Operación Matemática Conceptos y definiciones básicas Operaciones binarias

Transcripción

1 ... onceptos y definiciones ásics... onjunto Llmremos conjunto, o clse culquier colección de ojetos llmdos elementos. Si es un elemento que pertenece l conjunto, se denot por. Si x no pertenece l conjunto, se denot por x. Se reservn ls letrs:,,, y, pr el conjunto de los números nturles, enteros, rcionles, reles y complejos, respectivmente. Ejemplo.- El conjunto D = {; ; ; } = x x, x 5. quí el conjunto consiste en todos los elementos x que stisfcen l condición que sigue l rr ( ), que se lee tl que.... Pr ordendo Es el conjunto formdo por dos elementos y, denotdo por (; ), llmdos primer y segundo elemento respectivmente.... Producto crtesino Sen dos conjuntos y. Se llm producto crtesino, o conjunto producto, denotdo como, l conjunto de pres ordendos, cuyo primer elemento es un elemento de y el segundo elemento es un elemento de. ( x; y) x, y... Operciones inris Operción Mtemátic... Relciones inris Se llm relción inri, o relción, R sore un conjunto S todo suconjunto de S S. Ejemplo.- Si = {; ; 5; 6} y R signific «divide», entonces se tiene: R, R6, R, R6, 5R5, 6R6. Luego: R = {(; ), (6; ), (; ), (6; ), (5; 5), (6; 6)}... Definición de operción inri Un operción inri, definid en un conjunto no vcío S, es un tipo de relción que sign un pr ordendo de elementos de S S, llmdo dominio, un único elemento de S, llmdo rngo. Un operción inri entre dos elementos y se denot por, donde el signo se llm operdor. Supongmos que (, ) S S, entonces S. n n Ejemplo.- Tods ls operciones ritmétics,,,, ( ), son operciones inris. Und. Fundmentos de ls Operciones Mtemátics

2 ... Regl de correspondenci L regl de correspondenci de un operción mtemátic es el criterio, ddo en modo de extensión, por medio de un función, por medio de un fórmul o trvés de un tl de dole entrd, que nos indic cómo se eligen ls prejs de elementos del dominio y el rngo. Ejemplo.- Por extensión se define l operción pr dos números y como su semisum. Por medio de un fórmul, se tendrí: Ejemplo.- Por medio de un función, l operción xx x, se escrie: f ( x) x Ejemplo.- El siguiente esquem se llm Tl de Dole Entrd y define un operción sore el conjunto = {,, c, d, e}, que h de leerse sí: L operción definid en, sign l pr (x ; y) un vlor denotdo por x y, uicdo en el cruce de l fil inicilizd por x y por l column encezd por y. Ejemplo 5.- Si se se que: = 55; = 8; = 9; 5 5 = 90 Se pide clculr «m +», en: mn 7 0 (PUP 007) En este cso no se ofrece un tl si no resultdos específicos de l operción. Lo que hremos es descurir l fórmul que define l regl de correspondenci prtir de los resultdos ddos: i) = 55, donde: 55 = ( + ) iii) = 9, donde: 9 = ( + ) ii) = 8, donde: 8 = ( + ) iv) 5 5 = 90, donde: 90 = 5(5 + ) Luego: mn7 0 0 mn(7 ) 0 mn(8) mn 5 De donde: m = n = 5, por lo tnto: m + n = + 5 = 6..D. Propieddes de ls operciones inris c e Ejemplo.- Dd l siguiente tl, que muestr lgunos resultdos de l operción, se pide clculr: 5(5 ) 7 (UNMSM 005) Lo primero que deemos reconocer es que los números ddos, en l operción efectur, no figurn en l tl de dole entrd. Lo segundo es que lgunos resultdos son negtivos, ello sugiere que l regl de correspondenci, involucr un diferenci. Pr descriir l fórmul que vincul los términos, nlizremos lguns operciones. i) * 7 = 5, donde: 5 = ii) 5 * 7 = 9, donde: 9 = iii) * 7 = 8, donde: 8 = En generl: = - + Luego: 5 = = Y en l operción dd: 5(5 ) 7 = 5() 7 5(5 ) 7 = 5(6) 7 5(5 ) 7 = (5 * ) 7 = (5 ) 7 = 9 Not.- En un tl de dole entrd, si los elementos están situdos simétricmente con respecto l digonl principl, se puede firmr que l operción es conmuttiv. simismo, el elemento neutro está ddo por el inicio de un fil o column que se repite l interior de l tl. Ejemplo.- Se pide determinr el vlor de, si: # 5 = e, donde «e» es el elemento neutro de l operción #, definid por l siguiente tl: (UNHEVL 000) Inspeccionndo l tl, oservmos que l primer fil o primer column, se repiten l interior de l tl. Luego el elemento neutro está ddo por el elemento de ésts, es decir: e =. Osérvese que, tmién, está en l intersección de l fil y column repetids l interior de l tl: Rzonmiento Mtemático Und. Fundmentos de ls Operciones Mtemátics

