CAMPO GRAVITATORIO: INTRODUCCIÓN

Transcripción

1 CAPO GAVIAOIO: INODUCCIÓN.. EY DE GAVIACIÓN UNIVESA. Compaa la fueza gaitatoia que ejecen, uno sobe oto, dos cuepos de masa, sepaados una distancia, con la que ejecen ente sí dos cuepos de masa, situados a una distancia /. Cuando las dos masas de alo están sepaadas una distancia, el módulo de la fueza F es: Cuando la masa tiplica su alo y la distancia es eces infeio, la fueza pasa a ale: F' G G 4 ( ) ( ) Diidiendo una ente ota, esulta: F G G 4 F' 4 8 F G Como emos, el módulo de la fueza aumenta 8 eces.. Compaa ahoa la fueza gaitatoia que ejecen, uno sobe oto, dos cuepos de masa, sepaados una distancia, con la que ejecen ente sí esos dos mismos cuepos sepaados una distancia. a fueza gaitatoia que ejecen ente sí dos cuepos de masa, sepaados una distancia, es: F G Si la distancia que sepaa ambos cuepos es : G F G 4 ( ) G G En este caso, el módulo de la fueza disminuye cuato eces su alo: G F' 4 F 4 G Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción

2 .. EY DE GAVIACIÓN UNIVESA: EXPESIÓN VECOIA. Calcula la fueza con que se ataen dos láminas planas, de kg cada una, al situalas paalelamente, una al lado de la ota, sepaadas po una distancia de 50 cm. Aplicando diectamente la ecuación de la gaitación uniesal, el alo de la fueza esulta: F G m , 0 667, 0 N 05, El esultado podía se objetable, ya que las masas se encuentan a tan cota distancia una de la ota, 50 cm, que esulta difícil imaginalas puntuales.. Po qué no pecibimos en el mundo macoscópico los efectos gaitacionales de un sistema como el que descibe la actiidad anteio? No lo apeciamos poque las aiaciones son tan pequeñas que esultan difíciles de medi. Hemos de tene en cuenta, además, que en su expeiencia Caendish eliminó pácticamente el ozamiento. En el mundo macoscópico, el ozamiento siempe está pesente y, muchas eces, las fuezas de atacción gaitatoia no son lo suficientemente eleadas como paa encelo.. En qué punto, a lo lago de la línea que une dos masas, una tiple que la ota, se anula el campo gaitatoio esultante? El campo esultante en un punto del espacio es la suma del campo que cean cada una de las masas. omaemos como oigen el punto donde se encuenta la masa de alo. El campo que cea esta en un punto situado a una distancia de ella es: Supondemos que la distancia que sepaa las masas es. Siendo así, el campo que cea la masa de alo en ese mismo punto es: g Obsea el signo. El sentido en que actúa ahoa el campo es contaio al anteio, ya que el punto desconocido se encuenta ente ambas masas. El campo esultante seá la suma de ambos, y ha de se nulo paa el punto pedido: g g G + + G 0 ( ) ( ) Al despeja en esta expesión, esulta: g G G ( ) ( ) + 0 0,66 El punto donde se hace nulo el campo está a una distancia del oigen 0,66, siendo la distancia ente las masas. u u Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción

3 4. Dos masas, de 5 y 0 kg, espectiamente, están situadas en los puntos (0, ) y (4, 0) m. Calcula el ecto fueza que actúa sobe cada una de ellas debido a la acción gaitatoia de la ota masa. Dibuja un esquema y epesenta sobe él las masas y los ectoes fueza. El esquema al que se efiee el enunciado es el siguiente: y (m) m 5kg u, F, 0 F, u, m 0kg 4 x (m) Al esole este poblema, denotaemos la masa de 5 kg con el subíndice, y la de 0 kg, con el subíndice. El ecto fueza tiene como línea de acción la que une ambas masas, estando su sentido diigido, en cada caso, hacia la masa que oigina la fueza. Calculemos, en pime luga, el ecto unitaio u, que seá:, 4i j u 08, i 06, j, 5 Po tanto, el ecto fueza, F,, es: Dado que las masas se ataen una a ota, el ecto unitaio seá el mismo en ambos casos, aunque con sentidos opuestos. Po tanto: 4 i j u + 08, i + 06, j, 5 de donde esulta: F G m 50 u G (, 08i 06, j),, 5 667, 0 ( 6, i, j) N F G m 50 u G ( 08, i + 06, j),, 5 667, 0 ( 6, i +, j) N 5. Calcula la masa de un cuepo que es ataído po oto de 50 t con una fueza de 0 7 N al situalos a una distancia de 00 m ente sí. a fueza de atacción ente dos masas la popociona la ley de la gaitación uniesal: F G m Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción

4 De la expesión anteio podemos despeja diectamente la masa del cuepo: m F G kg 6, 670 ( 500 ) 7 6. Con qué fueza se ataeían los dos objetos de la actiidad anteio al acecalos a 50 m, 0 m, 0 m, 5 m, m y m? epesenta la gáfica F-. En este ejecicio nos popocionan las masas y la distancia. Aplicando la ley de la gaitación uniesal en cada uno de los casos se obtiene la siguiente tabla: asa (kg) asa (kg) Distancia (m) Fueza (N) , , , , , ,0 0 a epesentación gáfica de los datos anteioes es la siguiente: Fueza (N),0. 0 8, , ,0. 0 4, Distancia (m) En la gáfica emos cómo disminuye la fueza con el cuadado de la distancia (esta gáfica se puede ajusta a una función del tipo F() k/. 7. Aunque no lo hemos indicado antes, tal como la hemos obtenido, la ley de Newton de la gaitación uniesal sie paa masas puntuales, es deci, paa masas cuya acción gaitatoia pueda suponese que pate de un solo punto. Analiza esta afimación e imagina qué poblemas apaecen si las masas son extensas. El poblema se puede pesenta cuando el tamaño de las masas sea del mismo oden de magnitud que las distancias que las sepaan. Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción 4

5 Po ejemplo, la iea y la una son masas muy extensas. Sin embago, podemos considea que son puntuales, al compaa el tamaño de cada una de ellas con la distancia que las sepaa. De ese modo, podemos calcula la fueza gaitatoia que ejecen ambos astos sin excesios poblemas. Cuando, como ocue con un cuepo situado sobe la supeficie de la iea, queemos analiza la inteacción que ejece la iea sobe él, el cálculo paece complicase, ya que la popia extensión de la iea hace que la masa situada en cada punto poduzca un campo gaitatoio en esa diección, y no en ota. Sin embago, Newton demostó que la acción del campo gaitatoio ceado po un cuepo esféico extenso es igual a la que poduce una masa puntual igual a la del cuepo esféico que contemplamos situada en el cento de masas de esta. Po tanto, basta supone que toda la masa de la iea está concentada en el cento de ella, y esole el poblema con objetos puntuales... ENEGÍA POENCIA GAVIAOIA. a masa del planeta Júpite es, apoximadamente, 8 eces la de la iea, y su diámeto es eces mayo. Con estos datos, calcula el peso que tendá en ese planeta un astonauta cuyo peso en la iea es de 750 N. a fueza con que cada planeta atae al astonauta situado en su supeficie es el peso del astonauta en ese planeta, y se calcula po medio de la ley de la gaitación uniesal: F Peso G m planeta planeta eniendo pesente lo anteio, si elacionamos los pesos del astonauta en cada planeta, esulta: F F iea Júpite iea G iea G Júpite Júpite En esta expesión podemos sustitui los aloes que conocemos, obteniendo, de ese modo, el peso del astonauta en Júpite. Po tanto: Júpite 8 iea ; Júpite iea F Júpite Júpite F iea iea iea 8 ie a ( ) iea P Júpite F Júpite F iea N iea iea Júpite Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción 5

