Alderete, J. y otros. (1995) Matemática para la Educación Básica Serie Roja: El mundo de los números y la aritmética

Transcripción

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2 BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA Alderete, J. y otros. (1995) Mtemátic pr l Educción Básic Serie Roj: El mundo de los números y l ritmétic Dicesre Mirt, Cruso Susn, Fondere, Silvin puntes de clse: Nociones de Geometrí del plno, Revist 17 noviembre 2008 SECCIÓN MATEMÁTICA Y CURRICULUM: Los números decimles en l EGB. Revist 17 noviembre 2008 SECCIÓN TEMAS DE MATEMÁTICA: Los números decimles. Revist Nº 18 Abril 2009 Sección Currículum y Mtemátic 12 Revist Nº 18 Abril 2009 Sección Currículum y Mtemátic 9 Mrí Cristin Bisbl de Lbto, y otros. Serie Horizontes. Ciclo Básico de Educción Secundri. Escuels Rurles. MATEMÁTICA. CUADERNO DE ESTUDIO 1 Y 2. LIBROS DE LOS EJERCICIOS Lilin Lurito y otros. Editoril Puerto de Plos: MATEMÁTICA 8 Activ Adrin Berio y otros. Editoril Puerto de Plos. MATEMÁTICA 8 3º E.S.B. en estudio Luis Grvent y otros. Editoril Aique: CARPETA DE MATEMÁTICA 8. Mrin Argón y otros. Editoril Estrd. MATEMÁTICA Crpets de ctividdes 8. SELECCIÓN DEL MATERIAL DE ESTUDIO Profesors: Loreto Clot, Silvin Fondere Flvi Mintelli Págin 2 de 94

3 PRESENTACIÓN DEL MATERIAL ESTIMADO ALUMNO El mteril que encontrrás continución contiene tres bloques temáticos, el primer bloque present un selección de contenidos de Sistems Numéricos, el segundo bloque present un selección de contenidos de Geometrí (nociones del plno) y finlmente el tercer bloque present lgunos problems pr resolver con interpretción, lectur y nálisis de gráficos de funciones, tbls, enuncidos y fórmuls. Est selección procur fomentr l ctividd de lectur comprensiv, que conllev l lumno trbjr en Mtemátic con el rzonmiento, ls distints forms de comunicción y los problems, l Mtemátic es mucho más sber hcer que mermente sber. Cd bloque comienz con un serie de ctividdes que puedes emprender con los instrumentos que y domins, hy ejemplos en el mrco teórico que te yudrán internlizr los diferentes conceptos y continución encontrrás numerosos problems con complejidd creciente. Te pedimos que les comprensivmente los textos presentdos y que resuelvs los problems de cd bloque. En los encuentros de febrero podremos trbjr sobre ls temátics del cudernillo pr que clres duds o refirmes tus conclusiones trvés de ls explicciones que recibirás del profesor especilizdo crgo L excelenci te convierte en un person de éxito, determind, que sbe todo lo que hce y todo lo que quiere, porque el lugr donde hoy estás no es tu llegd sino tu lugr de prtid hci el cumplimiento de tu sueño. BERNARDO STAMATEAS Págin 3 de 94

4 MARCO TEÓRICO Esfuérzte, sé vliente y te drás cuent de que cundo empieces moverte, todo lo que hgs v tener resultdos extrordinrios. BERNARDO STAMATEAS Págin 4 de 94

5 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES. Pr designr l conjunto de los números nturles utilizmos el símbolo ln. Si definimos este conjunto por extensión (hciendo buso de l notción), será: ln = { 0, 1, 2, 3, 4,...} Hbrás notdo que lgunos utores excluyen el cero del conjunto de los nturles. Debes entender que se trt de un convención. En nuestro cso doptmos l otr, justificd por el hecho de que l considerr el cero como número nturl, (0ϵ IN), l relción menor o igul que ( ) definid en el conjunto IN, result ser un relción de orden. Pr hcer referenci los números nturles no nulos, tenemos un símbolo: IN * 1,2,3,..., es decir IN * IN 0. Cundo hblmos de los números nturles es conveniente observr que se trt de un conjunto, y se presentn ordendos en un un sucesión Alguns crcterístics de los nturles son: Se prte de un elemento especil: el cero. Tmpoco se cierr sobre sí mismo como ocurre con los números del reloj, que después del 12 sigue el número 1, de prtid. Es un conjunto infinito, no tiene último elemento. No existen números nturles intercldos entre los de l sucesión, es discreto. En otrs plbrs entre dos números nturles existe un número finito de números nturles. Pr los niños, ests crcterístics pueden prtir, hst quinto ño, de l observción guid e informl y en ejercicios que ls evidencien, y drse en form explícit en sexto de l siguiente mner: Tiene primer elemento: el cero. Es un conjunto infinito, no tiene último elemento. Todo número tiene ntecesor y sucesor, menos el cero que sólo tiene sucesor Rect numéric. Result muy útil tener un imgen geométric pr IN, esto es, socir cd número nturl un punto de un rect en l cul previmente se fijó un escl. Entre dos puntos nturles existen infinitos puntos de l rect los cules no les corresponde ningún número nturl. L rect numéric se irá completndo con números de otr nturlez. OPERACIONES DEFINIDAS EN ln. Adición. Es un operción definid en ln y es: + b = c donde, b y c son números nturles. Los números que intervienen reciben los siguientes nombres: = SUMANDOS 793 SUMA Págin 5 de 94

6 Propieddes fundmentles: Asocitiv: (, b, c )(, b, c IN ) : b c ) ( b c b c Pr tod tern, b, c de números nturles se cumple que + b + c = ( + b) + c = + (b + c) Conmuttiv: (, b )(, b IN ) : b b Pr todo pr y b de números nturles, se cumple que + b = b + Existenci del elemento neutro: Es el 0 (cero) porque + 0 = 0 + =. Esto se cumple pr todo número nturl. Tods ls propieddes que se mencionron son demostrbles, sin embrgo lo lrgo de l escuel primri y l secundri inclusive, ls ceptremos simplemente como válids y ls verificremos con ejemplos numéricos. Atención!!: Demostrr y verificr son coss totlmente diferentes. Multiplicción. Es l operción definid de ln en ln, llmd producto entre y b, donde y b son números nturles y b 0 no es otr cos que l sum reiterd de, b veces. Esto es: x b = b veces el sumndo L definición de producto qued complet estbleciendo que x 0 = 0 x = 0. Los números que intervienen en l multiplicción se llmn: 372 x 2= FACTORES 744 PRODUCTO Propieddes fundmentles : Asocitiv: (, b, c )(, b, c IN ) : b c ) ( b c b c Pr todo, b, c nturles, es x b x c = ( x b) x c = x (b x c) Conmuttiv: (, b )(, b IN ) : b b Pr todo y b de ln, es: x b = b x Existenci del elemento neutro: Es el 1 (uno) porque x 1 = 1 x =. Esto se cumple pr todo nturl. Propiedd distributiv de l multiplicción respecto l sum: (, b, c )(, b, c IN ) : b c c b c Sen, b, y c números nturles culesquier, es ( + b) x c = x c + b x c Potencición L potencición es un form brevid de escribir un multiplicción. n = x x x... n me indic el número de veces que multiplico el número Págin 6 de 94

