Moviéndose de los Modelos Económicos de Equilibrio General Estáticos a los Dinámicos (Notas para un principiante en MPSGE)

Transcripción

1 Moviéndose de los Modelos Económicos de Equilibrio General Esáicos a los Dinámicos (Noas para un principiane en MPSGE) Sergey V. Palsev * Deparameno de Economía, Universidad de Colorado Borrador: Junio de 1999 (Revisado en: Junio de 2000) Versión en Casellano: Enero de 2003 Resumen Ese documeno quiere ser una guía para aprendices de MPSGE. Comienza con una breve inroducción a la clase de problemas económicos que pueden ser resuelos con MPSGE, y sigue con una descripción deallada de cómo se ransforma, paso a paso, un modelo esáico simple de equilibrio general en un modelo dinámico del ipo de Ramsey. El modelo esá basado en un conjuno simplificado de daos. Se han considerado dos casos: en el primero, la base de daos represena una economía en una senda de crecimieno de esado esacionario; en el segundo, los daos describen una siuación en la que la economía no se encuenra en ese esado para el año base. Se incluye código GAMS-MPSGE que puede ser copiado y uilizado como puno de parida para poseriores esudios de modelamieno de dinámica económica. * Agradezco a Thomas Ruherford y a Miles Ligh por no dejarme hundir cuando me esrellé con el iceberg del MPSGE. Dirección elecrónica del auor: palsev@mi.edu The curren address: 77, Massachusses Ave., E40-429, Massachusses Insiue of Technology, Cambridge, MA 02139, USA. La úlima versión de ese documeno en formao PDF puede ser descargada de hp://debreu.colorado.edu/papers/move.pdf Traducción al casellano por J.C.Segura: Alcaldía Mayor de Bogoá, D.C., Deparameno Adminisraivo de Planeación Disrial. Jsegura@dapd.gov.co url: hp://wwwes.uniandes.edu.co/~j-segura

2 Moviéndose de Modelos Esáicos a Dinámicos 2 Acerca de la Versión Casellana Buscando en la Inerne maerial para aprender GAMS/MPSGE uve la foruna de hallar ese excelene manuscrio de Sergey Palsev, esudiane (en 2000) del Docorado en Economía en la Universidad de Colorado en Boulder. Como él mismo adviere en la inroducción de su documeno, el MPSGE es un poderoso pero pobremene documenado lenguaje porque, al vez, como Thomas Ruherford el padre de MPSGE enfaiza, el verdadero programador escribe el código, no la documenación. A fala de las noas de Palsev, el aprendiz que "se iene una fe bárbara", pero que cuena a su vez con una idea muy liberal de lo que es un modelo de equilibrio general compuable, en ausencia de un guía paciene se enfrena al sisema como quien comienza un rompecabezas de diez mil piezas. Con inuición y ciera prácica uno puede calibrar un modelo esáico de proporciones reducidas e incluso correrlo con éxio, siempre que el objeivo sea aprobar un examen de miad de semesre. Sin embargo, cuando las dimensiones del modelo aumenan, y el sueldo de economisa aprendiz esá de por medio, las condiciones de primer orden del problema eórico se ornan difíciles de calibrar con los pocos daos disponibles en el mundo real; el uso de un lenguaje rico y poderoso como GAMS se hace difícil. Es asi que, en iempos acuales he viso a varios colegas acudir sin éxio (y sin mucha fe la verdad) al venerable GAMS/HERCULES, sin que la aplicación consiuya solución a sus problemas. Aunque el profesor Ruherford proporciona líneas generales de la programación, ésas resulan poco ransparenes para el lecor común y desprevenido que es el esudiane. Los documenos de Ruherford son de excelene calidad pero omien muchos dealles que el esudiane raso quisiera conocer: "A Tom no le gusa escribir papers para el nivel del principiane", (si bien casi siempre cuena con algún iempo para ayudar al esudiane honrado que se encuenra en aprieos). Sobre eso llama la aención Palsev con gracia y humor: hace que el aprendiz se siena en el nivel del auor y pierda el emor a errar: Si Ud. es an ineligene como Tom, esas noas no son para used. Los ejemplos de que Sergey se vale son elemenales al comienzo pero al poco de empezar muesran su verdadera susancia. Y lo mejor de odo es que cuando se ermina de leer y seguir los ejemplos, uno quiere ya escribir consruir su modelo y escribir su propio paper a parir de lo aprendido. Esa es la virud de ese rabajo. En cuano a mí, cuando comencé a esudiar ese exo, empecé de manera inconsciene a raducirlo. Anoaba en hojas suelas los conenidos más relevanes a mi juicio. Prono enconré que había raducido al casellano la miad del documeno. Asi que puse un a Palsev soliciando su permiso para raducirlo en su oalidad y disribuirlo enre mis compañeros del Magíser en Economía de la Universidad de los Andes de Bogoá, D.C. y enre alumnos de oras faculades. Sergey no solo dio su permiso sino que consideró adecuado incluir cieras cosas que quizás pudieron haber falado en la versión original en inglés como, al la derivación de las FOC del modelo dinámico en su versión NLP. Supongo que será de uilidad a los lecores de habla casellana. J.C. Segura Bogoá, D.C., Enero de 2003

