CAPÍTULO VII ECUACIONES CUADRÁTICAS

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1 CAPÍTULO VII ECUACIONES CUADRÁTICAS 7. Ecuciones Cudrátics. Hst quí se hn escogido cuiddos y delierdmente los prolems pr que ls ecuciones otenids se hyn reducido l form linel. Ahor centrremos nuestr tención sore ecuciones que se pueden escriir en l form cudrátic generl... c 0 en l cul ls constntes, y c son números reles y demás 0 Se eponen enseguid dos métodos pr resolver ecuciones cudrátics... Solución de un ecución cudrátic por fctorizción Este método se s en l siguiente propiedd del cero, (vist en l sección - ) Si 0 entonces 0 y/o 0 lo cul signific que si se fctoriz un ecución cudrátic generl en dos fctores lineles, ( y ) entonces sus soluciones se encuentrn igulndo cero cd fctor. Por ejemplo, ddo que l ecución cudrátic 0 0 se fctoriz como... ( ) ( ) 0 ls ríces de ést ecución se hlln igulndo cero cd uno de sus fctores lineles... ( ) 0 de donde se otiene que ( ) 0 de donde se otiene que Precución : No use éste método en ecuciones cudrátics que no estén escrits en l form generl. Por ejemplo, l siguiente plicción de l fctorizción es incorrect ( ) ( ) 7??? ( ) 7 ; ( ) 7 de donde se otienen ls flss "soluciones" 7 ( ) y ( 7 ). Se puede compror fácilmente que éstos vlores pr l vrile no stisfcen l ecución cudrátic inicil... y () ( ) ( ) ( ) Pedro Ferreir Herrejón Ecuciones Cudrátics

2 Ejemplo. Resolver ls siguientes ecuciones cudrátics por fctorizción : ) 9 7 ) 0 c) 9 0 Solución : ) trnsformndo l ecución l form generl : 9 ( 7 ) fctorizndo: ( ) ( ) igulndo cero los fctores lineles : 0 ; 0 ls soluciones de l ecución son : ; ) l ecución dd y tiene l form generl : 0 fctorizndo: igulndo cero los fctores lineles : ( ) 0 0 ; 0 ls soluciones de l ecución son : 0 ; c) l ecución dd y tiene l form generl : 9 0 fctorizndo: igulndo cero los fctores lineles : ( ) 0 0 ; 0 l solución de l ecución está repetid : ; L form cudrátic especil d, con d 0 tiene dos métodos de solución muy sencillos... por fctorizción : Trnsformndo l ecución l form generl. d Fctorizción de un diferenci de cudrdos d 0 d 0 Igulndo cero los fctores lineles. d 0 ; d 0 Soluciones d ; d Pedro Ferreir Herrejón Ecuciones Cudrátics

3 principio de l ríz cudrd. Tomndo l ríz cudrd en mos miemros de l ecución. d Hy dos soluciones pr l ríz cudrd de un número positivo d ; d El siguiente ejemplo muestr que tn efectivos pueden ser éstos principios... Ejemplo. Resolver ls ecuciones cudrátics ) ) ( ) 7 Solución : ) Por el principio de l ríz cudrd se sigue que :, ) ( ) 7 Por el principio de l ríz cudrd se sigue que : 7, de donde se otienen ls soluciones : 7, 7 7 Solución de un ecución cudrátic completndo un trinomio cudrdo perfecto (TCP) L ecución del ejemplo nterior nos conduce un situción muy interesnte. Supong que desrrollmos l ecución ( ) 7 pr otener es decir... 0 Semos que ést últim ecución es equivlente l originl y por lo tnto tiene ls misms soluciones que quéll sin emrgo, ést últim ecución no es fctorizle en los rcionles y no podrímos hllr sus soluciones menos que se pudiesen revertir los psos que nos llevron ell. El procedimiento pr invertir esos psos se llm completr el trinomio cudrdo perfecto. Oserve como funcion en l ecución nterior : Trsldndo l constnte l miemro derecho : Agregndo mos miemros de l ecución el cudrdo de l mitd del coeficiente de : Simplificndo : Un trinomio cudrdo perfecto es el 9 7 cudrdo de un inomio : ( ) 7 Ahor l solución se puede otener plicndo el principio de l ríz cudrd. NOTA : Ddo que es ms fácil fctorizr que completr el cudrdo perfecto, verificr siempre primero si un ecución cudrátic dd es fctorizle ntes de completr su trinomio.. Pedro Ferreir Herrejón Ecuciones Cudrátics

