GESTIÓN ACTIVA DE PORTAFOLIOS MEDIANTE LA APLICACIÓN DEL MODELO DE TREYNOR - BLACK ACTIVE PORTFOLIO MANAGEMENT BY APPLYING THE TREYNOR-BLACK MODEL

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1 GESTIÓN ATIVA DE ORTAFOLIOS EDIANTE LA ALIAIÓN DEL ODELO DE TREYNOR - BLAK ATIVE ORTFOLIO ANAGEENT BY ALYING THE TREYNOR-BLAK ODEL RESUEN Alejndro Vrgs Snchez Universidd rivd Bolivin lejndrovrgs@lp.upb.edu (Recibido el de noviembre 0, ceptdo pr publicción el 7 de diciembre 0) En el presente documento se expone l teorí de gestión ctiv de portfolios trvés de l plicción del modelo de Treynor Blck. El objetivo principl es mostrr el impcto positivo que un gestión ctiv de portfolios puede tener en términos de rendimiento y riesgo, permitiendo de est mner desplzr positivmente l función de utilidd de un inversionist dverso l riesgo; estos beneficios se pueden lcnzr prtir de l incorporción de títulos vlores con rendimientos normles cuyos precios de mercdo son diferentes sus vlores de equilibrio. Los resultdos lcnzdos permiten corroborr est situción, unque tmbién se pone de mnifiesto que cundo los rendimientos normles son muy elevdos, puede dr como consecuenci que el portfolio de ctivos riesgosos se concentre excesivmente en quellos títulos con rendimientos normles generndo myor exposición los riesgos no sistemáticos. ABSTRAT This pper presents the theory of ctive portfolio mngement through the ppliction of the Treynor- Blck model. The min objective is to show the positive impct of ctive portfolio mngement in terms of return nd risk, thereby llowing positive move of the utility function of risk-verse investor, these benefits cn be relized from the incorportion of securities with bnorml returns whose mrket prices re different from their equilibrium vlues. The results obtined support this fct, but lso show tht when the bnorml returns re very high, it my result in portfolio of risky ssets to focus too much on those stocks with bnorml returns generting greter exposure to unsystemtic risk. lbrs lve: Gestión Activ de ortfolios, odelo de Treynor Blck, Rendimientos normles, Función de Utilidd, Rendimiento y Riesgo. Keywords: Active ortfolio ngement, Treynor Blck odel, Abnorml Returns, Utility Function, Risk nd Return.. INTRODUIÓN Los inversores institucionles son orgnizciones finnciers que reúnen grndes cntiddes de dinero pr invertirls en títulos en vlores, bienes inmuebles y otros ctivos de inversión. Los inversores típicos son: bncos, compñís de seguros, fondos de jubilción o de pensiones, fondos de inversión, sesores de inversión y fondos mutuos. Su ppel en l economí es l de ctur como inversores ltmente especilizdos en nombre de los demás gentes económicos. or ejemplo, un person común tendrá un pensión de su empledor, el empledor ofrece contribuciones de es person un fondo de pensiones, pr lo cul el fondo de pensiones nlizrá l compr de cciones de un empres, o de lgún otro producto finnciero. or tnto, en este cso los fondos de pensiones son útiles porque bjo un criterio de diversificción eficiente desrrollrán un mpli crter de inversiones en títulos de muchs compñís. En el cso del ercdo de Vlores en Bolivi, los inversores institucionles se grupn en: Socieddes Administrdors de Fondos de Inversión, los Fondos de ensiones y ls ompñís de Seguros. De cuerdo dtos obtenidos de l Bols Bolivin de Vlores (BBV)[], estos inversionists cuentn en totl con lrededor de $us. 8 mil millones pr invertir en el mercdo de vlores bolivino. Al 3 de diciembre de 0, del totl de l crter dministrd por inversionists institucionles, el 45% estb finncindo l Sector úblico ncionl (Bonos, Letrs y upones del Tesoro y Bonos uniciples), el 33% estb invertido en el Sistem Bncrio y finnciero (DFs y Bonos Bncrios) y sólo el % de l crter fue destind finncir l sector empresril del pís (Acciones, Bonos, grés y Vlores de Titulrizción). 7 UB - INVESTIGAIÓN & DESARROLLO : 7 87 (0)

2 GESTIÓN ATIVA DE ORTAFOLIOS En relción los rendimientos lcnzdos por los Fondos de Inversión, ls Tss de Rendimiento romedio en oned extrnjer, Ncionl y en UFV s 30 dís de los Fondos de Inversión Abiertos (FIAs), registrron cíds entre diciembre 00 y diciembre 0. L rentbilidd promedio durnte l gestión 0 fue de.6% nul en bolivinos y 0.70% nul en dólres. En el cso de los Fondos de ensiones, l 3 de diciembre de 0, los rendimientos nominles registrdos por mbs AFs tmbién expusieron cíds en relción l cierre del psdo ño, lcnzndo un rentbilidd promedio nul de 7.67% y 7.80% pr l AF revisión y AF Futuro, respectivmente. El tem centrl de este documento es el nálisis de l importnci de estos ctores dentro de l economí, l comprensión de los modelos de dministrción ctiv de portfolios y l implementción de estrtegis de inversión que permit mejorr el desempeño de estos inversionists institucionles. L exposición será bordd en seis prtes: en l primer, se exponen los fundmentos teóricos más importntes relciondos con l eficienci de los mercdos y l dministrción de portfolios; en l segund, se reliz un explicción de ls funciones de utilidd y ls estrtegis de inversión psivs; en l tercer, se exponen los objetivos de l dministrción ctiv de portfolios; en l curt, se present en detlle el odelo de Treynor Blck; en l quint, se desrroll un plicción de l estructurción de un portfolio ctivo prtir de dtos correspondientes títulos cotizdos en mercdos interncionles ; finlmente, en l sext prte se presentn ls conclusiones del trbjo.. ERADOS EFIIENTES Y ADINISTRAIÓN DE ORTAFOLIOS L hipótesis de los mercdos eficientes plnted por Eugene Fm (969), estblece que l función principl de los mercdos de cpitles es l signción de l propiedd del cpitl socil de l economí. En términos generles, el idel es quel mercdo en el que los precios proporcionn señles preciss pr l signción de los recursos, es decir, un mercdo en el que ls empress pueden relizr sus decisiones de inversión y finncimiento en el mrco del supuesto que los precios de los vlores en culquier momento "reflejn plenmente" tod l informción disponible, es decir en un mercdo eficiente. Los nlists finncieros y los gestores de inversiones, estudin l eficienci de los mercdos finncieros debido que est problemátic incide directmente en el nivel de oportuniddes de negocición rentbles. En cso de que un mercdo opere de mner eficiente, no será posible logrr de mner permnente un rentbilidd justd l riesgo superior o norml, por lo que será preferible seguir un estrtegi de inversión psiv, concentrd en un índice de mercdo; por el contrrio, cundo un mercdo es ineficiente, será posible utilizr un estrtegi de inversión ctiv con el objetivo de lcnzr oportuniddes de inversión que brinden niveles de rentbilidd superiores []. r comprender mejor l diferenci en los enfoques de dministrción de portfolios, en l Tbl se present un cudro que destc los contrstes entre l dministrción siv y l dministrción Activ. Existe un lógic económic y evidencis empírics que indicn que los dministrdores de portfolios que utilizn estrtegis ctivs, pueden superr los pronósticos del mercdo [3] y, en consecuenci, ls estrtegis psivs: L lógic económic estblece lo siguiente: se debe sumir que si ningún nlist puede vencer l estrtegi psiv, los inversionists serán lo suficientemente inteligentes como pr desvir sus fondos de estrtegis ctivs que implicn elevdos costos de nálisis hci estrtegis de inversión psivs que son más brts. En ese cso, los fondos de gestión de portfolios ctivos se secrán y los precios y no reflejrán los pronósticos sofisticdos, por tnto, en ese momento nuevmente se presentrán oportuniddes pr trer los gestores ctivos. or supuesto, l suposición fundmentl es que los inversores gestionn sbimente sus fondos. En cunto ls contrstciones empírics, pesr de que existe considerble evidenci fvor de l eficienci de los mercdos finncieros [4], tmbién hn reportdo un considerble número de evidencis sobre ineficiencis potenciles o nomlís, que dn como resultdo que los precios no sen correctos. Ests nomlís en los mercdos, si son persistentes, se constituyen en excepciones l noción de que los mercdos son eficientes [5]. En l Tbl se present un list de ls nomlís más comunes []. r fines prácticos, se utilizó informción de títulos cotizdos en mercdos interncionles debido que no se contb con informción históric pr el mercdo ncionl. L eficienci del mercdo de cpitles de un pís es un crcterístic importnte de un sistem finnciero que funcion decudmente. UB - INVESTIGAIÓN & DESARROLLO, No. : 7 87 (0) (0(0) 73

