Fijación de primas de seguros bajo técnicas de robustez bayesiana

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1 Fijación de primas de seguros bajo écnicas de robusez bayesiana Gómez Déniz E. Deparameno de Méodos Cuaniaivos en Economía y Gesión. Universidad de Las Palmas de G.C. Fac. CC. Económicas. Módulo D. Campus de Tafira. 357 Las Palmas de G.C. Tfno: Fax: Pérez Sánchez J. M. Deparameno de Méodos Cuaniaivos en Economía y Gesión. Universidad de Las Palmas de G.C. Fac. CC. Económicas. Módulo D. Campus de Tafira. 357 Las Palmas de G.C. Tfno: Fax: Clasificación AMS: 6F5 6P5. Invesigación parcialmene financiada por la Dirección General de Invesigación Cienífica y Técnica (España) mediane proyeco PB Los auores de la Universidad de Las Palmas de G.C. desean asimismo agradecer la financiación parcial de la Dirección General de Universidades e Invesigación del Gobierno Auónomo de Canaria proyeco 75. Los auores agradecen los valiosos comenarios de un evaluador anónimo cuyas aporaciones han mejorado sensiblemene ese rabajo. Los auores agradecen muy sinceramene los comenarios del evaluador que han ayudado a mejorar el rabajo.

2 Fijación de primas de seguros bajo écnicas de robusez bayesiana Gómez Déniz E. Pérez Sánchez J. M. ESUMEN La esadísica acuarial ha abordado el problema de la arificación en los seguros de no vida desde un puno de visa clásico y bayesiano clásico. En los primeros el parámero de riesgo se considera conocido mienras que en los segundos se considera aleaorio. En ese rabajo se esudia la prima obenida siguiendo ambas meodologías en el modelo colecivo de la eoría del riesgo. La uilización de la meodología bayesiana supone una confianza absolua en la disribución a priori del parámero de riesgo y eso ha sido ampliamene criicado por los esadísicos no bayesianos. Para salvar esa siuación y uilizando la meodología de robusez bayesiana mediremos la sensibilidad de la prima obenida en un conexo bayesiano con respeco a perurbaciones en la disribución a priori del parámero de riesgo uilizando la clase de ε -conaminación. Palabras Clave: Teoría de la Credibilidad Principio de Cálculo de Prima obusez Bayesiana Clase de ε -conaminación. ABSTACT Acuarial saisics have approached arifficaion problem in no-life insurances from a Bayesian and classic poin of view. From he classic poin of view parameer is known while he bayesians considered i random. In his work we sudied risk premium under boh mehodologies in he collecive model of he isk Theory. Bayesian mehodology supposes an absolue confidence in he prior disribuion of he risk parameer and i has been widely criicized by he classic saisicians. To save his siuaion and using he Bayesian sensiiviy mehodology we will measure he sensiiviy of Bayesian Premium wih respec o disurbances in he prior disribuion from he risk parameer using ε -conaminaed class. Key words: Credibiliy Theory Premium Calculaion Principle Bayesian obusness ε - Conaminaion Class.

