Acta Universitaria ISSN: Universidad de Guanajuato México

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1 Acta Uivrsitaria ISSN: Uivrsidad d Guaajuato México Guía-Caldró, M.; Rosals-García, J. J.; Guzmá-Cabrra, R.; Gozálz-Parada, A.; Álvarz-Jaim, J. A. El cálculo difrcial itgral fraccioario y sus aplicacios Acta Uivrsitaria, vol. 25, úm. 2, marzo-abril, 25, pp Uivrsidad d Guaajuato Guaajuato, México Dispoibl : Cómo citar l artículo Númro complto Más iformació dl artículo Págia d la rvista rdalyc.org Sistma d Iformació Citífica Rd d Rvistas Citíficas d América Latia, l Carib, España y Portugal Proycto académico si fis d lucro, dsarrollado bajo la iiciativa d accso abirto

2 doi:.574/au El cálculo difrcial itgral fraccioario y sus aplicacios Th diffrtial ad itgral fractioal calculus ad its applicatios M. Guía-Caldró*, J. J. Rosals-García*, R. Guzmá-Cabrra*, A. Gozálz-Parada*, J. A. Álvarz-Jaim* RESUMEN Durat los últimos 2 años, l cálculo d ord arbitrario (mjor coocido la litratura como cálculo d ord fraccioario) s ha dsarrollado d mara imprsioat. Si mbargo, México o hay grupos cosolidados l studio y su aplicació. El objtivo d st trabajo s dar a coocr los orígs y l dsarrollo dl cálculo fraccioario, co la fialidad d motivar a los futuros ivstigadors a icursioar sta ára ta itrsat dl aálisis matmático o covcioal. Fialmt, como jmplo, s aaliza l movimito vrtical d ua partícula l so d u mdio dod la rsistcia s proporcioal a la vlocidad. ABSTRACT Ovr th last 2 yars arbitrary ordr calculus (bttr kow i th litratur as fractioal calculus) has b dvlopd imprssivly. Howvr, i Mxico thr ar o solid groups dvotd to its study ad applicatios. Th objtiv of this work is to prst th origis ad dvlopmt of fractioal calculus, i ordr to courag futur rsarchrs to vtur ito this vry itrstig ara of ucovtioal mathmatical aalysis. Fially, as a xampl, vrtical motio of a particl withi a mdium whr rsistac is proportioal to spd is aalizd. INTRODUCCIÓN Rcibido: 23 d ovimbr d 24 Acptado: 2 d marzo d 25 Palabras clav: Drivadas itgrals fraccioarias; cuacios difrcials fraccioarias. Kywords: Fractioal diffrtias ad itgrals; fractioal diffrtial quatios. Cómo citar: Guía-Caldró, M., Rosals-García, J. J., Guzmá- Cabrra, R., Gozálz-Parada, A. & Álvarz- Jaim, J. A. (25). El cálculo difrcial itgral fraccioario y sus aplicacios. Acta Uivrsitaria, 25(2), doi:.574/au E l studio dl cálculo s aprd alguos métodos d drivació itgració, así como la gra importacia qu ti stas hrramitas matmáticas la cicia igiría. S aprd, d igual forma, qu la drivació y la itgració so opracios ivrsas ua d la otra y difir ua o varias costats, dpdido dl ord d la drivada. Si (d /dx ) f ( x) D f ( x) rprsta la -ésima drivada d la fució f (x) co rspcto a x, co, 2,..., tocs I f ( x) f ( xdx ) D f ( x) rprstará la -ésima itgral o itgral itrada d la misma fució f (x). Si mbargo, los opradors d drivació itgració vistos los cursos uivrsitarios ha sido d ord tro, 2,... Esto s lo qu coocmos como cálculo difrcial itgral ordiario o d ord