maneras diferentes y una segunda acción puede realizarse de n 2 maneras diferentes, entonces ambas acciones pueden realizarse secuencialmente de n 1

Transcripción

1 1.3 TÉCNICAS DE CONTEO Cuado el úmero de posibles resultados de u experimeto es fiito, su espacio muestral es fiito y su cardial es u úmero atural. Si el experimeto es simple, el espacio muestral es uidimesioal, costituido por putos muestrales co ua sola compoete, y el cardial es simplemete el úmero de posibles resultados del experimeto, los que se puede eumerar fácilmete. Pero si el experimeto es combiado, el cardial puede ser ta grade, que sería del todo absurdo preteder eumerarlos todos, por ser u proceso leto, tedioso, costoso y susceptible de errores. Y realmete o es importate poder eumerarlos, sio saber cotarlos. Cuado se tiee N objetos, al escoger al azar uo o más de ellos, iteresa calcular la probabilidad de cada elecció. Escoger al azar u objeto de los N dispoibles, sigifica que cada uo tiee la misma probabilidad de ser elegido: Pi 1/ N. Escoger al azar dos objetos de los N, sigifica que cada posible par de objetos, si cosiderar el orde, tiee la misma probabilidad de ser elegido que cualquier otro par; si existe k pares diferetes, etoces la probabilidad es Pi j1/ k. Y escoger objetos de los N, sigifica que cada posible cojuto de objetos, si cosiderar el orde, tiee la misma probabilidad de ser elegido que cualquier otra cojuto de objetos. úmero de maeras e que puede ocurrir A PA N úmero de maeras e puede ocurrir el experimeto El aálisis combiatorio estudia los procedimietos y estrategias para cotar las posibles agrupacioes de los elemetos de u cojuto, permitiedo determiar el úmero de posibilidades lógicas que cabe esperar al realizar algú experimeto, si ecesidad de eumerarlas; es ua forma abreviada de cotar que se resume e uas cuatas técicas basadas e procedimietos y fórmulas recurretes. Si ua acció puede realizarse de 1 maeras diferetes y ua seguda acció puede realizarse de 2 maeras diferetes, etoces ambas accioes puede realizarse secuecialmete de 1 2 maeras diferetes. Este pricipio multiplicativo se geeraliza para cualquier úmero de accioes a realizar, esto es, si ua primera acció se puede realizar de 1 maeras diferetes, ua seguda acció se puede realizar de 2 maeras diferetes,..., y ua r-ésima acció se puede realizar de r maeras diferetes, etoces las r accioes se puede realizar de r maeras diferetes CARDINALES FINITOS PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO

2 96 TÉCNICAS DE CONTEO Ejemplo DADOS. Cosidere el experimeto cosistete e lazar dos dados y observar las caras que queda hacia arriba. El primer dado puede caer de 6 maeras diferetes (1, 2, 3, 4, 5, 6) y el segudo dado tambié puede caer de 6 maeras diferetes. Etoces, el úmero de maeras e que puede caer ambos dados simultáeamete es: 6 6 = 36. Ejemplo POZOS EXPLORATORIOS. Cosidere el experimeto cosistete e observar el resultado de la perforació de cuatro pozos exploratorios. El resultado del primer pozo puede presetarse de 2 maeras (0: seco, 1: productor), el resultado del segudo, tercero y cuarto pozos tambié puede presetarse de 2 maeras. Etoces, el úmero de maeras e que puede observarse el cojuto, idicado el resultado de los cuatro pozos simultáeamete es: = 16. Ejemplo PLACAS. Las placas para automóvil e el D. F. está formadas por 6 caracteres: los tres primeros so dígitos y los tres últimos so letras del alfabeto. Cuátas placas diferetes se puede hacer? Primero vamos a aalizar los dígitos: el primero se puede escoger de 10 maeras diferetes, el segudo de 10 maeras y el tercero de 10 maeras; así que, el úmero de maeras e que se puede formar la primera parte de la placa es: = Ahora bie, si se cosidera que el arreglo 000 o es válido, etoces habrá que restarle 1 al valor obteido, co lo que queda 999 maeras e que se puede formar la primera parte de la placa. La seguda parte de la placa se forma co tres letras: la primera se puede escoger de 26 maeras diferetes (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z), la seguda de 26 maeras y la tercera de 26 maeras; así que el úmero de maeras e que se puede formar la seguda parte de la placa es: = 17,576. Fialmete, el úmero total de placas diferetes que se puede formar es: ,576 = ,424 El pricipio multiplicativo es aplicable cuado el experimeto se puede descompoer e u cojuto de accioes secueciales o idepedietes, de modo que cada resultado del experimeto se coforma co ua posibilidad de cada ua de esas accioes. Diagramas de árbol U diagrama de árbol es ua herramieta gráfica que permite eumerar todas las posibles maeras de realizar u cojuto de accioes secueciales o idepedietes. El árbol se costruye a partir de u odo, que represeta la primera acció a efectuar; de éste se desprede tatas ramas como maeras diferetes se pueda realizar esa acció; e las termiales de cada rama se dibuja otros odos, que represeta la seguda acció a efectuar y de los que se desprede tatas ramas como maeras lógicas diferetes pueda realizarse esa seguda acció, cosiderado la maera e que se realiza la primera. Y así, sucesivamete.