3 . INTODUCCIÓN Los acuarios son las personas que raan con oda clase de problemas maemáicos y esadísicos en seguros. Las compañías de seguros acepan riesgos de sus clienes los asegurados frene a un ciero precio denominado prima. La eoría de la credibilidad se basa en agrupar las pólizas referenes a un mismo riesgo con una serie de caracerísicas comunes en un colecivo al cual le corresponde como al una deerminada prima coleciva. Pero cada póliza a su vez iene un conjuno de caracerísicas específicas que la diferencia de las demás pólizas. Esas caracerísicas en la mayoría de los casos son inobservables o difíciles de cuanificar pero obviamene han de enerse en cuena para calcular las primas de riesgo individuales. La eoría de la credibilidad esima dichas primas basándose en la información pasada de la experiencia de siniesralidad y las fórmulas obenidas son en muchas ocasiones una suma ponderada de la prima coleciva del riesgo y la media empírica de las indemnizaciones pagadas. El facor de ponderación uilizado se conoce con el nombre de facor de credibilidad. Hasa hace poco se inenaba deerminar la prima para el colecivo sin preocuparse excesivamene por la heerogeneidad de la carera. Sin embargo la endencia acual y fuura parece considerar ambién las caracerísicas pariculares de cada riesgo. Los méodos bayesianos juegan aquí un papel muy imporane pues permien incorporar la información resulane de la hisoria paricular de cada riesgo. En la prácica el cálculo de la prima requiere que la disribución del riesgo X bajo consideración sea conocida (o al menos cieros momenos cuaniles ec.). Nosoros consideraremos como es usual en eoría de la credibilidad el caso en el que la disribución de X esá especificada salvo un parámero desconocido. La erminología que uilizaremos será la siguiene. Supondremos variables aleaorias X X X... ales que oma valores en algún espacio paramérico (generalmene un subconjuno de la reca real) y dado X X X... son independienes e idénicamene disribuidas con función de densidad de probabilidad f ( x ). La prima nea de riesgo que la compañía aseguradora cobra al riesgo X viene dada por P ( ) E [ X ] bajo el supueso de que el parámero sea conocido. Uno de los principales ópicos en eoría de la credibilidad es precisamene la inceridumbre de dicho parámero (Eichenauer J. e al. (988); Gómez E. e al. (999); Klugman S. e al. (998); enre oros). Asumiremos pues una disribución a priori ( ) 3

4 (función esrucura en érminos acuariales) para dicho parámero. Ahora suponiendo para el riesgo alguna experiencia de siniesralidad m la prima Bayesiana vendrá dada por ( m ) E { E [ ]} P X. Muchos rabajos se han publicado en eoría de la credibilidad acerca de la aproximación Bayesiana (Herzog T. (994) ; Gómez E. e al. (999); Klugman S. e al. (998); enre oros). Sin embargo muy pocos han raado el asuno de la robusez bayesiana. Eichenauer J. e al. (988); Gómez E. e al. (998); Gómez E. e al. (999) Heilmann W. y Schröer K. (987) son algunos ejemplos de ellos. El problema de inerés en ese arículo será el análisis bayesiano basado en información a priori parcial en eoría de la credibilidad. El análisis de robusez bayesiano ha recibido una aención considerable en las úlimas dos décadas y numerosos auores han propueso soluciones para ese problema (Berger J. (994); Moreno E. y Cano J. (99); Sivaganesan S. y Berger J. (989); Sivaganesan S. (99); enre oros). Bajo dicho análisis el acuario será incapaz de especificar una única disribución a priori para el parámero de riesgo. Aunque exisen numerosos ipos de clases de disribuciones a priori que pueden uilizarse dedicaremos nuesra aención a la clase de ε -conaminación Γ ε { ( ) ( ε ) ( ) + ε q ( ): q Q} donde ε mide la inceridumbre que se iene en la disribución a priori inicial y Q es una clase plausible de conaminaciones. Esa clase ha sido uilizada en siuaciones diversas (Berger J. (994); Moreno E. y Cano J. (99); Sivaganesan S. y Berger J. (989); enre oros) para esudiar la sensibilidad de alguna canidad a poseriori de inerés medida generalmene por el rango de variación de la misma. El arículo esá organizado como sigue. En la sección se realiza una inroducción a la eoría de la credibilidad y se procede al cálculo de la prima nea en sus disinas versiones. En la sección 3 exponemos el modelo gamma-gamma de la eoría del riesgo. En la sección 4 procedemos a flexibilizar las enradas que exige un análisis bayesiano inercambiando la disribución a priori inicial por oda una clase de disribuciones posibles. En la sección 5 se ilusran odas las ideas aneriores con ejemplos numéricos. En la sección 6 presenamos las propiedades exigibles a un principio de cálculo de prima y proponemos un nuevo sisema de arificación basado en la robusez bayesiana. Finalmene la sección 7 concluye con algunos comenarios y posibles líneas abieras para fuuras invesigaciones. 4

