PROBABILIDAD CON APLICACIONES

Transcripción

1 PROBABILIDAD CON APLICACIONES M. WOODROOFE UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO DIVISIÓN DE CIENCIAS FORESTALES DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA, MATEMÁTICA Y CÓMPUTO

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3 MICHAEL WOODROOFE Profesor de Matemáticas y Estadística Uiversidad de Michiga Probabilidad co Aplicacioes

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5 v NOTA DEL TRADUCTOR El propósito de la traducció de este libro es proporcioar a los estudiates de la liceciatura e estadística de la Uiversidad Autóoma Chapigo los elemetos fudametales de la probabilidad e su leguaje matero para evitar ua doble complejidad que se geeraría e aquellos o habilitados e el iglés. Si se optó por ua traducció e lugar de la elaboració de u texto fue por el recoocimieto que el traductor tiee de la estructura, el orde, el maejo de los fudametos y el alcace de los ejercicios icluidos que e geeral está presetes e los textos de esta aturaleza elaborados e las grades uiversidades. No puede ser descartado ir a las fuetes recoocidas imersas e los lugares dode se ha desarrollado el coocimieto cietífico de iterés. De acuerdo al pla de estudios de la liceciatura mecioada se deberá cubrir los primeros cico capítulos del libro e el curso semestral de Probabilidad I y los siguietes cico capítulos e el curso semestral de Probabilidad II. Sólo como tópicos especiales se deberá usar los últimos dos capítulos. La impresió de este material sólo tiee propósitos docetes y o tiee absolutamete igua iteció de lucro. Esta versió, por la premura que se tiee de ser usada e los cursos señalados, o tuvo ua correcció de estilo, problema que será superado e la siguiete edició. Fracisco J. Zamudio S. Eero del 000

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7 vii TABLA DE CONTENIDO Nota del Traductor... v Prefacio... xiii El Modelo Clásico..... Itroducció..... Aálisis Combiatorio Modelos de Uras Muestras Desordeadas Muestras Ordeadas Problemas de Ocupació El Teorema Biomial Geeralizado La Fórmula de Stirlig Problemas Probabilidad Axiomática Probabilidad, Frecuecia, y Grado de Creecia U Modelo Matemático Alguas Cosecuecias Elemetales de los Primeros Dos Axiomas Combiacioes de Evetos Equivaletes del Tercer Axioma... 63

8 viii.6 Problemas Probabilidad Codicioal e Idepedecia Probabilidad Codicioal El Teorema de Bayes Idepedecia Alguas Propiedades de Idepedecia Esayos Repetidos: Espacios Producto Problemas Las Probabilidades Biomiales y Relacioadas Las Probabilidades Biomiales Las Probabilidades Biomiales Negativas Teorema de Poisso: La Ley de Evetos Raros La Curva Normal Aproximació Normal Los Teoremas de Demoivre-Laplace Problemas Variables Aleatorias Variables Aleatorias Distribucioes Discretas Distribucioes Absolutamete Cotiuas Las Distribucioes Gama y Beta Fucioes de Distribució Cálculos co Fucioes de Distribució Mediaas y Modas Propiedades de las Fucioes de Distribució Problemas Vectores Aleatorios Distribucioes Bivariadas Distribucioes Margiales e Idepedecia Mayores Dimesioes... 87

9 NOTA DEL TRADUCTOR ix 6.4 Ejemplos Problemas Teoría de Distribucioes Distribucioes Uivariadas Distribucioes Multivariadas Covolucioes Jacobiaos Muestreo de ua Distribució Normal Descomposició Radioactiva Problemas Esperaza Esperaza Propiedades de la Esperaza La Media y la Variaza La Fució Geeratriz de Mometos Covariaza y Correlació Ejemplos Problemas Teoremas Límites Alguas Desigualdades Útiles La Ley Débil de los Grades Números Variacioes de la Ley Débil de los Grades Números El Teorema del Límite Cetral Distribucioes de Valores Extremos Problemas Esperaza y Distribucioes Codicioales Fucioes Masa y Desidades Codicioales Probabilidad Codicioal Esperaza Codicioal Dimesioes Mayores

10 x 0.5 Teoría de Decisió Procesos Ramificados Problemas Camiatas Aleatorias Sucesió Ifiita de Variables Aleatorias El Problema de la Ruia del Jugador Los Lemas de Borel-Catelli Recurrecia Covergecia co Probabilidad Alguas Desigualdades La Ley Fuerte de los Grades Números La Ley del Logaritmo Iterado Problemas Martigalas Sistemas de Juego Martigalas Propiedades Elemetales de las Martigalas El Teorema de la Iterrupció Opcioal Aplicacioes del Teorema de la Iterrupció Opcioal La Desigualdad de la Submartigala Problemas Apédices Apédice A. Teoría de Cojutos Apédice B. Itegració Apédice C. Tablas Apédice D. Referecias Apédice E. Respuestas a Problemas Seleccioados Ídice Ídice

11 NOTA DEL TRADUCTOR xi

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13 xiii PREFACIO Este libro se ha desarrollado de varios diferetes cursos que he dado e la Uiversidad de Michiga durate los pasados pocos años. Los estudiates e estos cursos fuero esecialmete de los dos últimos años de la liceciatura y del primer año de postgrado e matemáticas y campos relacioados como la igeiería, estadística, psicología matemática, y ecoometría, y este libro está diseñado para tal audiecia. Las versioes prelimiares del libro usadas e estos cursos se ha visto beeficiadas de los cometarios de los estudiates. El libro tiee varios propósitos. Primero, como libro de texto, iteta itroducir a sus lectores a los coceptos básicos de probabilidad y familiarizarlos co la teoría matemática de la probabilidad. U coocimieto estudiado de las seccioes si asterisco de los Capítulos a 0 debe permitir al lector eteder las aplicacioes de la teoría de probabilidades a muchos feómeos cietíficos y sociales. Otro objetivo, igualmete importate, es desarrollar la ituició del lector acerca de la probabilidad. El libro cotiee umerosos ejemplos y varias aplicacioes a problemas cietíficos y estadísticos. Además, muchos temas ha sido efocados desde más de u puto de vista. El libro tambié está itetado para servir de referecia para aquellos cuyo etreamieto formal e probabilidad o cotiúa más allá del ivel itroductorio. Así, el libro cotiee mucho material que ecuetra múltiples aplicacioes pero que o sería usualmete presetado e u curso itroductorio. Este material adicioal ha sido colocado e seccioes