6 . Calcula el punto, de la línea ecta que une la iea con la una, en el que la fueza gaitatoia esultante sobe un objeto de 0 kg de masa es nula. Qué alo toma la enegía potencial gaitatoia en ese punto? Datos: 8 ; d, m. Obsea que el dato de la masa del cuepo es inútil, ya que busca un punto donde la fueza se anule es lo mismo que busca un punto en el que el campo gaitatoio se anule. Se tata, pues, de enconta un punto en la diección iea-una en el que el campo gaitatoio sea nulo. En pime luga, calculaemos el campo gaitatoio ceado po cada cuepo. omaemos como eje OX positio la línea iea-una, en el sentido iea a una. El oigen del eje seá el cento de la iea. De este modo: g G 8 u X ; g G u ( X) Si aplicamos el pincipio de supeposición y sustituimos: g + g G 8 X (, X) u Al iguala a ceo la expesión anteio, obtenemos una ecuación de segundo gado cuya incógnita es la distancia X con especto al cento de la iea, distancia a la cual el campo gaitatoio se anula: a distancia esulta se X, m. 80 X 6, 0 0 X +, a enegía potencial en ese punto, paa el cuepo de 0 kg, se calcula po medio de la expesión: E p m V El potencial V g, en cualquie punto de la ecta, seá la suma algebaica de los potenciales ceados po cada una de las masas: V g V + V G + X 8 ( X) Sustituyendo paa el punto X, m, y sabiendo que 5, kg, se obtiene: V g V + V 6, , , , (,84,46) 0 8 V g,8 0 6 J kg siendo la enegía potencial: E p m V 0,8 0 6,8 0 7 J NOA: Dado que el enunciado no popociona el dato de la masa de la iea, es coecto también deja el esultado en función de esta. Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción 6

7 .4. E OVIIENO DE OS SAÉIES. Calcula el tabajo que debemos ealiza paa pone en óbita un satélite de 0 kg de masa si la óbita que descibe el satélite es cicula alededo de la iea y la altua a que se encuenta de la supeficie teeste es de 00 km. Antes de su lanzamiento, el satélite posee enegía potencial, y una ez situado en su óbita, a una altua h (paa lo cual es necesaio comunicale enegía en foma de tabajo), posee enegía potencial gaitatoia y enegía cinética. Po tanto, teniendo en cuenta la ley de conseación de la enegía, esulta: E supeficie + W E óbita W (E c + E p ) óbita (E p ) supeficie Sustituyendo las expesiones coespondientes a E p_supeficie, E c_óbita y E p_óbita en la ecuación anteio, esulta: W m G m G m + eniendo en cuenta la expesión de la elocidad obital (página 50 del libo del alumno) y que + h, al opea esulta: W G m ( + h) W 6,67 0 5, ( ) 0 W,8 0 8 J. Calcula el tabajo que seía necesaio ealiza, en el caso anteio, si quisiésemos pone un satélite de las mismas caacteísticas en óbita alededo de la una, también a 00 km de distancia de la supeficie luna. El azonamiento y los datos son los mismos que en el ejecicio anteio, salo que, en este caso, el gio es alededo de la una. Po tanto, el tabajo esulta: W G m ( + h) W 6,67 0 7, ( ) 0 W, J. Qué conclusión obtienes del esultado de las dos actiidades anteioes? Al se la una un cuepo de meno masa que la iea, cea un campo gaitatoio menos intenso. Debido a ello, equiee menos enegía pone un mismo cuepo en óbita desde la supeficie de la una que hacelo desde la supeficie de la iea. 4. Calcula la elocidad con que obita un satélite situado a 00 km de la supeficie de la iea y la elocidad con que lo hace oto situado a 400 km de dicha supeficie. Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción 7

8 El satélite ealiza un moimiento cicula alededo de la iea. a fueza centípeta que hace posible dicho moimiento es, pecisamente, la fueza de gaitación uniesal: F c m F G m g De la expesión podemos despeja la elocidad, que esulta: G Si sustituimos, teniendo en cuenta que + h, la elocidad es: 4 598, , 7, 79 km s ( ) 0 Po ota pate, el satélite situado en óbita a 400 km se moeá con una elocidad: 4 598, , 7, 676 km s ( ) 0 5. En la actiidad anteio, cómo podemos taslada el satélite de la pimea a la segunda óbita? Calcula el tabajo que debeíamos ealiza paa conseguilo. El tabajo necesaio paa desplaza el satélite de la pimea a la segunda óbita seá la difeencia ente las enegías totales del satélite en cada una de dichas óbitas. a expesión de la enegía iene dada po: E E E m G m + c p + h G m + h Po tanto, el tabajo seá: W ext E E G m + + W 6,67 0 5, , , W 8, J El tabajo es positio, ya que la enegía que necesita el sistema hay que apotala del exteio. h h.5. SAÉIES GEOESACIONAIOS. Un pasajeo, de 60 kg de masa, sube en un ascenso, que aanca y se elea. Calcula el peso apaente del pasajeo si: a) El ascenso asciende aceleando a m s. b) El ascenso detiene el moimiento de subida fenando a m s. Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción 8

9 c) El ascenso desciende aceleando a m s. d) El ascenso detiene el moimiento de bajada fenando con esa misma aceleación. e) El ascenso se muee, en subida o bajada, con elocidad unifome. El pasajeo está sometido a la fueza peso y a la eacción nomal del suelo (peso apaente); la eacción coincide con el peso que egista la balanza: N N P' El peso apaente del pasajeo, en cada uno de los supuestos que popone el enunciado de la actiidad, de acuedo con la segunda ley de la dinámica, es el siguiente: a) En este caso: N m g m a N m (g + a) 60 (9,8 + ) 708 N Balanza m. g b) Ahoa el ascenso fena al subi. Po tanto: c) En este caso: N m (g a) 60 (9,8 ) 468 N N m (g a) 60 (9,8 ) 468 N d) Cuando el ascenso fena en el moimiento de bajada: e) Si sube: Si baja: N m (g + a) 60 (9,8 + ) 708 N N m g 60 9,8 588 N N m g 60 9,8 588 N. Imagina que ienes de hace la compa y subes al ascenso con dos bolsas de plástico, bastante pesadas, llenas hasta los topes con lo que has compado. Un ecino sube al ascenso contigo y, paa que no sueltes las bolsas y se te despaame lo que lleas en ellas, pulsa el botón del piso al que as. Amablemente, le das las gacias mientas el ascenso se pone en macha Poco después estáis los dos limpiando el ascenso y peguntándoos qué ha podido ocui Seías capaz de explicalo? Antes de esponde, piensa en las espuestas que hayas dado al esole la actiidad anteio. a situación que plantea el enunciado es simila a la del apatado a) de la actiidad anteio. Cuando el ascenso acelea en su subida, el peso apaente de las bolsas aumenta; si las bolsas de plástico llenas se encontaban sometidas a una tensión eleada paa su esistencia, ese peso adicional ha teminado po ompelas, cayéndose su contenido. Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción 9