tro. Aquí surg alguas prgutas: por qué db sr, 2, 3,...,?, xistirá la posibilidad d qu sa /2, /3,...? El objtivo pricipal d st trabajo s, admás d dar a coocr la historia dl cálculo d ord fraccioario dsd las futs históricas origials, compltar cirtas xprsios scritas libros y artículos cuado trata sobr la historia y orig dl cálculo d ord fraccioario. Por jmplo, la xprsió Así s ti qu d :2 x srá igual a x 2 d x : x o mustra l razoamito d Libiz (859) para stablcr la drivada fraccioaria d ord u mdio d x; o bi, La rfrcia a ua drivada fraccioaria u libro d txto aparc por primra vz 89 l libro dl matmático fracés S. F. Lacroix ( ). El libro, d casi 7 págias, ddica dos * Dpartamto d Igiría Eléctrica, Divisió d Igirías, Campus Irapuato-Salamaca, Uivrsidad d Guaajuato. Carrtra Salamaca-Vall d Satiago km km, comuidad d Palo Blaco, Salamaca, Guaajuato, México, C.P Tl.: (464) , xt y Corros lctróicos: guia@ugto.mx; rosals@ugto.mx; guzmac@ugto.mx 2 Vol. 25 No. 2 Marzo-Abril 25

3 págias [ ], qu si vr si quira l ídic dl libro d Lacroix (89) l atribuy la dfiició d la drivada d ord fraccioario u mdio; otra xprsió comú s: Eulr solo mcioa pro o da jmplos i aplicacios d la drivada d ord fraccioario, si lr ralidad l txto complto dl documto a qu s hac rfrcia st mismo trabajo (Eulr, 738). Por tal motivo, s cosidra importat st trabajo dar u poco más d iformació sobr los documtos origials dod qudó scrito l psamito d Libiz, Eulr, Liouvill y Rima. S prsta, admás, ua aplicació co la qu s aaliza l movimito vrtical d ua partícula l so d u mdio dod la rsistcia s proporcioal a la vlocidad (Rosals, Guía, Martíz & Balau, 23), co l propósito d motivar al lctor para qu s iici l studio dl cálculo d ord fraccioario. Brv historia dl cálculo fraccioario El acimito dl cálculo d ord fraccioario tuvo lugar dspués d la publicació, 675, d u documto d G. W. Libiz, dod aparcía l símbolo d y/dx, l cual s rfir a la drivada d ord d la fució y rspcto d x, dod s u úmro atural. Si mbargo, tdrá stido xtdr los valors d al cojuto d los úmros racioals, irracioals o compljos? G. W. Libiz (646-76), al rspodr a ua carta d G. F. Atoi, marqués d l Hôpital (64-74), custioa sobr qué sucdría si fura /2. El 3 d sptimbr d 695 cotsta d mara ituitiva: sto coduciría apartmt a ua paradoja d la cual algú día srá xtraídas coscucias muy útils (Libiz, 859). E sta misma carta, Libiz da ua aproximació a lo qu podría sr ua drivada fraccioaria, poido como jmplo la drivada /2 d x. El razoamito d Libiz s l siguit: Sa dada la ordada x progrsió gométrica d modo qu si s ti ua costat d b sa dx xd b : a, o (sustituydo a por la uidad) dx xd b, ahora ddx srá x dβ 2 y d 3 x srá x dβ 3 tcétra y d x xdβ. Y d sta forma l xpot difrcial s cambiado por xpot potcia rmplazado dx : x por d b s tdrá d x d x : x x. Así s ti qu d :2 x srá igual a x 2 d x : x (Libiz, 859). E otació actual, la dfiició qu propo Libiz para la drivada d ord fraccioario d x stá dada por:, () y para l caso particular /2 s tdrá:. Si mbargo, la primra rfrcia a ua drivada fraccioaria