14 xiv al pie de págia y puede ser omitido si pérdida de cotiuidad. Le puede proveer tambié a u istructor ua amplia selecció de tópicos especiales de los cuales el puede seleccioar uo o dos para estudios a profudidad. El libro se divide aturalmete e tres partes. Los Capítulos a 4 trata la probabilidad combiatoria e itroduce las ocioes de espacio muestral, probabilidad estadística y subjetiva, probabilidad codicioal, e idepedecia. Las ocioes de variable aleatoria, distribució de probabilidad, y esperaza so etoces itroducidas y desarrolladas e los Capítulos 5 a 0. Fialmete, los Capítulos y itroduce al lector a los procesos estocásticos y desarrolla las camiatas aleatorias y las martigalas. Las seccioes si asterisco de los Capítulos a 0 forma la base para u curso itroductorio fuerte e la teoría de probabilidades. El prerrequisito para ua lectura iteligete de este libro es años de cálculo. Coocimieto adicioal es deseable para los Capítulos y, pero o es esecial. El libro se ha beeficiado de la discusió que he teido co Bill Ericso, Richard Olshe, Herb Robbis, Norma Starr, y Jim Wedel. Patricia Holly hizo u trabajo eficiete co la mecaografía, y Charles Séller y Fracis Smoc ayudaro co la correcció de estilo. A todos mis siceras gracias. MICHAEL WOODROOFE

15 El Modelo Clásico.. INTRODUCCIÓN Comezaremos uestro estudio de la teoría de la probabilidad co juegos de azar. E este capítulo estudiamos juegos de azar que debe resultar e uo de u úmero fiito de posibles sucesos, la totalidad de los cuales puede ser especificada ates de que el juego sea jugado. Por ejemplo, la mayoría de los juegos de carta so de esta aturaleza. Nuestra meta e este capítulo es costruir u modelo matemático para tales juegos y desarrollar alguas de las propiedades más simples del modelo. El modelo que escogimos es deomiado el modelo clásico porque fue el primer modelo de probabilidad e ser estudiado. Dado u juego de azar particular, como descrito ateriormete, deotaremos al cojuto de posibles sucesos del juego por S, y deomiaremos a S el espacio muestral. Subcojutos de S será deomiados evetos, y u eveto A S se dirá que ocurre si y sólo si el suceso real del juego es u elemeto de A. Por ejemplo, si uestro juego cosiste de lazar ua vez u dado balaceado, podríamos tomar S para ser el cojuto {,, 3, 4, 5, 6} co la coveció de que S represeta el suceso de que ua cara mostrado exactamete putos aparece. El eveto de que u úmero o de putos aparezca es etoces A = {, 3, 5}, y el eveto de que úicamete u puto aparezca es {}. Referecias a trabajos sobre la historia de la probabilidad so dadas al fial del capítulo. Espacio de sucesos sería mejor, pero usaremos la termiología covecioal espacio muestral.

16 INTRODUCCIÓN Si S es el espacio muestral para u juego particular y A S es u eveto, defiimos la probabilidad de A para ser P A A (.) dode para cualquier subcojuto B S, B deota el úmero de elemetos distitos de B. Así, detro del modelo clásico, la probabilidad de u eveto es el cociete del úmero de sucesos que implica la ocurrecia del eveto al úmero total de posibles sucesos. Por ejemplo, e el juego del dado mecioado ateriormete, la probabilidad del eveto A = {, 3, 5} de que u úmero o de putos aparezca es P(A) = 3/6 = /, mietras que la probabilidad de que sólo u puto aparezca es P({}) = /6. La Ecuació (.) defie ua fució cuyo domiio es la clase (o cojuto) de todos los subcojutos de S. Así, la probabilidad es ua propiedad de cojutos (evetos) A S, o de putos s S. E particular, si s S, os referiremos a {s}, el cojuto cuyo úico elemeto es s, como el eveto de que el suceso de uestro juego será s. La Ecuació (.) etoces requiere P({s}) = / S. El símbolo P(s) o ha sido defiido. Para referecia posterior, observamos que la fució P de la Ecuació (.) tiee las siguietes propiedades: P S A PS (.) 0 P A B PA PB si AB (.3) P A PA (.4) dode A B deota la uió de A y B, AB deota la itersecció de A y B, A' deota el complemeto de A, y deota el cojuto vacío. Por ejemplo, para establecer (.3) simplemete observe que si AB =, etoces A B = A + B, así que P(A B) = P(A) + P(B) por (.). La Ecuació (.4) etoces se sigue de P(A) + P(A') = P(S) =, y (.) es obvia. Estas propiedades so alguas veces útiles e reducir u cálculo complicado a ua serie de cálculos más secillos. EJEMPLO.. Si dos dados balaceados distiguibles so lazados, podemos describir el suceso del juego por u par ordeado (x,y), dode x deota el úmero de putos sobre el primer dado y y el 3 Alguos elemetos de la teoría de cojutos so revisados e el Apédice A.

17 EL MODELO CLÁSICO 3 úmero sobre el segudo. Así, podemos tomar S para ser el cojuto de pares ordeados (x,y), dode x y y so eteros etre y 6. Ua ispecció muestra que hay S = 36 elemetos e S. Calculemos la probabilidad del eveto A de que la suma de putos sobre los dos dados es 7. Claramete A, 6,, 5, 3, 4, 4, 3, 5,, 6, así que A = 6. Por tato, P(A) = /6. //// Auque el ejemplo es completamete simple, repagará su estudio cuidadoso, porque la técica empleada e el Ejemplo.. será empleada a través de este capítulo. Observe que dimos ua cuidadosa descripció del espacio muestral (cojuto de posibles sucesos) y del eveto A cuya probabilidad deseábamos calcular. Después que esto fue hecho, el cálculo de P(A) sólo ivolucró cotar el úmero de elemetos e A, cotar el úmero de elemetos e S, y dividir. Coceptualmete, todos los problemas que ecotraremos e este capítulo so ta simples como el Ejemplo.., auque el coteo real puede covertirse e algo u poquito más complicado. Muchos estudiates tiee dificultad co la teoría de probabilidad elemetal porque ellos o coceptualiza los problemas apropiadamete. Eso es, ellos o toma el tiempo y el esfuerzo para defiir su espacio muestral y eveto cuidadosamete. Como u resultado, ellos o sabe qué cotar. Por tato, repetimos: El primer paso e calcular cualquier probabilidad e este capítulo debe ser ua defiició cuidadosa del espacio muestral y del eveto cuya probabilidad tiee que ser calculada. La Ecuació (.) refleja ua suposició acerca del juego bajo cosideració. Es decir, supoe que los varios sucesos del experimeto so igualmete verosímiles e el setido de que P({s}) = / S para toda s S. Por lo tato estamos cofrotados co la siguiete cuestió: A qué juegos aplica el modelo clásico? Discutimos esta cuestió e la Secció.. Por el mometo, supoemos que el lector ha teido suficiete experiecia co tales térmios como "azar," "verosímil," y "probabilidad" para idetificar juegos a los cuales el modelo clásico aplica... ANÁLISIS COMBINATORIO Al pricipio, todos los cálculos que so derivados del modelo clásico so completamete directos. Idudablemete, para calcular P(A) de (.) uo sólo tiee que cotar el úmero de elemetos distitos e A, cotar el úmero de distitos elemetos e S, y dividir el aterior por el último. E la práctica, si embargo, a meudo es imposible cotar el úmero de elemetos e A o S por simple ispecció. Por ejemplo, si deseáramos calcular la probabilidad recibir u 'full' e u juego de póquer, o podríamos realistamete esperar listar