3 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO Ejemplo MONEDAS. Cosidere el experimeto cosistete e lazar ua moeda tres veces cosecutivas y observar, cada vez, la cara que queda hacia arriba. La primera vez que se laza la moeda, la cara que queda hacia arriba puede ser águila o sol; la seguda vez que se laza, tambié la cara que queda hacia arriba puede ser águila o sol, si importar lo que haya caído la primera vez; lo mismo puede ocurrir la tercera vez que se laza la moeda. Etoces, el diagrama de árbol correspodiete es: El úmero de maeras e que puede caer la moeda tres veces cosecutivas es: = 8 Ejemplo CIRCUITO ELÉCTRICO. E el circuito mostrado e la siguiete figura, la corriete fluye de la termial 1 a la termial 2, siempre que el iterruptor X esté cerrado, o que los iterruptores Y y Z, ambos esté cerrados. El experimeto E 1 cosiste e observar el fucioamieto de u iterruptor, que puede presetar uo de dos estados: 0, abierto o 1, cerrado, geerado el espacio muestral S 1 = {0, 1}. Sea el experimeto E 2 cosistete e observar el fucioamieto de los tres iterruptores, simultáeamete. Costruya el diagrama de árbol asociado a tal experimeto. El fucioamieto de cada iterruptor es idepediete del fucioamieto de los otros dos, por lo que cada iterruptor puede presetar uo de dos estados: 0, abierto o 1, cerrado. Etoces, el diagrama de árbol correspodiete es:

4 98 TÉCNICAS DE CONTEO El úmero de maeras diferetes e que se puede comportar los tres iterruptores es: = 8 Ejemplo ENTRONQUE. Cosidere el etroque Viaducto y Periférico, e el setido sur-orte, coformado por los tramos X, Y y Z, tal como se muestra e la figura; cada tramo puede cogestioarse por el tráfico o o. El experimeto E 1 cosiste e observar el fucioamieto de u tramo, que puede presetar uo de dos estados: 0, o cogestioado, o 1, cogestioado, geerado el espacio muestral S 1 = {0, 1}. Observe cuidadosamete la relació que guarda los tramos. Sea el experimeto E 2 cosistete e observar el fucioamieto de los tres tramos, simultáeamete. Costruya el diagrama de árbol asociado a tal experimeto. Aquí se debe tomar e cueta que, basta co que al meos uo de los tramos X o Y esté saturados para que el tramo Z tambié lo esté. El tramo Z se puede saturar o o, cuado los tramos X y Y o esté saturados. Etoces, el diagrama de árbol queda:

5 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO El úmero de maeras diferetes e que se puede comportar los tres tramos viales es: 5 Pricipio aditivo Si ua acció puede realizarse de 1 maeras diferetes y ua seguda acció puede realizarse de 2 maeras diferetes, pero o es posible realizar ambas accioes cojutamete, etoces 1 o 2 puede realizarse alterativamete de maeras diferetes. Este pricipio aditivo se geeraliza para cualquier úmero de accioes alterativas a realizar, esto es, si ua primera acció se puede realizar de 1 maeras diferetes, ua seguda acció se puede realizar de 2 maeras diferetes,..., y ua r-ésima acció se puede realizar de r maeras diferetes, etoces las r accioes alterativas se puede realizar de r maeras diferetes. Tambié se puede hacer u esquema represetativo del pricipio aditivo, auque éste o sea u diagrama de árbol propiamete dicho. Todas las posibles ramas parte de u úico odo; alguas de ellas correspode al úmero de maeras e que puede realizarse ua primera acció, otras correspode al úmero de maeras e que se puede realizar ua seguda acció alterativa, y así sucesivamete. El total de ramas es precisamete el úmero de maeras e las que se puede llevar a cabo las distitas accioes alterativas. Es muy secillo distiguir cuádo hacer uso del pricipio multiplicativo y cuádo del aditivo: Si se trata de ua secuecia de accioes, deberemos usar el pricipio multiplicativo. Si se trata de ua sola acció que preseta distitas alterativas de realizació, deberemos usar el pricipio aditivo. Ejemplo MEDIO DE TRANSPORTE. Para viajar de México a Eseada se puede optar por avió, autobús o tre; existe tres rutas para el avió, cuatro para el autobús y dos para el tre. Cuátas rutas hay para viajar? Los tres medios alterativos de trasporte so disyutivas a elegir; al optar por ua de ellas, las otras dos queda excluidas; por lo tato es aplicable el pricipio aditivo. El úmero de maeras diferetes e que podemos viajar de México a Eseada so: = 9.

6 100 TÉCNICAS DE CONTEO Factorial de u úmero. El factorial de u úmero es el producto cosecutivo de todos los úmeros eteros, desde el uo hasta el úmero dado, iclusive. Notació:!! (1.15) Por así coveir, ivocado la propiedad comutativa de la multiplicació, la fórmula (1.18) se escribe más comúmete como:! (1.15 ) Cosiderado que: 1! , e ivocado ahora la propiedad asociativa de la multiplicació, la fórmula (1.15 ) se puede escribir:! 1! (1.16) que es la llamada fórmula fudametal del factorial. Para que la expresió (1.19) tega validez para cualquier, se defie: 0! = 1 Para valores grades de ( 15), se puede utilizar la fórmula de Stirlig para obteer ua buea aproximació del factorial de :! 2 e El factorial de u úmero se puede geeralizar para cualquier úmero real t mediate la fució gamma, defiida como:! t e dt 1 0 1!, O bie: Ejemplo FACTORIAL. Realice las siguietes operacioes: a) 6! b) 7!/ 3! 76543!/ 3! c) 5!/ 2!3! 543!/ 213! 54/ 21 20/ 2 10