5 . LA TEOIA DE LA CEDIBILIDAD Y EL PINCIPIO DE PIMA NETA El problema de la credibilidad se basa en esimar las ponderaciones que afecan a la experiencia de siniesralidad de una póliza respeco a la experiencia de un colecivo al que perenece el suscripor de dicha póliza. La cuesión básica es deerminar hasa qué puno es creíble la experiencia observada de un asegurado individual en relación a la experiencia de un colecivo al que el asegurado perenece. En lo que sigue asumiremos que la siniesralidad de un riesgo o asegurado es una variable aleaoria X con función de densidad de probabilidad f ( x ) y que el valor de es fijo para un riesgo dado aunque desconocido. Si deseamos disinguir en qué año o período ocurre la siniesralidad X escribimos X i para la siniesralidad en el año o período i.... Luego supondremos variables aleaorias X X X... ales que X i son independienes dado e idénicamene disribuidas. Denoaremos como es usual en eoría de la credibilidad mediane ( ) la función de densidad de a la que se le llama función esrucura. En érminos bayesianos esa función de densidad represena una opinión a priori subjeiva acerca del parámero desconocido que puede represenar por ejemplo la propensión de un conducor a reclamar un siniesro y ( ) puede describir de qué modo esa propensión se disribuye a ravés de la población de conducores asegurados. Luego ( ) represena nuesra opinión a priori acerca de un conducor seleccionado aleaoriamene de la carera. f (x) describe la disribución de la variable experiencia de siniesralidad para un conrao elegido aleaoriamene de la carera y es ( x) f ( x ) ( ) d f () que se raa de la densidad de X incondicional de. En eoría de la credibilidad se usan los érminos individual y colecivo como sinónimos de conrao y carera y se disingue enre prima de riesgo prima coleciva y prima bayesiana. La prima nea de riesgo viene dada por ( ) f ( x ) dx P x () 5

6 y la prima nea de riesgo coleciva se obiene como ( x) dx x f ( x ) ( ) d P ( ) ( ) P d. (3) x f Si ahora en un período de iempo se observan las indemnizaciones x x... x y asumiendo independencia de un período a oro la disribución a poseriori viene dada uilizando el eorema de Bayes por ( ) ( m ) ( ) ( m ) ( ) d f m (4) f donde f m ) f ( x x... x ) es la verosimiliud observada. Esa función esrucura a poseriori ( (disribución a poseriori) nos permie obener la prima nea bayesiana que se calcula de la misma forma que la prima coleciva inercambiando en (3) la disribución a priori ( ) por la disribución a poseriori ( ). Ahora la prima nea bayesiana resula m ( m ) P( ) ( m ) d. P La prima de riesgo represena la asa eórica que la compañía de seguros cobraría a un individuo dado al asegurarse. Para su cálculo la compañía (el acuario) debe conocer la forma de la disribución de probabilidad del riesgo y los parámeros de esa disribución. Si se dispone de esa información la prima de riesgo se podrá calcular y por lo ano no exisirán moivos para hacer ajuses de credibilidad. Sin embargo en eoría de la credibilidad se supone que esa información no esá disponible. En ese caso la prima que la compañía cobra es la coleciva. Para su cálculo se requiere que el acuario especifique una disribución a priori para el parámero de riesgo. La información que para ello se necesia se puede obener de los daos de una población de conraos similares. La prima bayesiana como ya dijimos anes es muy similar a la prima coleciva. Considera para su cálculo la información a priori acerca de los parámeros del proceso de reclamaciones y la información muesral o experiencia de siniesralidad. Uilizando ambas informaciones se calcula la disribución a poseriori para siguiendo el mismo camino que en el cálculo de la prima coleciva obener la prima bayesiana. Evidenemene la meodología seguida para el cálculo de la prima es solamene una posibilidad de acuar enre la amplia gama de principios de cálculo enre los que elegir. Algunos principios de 6