aparc, por primra vz, u artículo scrito por Lohard Eulr (77-783) tr y publicado 738, dod aplica su fórmula d itrpolació dl factorial tr úmros tros positivos para dar ua dfiició d la drivada d ord fraccioario. El razoamito d Eulr s l siguit: s trata d ivstigar la rlació tr d (z ) y dz co dz costat. Supo primro qu s u tro y si, z [ / ( )]z, si 2, ( )z 2 [ / ( 2)]z 2, si 3, ( )( 2)z 3 [ / ( 3)] z 3, gral, d z /dz [ / ( )]z. Pro d x( l x) y (-) d x( l x), por lo tato: d( ) d z z z d x( l x), (2) d x( l x) dod los límits d itgració so x como límit ifrior y x como límit suprior. E (2) dbrá actualizars la simbología l para. Dspués d Adri- Mari Lgdr ( ) s usa la otació Γ ( + ) para la itgral dl umrador y Γ( + ) para la itgral dl domiador. Es posibl ralizar alguas opracios algbraicas co (2) para comparar la dfiició d la drivada d ua fució potcia co dfiicios más rcits y, a la vz, para hacr otar la difrcia co la dfiició propusta por Libiz (859). La cuació dada por (2) tambi pud sr scrita como: quivalt a scribir: d z dz, (3) Γ ( + ) z. (4) Γ( + ) Car soyt ls ordés x progrssio Gomtriqu sort qu prat u costat db soit dx xdb: a, ou (prat a pour l uité) dx xdb, alors ddx sra x db 2, dβ t d 3 x sra x db 3 tc. t d x xdb. Et par ctt adrss l xposat diffrtil st chagé xposat pottil t rmttat dx : x pour db, il aura d x dx : x x dβ dβ. Aisi il s suit qu d :2 2 dβ x sra gal à x dx : x. El cálculo difrcial itgral fraccioario y sus aplicacios M. Guía-Caldró, J. J. Rosals-García, R. Guzmá-Cabrra, A. Gozálz-Parada, J. A. Álvarz-Jaim pp Vol. 25 No. 2 Marzo-Abril 25 2

4 Multiplicado umrador y domiador d (4) por Γ ( ) s obti: d z dz x z ( ) ( ) Γ + Γ B ( ) ( ) ( +, ), (5) Γ + Γ Γ ( ) dod B( +, ) B(, + ) s la fució bta, dfiida por: Γ B(, ) B(, ) ( ) Γ ( ) Γ( + ) d z dz t ( t) dt. (6) + Sustituydo (6) (5) y hacido zt u s obti: z u + Γ ( ) ( z u) + du. (7) Si o s u tro, tocs (7) s la fórmula d Eulr (738) para ua drivada fraccioaria d ua fució potcia, y qudaría como sigu: yd /2 z z d y, () la curva buscada s obti d la siguit mara: y zd z z y y zd z z y d 2 2 d l A A A z c yl z cay A. () y E l libro d S. F. Lacroix mcioado ats s icluy l artículo publicado por Eulr, l cual s dfi la drivada d ord fraccioario d ua fució potcia. Así, pus, s pud dcir qu a Eulr s l db la primra fórmula para la drivada fraccioaria d ua fució potcia. E 822, su libro Théori Aalytiqu d la Chalour (822), Ja-Baptist Josph Fourir (768-83) idica qu difrcials itgrals d ord arbitrario i pud sr obtidas a partir d la cuació:, (2) α d x dx α β x β u + Γ ( α) ( x u) α+ du. (8) y obsrvado qu la i-ésima drivada d la fució coso difir sólo l sigo y l factor p i, s obti: La xistcia d la drivada fraccioaria d ord a stá dtrmiada por la covrgcia d la itgral (8). Eulr (738) tambié da u jmplo para y /2 y obti, la simbología actual: d /2 z l xdx l xdx zd z zdz, (9) A dod A s l ára d u círculo d diámtro igual a la uidad. Tambié s pud utilizar la cuació (4) para obtr: Para fializar, Eulr (738) propo la siguit cuació difrcial fraccioaria