TÉCNICAS BAYESIANAS SOBRE MODELOS DE ESPACIOS DE ESTADOS NO LINEALES ASOCIADOS A POBLACIONES PESQUERAS EXPLOTADAS

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1 TÉCNICAS BAYESIANAS SOBRE MODELOS DE ESPACIOS DE ESTADOS NO LINEALES ASOCIADOS A POBLACIONES PESQUERAS EXPLOTADAS Isabel Serrano Czaia Deparameno de Economía General y Esadísica Universidad de Huelva iserrano@uhu.es María Dolores González Galán Deparameno de Economía General y Esadísica Universidad de Huelva gonzalez@uhu.es Juan José García del Hoyo Deparameno de Economía General y Esadísica Universidad de Huelva hoyo@uhu.es Resumen Cada vez se exiende más el uso de modelos de espacios de esados no lineales que describen la dinámica de poblaciones pesqueras exploadas en combinación con écnicas bayesianas que permien esimar los parámeros poblacionales que aparecen en esos modelos. Uno de los aspecos en los que no hay consenso a la hora de aplicar écnicas bayesianas sobre modelos asociados a la evolución de recursos pesqueros es en la deerminación de las disribuciones a priori o iniciales asociadas a los parámeros. En ese senido, los propósios de ese rabajo son esablecer las disribuciones iniciales obenidas al aplicar crierios formales o lo más objeivos posible, y esudiar la sensibilidad de los parámeros ane cambios en las disribuciones iniciales ajusando un modelo no lineal de sock-recluamieno a daos observados. Finalmene se comparan los modelos esimados mediane medidas de discrepancia enre los valores reales y valores generados aleaoriamene. Para llevar a cabo las esimaciones, se uilizan series de esfuerzo pesquero esandarizado y de capuras, mienas que la écnica bayesiana empleada se basa en el Muesreo de Gibbs. Palabras clave: Poblaciones pesqueras exploadas, modelos sock-recluamieno no lineales, análisis bayesiano, disribuciones iniciales, muesreo de Gibbs.

2 1. Inroducción La dinámica de las poblaciones pesqueras exploadas se esudia a parir de modelos maemáicos, que preenden recoger odos los facores que pueden influir sobre ellas y mosrar las relaciones enre esos facores y la evolución de las biomasas de esas poblaciones, de donde surgen modelos de esado-medida generalmene no lineales. En los esudios sobre la dinámica de pesquerías, donde la aplicación de las écnicas bayesianas esá cada vez más exendida, no se aprecia un consenso en cuano al esablecimieno de las disribuciones iniciales asociadas a los parámeros, algunos auores recomiendan omarlas no informaivas por defeco (Walers y Ludwig (1994)), mienras que oros consideran que, siempre que se pueda, debe incluirse el conocimieno hisórico o la experiencia con oros socks a la hora de deerminarlas (Pun y Hilborn (1997)). De forma general, cuando se necesia rabajar con ese ipo de disribuciones, se acude a la disribución uniforme o a la disribución uniforme en una escala logarímica. En cuano a la esimación de los modelos esado-medida no lineales pueden uilizarse diferenes méodos, ya sea el Filro de Kalman Exendido combinado con Máximaverosimiliud, aplicado a problemas similares por Pella (1993), u oros filros alernaivos al filro de Kalman para modelos no lineales. Ora écnica es la que se basa en los méodos bayesianos conocida como Muesreo de Gibbs, una de cuyas aplicaciones que cabe desacar es la esimación de modelos esado-medida no lineales desarrollada por Carlin e al.(199), semejane a al procedimieno seguido en ese rabajo. Una aplicación más reciene es la de García del Hoyo (1995), García Ordaz y García del Hoyo (1998) o Millar y Meyer (000). En ese rabajo presenaremos brevemene algunos de los modelos más uilizados para describir una población pesquera exploada (aparado ), así como la meodología esadísica basada en las écnicas bayesianas sobre esos modelos, incluyendo la deerminación formal de las disribuciones iniciales que surge cuando se aplica el méodo de Jeffreys (aparado 3). Finalmene, en el aparado 4,