3 simismo deemos estlecer, según los resultdos de l tl, que: # 5 = = Not.- Y que: # 5 = e, diremos que es el elemento inverso de 5 ó 5 es el elemento inverso de.... Operciones no inris Un operción unri, terciri,... etc, es quell que se define sore un conjunto ddo S y que emple uno, tres,... etc elementos de éste, respectivmente, los cules les hce corresponder otro elemento, tmién de S, medinte un regl de correspondenci. Ejemplo.- Si, l operción:, es un operción unri. Si {x; y; z}, l operción: x# y# z x y z, es un operción ternri. Ejemplo.- Si «x» es un número rel, se definen ls siguientes operciones: i) ii) Luego, se pide clculr: + (UNPRG 000) Slt l vist que l operción no está definid explícitmente. Por ello hremos el cmio de vrile: = y. Reemplzndo en (ii), se tiene: = Luego en (i) se tendrá: = y - Restituyendo l vrile: = - Reemplzndo el primer miemro por l regl de correspondenci declrd en (ii), se tiene: x(x + ) = - = x(x + ) + x x( x )... (Operción Unri) Luego: 5 5(5 ) ( ) 5 OPERIONES INRIS Pro. 0 (UNMSM 998) =, entonces, qué es igul ( ( + ))? Reemplzndo según l regl de definición: * ( + ) = ( + ) ( + ) = - * (- ) = (- ) (- ) -( + + ) ( ) Pro. 0 = y, clculr el vlor de ( ) ( ) plicmos l r regl de correspondenci los términos extremos de l expresión dd: = () = = () = - Reemplzndo tenemos: ( ) ( ) ( ) - 5 Pro. 0 Se define: x y x y x y x = 7/6, clculr el vlor de ( x) Reduciendo l regl de correspondenci, se tiene: x y x y x 5y x y x y 6 6 Según condición del prolem, plicndo est regl los números y x, el resultdo dee ser 7/6, es decir: 7 5 x x Finlmente nos piden: - x x x x Pro. 0 (UNMSM 998) m n = residuo de dividir m + n entre 8 y m n = residuo de dividir m n entre 8, se pide determinr: 6 7 # 5 9. plicndo l regl de correspondenci pr l operción, se tiene: ) 6 7 : Rzonmiento Mtemático Und. Fundmentos de ls Operciones Mtemátics 5