3 Moviéndose de Modelos Esáicos a Dinámicos 3 1 En lugar de una Inroducción "Ese no es un paper. Esas son noas de esudio" Thomas Ruherford, el auor de MPSGE, escribió esas palabras en el primer borrador de ese documeno. "Yo ya engo un modelo sobre un modelo de Ramsey. Léalo." añadió 1. En esa época era un esudiane graduado pobre con la desesperada necesidad del dinero de una asisencia de invesigación. Por eso, no le dije que ya había leído su documeno varias veces. Aún después de hacerlo, mi enendimieno acerca de lo que era el MPSGE y sobre cómo consruir un modelo dinámico no era mucho mejor que mi enendimieno sobre cómo consruir un puene en Nepal. De ese modo, reuní aquellas noas como una referencia para mi propio uso. Pensé que si esas noas me habían servido, podrían ambién ser de uilidad para oros principianes. La resolución de Tom envió el documeno al fondo del cajón de mi escriorio durane un buen iempo. Esuvo allí hasa cuando repeninamene algunas personas decidieron que yo era poseedor de algún saber especial y me pregunaron: " Cómo haces para consruir un modelo dinámico en MPSGE?". Obviamene, mi consejo fue que leyeran el documeno de Ruherford. Por alguna razón que aún sigue siendo desconocida para mi, casi odos volvieron pidiendo algo más claro y deallado. Mis subsecuenes explicaciones en una mezcla de inglés y ruso los dejaron aún más confundidos. En ese momeno decidí que la idea de esas "noas para su propio aprendizaje" no era, después de odo, an mala. En resumen, si used es an ineligene como Tom Ruherford, esas noas no son para Ud. Sin embargo, si se ha sobreesimado un poco y sigue eniendo inerroganes acerca de cómo modelar dinámica en MPSGE, es posible que pueda enconrar las respuesas aquí. A Tom no le gusa escribir documenos a nivel de principiane. Espero ser lo suficienemene ingenuo como para inenarlo, vale? Así pues, vamos a ravés de lo básico junos. En la siguiene sección, raaré de comparir lo que a mi enender es MPSGE y la clase de problemas que pueden ser resuelos con su ayuda. La sección 3 describe cómo un modelo esáico sencillo puede ser represenado en el formao MPSGE. Si a used ya le resula familiar el MPSGE, puede salarse esa pare e ir direcamene a la sección 4, que presena la ransformación de un modelo esáico en uno dinámico 2. Eso para el caso en el cual una economía se encuenra en una senda de esado esacionario inicialmene. La sección 5 presena los ajuses que es necesario inroducir al modelo para represenar el caso en el cual la economía no se encuenra en el esado esacionario. Los lisados de los programas se proporcionan en los Apéndices. He incluido ambién Apéndices sobre la conversión MPSGE-MCP y sobre la represenación de diferenes formas funcionales en el formao MPSGE. No son direcamene relevanes a los modelos dinámicos. Sin embargo, son imporanes para una mejor comprensión del proceso de modelaje económico con MPSGE. Para concluir, siempre me han impresionado esas noas de adverencia a lo FMI y Banco Mundial. Y ahora engo la oporunidad de poner uno. Aquí va: "Los punos de visa expresados en ese documeno son del auor y no necesariamene reflejan los del creador del MPSGE". En un lenguaje elemenal, eso significa que esas son sencillamene noas para mi propio aprendizaje. Si used iene pregunas acerca del MPSGE, "pregúnele a Tom". 2 MPSGE y los Modelos Económicos de Equilibrio General El MPSGE (Mahemaical Programming Sysem for General Equilibrium Analysis) * es un lenguaje de programación diseñado por Thomas Ruherford [1999] a finales de los 80s para resolver modelos de equilibrio económico del ipo Arrow-Debreu. El MPSGE es un poderoso pero pobremene documenado lenguaje. Gracias a ese hecho, la recea usual para dominar el MPSGE es el learning by doing. 1 Me referiré a ese paper sobre modelamieno dinámico (Lau, Pahlke, Ruherford [1977]) como el documeno de Ruherford. Esá disponible en: hp:/nash.colorado.edu/omruh/primer/paper.hm 2 La discusión de ese documeno se limia al modelo de Ramsey. Ora aproximación a la inroducción de la dinámica es la de los modelos de generaciones raslapadas (OLG). Para la formulación de modelos OLG en MPSGE, ver Ruherford [1998]. * Sisema de Programación Maemáica para el Análisis de Equilibrio General [N. De T.]

4 Moviéndose de Modelos Esáicos a Dinámicos 4 MPSGE uiliza el lenguaje de programación GAMS (General Algebraic Modeling Sysem) como inerfase 3. Como consecuencia, si quiere uilizar MPSGE, necesia ambién aprender la sinaxis GAMS 4 (Brooke, Kendrick, Meeraus [1992]). Según se deriva de su nombre, MPSGE resuelve modelos económicos de equilibrio general compuables (CGE). Esos modelos comprenden agenes económicos que ineracúan enre ellos. La palabra "General" significa que odos los flujos económicos son conabilizados, eso es, exise un uso para cada fuene. Enconrar un equilibrio para un modelo CGE implica enconrar precios, canidades e ingresos de equilibrio. Como ilusración de un modelo económico básico, considere la area de hallar un equilibrio en una economía (que llamaré País de las Maravillas), que consa de dos agenes económicos: consumidores y producores, Los consumidores ienen una doación inicial de rabajo L y de capial K. En aras de sencillez, exise un único consumidor represenaivo 5 CONS en el País de las Maravillas. El consumidor deriva su ingreso I de las venas de sus doaciones. Así, obiene la cesa de bienes de consumo de su elección. En la economía se dispone de dos bienes, X e Y. El consumidor obiene uilidad del consumo de esos bienes. Los producores son las firmas que oman las doaciones iniciales del consumidor como insumos y las convieren en producos. Los dos secores producivos, X e Y esán caracerizados por las ecnologías disponibles, F y G respecivamene. Queremos deerminar los precios y las canidades que hacen máximos los beneficios del producor y la uilidad del consumidor 6. La solución de ese problema (que es un problema simple de Arrow-Debreu [1954]) puede enconrarse uilizando una formulación no lineal. El problema puede ser represenado como uno de opimización del consumidor, sujeo a resricciones de ingresos, ecnología y viabilidad. max W ( X,Y ) s.a. I = p X + p Y x X = F Y = G K L = L K = K ( K,L ) (,L ) donde W es una función de uilidad, p x y p y son los precios de los bienes X e Y; K x y L x son el capial y el rabajo empleados en la producción del secor X, K y y L y son el capial y el rabajo empleados en el secor Y. Ese es un problema de opimización propio de exos esándar de microeconomía y una écnica usual para enconrar la solución es el méodo de los muliplicadores de Lagrange. Ese problema puede ser resuelo con GAMS como un programa no lineal (NLP). Exisen algunos casos (como la presencia de diferenes consumidores, impuesos u oras disorsiones) que no permien resolver el problema de hallar un equilibrio de mercado como un problema de opimización. Así, el problema debe ser aproximado en una forma diferene. Puede ser converido en un problema mixo de complemenariedad (MCP) y ser resuelo como un sisema de ecuaciones no lineales. Los problemas NLP consiuyen un subconjuno de los MCP y MPSGE encuenra el equilibrio como una solución a un MCP. He aquí la primera prueba para verificar si used debe seguir leyendo esas noas o si más bien debería dirigirse direcamene al documeno de Ruherford [1997]. Nunca anes había escuchado hablar de la formulación MCP. Cuando uve a bien pregunar, una buena persona me dijo que era muy sencillo, algo así como: x x x y y x y + L + K y y s.a. Dada : f f : R Enconrar : n R z R T ( z) 0, z 0, z f ( z) = 0. n n 3 Para aprender más acerca de GAMS, visie hp:// 4 Hacia abril de 2000, una versión esudianil grauia de GAMS puede ser descargada de hp:// 5 O, en forma equivalene, una población de hogares idénicos. 6 A los no economisas puede resular diverido eso de que exise un solo consumidor que posee las firmas y compra los bienes producidos por aquellas. Sin embargo, para los economisas, con su "forma económica de pensar" eso es naural. El significado de ese supueso es que se ignoran consideraciones disribucionales enre los diferenes ipos de consumidores.