3 presenamos una aplicación de esa meodología sobre los daos de la pesquería del fleán desde el año 1974 hasa el año 001 obenidos a parir del informe de la Inernaional Pacific Halibu Commission, comparando los resulados de dos modelos que se obienen al cambiar las disribuciones iniciales de los parámeros de la ecuación de esado.. Descripción de la dinámica asociada a las poblaciones pesqueras exploadas Una de las cuesiones más imporanes relacionadas con la valoración de las pesquerías exploadas es la esimación de los parámeros que aparecen en los modelos que raan de describir la dinámica asociada a esas poblaciones, y que se desarrollan eniendo en cuena los facores que pueden influir en su evolución. Enre esos modelos se encuenran los modelos agregados, en los que se considera de forma conjuna la influencia de los facores naurales en la dinámica de la población y se formulan en iempo coninuo, desacándose enre ellos el Modelo General de Producción de Schaefer (1954) que considera como variable independiene el iempo y cuaro variables dependienes o funciones del iempo: la biomasa de la población, la asa del esfuerzo de pesca, la asa de capura y la asa de capura por unidad de esfuerzo (CPUE). Ora posibilidad para explicar la dinámica de las poblaciones pesqueras exploadas se obiene con los modelos sock-recluamieno, que se formulan en iempo discreo y se basan en las relaciones enre el sock reproducor o frezane y el recluamieno obenido a parir de ése, eso permie ajusar el comporamieno esacional de algunas especies así como aquellas pesquerías en las que se esablecen medidas que limian la pesca en un período concreo del año. En líneas generales, los modelos sock-recluamieno se definen por dos componenes, cuya dinámica es la siguiene: a parir del sock de reproducores o frezanes (S ) se producirá una nueva generación de peces o reclua (X +1 ). Pare de esos recluas serán capurados (P +1 ) y el reso 3

4 conformarán un nuevo sock de reproducores, conocido ambién como supervivienes (escapemen) 1 (Figura 1). Por ano, Temporada de veda Temporada de pesca S -1 X S = X - P F(S -1 ) -P Figura 1: Esquema de un modelo sock-recluamieno Las ecuaciones (1) y () definen las relaciones sock-recluamieno en dichos modelos. X =F(S -1 ) (1) S =X -P () Enre las disinas formas de exponer esa relación sock-recluamieno podemos señalar las siguienes: Modelo de Beveron-Hol (1957) X β S = 1+ β S (3) donde el parámero β 1 se relaciona con la moralidad densidad-independiene y β con la moralidad densidad-dependiene de las larvas. Modelo de Ricker (1954) 1 Se supone que el sock de reproducores no sobrevive para pasar a formar pare del sock de recluas así como que la capura iene lugar previamene al proceso de reproducción. En general, ese modelo resula adecuado para aquellas especies en las que el recluamieno no se ve afecado por la acividad pesquera, al menos denro de un rango "normal" de esfuerzo de pesca (Clark (1990)). 4

5 βs 1 = 1 1 (4) X β S e Teniendo los parámeros β 1 y β la misma inerpreación que en el caso de Beveron- Hol. Modelo de Cushing (1971) X = β S β 1 1 (5) Siendo β un índice de dependencia de la densidad. Las relaciones aneriores se pueden inerprear como ecuaciones de esado (deerminisas) para la biomasa de las poblaciones pesqueras. Por ora pare, a parir de la función de producción de la pesquería o función de capuras se obiene una ecuación de observación (deerminisa). La relación enre las capuras observadas y las biomasas ambién admien varias expresiones siendo las más comunes: Función de capuras de Schaefer (1954) (versión discrea) P = qx E (6) Función de capuras de Spence (1974): ( ) P = X 1 e qe (7) donde q es una consane que represena el coeficiene de capurabilidad, eso es, la asa insanánea de la moralidad causada por unidad de esfuerzo pesquero y E() el esfuerzo pesquero que, en líneas generales, consiuye un indicador de la magniud e inensidad de la acividad humana para exraer el pescado Meodología esadísica 5

