador y umerados teemos /.

7 Aálisis matemático 7. Límites de cocietes ideterm9iados cuado x tiede a. E este caso, solo deberemos cambiar la variable x por 1/z; así si x tiede a, z tiede a 0 y podemos seguir aplicado la regla. 3. Idetermiacioes tipo 0 ; podemos aplicar la regla teiedo e cueta f ( x) que debemos cambiar f(x) g(x) por ; que da lugar a ua 1 g( x) idetermiació de tipo cociete, perfecta para L Hopital. 4. Idetermiació - ; e este caso si f(x)-g(x) cuado x tieda a a es del tipo - ; hacemos lo siguiete: 1 1 g( x) f ( x) f(x)-g(x) = ; 1 f ( x) g( x) Tambié es preciso aclarar que la aplicació repetida de la regla de L Hopital para resolver ua idetermiació hay veces que o os coduce a igua parte, dado que o se simplifica la expresió o o existe el límite f (x)/g (x). Tambié hay que teer cuidado e aplicarlo e los casos ecesarios. Por ejemplo e el limite cuado x tiede a cero de (cos x)/(1+x) si aplicamos L Hopital obteemos ( sex)/1 que da 0. Cuado e realidad o se trataba de ua idetermiació fácilmete sustituible e la fució iicial por (cos0)/1+0, que da como resultado 1. La Itegral La Itegral, e térmios geerales, represeta u área; hemos de decir que os iteresa desarrollar métodos para calcular áreas que quede bajo las gráficas de fucioes por varios motivos, uo de ellos es que os puede servir para calcular el total acumulado de los valores de ua fució (Por ejemplo, si la gráfica iferior fuese ua grafica de ua fució de los beeficios de ua empresa). Resulta que e esta gráfica para calcular su superficie lo hemos hecho dividiédola e 10 partes y tomado los valores míimos (izquierda) y los máximos (derecha). Ellos os da dos áreas diferetes (exactamete sabemos cual es pues es la cuarta parte de la superficie de u círculo, por tato debería daros ( r )/ = 0,7854. Pero resulta que o obteemos ese valor, sio 0,774 para el míimo y 0,80305 para el máximo. Evidetemete, cuatas más divisioes cosigamos (o

8 8 Aálisis matemático solo 10) más exacta será la superficie que hallaremos. La itegral defiida etre dos valores a, y b e tramos de, como las: Sumas iferiores b a SI ( f, a, b) b a SS ( f, a, b) i1 i1 Sumas superiores mi( f ( xi 1 ), f ( x1)) max( f ( xi 1 ), f ( x1)) tedremos, e tal caso, para valores grades de que: b SI ( f, a, b) f SS ( f, a, b) a Además, si la fució f es cotiua, tomado u valor de suficietemete grade, podemos hacer que estos tres úmeros sea ta parecidos como queramos. El ejemplo del círculo es muy claro, si e lugar de tomar 10 itervalos, tomamos 0, 30 ó la diferecia etre las escalerillas y la circuferecia será cada vez más y más pequeña. Dada ua fució cualquiera f defiida e el itervalo [a,b] decimos que f es itegrable e ese itervalo si cuado tiede a ifiito, las sumas iferiores y las superiores tiede a u mismo úmero. Este úmero recibe el ombre de itegral de f etre a y b. Otros aspectos sobre la itegral defiida: El sigo de la itegral: Si ua fució cambia de sigo e el itervalo [a,b], su itegral e este itervalo será la suma de las áreas dode la fució es positiva meos la suma de las áreas dode es egativa. Por ese motivo decimos que e alguas ocasioes, que las áreas que teemos bajo el eje horizotal cueta como egativas. La itegral de u Itervalo que se reduce a u solo puto de cualquier fució es cero. a b a b f ( x) dx k b a a f kf f ( x) dx a b ( x) g( x)) dx f ( x) dx b a b a ( f g( x) dx ; la itegral de ua suma es la b suma de itegrales y la itegral de ua diferecia es la diferecia de itegrales. La itegral idefiida es ua fució, que os sirve para calcular el área de otra fució determiada etre cualesquiera putos que queramos tomar (siempre que esté defiida etre esos putos, claro. Las itegrales idefiidas de ua misma fució puede ser muchas, ya que como la itegral es la operació iversa a la derivació, resulta que; por ejemplo: hallar la itegral de la fució f(x)=-5x. Haciedo la operació iversa que realizábamos e las derivadas ecotramos 5 que f ( x) x x C ; Qué sigifica esa C que ecotramos al fial? Sigifica que eso que hemos hallado es la primitiva, es decir, existe muchas itegrales de esa misma fució, dado que al derivar (operació cotraria) desaparece. E este caso, el ejercicio debería haber pregutado: Ecotrad ua primitiva de la fució aterior de valor 3 cuado x=1. y e este caso la respuesta es F(x)=x-5/x +7/.