4 ) 5 9 : Reemplzndo en l expresión dd se tiene: 6 7 # 5 9 5#6 5 6 hor, plicndo l regl de #, tenemos: 5#6 : 5 # 6 = 6 Pro. 05 (UNMSM 999) Se define el operdor:, si, si entonces l sum de ls ríces de l ecución: ( ) = x x, es: Hciendo que: p, reemplzmos en l ecución dd y nos qued: x x p x x p 0 Est ecución tiene ríces x y x, cuy sum está dd por l siguiente propiedd: x x c 0 x x (-) x x x + x = Pro. 06 (UNI 00) m n = m n y, determine el vlor de «t» en l siguiente iguldd: 6 t. plicndo l regl de correspondenci en cd término y reduciendo, tenemos: i) Pr : ( 6) t ( 6) t ii) Pr : (-) t Despejndo tendremos: - t t t = 8 7 Pro. 07 (UNMSM 000) Definimos los siguientes operdores: si: si: # = Entonces, cuál es el vlor de: N #? plicmos el operdor pr cd término de l expresión dd, teniendo en cuent l comprción de los números según l regl de correspondenci dd. Vemos: i) = + = ii) = = iii) = + = Reemplzndo en l expresión dd: N # #...() Donde: = + = 9... () Reemplzndo () en (): 9 N # # N = 9 Pro. 08 (UNMSM 000) Si definimos:, clculr: Nuestr estrtegi consistirá en plicr l regl de correspondenci, pr cd término de l expresión dd, y ls leyes de exponentes. i) ii) Reemplzndo en l expresión dd, se tiene: - Pro. 09 (UNI 00) ; clculr: 8 Puesto que no se se que l operción dd es conmuttiv, no deemos suponer que ls expresiones y sen igules. Por ello nuestro ojetivo será determinr l regl pr y lo que hremos es sustituir por y por en l regl de correspondenci originl: Despejndo: = ( ) ( + ) Reemplzndo en el regl inicil tenemos: / ( ) ( ) ( ) / ( ) ( ) ( ) ( ) Finlmente evlumos pr = y = 8: Pro. 0 (8) 8 log 8 = 8 = +, clculr el vlor de: 6 8 nlizndo los términos del operdor deducimos que el vlor que se hce corresponder un pr de vlores y, en este cso, no depende del término uicdo en el csillero de l izquierd. Luego, pr lo que se pide clculr, se tiene: log 6 8 = 6 Pr descurir los vlores correspondientes de y procederemos comprr los términos de los dos csilleros de cd miemro: 6 Rzonmiento Mtemático Und. Fundmentos de ls Operciones Mtemátics 7

5 log log () Pr poder identificr los vlores de y que hcen posile est iguldd trnsformremos el exponente del do miemro. Pr ello plicremos l definición de logritmo: 9 log 9...() Reemplzndo () en (): log 9 log 9 De donde: = y = 9 Luego l operción consiste en: log Pro. (UNT 005) En se define l operción: m n = m + n 6 Determine el elemento inverso de 5. Sen un elemento de, - su elemento inverso y e el elemento neutro de l operción definid medinte el operdor. Entonces se dee cumplir que: (I): (II): e e 6 e 6 e plicndo est relción l elemento 5 y l regl de correspondenci dd, determinremos el vlor de su inverso 5 - sí: ) simismo recordemos que n i represent l sum de todos los nturles no i nulos desde «i» hst «n». Luego evlumos pr i = y n = : n i i j j j 5 j nn & i j j i n j 5 j & 5 j & = 0 )Pr, oservmos que: < Luego plicmos l d regl: 6 Reemplzndo en l expresión dd: ( 6) - = 7 Pro. 5 (UNLM 006) Si l siguiente operción se define en el conjunto : Pro. En el conjunto de los números reles, se define l siguiente operción $ = + + k, k: constnte = 8, determine el vlor de «k». ) Si «e» es el elemento neutro de l operción inri dd, se dee cumplir que: e e k e k...() ) Si «-» es el elemento inverso de en l operción inri dd, se dee cumplir que: - - e k e 0 k e...() = 7 Pro. (UNT 005) i j i i, & ( i j ), determine el vlor de: ) L expresión n i & i represent l producto de todos los números nturles, desde hst «n». Luego, pr n =, se tiene: Finlmente: Pro. 6 0, & 0 ; ; determine el vlor de:. Determinmos cd fctor de l expresión dd plicndo decudmente l regl de correspondenci dd: )Pr, oservmos que: > Luego plicmos l r regl: determine el vlor de: Lo que hremos es determinr el pr de vlores de cd término según l form en que están dispuestos los vlores con los que se reliz l operción definid en. Luego, plicndo l regl de correspondenci dd, determinmos el vlor de cd término. ) Luego: 0 8 Reemplzndo () en (): 0 + k = -k k = 5 i i 6 ) Rzonmiento Mtemático Und. Fundmentos de ls Operciones Mtemátics 9