7 10 PERMUTACIONES El pricipio fudametal del coteo, combiado co la defiició de factorial de u úmero, permite establecer ua serie de fórmulas geerales, que e seguida veremos, y que facilita, de maera sigificativa, el cálculo del cardial asociado al espacio muestral fiito correspodiete a cada caso. Cabe señalar, si embargo, que el uso de tales fórmulas o se debe hacer e forma idiscrimiada, tratado de adiviar cuál de todas será la que os permite resolver u problema e particular. Es esecial cosiderar la formulació del problema, e térmios del pricipio fudametal del coteo, dibujado u diagrama de árbol, idetificado cuádo es aplicable el pricipio multiplicativo y cuádo el aditivo, cuado importa el orde de los resultados y cuádo o, y cuádo es permisible repetir resultados y cuádo o. Se llama permutacioes de objetos a las diferetes maeras e que se puede ordear esos objetos; todas las permutacioes costa de los mismos elemetos, pero se cosidera diferetes, por el orde e que se coloca éstos. Notació: P Para calcular el úmero de permutacioes que se puede formar co los objetos, se hace las siguietes cosideracioes: la elecció del primer objeto se puede hacer de maeras diferetes; la elecció del segudo objeto se puede hacer de ( - 1) maeras diferetes,..., y la elecció del -ésimo objeto sólo se puede hacer de ua maera. Ahora, ivocado el pricipio fudametal del coteo se tiee: P , que os coduce a la defiició de factorial: P! (1.17) PERMUTACIONES Ejemplo LIBROS. Si e el librero de tu casa hay 15 diferetes libros, 6 de los cuales so de matemáticas, 4 so de química y 5 so de física, a) De cuátas maeras diferetes puedes acomodarlos e el librero? P15 15! 1,307,674,368,000 maeras b) De cuátas maeras diferetes puedes acomodarlos e tu librero, si los de cada materia debe quedar jutos? El cosiderar que los libros de cada materia debe quedar jutos implica distiguir las 3 materias como 3 objetos que se puede permutar: el primer objeto es el grupo de libros de matemáticas, el segudo objeto es el grupo de libros de química y el tercer objeto es el grupo de libros de física. El úmero de maeras e que se puede permutar estos 3 objetos es: P3 3! 6. Los 6 libros de matemáticas se puede permutar de P6 6! 720 maeras; los 4 libros de química se puede permutar de P4 4! 24 maeras; y los 5 libros de física se puede permutar de P5 5! 120 maeras. Por el pricipio fudametal del coteo, el úmero total de maeras e que se puede colocar los 15 libros e el librero, haciedo que los de cada materia quede jutos es: P P P P 3!6! 4!5! 6x720x24x120 12' 441,600 maeras

8 102 TÉCNICAS DE CONTEO Permutacioes circulares Se llama permutacioes circulares de objetos a las diferetes maeras e que se puede colocar esos objetos alrededor de u círculo; e este tipo de permutacioes, lo que importa so las posicioes relativas de los objetos co respecto a ellos mismos y o las posicioes absolutas de los objetos e el círculo. Notació: PC. Existe permutacioes lieales que, al ser colocadas e círculo, coduce a ua misma permutació circular, porque cada objeto queda e la misma posició relativa respecto a los ( - 1) objetos restates; de maera que por cada permutació circular hay permutacioes lieales equivaletes. Etoces, para calcular el úmero de permutacioes circulares de objetos, se divide el úmero de permutacioes lieales de objetos etre las permutacioes equivaletes: PC P /!/ -1! (1.18) Ejemplo JUNTA DE COMITÉ. De cuátas maeras diferetes se puede colocar 6 persoas, para ua juta de comité? a) E fila: P6 6! 720 maeras b) E fila, si dos persoas debe quedar jutas: P5P 2 5! 2! maeras c) Alrededor de ua mesa: PC6 6-1! 5! 120 maeras d) Alrededor de ua mesa, si dos persoas debe quedar siempre jutas: PC P 5-1! 2! maeras 5 2 Permutacioes co grupos de objetos iguales Se llama permutacioes de objetos, co r grupos de objetos iguales a las diferetes maeras distiguibles e que se puede ordear esos objetos, de maera que los 1 objetos iguales etre sí, los 2 objetos iguales etre sí,..., y los r objetos iguales etre sí, al permutarse etre ellos por grupo, o puede distiguirse uos de otros. Notació: 1, 2,...,r P Existe 1 permutacioes lieales que coduce a ua sola permutació distiguible, porque las permutacioes de los 1 objetos iguales o so distiguibles etre sí; existe 2 permutacioes lieales que coduce a ua sola permutació distiguible, porque las permutacioes de los 2 objetos iguales o so distiguibles etre sí;... y existe r permutacioes lieales que coduce a ua sola permutació distiguible, porque las permutacioes de los r objetos iguales o so distiguibles etre sí. De maera que por cada permutació distiguible hay 1 permutacioes lieales equivaletes, por cada permutació distiguible hay 2 permutacioes lieales equivaletes,..., y por cada permutació distiguible hay r permutacioes lieales equivaletes. Etoces, para calcular el úmero de permutacioes distiguibles de objetos, se divide el úmero de permutacioes lieales de objetos etre las 1! permutacioes equivaletes, etre las 2! permutacioes equivaletes,..., y etre las r 1, 2,...,! r! permutacioes equivaletes: P (1.19)!!...! 1 2 r

9 10 ORDENACIONES Ejemplo 1.34 TORNILLOS. Si para fijar ua placa se cueta co 7 torillos: 2 so de acero al carbó, 3 so de acero ioxidable y 2 so de broce. De cuátas maeras diferetes se puede colocar tales torillos, si se distigue el material del que está hechos? 2,3,2 7! 5040 P7 210 maeras 2!3!2! 24 Ejemplo TELÉGRAFO. Cuátos mesajes telegráficos diferetes se puede eviar utilizado exactamete 4 putos y 5 rayas? 4,5 9! P9 126 mesajes 4!5! 2880 Se llama ordeacioes de objetos de orde r a las diferetes maeras de escoger secuecialmete r objetos de etre posibles, de modo cada ua de las ordeacioes es distita de las demás, si difiere e alguo de sus objetos r o e el orde de ellos. Notació: O Para calcular el úmero de ordeacioes de r objetos que se puede formar co los objetos dispoibles, se hace las siguietes cosideracioes: la elecció del primer objeto se puede hacer de maeras diferetes; la elecció del segudo objeto se puede hacer de ( - 1) maeras diferetes,..., y la elecció del r-ésimo objeto se puede hacer de ( r + 1) maeras diferetes. Ahora, ivocado el pricipio fudametal del coteo se tiee: r O r 2 r 1 expresió que al multiplicar y dividir por ( r)! coduce a: r r 2r 1r! O r! e ivocado la fórmula fudametal del factorial, teemos: r! O (1.20) r! Para la deducció de esta fórmula, se ha cosiderado implícitamete que el úmero r de objetos a elegir es meor o igual que el úmero de objetos dispoibles: r, lo que equivale a o permitir la repetició de objetos e ua misma ordeació. El caso particular e el que r =, coduce a la obteció de las ordeacioes de objetos tomados todos a la vez, es decir, a la obteció de la permutacioes de los objetos:!! O! P! 0! ORDENACIONES