7 Los números que intervienen en l potencición se llmn: exponente n = b bse potenci En ests escriturs hy lguns convenciones: Cundo es un número nturl diferente de cero: 0= 1 Cundo es un número nturl culquier: 1 = Además recordemos que: 2 se lee elevdo l dos o elevdo l cudrdo 3 se lee elevdo l tres o elevdo l cubo Te preguntste de dónde precen ests expresiones? L primer de ells, por ejemplo, se explic por el hecho de clculr el áre de un cudrdo cuyo ldo tiene longitud ; en cunto l segund nos permite expresr el volumen de un cubo con rist de longitud. Recuerd que cundo un número se represent como un potenci, se dice que está escrito con notción exponencil. ORDEN COMPARACIÓN. En el conjunto de los IN (nturles), l iguldd: x b nos sugiere un condición: b, que se lee es menor o igul que b. En efecto: decimos que un número nturl es menor o igul que otro b, si y solo sí, existe un número nturl x, tl que sumdo d como resultdo b., x, b ). x.b IN : x b b Cundo comprmos dos números nturles por estmos diciendo que hy dos posibiliddes (excluyentes un de l otr): b o =b En el cso b, con b, tmbién se dice que es menor estrictmente que b. Análogmente b, que se lee: es myor o igul que b nos permite indicr b o =b Ten en cuent que es lo mismo decir: b 6 9 o o b 9 6 Lo importnte es que ddos dos números nturles, b se verific un y sólo un de ls siguientes firmciones: <b ; >b ; =b (en este cso estmos indicndo que y b representn el mismo número). Tmbién se dice que todo número nturl siempre se puede comprr por l condición b o b. Págin 7 de 94

8 L siguiente list consign tods ls posibiliddes que podemos tener en cuent. < b; > b; b; b; < b; > b; b; b; b; =b L rect numéric fcilit l interpretción de cd un de ls situciones que figurn en l list, por cunto nos suministrn informción referente l posición reltiv de los dos puntos correspondientes. Observndo l posición reltiv de l representción gráfic de dos números nturles en l rect numéric nos dmos cuent que: Si x< y, entonces el punto socido x qued, en l rect de números, l izquierd del correspondiente y. Si x>y, entonces el punto socido x qued, en l rect de números l derech de del correspondiente y. Medinte l condición x y, definimos un relción que es un orden. x y Posibles cálculos en IN Sustrcción Ddos dos números nturles y b, llmdos minuendo y sustrendo, se llm diferenci b un número nturl c, si existe, tl que sumándole el sustrendo d el minuendo. Es evidente que hy un restricción porque en l definición se hbl de número nturl c, si existe, que puede o no existir. Es necesrio que el minuendo no se menor que el sustrendo. Ahor si es b en tonces: b c c b Recordemos los nombres de los números que intervienen en l sustrcción: Minuendo Sustrendo Rest o diferenci Por qué nos sltemos l rest l hor de definir ls operciones? Porque l sustrcción no es un operción dentro del conjunto de los nturles, unque sí es un cálculo. Cuál es el resultdo de restr 5 8? L cuent tiene solución si trbjmos con los números nturles? Sbemos que l sum de dos números nturles existe y siempre es únic; lo mismo podemos firmr del producto entre dos números nturles. Sin embrgo no ps lo mismo cundo hblmos de l rest entre números nturles como pudimos observr en el ejemplo menciondo. Es por ello que no podemos decir que l rest en un operción sino sólo un cálculo. En síntesis: pr hblr de un operción es necesrio que el cálculo este definido pr todo número que pertenezc l conjunto numérico en el que estmos trbjndo. Aunque no se un operción en el conjunto IN, hy que sber clculr rests y mnejr el vocbulrio que corresponde. Págin 8 de 94

9 Observ el nálisis de l sum 3+4 y l diferenci 7-4: = 7 l sum o dición. Los términos 7-4 l diferenci o rest. = 3 Por todo lo dicho result que expresiones como: x b, con y b de IN, Llmds ecuciones ditivs en x, tienen veces, su conjunto solución vcío. Ejemplo:1) x+1200=1720. Cuál es el vlor de x? x ) x+8=6. Cuál es el vlor de x? Ninguno. S División. Ddos dos números nturles y b, con b 0, llmdos dividendo y divisor respectivmente, se llm cociente /b un número nturl c, si existe, tl que dé el dividendo cundo se lo multiplic por el divisor. Esto es: Recordemos: / b c signific que c b divisor dividendo resto cociente El cociente /b tmbién es posible expresrlo : b o Lo mismo que en l sustrcción, l división no es operción dentro de los nturles. División enter división exct División exct es quell donde el cociente es un número entero y el resto es igul cero. Ejemplo: 12 :4 =3 División enter: es quell donde el cociente es entero y el resto es igul o myor que cero y menor que el divisor. Págin 9 de 94

10 Esto es: Si D d r c D d c r y 0 r d El genio es un uno por ciento de inspirción, y un novent y nueve por ciento de trnspirción. Thoms Alv Edison ( ). Págin 10 de 94

11 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS. Sólo hremos un mención superficil respecto de estos números. Si bien los números enteros recién fueron usdos por los mtemáticos con l mism ctegorí que los números nturles en el siglo XVlII, te lo presentmos en segundo término porque pr encrr el tem de conjuntos numéricos elegimos prtir de los números nturles y por sucesivs mpliciones llegr los enteros, decimles y rcionles. ℕ ℤ ℚ ℛ 0 Pr designr l conjunto de los números enteros utilizmos l letr ℤ. El mismo está formdo por los enteros positivos ( Z ), el cero y los enteros negtivos ( Z ). Por extensión, y hciendo buso de l notción, este conjunto será: 3; 2; 1;0; 1;2; 3; 4;... Los números enteros tienen un distintivo: el signo. Pr expresr un número negtivo utilizmos el signo que tiene un significdo diferente l signo negtivo que expres un sustrcción. Lo mismo ocurre con el signo +, unque, por convención, cundo un número es positivo el signo no se coloc. Los números enteros resuelven el problem de l sustrcción y de ls ecuciones del tipo: x b con b. Ejemplo: 6 x 4 ; dentro de los nturles 4 6 no tiene solución, sin embrgo en el conjunto de los enteros es Además este nuevo conjunto numérico permite interpretr diverss situciones: fechs nteriores l ncimiento de Cristo; distncis bjo el nivel del mr; sldo deudor; ls pérdids de un empres; temperturs bjo cero etc. Por ser un mplición de los nturles, en este nuevo conjunto siguen vigentes ls operciones válids en el conjunto de los nturles, lo mismo que sus propieddes crcterístics. A ls propieddes conocids, se le gregn: Número opuesto: todo número entero tiene un opuesto, tl que l sum del número y su opuesto es cero. Por ejemplo: el opuesto de 3 es 3 entonces 3 + (-3) =0. De l mism form el opuesto de 4 es 4, entonces (-4) + 4 = 0 Con est últim propiedd se h gndo un operción: l sustrcción. Crcterístics: No hy ni primer ni último elemento. Es un conjunto infinito. No existen números enteros intercldos entre los de l sucesión: es no denso o discreto. Todo número tiene ntecesor y sucesor. Todo número tiene su opuesto. El cero es negtivo y positivo l vez. Rect numéric. En l rect numéric se representn el cero, los números enteros negtivos ( l izquierd) y los números enteros positivos ( l derech). Recuerd que l rect est grdud. Págin 11 de 94