7 cálculo de primas más comunes son el de prima nea exponencial Esscher y varianza enre oros. Una excelene revisión y discusión de ese ópico se encuenra en Heilmann W. (989). Los acuarios gusan de uilizar primas de la forma [ ( m )] ( ) ZP g + Z (5) P con [ ] Z y lim Z donde g es un esimador máximo verosímil de. Aquí [ g( m )] P podría denominarse prima de riesgo individual y P prima coleciva. La expresión (5) recibe el nombre de fórmula de credibilidad y Z es el facor de credibilidad. Bühlmann H. (967) fue el primero en dar una formulación explícia para Z basada en la aproximación por mínimos cuadrados obeniendo Z donde + k k [ V ( X )] [ E( X )] E. (6) V V (.) represena la varianza y Z y Z se inerprean como la credibilidad parcial de los daos observados y de la información a priori. 3. EL MODELO. CALCULO DE PIMAS Un modelo usado con frecuencia en los sisemas de arificación en seguros asume que el riesgo iene la disribución gamma Γ ( ϑ) para la canidad de indemnización (Bühlmann 97) con una disribución ambién gamma a lo largo de la población para el parámero desconocido. Bajo dicho modelo f(x) viene dada por f ϑ x ( x ) f ( x ) ( ) d x e Γ Γ ϑ a ( ϑ ) ( b ) b b e a d ϑ b ϑ ( b + ϑ ) x a ϑ + ( + ) Γ Γ ( ) Γ ( ) b a x x a e d b Γ ( ϑ ) Γ ( b ) ( a + x ) b ϑ + ϑ b que resula ser una disribución generalizada de Pareo GPar(abϑ ). 7

8 La prima nea de riesgo se obiene uilizando () y es ϑ P ( ). La prima de riesgo coleciva o a priori es de (3) P aϑ > b b ya que se raa de la esperanza de una disribución generalizada de Pareo GPar(abϑ ). Ahora si en un período de iempo se observan las indemnizaciones x x... x la probabilidad de ese suceso (la verosimiliud) es ϑ ϑ m f ( m ) ( x x x ) ( ) e m xi Γ ϑ i mienras que la disribución a poseriori de dada la muesra es de (4) b + ϑ ( a + m ) ( m ) e que resula ser una disribución ambién gamma con parámeros a + m y b + ϑ. La prima bayesiana se calcula de la misma manera que la prima coleciva susiuyendo ( ) por ( ) resulando m ( a + m ) ϑ P ( m ). (7) b + ϑ En nuesro caso donde X Γ( ϑ) y Γ( a b) se iene E [ X ] ϑ / V [ X ] ϑ / EV [ ( X )] E ( ϑ / ) ϑa ( b )( b ) [ ( X )] V ( / ) VE ϑ a ( b ) ( b ). 8

9 Luego usando las expresiones de (6) Z. + ( b ) / ϑ Obsérvese que (7) puede reescribirse como P ( m ) ( a b + + m ) ϑ ϑ b ϑ m + ϑ + b b + ϑ aϑ b Z m + ( Z ) P. Teniendo en cuena que si ~ ( ϑ) X Γ con ϑ conocido enonces el esimador de máxima verosimiliud de para una muesra de amaño es ϑ ( xi ) en cuena que ( ) ϑ P que P ( g ( m )) P ( ) ϑ m. y de aquí se deduce eniendo La prima bayesiana pues en nuesro modelo adopa la forma de una fórmula de credibilidad con facor de credibilidad como en (6). 4. CONSIDEACIONES MAS FLEXIBLES PAA EL CALCULO DE LA PIMA BAYESIANA A pesar de los avances en el campo de la esadísica bayesiana varios son los problemas que suelen achacarse a esa aproximación. La elección de la disribución a priori que iene un carácer subjeivo al esar basada en la información previa acumulada por el invesigador. Sin embargo en la prácica puede ser muy difícil discernir enre cieras disribuciones con caracerísicas similares. Por ejemplo podemos esar convencidos de que la disribución a priori es unimodal y simérica pero disinguir enre las disribuciones normal y Cauchy puede resular muy difícil. En oras ocasiones la especificación de la disribución a priori se hace difícil porque la decisión ha de ser omada por un grupo de personas que pudieran ener opiniones a priori diferenes. Para salvar esa dificulad y desde hace algún iempo se rabaja en análisis bayesiano con una meodología que consise en procesar información a priori más flexible que la que se exige en un análisis bayesiano clásico. Bajo esas ideas el problema a raar consise en realizar un análisis de sensibilidad bayesiano en el proceso de arificación de primas de seguros. Por ejemplo si las creencias a priori del acuario ienen una forma menos elaborada que una disribución a priori nos planeamos si se podrían ampliar las enradas del análisis bayesiano permiiendo que la 9