6 Luego: Finlmente nos qued: I. x % x =, x {; ; c} (F) Nos piden: (c x) ( ) Finlmente nos piden: Pro. 6 (UNMSM 00) ; y ) hor nlizmos el sustrendo de l operción dd: Primero: Luego introducimos estos resultdos en el cudrilátero y nos qued: Reemplzndo () y () en l expresión dd: nlizndo l operción pr todos los vlores que puede sumir x, l expresión dd no se cumple pr x =. II.x % x = x, x {; ; c} (F) nlizndo l operción pr todos los vlores que puede sumir x, l expresión dd no se cumple pr x = c. III. % es conmuttiv (V) l trzr l digonl de est tl se comprue que todos los elementos por encim de ell son igules los elementos dejo de ell, luego l operción es conmuttiv. i) Sustituimos x por c, según l condición: (c x) ( ) = (c c) ( ) ii) grupndo convenientemente y sustituyendo según ls tls, se tiene: ( c x) ( ) ( c c) ( ) (c x) ( ) = c ( c) c ( c ) c (x + 08) (5 + 9x) = OPERIONES NO INRIS entonces el vlor de «x» serí: Pro. 7 x = 89 Pro. 9 (UNMSM 999) Se define el operdor:, ) nlizmos el minuendo de l operción dd: En el conjunto {; ; c}, se define l operción % medinte l siguiente tl VI. % ( % c ) ( % ) % c (V) c % c = % c Luego, son corrects III y IV. determinr el vlor de:. plicmos l regl de correspondenci pr determinr el vlor de cd término: Luego, en l prte intern del redondel qued: = x +. 6 = x + 08 De ls siguientes firmciones: I. x % x =, x {; ; c} II. x % x = x, x {; ; c} III. % es conmuttiv IV. % ( % c) = ( % ) % c uáles son cierts? Pro. 8 (UNMSM 000) Sen ls operciones definids por: c d c d d c c c d d d c c d c d c c d d d c x = c, determinr (c x) ( ) i) ii) Finlmente reemplzmos estos resultdos en l expresión dd: 0 Rzonmiento Mtemático Und. Fundmentos de ls Operciones Mtemátics

7 Pro. 0 (UNI 00) Si se cumple que: W W y determinr el myor vlor de «t», en l siguiente iguldd: Nuestr estrtegi consistirá en plicr ls regls de correspondenci pr cd término de l ecución plnted y continución resolver. i) álculo de : ii) álculo de : Sustituyendo estos resultdos en l ecución y resolviendo, se tiene: t t 9 t = Pro. (UNMSM 999) x xx, determinr: x En este tipo de csos se requiere deducir l regl de correspondenci con un solo elemento. Pr ello comprmos l expresión dentro del operdor con ls expresiones del Rzonmiento Mtemático. do miemro: Esto signific que: «el er fctor se otiene sumndo l expresión (x - ) y el do fctor es igul él». De este modo, si es el número que se h de operr, se tendrá que: plicndo est regl en l expresión dd: x x x x x x x x x x x - = x - Pro. (UNMSM 999),, clculr «x» en: x = 00. Nuestr estrtegi consistirá en expresr el segundo miemro de cd iguldd según l regl de correspondenci, lo cul permitirá deducir el vlor dentro de cd recudro: x x 9 ( ) x ( ) - x Pro. (UNMSM 00) x x x, donde «x» es un entero, x -, x -; entonces cuál es el vlor de: plicndo l estrtegi del ejercicio nterior, deducimos que: Luego, si es el número, se tiene que: plicndo est regl de correspondenci pr cd término de l expresión dd, se tiene: Eliminndo sólo qued: Pro. (UNI 00) Si se cumple que: u u, determine el vlor de «W» en l siguiente iguldd: Und. Fundmentos de ls Operciones Mtemátics W 8 W 7 5 prtir de l regl de correspondenci dd deduciremos l regl pr un solo número: Luego, si es el número, se tiene que: plicndo est regl pr cd término de l expresión dd, se tiene: W 8 W 7 5 [(W + 8)-] - [(W + 7)-] = 5 W W -8 - = 5 Pro. 5 W = º x ; x º º ; x x 5 º x ; x donde: º m = múltiplo de m, determine el vlor de: Reconociendo que el operdor está ddo en form de un función con tres condicio-