12 Los números opuestos se encuentrn l mism distnci del cero. L distnci que existe entre un número y el cero se llm módulo o vlor bsoluto. Por lo tnto los números opuestos tienen el mismo módulo. Pr expresr el módulo de un número se utilizn ls brrs de vlor bsoluto. Ejemplo: l3l=3 y l 3 l = 3 El 3 y el 3 están un distnci de tres uniddes del cero. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS. Adición. Pr dicionr números enteros tendremos en cuent ls siguientes indicciones: Si los dos tienen igul signo (son los dos positivos o los dos negtivos), summos sus módulos y l resultdo le colocmos el mismo signo que tienen los sumndos. Ejemplos: = (-4) = -16 Si los sumndos tienen distinto signo resto sus módulos y l resultdo le colocmos el signo del que tiene el sumndo de myor vlor bsoluto. Ejemplos: 15 + (-3) = = -12 L dición en Z cumple con ls siguientes propieddes: conmuttiv, socitiv, existenci del elemento neutro, existenci del elemento inverso ditivo u opuesto. Propieddes de l dición Propiedd conmuttiv El orden de los sumndos no lter l + b = b + sum. Propiedd socitiv: Ddos dos o más números enteros l sum finl no vrí si se + b + c = ( + b) + c = +( b + c) reemplzn vrios sumndos por su sum y efectud. Ley del neutro elemento Existe en el conjunto Z, el elemento cero que + 0= 0 + = sumdo culquier número entero, no lter l sum. Págin 12 de 94

13 Ley del opuesto elemento Todo elemento del conjunto Z, dmite un opuesto, tl que sumdo + (-)= (-) + = 0 l número ddo, d por resultdo cero. Multiplicción. Cundo multiplicmos dos números enteros debemos respetr ls siguientes regls de los signos: Al multiplicr dos fctores de igul signo (los dos positivos o los dos negtivos) el resultdo es positivo. Al multiplicr dos fctores de distinto signo (uno es positivo y el otro es negtivo) el resultdo es negtivo. L multiplicción cumple con ls siguientes propieddes: conmuttiv, socitiv, existenci del elemento neutro, distributiv con respecto l dición y sustrcción. (Ver cudro de propieddes.) Propieddes de l multiplicción Propiedd conmuttiv El orden de los fctores no. b = b. lter el producto. Propiedd socitiv: Ddos dos o más números enteros el producto finl no vrí si se reemplzn vrios. b. c = (. b). c =.( b. c) fctores por su producto y efectudo. Ley del elemento Existe en el conjunto Z, el elemento uno que neutro multiplicdo culquier 1. 0= 1. = número entero, no lter el producto. Ley del elemento Existe en el conjunto Z, el elemento cero que bsorbente multiplicdo culquier. 0= 0. = 0 número entero, d por resultdo cero. Propiedd El producto de un número distributiv de l entero por un sum d. (+ b c)=d. +d.b - d.c multiplicción lgebric, puede ser respecto de l obtenido clculndo l sum (+b c). d =.d +b.d c.d sum y l rest de los productos de cd término de l sum por el fctor considerdo. Págin 13 de 94

14 Sustrcción. L sustrcción no es más que un cso prticulr de l dición. Restr un número entero es lo mismo que sumr su opuesto. b = + (- b) Ejemplos: 200 (-150) = (+150) =350 - (+150) = (-150) = - 50 Sum lgebric. Se denomin sum lgebric l sucesión de diciones y sustrcciones. Pr resolver un sum lgebric se procede sí: l sum de los números precedidos por el signo + se le rest l sum de los números precedidos por los signos - Ejemplos: = ( ) ( ) = = -7 Si un mismo número está sumndo y restndo en el mismo miembro lo puedo cncelr. Supresión de préntesis. Recuerd : Todo préntesis precedido del signo + se pueden eliminr sin cmbir el signo de los términos que están encerrdos en él. ) 2 + (11-4) = = = 9 Todo préntesis precedido del signo - se pueden eliminr cmbindo el signo de todos los términos que están encerrdos en él. b) 12 - (11-4) = = = 5 Si en el ejercicio precen préntesis, corchetes y llves, se suprimen en ese orden, plicndo ls misms regls de supresión de préntesis. POSIBLES CÁLCULOS CON ENTEROS División. Pr dividir números enteros, dividimos sus módulos y l cociente le colocmos el signo que corresponde según l regl de los signos de l multiplicción. : : : : Págin 14 de 94

15 Operciones combinds. Pr resolver cálculos con operciones combinds debemos respetr este orden. (+6). (-5) (7+2) : (-3) = (-30) - 9 : (-3) = (-30) (-3) 3-3+4= = = -26 Se sepr en términos. Se resuelven ls operciones indicds entre préntesis. Se resuelven ls multiplicciones y divisiones. Cundo dos términos son números opuestos, se pueden cncelr. Se resuelven ls sums y ls rests. Potencis de números enteros. Un vez más recordmos que el conjunto de los números enteros es un mplición del conjunto de los números nturles. Por lo tnto todo lo que y sbímos pr el conjunto de los nturles se cumple en el conjunto de los enteros. Vemos el significdo de ls potencis de exponente positivo en el conjunto de los enteros, pr ello presentmos distints situciones. 1) Si es un número estrictmente positivo, entonces x x x...x, n veces, se escribe n 2) Si es un número estrictmente negtivo, entonces x x x...x, n veces, n se escribe. L bse es y el exponente es n. 3) Si es 0 y n>0, entonces: 0n 0. 4) Si es un entero no nulo, y n=0, entonces 0 1 5) Si es un entero culquier, y n=1, entonces 1 Regl de los signos: si l bse es positiv el resultdo es positivo. Si l bse es negtiv el resultdo depende del exponente: - si es pr el resultdo es positivo. - si es impr el resultdo es negtivo. +pr = + - pr +impr = + - =+ impr Pr tener en cuent: 2 2 ( 2) Si un potenci tiene bse negtiv, est se debe encerrr entre préntesis. Rdicción. Es l operción invers de l potencición. Índice n r ríz rdicndo Págin 15 de 94 =-