5 Moviéndose de Modelos Esáicos a Dinámicos 5 Si en la proposición anerior odo le resula claro, Ud. esá perdiendo su iempo con esas noas. Guárdelas y vuelva al rabajo real! Si sigue allí, raemos enonces de converir los símbolos maemáicos en un idioma sencillo. Debo adverir que eso no ayudará mucho al principiane en razón de que suena algo así como: dada la función f enre dos conjunos n-dimensionales de números reales (la función f asigna a cada miembro del primer conjuno exacamene un miembro del segundo), enconrar z que perenece a un conjuno n-dimensional de números reales, al que la función f(z) sea mayor o igual que cero, z sea mayor o igual a cero y que la condición de holgura complemenaria 7 asociada se saisfaga. La condición de holgura complemenaria requiere ya sea que z sea igual a cero (eso es, el muliplicador dual se desvanece), o que la resricción de desigualdad se saisfaga con igualdad esrica, o ambas. Sin embargo, esas palabras son sencillamene una forma cienífica de ocular algo simple. recuerdan de sus maemáicas de ocavo grado la solución de una ecuación como: x(5 - x) = 0? Si, esa es x = 0 y x = 5. Para hacer más clara la comparación, la ecuación puede ser rescria como xf(x) = 0, donde f(x) = 5 - x. Eso lleva a la condición de que x o que f(x) engan que ser igual a cero. Esa es la idea principal derás de la MCP. En el caso en el que no enemos una única x sino un vecor x = ( x 1,x 2, L,x n ), exisirá un sisema de n ecuaciones del ipo xf ( x) = 0 que conforman un problema MCP. La palabra "mixo" en MCP refleja el hecho de que la solución es una mezcla de igualdades f(x) = 0 y de desigualdades f(x) > 0. Mahiesen [1985] demosró que el modelo de equilibrio económico de Arrow-Debreu puede ser represenado como un MCP, en el cual deben saisfacerse res ipos de desigualdades: una condición de beneficio cero, una condición de vaciado de mercado y una condición de balance de ingresos. En la solución de un problema MCP se involucran res variables no negaivas: precios, canidades (que en MPSGE se denominan niveles de acividad) y niveles de ingresos. La condición de beneficio cero requiere que cualquier acividad que opera a inensidad posiiva debe generar beneficios puros nulos (es decir, el valor de los insumos debe ser mayor o igual que el valor de los producos). Los niveles de acividad y para secores de rendimienos consanes a escala son las variables asociadas a esa condición. Eso implica que y > 0 (se produce una canidad posiiva de y) y el beneficio es cero o bien que el beneficio es negaivo y y = 0 (ningún nivel de producción oma lugar). En érminos de MCP, la siguiene condición debe saisfacerse para cada secor en una economía: beneficio 0, y 0, produco T ( beneficio) = 0 La condición de vaciado de mercado requiere que cualquier bien con precio posiivo debe exhibir un balance enre su ofera y su demanda y que cualquier bien con exceso de ofera debe mosrar precio cero. El vecor de precios p (que incluye los precios de los bienes finales, de los bienes inermedios y de los facores de producción) es la variable asociada. En érminos de MCP, la siguiene condición debe ser saisfecha para cada bien y cada facor de producción: Ofera Demanda 0, p 0, p T (Ofera Demanda) = 0 La condición de balance de ingresos requiere que para cada agene (incluyendo enidades gubernamenales) el valor del ingreso iguale al valor de las doaciones. Es posible formular esa condición den érminos de MCP: (doación - ingreso) 0, ingreso 0, ingreso T (doación-ingreso) = 0 En cualquier caso, el ingreso usualmene no es igual a cero y la condición doación-ingreso = 0 se saisface como igualdad. Como al, el balance de ingresos es más definicional que de complemenariedad. 7 Una expresión escria como x T y=0 significa que x i y i = 0, para odo i=1,..., n. Las variables x i y y i se denominan par complemenario y se dice que son complemeno una de ora.

6 Moviéndose de Modelos Esáicos a Dinámicos 6 A fin de ilusrar las condiciones de equilibrio, considere el ejemplo del País de las Maravillas. Por razones que serán obvias más adelane, se inroducirá el secor producivo W que represenará la uilidad derivada del consumo de X y de Y. De manera paralela, P w es el precio de la producción del secor W. En primer lugar, considere las condiciones de beneficio cero. En el ejemplo del País de las Maravillas, un nivel de acividad y es un vecor con los siguienes componenes y = (X,Y,W). El beneficio en un secor paricular esá definido como la diferencia enre el ingreso oal y el coso oal. Asumiremos que los niveles de acividad X,Y y W son posiivos (o sea, la condición y 0 se cumple con desigualdad esrica y >0). De esa forma, las condiciones de beneficio cero (( beneficio) = 0) pueden escribirse como: (P x - C x (w,r)) = 0 (1) (P y - C y (w,r)) = 0 (2) (P w - e(p x,p y )) = 0 (3) donde C x y C y son las funciones de coso uniario correspondienes a X e Y (el coso de producir una unidad de un bien a los precios w y r de los facores); e es la función de coso (gaso) uniario de W (el coso de comprar una unidad de uilidad a los precios P x y P y ). La condición de vaciado de mercado requiere que, en presencia de precios posiivos, las oferas deben ser iguales a las demandas. Eso se represena mediane las siguienes ecuaciones X Y e = W (4) P x e = W (5) P y I W = (6) P w C C x y L = X + Y (7) w w C C x y K = X + Y (8) r r En el lado de la demanda, las derivadas parciales e/ P i, C i / w, y C i / r represenan el Lema de Shephard 8. La condición de balance de ingresos esablece que el valor de las doaciones debe igualar el ingreso del consumidor: wl + rk = I (9) MPSGE resolverá nueve ecuaciones (1-9) para nueve incógnias: niveles de acividad, X,Y,W; precios, P x, P y, P w, w y r; y el ingreso I. Debe noarse que las condiciones de equilibrio son difíciles de formular en forma explícia en cieros problemas. Las buenas noicias para un usuario de MPSGE consisen en que uno no necesia gasar iempo en la derivación de las condiciones de equilibrio. MPSGE las consruye auomáicamene. Sin embargo, siempre es úil enender lo que la represenación de un modelo MPSGE 8 Para mas información sobre el Lema de Shephard ver, por ejemplo, Varian [1992].

7 Moviéndose de Modelos Esáicos a Dinámicos 7 paricular represena 9. A efecos de comparación, en el Apéndice 2 se presenan formulaciones alernaivas de un modelo sencillo de reforma fiscal y comercio inernacional (Shoven y Whalley [1984]) ano en MPSGE como en su forma algebraica (formulación MCP). En el documeno de Ruherford es posible hallar una represenación MCP del modelo de Ramsey. A fin de correr un programa MPSGE, se necesia de solvers MCP. GAMS incluye dos de esos: MILES y PATH. El palabras de Tom, MILES es su niño abandonado, lo cual deja a PATH como primera opción. 3 Un Modelo Esáico En la sección anerior se ha discuido brevemene la manera como MPSGE encuenra un equilibrio. Es bueno saber que MPSGE lo hará no como un problema de opimización sino, más bien mediane el hallazgo de un equilibrio en un sisema de inecuaciones. En cualquier caso, al crear un programa MPSGE sencillo el usuario no necesia saber eso. Para el principiane, lo que es de mayor imporancia es la sinaxis del lenguaje MPSGE 10. Una gran venaja de MPSGE es que esá basado en funciones anidadas de uilidad y de producción de elasicidad de susiución consane (CES) 11. El uso de funciones anidadas puede proporcionar una represenación flexible de cómo las enradas se relacionan. Para inroducir la sinaxis MPSGE 12, consideraremos de nuevo el ejemplo del País de las Maravillas descrio en la sección 2. El programa GAMS- MPSGE del modelo esáico del País de las Maravillas (move1_1.gms) se regisra en el Apéndice 3. Los modelos económicos se basan en daos que a su urno se organizan de manera usual en Marices de Conabilidad Social (SAM) 13. Asumiremos la siguiene información, represenada en la Tabla 1 en la cual la SAM iene res secores producivos X, Y y W (se declaran en el bloque $SECTORS del programa MPSGE), un consumidor (declarado en el bloque $CONSUMERS), y cinco mercados X, Y, W, L y K (declarados en el bloque $COMMODITIES). Dado que las variables asociadas a los bienes son sus precios, usualmene empiezan con la lera P. Secores Producivos Consumidores Mercados X Y W CONS PX PY PW PL PK Tabla 1. Una SAM para un modelo esáico (ejemplo del País de las Maravillas) Una SAM describe un conjuno de daos usualmene conocido como base de SAM de benchmark. Los números represenan valores (precios por canidades) de las ransacciones económicas en momeno deerminado. Una enrada posiiva represena el valor de la producción (o las venas). Una enrada negaiva refleja el valor de un insumo (o las compras). Las condiciones de beneficio cero, de vaciado de mercado y de balance de ingresos implican suma cero a lo largo de filas y columnas. Para ilusrar como se balancea la SAM, considere las siguienes filas y columna de la Tabla 1. El secor producivo X adquiere 40 unidades 14 de rabajo y 60 de capial y vende 100 unidades del bien X. La suma a lo largo de la columna X es igual a cero. Eso muesra que no exisen excesos de beneficios (beneficio cero) en el secor X. La fila PX muesra que las 100 unidades de X producidas y vendidas (la enrada posiiva 9 La primera vez que vi un código MPSGE me dije: "necesio ver el álgebra subyacene". Poseriormene comprendí que la represenación MPSGE es mucho más araciva e inuiiva que la formulación algebraica. Así, ahora, aquella buena persona siempre sonrie cuando digo "No quiero ver esas feas ecuaciones MCP, muésreme un código de MPSGE". 10 La sinaxis del MPSGE puede enconrarse en hp://debreu.colorado.edu/mainpage/mpsge.hm 11 Vea el Apéndice 1 para ejemplos de conversón de diferenes funciones al formao MPSGE. 12 En el raamieno de modelos simples esáicos y dinámicos, muchas caracarísicas del MPSGE no serán discuidas. Para prácica adicional, vea los ejemplos de Mrjusen (Markusen y Ruherford [1995]), disponibles en: hp://nash.colorado.edu./omruh/6433/markusen.hm. 13 Para más información sobre cómo converir daos de insumo-produco en modleos MPSGE, ver Ruherford y Palsev [1999]. 14 Asegúrese de recordar que las unidades represenan aquí el valor, eso es, precios por canidades.