10 .6. VEOCIDAD DE ESCAPE. a masa del es eces mayo que la de la iea, y su adio, 08 eces mayo que el teeste: a) Cuántas eces es mayo el peso de un cuepo en la supeficie del que en la de la iea? b) Cuál seía la altua máxima alcanzada po un poyectil que se lanzase eticalmente hacia aiba, desde la supeficie sola, con una elocidad de 70 km h? Considea g 0 m s. a) a intensidad del campo gaitatoio, g, es popocional a la fueza con la que el o la iea ataen deteminado cuepo: F G m gm Así, el cociente ente el peso de un cuepo (fueza con que es ataído) en el o la iea y la intensidad del campo gaitatoio en cada planeta es el mismo. eniendo pesente lo anteio, y según la definición de campo gaitatoio, podemos escibi: F F iea G g g G iea iea iea Sustituyendo los datos que popociona el enunciado: F F iea b) Paa esole este apatado, debemos tene en cuenta que el campo gaitatoio es conseatio, y si solo actúan las fuezas del campo, se consea la enegía del sistema (fomado en este caso po el cuepo que estamos consideando). Po tanto: de donde esulta: iea , 8 F 7, 8F ( 08) iea E E supeficie altua _ h G m m G m + + h G + G + h ecueda que en el apatado anteio hemos obtenido la elación: g G g G ( 08 ) g 08 iea iea iea iea Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción 0

11 de donde esulta: Po tanto: G g g 08 iea iea g iea iea G + G + h g g iea iea iea h iea iea Desaollando la expesión anteio, y despejando, esulta: g iea iea 08 + h iea iea iea h 08 iea g Obsea que h queda en función del adio de la iea, que no es un dato que popocione el enunciado del poblema. Po ello, y dado que la elocidad con que se ealiza el lanzamiento es elatiamente baja, amos a supone que la intensidad del campo gaitatoio sola es pácticamente constante en cualquie punto de la tayectoia que ecoe el poyectil. Po tanto, situando el oigen de potenciales en la supeficie sola, la conseación de la enegía nos pemite escibi ahoa la siguiente elación: iea iea m m g h h máx máx g iea en la que, sustituyendo los datos que popociona el enunciado, esulta: h máx 7,8 g iea ,8 0 7,89 m Obsea que, ascendiendo tan solo 7 metos, la intensidad del campo gaitatoio no se modifica, y esulta aceptable la apoximación que hemos establecido.. En la actiidad anteio, calcula la elocidad de escape que debeía adquii un cuepo paa sali del campo gaitatoio del. Dato: 6,8 0 8 m. Paa calcula la elocidad de escape, hemos de aplica la expesión: g Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción

12 eniendo en cuenta la elación del campo gaitatoio ente la iea y el (obtenida anteiomente) y el adio del, podemos calcula diectamente la elocidad de escape: g giea 7, 8 0 6, km s g iea 8. En un planeta cuyo adio es /, la aceleación de la gaedad en su supeficie es de 5 m s. Calcula: la elación P / y la elocidad de escape desde la supeficie del planeta, si g 0 m s y 5, kg. De la elación ente las expesiones que coesponden al campo gaitatoio de la iea y el planeta desconocido podemos despeja la elación que existe ente las masas de los planetas: g g P G G P P P P g g P a elocidad de escape puede calculase mediante la expesión: g El campo gaitatoio del planeta es un dato del enunciado. El adio del planeta lo podemos obtene a pati del adio de la iea. Paa calcula el alo del adio de la iea, consideaemos g 0 m s. De ese modo: P P g G G g 4 6, , , 6 km Po tanto, la elocidad de escape del planeta esulta: 6 5, 6 0 g 5 P 56, km s.7. EYES DE KEPE. Aplica la tecea ley de Keple paa calcula la distancia que sepaa cada planeta del. Busca los datos que pecises paa ello en una enciclopedia. Consulta la espuesta a esta actiidad en la siguiente.. Ente todos los planetas que obitan en tono al, cuál es el que se muee más lento? Po qué? Justifícalo, aplicando las leyes de Keple. Paa que cada pofeso o pofesoa esuela estas cuestiones con sus alumnos del modo que estime más pocedente, incluimos una tabla con los datos astonómicos que coesponden a los planetas del sistema sola: Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción

13 Caacteísticas de los planetas del Sistema a Nombe Diámeto () Distancia al sol () Peíodo de eolución () Peíodo de otación (4) Excenticidad Inclinación especto a la eclíptica ( ) asa (5) Densidad media (kg m ) ecuio 0,8 0,87 0,4 59 0,06 7 0, Venus 0,95 0,7 0,65 4 0,007,4 0, iea,00,000,000 0,07 0, ate 0,5,54,88,0 0,09,9 0, Júpite, 5,0,86 0,4 0,048, 8,00 0 Satuno 9,4 9,59 9,458 0,44 0,056,5 95, 690 Uano,98 9,8 84,05 0,67 0,047 0,8 4, Neptuno,84 0,057 64,788 0,65 0,009,8 7, 70 Plutón 0,7 9,75 47,7 6,9 0,5 7, 0, () En diámetos teestes () En distancias iea- () En años teestes (4) En días teestes (5) En masas teestes ACIVIDADES DE A UNIDAD CUESIONES. Del análisis dimensional de la constante de gaitación uniesal se despende que podemos expesa esta constante en función de sus magnitudes fundamentales como: a). c). b). d). Obtendemos las dimensiones de la constante G a pati de la expesión que pemite calcula la intensidad del campo gaitatoio: a espuesta coecta es, po tanto, la a). g G [ ] [ g] G [ ]. Un satélite atificial, de masa, gia alededo de la iea en una óbita de adio, con una elocidad. Si cambia de óbita, pasando a ota más póxima a la iea, debe: Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción

14 a) Disminui la elocidad. b) Aumenta la elocidad. c) No necesita modifica su elocidad. d) a elocidad no influye; son otos factoes los que inteienen. a elocidad con que se muee un satélite en óbita es: G Si se apoxima a la iea, disminuye el adio de la óbita,, y aumenta, po tanto, la elocidad,. a espuesta coecta es la b).. Al se G una constante uniesal: a) El campo gaitatoio que cea una masa es igual en todos los puntos del espacio. b) El campo gaitatoio que cea una masa no depende del medio que odea al cuepo. c) El campo gaitatoio que cea una masa depende del medio que odea al cuepo. d) Al menos dos de las afimaciones anteioes son cietas. Que G sea una constante uniesal implica que, a pesa del medio, una masa de deteminado alo ceaá a su alededo siempe el mismo campo gaitatoio. a espuesta coecta es la b). 4. El momento angula de la una especto a la iea y el de la iea especto al son constantes. Podemos afima, po tanto, que el momento de la una especto al : a) Es constante. b) No es constante; es mayo en el noilunio (luna nuea). c) No es constante; es mayo en el plenilunio (luna llena). d) Necesitamos más datos paa pode indica algo en uno u oto sentido. El momento angula de la una especto al depende en cada instante de la distancia a que se encuentan y de la elocidad con que la una se muee especto al. Es necesaio, po tanto, analiza con mayo detalle la óbita de la una paa pode afima algo al especto. a espuesta coecta es la d). 5. Dos masas, m y m', están sepaadas una distancia. Si las apoximamos hasta una distancia 0,, el módulo de la fueza gaitatoia que actúa ente ellas: a) Disminuye 00 eces. b) Disminuye 0 eces. c) Aumenta 0 eces. d) Aumenta 00 eces. Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción 4

15 as espectias fuezas gaitatoias, antes y después de aceca las masas, son: F G m m Diidiendo una ente ota: Po tanto, la espuesta coecta es la d). G m m F 00, F F G m m 00 00, F 6. as teoías de la eolución estela muestan que, en cietas etapas de su eolución, las estellas odinaias, como el, pueden hinchase consideablemente (gigantes ojas) o contaese de foma catastófica (enanas blancas). En el caso del : a) Si se coniete en gigante oja, nos ataeá con más fueza. b) Si se coniete en enana blanca, nos ataeá con menos fueza. c) En ambos casos, se modificaá la óbita de la iea. ; F G m m G m m (, 0) 00, d) De lo anteio no se deduce ningún cambio gaitacional apeciable paa la iea. El campo gaitatoio que el poduce sobe la iea iene dado po: g G iea _ Aunque la estella se contaiga o se agande, su masa no aiaá. Del mismo modo, el hecho de que aíe el olumen de la estella tampoco haá cambia la distancia iea-. Es deci, un cambio como el citado no tendá influencias gaitacionales sobe la iea. a espuesta coecta es, po tanto, la d). No obstante, dicho cambio sí influiía sobe el campo gaitatoio en la supeficie del. Si se conitiese en enana blanca, el adio disminuiía y el campo en la supeficie del aumentaía. Si pasaa a gigante oja, el efecto seía el contaio. 7. Si un satélite que está giando alededo de la iea piede pate de su enegía po ficción, el adio de su nuea óbita es: a) ayo. b) eno. c) Se mantiene constante. a enegía mecánica total que posee un satélite en óbita, suma de sus enegías cinética y potencial, es: E mec E c + E p E mec G m s + + h G m s + h G m s + h Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción 5

16 El signo que coesponde a la enegía es negatio, ya que el satélite es un objeto ligado al campo gaitatoio teeste. Si se analiza la expesión anteio, es fácil compende que, si la enegía de un satélite disminuye, el adio de la nuea óbita debe hacelo también. a espuesta coecta es, po tanto, la b). 8. Indica cómo seá la óbita de un planeta si se muee siempe con la misma elocidad. De acuedo con la segunda ley de Keple, la tayectoia debe se cicula, ya que, de ese modo, el áea baida po unidad de tiempo seá siempe la misma. EJECICIOS 9. a elocidad de escape, depende de la masa del objeto que queemos que escape de la atacción del campo gaitatoio? azona la espuesta. Se denomina elocidad de escape la elocidad mínima con que debe lanzase un cuepo que se encuenta sometido a la acción de un campo gaitatoio paa que escape de foma efectia a dicho campo. Paa ello debemos comunica enegía cinética a la nae en una cantidad tal que compense su enegía potencial gaitatoia (negatia). Po tanto, E c + E p 0, de donde esulta: G m m e Vemos en esta expesión que tanto el témino coespondiente a la enegía cinética como el coespondiente a la enegía potencial, son popocionales a la masa del objeto. Po tanto, la igualdad se cumpliá independientemente de cuál sea la masa del objeto. Simplificando, esulta: 0 e G 0. Un astonauta se apoxima a un planeta desconocido, que posee un satélite. El astonauta ealiza las siguientes mediciones: adio del planeta, adio de la óbita cicula del satélite y peíodo de eolución del satélite. Indica si puede, con ayuda de estas mediciones (indica con cuáles), calcula: a) a masa del planeta. b) a masa del satélite. c) a aceleación de la gaedad en la supeficie del planeta. d) a pesión atmosféica en la supeficie del planeta. a) a medida de la masa del planeta puede obtenese a pati de la tecea ley de Keple, dado que conocemos el adio de la óbita del satélite, s, y el peíodo, : G 4 π s p 4 π p G s Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción 6

17 b) No podemos obtene la masa del satélite, pues no disponemos de ningún dato aceca de la fueza gaitatoia ente ambos cuepos o de la enegía potencial del satélite. c) a aceleación de la gaedad (intensidad del campo gaitatoio) en la supeficie se puede halla a pati de la expesión: g G donde p es el adio del planeta y p se ha aeiguado en el apatado a). d) No podemos calcula la pesión atmosféica. De hecho, ni siquiea se sabe si el planeta tiene atmósfea, ni de qué sustancia o sustancias estaía compuesta.. Es posible que un satélite atificial desciba una óbita cicula alededo de la iea con una elocidad de km/s? azona la espuesta. a fueza centípeta que mantiene un satélite en óbita alededo de la iea es la fueza gaitatoia con que la iea lo atae. Po tanto: F c F g m G m Al simplifica y despeja, se obtiene la distancia especto al cento de la iea a que giaá un satélite con una elocidad de km/s: G 6,67 0 5,98 0 4, m ( 000) Esta distancia es, apoximadamente, la distancia ente la iea y la una.. Calcula la intensidad de campo gaitatoio que cean dos masas, y m, en un punto P, en los cuato casos epesentados en la figua. En todos los casos, las intensidades de los campos ceados po y m tienen en P como módulo 5 y 0 N/kg, espectiamente. p p cm P cm cm P cm m m cm P cm m m cm P 0 cm Se tata de constui los ectoes campo gaitatoio en el punto P paa cada una de las situaciones popuestas. En cada caso, supondemos un sistema de efeencia OXY situado en el punto P. Debemos tene en cuenta que el campo gaitatoio tiene la diección de la línea que une la masa que lo cea y el punto P, estando diigido su sentido hacia la masa. Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción 7