18 4 ANÁLISIS COMBINATORIO todas las posibles maos de póquer y cotar el úmero que cotiee tres cartas de ua deomiació y dos de otra. Por qué? Porque, como veremos e el Ejemplo..4a, hay,598,960 distitas maos de póquer. Lo que ecesitamos es u método eficiete de coteo, uo que os permita cotar el úmero total de distitas maos de póquer si, de hecho, listarlas, por ejemplo. El cuerpo de técicas que cosiste de este método eficiete de coteo es coocido como aálisis combiatorio y es el tópico de la presete secció. Si Z es u cojuto o vacío y es u etero positivo, etoces defiimos ua eta ordeada de elemetos de Z para ser u arreglo (z,z,,z ) co z i Z para i =,,,. z i es deomiada la iésima compoete de (z,z,,z ) para i =,,,. Cuado o hay peligro de cofusió, omitiremos la frase "de elemetos de Z," y cuado = o 3, referiremos a las etas ordeadas como pares ordeados y tripletas ordeadas, respectivamete. Dos etas ordeadas so iguales si y sólo si ellas tiee los mismos elemetos e el mismo orde. Eso es, (z,,z ) = (w,,w ) si y sólo si z i = z i para i =,,. La oció de ua eta ordeada de elemetos de Z debe ser cotrastada co la oció de u subcojuto {z,,z } Z de Z. Dos subcojutos {z,,z } y {w,,z j } so iguales si ellos lista los mismos elemetos, au cuado ellos los liste e diferetes ordees o co repetició. Por ejemplo, {,} = {,} = {,,}, pero (,) (,). La distició es simple pero importate. Ua eta ordeada de elemetos de Z, digamos (z,z,,z ), co distitas compoetes (eso es, z i z j para i j) es deomiada ua permutació de elemetos de Z. U subcojuto {z,,z ) co distitos elemetos es deomiado ua combiació de elemetos de Z. Muchos de los problemas e este capítulo será expresados e térmios de permutacioes y combiacioes. El aálisis combiatorio que ecesitaremos será derivado del siguiete pricipio básico, que adoptamos como u axioma. El pricipio básico del aálisis combiatorio Supoer que podemos seleccioar dos objetos x y y e ese orde. Si teemos m distitas seleccioes para x y distitas seleccioes para y, dode m y so eteros positivos, etoces podemos seleccioar el par ordeado (x,y) e m distitas formas. Más geeralmete, supoer que es u etero y que los objetos x,... x so seleccioados secuecialmete; eso es, primero x, etoces x,. Si x i puede ser seleccioada e i distitas formas, i =,,, etoces la eta ordeada (x,... x ) puede ser seleccioada e distitas formas.

19 EL MODELO CLÁSICO 5 La seguda afirmació del pricipio básico puede, de hecho, ser derivada de la primera por iducció matemática. Dejamos la derivació como u ejercicio para el lector iteresado y os dirigimos directamete a alguos ejemplos. EJEMPLO.. De u meú que cotiee 3 sopas, esaladas, 6 platos pricipales, y 3 postres, = 08 diferetes comidas puede ser ordeadas. Simplemete tome x para ser la sopa, x para ser la esalada, x 3 para ser el plato pricipal, y x 4 para ser el postre y aplique el pricipio básico co = 4. //// Debe ser efatizado que el pricipio básico permite al cojuto de objetos del cual x i es seleccioado depeder de la selecció de x,,x i-. Úicamete el úmero de posibles seleccioes i debe ser fijado co aticipació. EJEMPLO.. Si u hombre tiee camisas color rojo, verde, y oro y corbatas color rojo, verde, y oro, cuátas formas puede el escoger diferetes colores para su camisa y corbata? 3 = 6, porque él tiee 3 posibilidades para el color de su camisa y, después de eso, sólo para el color de su corbata. Aquí, por supuesto, los dos colores de los cuales el seleccioa el color de su corbata depederá del color que el seleccioó para su camisa. //// Teorema.. Sea Z u cojuto coteiedo distitos elemetos, y sea u etero. Etoces, hay distitas etas ordeadas (z,,z ) co z i Z, i =,,. Si, etoces hay (.) distitas etas ordeadas co distitas compoetes, eso es, z i z j para i j. PRUEBA Para seleccioar ua eta ordeada (z,,z ) co z i Z, i =,,, teemos seleccioes para z, seleccioes para z, y e geeral, seleccioes para z i, i =,,. Por tato, por el pricipio básico, teemos = seleccioes para (z,,z ). Si y requerimos que las z i sea distitas, etoces aú teemos seleccioes para z pero sólo para z, que debe ser diferete de z, y sólo para z 3, que debe diferir de ambas z y z. E geeral, tedremos i + seleccioes para z i, i =,,, y por lo tato ( )( +) = () seleccioes para (z,,z ).

20 6 ANÁLISIS COMBINATORIO EJEMPLO..3 Si cuatro dados distiguibles so lazados, hay 6 4 = 96 sucesos distiguibles. De estos hay (6) 4 = 360 sucesos distiguibles para los cuales igua pareja de dados muestra el mismo úmero de putos. Idudablemete, podemos aplicar el teorema co Z = {,,6} permitiedo que z i deote el úmero de putos que aparece sobre el iésimo dado, i =, 4. //// La otació () ha sido defiida por (.) cuado y so eteros positivos para los cuales. Ahora extedemos esta otació defiiedo //// 0 (. ) 0 a 0 si < 0 o > (. b) para = 0,,,. Ecotraremos tambié coveiete escribir! (leer " factorial") para (). Así, 0! =, y (.3)! para =,,. El Teorema.. etoces asegura que si Z cotiee distitos elemetos, hay! permutacioes de los elemetos de Z. Para referecia posterior, observamos que!! (.4 a) para eteros o egativos, i, j, y co. i (.4b) Nuestro siguiete resultado da el úmero de combiacioes de elemetos que puede ser seleccioados de u cojuto que cotiee elemetos. Teorema.. Sea Z u cojuto coteiedo 0 distitos elemetos, y sea u etero para el cual 0. Etoces hay i j i!!! j (.5)

21 EL MODELO CLÁSICO 7 distitos subcojutos de tamaño coteidos e Z. Aquí (.5) defie la otació. PRUEBA Si = 0 o = 0, el resultado es obvio, porque el úico subcojuto de tamaño cero es el cojuto vacío, y, por defiició, =, = 0,,. Por tato, 0 podemos restrigir uestra ateció a positivos y. Ua eta ordeada co distitos compoetes puede ser seleccioada e dos pasos: primero, seleccioamos u subcojuto de tamaño ; etoces arreglamos el subcojuto e u orde defiido. Seleccioado ua permutació de elemetos de Z es por lo tato equivalete a seleccioar u par ordeado (Z 0,), dode Z 0 es u subcojuto de tamaño y es ua permutació de los elemetos de Z 0. Deote A el úmero de subcojutos de tamaño. Etoces, puesto que hay () distitas etas ordeadas co distitas compoetes y! formas e las cuales arreglar u subcojuto de tamaño e u orde defiido (ambos por el Teorema..), teemos () = A! por el pricipio básico. Resolviedo para A, ecotramos A!!!! como se aseveró. //// El Teorema.. es especialmete útil e problemas que ivolucra juegos de cartas. Para hacer esto preciso, defiimos ua mao de póquer para ser ua combiació de cico cartas (subcojuto de tamaño 5) tomada de ua baraja estádar de 5 cartas. Aálogamete, defiimos ua mao de bridge para ser ua combiació de 3 cartas tomadas de ua baraja estádar. Así, dos maos que cotiee las mismas cartas arregladas e diferetes órdees so cosideradas como idéticas. EJEMPLO..4 c 5 a Hay =,598,960 distitas maos de póquer. 5 b Hay 5 distitas maos de bridge. 3 m idistiguibles bolas rojas y idistiguibles bolas blacas puede ser arregladas e Eso es, ua baraja que cosiste de 4 palos, espadas, corazoes, diamates, y tréboles, y las 3 deomiacioes ases, doses, treses,, reias, reyes, co exactamete uo de cada deomiació e cada palo.