9 Aálisis matemático 9 U par de ejemplos del cálculo de ua itegral so los siguietes: Etre las aplicacioes más importates de la itegral destaca la de servir como mecaismo de suma acumulativa de ua magitud que os da u ritmo o ua velocidad de u proceso co respecto al tiempo; ya sea por velocidades de vehículos, ritmo de gaacias de ua empresa dada ua fórmula, etc. Métodos geerales del cálculo de itegrales 1. Itegració por partes f ( x) g ( x) dx f ( x) g( x) f ( x) g( x) dx Ejemplo: para calcular: xl xdx, tomamos como f(x)=lx y g (x)=x / y efectuamos la operació: x 1 1 xl xdx l x * x x dx x l x x 1 C. Cambio de variable E este cambio de variable lo que hacemos es sustituir ua fució completa y luego la volvemos a restituir de la siguiete maera (Siempre claro que el cambio de fució la sepamos resolver) f g( x)) g ( x) dx f ( u) du,( u ( g( x)) x Por ejemplo, para calcular x 5 dx, poemos u=g(x)=x +5 y tedremos como resultado g (x)=x: x x dx 5 g ( x) dx g( x) du l( x u 5) C 3. Cambio de variables e itegrales defiidas Los pricipales teoremas del cálculo 1. Teoremas de cotiuidad Si f es ua fució cotiua e u itervalo a,b; y e u puto de ese itervalo teemos que el valor de esa fució es mayor de 0; etoces existe u etoro de ese puto tal que la fució es mayor de 0

10 10 Aálisis matemático Teorema de Bolzao: Si ua fució es cotiua e u itervalo cerrado y cambia de sigo e el itervalo, existe algú puto detro de ese itervalo e que esa fució vale cero. Teorema del máximo o de Weiertrass: Si ua fució es cotiua e u itervalo cerrado, etoces esa fució está acotada e ese itervalo y además tiee que existir u puto dode la fució llegue a su valor máximo (lo mismo y reformulado para el míimo).. Teoremas sobre la derivada La derivada e u extremo local: Si teemos ua fució derivable e u itervalo a,b y tiee u máximo e u puto; la derivada de ese puto vale cero (igual para el míimo) Teorema de Rolle: Si ua fució es cotiua e u itervalo a,b y derivable e ese itervale y cumple que el valor de la fució e ambos extremos es la misma, etoces existe u puto detro de ese itervalo e el que la derivada vale cero.