8 Moviéndose de Modelos Esáicos a Dinámicos 8 de 100) son consumidas por el secor W (la enrada negaiva de 100). La suma a lo largo de la fila PX es igual a cero. Eso represena la igualdad enre ofera y demanda (vaciado de mercado) para el bien X. Por sencillez, algunas veces se adopa la convención de Harberger en una SAM de benchmark. Esa consise en normalizar odos los precios a 1. Así, las canidades en la SAM represenan gasos, o cuano de un bien o facor se puede comprar con $1. Debe noarse que una economía Arrow-Debreu depende únicamene de los precios relaivos. Al doblar odos los precios se doblan los beneficios monearios y el ingreso, lo cual resula en la misma solución para las canidades (o niveles de acividad). Los precios absoluos no ienen impaco en el equilibrio resulane. Como ya se habrá noado, MPSGE no requiere que el usuario formule la represenación algebraica de las funciones de producción y uilidad. El usuario solo necesia proporcionar las canidades de referencia, los precios de referencia y las elasicidades. Basado en la información provisa, MPSGE consruye las funciones de producción y de uilidad subyacenes. En la solución, MPSGE reorna los valores de equilibrio para las variables, descrias en $SECTORS, $COMMODITIES, y $CONSUMERS. En el ejemplo del País de las Maravillas, exisen dos producos (X y Y), dos facores (L y K) y un consumidor (CONS). Una fila y columna exras (PW y W) se incorporan para represenar explíciamene la uilidad derivada del consumo agregado. Como discuiremos poseriormene, eso pudo haberse hecho direcamene en el bloque $DEMAND 15. El programa empieza con una declaración del íulo que habrá de ser impreso en el lisado de la solución. Usualmene sigue la declaración de escalares, parámeros y conjunos en el formao GAMS. No necesiamos incluirlos en nuesro modelo esáico simple. La siguiene porción esá en formao MPSGE. $ONTEXT $MODEL:NAME Esos dos bloques conmuan el conrol del GAMS al compilador del MPSGE. El usuario escoge el nombre del modelo. Por ejemplo, nuesro modelo se llama MOVE1_1. El nombre del modelo debe ser un nombre de archivo legíimo pueso que se generará un archivo NAME.GEN (MOVE1_1.GEN). $SECTORS: En ese bloque se declaran los secores producivos. Deerminan como los insumos son converidos en producos. Aquí, las variables son niveles de acividad y esán asociadas a las condiciones de beneficio cero (asegúrese de que un secor producivo obiene beneficios cero). En el modelo del país de las maravillas, enemos res secores: X, Y, y W. Es posible hacer comenarios en la misma linea luego de la marca!. $COMMODITIES: Los bienes se declaran en ese bloque. Las variables aquí son los precios. Esán asociados a las condiciones de vaciado de mercado (es preciso garanizar que las oferas son iguales a las demandas). Tenemos cinco bienes: dos precios de producos PX, PY, dos precios de facores, PK, PL y un índice de precios PW para el bienesar (es decir, la uilidad derivada del consumo agregado) $CONSUMERS: Aquí se describen los consumidores que ofrecen los facores y perciben uilidad. La variable aquí es el ingreso proveniene de odas las fuenes. Esá asociado con la condición de balance de ingresos. (hay que garanizar que el ingreso oal es igual al consumo oal (o demanda oal)). En nuesro caso enemos un único consumidor represenaivo, CONS. $PROD: El bloque de producción consruye la función subyacene de producción (la regla mediane la cual los insumos son converidos en producos). Los secores y los bienes uilizados en un bloque de producción deben ser declarados en los bloques respecivos. Considere el primer bloque de producción, para X (los bloques de producción para Y y W ienen una esrucura similar): $PROD:x s:1 15 Sin embargo, un bloque separado para la uilidad resula úil en la inroducción de un impueso sobre el consumo y para el análisis de bienesar.

9 Moviéndose de Modelos Esáicos a Dinámicos 9 O:PX Q:100 I:PL Q:40 IPK Q:60 Ese bloque describe una función de producción Cobb-Douglas (lo podemos ver gracias a s:1 que significa que la elasicidad de susiución enre facores es igual a 1). Los insumos aquí son PL y PK (que podemos observar de I:PL y I:PK). El produco es PX (O:PX). Ese secor producivo conviere 40 unidades de PL y 60 unidades de PK en 100 unidades de PX. Maemáicamene, la función de producción para esa ecnología puede ser escria como X = φl K (Vea el Apéndice 1 para la conversión de funciones de producción y uilidad en el formao MPSGE). La figura 1 ilusra la calibración de una función de producción a los precios y canidades de referencia. Fig.1. Calibración de la Función de Producción MPSGE especifica la función de producción con un solo puno de referencia. En ese ejemplo hemos especificado explíciamene solamene las canidades. Los precios de referencia se fijan en 1 por defeco. Los precios relaivos de los insumos deerminan la pendiene de la isocoso (que a su vez es igual a la pendiene de la isocuana en las canidades de referencia). Eso significa que nuesro bloque de producción es idénico a: $PROD:X s:1 O:PX Q:100 P:1 I:PL Q:40 P:1 I:PK Q:60 P:1 La curvaura de la isocuana esá deerminada por s, la elasicidad de susiución enre insumos (s:1 corresponde a una función de producción Cobb-Douglas). El valor por defeco de la elasicidad es cero. Las canidades y precios de referencia son uilizados únicamene en la calibración. El solucionador no los uiliza como valores iniciales de las variables. El bloque de producción Y es similar al bloque de producción de X. El bloque de producción de W (Bienesar) sirve como herramiena de conversión de los bienes X e Y en uilidad derivada del consumo agregado. En ese modelo simple hemos inroducido ese bloque de