22 8 ANÁLISIS COMBINATORIO m m ua hilera para formar cofiguracioes distiguibles. m Idudablemete, ua cofiguració distiguible está determiada por los m lugares ocupados por las bolas rojas. //// Los úmeros so coocidos como coeficietes biomiales porque aparece e el teorema biomial, que establece que para úmeros reales a y b y para eteros o egativos, a b a b (.6) De hecho, el teorema biomial se sigue fácilmete del Teorema.., porque si (a + b) = (a + b) (a + b) (a + b) es expadido e ua suma de potecias de a multiplicadas por potecias de b, etoces a b - aparecerá tatas veces como podamos seleccioar a de de los factores y b de los restates. Por el Ejemplo..4c esto puede ser hecho e formas. E la secuela, será a meudo coveiete usar la otació cuado sea u etero egativo o u etero positivo que exceda a. Defiimos = 0 e ambos casos. Observe que co la defiició extedida es aú verdadero que hay subcojutos de tamaño coteidos e u cojuto de elemetos. Cocluimos esta secció co ua extesió del Teorema... Sea Z u cojuto o vacío, fiito. Defiimos ua partició de Z para ser ua eta ordeada (Z,,Z ), dode Z,,Z so subcojutos disjutos de Z para los cuales Permitimos a alguos de los Z i ser vacíos. Si (Z,,Z ) es ua partició del cojuto Z, los úmeros r i = Z i, i =,,, será llamados úmeros partició. Claramete, r,,r cumple 0 Z i i Z r i 0 i,, y r i i Z (.7)

23 EL MODELO CLÁSICO 9 Por ejemplo, si Z = {,,3,4}, etoces tomado Z = {}, Z = {,3}, y Z 3 = {4} defie ua partició para la cual r =, r =, y r 3 =. E uestro siguiete teorema os propoemos cotestar la siguiete cuestió: Dados los eteros r,,r que satisface (.7), cuátas particioes (Z,,Z ) para las cuales Z i = r i, i =,,, existe? Teorema..3 Sea Z u cojuto que cotiee elemetos distitos, y sea r,,r eteros que satisface (.7), Etoces hay distitas particioes (Z,,Z ) de Z co Z i = r i, i =,,.! r! r! (.8) PRUEBA Aplicaremos el pricipio básico. Al escoger Z, estamos simplemete seleccioado u subcojuto de tamaño r de Z, u cojuto coteiedo elemetos. Por el Teorema.., esto puede ser hecho e distitas formas. Después, debemos r seleccioar Z de los restates r elemetos e Z Z. Esto puede ser hecho e r distitas formas. E geeral, debemos seleccioar Z i de los (r + + r i- ) r elemetos de Z (Z Z i- ), y esto puede ser hecho e i r ri r distitas formas, i =,,. Por tato, por el pricipio básico, (Z,,Z ) puede ser seleccioada e r r r r r r i (.9) distitas formas. Fialmete, escribiedo los coeficietes biomiales e térmios de factoriales ahora ecotramos que (.9) es! r! r r r! r! r! r r! r! r r!!! = r! r! como se aseveró. ////

24 0 MODELOS DE URNAS EJEMPLO..5 a Si Z ={,,3,4}, etoces hay 4!/! = particioes de Z para las cuales r =, r =, y r 3 =. b Ua baraja de cartas puede ser particioada e cuatro maos de bridge e 5!/(3!) 4 diferetes formas. Los úmeros! r,, r r! r! (.0) so llamados coeficietes multiomiales. Hay tambié u teorema multiomial que establece que para úmeros reales a,,a y eteros o egativos a a r r a r a,, r dode la sumatoria se extiede sobre todos los eteros o egativos r,,r para los cuales r ++r =. La prueba del teorema biomial es similar a esa del teorema biomial y será omitida. Revisemos brevemete. E esta secció, hemos presetado cuatro reglas de coteo el pricipio básico, fórmulas para el úmero de etas ordeadas, ua fórmula para el úmero de combiacioes, y ua fórmula para el úmero de particioes. Cuado so usadas co ua ligera catidad de igeio, estas cuatro reglas os permitirá calcular ua amplia variedad de probabilidades iteresates. Puesto que ellas cotiee la catidad míima de aálisis combiatorio co que la teoría de la probabilidad puede ser domiada, ellas debe ser etedidas y memorizadas. Más aálisis combiatorio será ecotrado e la Secció.6 y e los problemas al fial de este capítulo..3 MODELOS DE URNAS E esta secció y las siguietes dos, estudiaremos modelos para el siguiete juego: de ua ura que cotiee bolas de varios colores, ua muestra es tomada y examiada. Eso es, alguas de las bolas so extraídas de la ura y examiadas. Estamos iteresados e la probabilidad de que la muestra tega algua propiedad particular, tal como coteer tres bolas de u color específico. Aquí los térmios "bolas," "colores," y "ura" o so para ser tomados literalmete sio como substitutos de los térmios más prosaicos "objetos," "tipos