4 PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA COMPLETANDO SU TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Escriir l ecución cudrátic en su form generl : Dividir mos miemros entre el coeficiente de : c 0 c 0 Sumr y restr el cudrdo de l mitd del coeficiente de : c 0 pr otener... Los primeros tres términos dentro del préntesis recto constituyen el cudrdo de un inomio, por lo cul l ecución cudrátic se puede escriir como... c 0 o ien... c Resolver por el principio de l ríz cudrd :. c ; c es decir... c ; c Ejemplo. Resolver l ecución cudrátic 0 completndo el trinomio cudrdo Solución : Se puede verificr que ést ecución no es fctorizle como el producto de dos inomios con coeficientes rcionles. Aplicndo entonces el procedimiento nterior qued : 0 esto es... 0 Pedro Ferreir Herrejón Ecuciones Cudrátics

5 Agregndo y restndo l ecución el cudrdo de l mitd del coeficiente de : 0 Los tres primeros términos de ldo izquierdo constituyen el cudrdo de un inomio : 0 simplificndo Otención de ls soluciones por el principio de l ríz cudrd : 9 9 ; 9 9 Como y se indicó previmente,el procedimiento de completr el cudrdo perfecto permite determinr un fórmul generl pr l solución ecuciones cudrátics. Además, este procedimiento tmién es útil pr trnsformr lguns epresiones lgeráics y simplificr operciones del Cálculo. Por ejemplo... Ejemplo. ( Completndo el cudrdo en epresiones lgeráics ) Trnsformr ls siguientes epresiones un sum o diferenci de cudrdos. ) ) Solución : ) Completndo el trinomio cudrdo perfecto del denomindor se tiene... Agregndo y restndo el cudrdo de l mitd del coeficiente de se otiene : Pedro Ferreir Herrejón Ecuciones Cudrátics

6 Los tres primeros términos de ldo izquierdo en el denomindor, constituyen el cudrdo de un inomio : L diferenci de cudrdos en el denomindor hce que l frcción se fctorice como : ( ) ) El signo negtivo de complic un poco ls coss pr el procedimiento de completr el TCP. Note usted como se mnej est dificultd : Fctorizndo el signo negtivo : Sumdo y restndo el cudrdo de l mitd del coeficiente de : Fctorizndo el trinomio : Quitndo préntesis : 9 Ddo que ést es un diferenci de cudrdos, se fctoriz como el producto de inomios conjugdos. Es por esto que el rdicl se puede escriir tmién como : Ovimente, éste resultdo se puede otener directmente si desde el inicio se fctoriz como: ( ) Pedro Ferreir Herrejón Ecuciones Cudrátics

7 EJERCICIOS 7. I. Resolver ls siguientes ecuciones cudrátics por fctorizción ( ) c c. 0.. p pq q 0 II. Resolver usndo el principio de l ríz cudrd ( ) 8 0. ( ). ( ) ( ). ( 7) ( ) III. Resolver ls siguientes ecuciones cudrátics completndo el trinomio cudrdo perfecto Pedro Ferreir Herrejón 7 Ecuciones Cudrátics

8 ( ) 7. ( ) Respuests (prolems impres). Ejercicios Pedro Ferreir Herrejón 8 Ecuciones Cudrátics

9 c c. q p q p Pedro Ferreir Herrejón 9 Ecuciones Cudrátics

10 7. L Fórmul cudrátic. Como se vio nteriormente, el procedimiento de completr el trinomio cudrdo perfecto (TCP) pr un ecución cudrátic que esté escrit en l form norml c 0, deriv en un resultdo del cul se otienen ls soluciones generles pr culquier ecución cudrátic : c c y Fórmuls que se deen memorizr y comprender. A medid que Usted vnce en mtemátics, encontrrá que primero se present l solución generl de un prolem (el cmino lrgo) y después se otienen de ell técnics ms rápids de solución. (el cmino corto). L solución generl fortlece el entendimiento, ls técnics fortlecen l eficienci. En mtemátics vlormos mos spectos. Notemos que l sum y el producto de ls dos soluciones generles pr un ecución cudrátic son: y c c c c c por ser inomios conjugdos. Simplificndo qued... c c Alguns veces se dese determinr l sum y el producto de ls soluciones de un ecución cudrátic, ntes que sus soluciones propimente dichs. De modo que es importnte recordr los dos resultdos nteriores. TEOREMA Si y son dos soluciones de l ecución cudrátic generl entonces : c y c 0, L cntidd : c que prece jo el signo rdicl en ls solución generl de un ecución cudrátic se llm discriminnte y determin l nturlez de ls ríces de l ecución cudrátic, ddo que l ríz cudrd de un número negtivo no es un número rel (puesto que ningún número rel elevdo l cudrdo es negtivo) Pedro Ferreir Herrejón 0 Ecuciones Cudrátics