11 Aálisis matemático 11 TEMA 3 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Resolució aproximada de ecuacioes E este apartado desarrollaremos alguas técicas para obteer solucioes aproximadas de ecuacioes poliómicas de cualquier grado, como tambié de muchas otras ecuacioes o poliómicas. Las solucioes o será exactas, pero podremos siempre dar ua aproximació ta precisa como deseemos de las solucioes de ua ecuació. Para ecotrar esta aproximació será ecesarios 4 técicas: Separació de solucioes Método de la bisecció Método de la secate Método de Newto Separació de solucioes Ates de aplicar u método de resolució aproximada de las 3 que aparece arriba, se os hace ecesario saber cuatas solucioes hay y separarlos. Nuestro objetivo es ecotrar pequeños itervalos de maera que cada uo cotega ua solució y, ua vez hecho esto, aplicaremos el método de aproximació escogido Para separar las solucioes podemos aplicar el teorema de Bolzao: para las ecuacioes poliómicos fijádoos e el grado superior: par o impar podremos deducir cuatas puede llegar a teer; si además somos capaces de descompoer por Ruffii, mucho mejor; aquí la picardía y la habilidad idividuales so fudametales. Ua vez ecotrados los itervalos (ta pequeños como sea posible) podremos aplicar uo de los siguietes métodos Método de Bisecció Se basa e el Teorema de Bolzao: coocido u itervalo de ua ecuació e cuyos extremos esta cambia de sigo (a,b), si la fució es cotiua e ese itervalo, existe, al meos ua solució e el mismo. Dado que a y b elegidos so pequeños, lo que hacemos el ver si el itervalo (a/, b) tambié da diferete sigo para cada uo de ellos, de ser así, ya teemos u itervalo de la mitad de tamaño que el iicial (a/, b); de o ser así, seguimos teiedo u itervalo la mitad de pequeño que el iicial (a, b/); o e el mejor de los casos, hemos llegado a la solució exacta. Iterado este proceso varias veces, podemos aproximaros todos los decimales que queramos a la solució correcta, eso sí, e u proceso leto y quizás aburrido. Método de la Secate Observamos el gráfico de la derecha. Nos percatamos fácilmete que si somos capaces de hallar el puto de corte de la recta secate (de los dos putos escogidos) co el eje de las x, estaremos, e ua sola iteració, más cerca de la solució que si hubiésemos ido escogiedo itervalos por el método de bisecció. Pues bie, este puto que buscamos puede hallarse, y tiee la fórmula geeral:

12 1 Aálisis matemático Auque este método os halla parecido muy bueo, o siempre da resultados: depede de la forma de la fució y de los putos iicialmete escogidos. Método de Newto Tambié llamado método de la tagete; cosiste e partir de u valor cercao de la solució (xo) y a partir de ahí, ir hallado el corte de la recta tagete e ese puto y me voy acercado progresivamete a la solució buscada. Evidetemete este uevo puto de corte más aproximado a la solució que el aterior, tiee ua fórmula para ser hallado: Vemos que es parecido al método de la secate pero e este caso, hacemos uso de la tagete. Esta solució tampoco es ua paacea que siempre podamos utilizar, pues depedemos de que la fució debe ser derivable e todo ese itervalo y además tambié, como e el caso aterior, depedemos de la forma de la misma y de los putos que tomemos como referecia. Podemos cocluir estudiados los 3 métodos ateriores que u método útil (bisecció) para ua gra catidad de fucioes es leto, mietras que u método rápido tiee restriccioes. Ua posibilidad para optimizar esfuerzos es estudiar, para cada fució, qué método resulta adecuado y, e que puto xo es vetajoso empezar la iteració si lo que queremos es gaar e rapidez. E cualquier caso, es muy útil dispoer de etrada de u esbozo de la gráfica de la fució. Aproximació poliómica de ua fució Fórmula de Taylor: Residuo o térmio complemetario de Lagrage:

13 Aálisis matemático 13 Estudio local y represetació gráfica de fucioes Vamos a estudiar distitas particularidades de las fucioes y, para su estudio, ada mejor que ver ejemplos de cada parcela que tratemos Crecimieto y Decrecimieto Si la primera derivada o ula de y=f(x) e x=a es de orde impar, f(x) es creciete e x=a si f (a)>0 y será decreciete si f (a)<0. Estudiamos la fució y=x 3 Dado que la primera derivada que o se aula e X=0 es impar y positiva, teemos que la fució es creciete e x=0 Máximos y míimos relativos Si la primera derivada o ula de y=f(x) e x=a es de orde par, f(x) tiee u extremo relativo e x=a. Este extremo relativo será u míimo si f (a)>0 y será u máximo si f (a)<0 Cocavidad, covexidad y putos de iflexió Dada la fució y=f(x) derivable e varias ocasioes e u etoro del puto x=a, si la primera derivada o ula posterior a y =f (x) e x=a es de orde par, la fució es:

14 14 Aálisis matemático Cócava e x=a si f (k) (a)>0 Covexa e x=a si f (k) (a)<0 Puto de iflexió e x=a si la primera derivada o ula posterior a y =f (x) es de orde impar Determiació de los putos otables de ua fució Para determiar los extremos relativos y los putos de iflexió de ua fució derivable varias veces, seguimos los siguietes putos: 1. Calcular f(x) y f (x). Resolver la ecuació f (x)=0. Si ecotramos ua raiz o solució de esta ecuació (x0), calculamos acto seguido f ( x0) y etoces: Si f ( x0)>0 teemos u míimo relativo. Si f ( x0)<0 teemos u máximo relativo. 3. Si f ( x0)=0, estudiamos la primera derivada o ula de f (x0): 1. Si es par y f (x0)>0 teemos u míimo y si f (x0)<0 teemos u máximo relativo. Si es impar y f (x0) es distito de cero teemos u puto de iflexió. 4. Resolvemos la ecuació f (x) para determiar otros posibles putos de iflexió, teiedo e cueta que los putos de iflexió o tiee que correspoder a putos co primera derivada ula. Si teemos dificultades para obteer la seguda derivada o o es absolutamete ecesaria para otras cuestioes, podemos determiar si x0 es u máximo o míimo relativo de estas formas: Calculamos f:f(x0+h) - f(x0) ; si es > o igual que cero teemos u míimo relativo; si es meor o igual que cero para u h pequeño tedremos u máximo relativo. Estudiamos el sigo de f (x) e u etoro del puto x0. Si hay diferecias e toro a mayor o meor que cero e ambos lados, tedremos etoces u máximo o míimo. Si e todo ese etoro es mayor o e todo el etoro es meor que cero o hay u extremo relativo. Obteció de los extremos relativos de ua fució Tambié puede ocurrir que exista u máximo o míimo e u puto x del que o podemos hallar la derivada porque o existe e ese puto. Esto es típico de fucioes por partes, como la que vemos e el dibujo. Esta fució es:

15 Aálisis matemático 15 0 si x 5 g ( x) x 0 si x 5 Y e el puto x=0, vale cero; o es derivable, podemos y debemos hacer lo siguiete: Resolver la ecuació f (x)=0 y comprobar si las raices correspode a u extremo. Determiar los valores de la x del domiio de f(x) para los cuales o existe la derivada, haciedo u estudio de la fució e u etoro del puto ecotrado y aplicado la defiició de extremo relativo. Asítotas de ua fució Asítotas teemos de tres tipos: horizotales, verticales y oblicuas. Las horizotales y verticales so muy fáciles de hallar, basta co evaluar el siguiete ejemplo: Las asítotas oblicuas, e cambio, so u poco más difíciles de hallar, pues tiee la forma y=mx +. Hallar estas asítotas o es ta difícil, solo debe cumplir m y la siguietes pautas: y m lim y lim( y x) x x x