10 Moviéndose de Modelos Esáicos a Dinámicos 10 producción a efecos de claridad únicamene. Podríamos haber eliminado el bloque de producción W y haber cambiado el de demanda en 16 $DEMAND:CONS D:PX Q:100 D:PY Q:100 E:PL Q:100 E:PK Q:100 De cualquier manera, en modelos más complicados, la represenación del bienesar como un bloque de producción puede resular de uilidad (por ejemplo en el análisis de un impueso al consumo). $DEMAND: El bloque de demanda represena las resricciones de balance de ingresos. $DEMAND:CONS D:PW Q:200 E:PL Q:100 E:PK Q:100 Un consumidor recibe ingresos de sus doaciones de L y K (E:PK y E:PL) y demanda PW bienes (D:PW). Las canidades de referencia (los campos Q) se uilizan en la calibración de la función de uilidad de la misma forma que el bloque de producción calibra la función de producción. $OFFTEXT $SYSINCLUDE mpsgese NAME Esos dos bloques hacen que MPSGE devuelva el conrol a GAMS. NAME.ITERLIM = 0; Ese comando deermina el número de ieraciones. Con el límie de ieraciones en cero, se le pide al solucionador no que resuelva el modelo sino que reorne los valores en los cuales los daos iniciales esán basados. Es imporane fijar el límie de ieraciones en cero es imporane al asegurar que la información de referencia (la información descria en una SAM) represene una solución de equilibrio. $INCLUDE NAME.GEN SOLVE NAME USING MCP; Esos dos bloques se uilizan para correr el modelo. La solución del modelo esáico (reporado en un archivo de lisado (move1_1.ls)) es: LOWER LEVEL UPPER MARGINAL VAR X INF. VAR Y INF. VAR W INF. VAR PX INF. VAR PY INF. VAR PL INF. VAR PK INF. VAR PW INF. VAR CONS INF. En la solución, las columnas LOWER y UPPER muesran los límies de las variables. El cero se represena con ".". INF significa infinio. La columna LEVEL repora el valor de solución. La columna 16 Vea el código del programa move1_2.gms en el Apéndice 3. Es posible correrlo para comparar los resulados move1_1.gms.

11 Moviéndose de Modelos Esáicos a Dinámicos 11 MARGINAL muesra el valor de la variable de holgura (sombra) complemenaria. Es preciso presar suficiene aención al las columnas LEVE y MARGINAL. La holgura complemenaria implica que en equilibrio el valor de la variable será posiivo o que el valor del marginal lo sea, pero no ambos. Si los dos son posiivos, necesiamos chequear nuesro modelo. LA solución de nuesro modelo esáico nos dice que la información de referencia (represenada en la SAM) es consisene con el equilibrio del modelo. Podemos verificar eso porque odos los marginales son iguales a cero luego de la réplica del la referencia (es decir, luego de resolver el modelo con ITERLIM=0). Los niveles de acividad de equilibrio X, Y y W son iguales a 1 (y no a 100,100 y 200 como en la SAM!). Los precios de equilibrio son iguales a 1. El nivel de ingreso de equilibrio del consumidor represenaivo es igual a 200. Es algo confuso para los que comienzan el que los niveles de acividad en la solución sean odos iguales a 1. Eso es jusamene debido al reescalamieno y se hace con el propósio de análisis fuuros de experimenos conrafacuales en los cuales el usuario puede ver fácilmene el porcenaje de cambio de un valor desviado de 1. Si deseamos ver los niveles de acividad sin escalar, necesiamos muliplicar los niveles de la solución por los campos Q: en los bloques de producción. Por ejemplo, para el nivel de acividad X, eso es igual a 1*100=100. Hay oras maneras de obener los niveles de acividad acuales en el lisado de solución. Una forma posible se reescalar los bloques de producción y asignar valores iniciales de las acividades según se hace en el programa move1_3.gms. La solución en ese caso replica direcamene los daos de referencia: LOWER LEVEL UPPER MARGINAL VAR X INF. VAR Y INF. VAR W INF. VAR PX INF. VAR PY INF. VAR PL INF. VAR PK INF. VAR PW INF. VAR CONS INF. En cualquier caso, por razones numéricas, es aconsejable escalar los valores de equilibrio a números cercanos a la unidad. Es por eso que es mejor uilizar un bloque REPORT como se ilusra en el programa move1_4.gms, en el cual la SAM inicial se recrea uilizando los valores reporados. Todos los valores iniciales de los niveles de acividad y de los precios son iguales a 1 por defeco. La variable CONS, que represena el nivel de ingreso de un consumidor es más bien diferene. Esa se encuenra deerminada por las doaciones. Recuerde de la condición de balance de ingresos que el ingreso es igual al valor oal de las doaciones y, a su urno, igual a la demanda oal. En el caso del modelo esáico es igual a 200 porque la doación de capial (E:PK) es 100, la doación de rabajo (E:PL) es 100, y los precios, PK y PL son iguales a 1 por defeco. Como se habrá noado, el modelo solo deermina precios relaivos. Así, si asignamos a odos los precios iniciales el valor 2, la variable CONS será calculada de manera que sea igual a 400. Podemos chequear eso modificando el modelo esáico. Los niveles iniciales de precios pueden ser asignados luego de $SYSINCLUDE mpsgese NAME pero anes del comando $INCLUDE NAME.GEN de la siguiene manera: PX.L = 2; PY.L = 2; PW.L = 2; PK.L = 2; PL.L = 2; De esa forma el lisado de solución mosrará un incremeno en odos los precios y en el nivel de ingreso.