6 3.1 Modelo de espacio de esados Cada función de sock-recluamieno juno a una de las ecuaciones de capuras consiuye una versión deerminisa del modelo de producción general. No obsane, dada la inceridumbre asociada a oda pesquería, podemos inroducir perurbaciones aleaorias independienes e idénicamene disribuidas de forma muliplicaiva que represenen respecivamene un error de proceso, w, que recoge la inceridumbre asociada a la dinámica de la población y un error de observación v, relaivo a los posibles errores de medida. Como resulado, el modelo esadísico uilizado para esimar las biomasas y los parámeros biológicos adopa la siguiene forma ( ) w X = F S. e con w N(, h ) (8) 1 0 w v P = G( X ). e con v N( 0, h ) (9) v donde h w y h v represenan respecivamene las precisiones (inversas de las varianzas) de los errores de proceso y observación. Dada la inexisencia de evaluaciones aneriores de la biomasa de esa especie, esas variables endrán la consideración de inobservables, y deberán ser esimadas juno a los parámeros del modelo a parir de las observaciones de esfuerzo y capuras disponibles. Tomando logarimo en las expresiones (8) y (9), la forma esocásica de las ecuaciones del proceso se puede describir como: ( ) ln X = ln F S + w con w N(, h ) (10) 1 0 w ln P = ln G( X) + v con v N( 0, hv) (11) 3. Muesreo de Gibbs El algorimo mencionado consise en generar muesras aleaorias a parir de las disribuciones condicionales compleas univarianes para cada una de las variables que inervienen en el modelo. Disponemos de un conjuno de T+6 variables 3 Ambas son versiones discreas de la función de capuras propuesa por Schaefer (1954), que supone 6

7 aleaorias, X 0, X 1,..., X T, 1,, q, h v, h w,, y un conjuno de observaciones y. Dado un vecor inicial (X 0 (0),..., X T (0), 1 (0), (0), q (0), h v (0), h w (0) ),obenido mediane la simulación de las disribuciones a priori, el algorimo sigue los siguienes pasos: Paso 1: 1ª exracción X 0 (1) ~ f(x 0 / X 1 (0),..., X T (0), 1 (0) (0), q (0), h v (0), h w (0),y) ª exracción X 1 (1) ~ f(x 1 / X 0 (1),X (0),..., X T (0), 1 (0), (0), q (0), h v (0), h w (0),y),... exracción final h w (1) ~ f(h w / X 0 (1),..., X T (1), 1 (1), (1), q (1), h v (1),y). Paso : Tomar como vecor inicial (X 0 (1), X 1 (1),..., X T (1), 1 (1), (1), q (1), h v (1), h w (1) ) Volver al paso 1 o salir. Esa secuencia de valores consiuyen una cadena de Markov, de forma que, operando de forma sucesiva un número l de veces suficienemene grande, obendríamos el vecor T+6 dimensional (X (l) 0, X (l) 1,..., X (l) T, (l) 1, (l), q (l), h (l) v, h (l) w ) que como mosraron Geman y Geman (1984) converge en disribución a una muesra aleaoria de amaño unidad de la conjuna f(x 0, X 1,..., X T, 1,, q, h v, h w ) a medida que l iende a infinio. Repiiendo el proceso G veces en paralelo se obendría una muesra de amaño G de exracciones aleaorias de la disribución conjuna, (X (j) 0, X (j) 1,..., X (j) T, (j) 1, (j), q (j), h (j) v, h (j) w ) para j =1,..., G, que puede ser uilizada para esimar las densidades marginales y cualquier esadísico de dichas disribuciones. Para la esimación de las densidades marginales puede uilizarse el esimador de núcleo, basado en el eorema de Rao-Blackwell, dado por Gelfand y Smih (1990), que, para una variable cualquiera, f(x i ) adopará la forma G $ 1 ( ) ( ( k ),, ( k ), ( k ), ( k ), ( k f x f x x x q ), h ( k), h ( k ) 0 = 0 1 T 1 v w ) G L β β (1) k = 1 que la pesca por unidad de esfuerzo es proporcional a la magniud de la población: P()=qE()X(). 7