10 104 TÉCNICAS DE CONTEO Ejemplo SALÓN DE CLASE. De cuátas maeras diferetes se puede setar los 52 alumos del grupo de Probabilidad e u saló que dispoe de 60 plazas? El primer alumo que etra al saló puede escoger su lugar de etre 60 posibles, el segudo puede escoger lugar de etre 59 posibles,... y así, sucesivamete, hasta el alumo úmero 52, que puede escoger lugar de etre 9 posibles. Evidetemete, 8 de los 60 lugares quedará vacíos; se trata de calcular las ordeacioes de 60 objetos de orde 52: 52 60! 60! ! 77 O maeras 60 52! 8! 8! Ordeacioes co repetició Se llama ordeacioes co repetició de objetos, de orde r a las diferetes maeras de efectuar secuecialmete r accioes, cada ua de las cuales se puede presetar de distitas maeras. El hecho de permitir la repetició de objetos, hace que el valor de r o esté restrigido, pues el úmero r de accioes a efectuar puede ser mayor al úmero de maeras e que puede presetarse r cada ua de ellas. Notació: OR Para calcular el úmero de ordeacioes co repetició de r objetos que se puede formar co objetos dispoibles, se hace las siguietes cosideracioes: la elecció del primer objeto se puede hacer de maeras diferetes; la elecció del segudo objeto se puede hacer de maeras diferetes,..., y la elecció del r-ésimo objeto se puede hacer de maeras diferetes. Ahora, r ivocado el pricipio fudametal del coteo se tiee: OR... r r OR (1.21) Ejemplo MONEDAS. Cosidere el experimeto cosistete e lazar tres moedas simultáeamete y observar las caras que queda hacia arriba. Determie el úmero de maeras e que puede ocurrir tal experimeto. Nótese que el experimeto cosistete e lazar tres moedas simultáeamete es equivalete al experimeto de lazar ua moeda tres veces cosecutivamete, que fue plateado y resuelto e el ejemplo OR Ejemplo PLACAS. Las placas para automóvil e el D. F. está formadas por 6 caracteres: los 3 primeros so dígitos y los 3 últimos so letras. Cuátas placas diferetes se puede hacer? Este problema ya fue plateado y resuelto e el ejemplo 1.26, utilizado el pricipio fudametal del coteo. Ahora lo haremos mediate la fórmula de ordeacioes co repetició, si olvidar que o es permitido el arreglo 000 e la primera parte de ua placa: OR 3 1 OR ' 558, maeras

11 10 COMBINACIONES Se llama combiacioes de objetos de orde r a los distitos grupos que se puede formar al escoger secuecialmete r objetos de etre posibles, de modo cada ua de las combiacioes es distita de las demás, si difiere e r uo de sus objetos por lo meos, si importar el orde. Notació: C Para calcular el úmero de combiacioes de r objetos que se puede formar co los objetos dispoibles, se cosidera que, por cada combiació de r objetos, existe r! ordeacioes equivaletes de r objetos; e efecto, cada combiació de r objetos se puede permutar de r! maeras diferetes, geerado r! ordeacioes. De modo que basta co dividir el úmero de ordeacioes de objetos de orde r, etre las permutacioes de r objetos para obteer las r r O!/ r! combiacioes de objetos de orde r: C Pr r! r! C (1.22) r! r! COMBINACIONES Ejemplo BARAJA INGLESA. Cuátas maos diferetes le puede tocar a u jugador de poker? Ua mao de poker es de 5 cartas y la baraja iglesa costa de 52; por ede, e cada mao se obtiee, de ua e ua, la muestra de 5 cartas distitas; para efectos de coteo, a esta maera de tomar la muestra se le deomia muestreo si reemplazamieto. La primera carta puede ser cualquiera de la 52, la seguda puede ser cualquiera de las 51 restates,..., y la quita, que puede ser cualquiera de las 48 que queda. El orde e el que sale las carta o importa y evidetemete o se permite la repetició; por lo tato, so combiacioes de 52 objetos tomados de 5 e ! ! 311' 875,200 C52 2' 598,960 5!47! ! 120 Ejemplo BOLIBOL. Si e el grupo 20 de Probabilidad hay 14 estudiates mujeres, cuátos partidos diferetes de volibol se podría realizar, si cada equipo es de 6 jugadoras? Es ecesario cosiderar la coformació de dos equipos: El primer equipo 6 se puede formar de C 14 maeras, pues se puede elegir 6 jugadoras diferetes 6 de etre 14 dispoibles; el segudo equipo se puede formar de C 8 maeras, pues ahora se elige 6 jugadoras de etre las 8 mujeres que queda dispoibles. El producto de estas dos combiacioes, ivocado el pricipio fudametal del coteo, proporcioa el úmero de partidos que puede realizarse, pero cada uo de ellos está cosiderado dos veces, pues ua misma sexteta puede perteecer a ambas combiacioes; el problema se resuelve dividiedo el producto de las dos combiacioes, etre las permutacioes de los 2 equipos: 6 6 C14C8 1 14! 8! ,042 partidos P 2!6!8!6!2!