10 especificación a priori fuera una clase o familia de disribuciones en lugar de una sola. Para concrear esa clase podríamos incorporar caracerísicas que pudieran ser muy claras para un acuario como la unimodalidad conocimieno de algunos cuaniles ec. Sobre esa familia el acuario calcularía los exremos inferior y superior de la prima a cobrar de modo que si la diferencia enre esos dos valores denominada rango de variación es grande se habla de carencia de robusez; por el conrario si la diferencia es pequeña se dice enonces que el modelo es robuso. La carencia de robusez debe inerprearse de la siguiene forma: densidades muy parecidas no producen canidades próximas y de ahí que el acuario deberá omar sus decisiones con mucha precaución. Por conra un modelo robuso debe inerprearse de esa ora forma: las decisiones del acuario no se ver susancialmene modificadas con un elemeno u oro de la clase. Una familia que permie realizar un análisis de sensibilidad como el aneriormene señalado es la clase de conaminación (Berger J. (994); Moreno E. y Cano J. (99); Sivaganesan S. y Berger J. (989); enre oros). En ella la disribución a priori del parámero esá denro de una clase de disribuciones a priori de la forma Γε { ( ε) + ε q : q Q} (8) en la que [ ] ε deermina la canidad de inceridumbre en la disribución a priori inicial y Q es una clase de posibles conaminaciones. Un inerés naural del análisis de robusez consise en enconrar el rango de variación de una magniud a poseriori de inerés en nuesro caso la prima nea bayesiana; luego esamos { } ineresados en calcular el inf P ( m ); y el sup P ( m ) Γ ε para ello se expone a coninuación. Para la clase de conaminación en (8) se iene que { ; } Γ ε. La meodología a seguir ( m ) f f ( m ) ( ) ( m ) ( ) d ( ε ) ( m ) f ( m ) ( ) ( ) ( ) ( ) d + ε q m f m q ( ε ) f ( m ) ( ) d + ε f ( m ) q( ) d d la prima bayesiana para el modelo de la sección 3 puede escribirse como

11 ϑ P ( m ) ( m ) d ( ε ) P ( m ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f m d + εp q m f m q d ( ε ) f ( m ) ( ) d + ε f ( m ) q( ) d. (9) En ese arículo desarrollaremos el análisis de sensibilidad de la prima bayesiana para las clases i ε Γ { ( ε ) + ε q : q Q } i i omando como clases conaminanes Q {Todas las disribuciones de probabilidad} y Q {Disribuciones unimodales con la misma moda que ( ) }. Los siguienes resulados muesran cómo calcular el rango de variación de la prima bayesiana que pasa por calcular los exremos de una función de una variable. Lema. Si X Γ( ϑ) y Γ( a b) enonces: inf P ( m ) inf Γε 3 P ( m ) + ( ) + ( ) ε f ( ) ( ) d ( ) ε ( ϑ / ) f ( m ) ) ( ) donde ( ) m como en (7). El supremo se obiene reemplazando inf por sup. y P ( m ) 3 ( Demosración.- Basa aplicar el lema A.. de Sivaganesan S. y Berger J. (989) a la expresión (9).