8 procediendo de la misma manera para el reso de parámeros a esimar, podemos obener las esimaciones requeridas de las biomasas y los parámeros del modelo. La aplicabilidad del méodo reside, por consiguiene, en la disponibilidad de disribuciones a priori de los parámeros y de la biomasa inicial, y de la posibilidad de obener las disribuciones condicionales compleas mediane la aplicación del Teorema de Bayes. 3.3 Disribuciones iniciales de los parámeros Con respeco a las disribuciones a priori, se puede hablar de dos ipos de disribuciones: informaivas y no informaivas. Box y Tiao (1973) definen una disribución a priori no informaiva (o de referencia) como aquella que proporciona muy poca información con relación al experimeno que se esé esudiando, en ese caso la valoración del sock de recursos; el problema que suelen presenar esas disribuciones es que son muy sensibles a los sisemas de medida. Por ora pare, una disribución a priori informaiva permie incorporar información disponible sobre el sock a parir de fuenes lierarias o de la experiencia con oros socks, y puede que influya en los resulados. Enre los méodos desarrollados para deerminar las disribuciones iniciales siguiendo un procedimieno formal o lo más objeivo posible caben desacar los resulados de Jeffreys (1961), Zellner (1971), Box y Tiao (1973) o Bernardo (1979). En el rabajo que presenamos analizaremos las disribuciones a priori no informaivas que les corresponderían a los parámeros que aparecen en el modelo esadísico formado por las ecuaciones (8) y (9) según el méodo de Jeffreys 3..1 Deerminación de las disribuciones iniciales no informaivas según el crierio de Jeffreys La regla de Jeffreys para deerminar las disribuciones iniciales depende de la mariz de información de Fisher. Esa mariz se define como I ( θ) I( x, θ) X =,, con como vecor de parámeros. Bajo condiciones de regularidad, una forma alernaiva de obener la información de Fisher es i j 8

9 Ix = E f x ij θi θ j (, θ ) ln (, θ ) (13) siendo f(x,) la función de verosimiliud asociada al parámero, y que denoaremos por l( θ x). Una propiedad de esa medida y de la que haremos uso dadas las caracerísicas de nuesro modelo es la siguiene: Propiedad:. Bajo las condiciones de regularidad, la información conjuna de T variables aleaorias (X 1,X,...,X T ) se puede calcular a parir de la siguiene expresión: I ( ) I ( ) E I ( ) E I ( ) X θ = X θ + X θ X X X X θ + X X X , 1 3 1, + E I L X1, L, XT 1 XT X1, L, XT 1 ( θ ) (14) donde IX X X E f x x x 1, L, 1 ij Xi X1, L, X ln, L, i 1 θi θ j ( θ ) = ( 1 1) (15) para =,3,...,T. En cuano a la consrucción de las disribuciones a priori, La norma de Jeffreys consise en omar la disribución inicial asociada a un parámero θ, π(θ ), de forma que ( ) 1 / I X πθ ( ) de ( θ) (16) En 1961 realiza una modificación para solucionar el problema que se presenaba al imponer la condición de invarianza ane reparamerizaciones, evaluando de forma independiene las submarices de Fisher correspondienes a los parámeros de localización y los de escala Aplicación del méodo de Jeffreys sobre los modelos de espacio de esados 9