3 VARGAS Todos estos elementos muestrn que puede existir un oportunidd muy importnte pr plicr un teorí de dministrción ctiv de portfolios y que l gestión ctiv tiene un trctivo inevitble incluso si los inversionists están de cuerdo en que los mercdos de vlores son csi eficientes. TABLA - ADINISTRAIÓN ASIVA VS ADINISTRAIÓN ATIVA DE ORTAFOLIOS Administrción de ortfolios siv Tmbién conocid como "estrtegi psiv", "inversión psiv" o "inversión índice". No requiere un uso extensivo del elemento humno pr gestionr un portfolio, debido que se enfoc en un índice de mercdo, trvés de inversiones concentrds en los fondos mutuos negocidos en bols (ETF 3 ), donde no se requiere de un estudio profundo pr determinr los vlores específicos pr comprr, poseer y vender. Los seguidores de l gestión psiv creen en l hipótesis del mercdo eficiente, como resultdo de ello, l mejor estrtegi de inversión es invertir simplemente en fondos de índice. Ls socieddes de inversión en fondos mutuos creen que no es posible superr el rendimiento del mercdo, el cul históricmente, h superdo l myorí de los fondos de gestión ctiv. Administrción de ortfolios Activ Tmbién conocid como dministrción ctiv o dministrción táctic de portfolios. Se bs en el uso del elemento humno pr gestionr ctivmente un portfolio. Los gestores ctivos bsn sus decisiones pr comprr, poseer y vender, en l investigción nlític, pronósticos, su propio juicio y experienci en l tom de decisiones de inversión pr determinr los vlores. Los inversores que creen en l gestión ctiv no siguen l hipótesis de los mercdos eficientes. Ellos creen que es posible obtener gnncis en el mercdo de vlores trvés de diverss estrtegis que tienen como objetivo identificr títulos infrvlordos o sobrevlordos. Ls socieddes de inversión de fondos creen que es posible superr el rendimiento del mercdo y emplen los dministrdores de inversión profesionles pr gestionr uno o más de los fondos de inversión de l compñí. El objetivo de l gestión ctiv es obtener mejores rendimientos que los fondos de índice psivmente dministrdos. Fuente: Investopedi Active ngement, ssive ngement TABLA - ANOALÍAS DE LOS ERADOS FINANIEROS Series de Tiempo orte Trnsversl Otrs Efecto de Enero Efecto del dí de l semn Efecto de fin de semn Efecto de cmbio de mes Efecto ferido Efecto tmño Efecto vlor Rtios vlor en libro, vlor de mercdo Efecto rtio recio/trimonio Descuentos de los fondos cerrdos Sorpres en ls utiliddes Oferts úblics Inicil Efecto de ls empress deteriords rtición de cciones Efecto hor del dí Impulso Sobrerrección Fuente: W. Sen lery, Howrd J. Atkinson y mel eterson Drke, rket Efficiency (FA rogrm urriculum 0, Level I Reding 57) 3. FUNIONES DE UTILIDAD Y ESTRATEGIA DE INVERSIÓN ASIVA L utilidd o beneficio que un inversionist esper obtener está en función de l rentbilidd esperd de sus ctivos 4 y el nivel de riesgo que tienen dichos ctivos. r poder representr est situción, continución se plnte un función de utilidd cudrátic 5 similr l que se emple en Frnk Fbozzi 6 [6] pr un inversionist: 3 or sus sigls en inglés Exchnge Trde Funds. 4 Los cules pueden estr conformdos por un portfolio de títulos vlores. 5 L teorí económic de l elección, economic theory of choice, utiliz el concepto de función de utilidd pr describir l form en que los individuos (los gentes económicos) tomn decisiones cundo se enfrentn un conjunto de opciones. Un función de utilidd sign un vlor (numérico) pr tods ls opciones posibles que enfrent l person. Estos vlores, menudo referidos como un índice de utilidd, tienen l propiedd de que se prefiere b, si y sólo si, l utilidd de es myor que el de b. unto myor se el vlor de un elección específic, myor será l utilidd derivd de es elección. L opción que se seleccion es l que d lugr l máxim utilidd ddo un conjunto de restricciones que enfrent el gente económico. 6 Existen diverss forms de funciones de utilidd, entre ls cules se puede mencionr: l función de utilidd linel, función de utilidd cudrátic, función de utilidd exponencil y función de utilidd logrítmic. Se esper que un función de utilidd se del tipo no decreciente, diferencible, continu y cóncv; en ese sentido, l función cudrátic plnted cumple con estos criterios, permite evidencir que un inversionist siempre prefiere más menor utilidd, pero l utilidd mrginl disminuye medid que su riquez se increment; por otro ldo, de cuerdo con opelnd, Weston y Shstri, otr de ls crcterístics fundmentles de ls funciones cudrátics es que corresponde l cso de un inversionist dverso l riesgo donde l utilidd del vlor esperdo de l riquez es myor l vlor esperdo de l utilidd de l riquez. 74 UB - INVESTIGAIÓN & DESARROLLO : 7 87 (0)