12 Moviéndose de Modelos Esáicos a Dinámicos 12 LOWER LEVEL UPPER MARGINAL VAR X INF. VAR Y INF. VAR W INF. VAR PX INF. VAR PY INF. VAR PL INF. VAR PK INF. VAR PW INF. VAR CONS INF. Gracias a que solo se deerminan precios relaivos, usualmene uno de los precios es fijado por el usuario. Si ningún precio se predeermina fijo inicialmene (eso es, ningún bien se escoge como numerario), el MPSGE hará una normalización. En el caso de nuesro modelo esáico, el nivel de ingreso del consumidor CONS es el que fija. Eso puede observarse en el lisado de solución (.ls) al mirar el mensaje Defaul price normalizaion using income for CONS. El modelo puede ambién ser especificado en un formao diferene. En lugar de usar números en los campos de precios y canidades, pudimos haber inroducido parámeros al comienzo de programa y uilizarlos para la calibración en los campos de los bloques de producción y de demanda. Un ejemplo de esa sinaxis vecorial se presena en el programa move1_5.gms. Luego de la calibración de la referencia, se efecúan experimenos conrafacuales (por ejemplo, la inroducción de impuesos o cambios en la doación de rabajo). Es imporane recordar cambiar el límie de las ieraciones anes de correr los conrafacuales, lo cual se logra con un comando GAMS como NAME.ITERLIM=2000;. El solucionador se deendrá an prono como el límie se haya alcanzado, si no se ha enconrado solución anes del número de ieraciones definidas por el usuario. En ese documeno, no describiremos ningún conrafacual con nuesro modelo esáico 17. Nuesro inerés aquí es diferene y consise en converir un modelo esáico en uno dinámico. 4 Modelos Dinámicos Cuando empecé a aprender modelaje económico inmediaamene deseé consruir un modelo dinámico. Quería predecir el fuuro pues, qué clase de predicciones uno puede hacer con un modelo esáico? Poseriormene enendí que mis inenos de modelar dinámica eran como desear consruir una nave espacial con un desornillador. De hecho esperaba demasiado de los modelos dinámicos si bien su poencial esá muy lejos de predecir el fuuro. Un modelo puede decirle, más o menos, lo que va a pasar si no hay choques ni cambios esrucurales en la economía. En adición, uno requiere hacer supuesos acerca de la asa de crecimieno económico en varias décadas en el fuuro, la asa de preferencia ineremporal, la asa de crecimieno poblacional, la inflación, la depreciación, ec. Todos esos supuesos necesarios nos llevan bien apare de la realidad. Pero aquellos que hacen la políica necesian omar decisiones así como los economisas necesian proporcionar respuesas acerca del fuuro. Como consecuencia, los modelos de equilibrio general dinámicos son imporanes herramienas para la evaluación de la políica pública. Pero ahora se que es mucho mas informaivo desarrollar un buen modelo esáico que consruir uno dinámico pobre (y hasa ahora, nunca he viso un buen modelo dinámico). Con esa moivación, inenaremos desarrollar un modelo dinámico basado en el ejemplo del País de las Maravillas. Exisen diferenes aproximaciones al modelaje económico dinámico (ver Ginsburgh y Keyzer [1997] para una panorámica). Limiaremos nuesra discusión al modelo simple de Ramsey. El modelo se compora de manera diferene si se encuenra o no en lo que se llama esado esacionario. El esado esacionario se define como una siuación en la cual las diferenes canidades (capial, produco, consumo, ec.) crecen a asas consanes. Empezaremos nuesras consideraciones con una siuación en la cual la información de referencia describe una economía en esado esacionario en el período base. 17 Vea los ejemplos de Markusen para précivar (Markusen y Ruherford [1995]).

13 Moviéndose de Modelos Esáicos a Dinámicos Una economía en esado esacionario en el período base En la versión dinámica del ejemplo del País de las Maravillas, el consumidor represenaivo maximiza el valor presene de la uilidad de su plazo de vida 1 max U ( c ) (10) = 0 1+ ρ donde son los períodos de iempo, ρ es el facor ineremporal de descueno, U es la función de uilidad, y c es el consumo del período. El consumidor enfrena diversas resricciones. Primero, el produco oal de la economía se divide en consumo e inversión, I. Segundo, el capial se deprecia a la asa δ. Tercero, la inversión no puede ser negaiva. Esas resricciones pueden escribirse de la siguiene forma: c ( K,L ) I F (11) ( 1 ) I K + 1 = K δ + (12) I 0 (13) donde K es el capial y F represena la función de producción. Al resolver el problema de maximización de la uilidad obenemos las siguienes condiciones de primer orden: PK P 1 = 1+ ρ ( ) PK U c ( c ) F P ( K,L ) (14) = 1 δ +1 + (15) K P (16) = PK+1 donde P, PK, y PK +1 son los valores de los muliplicadores de Lagrange correspondienes. Esos pueden ser inerpreados como el precio del produco, el precio del capial hoy y el precio del capial mañana respecivamene. El problema de maximización anerior esá formulado como un problema de NLP. Como ya se ha discuido, MPSGE lo resuelve como un problema MCP. Sean RK y W la asa a la que se rena el capial y la asa de salario en el período. Denoemos la función de coso uniario como C( RK, W ) y la función de demanda como D( P, I ), en la cual M es el ingreso de consumidor. Así, el MCP puede formularse como sigue. una función de coso uniario y una función de demanda, respecivamene, en la cual I es el ingreso del consumidor. El modelo, en formao MCP es como sigue: Condiciones de beneficio cero:

14 Moviéndose de Modelos Esáicos a Dinámicos 14 P PK I 0, I [ P PK ] 0 (17) + 1, + 1 = PK RK + ( = 1 δ ) PK, K 0, K [ PK RK + (1 δ ) PK ] 0 (18) C ( RK, W ) P, Y 0, Y [ C( RK, W ) P ] = 0 (19) Condiciones de vaciado de mercados: Y D( P, M ) + I, P 0, P [ Y D( P, M ) + I ] = 0 (20) ( RK, W ) C( RK, W ) C L Y, W 0, W [ L Y ] = 0 (21) W W ( RK,W ) C( RK,W ) C K Y,RK 0,RK [ K Y ] = 0 (22) RK RK Condición de Balance de Ingresos: 0K0 + W L, M > 0 = 0 M = PK (23) Como ya se anoó, el modelisa no necesia programar esas condiciones de equilibrio explíciamene. MPSGE las consruye auomáicamene. Sin embargo necesiamos describir el cambio en el capial a lo largo del iempo. Eso requiere la modificación de la SAM, presenada en la Tabla1. Adicionaremos un secor de producción adicional para la inversión. Eso, a su vez, habrá de modificar la composición del bloque de bienesar W, porque el nuevo produco podrá ser consumido o inverido, en lugar de ser solamene consumido, como en el caso esáico. En el ejemplo del País de las Maravillas, un esado esacionario requiere que la inversión sea igual a 70. Cómo llegamos a esa cifra?. A fin de cuanificar el valor de la inversión en la senda de crecimieno de esado esacionario, se precisa describir la evolución del capial y del rabajo a lo largo del iempo. Eso requiere supuesos acerca de la asa de crecimieno, g, la asa de depreciación del capial, d, y la asa de inerés, r. Siendo la fuerza de rabajo inicial L 0, el empleo en el momeno es: o, en forma equivalene, ( g) L = L0 1+ (24) ( + g) L 1 L (25) = 1 La evolución del capial esá dada por la ecuación (12). Noe que si en el período base una economía se encuenra en una senda de crecimieno de esado esacionario, odas las canidades (capial, rabajo, producción, consumo) crecen a la misma asa consane g (el caso de no esado esacionario se considera en la siguiene sección). Como al, la ecuación para el crecimieno del capial puede ser represenada de la siguiene manera + = 1 ( ) K K 1 + g (26)

15 Moviéndose de Modelos Esáicos a Dinámicos 15 En adición supondremos una asa de inerés consane r, de forma que odos los precios fuuros (incluyendo los del rabajo y el capial) serán, en valor presene: P P + 1 = (27) 1+ r El capial puede ser comprado o renado. Por consiguiene la implemenación de la dinámica involucra dos precios para el capial: el precio de compra, PK, y el precio de su arrendamieno, RK. Debe enfaizarse que en una SAM esáica (Tabla 1), el valor oal de las doaciones de capial, VK (observe la inersección PK y CONS en la Tabla 1 para verificar que VK = 100), equivale a sus reornos ( y no al acervo!). La relación enre VK, el precio de rena RK y el sock de capial es: VK = K RK (28) Necesiamos ahora considerar las condiciones de primero orden para el capial y la inversión. Rescribámoslas de la siguiene forma: y ( ) PK RK PK 1 δ + (29) = +1 La Ecuación (30) puede reordenarse uilizando la ecuación (27) para PK: PK +1 = P (30) ( ) P PK = 1 + r (31) Susiuyendo la ecuación (31) para PK y la ecuación (30) para PK +1 en (29), enemos que Como al, la ecuación del precio de rena del capial es 18 : ( + r ) P = ( 1 δ ) P + RK 1 (32) ( ) P RK = δ g (33) De las ecuaciones (12) y (26) derivamos la siguiene regla para la inversión de esado esacionario ( ) K o uilizando (28) y (33), la inversión en el período base es igual a I = δ + g (34) 18 Haciendo P()=1, la ecuación para RK iene perfeco senido económico porque si el capial y oros acivos son susiuos perfecos, los hogares pueden ambién recibir la asa de inerés r por su présamo a oros hogares. El capial sin embargo, se deprecia a la asa δ. Así, r=rk-δ, o RK = δ + r que es lo que aparece en la ecuación (33).