11 TEOREMA Ls soluciones de un ecución cudrátic son : 0 c 0 c 0 ) dos números reles distintos si c ) dos números complejos conjugdos si c) un solo número rel si NOTA : Los números complejos se formn con l sum de un número rel y un número imginrio ( un número imginrio es tl que su cudrdo es negtivo ). Los números complejos z tienen l form generl : z j, donde es un número rel y j es un número imginrio, en el cul l constnte j es l unidd de los números imginrios. Se define como j. De éste modo es posile escriir l ríz cudrd de culquier número negtivo en función de j. Por ejemplo : ) ( ) ( ) j ) 8 ( ) ( ) j Ejemplo. Sin resolver ls ecuciones siguientes, determinr cuánts ríces reles tiene cd un ) 0 0 ) 7 0 c) 8 Solución : ) Comprndo ést ecución cudrátic con l form generl : concluye que los coeficientes son : discriminnte vle... c 0 por lo tnto, l ecución ( ) () ( ) c 0 se, 0 y c por lo cul su tiene un sol ríz rel. ) En este cso, por comprción con l form generl, ést ecución cudrátic tiene los coeficientes, 7 y c con lo cul su discriminnte vle : c () 7 ( ) ( ) 9 y por ser negtivo, signific que ls ríces de l ecución son dos números complejos. Pedro Ferreir Herrejón Ecuciones Cudrátics

12 c) Escriiendo l ecución en l form generl se otiene: comprción con l form y por c 0, se deduce que sus coeficientes vlen :, 8 y c 0 y su discriminnte es entonces : c 8 ( ) () ( 0) 0 que por ser un número rel positivo, implic que l ecución tiene dos ríces reles distints. Ejemplo. Resolver ls siguientes ecuciones cudrátics usndo l formul generl. Si el discriminnte es negtivo, escriir ls ríces complejs en l form : ( j) ) 9 ) 0 c) Solución : ) Escrit en form norml, ést ecución cudrátic es : 9 0, de donde se deduce que,, c 9 y por lo tnto, de cuerdo l fórmul generl, sus soluciones son: c () () ( 9) ( ) c () () ( 9) ( ) ) En éste cso los coeficientes de l ecución cudrátic son :,, c por lo tnto : c ( ) 9 ( ) ( ) () ( ) 9 j L otr ríz es el número complejo conjugdo de : ( ) ( ) 9 j c) Pr simplificr el cálculo, fctoricemos un de l ecución inicil es decir Por comprción con l form generl de un ecución cudrátic se deduce que :,, c 9., sí que plicndo l fórmul generl, ls soluciones son... Pedro Ferreir Herrejón Ecuciones Cudrátics

13 c ( ) ( ) () ( 9) ( ) 0 8 y en éste cso l solución es únic porque el discriminnte es cero. Nótese que cundo el discriminnte es un cudrdo perfecto, l ecución cudrátic inicil se puede fctorizr como el producto de dos inomios. Así, en el último ejemplo qued... 9 O tmién en l ecución que en efecto... ( ) 0 0, cuyo discriminnte es () ( ), se tiene ( ) ( ) 0. De ésts epresiones se otienen directmente ls ríces: y, igulndo cero cd uno de los fctores lineles Recomendción : Al resolver un ecución cudrátic, primero trte de fctorizrl. Si eso no funcion, entonces use l fórmul generl, Ést siempre funcion! Ejemplo. (Ojetos en cíd lire) L fórmul : s s 0 v 0 t g permite clculr l ltur s en metros, que tiene un ojeto l tiempo t cundo ce liremente cerc de l superficie terrestre jo l cción de l celerción grvitcionl g m 9.8 seg sin considerr l fricción con el ire tmosférico. En éste fórmul... s 0 es l ltur inicil del ojeto en el instnte t 0. v 0 es l velocidd inicil que tiene el ojeto en el instnte t 0. t ) Resolver ést ecución pr t. ) Si desde lo lto de un cscd de 00 metros de ltur se desprende un roc, cuánto trd l roc en cer l gu? c) Si desde lo lto de l cscd l roc se impuls inicilmente hci jo con un rpidez de m, cuánto tiempo trdrá hor en cer l gu? seg Pedro Ferreir Herrejón Ecuciones Cudrátics