25 EL MODELO CLÁSICO de objetos," y "grupo de objetos." Así, uestro modelo tiee ua aplicabilidad más amplia que la que puede parecer e pricipio. Idudablemete, co ua iterpretació propia de los térmios "bolas," "colores, y "ura," cada uo de los siguietes ejemplos puede ser expresado como u problema de uras. EJEMPLO.3. a Ecuestas de opiió U grupo de persoas (la muestra) es seleccioada de u grupo más grade de persoas (la ura) y requerida su opiió sobre algú tema político o cadidato. Aquí podemos cosiderar a las persoas como bolas y las diferetes opiioes como colores diferetes. b Muestreo de aceptació De u lote de productos maufacturados (la ura) u sublote (la muestra) es seleccioada y examiada para productos defectuosos. Aquí podemos cosiderar los productos defectuosos como bolas de u color y los productos o defectuosos como bolas de otro. c Juego Podemos cosiderar ua mao de póquer como ua muestra de cico cartas de ua baraja de cartas (la ura) y las cartas de diferetes deomiacioes (o de diferetes palos) como bolas de diferetes colores. Asimismo, si u dado es lazado repetidamete, los úmeros de putos que aparece sobre los lazamietos sucesivos puede ser cosiderados como ua muestra de los eteros,,6, que, a su vez, puede ser cosiderados como bolas de seis diferetes colores. d Coleccioado cupoes Si u productor regala varios tipos de cupoes co su producto, podemos cosiderar los cupoes como bolas, los tipos como colores, y los cupoes colectados por ua persoa e particular como la muestra. //// Hay varios tipos de muestras que puede ser tomadas de ua ura, y será coveiete distiguirlas. Primero, las bolas puede ser tomadas secuecialmete (eso es, ua a la vez) o simultáeamete (todas a la vez). Deote Z el cojuto de bolas e la ura. Si las bolas so tomadas secuecialmete, etoces podemos describir el suceso de uestro juego por la eta ordeada (z,,z ) de elemetos de Z, dode z deota la primera bola tomada de la ura, z la seguda,, y deota el úmero total de bolas tomadas. Así, referiremos a (z,,z ) como ua muestra ordeada de tamaño. Si las bolas so tomadas simultáeamete, ya o hace setido hablar de ua primera bola o seguda bola y podemos describir el suceso de uestro muestreo sólo por el subcojuto (combiació) {z,,z } de distitos elemetos de Z que fuero seleccioados. Referiremos a {z,,z } como ua muestra desordeada de tamaño. Debemos, por supuesto, teer Z e el caso de muestras desordeadas. Hay otra distició adicioal para ser cosiderada e el caso de muestras ordeadas.

26 MODELOS DE URNAS Podemos, ya sea, remplazar cada bola después de que ha sido tomada y examiada, o o. E el primer caso, osotros diremos que el muestreo fue realizado co reemplazo, y e el segudo, osotros diremos que el muestreo fue realizado si reemplazo. No cosideraremos aquí el esquema más complicado e el cual alguas de las bolas so remplazadas y otras o lo so. Ahora estableceremos modelos para cada uo de los tres tipos de muestreo. Muestras desordeadas Si ua muestra desordeada de tamaño es tomada de ua ura coteiedo bolas, etoces tomamos el espacio muestral S para ser el cojuto de todos los subcojutos de tamaño que puede ser tomados de la ura. Por el Teorema.., hay etoces S = posibles sucesos. Muestras ordeadas co reemplazo Si ua muestra ordeada de tamaño es tomada co reemplazo de ua ura co bolas, etoces podemos tomar el espacio muestral S para ser el cojuto de todas las etas ordeadas (z,,z ) co z i Z, el cojuto de bolas, i =,,. E este caso, hay S = posibles sucesos por el Teorema... Muestras ordeadas si reemplazo Si ua muestra ordeada de tamaño es tomada si reemplazo de ua ura coteiedo bolas, etoces podemos tomar el espacio muestral S para ser el cojuto de todas las etas ordeadas (z,,z ) co z i z j para i j y z i Z, el cojuto de bolas e la ura, i =,,. E este caso, hay S = () posibles sucesos por el Teorema... Diremos que ua muestra ha sido tomada al azar cuado estemos supoiedo que todas las muestras del tamaño y tipo e cuestió so igualmete verosímiles. E este caso podemos calcular muchas probabilidades iteresates de (.) y los resultados de la Secció.. Para estos cálculos, es imperativo que el lector o cofuda el espacio muestral S co el cojuto de bolas e la ura. El espacio muestral apropiado depede sobre el tipo de muestreo y ha sido defiido arriba. EJEMPLO.3. Todas las partes del ejemplo se refiere a ua ura que cotiee 4 bolas rojas y 4 bolas blacas. Así, hay = 8 bolas e la ura. a Si ua muestra ordeada de tamaño es tomada al azar co reemplazo, cuál es la probabilidad de que la muestra cotedrá bolas rojas? El espacio muestral S cosiste de todos los pares ordeados (z,z ) que puede ser tomados de la ura. Por tato, S = 8 por el

27 EL MODELO CLÁSICO 3 Teorema... Requerimos la probabilidad del eveto A, que cosiste de todos los pares ordeados (z,z )para los cuales z y z so ambos rojos. Así, para seleccioar u elemeto de A, teemos 4 seleccioes para z y 4 seleccioes para z (puesto que el muestreo es co reemplazo). Por tato, hay A = 4 = 6 elemetos e A, así que P(A) = 6/64 = ¼. b Si el muestreo es si reemplazo, ecotraríamos S = 8 7 = 56, A = 4 3 =, y P(A) = /56 = 3/4. c Calculemos la probabilidad de tomar bolas rojas cuado ua muestra aleatoria desordeada de tamaño es tomada de la ura. E este caso el espacio muestral S cosiste de todos los subcojutos de tamaño que puede ser tomados de las 8 bolas, así que S = 8 = 8. El eveto A ahora cosiste de todos los subcojutos de tamaño que puede ser 4 tomados de las 4 bolas rojas, así que A = = 6. Por tato, P(A) = /8 = 3/4. Como veremos e la Secció.5, o es accidetal que las respuestas e las partes b y c sea las mismas. //// Los Ejemplos.3.a a c puede ser geeralizados cosiderablemete, y cosideraremos estas geeralizacioes e las siguietes dos seccioes. Cocluimos esta secció co dos resultados simples pero iteresates. Si ua muestra ordeada de tamaño es tomada (ya sea co o si reemplazo) de ua ura que cotiee m bolas rojas y m blacas, es ituitivamete claro que la probabilidad de tomar ua bola roja e la primera extracció es m/. Esta es tambié la probabilidad de tomar ua bola roja e la seguda, o tercera, o jésima extracció, j =,,, como ahora mostraremos. Teorema.3. Sea ua muestra aleatoria ordeada de tamaño tomada ya sea co o si reemplazo de ua ura coteiedo m bolas rojas y m blacas, y sea A i el eveto que la iésima bola tomada es roja para i =,,. Etoces, P(A i ) = m/, i =,,. PRUEBA Si el muestreo es co reemplazo, etoces hay S = posibles sucesos y A i cosiste de todas las etas ordeadas (z,,z ) para las cuales z i es roja. Así, hay m posibles seleccioes para z i y seleccioes para z j para j i puesto que z j o está restrigida por A i para j i. Por el pricipio básico, hay A i = m = m - sucesos e A i, y por lo tato P(A i ) = m/, como se aseveró. Si el muestreo es si reemplazo, la situació es ligeramete más complicada, y daremos ' la prueba sólo para el caso especial dode i =. Claramete, A = A A A A co