16 Regl de los signos: Si el índice es pr y el rdicndo es positivo, l ríz es positiv. Si el índice es pr y el rdicndo es negtivo, no se puede clculr. Si el índice es impr, l ríz result del mismo signo del rdicndo pr impr pr impr no tiene solucción Recuerd: culquier ríz de cero es cero: n 0 0 L mejor form de librrse de un problem es resolverlo. Brendn Frncis EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS DECIMALES En este punte vmos trtr sobre los números Decimles y sus operciones, es decir vmos trtr nociones referentes l Sistem de numerción deciml. Recordemos primero con el siguiente digrm l cden de inclusión de los distintos conjuntos numéricos. ID IN , ,3 6-1, ,333 25,4 3,25 1,26 El digrm nos otorg l siguiente informción: IN Z ID Q Donde: IN es el conjunto de los números nturles: 0; 1; 2; Z (del lemán Zhl) es el conjunto de los números enteros -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ID es el conjunto de los números decimles que como y nos explyremos más delnte cept dos forms de escritur, l posicionl y l frccionri ;0,4; ; 1,5;0;1; Q es el conjunto de los rcionles : ; 0; 1 4 ; 0, 3; ; 1, 26; Págin 16 de 94

17 A prtir de este digrm surgen ls primers duds: qué diferencis hy entre 0, 3 y 0, 3 que justifiquen que prezcn en diferentes conjuntos numéricos? No todo número provisto con com es un número deciml? Cuál es l diferenci? En los números decimles hy un número finito de cifrs después de l com. Sin embrgo lgo tienen en común. Culquier de ellos prece por división de dos números enteros, b con b 0. Vemos ls siguientes situciones: , ,25 7 0, =7 x es el cociente de 105 por 7. Se escribe 105:7=15 5=4 x 1,25 1,25 es el cociente de 5 por 4. Se escribe 5: 4= 1,25 L división de 2 por 3 no se termin. El cociente de 2 por 3 no es un deciml. 0,666 es un vlor proximdo de ese cociente. Lo que tienen en común ls tres situciones es que ddos dos números enteros y b, se buscó el número x, tl que b x. Decimos que los cocientes son números decimles, cundo l dividir por b, llegmos l resto cero. Los decimles formn un conjunto, se denot con l letr ID. Si bien es cierto que los números enteros no tienen com, tmbién son decimles, porque se pueden obtener como cocientes de dos números enteros, siendo el segundo no nulo. Por otr prte nd nos impide que los escribmos con com. Así por ejemplo 6 6, 0 6, 00 6, OTRA FORMA DE DEFINIR LOS NÚMEROS DECIMALES Un número es un deciml, si y solo si, puede escribirse bjo l form d n 10 p donde n y p son números enteros. Si p es positivo, el deciml d n 10 p es un entero. Clrifiquemos con un ejemplo: 200 es un entero pues , o 3 es un entero pues Si p es negtivo, el deciml d n 10 p es un deciml, por ejemplo: Págin 17 de 94

18 0,25 es un deciml pues 0, ,25, como lo es tmbién 2,5 pues 2, , Los números decimles pueden drse medinte escritur posicionl, con el uso de un com deciml. Usulmente se dice que es escritur es un escritur deciml. Con es escritur, los lgoritmos desrrolldos en, con respecto ls operciones enters, se extienden nturlmente ID. Por otr prte, mbos tienen l mism estructur lgebric, prtir de l sum y l multiplicción; por lo tnto todo lo que se sbe de, se plic nturlmente ID. Tmbién cbe destcr l similitud entre IN y, por lo que lo prendido en IN, se extiende. L crcterístic fundmentl de ser un sistem posicionl es que, cd cifr que form prte del numerl de un número hy que reconocerle dos vlores: un vlor bsoluto (propio o intrínseco) y un vlor reltivo que depende de su posición. Entre ls distints vrintes que podemos empler pr representr un número, recordemos dos de ells: Escritur multiplictiv (mixt): 1 x x x x x 1 Escritur expndid: 1 x x x x x 100 Entre mbs no hy grndes diferencis, en l exponencil, se pone en evidenci lo siguiente: Tod cifr escrit inmeditmente l izquierd de otr, represent uniddes del orden inmedito superior, y cd unidd de un determindo orden es igul 10 uniddes del orden inmedito inferior. Tod cifr escrit, escrit inmeditmente l derech de otr, represent uniddes del orden inmedito inferior. Se trt de continur ese mismo convenio, pr representr números decimles con escritur posicionl, es decir, ddos medinte escritur condensd, en l cul, el uso de l com, distingue l prte enter deciml, o se l prte frccionri del número deciml. 134,256 Prte enter Com Prte deciml Cuáles son ls uniddes de los diversos órdenes decimles? Algunos son: DÉCIMOS Se escribe 0,1 CENTÉSIMOS Se escribe 0,01 MILÉSIMOS Se escribe 0, Ejemplo CENTENAS DECENAS UNIDAD DÉCIMOS CENTÉSIMOS MILÉSIMOS, Págin 18 de 94

19 Escritur multiplictiv (mixt): 134, ,1 5 0,01 6 0,001 Escritur expndid 134, con, b enteros y b 0. Nos b explyremos sobre est form de escritur cundo hblemos del conjunto de los rcionles. Los números decimles tmbién dmiten representción frccionri OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES Adición L sum o dición en los, como y lo nticipmos, prolong l sum o dición en los IN. Por lo tnto tiene ls misms propieddes que en nturles. Luego, es socitiv. el cero es elemento neutro pr l dición, es conmuttiv. Por otr prte siendo ℤ un prte de ID, es nturl pensr que l sum cumpl ls misms propieddes que en este conjunto numérico. Propieddes de l dición Propiedd conmuttiv El orden de los sumndos no lter l sum. +b=b+ Propiedd socitiv: Ddos dos o más números decimles l sum finl no vrí si se reemplzn vrios sumndos por su sum y efectud. + b + c = ( + b) + c = +( b + c) Existe en el conjunto ID, el elemento cero que sumdo culquier número entero, no lter l sum. + 0= 0 + = Todo elemento del conjunto ID, dmite un opuesto, tl que sumdo l número ddo, d por resultdo cero. + (-)= (-) + = 0 Ley del elemento neutro Ley del opuesto Págin 19 de 94