16 16 Aálisis matemático Estudio de la gráfica de ua fució Defiitivamete, para obteer la represetació gráfica de ua fució es ecesario realizar el estudio de las diferetes cuestioes que se ha ido cosiderado hasta el mometo. Los pasos a seguir so: 1. Determiar el domiio. Estudiar las posibles simetrías co respecto al eje OY y co respecto al orige 3. Estudiar la posible periodicidad y e caso de que sea periódica, calcular este periodo T: f(x+t)=f(x) 4. Estudiar los putos de discotiuidad: e ellos ecotraremos las posibles asítotas verticales 5. Estudiar la posible existecia de asítotas y su posició relativa respecto de la curva. 6. Obteer los putos de corte co los ejes de coordeadas. 7. Obteer los putos otables (máximos, míimos y putos de iflexió). 8. Hacer ua tabla resume dode puede figurar otros putos cosiderados ecesarios para el estudio y la represetació gráfica de la fució. No es imprescidible hacer esta tabla, pero sí muy recomedable. Pasos que se debe seguir e u problema de optimizació 1. Compreder el problema: especialmete si el problema se origia e u euciado formulado como ejercicio.. Idetificar la magitud que hay que optimizar. 3. Idetificar la variable idepediete: os iteresa ecotrar la variable idepediete que hace que la variable depediete alcace su valor óptimo. 4. Escribir la relació fucioal: ecesitamos ua expresió ta secilla como sea posible del tipo y=f(x) que respoda al euciado del problema. 5. Idetificar las restriccioes: que por lo geeral ecotramos e el problema y os idicará que la solució perteece a u cojuto factible. 6. Euciar el problema matemáticamete y resolverlo.

17 Aálisis matemático 17 TEMA 4 SUCESIONES Y SERIES Muchos de los modelos estudiados hasta ahora de los que utilizamos para explicar la realidad se basa e la idea de cotiuidad. E este módulo vamos a itroducir las técicas matemáticas para estudiar feómeos que se produce a itervalos regulares de tiempo, e los que el cocepto de cotiuidad o tiee setido. Sucesioes de úmeros reales Ua sucesió es el ombre matemático que hace referecia a ua lista ifiita de úmeros. E estas listas podemos hablar de primer térmio, segudo térmio Las formulas para costruir sucesioes puede ir desde la fórmula que defie la sucesió: X=+1; a hacer ecesario dos o más fórmulas para defiir los elemetos de la lista (por ejemplo ua lista para los elemetos pares y otra para los impares), hasta la fórmula recurrete, que permite calcular u térmio a partir de los ateriores: X= X +X-1. Sucesioes acotadas So aquellas e las que existe u úmero K tal que X < o igual a K. Y o estará acotada si para cualquier valor de K siempre existe u valor de X tal que es mayor que K. Sucesioes moótoas So aquellas que so crecietes (o estrictamete crecietes) o decrecietes (o estrictamete decrecietes) para todo. Por ejemplo, e la image lateral vemos ua demostració que trata de comprobar si la sucesió co térmio geeral X= /+1 es moótoa creciete. Esta es ua forma de comprobar su crecimieto pero tambié podíamos haberlo hecho aplicado las teorías del cálculo diferecial; es decir ecotrar la expresió explícita del térmio geeral y ver si la fució h(x) está defiida e el itervalo [1,ifiito); de ser así, derivamos; si su derivada es positiva, la serie es creciete; si es egativa, es decreciete. No podremos aplicar esta idea si e la expresió del térmio geeral aparece k dode k es u úmero real egativo, ua fució de! o ua suma que varía térmio a térmio. Límites de ua sucesió Teder a x sigifica que cuato más grade es, más se acerca la sucesió a u determiado úmero x. Por ejemplo, e la serie X= 1/; queda claro que la sucesió tiede hacia 0; puesto que siempre podremos ecotrar u úmero ta pequeño que cumpla ese acercamieto. Por ejemplo si os pide hallad el valor de a partir del cual la sucesió es meor que 0,01; siempre podemos decir que a partir de 100; y así podemos afiar todo lo que queramos. Si ese x existe, ua sucesió se deomia covergete y se dirá que es divergete si ese x o existe. Los límites de las sucesioes cumple las siguietes propiedades: Ua solució covergete tiee límite úico; o sea, o puede coverger hacia dos x a la vez. Toda sucesió covergete es acotada. Teorema de la covergecia moótoa: Toda sucesió creciete acotada superiormete es covergete y el límite es la meor de las cotas superiores. Toda sucesió decreciete acotada iferiormete, es covergete y el límite es la mayor de sus cotas iferiores. Aritmética de los límites fiitos Hay toda ua serie de resultados que por permite calcular límites si utilizar la defiició: Dadas dos sucesioes, tales que cuato tiede a ifiito la serie X tiede a x y la serie Y tiede a y; etoces:

18 18 Aálisis matemático Para cualquier úmero k, límite cuado tiede a ifiito de X es kx Limite de las sumas de las series X e Y es igual a x+y Lo mismo es válido para la resta, siedo e este caso x-y Lo mismo válido para la multiplicació, siedo e este caso x*y Lo mismo es válido para la multiplicació, x/y, siempre que y sea distito de cero. Regla del bocadillo: Pero existe idetermiacioes del tipo ifiito meos ifiito, etc, que es preciso solucioar. El método geeral por derivació, recordemos que o puede aplicarse si aparece expresioes del tipo -1 elevado a, o! o sumas e las que el úmero de térmios depede de. El criterio de Stolz es especialmete importate e situacioes e las que aparece sumas de térmios que se icremeta co y queremos calcular el límite de las mismas. Series de úmeros reales La maera compacta de presetar la suma de ua serie de úmeros reales, es la ya coocida que se hace co sumatorio: a1. Recordado alguas de las sumas fiitas i1 más coocidas, teemos:

19 Aálisis matemático 19 El problema estriba e que e lugar de tomar u úmero fiito de térmios, tomamos u úmero ifiito, podemos llegar a teer problemas que itetamos solucioar a cotiuació: Cocepto de Serie Ua serie es covergete si coverge la sucesió de sus sumas parciales y deomiamos suma de la serie el límite de la sucesió de sus sumas parciales que represetamos por: a1. Si ua serie o es covergete, se deomia divergete. i1 Series Geométricas Para itetar saber si ua serie coverge o o, lo que itetamos es hallar el resultado de sus sumas parciales hasta el térmio ; esto lo coseguimos multiplicado tambié por u húmero k; por ejemplo, para la serie i 1 k : Por tato, os ecotramos que para la serie aterior ; es covergete si i1 k <1 y es divergete si k >=1. Además, la iserció o supresió de u úmero fiito de térmios e ua serie covergete o ifluye e la covergecia, pero sí e su suma. Tambié si se añade o se suprime u úmero fiito de térmios e ua serie divergete, ésta cotiua siedo divergete. La suma de los térmios solo podrá calcularse e caso de ser covergete. Pero Cuádo es covergete ua serie? Cuado el límite cuado tiede a ifiito de esa serie es cero, es decir lim a 0. Esta codició k es ecesaria pero o suficiete, pues existe series cuyo térmio geeral tiede a cero pero o es covergete. Eso sí, si el térmio geeral o tiede a cero, lo que es seguro es que es divergete. Otro tipo de serie muy coocido es la serie armóica geeralizada que 1 tiee la forma p, que será covergete si p>1 y divergete si p<=1. 1 k i