12 106 TÉCNICAS DE CONTEO E todas las culturas de la Atigüedad estuviero presetes implícita o explícitamete los temas combiatorios. Por ejemplo, el famoso libro I Chig, que se empezó a escribir hacia el 1200 a.c., auque su propósito era el oráculo, su estructura codujo a valorarlo matemáticamete, ya que e él se implica u sistema de umeració biario, geométrico y aritmético, y el uso de permutacioes. Co cada tirada de tres moedas geera ua líea cotiua, represetativa de todos los úmeros impares, o bie ua líea partida, que represeta a todos los pares; co tres lazamietos de las moedas se obtiee u trigrama, de 8 posibles, que se traza sobre papel, de abajo hacia arriba; co otros tres lazamietos se obtiee u segudo trigrama, que al superpoerse al aterior forma u hexagrama, de 64 posibles; co los dos trigramas obteidos, se busca e ua tabla el úmero que resulta de la combiació de ambos: filas para el primero y columas para el segudo, y a partir de él se obtiee la iterpretació de la respuesta del oráculo. E el siglo III a.c. Pigala escribió el Chadahsutra, el primer tratado e sáscrito sobre la prosodia; iteresado e la pureza de la expresió, quería saber de cuátas maeras se podría formar ua métrica védica de seis sílabas, co sílabas cortas y largas, y mediate el cálculo de permutacioes y combiacioes, obtuvo la primera descripció coocida de u sistema de umeració biario; tambié ecotró el úmero de métricas que teía otas largas y k otas cortas, lo que fue equivalete a ecotrar los coeficietes biomiales. Luego, las aportacioes registradas sobre aálisis combiatorio fuero aisladas. Los griegos tuviero que efretar y resolver problemas de combiatoria, pero o hay evidecia de que haya desarrollado teoría al respecto. De los romaos, que se caracterizaro por su desiterés por las matemáticas, sólo se destaca Boecio, e el siglo V, co la regla para ecotrar las combiacioes de objetos tomados de 2 e 2. E la Idia, e el siglo XI, Bhaskara dio reglas para calcular ordeacioes y combiacioes co y si repetició, así como sus aplicacioes. E 1321 el judío fracés Levi be Gersho, coocido como Gersóides, e su libro de aritmética Maaseh Hoshev, icluyó idetidades combiatorias y coeficietes biomiales. Tambié e el siglo XIV, Nicolás de Oresme realizó cálculos combiatorios, expresádolos retóricamete, como correspodía a su época. Hacia 1540, el italiao Tartaglia parece haber utilizado los coceptos combiatorios e estudios sobre el juego de dados, así como e el cálculo de la potecia de u biomio. E 1559, el fracés Jea Borrel, mejor coocido como Buteo, mostró su gra coocimieto de las leyes de la combiatoria e su libro Logística, dode presetó u esquema para la costrucció de u cadado de combiació, formado por varios cilidros rotatorios, que al coicidir e la permutació correcta, permitía su apertura. La idea origial de covertir úmeros e palabras, como métodos memotécicos, se le atribuye al fracés Pierre Hérigoe e su Cursus Mathematicus, de 1634, r dode aparece la fórmula C explícitamete. Ejemplo TENIS. Cuátos partidos diferetes de teis dobles mixtos se puede orgaizar co 4 hombres y 5 mujeres? Cada equipo de dobles mixto lo juega 1 hombre y 1 mujer.

13 10 COMBINACIONES Primero cosideremos la coformació de cada uo de los equipos. El primer equipo se forma co 1 hombre de etre 4: C y 1 mujer de etre 5: C 5 ; 1 el segudo equipo se forma co 1 hombre de etre los 3 que queda: C 3 y 1 1 mujer de etre las 4 que queda: C 4 El producto de las dos primeras combiacioes proporcioa el úmero de 1 1 maeras de coformar el primer equipo ( CC ); el producto de las dos últimas combiacioes proporcioa el úmero de maeras de coformar el 1 1 segudo equipo ( CC ). Apelado al pricipio fudametal del coteo, se realiza el producto de esos dos valores ( ), pero e ellos se está icluyedo dos veces cada partido, porque ua misma pareja puede estar e el primer equipo o e el segudo; el problema se resuelve dividiedo el producto aterior, etre las permutacioes que se puede hacer etre los 2 equipos: CCCC partidos P 2! 2 La capacidad combiatoria es u compoete fudametal del pesamieto formal; es esecial para eteder a pleitud el desarrollo de la probabilidad. El cetro de ateció ha de estar e el razoamieto recursivo y e los procedimietos sistemáticos de eumeració y o e las defiicioes de las operacioes combiatorias i e los algoritmos. Es evidete la coveiecia del uso de diagramas de árbol, porque facilita la geeralizació, al permitir exteder u procedimieto a cualquier úmero de elemetos y adaptarlo a uevos problemas derivados. Números combiatorios Los úmeros de la forma!/r!( r)! so muy útiles e diversos tópicos matemáticos, recibe el ombre de úmeros combiatorios y, para desigarlos, se emplea u símbolo especial como otació: r! (1.23) C r r! r! dode es el grado del úmero combiatorio, y r es el orde del úmero combiatorio, 0 r. Cabe señalar que, e otros cotextos, si embargo, los úmeros combiatorios se puede defiir para cualquier y para cualquier r. Los úmeros combiatorios tiee varias propiedades que coviee coocer: a) Los úmeros combiatorios de orde cero vale uo: 1 0 b) Los úmeros combiatorios de orde vale uo: 1 c) Los úmeros combiatorios de orde 1 vale : 1 d) Los úmeros combiatorios de órdees complemetarios so iguales etre sí: r r

14 108 TÉCNICAS DE CONTEO e) Cada úmero combiatorio de grado r y orde r ( r 0, r ), se puede obteer de sumar dos úmeros combiatorios, uo del mismo orde, el otro de 1 1 u orde iferior y ambos de u grado iferior: r r r 1 Triágulo de Pascal Los úmeros combiatorios de todos los grados y de todos los órdees se puede acomodar e u arreglo triagular de la forma: Este arreglo triagular de los úmeros combiatorios se cooce co el ombre de Triágulo de Pascal, el que tambié puede ser expresado, sustituyedo los úmeros combiatorios por sus valores uméricos, como triágulo aritmético: Las propiedades de los úmeros combiatorios aalizados previamete, se verifica claramete al observar los dos triágulos ateriores. E efecto: Los úmeros combiatorios que está e los extremos de cada líea vale 1. Los úmeros combiatorios que se ecuetra colocados simétricamete respecto a la vertical que pasa por el vértice superior, so iguales. La suma de dos úmeros combiatorios adyacetes perteecietes a la misma líea horizotal, es igual al úmero combiatorio localizado imediatamete debajo de ellos. El Meru Prastara, atribuido a Pigala y datado e el siglo II a.c., fue la primera versió de lo que hoy coocemos como triágulo de Pascal. E los escritos de Al Karaji, del siglo X, y de Omar Kayyam, del siglo XI, existe referecias a ese triágulo. E Occidete, Blaise Pascal lo redescubrió e el siglo XVII y por eso lleva su ombre.