20 Al igul que ocurre con los números enteros, l sustrcción enriquece l dición. Por lo que culquier sen los decimles y b, b b Recuerd entonces pr sumr y/o restr los números decimles, debes colocr los números uno debjo del otro de mner que los diversos órdenes de uniddes se correspondn, esto se consigue hciendo que ls coms de los distintos números queden en column. Por ejemplo: 1 3 2, , 4 2, Intuitivmente ceptmos que l sustrcción de decimles siempre existe y su resultdo es único, por lo que l sustrcción en decimles es un operción. Multiplicción De igul form l multiplicción en decimles positivos prolong l multiplicción en IN y ℤ, porque cumple con ls misms propieddes. Cundo uno quiere multiplicr los números decimles positivos cept l siguiente regl práctic: se multiplicn como si fuern enteros positivos, seprndo en el producto tnts cifrs decimles como tengn los fctores. Por ejemplo: 0,3 12 3, 6 L multiplicción en ID es un mplición de l multiplicción en por lo que opermos de l mism mner y por ser demás un mplición de l multiplicción en ℤ cundo tenemos que multiplicr decimles de igul y distinto signo lo resolvemos de mner similr: Cundo los números decimles y b, son del mismo signo, el producto b es positivo. Cundo los números decimles y b, son de distinto signo, el producto b es negtivo. Ejemplo: 0,3 12 3, 6 0,3 2,5 7,5 Ls propieddes que tiene l multiplicción en ID son ls misms que tiene l multiplicción en enteros. Propieddes de l multiplicción Propiedd conmuttiv El orden de los fctores no lter el producto. Propiedd socitiv: Ddos dos o más números decimles el producto finl no vrí si se reemplzn vrios fctores por su producto y efectudo. Ley del elemento neutro Existe en el conjunto ID, el elemento uno que multiplicdo culquier número entero, no lter el producto..b=b.. b. c = (. b). c =.( b. c) 1. 0= 1. = Págin 20 de 94

21 Ley del elemento Existe en el conjunto Z, el elemento cero que multiplicdo. 0= 0. = 0 bsorbente culquier número entero, d por resultdo cero. Propiedd distributiv de l multiplicción respecto de l sum y l rest El producto de un número deciml d. (+ b c)=d. +d.b - d.c por un sum lgebric, puede ser obtenido clculndo l sum de los productos de cd término de (+b c). d =.d +b.d c.d l sum por el fctor considerdo. El trbjo con l potencición y l rdicción y sus propieddes se trbjrn con el conjunto de los rcionles. Un elemento importnte considerr en l construcción de los números decimles, es que están socidos con el concepto de medid, sí como los números nturles lo están con l noción de contr. Tnto en uno como en el otro se trt de determinr l cntidd de veces que un objeto ddo está presente dentro de un conjunto de objetos similres. Pero hy un diferenci. Contr está relciondo con el cmpo de los objetos discretos, mientrs que medir lo está con el cmpo de los objetos continuos. En síntesis debe comprender que medir es l estrtegi desrrolld pr contr lo continuo, por lo tnto contr y medir están íntimmente relciondos y que, en el hecho de medir, precen conceptos como precisión, truncmiento, proximción, encudrmiento que son necesrios y que l medi bsolut, sin error no existe. Todo prto de medición y el ojo humno provocn errores inslvbles y cotbles. ORDEN COMPARACIÓN VALOR ABSOLUTO Resltremos lguns ides que debes tener clrs y que segurmente y conoces. Todo número deciml tiene su lugr en l rect numéric. (Más delnte te mostrremos un procedimiento pr ubicrlos) Si es un número deciml positivo, su opuesto es negtivo y, recíprocmente, si es negtivo su opuesto es positivo. 0 es el único deciml que es igul su opuesto. Recuerd que se llm vlor bsoluto o módulo de un número, y se expres l distnci que existe de dicho número l cero. El vlor bsoluto de cero es 0: = Pr comprr números decimles plicmos ls regls similres ls que usábmos con los números enteros: (1) Si los dos son positivos comprmos l prte enter, el que teng myor prte enter será el myor. Ejemplo: 12,5 < 18,87 65,125 > 50, 235 (2) Si los dos son positivos e igul l prte enter, comprmos l prte deciml prestndo tención ls uniddes de distinto orden. Ejemplo: 18,5 y 18,87 como 18,5=18,50 tengo 18,50<18,87 18,5 y 18,87 como 5<8 tengo 18,50<18,87 (3) Cundo los números comprr tienen diferente signo entonces Si b signific que b ID, Págin 21 de 94

22 por el contrrio si b signific que b ID Ejemplo: 2,35 2,37. En efecto, 2,37 2,35 0,07 y 0,07 ID 3,6 2,1. En efecto, 2,1 3,6 5,7 y 5,7 ID APROXIMACIONES En diverss ocsiones y por diferentes motivos, es frecuente utilizr en vez del vlor excto un proximción de l cntidd. Existen dos forms de proximción: por redondeo o por truncmiento. Truncr es cortr l expresión en un determind cntidd de decimles. (Omitimos ls cifrs ubicds l derech de l últim que nos interes) Ejemplo: 4,5825 Trunco los centésimos Trunco los décimos 4,5825 4,58 4,5825 4,5 Redonder es proximr l expresión l vlor más cercno, con el siguiente criterio: demás de omitir ls cifrs ubicds l derech de l últim que nos interes, ést l umentmos en uno si l cifr siguiente es igul o myor que cinco y l dejmos igul, si es igul o menor que cutro. Ejemplo: Esto es: 4,5825 Redondeo los centésimos 4,5825 4,58 (2<5, luego se dej como estb) Redondeo los décimos 4,5825 4,6 (8>5, luego se sum 1 l cifr de ls decens) Lo que oyes lo olvids, lo que ves lo recuerds, lo que hces lo prendes. Proverbio chino Págin 22 de 94

23 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES Los números nos permiten expresr l medid de cntiddes. Muchs veces, como mencionmos nteriormente, precen situciones en ls que con números enteros no es posible expresr un cntidd o simplemente no es lo más propido. Vemos lgunos ejemplos: De ls 3000 clorís recomendds pr un crecimiento sno en niños de de ells deben provenir de hidrtos de crbono, de lípidos y de 3 6 ños, proteíns. Necesiddes diris de vitmins A B C D E 0,5 mg 1,5 mg 1,5 2,0 mg 70 mg 0,03 mg Todos los números que figurn en estos ejemplos son rcionles. Todo número (positivo o negtivo) que puede ser expresdo como cociente de dos números enteros y b, siendo b 0, y que stisfcen l ecución b x es un número rcionl. Result de est definición que el número x es rcionl si: x signific b x b Es decir, los números rcionles dmiten representción frccionri b/ con, b enteros y b 0, tl como vimos pr los rcionles decimles. : ℚ= ℚ, ℚ, 0 Todo número rcionl tmbién puede drse medinte escritur posicionl, con el uso de un com deciml. Usulmente se dice que es escritur es un expresión o representción deciml. El conjunto de los números rcionles se simboliz con l letr Q (de Quotient plbr ingles que en espñol signific cociente o rzón). CONVENCIONES DE NOTACIÓN El conjunto Q contiene los números rcionles positivos y los números rcionles negtivos. Q+ es el conjunto de los rcionles positivos y Q- el de los rcionles negtivos. Q* es el conjunto de los números rcionles sin el cero, es decir Q* = Q {0} Q +* es el conjunto de los números rcionles estrictmente positivos es decir, de los números positivos sin el cero. Q -* es el conjunto de los números rcionles estrictmente negtivos es decir, de los números negtivos sin el cero. Entonces ten presente y b son números enteros y b 0. Puesto que pr todo entero, 1, se puede escribir es un número rcionl. ; entonces el número entero 1 Págin 23 de 94