20 0 Aálisis matemático Series de térmios positivos Ua serie se cosidera de térmios positivos si el térmio geeral es siempre positivo. Vamos a dar uos pocos de criterios que será SOLO aplicables a las series de térmios positivos: Comparació por diferecia: Si teemos dos series a y b, tales que a es meor o igual que b para cualquier valor de, etoces: o Si la serie a diverge, etoces b diverge. o Si la serie b coverge, etoces a coverge. Comparació por paso al límite por divisió: Si teemos dos series a y b: o Si el límite cuado tiede a ifiito de a/b es meor que ifiito y la serie b coverge, etoces la serie a coverge. o Si el límite cuado tiede a ifiito de a/b es distito de cero y b diverge, etoces a diverge tambié. Criterio de Prigsheim: o Si el límte cuado tiede a ifiito de p a es meor que ifiitio y p es mayor que 1 etoces a coverge. o Si el límite cuado tiede a ifiito de p a es distito de cero y p es meor o igual que 1 etoces a diverge. Criterios del cociete y de la raíz: Dada la serie a de tal forma que a es siempre mayor que 0, 1 supoemos que el límite cuado tiede a ifiito de a / a-1 es igual a k (cociete) o bie el mismo limite de a es igual a k (raíz) Etoces: o Si k es meor que 1 la serie aterior es covergete. o Si k es mayor que 1 la serie aterior es divergete. o Si k es igual a 1 el criterio o decide Series alteradas Ua serie alterada tiee la forma 1) a a es absolutamete covergete si a ( y diremos que ua serie es covergete. Teorema de Leibiz: Si teemos ua sucesió a moçotoa decreciete de térmios positivos, etoces la serie ( 1) a es covergete si y solo si el límite de a cuado tiede a ifiito es cero. Criterio de Abel: Si la serie a es alterada, a es decreciete y el límite cuado tiede a ifiito de a es cero, podemos ecotrar el error de la suma de k térmios como meor de ak+1

21 Aálisis matemático 1 TEMA 5 LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Itroducció a las fucioes de varias variables Vamos e este tema a geeralizar el cocepto de fució de ua variable estudiado hasta ahora; o preseta mayor problema desde el puto de vista coceptual pero sí itroduce u grado más de complejidad. Como Defiició obteemos que si la fució de ua variable es ua regla que asiga u úmero uevo a cada úmero de u domiio determiado y, de la misma maera, ua fució de dos variables tiee como domiio parejas de úmeros ( así que se le asigará u úmero uevo a cada ua de estas parejas). E geeral e domiio de ua fució de variables (>=1) está formado por putos co coordeadas y la fució asociada a cada puto u úmero real determiado. El domiio D es u subcojuto de R, está formado por putos co coordeadas. Cuado tegamos ua fució co cotexto descoocido, tomaremos como domiio siempre el mayor posible. Etoros: Cojutos abiertos y cerrados U subcojuto está acotado si lo podemos icluir detro de ua bola de cetro a y radio r>0. Es decir, ua recta detro del plao o es uca u cojuto acotado, ya que siempre se extiede más allá de cualquier bola acotada; y u rectágulo es u cojuto acotado porque siempre lo podemos iscribir detro de ua bola lo bastate grade. U subcojuto de R es compacto si al mismo tiempo está acotado y es cerrado. Cotiuidad La cotiuidad la realiza aquí mediate rectas y acercamietos a estas fucioes, viedo que para diferetes rectas existe la fució e ese puto que queremos buscas. Nos servimos de varias técicas para hallar estas discotiuidades: Si f(x) es producto de dos fucioes, ua acotada y la otra co limite cero, etoces la fució f tiee límite 0. Si partimos de fucioes cotiuas y vamos costruyedo otras mediate operacioes de adició y sustracció, multiplicació y divisió y composició de fucioes, llegaremos de uevo a fucioes cotiuas (sobre sus domiios de defiició). Teorema de Weirtrass: Sea C u subcojuto compacto de ua fució cotiua. E tal caso, f alcaza tato u máximo como u míimo absoluto, es decir que existe dos putos a y b que perteece a C tales que para cada x perteeciete a c se cumple que m=f(b)<=f(x)<=f(a)=m; dode m es el valor míimo que toma la fució y M es el valor máximo. Difereciabilidad co varias variables Derivadas parciales La derivada parcial de ua fució co respecto a la compoete i-ésima es la derivada de la fució de ua variable obteida al fijar los valores de todas las compoetes excepto la i-ésima. Como podemos ver e el siguiete ejemplo: Coloquialmete diremos que para ua fució de dos variables, los valores de estas derivadas parciales deota la pediete de la superficie e las direccioes