10 En cuano a la deerminación de las disribuciones iniciales asociadas a los parámeros que aparecen en las ecuaciones del modelo de espacio de esados (10) y (11), consideraremos la biomasa inicial (X 0 ) como una variable cuya disribución inicial es independiene del reso de las biomasas y en la que no inerviene ninguno de los parámeros del modelo. Los parámeros para los que raaremos de definir formalmene las disribuciones iniciales no informaivas son 1,, q, h w y h v. Al componerse los modelos de dos ecuaciones que no poseen parámeros en común, se puede separar el cálculo de las disribuciones iniciales para dos vecores paraméricos independienes, llamémosles 1 = ( 1,, h w ) y = (q, h v ). La función de verosimiliud asociada a 1 es T T hw hw ( θ1 0, 1 L, T) ( 1, θ1) = exp ( LX T ln F( S 1, θ1) ) l LX LX LX f LX LX π (17) = 1 =! donde LX =lnx para =0,...,T, y FS ( 1,θ 1 ) depende de la relación de recluamieno que esemos considerando y que se muesran en las ecuaciones (3), (4) y (5). Para el vecor que recoge los parámeros que aparecen en la ecuación de observación,, la función de verosimiliud queda T T hv hv ( θ 1,, L, T, 1,, L, T) (, θ) = exp ( LP G( X, θ )) l LP LP LP X X X f LP X π (18) = 1 = 1 donde LP =lnp para =1,..,T y GX (,θ ) depende de la función de producción que se ome ((6) o (7)). Como resulado, eniendo en cuena las igualdades (14) y (15), y aplicando la modificación de Jefreys, la expresión de la disribución inicial para el primer vecor paramérico, 1 = ( 1,, h w ), es: ( ) 1 LX LX ( 1 ) πθ T T 1 [, β ] LX LX ( ( s 1, β) (, β) ) 1 T 1 Var + β 1,..., g S E g S g S 1 1, L, (19) h 1 = 1 1 / s= 1 = s w 10

11 donde, dado S -1 =X -1 -P -1, gs (,β ) 1 S 1 = 1+ β S 1 de Beveron-Hol (3). gs ( ) si la ecuación de esados se define a parir de la relación,β = S en el caso de que la relación que se ome sea la de Ricker (4) 1 1 gs (, ) = ln( S ) β si se considera la función de Cushing (5). 1 1 Mienras que para el segundo vecor de parámeros, = (q, h v ), se obiene 1 1 πθ ( ) qhv (0) Si se oma como función de capuras la relación (6), y 1 T π( θ ) E e h v qe qe = 1 ( 1 e ) 1 / (1) Si se considera la función de producción (7). Vemos que el hecho de rabajar con variables dependienes y con formas no lineales añade una gran complejidad a las disribuciones iniciales. En los casos en los que los parámeros, a parir de la ransformación logarímica, pasan a ser parámeros de localización las disribuciones iniciales que se obienen son uniformes en una escala logarímica. Igualmene, la disribución del logarimo de los parámeros de escala es uniforme. 11

12 4. Aplicación El modelo de espacio de esados formado por las ecuaciones (13) y (14) se aplicó sobre los daos de esfuerzo, capuras y CPUE correspondienes al fleán (halibu) y procedenes del informe que elabora la Inernaional Pacific Halibu Commission. Esos daos, para el período se recogen en la siguiene abla: Año Esfuerzo (skaes) Capuras (libras/10 6 ) CPUE (libras/skaes) Año Esfuerzo (skaes) Capuras (libras/10 6 ) CPUE (libras/skaes) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Tabla 1: Esfuerzo, Capura y CPUE para el fleán ( ). Como relación de recluamieno se consideró la función de Beveron-Hol (3) y como función de producción la definida por Spence (7). En cuano a la meodología esadísica, la disribución conjuna combina la información a priori con los daos muesrales a ravés de la siguiene expresión 1

13 f ( LX,..., LX, β, β, q, h, h, P,..., P ) = 0 T 1 w v 1 T T f ( LX 0) f LX LX 1, P 1, 1,, h = 1 T = 1 ( β β ) w f ( Log( P) LX, q, hv) f ( β1) f ( β) f ( q) f ( hw) f ( hv) De la que, para obener las disribuciones condicionales compleas, esablecemos en primer lugar las disribuciones iniciales asociadas a los parámeros. En ese esudio hemos considerado dos posibilidades cambiando las disribuciones iniciales en los parámeros de la ecuación de esado, lo que nos permiirán observar la sensibilidad de los parámeros ane esos cambios. El primer modelo considera odas las disribuciones iniciales informaivas, aunque omando un coeficiene de variación muy alo. En el segundo modelo asignamos disribuciones no informaivas, en concreo uniformes, a los parámeros de la relación de recluamieno (10) y a la biomasa inicial. En ambos casos las perurbaciones serán informaivas. Las disribuciones, así como los valores medios iniciales, obenidos a parir de una aproximación lineal de Schnue(1977) al modelo, son las siguienes: Parámero Modelo 1: Dis. Inicial informaiva Modelo : Dis. Inicial no informaiva Valor medio Coeficiene de variación (%) X 0 Normal Uniforme Lnβ 1 Normal Uniforme β Normal Uniforme 8.79E q Normal Normal 9.08E h w Gamma Gamma h v Gamma Gamma Tabla : Disribuciones y valores iniciales de los parámeros. En cuano a las disribuciones condicionales compleas, combinaremos la información a priori con los resulados muesrales a ravés del Teorema de Bayes, con la única salvedad de uilizar la aproximación de primer orden de Taylor en 13