24 254. Entonces como con todo número deciml puedo 10 proceder de l mism mner (multiplicándolo por un potenci de diez), los números decimles son rcionles. 25, por lo tnto 25,4 Todo número nturl, entero o deciml es rcionl pero existen número rcionles que no son 2 de ningun de ests ctegorís de números. Es el cso de por ejemplo, y que no podemos 3 escribirlo bjo l form de un número deciml, en efecto el resto de l división no es cero. ID RECUERDAS? Todo número rcionl dmite distints escriturs: l posicionl y l frccionri. L escritur (que se lee sobre b ) se llm frcción de numerdor y denomindor b b b Numerdor Numer, cuntific Cuántos son? 1 de cinco, dos de cinco? Denomindor Denomin, d nombre. Qué son? Tercios, medios, quintos? Hy que tener cuiddo en no identificr un número frccionrio con un frcción. En efecto, un número frccionrio o rcionl es un elemento del conjunto Q. En cmbio un frcción es un notción, un escritur del tipo /b, que tiene diferentes interpretciones según el contexto. Sólo cundo y b son números enteros, y b es no nulo, es escritur represent un número frccionrio. Por ejemplo 2 o son frcciones pero no son números rcionles. 4 2 DOS ESCRITURAS DISTINTAS PARA UN MISMO NÚMERO RACIONAL L escritur deciml de los números rcionles expresdos como frcciones: Pr obtener l escritur posicionl de un número deciml hy que dividir el numerdor de l frcción por el denomindor hst obtener resto cero; en el cso de no obtener resto cero, es un rcionl no deciml. Por ejemplo: 5 2,5 Rcionl deciml , luego se escribe 4, , luego se escribe 0, ,75 Rcionl deciml 4 Rcionl no deciml Rcionl no deciml L escritur frccionri de un número deciml: Pr expresr como frcción un número deciml (es decir quells con un número finito de cifrs decimles) se coloc en el numerdor el número sin l com y en el denomindor l unidd seguid de tntos ceros como cifrs decimles tiene el número. 2, , , , Págin 24 de 94

25 Cómo escribir un número rcionl no deciml con su escritur posicionl en escritur frccionri: , ,243ˆ Numerdor El número ddo sin l com menos l prte no periódic. Denomindor El número con tntos nueves como cifrs teng el período, seguidos de tntos ceros como cifrs teng l prte deciml no periódic Otro ejemplo: 3, ,2ˆ 9 9 DENSIDAD Los números rcionles cumplen l propiedd rquimedin o de densidd, esto es, pr culquier pr de números rcionles existe otro número rcionl situdo entre ellos, propiedd que no está presente en los números nturles y en los números enteros. Por eso se dice que los números rcionles son densos en l rect de los números reles. O se, el conjunto Q es denso en el conjunto IR de los números reles, porque entre dos números rcionles existe otro rcionl. Fácil es interclr, por ejemplo, un número rcionl entre los números luego el rcionl está entre y y 7 9 OTROS CONCEPTOS Recordemos lgunos conceptos relciondos con l escritur frccionri: FRACCIÓN DECIMAL: es tod frcción cuyo denomindor es un potenci de diez o un frcción 12 equivlente ell. Corresponde l escritur frccionri de un número deciml. Ejemplo: o y que NÚMERO MIXTO: tod frcción myor que l unidd puede ser expresd como número mixto. 7 1 Ejemplo: FRACCIÓN IRREDUCIBLE: el numerdor y el denomindor son coprimos. FRACCIONES EQUIVALENTES: dos o más frcciones son equivlentes si representn l mismo número rcionl. Pr obtener frcciones equivlentes se puede multiplicr (o dividir, si es posible) numerdor y denomindor por el mismo número. Ejemplo: FRACCIÓN PROPIA: frcción menor que l unidd. (El numerdor es menor que el denomindor). 1 5 Ejemplo: ; 3 9 Págin 25 de 94

26 FRACCIÓN IMPROPIA: frcción myor que l unidd. (El numerdor es myor que el 7 12 denomindor). Ejemplo: ; 3 5 FRACCIÓN APARENTE: frcción que l dividir el numerdor por el denomindor se obtiene un 16 3 número entero. (El numerdor es múltiplo del denomindor). Ejemplo: ; 4 3 ORDEN EN Q. REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA Resltremos lguns ides que debes tener clrs y que segurmente y conoces. Todo número rcionl tiene su lugr en l rect numéric. Si es un número rcionl positivo, su opuesto es negtivo y, recíprocmente, si es negtivo su opuesto es positivo. 0 es el único rcionl que es igul su opuesto. Comprción de números frccionrios: Hy vrios métodos. Recordemos los más usdos. Método A Método B Dividimos el numerdor por el Aplicmos l siguiente propiedd: denomindor y comprmos ls c si, entonces d b c escriturs decimles que resultn b d c 7 3 :b c :d pues b d < 60 pues 0,35 y 0, L rect numéric. Pr representr en l rect numéric debemos recordr qué indicn el numerdor y el denomindor. Pr representr rcionles negtivos recordmos lo que y sbemos de los enteros: positivos derech del cero, negtivos izquierd Represent en l rect numéric: ; ; ; Con los números rcionles no se complet l rect numéric. OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES En Q están definids dos operciones interns: dición y multiplicción. Ello signific que, si se sumn o se multiplicn dos números rcionles, el resultdo siempre existe y es un único número rcionl. Tmbién está definid l sustrcción, que se gnó, recordemos en los enteros cundo se definió el opuesto de cd elemento. Págin 26 de 94

27 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN Pr sumr o restr números frccionrios de igul denomindor, summos y restmos los numerdores y dejmos el mismo denomindor. Ejemplo: Pr sumr o restr números frccionrios de distinto denomindor, existen dos procedimientos posibles: MÉTODO A Buscmos l frcción equivlente de cd sumndo de mner que tengn igul denomindor. summos y restmos los numerdores y dejmos el mismo denomindor MÉTODO B Ejemplo: Colocmos como denomindor el m.c.m. de los números que figurn en el denomindor Dividimos el denomindor común por cd x denomindor y multiplicmos este cociente por cd numerdor. Opermos con los términos que obtuvimos y luego si es posible simplificmos. L dición de números rcionles prolong l dición en ID, porque cumple con ls misms propieddes. L dición de números rcionles cumple con ls siguientes propieddes: conmuttiv, socitiv, existenci del elemento neutro (0) y existenci del elemento opuesto (inverso ditivo). MULTIPLICACIÓN. Pr multiplicr números frccionrios se simplific siempre que se posible culquier numerdor con culquier denomindor. Se multiplicn los numerdores y los denomindores entre sí Recpitulemos ls propieddes de l multiplicción: conmuttiv, socitiv, existenci del elemento neutro (0); existenci del elemento bsorbente y distributiv respecto de l dición y sustrcción. En el conjunto de los rcionles, se greg un propiedd: l del inverso multiplictivo. PROPIEDAD DEL INVERSO MULTIPLICATIVO: Todo elemento del conjunto, dmite un inverso multiplictivo ( 1 ), tl que multiplicdo l número ddo, d por resultdo uno. Ejemplos: Págin 27 de 94