4 GESTIÓN ATIVA DE ORTAFOLIOS U E r A () donde E(r) es l rentbilidd esperd de los ctivos, A es un medid de l versión l riesgo, inversión, es decir, mide el nivel de dispersión en los rendimientos esperdos. es l vrinz de l Est función de utilidd se puede representr prtir de ls curvs de indiferenci, ls cules precismente representn l combinción del riesgo y rendimiento que un inversionist está dispuesto mntener prtir de un nivel de utilidd ddo, por lo tnto ls curvs de indiferenci se definen en términos del trde off entre l ts de rendimiento esperd y l vrinz de l rentbilidd esperd, tl y como se present en l Figur. Todos los puntos lo lrgo de cd un de ls curvs tienen l mism utilidd. Un inversionist es indiferente si se encuentr en el punto o b, y que mbos tienen l mism utilidd, debido que los inversionists prefieren myor utilidd estrán interesdos en lcnzr un curv que se encuentre l noroeste, en quell que tiene myor utilidd, es decir el punto b es preferido l punto c. Elevd Utilidd Utilidd oderd Utilidd Bj Rendimiento Esperdo Figur urvs de Indiferenci, [7]. Ahor, suponiendo que dicho inversionist tiene un portfolio compuesto por un título riesgoso 7 y un título libre de riesgo, entonces, el rendimiento en el portfolio completo se expres trvés de l siguiente ecución: r yr y () Desvición Estándr donde r es l rentbilidd de todo el portfolio, r es l rentbilidd del título riesgoso 8, l rentbilidd libre de riesgo, y es l proporción invertid en el título riesgoso. Utilizndo el operdor de l espernz mtemátic, l ecución () del rendimiento esperdo se expres como 9 : E r y E r (3) or otro ldo, el riesgo del portfolio totl estrá en función de su desvición estándr y su vrinz, ls cules únicmente dependerán del ctivo riesgoso 0 : 7 Un título riesgoso es quel que present vriciones en su rentbilidd esperd, es decir, su vrinz es myor cero. or otro ldo, pr un título libre de riesgo su vrinz será igul cero. 8 Se verá más delnte que éste título riesgo represent todo el ercdo () de cciones. 9 Relizndo operciones se tiene que: E r y E r y E r y E r y 0 Esto debido que l vrinz del ctivo libre de riesgo es igul cero. E r y E r UB - INVESTIGAIÓN & DESARROLLO, No. : 7 87 (0) (0(0) 75

5 VARGAS y (4) donde es l desvición estándr del portfolio totl, es l desvición estándr de l rentbilidd del ctivo riesgoso. Despejndo y de (4) se tiene que: y (5) Reemplzndo l ecución (5) en el rendimiento totl del portfolio ddo en l ecución (3), se tiene l ecución de l Líne de olocción de pitles (pitl Alloction Line AL) [8]: E r E r (6) L AL muestr ls diferentes opciones de inversión en términos de l rentbilidd y el riesgo esperdo, como se puede observr en l Figur, medid que se increment l proporción y de recursos invertidos en el ctivo riesgoso, se increment el nivel de rentbilidd pero tmbién el nivel de riesgo del portfolio totl. E(R ) E(R i ) AL Rendimiento Esperdo endiente E r Desvición Estándr Figur Líne de olocción de pitles (AL), [8]. onsiderndo que un inversionist rcionl tiene como objetivo mximizr su función de utilidd, es decir, mximizr l ecución () respecto l proporción y de ctivos que se encuentrn invertidos en el título riesgoso r, se plnte l siguiente función mximizr: xu E r A y Sustituyendo los vlores de ls ecuciones (3) y (4), se obtiene: U y E r Ay (7) A prtir de ls condiciones de primer orden, se obtiene el porcentje óptimo que será invertido en títulos riesgosos y*: y * E r A 76 UB - INVESTIGAIÓN & DESARROLLO : 7 87 (0)

6 GESTIÓN ATIVA DE ORTAFOLIOS Si en lugr de r se introduce el rendimiento de un portfolio de mercdo r, se tiene que y*, l frcción óptim que se invertirá en l crter riesgos de mercdo (), viene dd por: y * donde E(r ) - es l prim de riesgo del mercdo tmbién conocid como Excess return, rendimientos del portfolio de mercdo. E r A (8) es l vrinz en los Al nlizr l ecución (8), se puede ver que culquier colocción rcionl de fondos requiere un estimción de y de E(r ), en otrs plbrs, incluso un inversionist que sigue un estrtegi de inversión psiv deberá relizr pronósticos de ests vribles. ronosticr E(r ) y es un lbor complej debido l existenci de diverss clses de títulos que se ven fectdos por diversos fctores mbientles. or ejemplo, los rendimientos lrgo plzo de los bonos son impulsdos en grn medid por los cmbios en l estructur temporl de ls tss de interés, mientrs que los títulos de rent vrible dependerán de los cmbios en el entorno económico más mplio, incluyendo los fctores mcroeconómicos más llá de ls tss de interés. or tnto, incluso l definición de un estrtegi purmente psiv es problemátic, porque ls estrtegis simples que involucrn sólo l crter de mercdo del índice y los ctivos libres de riesgo, pr su implementción requieren de un nálisis del mercdo que les permit estblecer ls proyecciones respectivs. Un vez que los inversionists hn relizdo ls proyecciones pertinentes pr distintos tipos de inversiones, continución pueden utilizr un progrm de optimizción pr determinr l mezcl decud de títulos riesgosos pr l crter. 4. OBJETIVOS DE LA GESTIÓN ATIVA DE ORTAFOLIOS Existen lguns interrogntes que se deben plnter lrededor de l gestión ctiv de portfolios: Qué es lo que un inversionist esper de un dministrdor de portfolios profesionl? ómo ests expecttivs pueden fectr el funcionmiento del dministrdor de portfolios? Si el cliente es neutrl l riesgo, es decir, indiferente l riesgo, el inversionist esperrá que el gestor de portfolios construy un portfolio que obteng l ts de rendimiento más lt posible, por tnto, el gestor de portfolios seguirá este mndto y sus resultdos serán juzgdos por l ts medi de rentbilidd obtenid [3]. En cmbio, cundo el cliente tiene versión l riesgo, l respuest es más complej. Sin un teorí normtiv de l gestión de portfolios, el gerente tendrí que consultr cd cliente ntes de tomr culquier decisión sobre l crter con el fin de cerciorrse de que l recompens obtenid (rendimiento medio) es corde l nivel de riesgo. L intercción entre los clientes y los gestores de portfolios serí constnte fin de recbr los inputs necesrios ntes de tomr un decisión, por lo que el vlor económico de l gestión profesionl y sus beneficios serí cuestionble. Sin embrgo, l teorí de l medi y l vrinz plnted por rkowitz [9] pr l gestión eficiente de portfolios permite seprr l decisión de inversión, que es l form de construir un crter riesgos que es eficiente, en medi vrinz respecto de ls decisiones de consumo, lo cul permite relizr un signción óptim de los fondos de los inversores entre el portfolio riesgo y el ctivo seguro o libre de riesgo. Otr de ls crcterístics de l teorí de portfolios bsd en l medi vrinz, son los criterios de elección de l crter óptim. El portfolio riesgoso óptimo pr culquier inversor es quel que mximiz el porcentje del coeficiente de retribución respecto l vribilidd, es decir, l ts de rendimiento en exceso (myor l ts libre de riesgo), dividido por l desvición estándr de los rendimientos. or tnto, un gerente que utiliz l metodologí omo se mencionó previmente, pr propósitos de este documento se consider como estrtegis psivs quells que utilizn únicmente los fondos en un índice y el peso de esos fondos se encuentrn en proporciones fijs que no vrín en función de ls condiciones de mercdo observds. r ello se puede plicr diferentes modelos, por ejemplo: progrmción linel, progrmción cudrátic, progrmción convex, optimizción cónic, progrmción estocástic, progrmción dinámic, entre otros. UB - INVESTIGAIÓN & DESARROLLO, No. : 7 87 (0) (0(0) 77