14 aquellos casos en los que la función sea no lineal respeco a la variable para la que queramos esimar su densidad. La esimación se llevó a cabo usando el muesreo de Gibbs, programando el algorimo con el paquee esadísico GAUSS 3., con una ampliud de convergencia de l=5 y calculando G=1000 muesras en paralelo de la disribución conjuna. Los resulados se presenan en la siguiene abla: Modelo 1: Modelo : Parámeros Disribuciones iniciales informaivas Disribuciones iniciales no informaivas Medias Desv S. C.V. (%) Medias Desv. S. C.V. (%) X Ln(β 1 ) β q 9.13E E E E h w h v Tabla 3: Resulados de las esimaciones del algorimo de Gibbs. En ambos modelos se puede apreciar una reducción significaiva en los coeficienes de variación, siendo en el parámero q donde esa reducción, en relación al valor inicial, ha sido menor. La figura muesra una comparación enre las biomasas esimadas que aparecen en el informe de la Inernaional Pacific Halibu Commission y las predicciones de las disribuciones a poseriori obenidas con los dos modelos, represenando conjunamene los valores medios y un inervalo predicivo consruido a parir de los perceniles 10 y 90 de esas disribuciones a poseriori y las esimaciones de las biomasas recogidas en el informe. 14

15 BIOMASAS MUESTREO GIBBS ln(biomasas) Informe Halibu Inernaional Commission Disribuciones iniciales informaivas Disribuciones iniciales no informaivas Año Figura : ln(biomasas) esimadas según el informe de Inernaional Pacific Halibu Commission y valores medios y perceniles 10 y 90 de las disribuciones a poseriori en los modelos esudiados. Observamos que las biomasas recogidas en el informe se siúan denro del inervalo consruido, mienras que no se observa una diferencia apreciable enre las esimaciones que obenemos con ambos modelos. Pariendo de los resulados del muesreo de Gibbs hemos obenido simulaciones de las capuras, que nos han permiido consruir inervalos predicivos considerando los perceniles 10 y 90 de esas simulaciones, y comparar las capuras reales observadas con sus valores esimados (figura 3). Al igual que en la figura anerior, los valores observados se siúan en odo momeno denro del inervalo y se puede apreciar la proximidad enre los valores reales y sus esimaciones en ambos modelos. 15

16 capuras observadas y esimadas ln(capuras) Disribuciones iniciales no informaivas Informe Halibu Inernaional Commission Disribuciones iniciales informaivas Año Figura 3: ln(capuras observadas) según el informe de Inernaional Pacific Halibu Commission y valores medios y perceniles 10 y 90 de las disribuciones a poseriori en los modelos esudiados. Para ver cómo afecan los cambios en las esimaciones en las caracerísicas poblacionales, es ineresane ener en cuena la relación de los parámeros que aparecen en el modelo de Beveron-Hol y la curva de crecimieno logísico de Schaefer (1954), definida por la ecuación: F[X()] = rx()[1-x()/k] Donde r represena la asa inrínseca de crecimieno y K el nivel de sauración o capacidad de carga del medio. Los parámeros 1 y de la función de recluamieno se relacionan con los del modelo de Schaefer mediane las expresiones: 1 =e r y =(e r -1)/K. A parir de las esimaciones obenidas con ambos modelos, los valores correspondienes para K y r son: Modelo 1 Modelo 16