8 nes, evluremos cd término de l expresión dd teniéndols en cuent pr determinr su correspondiente vlor. i) lculmos :, r condición:, r condición: Luego:... () ii) lculmos : Utilizndo el resultdo del pso nterior: Luego, si es el número, se tiene que: 0 plicndo est regl cd término de l expresión E, se tiene: i) x x 0 x 8 ii) x x 0 Reemplzndo, tenemos: E x x 8 E x 8 x Pro. 8 (UNS 006) Evlundo pr n =, otenemos: dx dx dx 5 x x x 5 dx 8 x Pro. 9 (UNP 007) Si l operción se define por: ( )()(d + ) = ( + d), clculr el vlor simplificdo de H ( 5 ) (6 ) ( 7 ). iii) lculmos :, r condición:... () Luego:... () Finlmente reemplzmos en l expresión dd: 5 8 E = 6 Pro. 7 (UNT 007) ( 0,5 ) log (6 ) 7, determine el triple de Recordndo que 0,5 = /8 = 8 - y 6 = 8, l expresión dd se puede escriir sí: Pr un entero no negtivo «n» se define, recursivmente, el operdor n x dx, como: 0 n n n dx, dx y dx dx dx;n x x x x x Determine el vlor de x dx. Por condición del prolem se tiene: nlizndo l regl de correspondenci dd deduciremos l regl pr elementos individules: Luego, si los números son x, y, z; se tiene: xyz x z y Pro. 6 (x ) = x + 7, determinr el vlor de: E = (x ) x + 8 nlizndo l regl de correspondenci podemos deducir l regl pr un solo número: (8 ) log (8 ) 7 Y teniendo en cuent ls siguientes propieddes de logritmos: log n m m log, log n = L expresión nterior se puede escriir sí: 7 log Nos piden: n n n dx dx dx x x x Evlundo pr n =, otenemos: 0 dx dx dx x x x Pero por condición del prolem se cumple que: 0 dx dx dx dx 5 x x x x plicndo est regl con los términos ddos, se tiene: 56 7 ( 5) 6 ( 7) Rzonmiento Mtemático Und. Fundmentos de ls Operciones Mtemátics 5

9 08.- Si * ; clculr: (...((*)*)*...)* ) ) ) operdores Si, simplificmos l siguiente expresión: E = g() g( ) + g( ) D) 00 E) 005 (epre UNI 00) ) ) ( ) ) p ( p ), si p Se define: ( p) 0, si p 0 lculr (6,5) ) 6 ),5 ),5 D) E) 5 (epre UNI) 0.- Se define x como el menor número entero myor o igul «x». Según esto, determine el vlor de:,5 ) 0 ) - ) D) - E) (epre UNI 00) 0.- Se define n N: lculr: ; si n 0 f ( n) n f ( n ) ; si n 0 f f () f (0) f () ) ) 60 ) 0 D) 60 E) 70 (epre UNI 00) 0.- Se define máx(; ) como el myor de los números y ; entonces de ls siguientes firmciones: I. máx ; II. máx( ; ) = máx(; ) III. máx( + 00; + 00) = máx(; ) + 00 Son ciertos: ) solo I ) solo II ) solo III D) I y III E) I, II y III (epre UNI 00) 05.- Se define en R l siguiente operción inri: * = + ( * ) Determine: 5 5 ) ) ) D) 8 E) 0 (epre UNI 00) 06.- Se define: Determine: 0 n n n ; n ) 6 ) 5 ) 0 D) 9 E) (epre UNI 00) 07.- Se define l operción inri: xy x * y x y ; x, y R +. uáles de ls siguientes firmciones son corrects? I. Si n * n es un número entero, entonces «n» dee ser pr. II. L operción * es conmuttiv. III. L operción * es socitiv. ) I y II ) I y III ) II y III D) Tods E) Sólo I (epre UNI 00) 09.- Se defin e: F( x) x ; x Determine F(F(F(x))) ) x ) x D) x cx cx c ) cx x E) F (x) (epre UNI 009) 0.- Se define l operción inri: # ;, R + Determinr: (p # q) # r p # (q # r) ) D) pq p qr p( q r) p q r ) pq p qr ) qr p q r E) 0 (epre UNI 00).- * = ( + ) ; 0 Determinr: * ( * *...(8 * 9)...) ) ) ) 6 D) 8 E) 8 (epre UNI 00).- Se define en los reles positivos ls siguientes operciones: Determine: ) 7 ) 6 ) 5 D) E) 9 (epre UNI 00).- Se define: x ; 0 x g( x) x ; x 5 D) E) + (epre UNI 00).- Se define: Determine: ) 0 ) 7 ) D) E) (epre UNI 00) n ; n Se define: f ( n) f ( f ( n )); n 00 Determine: f (80) ) 79 ) 8 ) 99 D) 80 E) 98 (epre UNI 00) 6.- En el conjunto = {; ; ; } se define l operción *, según l siguiente tl: lculr el vlor de «x» en: ( * x) * = ( * x) ) ) ) D) E) No se puede determinr (epre UNI 00) 7.- Se: G(x) = G(x ), x Z + Si demás G(0) =, indicr l lterntiv incorrect. 6 Rzonmiento Mtemático Und. Fundmentos de ls Operciones Mtemátics 7