18 Obsea que las distancias que se popocionan en la figua no son datos útiles, puesto que ya tenemos los módulos del campo ceado po cada masa en el punto P como dato del enunciado. En cada uno de los casos obtendemos el ecto campo gaitatoio que cea cada masa. uego aplicaemos el pincipio de supeposición: Caso a) Caso b) Caso c) g g m g g g g m m g g + g g u + g u m m m 5i g g g i m + i + 5 N kg 0 5i g g g i m + i + 5 N kg 0 5i g g g i j m j + ( 5 0 ) N kg 0 Caso d) g 5i g g g i j m g cos i + sen j m + + (, 0 ) N kg 0 ( 0 0 ) NOA: la esolución de este ejecicio se ofece también en el CD-O paa el alumnado.. En la tabla figuan los adios obitales pomedio y los peíodos de eolución de algunos planetas del sistema sola: iea ate Júpite adio obital 49 8 Peíodo de eolución,6 59, , El adio se mide en megakilómetos, y el peíodo, en megasegundos. a) Justifican los datos la tecea ley de Keple? b) Escibe la expesión que coesponde a dicha ley y deduce, a pati de ella, la ley de la gaitación uniesal. Considea ciculaes las óbitas que desciben los planetas en su moimiento alededo del. a) Según la tecea ley de Keple, la elación ente el peíodo de otación de un planeta y el adio de su óbita es: ol G S 4 π cte Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción 8

19 Si ealizamos paa cada uno de los planetas de la tabla del enunciado la opeación /, esulta: Planeta / iea,7 0 5 ate 59, 0 5 Júpite 6, 0 5 Aunque el alo en los tes casos no es exactamente el mismo, podemos afima que los esultados cooboan la tecea ley de Keple. b) a iea se muee alededo del descibiendo un m.c.u. a fueza centípeta a que está sometida la iea iene dada po la expesión: F m a m c c de donde podemos deja la elocidad en función del peíodo: F c m m π m π 4 Despejamos ahoa el témino de la ecuación de la tecea ley de Keple: cte Po último, si intoducimos este último témino en la ecuación de la fueza centípeta, esulta: 4 π m F m cte c cte Si hacemos lo mismo suponiendo que es el el que obita en tono a la iea, obtenemos una expesión simila con la masa del ; y de la integación de ambas, obtenemos la expesión que popociona la ley de la gaitación uniesal. 4. Calcula el peíodo de un satélite atificial que descibe una óbita alededo de la iea a una distancia de 0 km sobe su supeficie. Datos: G 6,67 0 N m kg 5, kg; 6 70 km a elocidad con que obita un satélite a 0 km sobe la supeficie de la iea es: G 6, , ( ) ms El peíodo es el tiempo que tada el satélite en completa una uelta alededo de la iea. Po tanto: π π ( ) s h 4 0 Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción 9

20 5. Una masa se desplaza en un campo gaitatoio desde un luga en que su enegía potencial ale 00 J hasta oto donde ale 400 J. Cuál es el tabajo ealizado po o conta el campo? a) 00 J b) 00 J c) 600 J a enegía potencial que posee una masa, m, que se encuenta en el seno de un campo gaitatoio es: E p G m siendo la masa que cea el campo; como sabes, el signo negatio indica que la masa m está ligada al campo gaitatoio. El tabajo exteno que es necesaio ealiza paa que la masa se desplace es: W E p E pf E pi 400 (00) 00 J El signo negatio obtenido indica que la masa se desplaza po sí misma; su enegía potencial disminuye. a espuesta coecta es, po tanto, la a). 6. a iea tada un año en descibi su óbita en tono al. Esta óbita es, apoximadamente, cicula, con adio,49 0 m. Sabiendo que G 6,67 0 N m kg, calcula la masa del. a fueza centípeta que obliga a la iea a gia alededo del es, pecisamente, la fueza gaitatoia que este ejece sobe ella. Po tanto: F c F g G S En la expesión anteio, y S son las masas de la iea y del, espectiamente; es la elocidad obital de la iea, y, el adio de su óbita, dato que popociona el enunciado del ejecicio. Si despejamos de ella la elocidad obital de la iea, obtenemos: eniendo ahoa en cuenta que: G S Podemos escibi lo siguiente: ω π π ω π G S a masa del es, po tanto: s 4 G π 4 π (,49 0 ), kg 6,67 0 ( ) NOA: la esolución de este ejecicio se ofece también en el CD-O paa el alumnado. Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción 0

21 7. Si un cuepo tiene un peso de 00 N sobe la supeficie teeste, calcula su peso en la supeficie de oto planeta cuya masa sea el doble que la de la iea y su adio sea el tiple que el de la iea. as expesiones que coesponden al peso del cuepo en el planeta y en la iea son: P planeta m g planeta P iea m g iea De acuedo con los datos que popociona el enunciado, las intensidades de los campos gaitatoios en la supeficie del planeta y en la de la iea son: p g iea G ; g planeta G G ( ) 9 G 9 g iea p Como la masa del cuepo no aía, la elación ente el peso del cuepo en ambos planetas es: P m g m g iea iea 9 iea P planeta m g planeta m 9 g iea Po tanto: P planeta 9 P 00, N iea 9 8. a distancia ente el y ecuio es 57,9 0 6 km y ente el y la iea es 49,6 0 6 km. Suponiendo que las óbitas de ambos planetas son ciculaes, calcula la elocidad con que ambos gian alededo del, si, kg. as expesiones que pemiten calcula la elocidad obital de ecuio y de la iea, espectiamente, en su óbita alededo del, son: G d S S G d S S Po tanto: 6, 67 0, , , 0 ms 4 6, 67 0, , , 0 ms 4 a elación ente ambas elocidades es: 4 4, 79 0,6 4, 98 0,6 Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción

22 9. Un planeta posee un adio doble que el de la iea, siendo su densidad igual a la de la iea. Dónde seá mayo el peso de un objeto, en el planeta o en la iea? Especifica cuánto. Si las densidades de ambos planetas son iguales, se cumple: p d p d 4 π 4 4 π ( π p ) De la expesión anteio podemos deduci la elación ente las masas del planeta y de la iea: p ( p 8 ) p eniendo en cuenta que la intensidad del campo gaitatoio en la supeficie de la iea es g 9,8 m/s, podemos obtene la que coesponde al planeta: 8 p g p G G 8 ( ) 4 G g 9,8 9,6 m/s p Po tanto, al se la intensidad del campo gaitatoio del planeta el doble de la que coesponde a la iea, el peso de cualquie objeto también seá el doble, ya que: P p m g p m g P m g 0. El cometa Halley se muee en una óbita elíptica alededo del. En el peihelio (posición más póxima al ), el cometa está a 8, km del, mientas que en el afelio (posición más alejada del ), se encuenta a 5,6 0 9 km de este: a) En cuál de los dos puntos tiene el cometa mayo elocidad? Y mayo aceleación? b) En qué punto tiene mayo enegía potencial? Y mayo enegía mecánica? a) De acuedo con la ley de las áeas de Keple, el tiempo que tada el planeta en pasa del punto A al B ha de se igual al que tada en pasa de C a D, ya que el alo de las supeficies S y S es el mismo. Po tanto, es fácil deduci, a la ista de la gáfica, que la elocidad en el peihelio debe se mayo que en el afelio. Pp m g P P m g p P A S S D C Peihelio B Afelio Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción

23 En lo que especta a la aceleación podemos escibi: afelio peihelio a afelio ; a peihelio afelio peihelio eniendo en cuenta que: afelio < peihelio ; afelio > peihelio se deduce que la aceleación en el peihelio es mayo que en el afelio: afelio peihelio < a afelio < a peihelio afelio peihelio b) as expesiones que coesponden a la enegía potencial en el afelio y en el peihelio, espectiamente, son: E pafelio G S mc ; E ppeihelio G m S c p afelio eihelio Si tenemos en cuenta que peihelio < afelio, obtenemos que, en alo absoluto: E ppeihelio < E pafelio En lo que especta a la enegía mecánica, esta, en alo absoluto, es mayo en el peihelio que en el afelio, ya que la expesión que le coesponde es: E mafelio G S E mpeihelio G p S m c afelio mc eihelio. a una es, apoximadamente, esféica, con adio, m y masa m 7,5 0 kg. a) Calcula la aceleación de la gaedad en la supeficie luna. b) Si se deja cae una pieda desde una altua de m sobe la supeficie luna, cuál seá su elocidad al choca con la supeficie? Dato: G 6,67 0 N m kg a) a intensidad del campo gaitatoio (aceleación de la gaedad) en la supeficie de la una es: g G g peihelio < afelio E mpeihelio > E mafelio 6,67 0 7,5 0 (, ),6 m s b) Este apatado se puede esole aplicando las ecuaciones cinemáticas que coesponden al moimiento (m..u.a.) o mediante el pincipio de conseación de la enegía. En este último caso se obtiene: E p (h m) E c (h 0 m) m g h m g h,6,54 m s NOA: la esolución de este ejecicio se ofece también en el CD-O paa el alumnado. Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción

24 POBEAS. Se sabe que la distancia pomedio iea-una es km y que la una tada 8,5 días en descibi una uelta completa en tono a la iea. Con esos datos, calcula la distancia a que debe encontase un satélite atificial que gia en tono a la iea paa que su peíodo de eolución sea un día. El poblema podemos esolelo haciendo uso de la tecea ley de Keple. En este caso, hemos de considea la iea como el punto fijo y la una como un punto que se muee con m.c.u. alededo de la iea. Al aplica dicha ley a la una y al satélite obtenemos: Despejando y sustituyendo, esulta: una cte una satélite satélite satélite una satélite una ( 84 0 ) 6 6 8, 5 4, 6 0 m 460 km Calcula la distancia media al del cometa Kohoutec, sabiendo que su peíodo estimado es 0 6 años. El poblema podemos esolelo aplicando la tecea ley de Keple, de donde despejamos diectamente la distancia al cometa: G G S S 4 π 4 π Expesando el peíodo en segundos, y conocida la masa del, s, kg, esulta: G 4 π 6, 67 0, π 6 ( ), m FE DE EAAS: la solución de este poblema que se ofece en la página 44 del libo del alumno es incoecta. a solución coecta es, m. 4. Un satélite gia en óbita cicula alededo de la iea a km de distancia de su cento. Si hubiese oto satélite en óbita cicula alededo de la una que tuiese la misma elocidad, a qué distancia del cento de la una se encontaía? a masa de la una es 0,0 eces la de la iea y su olumen es cincuenta eces meno. Como el satélite se encuenta en óbita cicula alededo de un cuepo descibiendo un m.c.u., la fueza esultante es la fueza centípeta, que coincide con la fueza gaitatoia. Es deci: F F gaitatoia G m m centípeta Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción 4

25 De la igualdad anteio podemos despeja la elocidad. En el caso de la iea, esulta: Y en el caso de la una: En el enunciado se indica que, en ambos casos, las elocidades deben coincidi. Po tanto: El segundo satélite debe situase a, m del cento de la una. 5 Con qué elocidad angula de otación debe gia un satélite atificial, alededo de la iea, paa que lo haga en una óbita de adio el doble del adio de la iea? Datos: 6 70 km; g 9,8 m/s G G 5, 0 8 G G 0, 0 8 5, 0, 5 0 0, 0, m El satélite ealiza un m.c.u. alededo de la iea. Po tanto, la fueza centípeta que lo muee coincide con la fueza gaitatoia. eniendo en cuenta, además, que la óbita tiene un adio que es dos eces el adio de la iea, esulta: F F G m m gaitatoia centípeta ( ) Despejando en la expesión anteio, podemos obtene la elocidad: 0, 0 G En el enunciado nos popocionan el dato del campo gaitatoio en la supeficie de la iea; esto es: g G 98, ms Intoduciendo este dato en la expesión de la elocidad, se obtiene: G g Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción 5

26 Po ota pate, de la definición de la elocidad angula y opeando, obtenemos: ω ω g g 8 Sustituyendo aloes: NOA: la solución que se ofece en la página 44 del libo del alumno es la que se obtiene consideando g 9,8 m/s. 6. Un poyectil sale dispaado pependiculamente hacia aiba desde la supeficie de la iea con una elocidad inicial de m/s. Calcula la altua que alcanzaá. a enegía mecánica total del poyectil debe se la misma en la supeficie de la iea y en el punto en el que alcanza la máxima altua. Po tanto, suponiendo que alcanza ese punto con elocidad nula, esulta: Al simplifica, esulta: y despejando h: ω g 8 G m + m G m + h G + G + h h G h + G h G Al sustitui en esta última expesión el dato que apota el enunciado, y suponiendo conocidos los aloes de la masa y del adio de la iea, obtenemos la altua que alcanzaá el poyectil: 6 h 68, , 8 0 6, , , 4 4, 88 0 ad s 6, km 7. Un satélite de 50 kg de masa descibe una óbita cicula en tono a la iea a una altua sobe su supeficie de 500 km. Calcula: a) Su elocidad. b) Su peíodo de eolución. 4 Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción 6

27 c) as enegías cinética y potencial del satélite. d) a enegía necesaia paa ponelo en óbita. Datos: G 6,67 0 N m kg 6 70 km; kg a) Como el satélite se encuenta en óbita cicula alededo de la iea, descibiendo un m.c.u., la fueza esultante es la fueza centípeta, que coincide con la fueza gaitatoia. Es deci: F F gaitatoia centípeta G m m ( + h) ( + h) de donde podemos obtene la elocidad: G + h b) Al tatase de un m.c.u., el peíodo iene dado po: c) as enegías cinética y potencial son: 9 E m , 4 7, 8 0 J c E G m , 0 p + h ( ) , 7 6, 4 ms ( ) 0 h h π ( + ) π ( + ) π ( ) , 6 s 7 6, 4 d) a enegía necesaia paa pone en óbita el satélite es el incemento de enegía ente la situación inicial (sobe la supeficie de la iea) y la del satélite en óbita. Sobe la supeficie teeste, el satélite solo tiene enegía potencial: E E G m , 5, 7 0 J i pi , 56 0 Cuando está en óbita, su enegía es la suma de las enegías potencial y cinética, calculadas anteiomente: E f E cf + E pf 7, , ,8 0 9 J Po tanto, la enegía necesaia esulta: E E f E i 7,8 0 9 (5,7 0 9 ) 8,4 0 9 J NOA: la esolución de este poblema se ofece también en el CD-O paa el alumnado. 9 J Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción 7