para dtrmiar la forma d la curva dada por la cuació:. dp, (3) dod i pud sr cualquir catidad: positiva o gativa. Así, pus, Fourir (822) prsta ua fórmula gral para la drivació itgració fraccioaria. Ua fució tdrá drivada o itgral fraccioaria si las itgrals impropias covrg. Si mbargo, o prsta jmplos d aplicació i dsarrolla u tratado complto sobr l cálculo itgro-difrcial d ord fraccioario. Idica, admás, l mismo libro, qu sus rsultados sobr las drivadas itgrals d ord fraccioario ya los había publicado co atrioridad ua Mémoir sur ls vibratios ds surfacs élastiqus, lu à la séac d l Académi ds Scics, l 6 jui 86 (art. VI, t, t art. VII, 3 t 4) (Fourir, 822). Ua d las primras aplicacios a la física s proporcioada por Nils Hrik Abl (82-829). El 22 Vol. 25 No. 2 Marzo-Abril 25 El cálculo difrcial itgral fraccioario y sus aplicacios M. Guía-Caldró, J. J. Rosals-García, R. Guzmá-Cabrra, A. Gozálz-Parada, J. A. Álvarz-Jaim pp. 2-27

5 problma cosist cotrar la forma d la curva sobr u plao vrtical, tal qu u objto, al dslizars si fricció sobr lla, llgu al fial d su rcorrido u timpo qu sa idpdit dl lugar qu comic l movimito. Si l timpo d caída s ua costat coocida, la cuació itgral d Abl (839a) ti la forma: /2 f (t)dt. (4) E ralidad, Abl studió cuacios itgrals co úclos d la forma ( x -t) a (Abl, 839b), sido la cuació (4) u caso particular cuado a /2. Para dtrmiar la fució dscoocida f (x) (4), Abl (839a) scribió la part drcha d (4) como:. (5) Dspués, tomado la drivada /2 ambos lados d la cuació obtuvo:, (6) ya qu los opradors fraccioarios (drivadas itgrals co cirtas codicios sobr f ) satisfac la propidad D /2 D /2 f D f f. Etocs, calculado la drivada d ord /2 d la costat k (6) s dtrmia la fució f (x). Est rsultado d Abl (839a) s cosidra u gra logro para l dsarrollo postrior dl cálculo d ord fraccioario. Es importat hacr otar qu la drivada d ord fraccioario d ua costat o simpr s cro. Drivada fraccioaria d Liouvill Josph Liouvill (832) hac rfrcia, Mémoir sur qustios d Gométri t d Mécaiqu, a los trabajos d Eulr, Laplac, Fourir y al libro d cálculo d Lacroix; tambié hac rfrcia a la cuarta carta d Libiz a Wallis (Libiz, 832), auqu s basa más los trabajos d Laplac (82) y Fourir (822) para hacr su dsarrollo dl cálculo itgro-difrcial d ord fraccioario. Liouvill (832) part d la drivada d ord tro d la fució xpocial, sto s: m d x ax d a m ax, (7) m dod idica qu m pud sr cualquir úmro ral o compljo, positivo (idicado la drivació) o gativo (idicado la itgració). Partido, pus, d sta dfiició d la drivada, y supoido qu ua fució y s pud dsarrollar ua sri d xpocials, stablc ua fórmula gral para la drivada. Primro dsarrolla y sri d xpocials: m x y å A i, (8) i i y driva térmio a térmio sta sri para obtr:. (9) A la xprsió (9) s l cooc como la primra dfiició d drivada fraccioaria d Liouvill. E la misma mmoria, Liouvill (832) da dos jmplos, qu alguos historiadors ha llamado como la sguda dfiició d Liouvill. El primr jmplo s para la fució y /x, tato qu l sgudo s ua gralizació dl primro y /x, sto