28 Con est nuev propiedd csi qued resuelto el problem de l división. Por qué csi? Porque l división en el conjunto de los rcionles tendrá siempre un resultdo posible con l únic excepción del denomindor nulo. DIVISIÓN : El cociente entre dos números rcionles es otro número rcionl que se obtiene multiplicndo l primer frcción por el inverso multiplictivo de l segund. POTENCIACIÓN 2 Pr elevr un número rcionl un exponente positivo, lo escribimos como número frccionrio y plicmos l propiedd distributiv de l potencición respecto de l división , Pr elevr un número rcionl distinto de cero, un exponente negtivo, invierto el número frccionrio y l elevo l opuesto del exponente (es decir l exponente positivo). RADICACIÓN Pr clculr ls ríces de un número frccionrio plicmos l propiedd distributiv de l rdicción respecto de l división Respecto los signos plicmos ls regls de los signos y vists pr el conjunto de los números enteros. El que no se equivoc nunc es porque nunc hce nd. Mhom PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN Y DE LA RADICACIÓN PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN 1 Potenci de exponente negtivo n Potenci de otr potenci (los exponentes se multiplicn) n m n m Producto de potencis de igul bse (los exponentes se sumn). n m n m Cociente de potencis de igul bse (los exponentes se restn). n : m Distributiv respecto de l multiplicción. b n n bn n 0 n m n m : b n n : bn Distributiv respecto de l división. n n n b b Págin 28 de 94

29 PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN. n L rdicción se puede expresr como un potenci de exponente frccionrio: Ríz de ríz (los índices se multiplicn) nm Distributiv respecto de l multiplicción. n Distributiv respecto de l división. n.m b n n b n :b n :nb n b n n b 1 n Simplificción de los índices (divido índice y exponente por el mismo número) n m n:r m:r r 0 Ejemplos: Eliminción del rdicl x4 x2 n n n es impr n n n es pr Ejemplos: ( 3 )3 3 Amplificción de índices (multiplico índice y exponente por el mismo número) n p n r p r con r 0 Págin 29 de 94

30 Trbjo Práctico Págin 30 de 94

31 ACTIVIDADES DE CONJUNTOS NUMÉRICOS 1- Se busc un número Descubre el o los números que te indicn ls pists. Invent un trjet con no más de 4 pists de mner que l respuests se un único número. A Tiene un docen de decens. Sus cifrs formn un serie ordend. Tiene tres cifrs. D L cifr de ls uniddes coincide con l de ls decens. Tiene exctmente 11 centens. L cifr de ls decens super en dos l de ls centens. Tods sus cifrs son impres B Está entre y Tiene exctmente 132 centens. L cifr de ls decens es un número myor que 3 y menor que 7. E Tiene más de 98 centens. Tiene cutro cifrs. Al gregrle 5 decens, ps tener 5 cifrs. L cifr de ls uniddes es 0. C Es myor que y menor que Es impr. L cifr de ls centens es 5. Tiene dos cifrs igules. L sum de sus cifrs es Ubic proximdmente los siguientes contecimientos históricos sobre l líne del tiempo. Primer Reino bbilónico (1792.C.) Descubrimiento de Améric (1492) Cíd del imperio romno de Occidente (476) Creción del Virreinto del Río de l Plt (1776) Ncimiento de Cristo. Invsión de los dorios Greci (1200.C.) Cíd de Constntinopl (1453) Instlción de l Repúblic romn (509.C.) Págin 31 de 94

32 A prtir de l líne de tiempo responde: ) Cuánto tiempo psó desde l instlción de l Repúblic romn hst l cíd del Imperio Romno de Occidente? b) De los menciondos, cuál es el contecimiento más ntiguo? c) Cuánto tiempo psó desde el descubrimiento de Améric hst l creción del Virreinto del Río de l Plt? d) Cuántos ños hn trnscurrido desde l cíd de Constntinopl? 3- A prtir de l lectur del gráfico responde. ) Cuáles son ls temperturs máxim y mínim que se registrron? b) Cuál h sido l vrición de tempertur entre ls 17 y ls 20 hors?, y entre ls 13 y ls 15?, y entre ls 22 y ls 24? c) Entre qué hors l tempertur h umentdo 3? d) Entre qué hors el cmbio de tempertur fue de 17? e) A qué hors no h cmbido l tempertur? f) A qué hors se dio l myor vrición de tempertur? 4- Ddos los siguientes números: -4 ; -7 ; -6 ; -2 ; 4 ; -9 ; -7; 1 ; 0. ) Orden en form creciente. b) Indic los números opuestos c) Qué números están en l rect numéric l derech de 1? d) Qué números están en l rect numéric l izquierd de (-2)? e) Quién tiene myor módulo? 5- Represent en l rect numéric los números enteros que cumpln con l condición pedid. Utiliz un rect distint pr cd cso. ) b) c) d) Que sen myores que 2 y menores o igules que 3. Que sen menores que 5 y myores o igules que 10. Que tengn módulo 4 Que tengn módulo menor que 3. Págin 32 de 94

33 6- Los números y b representdos en l rect son números enteros. - m ) Ubic en ls mism rect el cero y m. b) Orden de menor myor los números enteros ; m; v; p y f teniendo en cuent que:, v y p son positivos. v < m y v > f es negtivo y myor que. 7- Complet el cudro con los vlores correspondientes. NÚMERO OPUESTO MÓDULO SIGUIENTE ANTERIOR Complet l tbl e invent los ejemplos que fltn b c b c b c b b 4 3c 1 c -8 4 A prtir de observr l tbl responde. ) Qué column te resultó más fácil llenr? por qué? b) Qué obtenemos en l últim column. c) Qué propieddes se evidencin? 9- Complet con SIEMPRE AVECES- o NUNCA según correspond. ) L sustrcción de números nturles tiene solución en nturles.. b) El producto de dos números nturles es un número deciml.. c) L sustrcción de dos números enteros es positiv.. d) L dición de dos números enteros es un número entero.. e) El cudrdo de un número entero es positivo.. f) Si es un número entero pr, su mitd es myor.. Págin 33 de 94

34 g) L división de dos números enteros es otro número entero.. h) L rest de dos números enteros es un número nturl:. 10- Hll: ) El producto entre el opuesto de 8 y el opuesto de -4. b) L diferenci entre el opuesto de 5 y el vlor bsoluto de -8. c) El cociente entre el opuesto de 24 y el opuesto de Escribe o según correspond teniendo en cuent que m; n; p; q; r; u; y t son números enteros. En cso de que se igul escribe si es posible, el nombre completo de l propiedd que se plicó. ) (-4) (-4) b) c) d) 36 : (6 4) e) m + n [(-p) + q]... m + n + p q f) (r + u) : p... r : p +u : p g) (-) + p + (-)... p h) m (-p) + p + t... m + t 12- Complet y escribe en cd cso l propiedd que plicste. 3 ) m 2 m... por l propiedd b) f 5 : f 8 f... por l propiedd c) por l propiedd 13- Clcul ls siguientes potencis y ríces 53=.. (-5)2=.. 3 (-5) =.. 4 (-3) = =.. 5 (-3) = =.. -30= Aplic propieddes pr que los cálculos resulten más simples. (Resuelve en tu hoj) ) = b) = c) = d) = e) = f) = 15- Resuelve ls siguientes situciones I. II. III. L er de los romnos empiez en el ño 754.C. l de los musulmnes en el ño 622 d.c. Cuántos ños trnscurrieron desde el comienzo de l er romn hst el comienzo de l er musulmn? Entre ls 7 de l mñn y el mediodí, l tempertur subió 12º C. Si ls 7 de l mñn l tempertur er de -5 ºC, qué tempertur indicb el termómetro l mediodí? Qué distnci hy entre el suelo del pozo de un min que está situdo 518 metros de profundidd y el tejdo de un cs que está un ltur de 19 metros? Págin 34 de 94