22 Aálisis matemático de x e y respectivamete. Geométricamete la derivada parcial e x se iterpreta como la pediete de la recta tagete a la curva que se obtiee de itersecar el plao y y la superficie f(x,y); lo mismo para la derivada parcial e y (podemos verlo e la págia siguiete) Idepedietemete de la catidad de variables que iterviee, las derivadas parciales de fucioes de varias variables se puede iterpretar físicamete como razoes de cambio, variacioes istatáeas o coeficietes de variació, igual que cuado se tiee ua sola variable. Lo podemos ver e el ejercicio que propoemos e la págia siguiete: Este resultado aterior poe de maifiesto el hecho ituitivo de que u aumeto repetio de la variable x desde el puto de coordeadas (1,) represetará u desceso de la temperatura. Geométricamete este resultado os idica que la pediete de la recta tagete e el puto (,1) de la restricció y=1 es -,4; físicamete podemos afirmar que la variació istatáea de la temperatura co respecto a x e (,1) es -,4 grados/cm. Difereciabilidad E el caso de varias variables la difereciabilidad tambié es ua aproximació lieal a ua fució, alrededor de u determiado puto. Cosideramos el caso de ua fució de dos variables x=f(x,y) cuya gráfica viee represetada por la siguiete image, vemos el ejemplo tambié de forma umérica:

23 Aálisis matemático 3 El vector gradiete de la fució f(x,y, z) e el puto (a1, a a) es el vector que tiee por compoetes las derivadas parciales de f e ese puto. Es importate remarcar el hecho de que el gradiete es u vector. Podemos afirmar que si ua fució f es difereciable e a, etoces: f es cotiua e a Existe las derivadas parciales de f e ese puto. Codició suficiete para la difereciabiliad: Si las derivadas parciales existe y so fucioes cotiuas detro de u determiado cojuto abierto O icluido e el domiio de f, etoces f es difereciable e todos los putos de O. Para hallar el hiperplao tagete a ua fució e u puto determiado (image aterior) basta ecotrar el valor de la fuci po e ese puto y sumárselo al producto escalar del valor del vector derivada parcial e este puto por el puto (x-xo) Derivada direccioal El vector gradiete y la derivada direccioal está itimamete relacioadas, de hecho el método práctico para calcular la derivada direccioal e u puto es multiplicar vectorialmete el vector gradiete e ese puto por el vector uitario. Derivadas parciales de orde superior Sabemos que podemos defiir las derivadas parciales de orde superior al 1. Evidetemete existirá 4 derivadas parciales de las dos derivadas parciales iiciales co dos variables. Esto forma lo que se cooce como matriz hessiaa que es la matriz que tiee como compoetes las derivadas parciales de segudo orde dispuestas e ua forma especial (si las derivadas parciales de segudo orde so fucioes cotiuas, las derivadas cruzadas coicidirá). Extremos de fucioes de varias variables Para localizar los putos críticos de las fucioes (máximos o míimos) lo que hacemos es igualar el vector gradiete a cero y los putos que os da so los putos críticos. Por ejemplo e la fució x y ; resulta que sus derivadas parciales so x y -y respectivamete, igualadas a 0 resulta que solo hay u puto crítico que es (0,0). Ahora bie, para coocer si se trata de máximos o míimos, lo que hacemos es poer e juego la derivada seguda. Hallamos dos valores: d1 es la derivada seguda e x, x; y d es el valor del determiate de la matriz hessiaa. Etoces segú el siguiete criterio aalítico: Si d1>0 y d>0 se deduce que el puto (a,b) es u míimo local. Si d1<0 y d>0 se deduce que el puto (a,b) es u máximo local. Si d<0 se deduce que (a,b) es u puto de silla. Si d=0 el criterio o es decisorio. Texto elaborado a partir de: Aálisis matemático Frederic Udia, Sebastià Martí Molleví, Josep Freixas Bosch, Josep Berat Paé Juio 004