s:. (2) Es importat otar qu (2) o s más qu la trasformada d Laplac (82) d la fució scaló uitario la qu s ha cambiado s por x. Partido d (2), Liouvill (832) utiliza la fórmula para la drivada d ord fraccioario y obti: Para l sgudo jmplo, dfi:. (2), (22). (23) A cotiuació, Liouvill (832) da ua xprsió para la itgral fraccioaria d ua fució arbitraria, pro co rstriccios:, (24) dod µ > y si φ mx ( ) A y m db sr mor qu cro o si s d la forma m p + q, p db sr mayor qu cro. Al fial d cutas lo qu s trata s d El cálculo difrcial itgral fraccioario y sus aplicacios M. Guía-Caldró, J. J. Rosals-García, R. Guzmá-Cabrra, A. Gozálz-Parada, J. A. Álvarz-Jaim pp Vol. 25 No. 2 Marzo-Abril 25 23

6 cuidar la covrgcia d la itgral impropia d la drcha (24), qu s logra cuado l itgrado s aula, d acurdo co Liouvill (832)., (27) Para obtr la drivada d φ(x), Liouvill (832) hac µ p, dod s l mor tro positivo mayor qu µ, co lo qu obti:. (25) Liouvill (832) ha llgado a la misma coclusió a la qu había llgado Fourir (822) diciséis años ats: la drivada d ord fraccioario s ua itgral dfiida, sto coducirá, como s vrá más adlat, a u uvo puto d partida la dfiició d la drivada d ord fraccioario. Liouvill (832), la misma mmoria, aplica la fórmula para rsolvr varios problmas d ltrodiámica, gomtría y mcáica. Ats d cotiuar co st uvo foqu qu trata a la drivada d ord fraccioario como ua itgral, sguirmos al foqu propusto por Grüwald-Létikov. Drivada fraccioaria d Grüwald-Létikov Ato Karl Grüwald (838-92), 867, y Alksy Vasilivich Létikov ( ), 868, propo la dfiició d la drivada fraccioaria, partido d la dfiició básica d la drivada d ord tro; sto s:. (28) Las fórmulas (27) y (28) so muy útilis l cálculo umérico d la drivada d ord fraccioario; stas fórmulas a < x s l puto dsd dod s calculará la drivada corrspodit al puto x. Otro puto d partida para dfiir la drivada d ord fraccioario fu propusto por Liouvill (832), qui, partido d la itgral dl ord fraccioario, obti:, (29) dod a < x. La cuació s pud obtr d (8) hacido u f ( t), sustituydo a por a y u por t. Ahora b bi, si < a < s pud hacr a v, tocs s ti:. (3),, La drivada fraccioaria stá dfiida, st caso, si la itgral covrg, dbido a qu, sgú s vio al iicio d sta scció, Liouvill (832) dsarrolla f (t) ua sri d xpocials. La itgral (3) covrg si a, las parts rals d las potcias d so mayors qu cro y x >. dod! m!( m)! Γ ( + ) Γ ( m + ) Γ( m + )., (26) Drivada fraccioaria d Rima Brhard Rima ( ), u mauscrito dl 4 d ro d 898, su época d studiat y publicado forma póstuma, propo:. (3) Hacido alguas opracios aritméticas s llga a las siguits fórmulas d la drivada fraccioaria d Grüwald-Létikov: Para la fórmula (3), Rima (898) dsarrolla f (t) ua sri d potcias, por lo qu l límit ifrior st caso s k. A la cuació: 24 Vol. 25 No. 2 Marzo-Abril 25 El cálculo difrcial itgral fraccioario y sus aplicacios M. Guía-Caldró, J. J. Rosals-García, R. Guzmá-Cabrra, A. Gozálz-Parada, J. A. Álvarz-Jaim pp. 2-27