28 4 MODELOS DE URNAS ' ' ' A A A A A A =, así que P(A ) = P(A A ) + P( A A ). así, ecesitamos sólo ' calcular P(A A ) y P( A A ). E el muestreo si reemplazo hay S = () posibles sucesos. Ahora A A cosiste de todas las etas ordeadas (z,,z ) para las cuales z es roja y z es roja y z j o está restrigida para j = 3,,, así que hay m seleccioes para z, m seleccioes para z, y ( ) - seleccioes para (z 3,,z ). Así, A A = m(m )( ) - por el pricipio básico. Por tato, P(A A ) = m(m ) ( ) - /() = m(m )/( ). ' Aálogamete, P( A A ) = m( m)/ ( ), así que P A m m m m como se aseveró. //// EJEMPLO.3.3 E la rifa de reclutamieto acioal, bolas umeradas co los días del año so extraídas secuecialmete y si reemplazo de ua ura. Cuál es la probabilidad de que la última bola tomada estará umerada co u día de Eero? Podemos cosiderar las bolas umeradas co días e Eero como bolas rojas y las otras como bolas blacas. Etoces teemos ua muestra aleatoria si reemplazo de tamaño = 365 de ua ura coteiedo m = 3 bolas rojas y m = 334 bolas blacas. La probabilidad deseada es por lo tato m/ = 3/365 = //// Ahora cosideremos ua ura que cotiee bolas de diferetes colores. Si ua muestra aleatoria ordeada de tamaño es tomada co reemplazo, cuál es la probabilidad de que las bolas tomadas será de diferetes colores? Eso es, si la repetició es permitida e la muestra, cuál es la probabilidad de que igua repetició ocurra? Teorema.3. Si ua muestra aleatoria ordeada de tamaño es tomada co reemplazo de ua ura coteiedo bolas de diferetes colores, etoces la probabilidad de que todas las bolas e la muestra sea de diferetes colores es p m i, PRUEBA El espacio muestral S cosiste de todas las etas ordeadas (z,,z ) que puede ser seleccioadas de las bolas, y así S = por el Teorema... El eveto A de que todas 5 Respuestas uméricas a meudo será redodeadas. So exactas a el úmero de decimales dados. i

29 EL MODELO CLÁSICO 5 las bolas e la muestra sea de diferetes colores cosiste de todas las etas ordeadas (z,,z ) co distitas compoetes, así que A = (), de uevo por el Teorema... Así, P A como se aseveró. //// EJEMPLO.3.4 a Si u dado balaceado es lazado seis veces, cuál es la probabilidad de que igua cara aparezca más de ua vez? Por (3.) esta probabilidad es simplemete (6) 6 /6 6 = 6!/6 6 = 0.054, puesto que los seis tiros seleccioa ua muestra de tamaño = 6 de los eteros {,,6}. Así, auque las caras so igualmete verosímiles de aparecer sobre cualquier lazamieto, la probabilidad de que todas ellas aparezca durate seis lazamietos es meor a e 50. b Si 5 persoas se reúe e ua fiesta, cuál es la probabilidad que todos ellos tega diferetes cumpleaños? Cosideremos los 365 días del año como bolas de diferetes colores y los cumpleaños de las persoas como ua muestra aleatoria co reemplazo de las 365 bolas. Sea A el eveto de que igua pareja tega el mismo cumpleaños. Así, P(A) = p 365,5 = Eso es, si 5 persoas se reúe e ua fiesta, la probabilidad que igua pareja tega el mismo cumpleaños es meor a 0.5. //// Ua aproximació secilla a p, será dada e el Ejemplo MUESTRAS DESORDENADAS E esta secció cosideramos problemas que surge cuado ua muestra aleatoria desordeada de tamaño es tomada de ua ura coteiedo m bolas rojas y m bolas blacas. Aquí m y so eteros o egativos co. Cuál es la probabilidad de obteer exactamete r bolas rojas e la muestra, dode r es u etero o egativo co r? La respuesta es provista por el siguiete teorema, que geeraliza el Ejemplo.3.c. Teorema.4. Si ua muestra aleatoria desordeada de tamaño es tomada de ua ura que cotiee m bolas rojas y m bolas blacas co, etoces la probabilidad de que la muestra cotedrá exactamete r bolas rojas es

30 6 MUESTRAS DESORDENADAS p r m m r r (4.) para r = 0,,,. PRUEBA El espacio muestral S para este problema es el cojuto de todas las muestras desordeadas que puede ser tomadas de ua ura. Por tato, hay S = posibles sucesos. Sea A S el eveto cosistiedo de todas las muestras desordeadas que cotiee exactamete r bolas rojas. Necesitamos ecotrar A. Ua muestra desordeada que cotiee exactamete r bolas rojas puede ser seleccioada e dos pasos. Primero, seleccioe u subcojuto de tamaño r de las m bolas rojas e la ura; etoces seleccioe u subcojuto de tamaño r de las m bolas blacas e la ura. Eso es, u elemeto de A correspode uívocamete a u par ordeado (Z 0,Z ), dode Z 0 es ua combiació de r bolas rojas y Z es ua combiació de r bolas blacas. El primer paso requiere la selecció de u subcojuto de tamaño r de u m cojuto de m elemetos y puede por lo tato ser realizado e formas por el r Teorema... Aálogamete, el segudo paso puede ser realizado e por el mismo teorema. Por tato, m formas r A m m r r por el pricipio básico. Así, P A m m A S r r, como se aseveró. //// La probabilidad de obteer exactamete r bolas rojas es, por supuesto, cero si r > m o r > m. El lector debe verificar que uestras covecioes acerca de los coeficietes biomiales da p r = 0 e estos casos. Los úmeros p r so coocidos como las probabilidades hipergeométricas. Para tablas de las probabilidades hipergeométricas para 0 r, 0 m,, y 0, ver Beyer (966). EJEMPLO.4.

31 EL MODELO CLÁSICO 7 E estos ejemplos, cosideramos ua mao de póquer como ua muestra aleatoria desordeada de tamaño 5 tomada de ua baraja estádar de 5 cartas. a La probabilidad que ua mao de póquer cotega exactamete 3 ases es (4.) porque podemos cosiderar los 4 ases como bolas rojas y las 48 o ases como bolas blacas. El Teorema.4. etoces se aplica co m = 4, = 5, = 5, y r = 3. Más geeralmete, la Ecuació (4.) da la probabilidad de obteer exactamete tres cartas de cualquier deomiació especificada, tal como reyes, reias, etc.. b Cuál es la probabilidad de que ua mao de póquer cotega exactamete 3 cartas de ua deomiació o especificada (3 de ua clase)? Sea A el eveto de que la mao cotega 3 cartas de algua deomiació. Etoces podemos seleccioar u elemeto de A e tres pasos. Primero, seleccioamos ua deomiació; etoces seleccioamos 3 cartas de las 4 cartas de esa deomiació; etoces seleccioamos cartas de las restates 48 cartas. El primer paso puede ser realizado e 3 formas puesto que hay deomiacioes, y los últimos dos puede ser realizados e 3 formas por la parte a. Por tato, la probabilidad deseada es c La probabilidad de obteer exactamete 4 ases es