14 Solución : ) Al resolver l ecución de cíd lire pr l vrile t, podemos escriirl como un ecución cudrátic : g t v o t s o s 0 (*) y comprndo con l form generl g ; v o y c s o s Por lo tnto, ls soluciones generles de l ecución (*) son... c 0 se identificn los coeficientes: t c y tmién : t v o v 0 g v o v 0 g g s o s g s o s g v 0 g v 0 g s o s g ) Cundo l ltur inicil es s 0 00m y l roc simplemente se dej cer, su velocidd inicil es nul : v 0 0, de modo que el tiempo en el que l roc choc contr el gu se otiene cundo su ltur es cero s 0. L ecución de cid lire qued : g t 0 ()t s es decir g t s 0 0 s 0 de donde se otiene el tiempo de cíd... t g ( 00m) m 9.8 seg.seg m seg hci jo, ddo que un velocidd positiv signific un movimiento hci rri ) y como l posición inicil de l roc es tmién s 0 00m, pr encontrr el tiempo en que ce l c) En este cso l velocidd inicil es v 0 (el signo negtivo denot l dirección gu, se hce nuevmente s 0 y se resuelve l ecución cudrátic : g t v 0 t s oteniéndose : v 0 v 0 s o s t g g g m seg m 9.8 seg m seg m 9.8 seg 00m 0 ( ) m 9.8 seg Pedro Ferreir Herrejón Ecuciones Cudrátics

15 es decir... t.seg.77seg.seg y similrmente... v 0 t g v 0 g s o s g. seg.77seg.seg Cuál de ests dos respuests es l propid?. Pues ien, puesto que l roc no está en movimiento pr tiempos negtivos, se deduce que l respuest correct es. seg. Al resolver prolems de plicción, teng el háito de preguntrse si mismo si su respuest prece rzonle. En el ejemplo nterior, es lógico y rzonle que l piedr rrojd hci jo llegue l gu ntes que l roc que solo se dej cer. Ejemplo. Un cudro tiene cm más de lrgo que de ncho y su áre es de 0 cm. Dee colocrse en un rmdur de grueso uniforme de cm. Cules son entonces ls dimensiones eterns de l rmdur?. Solución : Si L y A representn el lrgo y el ncho del cudro, entonces, como se indic en l figur de l derech, el lrgo de l rmdur será L cm y su ncho A cm. Además L es myor que A en cm es decir: L A cm por lo tnto, el áre S del cudro es... (A+ ) S LA ( A cm) A A ( cm) A (L+ ) Qued sí l ecución cudrátic: cuy solución es: A A ( cm) A S 0 cm ( cm) ( cm) () 0. y ls dimensiones de l rmdur son entonces : A ( cm.07cm) 9.cm cm.. cm ; L cm.cm Nótese que en ést solución se h escogido el vlor positivo de A pues un vlor negtivo no tendrí sentido físico. Pedro Ferreir Herrejón Ecuciones Cudrátics

16 Ejemplo. El cmino entre dos edificios A y B tiene form de "L" con un distnci totl de 0m Si se cmin por el psto en form digonl se cort l distnci solo m. Cuáles son ls dimensiones de los ldos del cmino? Solución : Aquí se usrá el teorem de Pitágors : c, plicle todo triángulo rectángulo de ldos, e hipotenus c, como se ilustr en l siguiente figur: Símolos : longitud de un ldo del cmino 0m longitud del otro ldo del cmino c m longitud de l digonl o hipotenus. Ecución : Del teorem de Pitágors... c ( 0 ) ( ) c se otiene entonces l ecución cudrátic... cuy solución por medio de l fórmul generl es o 80 ( 80) () ( 78) ( ) ( 80) () ( 78) ( ) ( Ams soluciones son positivs y tienen sentido rel ) Así que ls longitudes uscds son : m 0m m 9m o 9m 0m m m Nótese que ls dos ríces positivs de l ecución cudrátic nos conducen l mismo resultdo Ejemplo. Pr relizr un vije, un clu de deportists rentó un utoús en $ 80 y con el fin de reducir el costo por person, el clu invitó persons más que no ern miemros, con lo cul l trif de cd quien se redujo en $.80. Cuántos miemros tiene el clu? Pedro Ferreir Herrejón Ecuciones Cudrátics

17 Solución : En ést solución, se usrá el modelo: 80 ( número_de_persons) ( costo_por_person) y usemos los símolos : : el número de miemros del clu. ( ) : el número de persons en el vije : el costo inicil por miemro..80 : el costo finl del vije por person Del modelo informl se otiene entonces l siguiente ecución forml: 80 ( ) o.0.80 Multiplicndo por mos miemros result : o ( 00) 0 ecución que es posile fctorizr directmente es decir... [ ( ) ( 0) ] 0 de donde se otienen ls soluciones: y 0. L primer solución no tiene sentido rel. L solución correct es que el clu tiene 0 miemros Ejemplo 7. Mrí puede hcer ls cortins de un recámr en hors y 0 minutos menos que Elen, mientrs que trjndo ls dos junts pueden hcerls en 8 hors. Cuánto tiempo requerirí cd joven pr hcer sol ls cortins?. Solución : Usemos el modelo o ecución informl: y usemos los símolos : t tiempo rzón tiempo rzón 8hors el tiempo totl de trjo y el tiempo que trd Mrí en hcer sol el trjo el tiempo que trd Elen en hcer sol el trjo Entonces, de ls condiciones del prolem se deduce l ecución... Pedro Ferreir Herrejón 7 Ecuciones Cudrátics