7 . (32) S l llama fórmula para la drivada d ord fraccioario d Rima-Liouvill, para c y para c, rspctivamt. Drivada fraccioaria d Caputo E 969, l físico matmático italiao Michl Caputo dio ua uva dfiició d drivada d ord fraccioario qu prmitía itrprtar físicamt las codicios iicials d los cada vz más umrosos problmas aplicados qu s staba studiado. Caputo (969) dfiió la drivada fraccioaria como:, (33) dod < a < y f () s ua drivada ordiaria. La rlació tr ambas dfiicios (32) y (33) d la drivada d ord fraccioario stá dada por:. (34) S pud otar qu la dfiició d la drivada d ord fraccioario propusta por Michl Caputo (969) s más rstrictiva qu la d Rima-Liouvill, ya qu l primr caso la fució db sr drivabl, lo qu o rquir la sguda dfiició. La trasformada d Laplac d la drivada fraccioaria d Rima-Liouvill (32) y d Caputo (33) stá dadas por las xprsios: L, (35) L, (36) dod F(s) s la trasformada d Laplac d f(t). Obsrv qu la xprsió (35) coti codicios iicials fraccioarias, lo cual ti dificultads d itrprtació la aplicació a problmas físicos, mitras qu la xprsió (36) ti codicios iicials ordiarias, s dcir, o fraccioarias, ya qu f (k) () so drivadas ordiarias (k, 2, 3,...). Ésta s ua d las razos por las cuals los problmas d aplicació s usa frcutmt la drivada fraccioaria d Caputo (969) (36). Exist, actualmt, dos aplicacios pricipals dl cálculo d ord fraccioario: aplicacios al cotrol y aplicacios d modlado matmático. Esta última aplicació icluy l aálisis, simulació, disño, tcétra. Cuado s habla d modlado matmático s icluy, prfrtmt, aqullos fómos cuyos modlos d ord tro o satisfac los datos xprimtals, por jmplo fómos d difusió aómala: sub-difusió y supr-difusió, viscolasticidad, suprcoductividad, cácr, tcétra. E st puto surg alguos custioamitos: cuál s la itrprtació física d ua drivada y/o itgral fraccioaria?, por qué hay difrts dfiicios d drivada itgral fraccioaria? E l cálculo ordiario, stas prgutas stá bi claras y ti ua itrprtació muy lgat gométrica y físicamt. Si mbargo, l caso dl cálculo fraccioario aú stas prgutas o stá compltamt rsultas, así qu hay mucho trabajo por hacr. E la siguit scció damos u jmplo scillo y dtallado d aplicació dl cálculo fraccioario. Movimito vrtical u campo gravitacioal S aalizará, como u jmplo d aplicació dl cálculo fraccioario, l caso d ua partícula movimito vrtical l so d u mdio, dod la rsistcia s proporcioal a la vlocidad. Supógas qu ua partícula s laza hacia abajo co ua vlocidad iicial v dsd ua altura h u campo gravitacioal costat. La cuació d movimito s tocs (Thorsto & Mario, 24): d m v v mg mkv kv g d t d +, (37) dt dod k s ua costat positiva rsposabl d la furza d rsistcia co uidads d sgudos ivrsos, s, y mkv rprsta ua furza dirigida hacia arriba, ya qu tomamos z y v z positivos s stido, y l movimito s dirig hacia abajo; o sa v < d forma qu mkv >. Si la codició iicial s cosidra v() v, dod v s la vlocidad iicial dl curpo caydo, la solució s:. (38) El cálculo difrcial itgral fraccioario y sus aplicacios M. Guía-Caldró, J. J. Rosals-García, R. Guzmá-Cabrra, A. Gozálz-Parada, J. A. Álvarz-Jaim pp Vol. 25 No. 2 Marzo-Abril 25 25