10 ) G() = G() G() ) G() = G() + G() ) G() = G() + G() D) G() = G(6) G() E) G() = [G()] (epre UNI 00) 8.- Se define: ( + ) * ( ) = qué equivle p * q? ) p q ) p + q ) D) pq E) p p q q (epre UNI 00) 9.- Se define en = {; ; c; d} l operción inri #, según l siguiente tl: Determine el vlor de «x» en l siguiente ecución: (x # ) # ( # c) = # d ) ) ) c D) d E) o (epre UNI 00) 0.- De cuerdo l pregunt nterior, cuáles de ls siguientes firmciones son verdders? I. L operción # es conmuttiv. II. # ( # c) = ( # ) # c III. El elemento neutro es. ) I y III ) I y II ) II y III D) Tods E) Ningun (epre UNI 00).- cd número entero positivo «n» se le soci un número no negtivo f (n), de modo que se cumpln ls siguientes condiciones. I. f ( ) = f () + f () II. f (n) = 0, si n es primo myor que 0. III. f () < f () < f () < 0 Determine el vlor de f (998), siendo que es menor que 0. ) 9 ) 8 ) 7 D) 6 E) 5 (epre UNI 00).- Pr dos números se define el operdor * como l invers de ls inverss de dichos números. Determinr: V = ( * ) * ( * ) ) 5 ) 8 5 D) 8 E) Se definen: * ; * ; ) 8 5 (epre UNI 00) * = Resolver ( * x) ( ) =, y dr como respuest l sum de todos los vlores que puede tomr «x». ) ) 0 ) 8 D) 5 E) 8 (epre UNI 00).- Se define l operción: * = l. Determinr el vlor de «n» pr que l expresión lgeric: E(x) = x * (n * ), se de grdo 7. ) ) ) D) 6 E) (epre UNI 00) 5.- Pr números enteros positivos se definen ls siguientes operciones: Fctoril de un número nturl «n»: n! = n (n ) (n )... Semifctoril de un número pr «n» (n)!! = n (n ) (n )... 6 lculr (n)!! en función de n! ) n n! ) n! ) (n!) D) n (n!) E) n n! (epre UNI 00) 6.- Se define, pr números enteros myores que, l siguiente operción: GOL = x x = Determine el vlor de «n» que stisfg l ecución: GOLn 6 + GOL n ) 8) 5 ) 8 D) 0 E) x (epre UNI 00) 7.- Se define x x, clculr: 5 7 ) 7 ) ) D) E) 5 (epre UNI 00) 8.- Se define pr números enteros positivos l operción (n), como l sum de todos los enteros desde hst n. uál de ls siguientes lterntivs es correct? ) ( * ) = () () ) (6) + () = (0) ) Si k es impr, (k) es impr D) Si k es pr, (k) es pr E) (n + ) (n) = n + (epre UNI 00) 9.-, y demás x x, clculr el vlor de: ) 70 ) 00 ) 0 D) 0 E) 60 (epre UNI 00) 0.- Se define en = {; ; } l operción inri * según l tl: Determine el conjunto solución de l siguiente ecución: ( * ) * ( * ) = * ( * x) ) {} ) {} ) {} D) {; } E) {; } (epre UNI 00).- Se define:., plique l definición del operdor y luego clcule el vlor de f (). ) 8,5 ) 8 ) 8,75 D) 9,5 E) 50,5 (epre UNI 00) D E 7 D E D D 8 E 05 9 E 8 Rzonmiento Mtemático Und. Fundmentos de ls Operciones Mtemátics 9

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