32 8 MUESTRAS DESORDENADAS de uevo por el Teorema.4.. Por tato, la probabilidad de obteer al meos 3 ases es = por la Ecuació (.3). La probabilidad de obteer al meos 3 de cualquier deomiació puede ahora ser calculada como e la parte b. d La probabilidad de obteer exactamete ases es que tambié da la probabilidad de obteer exactamete cartas de cualquier deomiació especificada. Si embargo, la probabilidad de obteer exactamete cartas de ua deomiació o especificada o es , puesto que es 3 5 posible obteer más de u par e ua sola mao. e La probabilidad de que ua mao de póquer cotega exactamete 3 corazoes es Aquí podemos cosiderar los corazoes como bolas rojas. //// EJEMPLO.4. Muestreo de aceptació. Cosidere ua compañía que mercadea sus biees e lotes de tamaño = 00. Supoer que cada lote cotiee u úmero descoocido m de elemetos defectuosos y de que es desvetajoso para la compañía liberar u lote que cotega más de 5 elemetos defectuosos. Supoer tambié que el proceso de ispecció de los elemetos e u lote es caro. Etoces la compañía puede desear ispeccioar sólo ua muestra seleccioada aleatoriamete de cada lote, para liberar imediatamete aquellos lotes de los cuales las muestras o cotega defectuosos, e ispeccioar todos los elemetos e aquellos lotes de los cuales las muestras cotega al meos u defectuoso. La probabilidad de que u lote particular sea liberado (i.e., que la muestra o cotedrá defectuosos) es etoces 00 m q, m 00

33 EL MODELO CLÁSICO 9 porque podemos cosiderar los elemetos defectuosos como bolas rojas y los o defectuosos como bolas blacas. Por supuesto, si m > 5, etoces q(,m) es la probabilidad de liberar u lote malo, uo que cotiee demasiados defectuosos. Qué ta grade es esta probabilidad? La respuesta depede de los parámetros m y. Valores típicos está dados e la Tabla. La compañía puede desear cotrolar la probabilidad de liberar u lote malo seleccioado el tamaño de muestra. Eso es, la compañía puede desear seleccioar de tal maera que la probabilidad de liberar u lote malo es a lo más u úmero especificado. Qué ta grade debe ser para que la probabilidad de liberar u lote malo sea a lo más = 0.05? Puesto que q(,m) es ua fució decreciete de m, será suficiete seleccioar de tal maera que q(,6) La tabla idica que 40 es u tamaño de muestra suficietemete grade. De hecho, 39 es el valor más pequeño de para el cual q(,6) //// El Teorema.4. se extiede del caso de dos colores al caso de varios. Así, cosidere ua ura que cotiee bolas de c diferetes colores. Sea el úmero de bolas del primer color, el úmero de bolas del segudo color, y, e geeral, sea i el úmero de bolas del iésimo color, i =,, c. Etoces hay = + + c bolas e la ura. Supoer ahora que ua muestra desordeada de tamaño es tomada al azar de la ura, sea,, c eteros o egativos para los cuales + + c =. Etoces podemos calcular la probabilidad de que la muestra cotega exactamete bolas del primer color, exactamete bolas del segudo color, etc. Tabla m Teorema.4. Co la otació del párrafo aterior, la probabilidad de que la muestra cotega exactamete i bolas de color i, i =,, c es c c Ya que la otació es algo difícil, ejemplificamos el Teorema.4. ates de probarlo.

34 0 MUESTRAS DESORDENADAS EJEMPLO.4.3 c d a Cuál es la probabilidad de que ua mao de póquer cotega 3 ases y reyes? Cosideremos los ases como bolas rojas, los reyes como bolas egras, y el resto como bolas blacas. Etoces, teemos = 4 bolas rojas, = 4 bolas egras, y 3 = 44 bolas blacas, y requerimos la probabilidad de obteer ua muestra que cotega = 3 bolas rojas, = bolas egras, y 3 = 0 bolas blacas. Por el Teorema.4., esto es (4.3) Más geeralmete, (4.3) da la probabilidad de que ua mao de póquer cotedrá 3 cartas de ua deomiació especificada y de otra. b Cuál es la probabilidad de obteer 3 cartas de ua deomiació o especificada y de otra (u full)? Podemos seleccioar u par ordeado de distitas deomiacioes e (3) formas por el Teorema..; después podemos seleccioar 3 cartas de la primera deomiació y de la seguda e formas por la parte a. Por tato, la probabilidad deseada es La probabilidad de obteer ases, reyes, y carta que o sea i as i rey es , por el Teorema.4.. Ésta es tambié la probabilidad 5 de que ua mao tega exactamete cartas de ua deomiació especificada, exactamete cartas de otra, y que o esté e igua de las deomiacioes dadas. La probabilidad de obteer exactamete cartas de cada ua de dos deomiacioes o especificadas es De hecho, podemos seleccioar u 5 3 cojuto de dos distitas deomiacioes e formas; después podemos seleccioar ua 4 44 mao co exactamete cartas de cada ua de estas dos deomiacioes e formas por la parte c. Observe que multiplicamos por (3) e ua situació aáloga e la

35 EL MODELO CLÁSICO parte b. //// EJEMPLO.4.4 Ecuestas de opiió. Supoer que u electorado cosiste de idividuos de los cuales a favorece al cadidato A, b favorece al cadidato B, y u está idecisos. Para apreder acerca de la opiió colectiva del electorado, ua muestra aleatoria desordeada de tamaño es seleccioada del mismo, y los miembros de la muestra so iterrogados por sus opiioes. Si a, b, y u so eteros o egativos para los cuales a + b + u =, cuál es la probabilidad que a miembros de la muestra favorecerá a A, b favorecerá a B, y u estará idecisos? La respuesta puede ser obteida por ua aplicació directa del Teorema.4. a b u como. //// a b u PRUEBA del Teorema.4. Como e la prueba del Teorema.4., el espacio muestral para uestro juego es el cojuto de todas las muestras desordeadas que puede ser tomadas de la ura. Por tato, S =. Ahora requerimos la probabilidad del eveto A, que cosiste de todas las muestras desordeadas coteiedo exactamete i bolas de color i, i =,, c. U elemeto de A puede ser escogido e c pasos. Primero, escoja u subcojuto de tamaño de las bolas de color. Después, seleccioe u subcojuto de tamaño de las bolas de color. Así, debemos tomar u subcojuto de tamaño i de las i i bolas de color i, i =,,. El iésimo paso puede ser realizado e formas por el i Teorema... Por el pricipio básico, A c El Teorema se sigue de (.). //// c.5. MUESTRAS ORDENADAS Ahora cosideremos muestras ordeadas. Como e la secció previa, cosideraremos ua ura que cotiee m bolas rojas y m bolas blacas de las cuales ua muestra de tamaño 6 Los pricipales resultados de esta secció será derivados de uevo e u cotexto más geeral e las Seccioes 4. y 4..