12 Γ Lema. Si X Γ( ϑ) y Γ( a b) enonces inf P ( m ) infz ( z) donde ε P ( z) ( m ) + + ( / z) ( / z) + z + z 3 ( ) d ( ) d si z > y () P ( m ) + ( ) + ( ) 3 con ( ) 3 ( ) y ( m ) P como en el lema. El supremo se obiene reemplazando inf por sup. Demosración.- Basa aplicar el lema 3.. y el lema A.. de Sivaganesan S. y Berger J. (989) a la expresión (9). Como medida de la robusez uilizaremos el facor de sensibilidad relaiva inroducido por Sivaganesan (99) y que adapado a nuesro problema viene dado por S i sup i { P ( m ); Γε } inf P ( m ) P ( m ) i { ; Γ } ε % ( i ) que puede inerprearse como el porcenaje de variación de la prima calculada para la disribución alrededor de la prima calculada para la disribución a priori inicial. En la sección 5 se aplican los resulados de esa sección a casos concreos. 5. APLICACIÓN Para ilusrar las ideas expuesas aneriormene desarrollaremos res ejemplos numéricos. Supongamos que el acuario confía que la variable indemnización de reclamaciones iene una disribución gamma con media en orno a 5 unidades monearias (u.m.) y que la indemnización

13 media más frecuene la moda esá en orno a.5 u.m. Un modelo que refleje lo anerior puede ser el siguiene X Γ( ) Γ(6) donde por comodidad compuacional rabajaremos con los daos divididos por. Tomaremos como observación muesral m la canidad media de indemnización observada en los úlimos años de vigencia de la póliza que supondremos es de y 5 u.m. para res ejemplos considerados. Después de los cálculos oporunos se obienen los rangos de variación y los valores del facor S que aparecen en las figuras y 3. Se ha omado como grado de conaminación valores desde hasa el.35 con pasos de.5 observándose que el facor S no resula paricularmene alo en ninguno de los casos aquí considerados; luego los resulados son razonablemene robusos. Por ejemplo para el caso en que la media muesral es de 5 u.m. se obiene como valor de la prima bayesiana 5.7 u.m. omando el facor S valores desde.3 hasa el 7.69% para conaminaciones con Q. Ese facor se reduce hasa omar los valores desde.47 hasa el 3.6% para conaminaciones con Q. Luego desde nuesro puno de visa la compañía aseguradora puede senirse ranquila cobrando en ese caso como valor de la prima cualquiera de los que se encuenren en el inervalo de variación. Por ejemplo si el acuario confía en una disribución a priori gamma en un 95% ( ε. 5 ) en el caso de conaminaciones unimodales la prima bayesiana oma valores en el inervalo [ ]. La prima coleciva ambién en ese ejemplo oma el valor 6.66 u.m. de lo que resula Z.574. Eso quiere decir que la información muesral o daos observados pondera un 57% mienras la información del colecivo o información a priori lo hace un 43%. En érminos acuariales se comena que la información muesral es creíble al 57% y la del colecivo al 43%. Para un asegurado que se incorpore a la compañía de seguros y del que no dispongamos de hisorial anerior la compañía aseguradora le cobraría la prima coleciva con una credibilidad del 43%; en la medida que se vaya disponiendo de experiencia de reclamaciones para ese sujeo la prima que se le cobraría se le iría ajusando adecuadamene. Para finalizar con ese aparado digamos que odos los cálculos han sido elaborados con el sofware Mahemaica y los gráficos con el sofware Malab en un Penium II a 55 Mh. y un iempo de cómpuo relaivamene rápido. 3

14 Figura. angos de variación de la prima bayesiana con media Inferior y superior de la prima bayesiana Grado de conaminación Todas las disribuciones Disribuciones unimodales Facor S Grado de conaminación Todas las disribuciones Disribuciones unimodales Figura. angos de variación de la prima bayesiana con media Inferior y superior de la prima bayesiana Grado de conaminación Todas las disribuciones Disribuciones unimodales Facor S Grado de conaminación Todas las disribuciones Disribuciones unimodales 4