15 10 TEOREMA DEL BINOMIO Los úmeros combiatorios tambié recibe el ombre de coeficietes biomiales, e virtud de que sus valores correspode a los coeficietes del desarrollo de u biomio a b. E efecto, si es u etero o egativo: ab abab... ab ( factores) Al realizar la multiplicació, cada térmio del biomio desarrollado: aa... abb...b, es el producto de factores: r literales a y ( r) literales b, que e forma abreviada se expresa: ab r r ; el úmero de térmios de la forma r r ab se obtiee de cotar el úmero de maeras e que se puede elegir r literales a, de dispoibles, o de elegir ( r) literales b, de dispoibles, lo r cual está dado por el úmero combiatorio C 0 0 Así, el úmero de térmios de la forma ab es C, el úmero de térmios de la forma a b es C, el úmero de térmios de la forma a b es C 0,..., y el úmero de térmios de la forma ab es C. Por lo que el desarrollo del biomio se puede expresar: a b Ca b Ca b Ca b... C a b Ca b y e forma sitética se obtiee la expresió que se cooce como Teorema del r r r r r Biomio de Newto: ab Ca b a b r0 r0r (1.24) Ahora bie, si e la expresió (1.24) se hace: a = b = 1, se obtiee: 11 2 (1.25) r0r expresió que proporcioa el úmero de combiacioes de todos los órdees TEOREMA DEL BINOMIO Ejemplo EQUIPO DE BOMBEO. De cuátas maeras se puede seleccioar ua o más marcas de bombas cetrífugas para ua refiería, de etre 15 que se oferta? 15 El úmero de combiacioes de todos los órdees es: 2 32,768; pero este 0 resultado icluye la combiació C15 1, que debe restarse. De modo que el úmero de maeras e que se puede seleccioar ua o más marcas de bombas cetrífugas para ua refiería, de etre 15, es 32,767. Pascal fue el primero e percatarse de la relació de igualdad etre los úmeros combiatorios y los coeficietes biomiales. Teorema geeralizado del biomio Los coeficietes biomiales tiee u sigificado muy claro cuado y r so eteros o egativos, co 0 r :! r 1 r! r 1 r r! r! r! r! r! La expresió aterior tambié tiee setido si es u úmero real cualquiera, e tato r sea etero o egativo: r r! rr 1r 2... r! rr 1r 2... r 1! r!! r!! r 1 r 2... r r 1! r !! r 1!

16 110 TÉCNICAS DE CONTEO Utilizado esta versió extedida de los coeficietes biomiales, el teorema del biomio se geeraliza a través de ua expresió que ivolucra ua serie ifiita: (1.26) k 1 x x k0k Esta serie tiee sigificado para cualquier real y para todo valor de x tal que x < 1. Sólo si es u etero positivo, la serie tiee u úmero fiito de térmios. Ejemplo TEOREMA DEL BINOMIO. Calcule los valores de y 15. a través del teorema geeralizado del biomio como serie ifiita: 4 4! 4! 4! 4! 4! k0k 0! 4! 1! 3! 2! 2! 3! 1! 4! 0! ! k! k 1 k k! 4k! k! 4k! k! k 4k 1 4k k 4k 1! k 4k k! k! 41! k 4 4 k k 4k 1 k 4k 1 k k0 k k0 k k0 k 3! 0 4! 1 5! 2 4k 1! !! 13!! 23!! k3!! k 105. x Se cree que el teorema del biomio, como tal, fue descubierto por el igeiero persa Al Karaji, hacia el año 1000; su primera publicació, empero, fue realizada por Joh Wallis, e 1685, atribuyedo a Isaac Newto el descubrimieto. Basado e los métodos de iterpolació y extrapolació coteidos e la Aritmética de Wallis, Newto desarrolló sus propias ivestigacioes sobre series ifiitas, el teorema del biomio y su geeralizació PROBLEMAS CLÁSICOS Proporcioes a favor y e cotra Procedete del mudo del juego, hay otra maera de represetar la probabilidad de ocurrecia de u eveto: la relació etre el úmero de oportuidades a favor del eveto y el úmero de oportuidades e cotra, ambos expresados como eteros. E iglés, esta relació se deomia odds, para el que o existe u vocablo equivalete e castellao y por lo que o existe ua traducció comúmete aceptada. U odds idica cuato más probable es que el eveto ocurra a que o ocurra; u odds 4:1 se lee cuatro a uo, se iterpreta como que hay 4 oportuidades a favor por 1 e cotra y es equivalete a decir que la probabilidad es 4/5; u odds 1:1 se lee uo a uo, sigifica que hay equiprobabilidad, co tatas oportuidades a favor como e cotra y es equivalete a decir que la probabilidad es 1/2.