8 Dado qu v dz/dt s itgra ua vz más, tomado cuta la codició iicial z() h, como rsultado s obti:. (39) La xprsió (38) idica qu a mdida qu l timpo crc ( t, ) la vlocidad s va aproximado al valor vt () g/ k, la cual s llamada vlocidad fial o vlocidad trmial v f. Por otro lado, s v la cuació (37) qu cuado lla s hac v - g/ k, s cosigu l mismo rsultado, pus tocs la furza s aula y dsaparc la aclració. Cuado l módulo d la vlocidad iicial sa mayor qu l d la vlocidad fial, l curpo comzará a movrs prdido vlocidad y v tdrá hacia l valor d la vlocidad fial dsd l stido cotrario. Ahora s aalizará l problma atrior dsd l puto d vista dl cálculo fraccioario. Para llo s hará alguas modificacios, como s mustra (4), ats d pasar a la cuació difrcial d ord fraccioario, a partir d (37). Estas modificacios cosist ormalizar las variabl v y t tomado como bas d ormalizació g/k y /k para la vlocidad y l timpo, rspctivamt, d forma qu dividido v tr g/k : Rsolvido rspcto a U(s) rsulta: g us Us ( ) s + +. (43) g g s( s + ) Ahora, aplicado la trasformada ivrsa d Laplac (Podluby, 999; Samko, Kilbas & Marichv, 993) s ti:, (44) dod s ha usado las fórmulas (Moj, Ch, Viagr, Xu & Fliu-Batl, 2) L, (45) L. (46) Volvido a las variabls v(t) y t s ti:. (47). (4) Esta cuació difrcial s pud scribir tambié fució d ua uva variabl dpdit y adimsioal, rprstada por u, mitras qu la variabl tmporal, adimsioal, idpdit s t kt. S ti, tocs: γ d u u dτ +. (4) γ E sta cuació difrcial d ord fraccioario, las variabls u y t so adimsioals. Aplicado la trasformada d Laplac (Podluby, 999; Samko, Kilbas & Marichv, 993) co la codició u() u y k/g, obtmos: sus ( ) u s U( s) g g +. (42) s Ahora, supoido qu: w u( ) d β τ β dτ dod t kt, w u k - g v. β β Us ( ) sws ( ) s w(), (48) kz() kz kh, w() y g g g Sustituydo U(s) d (48) (43) y rsolvido para W(s) s ti: w Ws ( ) s + u s s β γ β s + + s. (49) β+ γ s + γ γ Fialmt, s aplica la trasformada ivrsa d Laplac (82) a (49) y s raliza las opracios csarias para volvr a las variabls, t y z. 26 Vol. 25 No. 2 Marzo-Abril 25 El cálculo difrcial itgral fraccioario y sus aplicacios M. Guía-Caldró, J. J. Rosals-García, R. Guzmá-Cabrra, A. Gozálz-Parada, J. A. Álvarz-Jaim pp. 2-27

9 dod < βγ,., (5) Si (5) s da valors d a b y g, s rcupra (39). Si (5) s hac β γ, s obti:. (5) Hoy día, l cálculo fraccioario s ha aplicado difrts áras d las cicias igirías, física, biología, química, gología, toría d cotrol, lctromagtismo, léctrica, circuitos léctricos, procsamito d imágs y sñals, óptica, tcétra, y xist xclts libros qu trata sobr su rcit dsarrollo y aplicacios como so: Balau, Güvc & Triro (2), Dithlm (2), Duart (2), Maiardi (2) y Tarasov (2), CONCLUSIÓN E st trabajo s ha prstado las distitas dfiicios d la drivada itgral d ord fraccioario. Estas difrts dfiicios xist por o habr u cocso gralizado sobr qué so la drivada itgral d ord fraccioario d ua fució; s dcir, o hay ua itrprtació física y gométrica cosistt sobr llas. Si mbargo, los modlos dscritos por cuacios difrcials d ord fraccioario, co