35 IV. V. VI. El scensor de un edificio lleg l sótno -3 después de bjr 7 pisos, En qué plnt estb el scensor? Un globo está en el ire. Desciende 90 metros, luego 70 metros y después sube 100 metros. Al finl está un ltur de 800 metros. Cuál er l ltur inicil del globo? Hce dos ños un empres obtuvo unos beneficios por vlor de euros. El ño psdo tuvo pérdids de euros. Cuál es el blnce de l empres en los dos últimos ños? 16- L rect numéric de l figur está dibujd sobre ppel cudriculdo pr poder leer subdivisiones de l unidd que, como ves, brc diez ldos de cudrditos. Respondé en tu crpet ls pregunts que siguen. En l rect: ) Qué frcción represent 1 cm?, y 1 mm? c) Qué longitud en cm tiene? y? 5 20 b) A qué distnci de 0, en cm, está?, y 3 4 d) A qué distnci de 0 está? y 2? 4 9? Us tu regl pr verigur qué número frccionrio corresponde cd uno de los puntos M, N, P, Q y R. Escríbelos en tu crpet, expréslos con más de un frcción, usndo frcciones equivlentes. 18- Observ ls siguientes rects, ) Qué frcciones equivlentes encuentrs? Escribe l menos tres pres de ells. b) Expres el dos como un frcción: de denomindor 5.. de denomindor 6.. c) Busc en ls rects un frcción equivlente -3:.. Págin 35 de 94

36 19- En un representción de ls temperturs sobre l rect numéric, si nos trsldmos de izquierd derech, ls temperturs umentn o disminuyen? Responde en tu crpet y explic por qué. 20- Observ los siguientes pres de números y escribí el signo que corresponde. (Recordá que < se lee es menor que, > se lee es myor que.) 3,5 ºC 6 ºC 2,7 ºC 0 ºC 1,5 ºC 0,5 ºC 0,5 ºC Decide si ls siguientes desigulddes son flss o verdders y escribe poniendo en el recudro F (flso) o V (verddero) según correspond. 1,5 > 0,495 0,495 < 0 1,5 < 3,8 3,8 > 0,150-1,5 < 1,18 10,50 < 10,8 22- Ordenndo rcionles. ) Copi y complet con <, > o = según correspond. b) Escribí ls siguientes expresiones completndo cd firmción con un número rcionl de modo que resulte verdder. c) Cuántos números rcionles podés elegir en cd cso? Responde cso por cso. 23- Escribe V o F cd firmción. Justific. ) 2 es un número rcionl. b) c) -3 es un número nturl... d) 5 es un número rcionl.. e) Algunos números enteros son rcionles.. f) g) Todo número rcionl puede expresrse como frcción.. 18,6 es un número rcionl h) ˆ 1,3 3 es un número rcionl.. 4 es un número deciml. 24- Todos estos dibujos representn 1? Explic tu respuest. 4 Págin 36 de 94

37 25- Mrc con un cruz cuáles de ls siguientes frcciones son decimles 26- Mrc con un cruz cuáles de ls siguientes expresiones corresponden números decimles 5 ; 4 5 ; 10 2 ; 3 12 ; 4 44 ; 6 12,5 ; 27- Expresr los siguientes números en escritur posicionl ,3 ; Escribir en form de frcción ) 59,73 = b) 45,9= c) 0,37 = d) 0,0037= 29- Clculndo con números rcionles. ) Fijte que y b tienen los vlores indicdos en ls primers columns. Pr completr l últim fil elegí vos un vlor. b) Observ el cudro y responde en tu crpet: i. Qué operción d siempre el mismo resultdo que b? ii. Cuál es el resultdo de sumr 0 un número rcionl? iii. Cuál es el resultdo de un rest en l que el minuendo es 0? iv. Cuál es el resultdo de un rest en l que el sustrendo es 0? Págin 37 de 94

38 30- Al reprtir 6 pizzs en prtes igules entre 4 migos uno decí que cd uno le tocb 6 ; y lgunos decín que le tocb y. Quiénes tienen rzón? Con un botell de 2 y, Cuánts botellits de se pueden llenr? El cfé se vende en pquetes de, cuántos pquetes hy que comprr pr tener medio 4 otro decí kilo? 33- Clculr: ) 3,6 + 4,7 = c) 9,3 + 5,7 + 3,2 = b) 43,6 + 39,7 + 23,86 = d) 0,7 + 0,56 = 34- Efectur: ) 4,7-3,2 = b) 9,36-4,59 c) 45,6-23,80= 35- Cuál es l sum de cutro números si el primero es 538,243 y cd uno de los siguientes es igul l nterior más 23,86? 36- De un depósito con gu se scn 36,6 litros y después 23,86 litros; finlmente se scn 9,6 litros. Al finl en el depósito quedn 239 litros. Qué cntidd de gu hbí en el depósito? 37- Hllr ls frcciones irreducibles de los siguientes decimles. ) 0,64 b) 0,47 c) 4,5 d) 6,3 e) 5,8 38- Hllr ls frcciones irreducibles de ls siguientes expresiones. ) 0,24 b) 0,25 c) 0,46 d) 2,34 4, Si solo tenés moneds de $1; de 50 centvos; de 25 centvos; de 10 centvos y de un centvo, escribí con cuáles formrís l sum de $3,87. Cómo podés pgr l mism cntidd si no tenés moneds de $1? Si hy más de un posibilidd, escribe l menos tres diferentes. 40- Qué número se formn con un entero, 25 décimos y 4 centésimos? 41- Buscá dos frcciones entre qué? 3 4 y. Podrís hber encontrdo más? Cuánts más? Por Armá el número 4,035 con los vlores 0,1; 0,01; 0,001. Cuántos de cd uno necesits? hy un sol mner de responder l pregunt? Explic por qué. 43- Sin hcer l división escribí dos frcciones no equivlentes que puedn expresrse como un expresión deciml finit, y otrs dos con un expresión deciml periódic. 44- Nicolás dice que el siguiente de 2,325 es 2,326. Tiene rzón? Por qué? 45- Intercl seis números rcionles entre los siguientes vlores: Págin 38 de 94