15 Figura 3. angos de variación de la prima bayesiana con media 5 Inferior y superior de la prima bayesiana Grado de conaminación Facor S Grado de conaminación Todas las disribuciones Disribuciones unimodales Todas las disribuciones Disribuciones unimodales 6. TAIFICACIÓN ALTENATIVA DEL IESGO En la lieraura acual no exise un sisema axiomáico comúnmene acepado de propiedades que un principio de cálculo de prima debería saisfacer. Sin ser exhausivos conribuciones imporanes en esa maeria pueden enconrarse en Gerber H. (979) Heilmann W. (989) Hürlimann W. (994) Kuen S. y Yang H. (999) y Young V. (999) enre oros. Generalmene se acepa que las propiedades que un principio de cálculo de prima [ X ] P H debería saisfacer son: i. Sobreprima de seguridad no negaiva: P E [ X ]. Eso significa que para eviar la ii. ruina écnica la ganancia esperada será no negaiva. No esafa: La prima no excederá a la reclamación máxima posible r X eso es P r X. iii. Consisencia: Para cada riesgo X y cada consane c H [ X + c] H [ X ] + c. Eso significa que si el beneficio se incremena en una consane ésa iene que ser añadida a la prima. 5

16 iv. Adiividad: Si X y X son riesgos independienes siempre se endrá que cumplir [ X X ] H [ X ] H [ ] H + +. Eso quiere decir que la incorporación de riesgos X independienes no afecan a la prima oal. v. H [] c c para oda consane c X c con Prob[Xc] la prima a cobrar será c. vi. Homogeneidad posiiva: [ cx ] ch [ X ] conveniene para corregir efecos inflacionarios.. Eso significa que para un riesgo no aleaorio H para odo c que resula vii. H [ p X + qy ] ph [ X ] + qh [ Y ] p > q > ales que p + q. Es fácil probar que la prima nea de riesgo coleciva y bayesiana verifica odas las propiedades aneriores. La cuesión es averiguar si cualquier valor de la prima bayesiana conenida en el inervalo de variación [ inf P ( m ) i i { ; Γ } sup{ P ( m ); Γ } ] propiedades. Para esudiar eso obsérvese que de (9) se iene que ε ε sigue conservando esas P ( m ) P ( m ) + ε P ( ) f ( m ) q( ) + ε f ( m ) q( ) d d que puede reescribirse de la forma P ( m ) ε P P ( m ) + + ε f ( m ) q( ) d + ε f P ( m ) + + ε f ( m ) q( ) d + ε ( m ) + ( ) P ( m ) γp γ q ( m ) q( ) d f ( m ) q( ) ( ) f ( m ) q( ) ε f ( m ) q( ) d d d P ( ) f ( m ) q( ) f ( m ) q( ) d d con γ + ε f m ( ) q( ) d [ ] ya que ( ) q( ) d > f m. Luego la prima bayesiana obenida en el modelo de conaminaciones puede escribirse como una combinación convexa de dos primas bayesianas la calculada para la disribución a priori inicial y la 6

17 calculada para la disribución conaminane (esa es una prima eórica no calculable). A parir de aquí es fácil comprobar que las propiedades se conservan al pasar al modelo de conaminaciones con Q. Ahora pueso que Q Q se desprende que las propiedades son ambién válidas en el modelo de conaminaciones unimodales. La propuesa que hacemos nosoros es la siguiene. Si el modelo es robuso dado un ε y por ano para una confianza en la disribución a priori de ( ε ) % - la compañía aseguradora puede cobrar como valor de la prima cualquiera del inervalo de variación de la prima bayesiana. Esa políica de arificación novedosa en los escenarios acuariales le puede reporar a la compañía un elenco de valores a cobrar que pudiera solucionarle problemas de compeiividad acaparando mayor cuoa de mercado. 7. CONCLUSIONES Y POSIBLES EXTENSIONES En ese arículo se ha ilusrado el uso del análisis bayesiano robuso en eoría de la credibilidad para medir la sensibilidad de la prima nea bayesiana en el modelo gamma-gamma. El análisis bayesiano robuso asume inceridumbre en la función esrucura e inercambia ésa por clases de disribuciones a priori plausibles lo que proporciona un inervalo de variación de la prima bayesiana. Los resulados obenidos indican que se obiene una reducción significaiva del facor S cuando se considera la unimodalidad. Esa aproximación permie ofrecer resulados más flexibles que con los méodos Bayesianos clásicos lo que puede ser aprovechado por las compañías aseguradoras para resolverles problemas de compeiividad acaparando mayor cuoa de mercado. Una pequeña modificación en el lema podría llevarse a cabo si el acuario considera conveniene añadir la propiedad de simería a la de unimodalidad. Eso es posible reemplazando ( ) + z / z ( ) d ( ) + por / ( z) z z ( ) d (Sivaganesan S. y Berger J. (989)). Ora posible modificación sería considerar mixuras de disribuciones si el acuario desea considerar disribuciones bimodales (o mulimodales) como función esrucura que es razonable en muchos ramos de seguros. Lo fundamenal es que la clase de ε -conaminación es muy flexible y se puede rabajar con ella sin complicar demasiado los procedimienos maemáicos. Por oro lado la mayoría de los modelos bayesianos en credibilidad uilizan una aproximación bayesiana pura uilizando dos niveles el primero inroduce la verosimiliud y el segundo una disribución a priori para algún parámero de aquélla. Esa disribución coniene nuesro 7