18 y hors ; rzón ; rzón y Sustituyendo éstos símolos en l ecución informl, se otiene l ecución forml : t y esto es 8hors y y hors Omitiendo por el momento ls uniddes (hors) y simplificndo, result l ecución... 8 ; 8 y y y y y ( y ) 8 ( ) y y que se reduce l ecución cudrátic... y directmente... ( ) 0 y resultn ls soluciones : y ( y ) y ; 8y y hors hors y y 0, l cul se fctoriz Ddo que l solución y hors no tiene sentido rel, l solución uscd es... : tiempo de Elen pr hcer sol el trjo. tiempo de Mrí pr hcer sol el trjo. hors 8 hors 0 minutos y hors Ejemplo 8. L cpcidd de un lerc es 00 m y puede drenrse con un rpidez de myor que l rpidez con que puede llenrse. Clcúlese l rpidez de drendo si se necesitn 0 minutos más pr llenrl que pr vcirl. m min Solución : Usemos el modelo o ecución informl: Tiempo Volumen Velocidd_de_flujo Pedro Ferreir Herrejón 8 Ecuciones Cudrátics

19 y usemos los símolos : V 00m : el volumen de l lerc t : tiempo de drendo v : velocidd de drendo t : tiempo de llendo v : velocidd de llendo V V entonces... t ; t y de ls condiciones del prolem se deduce tmién que... v v m t t 0min ; v v min V Sustituyendo t y v, l ecución t qued... t 0min V v v m min V pero t de cuerdo l modelo, sí que l prescindir por el momento de ls uniddes result v l ecución : V 0 v V o v V 0 v Vv v v V 0 v 0 v Vv V que equivle un ecución cudrátic en v... 0 v 0v 00 0 Ls solucione de ést ecución son : v m min m min m De modo que l velocidd de drendo es y por lo tnto l velocidd de llendo es min ; m v v min. m min Pedro Ferreir Herrejón 9 Ecuciones Cudrátics

20 EJERCICIOS 7. I. Determinr cuánts ríces reles tiene cd un de ls siguientes ecuciones cudrátics II. Resolver ls ecuciones cudrátics. (Escriir ls ríces complejs en l form s s 0. 8 t. 0 j ) h h 0 t. ( z ) z 8. m n m n 9. Un compñí clcul que el costo C de producción dirio de uniddes de cierto producto está ddo por : C cuánts uniddes se produjeron?. Si en cierto dí los costos fueron $ 80, 0. Se dese construir un cj cudrd iert por rri, teniendo 08 cm de mteril. Cules deen ser ls dimensiones de l se si l ltur de l cj dee ser cm?. Se dispone de 00 m de lmre pr cercr dos corrles rectngulres dycentes. Hllr sus dimensiones si juntos deen encerrr un áre de 00 m.. Encontrr dos números positivos cuy sum se 00 y cuyo producto se 00.. Encontrr dos enteros consecutivos pres cuyo producto se 88.. Hllr un número tl que cundo se sumdo su recíproco se oteng el resultdo. Pedro Ferreir Herrejón 0 Ecuciones Cudrátics