7 VARGAS de rkowitz pr l construcción de un portfolio riesgoso óptimo, puede stisfcer todos sus clientes independientemente del grdo de versión l riesgo A que teng cd uno de ellos. En ese sentido, tomndo en cuent el nivel de versión l riesgo A que tiene cd inversionist, se podrá determinr l proporción óptim ser invertid en los ctivos riesgosos y*, dd por l ecución (8), y el gestor de portfolios podrá determinr dónde relizr l colocción de recursos lo lrgo de l Líne AL, tl y como se puede precir en l Figur 3. urvs de Indiferenci Rendimiento Esperdo del ortfolio AL Desvición Estándr del ortfolio Figur 3 Selección de ortfolios pr inversionists con diferentes niveles de versión l riesgo, [8]. Willim Shrpe evluó el desempeño de los Fondos utuos [0], y prtir de su trbjo seminl en el áre de l evlución del desempeño de los portfolios, se determinó un rtio de recompens respecto l vribilidd (Rewrd to Vribility Rtio) el cul h llegdo ser conocido como rtio de Shrpe: E r S (9) En l ctulidd, represent un criterio común pr hcer seguimiento l desempeño de los portfolios de inversiones profesionlmente dministrdos. Se debe mencionr, que l teorí modern de portfolios bsd en el nálisis medi-vrinz, implic que el objetivo de los dministrdores profesionles de portfolios es mximizr l medid ex nte de Shrpe, lo cul implic mximizr l pendiente de l Líne de olocción de pitles (AL). or tnto, un buen dministrdor es quel cuy pendiente de AL es l más pronuncid respecto l pendiente de l Líne del ercdo de pitles (pitl rket Line L), que constituye l estrtegi psiv representd por el portfolio en el índice de mercdo. En l Figur 4 se represent gráficmente l rentbilidd esperd respecto l desvición estándr, ls curvs constituyen l fronter eficiente, el punto es l crter óptim en el portfolio de ercdo (o estrtegi psiv) que determin l pendiente de l Líne del ercdo de pitles (L), el punto es l crter óptim en el portfolio ctivo que permite incrementr l pendiente de l Líne de olocción de Activos (AL), generndo beneficios en términos del rendimiento esperdo y el nivel de riesgo. A prtir de los puntos desrrolldos, se puede concluir que el objetivo de l dministrción ctiv de portfolios es l de incrementr l pendiente del AL, vle decir que, idelmente, los clientes preferirán invertir sus fondos con los gestores más hábiles, que de mner consistente obtengn el myor indicdor de Shrpe y que, presumiblemente, tengn hbiliddes reles pr relizr mejores pronósticos. Est situción será correct pr todos los inversionists, independientemente de su grdo de versión l riesgo. Al mismo tiempo, cd cliente deberá decidir que frcción y* de sus fondos invertidos deberán colocrse con este dministrdor, dejndo el resto invertido en fondos libres de riesgo. 78 UB - INVESTIGAIÓN & DESARROLLO : 7 87 (0)

8 GESTIÓN ATIVA DE ORTAFOLIOS E(r) E r A Figur 4 roceso de optimizción con un portfolio Activo y sivo, [3]. Así, si l medid de Shrpe del dministrdor de portfolios es estble lo lrgo del tiempo (y puede ser estimd por sus clientes), los inversionists se bsrán en el promedio de lrgo plzo de rendimientos y vrinzs 3 pr clculr l frcción óptim que deberá ser invertid en los títulos riesgosos 4, dejndo el resto en un fondo en el mercdo de dinero. A 5. EL ODELO DE TREYNOR BLAK undo un nlist se encuentr estudindo los rendimientos individules de un conjunto de títulos, es muy probble que encuentre que vrios títulos no están correctmente vlordos respecto sus precios de equilibrio de mercdo, es decir, pueden estr con precios más ltos o más bjos respecto de sus vlores fundmentles. Este tipo de títulos ofrecerán los inversionists rendimientos normles (positivos o negtivos) denomindos lfs [], en ese contexto, l pregunt que se intent responder es: cómo se pueden beneficir los inversionists de estos rendimientos normles? oncentrr el portfolio solmente en este tipo de títulos implic un costo, el cul es el riesgo específico de cd empres, que podrí ser elimindo trvés de l diversificción; por lo tnto, un dministrdor ctivo de portfolios buscrá mntener un blnce entre un explotción gresiv de los títulos que se encuentrn ml vlordos y un decudo nivel de diversificción que impid que pocos títulos puedn dominr el portfolio. Treynor Blck [] desrrollron un modelo de optimizción pr los gestores de portfolios que utiliz el nálisis de los títulos vlores. Este modelo represent un teorí de gestión de portfolios que sume que los mercdos finncieros son cercnmente eficientes, nerly efficient mrkets. L esenci del modelo de Treynor Blck (T-B) se sustent en los siguientes puntos [3]: ) Los nlists de títulos de un institución que gestion ctivmente sus inversiones pueden nlizr en profundidd sólo un número limitdo de cciones de todo el universo de vlores disponibles en los mercdos finncieros. Los precios de quellos vlores que no son nlizdos se supone que se encuentrn correctmente o rzonblemente vlordos. ) A efectos de l diversificción eficiente, l crter del índice de mercdo es l crter de líne de bse, que pr el modelo de T-B será denomind rter siv. 3 Es decir l medi de lrgo plzo y l vrinz de lrgo plzo, prtir de un estimción econométric está representd por l medi incondicionl y l vrinz incondicionl. 4 Utilizndo l ecución (8). UB - INVESTIGAIÓN & DESARROLLO, No. : 7 87 (0) (0(0) 79