18 conocimieno sobre las relaciones enre las disinas clases de asegurados. No es nuesra opinión a priori sobre una clase en paricular. Una solución a eso lo da el análisis bayesiano jerárquico incluyendo un ercer nivel. En el primer nivel como aneriormene se inroduce una disribución que describe las variaciones denro de cada grupo de asegurados; el segundo nivel incorpora una disribución que describe las variaciones enre los grupos; finalmene el ercer nivel proporciona una disribución a priori para los parámeros desconocidos en los niveles aneriores. Desaforunadamene en ese caso las écnicas bayesianas son complicadas desde el puno de visa analíico y sólo se ha desarrollado el modelo con disribuciones normales para los dos primero niveles e impropia para el ercero. Sin embargo es obvio que la disribución normal no resula adecuada para modelar escenarios acuariales por lo que resularía ineresane la invesigación de oros modelos en el análisis bayesiano jerárquico. Bibliografía Berger J. (994). "An Overview of obus Bayesian Analysis." TEST 3 pp Bühlmann H.(967). "Experience raing and credibiliy." Asin Bullein 5 II pp Bühlmann H.(97). Mahemaical Mehods in isk Theory. Springer. New York. Eichenauer J. Lehn J. y eig S. (988). "A gamma-minimax resul in credibiliy heory."insurance: Mahemaics and Economics 7 pp Gerber H. (979). An inroducion o mahemaical risk heory. Huebner Foundaion. Gómez E. Hernández A y Vázquez F. (998). Un análisis de sensibilidad del proceso de arificación en los seguros generales. Esudios de Economía Aplicada 9 pp Gómez E.; Hernández A. y Vázquez F. (999). The Esscher Premium Principle in isk Theory: a Bayesian Sensiiviy Sudy." Insurance: Mahemaics and Economics 5 (3) pp Heilmann W. (989). "Decision heoreic foundaions of credibiliy heory." Insurance: Mahemaics and Economics 8 pp

19 Heilmann W. y Schöer K. (987). On he robusness of premium principles. Insurance: Mahemaics and Economics 6 pp Herzog T. (994). Inroducion o Credibiliy Theory. ACTEX Publicaions Winsed. Hurlimann W. (994). A noe on experience raing reinsurance and premium principles. Insurance: Mahemaics and Economics 4 pp Klugmann S. Panjer H. y Willmo G. (988). Loss Models: From Daa o Decisions. John Wiley & Sond Inc. New York. Kuen S. y Yang H. (999). "Subjeive isk Measures: Bayesian Predicive Scenarios Analysis." Insurance: Mahemaics and Economics 5 pp Moreno E. y Cano J. (99). "obus Bayesian Analysis for ε -conaminaions parially known." Journal of he oyal Saisical. Series B 53 pp Sivaganesan S. (99). "Sensiiviy of some poserior summaries when he prior is unimodal wih specified quaniles." The Canadian Journal of Saisics Vol. 9 pp Sivaganesan S. y Berger J. (989). "anges of poserior measures for priors wih unimodal conaminaions." The Annals of Saisics Vol. 7 pp Young V. (999). Opimal insurance under Wang s premium principle. Insurance: Mahemaics and Economics 5 pp

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