21 . Usr l ecución de cíd lire pr encontrr el tiempo en el que un ojeto lleg l suelo si ) se lnz hci rri desde el piso, con un velocidd de m 0. seg ) se dej cer desde un ltur de m desde un gloo que est suiendo m seg. Un slón rectngulr tiene 7 sills. Si se gregrn sills más cd fil, el número de fils podrí reducirse en. Encontrr el número de sills que hy en cd fil. 7. Dos hermnos deen podr un jrdín rectngulr de 0 m por 8 m y cd uno hrá l mitd del trjo. El primero comienz podndo lrededor de l prte etern. Que tn nch dee ser l nd que pode en cd uno de los ldos?. Cuánts vuelts drá proimdmente lrededor del jrdín si l poddor tiene un ncho de medio metro? 8. Un piloto vuel dirimente tres ciuddes loclizds proimdmente en los vértices de un triángulo recto isósceles. Ell regres l ciudd de l que prtió en l mñn. Si l hipotenus es 9 km encontrr l longitud de los otros ldos del triángulo. 9. Dos viones prten l mismo tiempo del mismo eropuerto, uno hci el Sur y el otro hci el Este. El vión que se dirige hci el Este, vuel km más rápido que el otro. Después de hors h de vuelo continuo velocidd constnte, los viones están seprdos km. Hllr ls velociddes de cd vión respecto l suelo. 0. Junts, dos máquins pueden hcer un trjo en 8 hors. Pero funcionndo sols, l máquin A trd hors y 0 minutos más que l B en hcer ese trjo. Cuánto tiempo trd cd un en hcer el trjo?.. Un negocio vende 000 uniddes por mes $ 0 cd un. Si por cd $ 0. en l reducción de precio puede vender 0 uniddes más por mes, qué precio por unidd drá un vent mensul de $ 000?. Se dese construir un cj iert de un piez de mteril cudrd cortndo cudrdos de cm de cd esquin y dolndo los ldos. Si el volumen de l cj dee ser 00 cm, hllr el tmño de l piez originl.. Repetir el ejercicio nterior si se cortn cudrdos de cm en ls esquins y el volumen es cm.. Se invierten $ por ños l r% de interés compuesto nul. Hllr r si l finl del periodo l inversión creció $. Sepárese el número en dos prtes cuyo producto se 9.. Si el rdio de un círculo se increment en, entonces su áre result multiplicd por 9. Determinr el rdio originl del círculo. Pedro Ferreir Herrejón Ecuciones Cudrátics

22 7. L sum de un número con su recíproco es. Hllr dicho número. 8. El áre de un triángulo es m. Hllr su se y su ltur si l últim ecede l primer en m 9. Un sl rectngulr cuy longitud ecede en m Cuáles son ls dimensiones de l sl? su ncho, necesit m de lfomrdo 0. Un grnjero inspeccion l cerc de su grnj rectngulr dndo un vuelt lrededor de ell en su utomóvil y clcul por medio del velocímetro que el perímetro es de. km. Si el áre de l grnj es de 7 Hectáres ( H ), clculr sus dimensiones. ( H 0 000m ).. Pco recorre 0 km en utomóvil hst un ciudd pr recoger un uto nuevo en el cul regres su cs. L velocidd en el primer utomóvil fué km 0 myor que en el uto nuevo. El ir l h ciudd le tomó 0 minutos menos que el regreso cs. Cuál fué l velocidd medi de cd utomóvil?. Un eroplno vuel 88 km, en un vije de id y vuelt en líne rect de hors. Si todo el tiempo huo viento de km 0 en l dirección del vuelo, qué velocidd vuel el vión en ire sin viento? h. Un estudinte se encontr km de su escuel donde tendrí su emen un hor más trde. Primermente cminó km y luego tomó un utoús cuy velocidd medi fué km myor h que su velocidd pie. Encuéntrese l velocidd con l que cminó, si llegó su emen justo tiempo.. Dos hermnos lvron ls predes de su curto en hors. Clcule el tiempo que requerirí cd uno de ellos pr hcer el trjo, si el más joven necesit. hors más que su hermno myor.. Un person clcul que el costo dirio del trnsporte en su utomóvil pr ir l trjo es de $.00, el cul h dividido en prtes igules entre sus psjeros y él mismo. Algún tiempo después se unen l grupo dos psjeros más, lo cul permite reducir en $.00 el costo del trnsporte por person. Clcule el número de persons que formn el nuevo grupo.. El costo de l fiest nul de un clu se divide entre los miemros que sisten. En dos ños consecutivos, el costo fué de $ y $ 70.00, pero el costo por miemro fué $ 0.0 menor en el segundo ño. Clculr el número de miemros que sistieron cd fiest, si huo 0 miemros más en el segundo ño. Pedro Ferreir Herrejón Ecuciones Cudrátics

23 Respuests (Prolems impres) Ejercicios 7.. dos. dos. ningun 7. dos 9.. ( ) ( ). ( 7 ) ( 7 ). ( ) ( ) ( ) ( ) uniddes. ( m) ( 0m). y uniddes 7. 0m 0vuelts 9. km 9 h y 9 km h. $.00. ( 0cm) ( 0cm). y ( m) ( 9m). km 0 y 70 km h h. km h. persons Pedro Ferreir Herrejón Ecuciones Cudrátics