las propidads d o localidad y mmoria, rprsta forma más adcuada sistmas compljos htrogéos qu los modlos d ord tro, como s mustra l jmplo prstado para l movimito vrtical u campo gravitatorio. REFERENCIAS Abl, N. H. (839a). Résolutio d u problèm d mécaiqu. Ouvrs Complèts (tomo prmir, pp. 27-3). Grödah: Christiaa. Abl, N. H. (839b). Sur qulqus itégrals défiis. Ouvrs Complèts (tomo scod, pp. 93-2). Grödah: Christiaa. Balau, D., Güvc Z. B. & Triro, M. J. A. (2). Nw Trds i Naotchology ad Fractioal Calculus Applicatios (544 pp.). Dordrcht Hidlbrg Lodo Nw York: Sprigr. Caputo, M. (969). Elasticità Dissipazio. Bologa: Zaichlli. Dithlm, K. (2). Th Aalysis of Fractioal Diffrtial Equatios (248 pp.). Dordrcht Hidlbrg Lodo Nw York: Sprigr. Duart, O. M. (2). Fractioal Calculus for Scitists ad Egirs (4 pp.). Dordrcht Hidlbrg Lodo Nw York: Sprigr. Eulr, L. (738). D progrssioibvs trascdtibvs, sv qvarvm trmii grals algbraic dari qvt, Commtarii Acadmia Scitiarvm Imprialis Ptropolit A A (tomo V, pp ). Sa Ptrsburgo. Fourir Josph, J. B. (822). Théori Aalytiqu d la Chalur (pp ). Paris: Chz Firmi Didot, Pèr t fils. Grüwald, A. K. (867). Ubr, Bgrzt, Drivatio ud Dr Awdug, Zitschrift für Mathmatik ud Physik, 2, Lacroix, S. F. (89). Traité du calcul différtil t du calcul itégral. Scod éditio, rvu t augmté (pp. 49-4). Paris: Courcir. Laplac, P. S. (82). Théori Aalytiqu ds Probabilitiés. M. V. Coucir, Librair pour ls Mathématiqus, quis ds Agustis, 57. Paris: Imprimur. Libiz, G. (859). Mathmatisch Schrift. Brlí: Vrlag vo A. Ashr & Comp. Libiz, G. (832). Cuarta carta a Wallis. Ouvrs complèts (tom III, 5 pp.). Paris. Létikov, A.V. (868). Thory of diffrtiatio of a arbitrary ordr, Mat. Sb., 3, -68. Liouvill, J. (832). Mémoir sur qustios d Gométri t d Mécaiqu, t sur u ouvau gr d Calcul pour résoudr cs Qusios. Joural d l Ecol Polytchiqu, 2(3), -66 y Maiardi, F. (2). Fractioal Calculus ad Wavs i Liar Viscolsticity (368 pp). Ed. Imprial Collg Prss. Moj, C. A., Ch, Y., Viagr, B. M., Xu, D. & Fliu-Batl, V. (2). Fractioal Ordr Systms ad Cotrols, Fudamtals ad Applicatios. Lodrs: Sprigr-Vrlag Lodo Limitd. Podluby, I. (999). Fractioal Diffrtial Equatios. Sa Digo: Acadmic Prss. Rosals García, J. J., Guía Caldró, M., Martíz Ortiz, J. & Balau, D. (23). Motio of a Particl i a Rsistig Mdium Usig Fractioal Calculus Approach. Procdigs of th Romaia Acadmy, 4(), Rima, B. (898). Ouvrs mathématiqus d Rima. París: Gauthir-villar. Samko, S. G., Kilbas, A. A. & Marichv, O.I. (993). Fractioal Itgrals ad Drivativs, Thory ad Applicatios. Laghor, PA: Gordo ad Brach Scic Publishrs. Tarasov, V. E. (2). Fractioal Dyamics; Applicatios of th Fractioa Calculus to Dyamics of Particls, filds ad Mdia (522 pp.). Dordrcht Hidlbrg Lodo Nw York: Sprigr. Thorsto, S. T. & Mario, J. B. (24). Classical Dyamics of Particls ad Systms. Ed. Thomso Brooks/col. El cálculo difrcial itgral fraccioario y sus aplicacios M. Guía-Caldró, J. J. Rosals-García, R. Guzmá-Cabrra, A. Gozálz-Parada, J. A. Álvarz-Jaim pp Vol. 25 No. 2 Marzo-Abril 25 27