28 8 Un satélite de 00 kg de masa se muee en una óbita cicula a m po encima de la supeficie teeste. Calcula la fueza de gaedad que actúa sobe el satélite, la elocidad con que se muee y el peíodo con que obita. Considea km. Al no da como datos ni el alo de la constante de gaitación uniesal, G, ni el de la masa de la iea,, utilizaemos el dato, conocido, de que la intensidad del campo gaitatoio teeste es, en la supeficie de la iea: g G 0 98, ms Con este supuesto, la fueza de gaedad que actúa sobe el satélite es: G m G m F F m g 0 ( + 50 ) m g 0 Al iguala la fueza de la gaedad con la fueza centípeta: 7 6 (, 650 ) 00 9, 8 (, ) 6 7 8, 9 N con lo que la elocidad del satélite es: El peíodo del satélite es: Expesado en hoas: 9. En la supeficie de un planeta de 000 km de adio, la aceleación de la gaedad es m/s. eniendo esto en cuenta, calcula: a) a enegía potencial gaitatoia de un objeto de 50 kg de masa que se encuenta situado en la supeficie del planeta. b) a elocidad de escape desde su supeficie. c) a masa del planeta. Dato: G 6,67 0 U.I. m 8, , 9 ( 6, ) 707, ms 00 6 π π ( 56, 5 0 ) 707 6, 6 s, hoa 6, 6 s 6, 4 hoas 600 s a) eniendo en cuenta la expesión de la intensidad del campo gaitatoio: G g Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción 8

29 la enegía potencial se puede expesa como: b) a elocidad de escape,, eifica: po lo que: G m E p c) De la expesión g G /, se obtiene: 0. a una tiene una masa, apoximada, de 7,6 0 kg, y su adio es, m. Con estos datos, calcula la distancia que ecoeá en cinco segundos un cuepo que cae libemente en las poximidades de su supeficie. Dato: G 6,67 0 U.I. En pime luga, calculamos la intensidad del campo gaitatoio (aceleación de la gaedad) en la supeficie de la una: g G g G G G 6 8 m g m J E E + E 0 m p c G m + m 0 g 0 0 ms ( 0 ) 667, 0 6 6, , (, 740 ), kg 6, ms Aplicando las leyes del m..u.a., obtenemos la distancia que habá ecoido el cuepo al cabo de 5 segundos: y g ( t), 6 5 0, 5 m. Una cápsula espacial, de masa m, que iaja ente la iea y la una, se encuenta a una distancia X del cento de la iea. Suponiendo que la distancia ente la iea y la una es y teniendo en cuenta las fuezas gaitatoias ejecidas po la iea y la una, exclusiamente, calcula la expesión que pemite halla la fueza esultante que actúa sobe la nae. Demuesta que esa fueza es nula a la distancia: 6 + siendo y las masas de la una y de la iea, espectiamente. a fueza esultante seá la suma de las ejecidas po la una y po la iea. Ambas tienen la misma diección, aunque distinto sentido. Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción 9

30 Si tomamos el oigen del sistema de efeencia en la iea, las fuezas ejecidas po la iea y po la una sobe la nae son: donde u es un ecto unitaio en la diección que une la una y la iea y en el sentido iea-una. Si sumamos ambas fuezas: Compobemos que la fueza es nula paa la distancia indicada en el enunciado. Igualando el módulo de la fueza a ceo obtenemos: X F G m u X F G m u ( X) F F F G m + u X ( X) F 0 X ( X) X X ( X) X X X X X + X + Al enia un satélite a la una se le sitúa en una óbita que cota la ecta que une los centos de la iea y la una po el punto en que las fuezas que sufe el satélite po la atacción de los dos astos son iguales. Cuando el satélite se encuenta en ese punto, calcula: a) a distancia a la que está del cento de la iea. b) a elación que existe ente las enegías potenciales del satélite, debidas a la iea y a la una. Datos: a masa de la iea es 8 eces la masa de la una y la distancia que sepaa la iea de la una es, m. a) En el esquema adjunto hemos epesentado la iea, la una y el punto que nos solicitan. x, m Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción 0

31 Si aplicamos la ley de la gaitación y tenemos en cuenta que en ese punto se han de iguala las fuezas gaitatoias, podemos escibi: Dado que la masa de la iea es 8, la expesión anteio queda: 8 8 x (, 840 x) x 6, x +, cuya esolución nos da dos soluciones: De estas dos posibles soluciones, la que tiene sentido físico, de acuedo con el enunciado del poblema, es la que nos da una distancia compendida ente la iea y la una; es deci: b) a facción de enegía potencial del satélite que coesponde al campo gaitatoio teeste es: mientas que la que coesponde al campo gaitatoio luna ale: a elación ente ambas es, po tanto: x E ms ms G G 0, , 84 0 p G m x 8 4, 0 m ; x, m x E p G m G (, 840 x) s s 8, m m, s 8 8 E E p p 0, , 456. a mayo elocidad de gio de un satélite de la iea, conocida como pimea elocidad cósmica, es la que se obtendía paa un adio obital igual al adio teeste,. eniendo esto en cuenta, calcula: a) a pimea elocidad cósmica. b) El peíodo de eolución que le coesponde si obita con esa elocidad. Datos: G 6,67 0 N m kg 5, kg 6,7 0 6 m a) Al iguala la fueza centípeta a que está sometido el satélite con la fueza gaitatoia que ejece la iea sobe él, obtenemos el alo de la pimea elocidad cósmica: F g F c G m s m s Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción

32 b) El peíodo de eolución del satélite seá: π π 6, s 9 4 En la supeficie de un planeta de km de adio la aceleación de la gaedad es de m s. Calcula la elocidad de escape desde la supeficie del planeta y la masa del planeta. Dato: G 6,67 0 N m kg a elocidad de escape la calculamos de acuedo con la expesión: G 6, , , ms G G g , 54 ms Y la masa del planeta: g G g G 000,8 0 7 kg 6,67 0 FE DE EAAS DE IBO DE AUNO: la solución coecta de este poblema es la que apaece en esta página, y no la que se da en la página 44 del libo del alumno. 5. a nae espacial luna Pospecto pemanece en óbita cicula alededo de la una a una altua de 00 km sobe su supeficie. Detemina: a) a elocidad lineal de la nae y el peíodo del moimiento. b) a elocidad de escape a la atacción luna desde esa óbita. Datos: G 6,67 0 N m kg asa de la una: 7,6 0 kg adio medio luna: 470 km a) a elocidad lineal de la nae se obtiene al iguala la fueza centípeta que actúa sobe ella con la gaitatoia y despeja la elocidad: F g F c G m n m n G 6, , , ms ( ) 0 siendo el peíodo del moimiento: π π ( ) ,6 s 768, b) a elocidad de escape se calcula de acuedo con la siguiente expesión: e G 6, , 6 0 ( ) 0 500, 7 ms Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción

33 Esta es la elocidad de escape desde la óbita que indica el enunciado; de ahí el alo utilizado paa. 6. El adio de la iea es, apoximadamente, 6 70 km. Si eleamos sin ozamiento un objeto de 0 kg de masa a una altua de 00 km sobe su supeficie: a) Cuánto pesa el objeto a esa altua? b) Cuál seá el incemento de su enegía potencial? c) Si se dejaa cae desde esa altua, con qué elocidad llegaía a la supeficie de la iea? Datos: G 6,67 0 N m kg asa y adio de la iea: 5, kg; 6 70 km a) a intensidad del campo gaitatoio que cea la iea a 00 km de altua es: G 6,67 0 5, g 8,97 m s ( + h) [( ) 0 ] Po tanto, el peso de un objeto de 0 kg a esa altua seá: P m g 0 8,97 79, N b) a expesión que pemite calcula la enegía potencial gaitatoia de una masa m en el campo gaitatoio ceado po la iea, cuya masa es, a una distancia de su cento es: E p G m Po tanto, la enegía potencial de la masa m en la supeficie de la iea es: E p G m 6,67 0 5, , 0 6 J Y la que le coesponde a 00 km sobe la supeficie: E p G m 5, , J + h ( ) 0 Po tanto, el incemento de su enegía potencial seá: E p E p E p ( 5, 0 6 ) 56, 0 6 J c) De acuedo con el teoema de conseación de la enegía, la enegía mecánica del objeto a 00 km de altua (que es enegía potencial) debe se igual a su enegía mecánica justo antes de llega a la supeficie teeste (enegía cinética). Po tanto, despeciando el ozamiento: E mec (h 00 km) E mec (sup.) 5, m ( , 0 ) 0 7 ms Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción

34 7. a una descibe una óbita cicula en tono a la iea en 8 días. a masa de la iea es kg, y G 6,67 0 N m kg : a) Calcula la distancia que sepaa el cento de la iea del cento de la una. b) Calcula la masa de la una, sabiendo que una patícula de masa m podía esta en equilibio en un punto alineado con los centos de la iea y de la una, a una distancia del cento de la iea de,4 0 8 m. c) Si en la una, cuyo adio es,7 0 6 m, se deja cae sin elocidad inicial un objeto desde una altua de 0 m, con qué elocidad llegaá al suelo? a) a fueza centípeta que hace que la una obite en tono a la iea es, pecisamente, la fueza gaitatoia que esta ejece sobe la pimea. Po tanto: F c F g G G Po oto lado, si suponemos que la óbita de la una es cicula, podemos escibi: ω π Sustituyendo en la expesión anteio, la distancia iea-una,, esulta: G G π 4 π 6, ( ) 4 π 4 8 b) Si la patícula se encuenta en equilibio, la esultante de las fuezas gaitatoias que actúan sobe ella ha de se nula. Si llamamos a la distancia que sepaa la patícula del cento de la iea, podemos escibi lo siguiente: m F F G G m ( ) ( ) 9, 0 (,9 0 8,4 0 8 ) 6 0 4,98 0 kg (,4 0 8 ) c) a intensidad del campo gaitatoio ceado po la una a una altua de 0 m es:,9 g G 6,67 0 ( + h) (, ,99 m s + 0) a elocidad con que el objeto llegaá al suelo es, po tanto: g h 9,9 0 7,74 m s NOA: la esolución de este poblema se ofece también en el CD-O paa el alumnado. 8 Un satélite de 000 kg de masa gia en una óbita geoestacionaia. Calcula: a) Su elocidad angula. m Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción 4

35 b) El módulo de su aceleación nomal. c) Su enegía total. Dato: adio de la iea, 6 70 km a) Un satélite geoestacionaio completa un gio cada 4 hoas; ese es el alo de un peíodo. Po tanto, su elocidad angula seá: π π π ω 4 7,7 0 5 ad s ω 600 b) El módulo de su aceleación nomal se calcula de acuedo con la expesión: a N ω ω Paa obtenelo, necesitamos conoce el adio de la óbita del satélite,. eniendo en cuenta que la fueza centípeta que actúa sobe el satélite es la fueza gaitatoia con que la iea lo atae: F F G m m G m s s ω G g c s ms ω a masa de la iea,, la calculamos como sigue: g G g G 9,8 ( ) 5, kg 6, 67 0 Po tanto, el adio de la óbita y la aceleación nomal son: G ω 6, , (, 770 ) 4, 0 m a N ω (7,7 0 5 ) 4, 0 7 0, m s c) a enegía total del satélite en su óbita es: E E p + E c G m s + G m s G m s E 6,67 0 5,96 4, ,7 0 9 J Un astonauta, con 00 kg de masa (incluyendo el taje), se encuenta sobe la supeficie de un asteoide de foma pácticamente esféica y,4 km de diámeto, cuya densidad media es, g cm. Detemina: a) a elocidad con que debe impulsase al astonauta paa abandona el asteoide. b) Cómo se denomina dicha elocidad? c) El astonauta caga ahoa con una mochila cuya masa es 40 kg. e seá más fácil sali del asteoide? Po qué? Dato: G 6,67 0 N m kg Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción 5

36 a) a elocidad que pemitiá al astonauta abandona el asteoide es la elocidad de escape, cuyo alo es: A pati de la densidad del asteoide y de su diámeto, datos que facilita el enunciado del poblema, podemos calcula su masa: d ast ast V ast d ast V ast d ast 4 a π ast st ast, 0 4 π,4 0,59 0 kg Po tanto, la elocidad de escape esulta: e G ast 6, 67 0, 59 0, 0 ast b) Como se ha indicado en el apatado anteio, esa elocidad se denomina elocidad de escape. c) a elocidad de escape es independiente de la masa del objeto que quiee escapa de la atacción del campo gaitatoio; sin embago, si la masa aumenta 40 kg, seá necesaio comunicale más enegía paa que alcance dicha elocidad. 40 Se desea situa un satélite atificial de 50 kg de masa en una óbita cicula sobe el ecuado de modo que se muea con un adio de gio igual al doble del teeste. Calcula: a) a enegía que hay que comunica al satélite y la elocidad obital de este. b) a enegía adicional que había que apota al satélite en óbita paa que escape a la acción del campo gaitatoio teeste. Datos: G 6,67 0 N m kg 5, kg; 6 70 km a) a elocidad obital del satélite la calculamos como sigue: F F m G m s s G c G s s ( ) 4 6, , 98 0 s 5595, 4 ms 6 6, 7 0 a enegía mecánica del satélite en su óbita es la suma de las enegías cinética y potencial: E E pób + E cób G m s + m s G m s + m G s e G ast G m s ast, ms Unidad. Campo gaitatoio: Intoducción 6