24 7. Otros tipos de ecuciones. Ahor etenderemos ls técnics de solución pr incluir ecuciones que no son lineles o cudrátics. 7. ) Ecuciones de polinomios. Uno de los prolems más importntes del álger es determinr ls ríces de un polinomio P (), es decir resolver l ecución P () 0. Eponer y desrrollr ls herrmients pr determinr ls ríces de un polinomio es un trjo etenso. Bste por hor decir que l fctorizción puede ser muy útil pr resolver éste prolem. Ejemplo 9. Resolver ls siguientes ecuciones fctorizándols completmente ) 8 0 ) 9 0 Solución : ) Etryendo el fctor monomio común : Fctorizndo l diferenci de cudrdos : Igulndo cd fctor cero, se otiene : que genern ls ríces : 8 ( ) ( ) 0 ; 0 ; 0 ; ; ; ; j j L ecución tiene tres ríces reles (un de ells repetid) y dos ríces imginris. ) L fctorizción por grupción funcion ien quí... 9 ( ) ( ) ( ) 0 Iguldo los fctores cero result... 0 esto es 0 esto es Not : Un error muy común en un prolem como l prte ) del ejemplo nterior es eliminr el fctor vrile, ntes de resolver l ecución. Esto llev l pérdid de un de ls soluciones. Asegúrese de fctorizr completmente y entonces igulr todos los fctores cero Pedro Ferreir Herrejón Ecuciones Cudrátics

25 7. ) Ecuciones con rdicles o potencis frccionris. Hemos visto que multiplicr mos ldos de un ecución por un cntidd vrile es un vlios técnic de solución, unque puede producir un ecución que no es equivlente l originl y que puede tener soluciones etrñs l ecución originl. En este cso, se deen verificr ls soluciones resultntes en l ecución inicil, y no en lgun equivlente que resulte de lgún pso lgerico intermedio. Por ejemplo, si es un solución de l ecución, no necesrimente lo es de n n. Así que pr resolver un ecución que contiene rdicles de segundo orden procederemos : Escriir l ecución de modo que quede un solo rdicl en uno de sus miemros. Elevr l cudrdo mos miemros de l ecución pr eliminr el rdicl que quedó solo. Si l ecución resultnte y no tiene rdicles, se resuelve pr l incógnit; de lo contrrio, se repiten los psos y hst que hyn desprecido todos los rdicles. Se sustituyen ls ríces otenids en l ecución originl, pr descrtr ls soluciones etrñs. Ejemplo 0. Hllr tods ls soluciones reles de ls siguientes ecuciones : ) y y ) 0 Solución : ) Escrimos l ecución de mner que quede un solo rdicl en uno de sus miemros : y y Elevndo l cudrdo mos miemros de l ecución se otiene : y y o y y ( y ) Rescriiendo l ecución pr que nuevmente quede un solo rdicl en un miemro... y 7 y ( y) y Elevndo l cudrdo un vez más mos miemros de l ecución se otiene : y o y 9 y y Pedro Ferreir Herrejón Ecuciones Cudrátics 9 y

26 es decir, result l ecución cudrátic : ( y 9 ) ( y ) 0 y 7y 7 0 que se fctoriz como: 9 de modo que resultn ls ríces : y ; y Sustituyendo hor ésts ríces en l ecución inicil se tiene : pr y : ( ) () esto es... ; pr y : ( ) ( ) esto es... ;??? De este modo y es un solución de l ecución inicil; pero y es un solución etrñ. No es solución de l ecución inicil sino de un equivlente. ) Escriiendo l ecución pr que quede un solo rdicl en un miemro: Elevndo l cudrdo mos miemros de l ecución : o Rescriiendo l ecución pr que nuevmente quede un solo rdicl en un miemro... ( ) ( ) Elevndo l cudrdo un vez más y desrrollndo se otiene :, ecución cudrátic que tiene ls ríces..., Sustituyendo ésts ríces en l ecución inicil se otiene : pr : 9 esto es.....??? pr : 9 esto es ??? De modo que ningun de ls soluciones encontrds es solución de l ecución inicil. Pedro Ferreir Herrejón Ecuciones Cudrátics

27 Ejemplo. Hllr tods ls soluciones reles de ls siguientes ecuciones : ) 8 ) 0 ( ) Solución : ) En este cso elevmos mos ldos de l ecución l potenci recíproc,con el fin de eliminr el rdicl : result sí l ecución : y que tiene ls ríces... y Comproción : pr : pr : () 8 esto es : 0 0 que se fctoriz como... ( ) ( ) () () ( ) ( ) 8 esto es : ( ) 8 es decir : ( ) De éste modo, mos vlores son soluciones de l ecución inicil. 0 8 o 8 8 o 8 ) Fctorizndo el fctor común, l ecución qued : es decir... ( 7 ) 0 [ ( ) ] 0 Igulndo cero cd fctor, se otienen ls posiles ríces : 0 ; Rtificción de soluciones : y 7 pr 0 l ecución inicil qued : 0 () 0 () 0 () 0 0 es decir 0 0 () [ ] pr l ecución inicil qued : 0 es decir 0 0 pr l ecución inicil qued : 7 Pedro Ferreir Herrejón 7 Ecuciones Cudrátics