9 VARGAS 3) L unidd de pronósticos mcro de l firm de gestión de inversiones, proporcion previsiones o pronósticos de l ts de rendimiento esperd r y l vrinz del rendimiento de los títulos del mercdo, contenidos en l rter siv (o de índice de mercdo). 4) El objetivo del nálisis profesionl de ls cciones es el de conformr un crter ctiv con un número limitdo de vlores. L percepción por prte de los nlists finncieros de un vlorción deficiente de ls cciones, es lo que guí l composición de est crter ctiv. 5) Los nlists finncieros deben seguir vrios psos pr construir l nuev crter de títulos riesgos 5 y evlur su rendimiento esperdo: A. Utilizr un modelo de equilibrio de mercdo en los rendimientos esperdos de los títulos, pr clculr el bet de cd vlor nlizdo y el nivel de riesgo de los residuos e. A prtir de ls estimciones de y de los pronósticos mcro pr el rendimiento del mercdo E(r ) y l ts libre de riesgo, se debe determinr l ts de rendimiento requerid pr cd un de ls cciones nuevs que serán incluids en el portfolio. B. Tomndo en cuent l deficiente determinción de los precios de cd vlor, se debe determinr su rentbilidd esperd y el rendimiento esperdo norml denomindo lf ( ).. El costo de un diversificción menor respecto un diversificción complet, proviene del riesgo no sistemático de ls cciones incorrectmente vlords, medido trvés de l vrinz del residuo de ls cciones e, l cul deberá compensr el beneficio (lf) de especilizrse en lgunos títulos sub vludos o sobre vludos. D. Utilizndo ls estimciones de los vlores de lf, bet, y l vrinz del residuo e, se procede determinr el peso óptimo de cd vlor en l crter ctiv. E. A prtir de los pesos encontrdos pr cd uno de los títulos, se debe clculr el lf, bet, y l vrinz de l crter ctiv. 6) Se deben utilizr ls proyecciones mcroeconómics pr l crter del índice psivo y ls proyecciones de portfolio ctivo compuesto por los títulos lf, pr determinr l nuev crter óptim riesgos, que será un combinción de ls rters Activs y sivs. 5.. onstrucción de l rter de Inversiones Activ Si todos los títulos se encuentrn correctmente vlordos, y utilizndo un índice de mercdo como guí pr clculr l ts de rendimiento de todos los títulos, l ts de retorno sobre l i-ésim cción viene ddo por el modelo de equilibrio A [3]: ri i r e i (0) donde i es un medid del riesgo Sistemático o riesgo de ercdo, e i es el error en l estimción y se crcteriz por ser un ruido blnco ddo que tiene medi cero, vrinz constnte, un distribución norml y se encuentr independiente e idénticmente distribuido 6. El modelo de T-B supone que los pronósticos pr el portfolio psivo hn sido relizdos, rzón por l cul el rendimiento esperdo del índice de mercdo r sí como su vrinz son conocidos. osteriormente, un vez que el equipo de nlists de cciones h estudido un subconjunto de los vlores disponibles, es posible formr un crter ctiv con posiciones en los vlores nlizdos pr ser mezcldos con el índice de mercdo. or tnto, pr cd vlor k que se investig, l ts de retorno se escribe como: rk k r k e k () donde k represent el rendimiento extr esperdo (conocido tmbién como rendimiento norml) que es tribuido un deficiente determinción de precios en los títulos 7. 5 Que incluirá los títulos del índice de mercdo (crter psiv) y los títulos deficientemente vlordos (lfs). 6 El modelo de T-B sume por simplicidd que todos los componentes de riesgo no sistemático son independientes unos de otros. 7 Si todos los lfs son igules cero, no existirín rzones pr cmbir l estrtegi psiv en el portfolio de índice de mercdo. e 80 UB - INVESTIGAIÓN & DESARROLLO : 7 87 (0)

10 GESTIÓN ATIVA DE ORTAFOLIOS Antes de resolver el modelo de T-B, se consider el cso de un portfolio conformdo por dos títulos riesgosos, donde el rendimiento esperdo del portfolio E(r ) viene ddo por: E r w r w r () p donde su vez w i represent el peso de cd título y r i el rendimiento de cd título, es un ts libre de riesgo. L desvición estándr del portfolio se expres en l siguiente ecución:, w w w w (3) r cd título que form prte del portfolio, se utiliz el rendimiento en exceso, excess return, que se define por ls siguientes ecuciones: R r (4) R r (5) El proceso de optimizción debe permitir hllr ls ponderciones de cd título dentro del portfolio que permit mximizr el rtio de Shrpe (Sp): x S w E r or tnto, l sustituir ls ecuciones (4) y (5) en l ecución (9), se puede plnter el rtio de Shrpe de l siguiente mner: S w R w R w w w w (6), Aplicndo un proceso de optimizción, el peso óptimo correspondiente l título riesgoso que mximiz el rtio de Shrpe pr un portfolio conformdo por dos títulos riesgosos, se represent en l ecución (7): w R, R R R R, R (7) A prtir de l solución de l ecución (7), se puede resolver el portfolio ctivo en bse l modelo de T-B, pr lo cul, si el portfolio riesgoso tiene dos componentes, un portfolio ctivo representdo por l letr y un portfolio psivo representdo por l letr, y tomndo en cuent ls siguientes ecuciones: R E r (8) R E r (9) R R (0) (), e () donde, R es l rentbilidd en exceso respecto l ts libre de riesgo del portfolio ctivo, R es l rentbilidd en exceso respecto l ts libre de riesgo del portfolio de ercdo o portfolio psivo, mide el riesgo sistemático del portfolio ctivo, es el rendimiento norml del portfolio ctivo como resultdo de un deficiente vlorción de sus títulos,, es l covrinz entre el portfolio ctivo y el portfolio psivo, es l vrinz UB - INVESTIGAIÓN & DESARROLLO, No. : 7 87 (0) (0(0) 8