17 1 PROBLEMAS CLÁSICOS Cardao ejemplificó el cocepto co u juego e el que al lazar dos dados, u jugador gaaría si e el tiro aparecía u 1, u 2 o u 3; había etoces 27 oportuidades de gaar, de 36 posibles: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2,), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3), (6,1), (6,2), (6,3); y evidetemete había 9 oportuidades de perder, de maera que e este caso, la proporció sería 27:9 o 3:1, y e forma equivalete, la probabilidad de gaar sería de 27/36 = 3/4 y la probabilidad de perder 9/36 = 1/4. Galileo y los tres dados Cosme II de Medici, duque de Toscaa era jugador cotumaz de dados y observó que e u juego e el que se suma los putos obteidos al lazar tres dados, siempre era más frecuete el 10 que el 9, y o etedía por qué, ya que ambas sumas se obtiee de 6 maeras: para el 9: (1, 2, 6), (1, 3, 5), (1, 4, 4), (2, 2, 5), (2, 3, 4), (3, 3, 3), y para el 10: (1, 3, 6), (1, 4, 5), (2, 2, 6), (2, 3, 5), (2, 4, 4), (3, 3, 4). El duque cosultó el problema co su protegido y otrora maestro Galileo, quie le explicó a detalle ua solució, basada e algo muy simple: los resultados (1, 2, 6), (1, 6, 2), (2, 1, 6), (2, 6, 1), (6, 1, 2) y (6, 2, 1) so distitos, 6 ordeacioes de ua misma combiació, los resultados (1, 4, 4), (4, 1, 4) y (4, 4, 1) so distitos, 3 ordeacioes de ua misma combiació, y fialmete el resultado (3, 3, 3) es ua combiació que sólo tiee ua ordeació posible. E efecto, las frecuecias de la suma 9 y de la suma 10 so: f 9 O621 O531 O522 O441 O432 O f 10 O631 O622 O541 O532 O442 O Por simetría: y f 11 f f 12 f 9 25 Galileo cocluyó que es preferible apostarle al 10 y al 11, ates que al 9 y al 12, porque co el 10 y co el 11 hay 27 posibilidades, mietras que co el 9 y co el 12 sólo hay 25. Y el Gra Duque apredió a distiguir ordeacioes de combiacioes. El error de D Alembert Jea D Alembert fue u famoso matemático fracés del siglo XVIII, a quie e 1754 le fue plateado el problema de determiar la probabilidad de obteer al meos ua cara cuado se laza dos moedas. Es claro que el espacio muestral asociado a este experimeto está formado por 4 putos muestrales: S = {(CC), (CX), (XC), (XX)}; de estos 4 posibles resultados, 3 so favorables a que caiga al meos ua cara: A = {(CC), (CX), (XC)}, por lo que la probabilidad buscada es 3/4. Si embargo, e su mometo, D Alembert razoó el problema de maera icorrecta, al cosiderar que las posibilidades era: dos caras, dos cruces y ua cara y ua cruz; de estos 3 casos posibles, 2 era favorables, por lo que la probabilidad buscada era 2/3. Para visualizar la solució del problema coviee realizar el experimeto co dos moedas de diferete deomiació.

18 112 TÉCNICAS DE CONTEO D Alembert recurrió a la defiició clásica de probabilidad, pero pasó por alto uo de sus requisitos: que los putos muestrales debe ser igualmete verosímiles, lo que o ocurre co la combiació CX, si o se establece la diferecia etre las permutacioes CX y XC. El error de D Alembert es típico e quie se iicia e el estudio de la probabilidad, cuado su coocimieto de la disciplia aú o está maduro. Apuestas vetajosas Atoie Gombaud, Caballero de Méré fue u filósofo fracés, aficioado a las matemáticas y experto jugador, que se iteresó particularmete e el aálisis riguroso del juego de dados, movido por sus iesperadas pérdidas. Gombaud recurrió a Pascal para que le explicara la razó, pues él sabía que era vetajoso apostar por obteer al meos u seis, e ua serie de 4 lazamietos de u dado, dode efectivamete gaaba; él supuso, que debía ser igualmete vetajoso apostar por obteer al meos u doble seis e ua serie de 24 lazamietos de u par de dados, pero co ello ormalmete perdía. Supuso proporcioalidad y utilizó ua regla de tres simple: 4 es a 6 igual que 24 a 36. No se cooce la solució que dio Pascal al problema; se sabe que lo resolvió porque así se lo hizo saber a Fermat e ua carta, ivitádolo a descubrirla fácilmete, dados los pricipios que teía. E cada lazamieto de u dado hay 6 posibles resultados; e ua serie de lazamietos, los resultados posibles so: OR Para calcular el úmero de resultados que cotiee al meos u 6, coviee hacerlo por complemeto, es decir, calculado primero los resultados co 4 4 valores del 1 al 5, cuatro veces seguidas: OR Por lo tato, el úmero de resultados que cotiee al meos u seis es: Expresado esto e forma de proporció: 671 : 625, se distigue claramete la pequeña vetaja que tiee el que apuesta por al meos u seis e 4 lazamietos del dado. Expresado como probabilidad: Del mismo modo, e cada lazamieto de u par de dados hay 36 posibles resultados; e ua serie de 24 lazamietos, los resultados posibles so: OR Para calcular el úmero de resultados que cotiee al meos u doble seis, coviee hacerlo por complemeto, es decir, calculado primero los resultados que o so u doble seis, veiticuatro veces seguidas: OR Por lo tato, el úmero de resultados que cotiee al meos u seis es: Expresado esto e forma de proporció: : 35, se tiee que hacer operacioes para darse cueta de la pequeña vetaja que tiee el que apuesta por al meos u doble seis e 24 lazamietos de dos dados. Expresado como probabilidad: Al observar que la desvetaja era ta pequeña, se hace difícil de creer que, efectivamete Gombaud la haya podido percibir empíricamete. Se sabe que el problemas ya llevaba bastate tiempo circulado etre los estudiosos de la época; otra posibilidad es que, habiedo llegado Gombaud a ese resultado, por si mismo, le surgiero dudas que quiso disipar co Pascal. Es fácil darse cueta que co 25 lazamietos de u par de dados, e vez