16 Moviéndose de Modelos Esáicos a Dinámicos 16 ( + g) δ VK0 I 0 = (35) δ + r La ecuación (35) describe el valor de la inversión que necesiamos inroducir en la SAM para una senda de crecimieno de esado esacionario. Asumiremos 19 δ = 0.05, g = 0.02, y r = Por consiguiene, la inversión es I = ( ). 100/( ) = 70. Supondremos que los bienes se invieren en la misma proporción (35:35). En adición, necesiamos modificar el bloque de bienesar W dividiéndolo enre consumo y ahorro. El mono oal de bienes producidos es 200, 70 del cual se inviere. Eso deja 130 unidades para el consumo en el periodo base, 65 que consiuyen el consumo del bien X y oros 65 que represenan el consumo del bien Y. La SAM de referencia luego de esos cambios se presena en la Tabla 2. Secores Producivos Consumidores Mercados X Y W inv CONS PX PY PW PL PK sav Tabla 2. SAM para el modelo dinámico Una caracerísica imporane del problema dinámico es el raamieno del capial en el úlimo período de modelamieno. No es posible obener soluciones numéricas para un número infinio de períodos así que se necesia efecuar algunos ajuses para aproximar un modelo de horizone finio a las elecciones en un horizone infinio. Deben inroducirse procedimienos especiales pare el capial erminal o, en oro caso, odo el capial será consumido en el úlimo período y nada habrá de ser inverido. Hemos seguido el documeno de Ruherford, incorporado el nivel del capial poserminal como una variable y adicionado una resricción a la asa de crecimieno de la inversión en el período erminal: I I T Y = Y T T 1 T 1 (36) donde T es el período final. La venaja del uso de esa resricción es que impone un crecimieno balanceado en el período erminal pero no requiere que el modelo logre el crecimieno de esado esacionario. El significado de la resricción es que la inversión en el período final debe crecer a la misma asa que el produco 20. El código del modelo dinámico se presena en el Apéndice 3 (archivo move2_1.gms). A coninuación se lisan y discuen los cambios que es necesario inroducir en el código del modelo esáico. 1. Inroducción de los conjunos de iempo; 2. Declarar las asas de inerés, de crecimieno y de depreciación supuesas; 3. Declarar cuaro o más escalaras: la asa de rena del capial en el período base, RK0, el sock de capial inicial, K0, la inversión inicial I0, y los reornos del capial iniciales VK; 4. Declarar dos parámeros que represenen la asa de crecimieno de las canidades, QREF, y la asa de crecimieno de los precios PREF; 19 Debe enerse en cuena que la condición de ransversalidad requiere que r > g; en caso conrario, exise la posibilidad de un proceso de présamos en cadena (para una discusión deallada ver, por ejemplo, Barro y Sala-i-Marin [1995]). 20 Como odas las canidades crecen a la misma asa, es posible uilizar la asa de crecimieno del produco oal, del produco en un ciero secor producivo o del consumo (o simplemene 1 + g en el caso de esado esacionario) como variable en el lado derecho de la ecuación (36).

17 Moviéndose de Modelos Esáicos a Dinámicos Inroducir dos nuevos bloques de producción: acumulación de capial, K, e inversión, I; 6. Cambiar las canidades de referencia en el bloque $PROD:W: 130, 35, 65 en lugar de 200, 100, 100 a fin de represenar el ajuse en el nivel de consumo en el período base; 7. Cambiar las canidades de referencia en el bloque $DEMAND: el consumo en el año base es 130 en lugar 200 y el sock de capial del año base es K0 en lugar de 100 (que era una represenación del reorno del capial, VK); ajusar las doaciones de rabajo y el consumo a las asas de crecimieno QREF y PREF; 8. Inroducir el capial erminal en los bloques $AUXILIARY, $CONSTRAINT y $DEMAND; 9. Asignar los valores iniciales Inroducción de conjunos de iempo. La inroducción de conjunos de iempo requiere res conjunos T, TFIRST y TLAST; el código GAMS es: SET T /1*10/, TFIRST(T), TLAST(T) ; TFIRST(T) = YES$(ORD(T) EQ 1); TLAST(T) = YES$(ORD(T) EQ CARD(T)); En la primera linea se declaran los conjunos. Tenemos 10 períodos. Dada la imporancia de los períodos base TFIRST y erminal TLAST, esos se declaran en conjunos separados (subconjunos de T). Las dos líneas siguienes asignan los valores para el primer y el úlimo períodos. Eso se hace de una manera que puede parecer un poco complicada para un novicio en GAMS. El propósio de eso es conveniencia pues permie cambiar la dimensión iempo en una única línea. Por ejemplo, la exensión del modelo a 100 períodos requiere solo de cambiar T a /1*100/. Declaración de parámeros supuesos. Supondremos g = 0.02, d = 0.05, y r = Los siguienes comandos GAMS logran esas declaraciones. SCALAR DELTA FACTOR DE DESCUENTO /0.05/ R TASA DE INTERES /0.05/ G TASA DE CRECIMIENTO /0.02/; Declaración de los parámeros iniciales para capial e inversión. Asignamos direcamene el valor del reorno inicial del capial, VK, así: SCALAR VK RETORNO INICIAL DEL CAPITAL /100.0/; De igual manera, de las ecuaciones (33), (28), y (34) los valores para RK0, K0 e I0 son RK0 = DELTA+R; K0 = VK/RK0; I0 = (DELTA + G) * K0; Declaración de asas de crecimieno para precios y canidades. Ese paso implemena las ecuaciones (26) y (27) para las asas de crecimieno en canidades y precios, que son: QREF(T) = (1 + G) ** (ORD(T) - 1); PREF(T) = (1/(1 + R)) ** (ORD(T) - 1);