11 VARGAS totl del portfolio ctivo (que incluye el riesgo sistemático y no sistemático), el riesgo no sistemático del portfolio ctivo. e es l vrinz del error que mide Relizndo los cmbios de vribles en l ecución (7) que mximiz el rtio de Shrpe, se obtiene el porcentje que deberá ser invertido en el portfolio ctivo [3]: w * R e (3) undo, se encuentr un solución inicil que permite concentrrse en l contribución que tiene el portfolio ctivo en el rendimiento del portfolio totl por unidd de riesgo. w 0 R e R e R w / (4) 0 e En l ecución (4) se observ que el numerdor muestr l contribución del portfolio ctivo por unidd de riesgo no sistemático, respecto l denomindor donde se encuentr el rtio de Shrpe del portfolio de mercdo (psivo). En l medid que su contribución l rendimiento se myor, su porcentje de prticipción será myor, en el cso contrrio, el portfolio psivo tendrá myor porcentje en el portfolio totl de ctivos riesgosos. Si el riesgo sistemático del portfolio ctivo es igul l promedio, es decir, entonces el peso óptimo es l ventj reltiv del portfolio ctivo, dividido entre l desventj del portfolio ctivo. A prtir de (4) se encuentr el peso óptimo efectivo cundo l bet es diferente de uno: w * w 0 w 0 (5) * Se observ que w se incrementrá cundo sub porque el riesgo sistemático (cpturdo por ) del portfolio ctivo es myor, lo cul hce que se menos trctivo el beneficio de l diversificción en el índice de mercdo, por lo tnto, se puede concluir que existen beneficios en utilizr ls ventjs que ofrecen los títulos deficientemente vlordos. Un vez que se h determindo l mezcl óptim en w*, tnto pr el portfolio ctivo y como pr el portfolio psivo, se debe clculr el rtio de recompens frente l vrición rewrd to vribility rtio del portfolio riesgoso óptimo. r esto se debe clculr l medid de Shrpe l cudrdo [8] pr el portfolio riesgoso, ecución (6): R S S (6) e e Est descomposición de l medid de Shrpe del portfolio riesgo óptimo, permite estblecer cómo construir el portfolio ctivo, y que l medid de Shrpe pr el portfolio riesgoso será myor, en l medid que se teng un 8 UB - INVESTIGAIÓN & DESARROLLO : 7 87 (0)

12 GESTIÓN ATIVA DE ORTAFOLIOS portfolio ctivo que logre mximizr el vlor del / 8 e, en cuyo cso, este rtio será mximizdo cundo se seleccione el peso de los títulos que conformn el portfolio ctivo plicndo l siguiente relción 9 : k n k i e i ei w (7) donde, wk es el peso que tiene cd título lf dentro del portfolio ctivo, cuy sumtori deberá ser igul. r cuntificr el impcto que tiene el portfolio ctivo sobre el rendimiento del portfolio totl riesgoso, es necesrio determinr l rentbilidd en exceso del portfolio riesgoso, tomndo en cuent que el rtio de Shrpe pr el portfolio riesgoso totl óptimo * es: Si * * S * E r * R E r, entonces se despej de l ecución de Shrpe l rentbilidd del ortfolio riesgoso totl óptimo: R S (8) * * or lo tnto, prtir de (8) se puede clculr el indicdor, el cul es un indicdor que muestr ls diferencis en los rendimientos esperdos 0 entre el portfolio riesgo totl y el portfolio psivo, es decir, permite clculr el impcto que tiene el portfolio ctivo sobre el portfolio totl en términos de su rentbilidd esperd: R * R (9) 5.. Estimción de lf y del error no sistemático r estimr el rendimiento norml lf [] pr un título k, se utiliz el modelo de equilibrio estándr con un solo fctor conocido por A: rk, t t k k r, t (30) t k, t L estimción del modelo econométrico se puede relizr plicndo el método de mínimos cudrdos ordinrios o por máxim verosimilitud. Respecto l error no sistemático, se debe implementr un modelción de l voltilidd de los rendimientos de cd título k [7]. Un primer lterntiv pr l modelción de l vrinz en ls series temporles es el modelo utorregresivo condicionl heterocedástico ARH, plntedo por Engle [4], unque en el presente documento se plnte l plicción de un cso más generl conocido como el modelo utorregresivo condicionl heterocedástico generlizdo GARH, plntedo por Bollerslev (986) y Tylor (986), debido que tiene un plicción más extendid en el cmpo de l econometrí finncier [5]. 8 Este cociente tmbién se conoce como informtion rtio, donde l sum de los informtion rtio de cd título i en el portfolio ctivo debe igulr l portfolio ctivo n i e i ei 9 Est relción tiene sentido y que el peso que tiene cd título en el portfolio ctivo depende del rtio del rendimiento en exceso riesgo no sistemático, donde l sumtori de rtios, grntiz que el peso en totl se igul uno. e i respecto su i 0 Este indicdor llev este nombre porque fue plntedo por F. oddiglini y su niet Leh odiglini en 997. Este indicdor tmbién es conocido como lf de Jensen (967). Lo importnte es que el modelo cumpl con los supuestos de normlidd, homocedsticidd, no utocorrelción, medi de los errores igul cero, es decir, que los errores sen esféricos; simismo se esper que los prámetros estimdos sen estdísticmente significtivos. UB - INVESTIGAIÓN & DESARROLLO, No. : 7 87 (0) (0(0) 83