19 1 PROBLEMAS CLÁSICOS de 24, la desvetaja se covierte e vetaja: : 35, co ua probabilidad equivalete de E codicioes de equidad, el problema podría ser plateado como la determiació del úmero de lazamietos que garatiza el equilibrio, que ocurre cuado las probabilidades de gaar y perder coicide. Quicux de feria Todavía se llega a ecotrar e alguas ferias u atractivo juego e el que por $20, u participate puede gaar u premio de hasta $200, itroduciedo e u tablero ua bolita, que baja por u embudo y siguiedo ua trayectoria impredecible, sortea ua serie de obstáculos ocultos, hasta fialmete caer al pié del tablero, e ua de las 13 casillas posibles, abajo de cada ua de las cuales está grabados los premios asigados a cada ua. Tal aparato fue ivetado por Sir Fracis Galto y e su versió de feria, está formado por u tablero vertical sobre el que se ha colocado doce filas de clavos itercalados uiformemete distribuidos, emulado la forma del triágulo de Pascal y la distacia etre clavos depede del diámetro de las bolitas, para que o se atore; el arreglo de los clavos sigue el patró quicux, usual e la platació de huertos, a base de líeas rectas, para uso eficiete del espacio, como repitiedo cosistetemete el acomodo de los cico putos e u dado; de ahí que Galto lo deomiara máquia Quicux ;.

20 114 TÉCNICAS DE CONTEO Lo que el participate o puede ver es la malla de clavos y el caso es que, al tropezar co cada uo de los clavos, hay 50-50% de probabilidades de que la bolita caiga a la izquierda o a la derecha. La mayor parte de las veces, la bolita termia cayedo e las casillas cetrales y, por supuesto, los bueos premios está e los extremos. E el juego de feria cada bolita jugada se saca del tablero, para evitar cofusioes. Pero el dueño del egocio sabe que si se dejara caer u úmero suficiete de bolitas, por ejemplo 100, se puede observar que éstas se amotoa e la parte cetral, adquiriedo forma de curva acampaada. Y siempre que se repita el experimeto, las bolitas se acumulará de la misma forma. Esta curva recibe el ombre de campaa de Gauss o curva ormal. El comportamieto secreto de las trayectorias de las bolitas está determiado por el triágulo de Pascal, pues las probabilidades de que las bolas tome ua u otra direcció so proporcioales a los úmeros combiatorios que cotiee dicho triágulo. Coforme a esto, si se dejara caer 4096 bolitas e el aparato, la distribució teórica e las 13 casillas, sería como sigue:

21 1 PROBLEMAS CLÁSICOS Co 100 bolitas lazadas, teóricamete se tedría que pagar $879 por cocepto de premios: Co u precio de participació de $20, el igreso sería de $2000 y la gaacia para el egocio sería de $1121. El jugador solo tiee ua probabilidad de 2/4096 = 0.05% de obteer el premio máximo de $200 y la probabilidad de 24/4096 = 0.59% de obteer el premio de $100; pero su probabilidad de o recuperar su cuota de participació es de 3498/4096 = 85.4%. Así so los juegos de azar.

22 116 TÉCNICAS DE CONTEO Gerolamo Cardao era u médico italiao de espíritu iquieto, que icursioó e varios campos del coocimieto, haciedo e ellos ricas aportacioes; como jugador empederido que era, se iteresó e usar las matemáticas para estudiar el comportamieto de los juegos de azar. Hacia 1565 escribió el Liber de ludo aleae, pero habiedo sido acusado de herejía, cuado quedó libre, le fue prohibido publicar, así que su obra se dio a coocer hasta 1663, a 90 años de su muerte. E su tiempo, los juegos de azar teía lugar e taberas y mesoes semicladestios, que si embargo ofrecía a los jugadores codicioes de equidad; e toda su obra, los aálisis matemáticos de Cardao partía del pricipio de igualdad que debe regir e todo juego de azar, porque para él, si esa igualdad de codicioes se rompe, si hay desvetaja es ua locura participar e el juego, y si hay vetaja, es ijusto aprovecharse de ella. Galileo Galilei tambié se iteresó e los juegos de azar y hacia 1620 escribió ua pequeña obra, iicialmete deomiada Sopre le Scoperte dei dadi, e la que a través de la expresió 6³ = 216, calculó el úmero de posibles resultados del lazamieto de tres dados; tambié obtuvo el úmero de maeras diferetes como se puede lograr cada ua de las putuacioes etre 3 y 18. Co el declive del Reacimieto, se desmoroó la image del uiverso salvaguardada por el dogmatismo clerical, particularmete alrededor de Italia, por lo que, a mediados del siglo XVII, la situació ya había cambiado; los filósofos y los cietíficos ya podía publicar, si ser acusados de herejía y los jugadores podía jugar, si ser juzgados pecadores. Estos cambios cotribuyero al surgimieto de uevos juegos de azar más sofisticados, co apuestas mucho más elevadas y a la aparició de u participate especial e el juego, la llamada Baca, que tedría ua vetaja matemática a su favor sobre los demás apostadores. Quizá por ello, los jugadores se empezaro a iteresar por las apuestas vetajosas, solicitado el auxilio de los matemáticos de la época; así fue como el Caballero de Meré ivolucró a Blaise Pascal y a Pierre de Fermat, e problemas de juego, dado orige formal al aálisis combiatorio y a la teoría de la probabilidad. Todos los sabios pioeros usaro el cociete N(A)/N, pero o le llamaba probabilidad; para ellos, el problema cosistía e cotabilizar el úmero de resultados favorables y de resultados posibles. E 1666, Gottfried Leibiz publicó su Ars Combiatoria, que era ua versió ampliada de su tesis doctoral; pero él mismo cosideraría luego que ese trabajo suyo era imaduro, o obstate ser del todo origial. Los resultados fudametales del aálisis combiatorio fuero abordados por Jacobo Beroulli, e su obra póstuma de 1713, Ars Cojectadi, el primer tratado importate sobre la teoría de las probabilidades, trabajo e el que icluyó ua teoría geeral de permutacioes y combiacioes, así como el teorema del biomio, e la forma como se cooce e la actualidad.