17 r K (libras/10 6 ) Tabla 4: Resulados de las esimaciones del algorimo de Gibbs. De donde se aprecia que el nivel de sauración disponible a parir de los resulados del modelo 1 es mucho más elevado que aquél que se obiene con el modelo, aunque no se manifiesa una diferencia significaiva enre las esimaciones de los parámeros en ambos modelos, los cambios son suficienes para obener una diferencia elevada en los parámeros poblacionales, es decir, r y K son sensibles a los cambios en las disribuciones iniciales. A parir de las relaciones sock-recluamieno esimadas podemos deerminar las curvas esfuerzo rendimieno que proporcionan las combinaciones de esfuerzo y capuras que manendrían al recurso esable a lo largo del iempo. Esas curvas obedece a un enfoque esáico y se deerminan a parir de la condición: S=S -S -1 =0 Una regulación adecuada del esfuerzo puede permiir manener el sock en un nivel de equilibrio al que proporcione las máximas capuras posibles, lo que equivale a obener el Rendimieno Máximo Sosenible y que se localiza en el máximo de la función. En el caso de la pesquería del fleán se conrolan cada emporada las capuras permiidas pariendo de la esimación de las biomasas y de los niveles de esfuerzo exisenes y uilizando para ello modelos maemáicos más complejos que los que hemos presenados. Podemos suponer que las capuras que se observan cada año son las que proporcionan un rendimieno ópimo maneniendo el nivel del recurso esable, por lo que decidimos comparar esas capuras observadas con las que capuras sosenibles que se obienen con lo modelos que aplicamos. Realizando una simulación de las capuras sosenibles, pariendo de los resulados de la muesra de Gibbs y comparando el valor medio en cada insane con las capuras observadas en el mismo calculamos el error cuadráico que se obiene con los 17

18 resulados de ambos modelos, obeniendo ese error el valor 1350, en el caso del modelo cuyas disribuciones iniciales eran no informaivas (Modelo ), y 1677 para el modelo de disribuciones iniciales informaivas (Modelo 1). La represenación gráfica de las combinaciones de capuras-esfuerzo reales juno a la curva de esfuerzo sosenible (enorno esable) que se obiene a parir de los resulados del Modelo permien apreciar cómo ha ido evolucionando el sock. A parir de 1985 los punos de capuras-esfuerzo observados se siúan muy próximos a la curva, lo que nos permie afirmar que la regulación del nivel de capuras permiido hace que la población se manenga en siuaciones de equilibrio Modelo Disrib. Inic. No Informaivas Combinaciones Esfuerzo-Capuras Reales Figura 4: Represenación gráfica de las combinaciones de capuras-esfuerzo reales juno a la curva de esfuerzo sosenible. 18

19 Referencias Bernardo, J.M., (1979): Reference poserior disribuions for Bayesian inference, J. Roy. Sais. Soc. B 41, Beveron, R.J.H. y S. J. Hol, (1957): On he Dynamics of Exploied Fish Populaions, Fishery Invesigaions Series II, XIX, Londres: Minisry of Agriculure, Fisheries and Food. Box, G.E.P. and Tiao, G.C. (1973): Bayesian Inference in Saisical Analysis, Reading, MA: Addison-Wesley. Carlin, B.P. e al., (1991): Inference for Nonconjugae Bayesian Models Using he Gibbs Sampler, Canadian Journal of Saisics, 19, Carlin, B.P., Polson, N.G. y Soffer, D.S., (199): A Monecarlo Approach o Nonnormal and Non-linear Sae-space Modelling, J. of he American Saisical Associaion, 87 (418), Clark, C.W., (1990), Mahemaical Bioeconomics. The Opimal Managemen of Renewable Resources, Nueva York: Wiley. Cushing, D.H., (1971): The dependence of recruimen on paren sock in differen groups of fishes, Cons. Perm. In. Explor. Mer. J., 33, Desvroye, L., (1986), Non-Uniform random variae generaion, Nueva York: Springer-Verlag. García del Hoyo, J.J., (1995): Análisis Económico de la pesca del cerco en la Región Suralánica Española, Papeles de Economía Española, 71, García Ordaz, F. y García del Hoyo, J.J., (1998): Un Modelo Bioeconómico para la Pesquería de la Chirla (Chamelea gallina) de la Región Suralánica Española, Revisa Española de Esudios Agrosociales y Pesqueros, 184,

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