36 MUESTRAS ORDENADAS es para ser tomada, y ecotraremos la probabilidad de que la muestra cotega exactamete r bolas rojas. Esta vez, si embargo, cosideraremos muestras ordeadas. E el caso de muestras ordeadas, hay ua distició importate para ser hecha etre tomar r bolas rojas e la muestra y tomar bolas rojas sobre r tomas especificadas. Por ejemplo, si ua muestra aleatoria ordeada de tamaño = 3 es tomada co reemplazo de ua ura que cotiee m = bola roja y m = bola blaca, etoces la probabilidad de que las primeras dos bolas tomadas sea rojas y la tercera sea blaca es simplemete / 3 = /8. Porque el espacio muestral S (que cosiste de todas las tripletas ordeadas que puede ser tomadas de las bolas) cotiee = 3 = 8 elemetos, sólo uo de los cuales resulta e bolas rojas seguidas por bola blaca. Aálogamete, la probabilidad de que la primera y la tercera bolas tomadas sea rojas mietras que la seguda sea blaca es tambié /8, como es la probabilidad de que la primera bola tomada sea blaca mietras que la seguda y tercera sea rojas. Así, la probabilidad de que bolas rojas sea tomadas sobre cualesquiera dos tomas especificadas es /8. El eveto de que la muestra cotega exactamete bolas rojas puede ocurrir e tres formas, si embargo, es decir, (roja, roja, blaca), (roja, blaca, roja), y (blaca, roja, roja). Por tato, la probabilidad de que la muestra cotega exactamete bolas rojas es 3/8. Habiedo, esperamos, hecho la distició clara, ahora desarrollaremos alguas fórmulas geerales. Empezamos co el caso de r tomas especificadas. Lema.5. Sea ua muestra aleatoria ordeada de tamaño tomada de ua ura que cotiee m bolas rojas y m bolas blacas. Etoces la probabilidad de que bolas rojas sea tomadas sobre r tomas especificadas y bolas blacas sea tomadas sobre las tomas restates es si el muestreo es co reemplazo y es si el muestreo es si reemplazo y. r m m m m r r (5.) r (5.) PRUEBA Probaremos el lema para muestreo co reemplazo sólo, ya que la prueba para muestreo si reemplazo es aáloga. El espacio muestral S es etoces el cojuto de todas las etas ordeadas (z,,z ) que puede ser tomadas de la ura, así S =. Deote J {,,} el cojuto cosistete de las r tomas especificadas, y sea A el eveto de que las bolas rojas so tomadas sobre tomas i J y que las bolas blacas so tomadas sobre tomas i J. Para seleccioar u elemeto de A, etoces teemos i seleccioes para la iésima bola, dode i = m (el úmero de bolas rojas e

37 EL MODELO CLÁSICO 3 la ura), si i J y i = m si i J. Así, hay = m r ( m) -r distitos elemetos e A por el pricipio básico. La expresió (5.) ahora se sigue fácilmete.//// Como u corolario a el Lema.5., ahora calculamos la probabilidad de que la primera bola roja para ser tomada sea tomada sobre la ésima (última) toma. Teorema.5. Si ua muestra aleatoria ordeada de tamaño es tomada de ua ura que cotiee m bolas rojas y m bolas blacas, etoces la probabilidad de que la primera bola roja para ser tomada sea tomada e la ésima toma es si el muestreo es co reemplazo y es m m (5.3 a) m m (5.3 b) si el muestreo es si reemplazo y. PRUEBA El eveto de que la primera bola roja sea tomada e la ésima toma requiere que ua bola roja sea tomada sobre ua toma especificada, la última. Así, (5.3a) y (5.3b) so casos especiales de (5.) y (5.), respectivamete. //// La expresió (5.3a) defie u caso especial de las probabilidades geométricas, que ecotraremos de uevo e la Secció 4.. EJEMPLO.5. a Si ua moeda balaceada es lazada veces, la probabilidad de que la primera águila surgirá e el ésimo lazamieto es -, porque podemos tomar los primeros lazamietos como ua muestra ordeada co reemplazo del cojuto {águila, sol}. b Si u hombre tiee llaves, sólo ua de las cuales abrirá su puerta, y si las esaya e u orde aleatorio (si reemplazo), cuál es la probabilidad de que el esayará exactamete llaves icorrectas ates de ecotrar la correcta? Si cosideramos la llave correcta como ua bola roja y las icorrectas como bolas blacas, la respuesta está dada por (5.3b) como

38 4 MUESTRAS ORDENADAS para =,,. Así, el hombre es ta verosímil para esayar ua llave, como dos llaves, como tres llaves, etc. //// Ahora calcularemos la probabilidad que la muestra cotedrá exactamete r bolas rojas. Teorema.5. Sea ua muestra aleatoria ordeada de tamaño tomada de ua ura que tiee m bolas rojas y m bolas blacas. Si el muestreo es co reemplazo, etoces la probabilidad que la muestra cotedrá exactamete r bolas rojas es r m r m r (5.4) para r = 0,,. Si el muestreo es si reemplazo, y, etoces la probabilidad que la muestra cotedrá exactamete r bolas rojas es para r = 0,,. m m r r r (5.5) PRUEBA De uevo, probaremos el teorema sólo para muestreo co reemplazo, puesto que la prueba para muestreo si reemplazo es aáloga. Así, el espacio muestral cotiee S = elemetos. Deote B el eveto que la muestra cotiee exactamete r bolas rojas. Etoces, u elemeto de B puede ser seleccioado e dos pasos. Primero, seleccioe u subcojuto J de tamaño J = r de los eteros,,. Después, tome bolas rojas e aquellas tomas i J y tome bolas blacas e aquellas tomas i J. El primer paso puede ser realizado e r distitas formas por el Teorema.., y el segudo e m r ( m) -r por el Lema.5.. Por tato, por el pricipio básico. El teorema se sigue. EJEMPLO.5. B r m r m a Si u dado balaceado es tirado 5 veces, la probabilidad de obteer exactamete puto sobre la primera y última tiradas y más de puto sobre la otras tres tiradas es r

39 EL MODELO CLÁSICO 5 (/6) (5/6) 3 = 0.06 por Lema.5.. La probabilidad de obteer exactamete puto sobre exactamete dos lazamietos es por Teorema b Si ua moeda balaceada es lazada veces, cuál es la probabilidad de obteer exactamete r águilas? Podemos cosiderar águila como ua bola roja y sol como ua bola blaca. Así, los lazamietos costituye ua muestra aleatoria ordeada de ua ura coteiedo m = bola roja y m = bola blaca, y la probabilidad requerida r es por lo tato r. //// E la Ecuació (5.4), sea p = m/ y q = p = ( m)/. Etoces, la primera coclusió e el Teorema.5. puede ser establecida: la probabilidad de obteer exactamete r bolas rojas cuado se muestrea co reemplazo es r p r q r r 0,, (5.6) Estos úmeros so coocidos como las probabilidades biomiales. Las ecotraremos de uevo e los Capítulos 4 y 5. Tablas de las probabilidades biomiales para 0 r, 0, y valores seleccioados de p será ecotradas e el Apédice C. Para tablas más extesas ver, por ejemplo, Beyer (966) o Selby (965). Es iteresate que la probabilidad de obteer exactamete r bolas rojas e ua muestra aleatoria ordeada que es tomada si reemplazo es la misma que la probabilidad de tomar exactamete r bolas rojas e ua muestra desordeada. Para ver esto observe que, por (5.5), la probabilidad que ua muestra aleatoria ordeada cotega exactamete r bolas rojas es r m m r r! m m r r! r! m m r r r = r!! r m m r r = (5.7)!