13 VARGAS El modelo GARH permite relizr un estimción de l vrinz condicionl de un serie de tiempo prtir de sus propios rezgos, tl y como se represent en l siguiente ecución [6]: u (3) t t t donde t es l vrinz del error en el periodo t, ut representn errores (ruido blnco) en rezgos,,,, son los prámetros ser estimdos. Si V L, donde V L represent l vrinz de lrgo plzo [6], entonces los prámetros estimdos representn ponderciones, los cules deben ser igules uno: Bjo un situción de estcionriedd débil 3, l vrinz incondicionl (vrinz de lrgo plzo), ecución (3), será igul [6]: t V L (3) 6. ALIAIÓN Este cápite tiene por objetivo l plicción del modelo de T-B prtir de l estimción de prámetros tres empress que se encuentrn en el sector de bienes industriles (Industril Goods), ests empress fueron seleccionds porque obtuvieron un rentbilidd superior su nivel esperdo de equilibrio 4. El cálculo de los rendimientos normles y pronóstico mcro, se relizó tomndo en cuent l siguiente informción: Un muestr con 45 dtos de precios mensules desde enero de 009 hst septiembre de 0, pr ls empress: olfx orportion (FX), Trnsdigm Group Incorported (TDG) y Sherwin Willims o. (SHW). Un muestr con 45 dtos mensules del índice bursátil Stndrd & oors 500, desde enero de 009 hst septiembre de 0, estos dtos fueron utilizdos como un vrible proxi los rendimientos del ercdo. Un muestr con 45 dtos mensules de los rendimientos de ls letrs del Tesoro Americno (T-Bills) tres meses, de enero del 009 septiembre del 0. Estos dtos fueron utilizdos como un vrible próxim un ts libre de riesgo. A prtir de ls vribles plnteds en l ecución (30) se utilizron ls series de tiempo de ls tres empress, el índice bursátil S& 500 y los T-Bills, en el modelo de equilibrio A con el propósito de relizr tres estimciones econométrics de los siguientes dos prámetros: i) el coeficiente lf (l constnte), que mide el rendimiento norml de cd empres y ii) el coeficiente bet (l pendiente), que mide el riesgo sistemático generdo por el portfolio de mercdo. Los resultdos lcnzdos permiten contrstr que cd uno de los prámetros son positivos y estdísticmente significtivos tl y como se present en l Tbl 3 5. TABLA 3 ESTIAIÓN DEL ODELO A EN LAS TRES ERESAS Empres FX Empres TDG Empres SHW Alf Bet Alf Bet Alf Bet oeficientes oeficientes oeficientes t Student t - Student t - Student Vlor en Vlor en robbilidd robbilidd Fuente: Elborción propi en bse dtos extrídos del yhoofinnce. Vlor en robbilidd El riesgo no sistemático de cd empres se puede medir trvés de l vrinz de los errores, este cálculo se hizo en dos etps, i) se utilizó l ecución (3) pr estimr un modelo GARH en los errores de los rendimientos, que permitió determinr el coeficiente de l constnte ( ), el coeficiente de errores l cudrdo en rezgos ( ) y e 3 Se dice que un serie de tiempo es débilmente estcionri si sus primeros momentos no vrín sistemáticmente lo lrgo del tiempo y si el vlor de l covrinz entre dos periodos, depende únicmente de l distnci entre mbos períodos y no del momento en el cul es clculd. 4 Esto se relizó prtir del nálisis de series de tiempo de precios y rendimientos de un totl de 900 empress, que fueron extríds de yhoo finnce. 5 orresponde mencionr que se relizron diferentes pruebs con el objetivo de verificr que los errores cumpln con los criterios de esfericidd. 84 UB - INVESTIGAIÓN & DESARROLLO : 7 87 (0)

14 GESTIÓN ATIVA DE ORTAFOLIOS coeficientes de vrinzs en rezgos ( ), los resultdos que se presentn en l siguiente tbl, permiten verificr que los prámetros estimdos pr l constnte son estdísticmente significtivos: TABLA 4 ESTIAIÓN DE LOS OEFIIENTES DE LA VARIANZA Empres FX Empres TDG Empres SHW Omeg Fi Thet Thet Omeg Fi Thet Omeg Fi Thet oeficientes oeficientes oeficientes t - Student t - Student t - Student Vlor en robbilidd Vlor en robbilidd Vlor en robbilidd Fuente: Elborción propi en bse dtos extrídos del yhoofinnce Los pronósticos mcro pr determinr el rendimiento esperdo del mercdo (portfolio psivo) y l voltilidd de los errores, se relizron prtir de los dtos obtenidos pr el S& 500 6, dndo como resultdo un rentbilidd mensul de 0.93% con desvición estándr mensul de proximdmente.999%. A prtir de todos estos dtos en l siguiente tbl se present un resumen de los pronósticos nules pr los rendimientos (lf), riesgo de mercdo (bets), desvición estándr de los errores 7 plicndo l ecución (3), pr cd un de ls empress sí como pr el portfolio psivo: TABLA 5 RESUEN DE LOS RONÓSTIOS Empres Alf Bet Sigm Rtio de Shrpe (Alf/Sigm) FX 3.68% %.768 TDG 3.63% % SHW 9.89% %.47 ortfolio psivo.55% %.8 (S& 500) Fuente: Elborción propi. Se puede observr que el rtio de Shrpe pr el portfolio psivo es igul.8; tomndo los dtos de l Tbl 5 y plicndo l ecución (6), el rtio de Shrpe pr todo el portfolio riesgoso (considerndo ls tres empress seleccionds) hor es igul Sp =.90, permitiendo un mejor de.09 en l pendiente de l Líne AL. Utilizndo l ecución (7), se presentn en l Tbl 6 l ponderción de cd empres dentro del portfolio ctivo (sin tomr en cuent el portfolio psivo), l últim column present ls posiciones óptims (porcentjes) en cd uno de los títulos con rendimientos normles (en todos los csos el signo es positivo, lo que signific que se mntienen posiciones lrgs en tods ls empress): TABLA 6 DETERINAIÓN DE LAS ONDERAIONES DE LAS ERESAS SELEIONADAS DENTRO DEL ORTAFOLIO ATIVO Empres Alf/vrinz () onderción () FX TDG SHW Totl Se utilizó un modelo econométrico Autorregresivo con ocho rezgos AR(8) sobre l serie de rendimientos, cuyo coeficiente de l constnte es igul 0.0 y el coeficiente en rezgos es -0.06, por otro ldo, se formuló un modelo GARH (,) con un rezgo en los errores l cudrdo y dos rezgos en vrinzs condicionles, cuyo coeficiente de l constnte es igul y de los otros prámetros son 0.077,.97 y orresponde mencionr que estos modelos presentn errores esféricos y sus coeficientes son estdísticmente significtivos. 7 Rendimientos nulizdos utilizndo l siguiente ecución: r nul r mensul. UB - INVESTIGAIÓN & DESARROLLO, No. : 7 87 (0) (0(0) 85