28 es decir 9 7 0??? 7 7 Vemos sí que 0 y no son soluciones porque genern números complejos en l 7 ecución inicil, (ún cundo 0 cumpl l ecución inicil ) 7. c) Ecuciones de tipo cudrático. Son ecuciones que tienen l form generl : ( u() ) epresión lgeric en Ejemplos : ) Si u () l ecución de curto grdo 0 ( u() ) es decir... u u ) Si u (), l ecución de seto grdo 0 es decir... u u c 0 donde u () es un 0 se trnsform en l cudrátic : 0 0 se trnsform en l cudrátic : 0 c) Si u (), l ecución irrcionl 0 es decir... u 9 0 se trnsform en... u 9 0 d) Si u (), l ecución irrcionl 0 se trnsform en 0 es decir... u u 0 e) Si u (), l ecución : 0 se trnsform en : u u 0 Pedro Ferreir Herrejón 8 Ecuciones Cudrátics

29 Ejemplo. Hllr tods ls soluciones reles de ls ecuciones siguientes : ) 0 ) 0 Solución : ) Est ecución se trnsform un de tipo cudrático jo l sustitución u porque... 0 esto es u u y por l fórmul generl pr l solución de un ecución cudrátic otenemos: 0 ( ) ( ) () ( ) u ( ) ( ) ( ) () ( ) u ( ) Puesto que u es negtivo, ls únics posiles ríces reles son: u y u Un rápid verificción muestr que ms ríces son soluciones de l ecución inicil. ) Est ecución se trnsform un de tipo cudrático jo l sustitución u porque... 0 esto es u u que equivle : ( u ) 0 y por lo tnto u 0, de modo que 0 implic que... ( ) 0 0 Ls ríces de ést ecución se otienen igulndo cero cd uno de sus fctores : ( ) 0 implic que 0 j implic que, j Sólo es solución rel de l ecución inicil. Pedro Ferreir Herrejón 9 Ecuciones Cudrátics

30 Ejemplo. Hllr tods ls soluciones reles de l ecución : 9 0 Solución : Est ecución se trnsform un de tipo cudrático jo l sustitución u u u 9 0 que tiene ls ríces... u y u esto es ( u ) ( u ), es decir... y por lo tnto ( ) 0 7 y qued : y por lo tnto 7 8 Verificción de ls soluciones : pr 7 : es decir () 9 ( ) 9 0 (verddero) ( ) 7 pr es decir (verddero) 8 8 Ejemplo. Hllr ls soluciones reles de l ecución : Solución : Est ecución es de tipo cudrático si se hce l sustitución u pues qued : u u y multiplicndo mos miemros por u se reduce : u que se fctoriz como ( u ) ( u ) 0 u 0.. Sus soluciones son u y u Pedro Ferreir Herrejón 0 Ecuciones Cudrátics

31 Por lo tnto : Mtemátics Básics implic que es decir... implic que 9 es decir... 7 S puede compror fácilmente que ms son soluciones de l ecución inicil. Ejemplo. Hllr ls soluciones reles de l ecución : Solución : Est ecución es de tipo cudrático jo l sustitución : u, pues qued... u u o ( u ) ( u ) 0 con soluciones : u y u, de modo que los posiles vlores reles de l vrile son: u implic que esto es... u implic que esto es Pedro Ferreir Herrejón Ecuciones Cudrátics

32 EJERCICIOS 7.. I. Resolver ls siguientes ecuciones ( reduciendo l form cudrátic o fctorizndo completmente ) II. Resolver ls ecuciones rdicles y verificr sus soluciones Pedro Ferreir Herrejón Ecuciones Cudrátics

33 ( ) ( ) 7. ( ) ( ) p p p p p III. Resolver ls ecuciones con eponentes rcionles. Verificr ls soluciones 0... ( ) 0. ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0. ( ) ( ) 0 8. ( ) 0 ( ) Pedro Ferreir Herrejón Ecuciones Cudrátics

34 Respuests ( prolems impres ) Ejercicio i i no hy solución p p Pedro Ferreir Herrejón Ecuciones Cudrátics

35 Respuests ( prolems pres ) Ejercicio Pedro Ferreir Herrejón Ecuciones Cudrátics

36 Respuests ( prolems pres ) Ejercicio 7... dos. ningun. dos 8. ningun j j. j j n m 0. cm cm o. hy 8 fils de 9 sills 8. 9km 0. B trd h. cm cm. %. 8. se 7m m 90 m. km 0 h. El myor h. 0 persons fiest Pedro Ferreir Herrejón Ecuciones Cudrátics

37 Respuests ( prolems pres ) Ejercicio j j j 9 j Pedro Ferreir Herrejón 7 Ecuciones Cudrátics