18 Moviéndose de Modelos Esáicos a Dinámicos 18 Se iene como exponene ORD(T)-1 a fin de represenar el hecho de que en el año base QREF y PREF son iguales 1, momeno a parir del cual crecen. Bloques de producción para el capial y la inversión. El nuevo bloque de producción para K(T) implemena la acumulación de capial según represenación en la ecuación (29). El formao MPSGE para ese bloque de producción es (omiimos el capial erminal por el momeno) $PROD:K(T) O:PK(T+1) O:RK(T) I:PK(T) Q:((1-DELTA)*K0) Q:(K0*(DELTA+R)) Q:K0 Aquellos que esán aprendiendo la represenación MPSGE del modelo dinámico de Ramsey suelen confundirse con la canidad de referencia RK(T). La diferencia con la ecuación (29) es que en el bloque de producción la canidad de referencia para el precio de rena del capial 21 es K0*(R+DELTA), así como en la ecuación (29) (r+δ) no aparece como coeficiene de RK. El modelo dinámico puede no calibrar con esa canidad de referencia. La razón de eso es el hecho de que RK se uiliza en diferenes bloques de producción: X, Y, y K y necesiamos reflejar la relación enre RK y P dada por la ecuación (33). Alernaivamene pudimos haber uilizado K0 en referencia del precio para O:RK(T) y asignar el crecimieno del precio de arrendamieno como RK.L(T) = (DELTA+R)*PREF(T);, pero en ese caso los campos de enrada de los bloques de producción de X e Y deben ambién cambiarse según se represena en el programa move2_2.gms del Apéndice 3. El bloque de producción I inroduce la ecuación (30). Supondremos que la inversión se divide por igual en dos secores producivos. $PROD:I(T) S:0 O:PK(T+1) I:PY(T) I:PX(T) Q:I0 Q:(0.5*I0) Q:(0.5*I0) Noe que S:0 corresponde a la función de producción de Leonief, eso es, la elasicidad de susiución enre insumos es igual a cero. Si en un bloque de producción no se especifica ninguna elasicidad, MPSGE uiliza cero como valor por defeco. En consecuencia, S:0 puede ser ignorada en el código de ese bloque. Cambio en el bloque de bienesar. Necesiamos hacer cambios en la producciónde W porque en la versión dinámica del modelo no odo el produco se consume sino que una pare se dirige a la inversión. De la Tabla 2 obenemos los nuevos valores para el produco (Q:130) y los insumos (Q:65). Cambio en el bloque de demanda. Por la misma razón, en el bloque DEMAND se necesia modificar la canidad de referencia correspondiene a PW(T) de 200 a 130. De manera similar, el crecimieno del consumo y el empleo a lo largo del iempo esá represenado por QREF(T). El precio de referencia PREF(T) se usa como el valor del descueno sobre el consumo fuuro dado por la ecuación (19). La inroducción de la preferencia ineremporal de modo individual no es necesaria porque en el modelo de Ramsey, el esado esacionario conduice a un parón consane de consumo percápia y a la condición según la cual ρ = r. Oro cambio en el bloque DEMAND involucra el uso del sock de capial inicial K0 como canidad de referencia para PK(TFIRST), en lugar del valor del capial VK como en el caso esáico. Eso esá deerminado por la condición de balance de ingreso del modelo dinámico. Una modificación más en el bloque DEMAND consise en inroducir una elasicidad de susiución ineremporal s:1. Noe que hemos asumido el caso Cobb-Douglas en nuesro sencillo modelo dinámico. En 21 Noe que K0*(R+DELTA)=VK, de forma que pudimos haber usadi Q:VK como canidad de referencia para O:RK(T).

19 Moviéndose de Modelos Esáicos a Dinámicos 19 general, pudimos haber incluido un escalar SIGMA como parámero de elasicidad y hacer s:sigma (vea el Apéndice 1 para la conversión de funciones de uilidad al formao MPSGE) Resricción sobre el capial erminal. Con el fin de inroducir una resricción en MPSGE, se necesia uilizar dos ipos de bloques acerca de los cuales no se ha discuido aún. Una resricción se declara en un bloque $AUXILIARY y luego se formula en un bloque $CONSTRAINT. En nuesro modelo declaramos una resricción TK. En adición, se inroduce el precio PKT para la inclusión de la inversión del úlimo período. Eso represena el mercado del capial poserminal. El capial poserminal es un produco de los bloques de producción K e I. La condición $TLAST(T) muesra que el capial poserminal se producirá solo en el úlimo período. En los modelos CGE odo aquello que se produce debe ser consumido, de forma que la doación de capial erminal en el bloque $DEMAND se pone en los siguienes érminos E:PKT Q:(-1) R:TK El valor negaivo de la doación represena el hecho de que el capial erminal habrá de ser consumido. El campo R:TK implica que es necesario saisfacer la siguiene condición: SUM(T$TLAST(T), I(T)/I(T-A) - Y(T)/Y(T-1)) =G= 0; Uilizamos el sumaorio, SUM, porque la sinaxis GAMS no permie asignar direcamene un elemeno de un conjuno a una variable que no enga el mismo dominio. Valores Iniciales. Las asignaciones de efecúan luego de la línea $SYSINCLUDE pero anes de la línea $INCLUDE del programa. En nuesro programa asignamos valores iniciales para represenar los valores presenes (los precios se ajusan con PREF(T), dada por la ecuación (27)) y el crecimieno de las canidades (que se ajusan por QREF(T), según se represena en la ecuación (26)). La única excepción es PK.L(T)=(1+R)*PREF(T), que simboliza la ecuación (31). Los valores iniciales para el nivel y el precio del capial erminal se deerminan mediane la misma lógica usada para oros precios y canidades 22 : TK.L = K0 * (1 + G) ** CARD(T); PKT.L = SUM(TLAST, PK.L(TLAST)/(1+R)); El lisado de la solución (corra el programa move 2_1.gms para obenerlo) muesra que odos los marginales son iguales a cero, los niveles de acividad crecen y los precios se reducen a lo largo del iempo. El consumo oal oma el valor de El precio del capial difiere de odos los oros precios en (1 + r). La Tabla 3 resume los resulados 23. Luego de replicar la información de referencia, se pueden efecuar experimenos conrafacuales como la inroducción de impuesos, cambios en las asas de crecimieno, elasicidades, ec. 22 Una formulación alernaiva es TK.L = SUM(TLAST, K.L(TLAST)); y PKT.L = SUM(TLAST, PREF(TLAST)); 23 Puede ser buena prácica para el aprendiz de MPSGE reproducir los resulados de la Tabla 3.

20 Moviéndose de Modelos Esáicos a Dinámicos 20 Tabla 3. Precios y canidades de esado esacionario 4.2. Calibración de Modelos Dinámicos con información de referencia no consisene con esado esacionario La información para el período base puede no ser consisene con una senda de crecimieno de esado esacionario. La Tabla 4 da un ejemplo de una siuación en la cual la inversión es "muy grande", eso es, de la ecuación (35) el valor de la inversión es 80 > ( ). 100/( ) = 70. Tabla 4. SAM para un modelo dinámico fuera del esado esacionario Una posible solución para la calibración del modelo en el caso de información no consisene con el esado esacionario, es asumir que g es la asa de crecimieno del rabajo y que la asa de crecimieno del capial es inicialmene diferene, aunque converge a g a lo largo del iempo 24. Usaremos el méodo de calibración basado en el algorimo de la secane. Ese encuenra la solución de una ecuación f(x) = 0 a parir de: 1. Esimación inicial de x(n), donde n es el número de la ieración. 2. Calculo de x(n + 1) como 25 : 24 Ora forma de calibrar con daos esáicos implica la información dada sobre inversión, asa de inerés y rerono del capial para un año base. La asa de inerés de largo plazo en el esado esacionario esá deerminada por la asa de crecimieno del empleo asumida y la asa de descueno calibrada. 25 La ecuación (37) puede derivarse de la ecuación de la angene: y yn = f ' ( x ). Haga y = 0 y y n = f(x n ), por lo que n x xn f ( xn ). Usando f x = xn ( ) ( xn ) f ( xn 1) f ' xn = obenemos la ecuación (37). f ' x x x ( ) n n n 1