15 VARGAS Fuente: Elborción propi. () Los dtos fueron tomdos de l tbl 5, l vrinz es igul sigm l cudrdo. () El cálculo por ejemplo 0.47 es igul 3.05/3.65 Utilizndo ls ponderciones presentds en l Tbl 6, se clculó un promedio ponderdo pr los coeficientes lf, bet y sigm correspondientes l portfolio ctivo 8, que se presentn en l Tbl 7. TABLA 7 ALULO DE LOS OEFIIENTES DEL ORTAFOLIO ATIVO oeficientes Resultdos Alf 0.63 Bet 0.60 Vrinz Sigm 0.07 Fuente: Elborción propi. En bse l ecución (4) se relizó l estimción del porcentje óptimo que tiene el portfolio ctivo respecto l portfolio totl de ctivos riesgosos w 0 =.. onsiderndo que l bet del portfolio ctivo es menor, igul 0.60, corresponde plicr l ecución (5) pr corregir el porcentje óptimo del portfolio ctivo sobre el portfolio totl de títulos riesgosos, dndo como resultdo que w * = Los resultdos obtenidos estblecen que el portfolio ctivo debe tener un prticipción del 8.7% sobre el portfolio totl de títulos riesgosos, dejndo un prticipción del 8.3% l portfolio psivo representdo por el índice de mercdo; prtir de est distribución es posible rejustr el porcentje de cd título, por lo que FX tiene 34.%, TDG con 3.3% y SHW con 34.3%. A prtir de ls ecuciones (7) y (8) se clculó l rentbilidd del portfolio totl riesgoso y el índice de : R * 0.0% 7.55% Los indicdores presentdos permiten precir que prtir de l inclusión de tres empress con rendimientos normles, se logró incrementr l rentbilidd nul del portfolio de títulos riesgosos del.55% l 0.0%, pr lcnzr este incremento el portfolio ctivo debe tener un ponderción del 8.7% y el portfolio de mercdo (psivo) un ponderción de 8.3%. 7. ONLUSIONES En el presente documento se pudo evidencir l intercción que existe entre un estrtegi de gestión de portfolios psiv y un estrtegi de gestión ctiv. Se vio que, en principio, es necesri l construcción de un portfolio de títulos riesgos que se eficiente en términos de su rentbilidd medi y su vrinz, dicho portfolio se estructur tomndo en cuent un función de utilidd que represent el grdo de versión l riesgo que tienen un inversionist más l incorporción de un título libre de riesgo. Se pudo comprobr que l gestión ctiv de portfolios cobr relevnci cundo los nlists finncieros observn que ciertos títulos vlores negocidos en los mercdos finncieros reportn rendimientos normles, es decir, cundo sus precios de mercdo son diferentes sus precios de equilibrio, est situción brind oportuniddes pr tomr posiciones en dichos títulos fin de poder incrementr l relción riesgo rendimiento del portfolio dministrdo; precismente, l decisión de incorporr estos nuevos títulos l portfolio riesgoso, represent l esenci de l gestión ctiv de portfolios, cuyo resultdo es el incremento en l pendiente de l Líne de olocción de Activos (AL) respecto l Líne del ercdo de pitles (L), es decir, el incremento en el rtio de Shrpe. 8 Se debe hcer notr que se está trbjndo pr el supuesto de que los residuos de cd empres no tienen correlción, por lo que l vrinz de los residuos del portfolio ctivo es un promedio ponderdo de vrinz del residuo de cd cción. 86 UB - INVESTIGAIÓN & DESARROLLO : 7 87 (0)

16 GESTIÓN ATIVA DE ORTAFOLIOS Se relizó l estimción de los indicdores mcro del ercdo tomndo como bse el índice bursátil S500, dndo como resultdo un estimción de un rentbilidd esperd del.55% nul, un voltilidd de 6.93% y un rtio de Shrpe de.8. Se utilizó el modelo plntedo por Treynor Blck pr cuntificr el impcto que tendrí un portfolio ctivo, pr lo cul se relizó el nálisis de diferentes títulos cotizdos en los mercdos bursátiles interncionles, determinndo l selección de tres empress pertenecientes l sector de bienes industriles, que reportron rendimientos normles en el periodo desde enero de 009 septiembre de 0. Los resultdos obtenidos con l plicción del modelo de T-B permitieron contrstr los beneficios de un gestión ctiv de portfolios, reflejndo un rtio de Shrpe de.9, un rentbilidd totl del portfolio (ctivo y psivo) de 0.0% que mnifiest un mejor en l rentbilidd del 7.55% medid trvés del indicdor. Finlmente, un specto considerr en los resultdos obtenidos es que, pr lcnzr l nuev Líne AL, es necesrio que el portfolio riesgoso esté compuesto por 8.7% en los tres títulos selecciondos que obtuvieron rendimientos normles y el 8.3% restnte en el portfolio de mercdo, es decir, se requiere un elevd concentrción en el portfolio ctivo, situción que expone un elevdo nivel de riesgo no sistemático en l estrtegi de inversión. 8. REFERENIAS [] Trigo J. emori 0 Bols Bolivin de Vlores (URL 0, (Accessed 7 September 0). [] lery, W. S. Atkinson, H. J. nd Drke,.., eds. rket Efficiency Reding 57 Equity nd Fixed Income, rogrm urriculum Volume 5 Level I 0, FA Institute Ed. Boston: erson ustom ublishing, 0. [3] Bodie, Z. A. Kne, nd rcus, A. J. eds. The Theory of Active ortfolio ngement Reding 63 Derivtives nd ortfolio ngement, rogrm urriculum Volume 6 Level II 0, FA Institute Ed. Boston: erson ustom ublishing, 0. [4] Fm E. F. Efficient pitl rkets: A Review of Theory nd Empiricl Work, The Journl of Finnce, 5(), 970, pp [5] lkiel B. G. Returns from Investing in Equity utul Funds 97 to 99, The Journl of Finnce, 50(), 995, pp [6] Fbozzi, F. J. Kolm,. N. chmnov, D. A. nd Focrdi, S.., eds. Robust ortfolio Optimiztion nd ngement. New Jersey: John Wiley & Sons Inc., 007. [7] Tersvirt, T., ed. An Introduction to univrite GARH odels - Hndbook of Finncil Time Series. Berlin: Springer, 009. [8] Singl, V. ed. ortfolio Risk nd Return: rt I Reding 5 orporte Finnce nd ortfolio ngement, rogrm urriculum Volume 4 Level I 0, FA Institute Ed. Boston: erson ustom ublishing, 0. [9] rkowitz H. ortfolio Selection, Journl of Finnce, 7(), 95, pp [0] Shrpe W. F. utul Fund eormnce Supplement on Security rices, Journl of Business, 39(), 966, pp [] Jensen.. The peormnce of utul Funds in the eriod , The Journl of Finnce, 3(), 967, pp [] Treynor J. nd Blck F. How to Use Security Anlysis to Improve ortfolio Selection, Journl of Business, 46(), 973, pp [3] Shrpe W. F. pitl Asset rices: A Theory of rket Equilibrium under onditions of Risk, The Journl of Finnce, 9(3), 964, pp [4] Greene, W. H., ed. Análisis Econométrico, 3th ed. drid: rentice Hll, 999. [5] Brooks,., ed. Introductory Econometrics for Finnce, nd ed. mbridge: mbridge, 008. [6] Hull, J.., ed. Options, Futures, And Other Derivtives, 7th ed. New Jersey: erson rentice Hll, 009. UB - INVESTIGAIÓN & DESARROLLO, No. : 7 87 (0) (0(0) 87