Varianza condicional de medias móviles no-lineales. Fecha de Recepción: 21 I 2008; Fecha de aceptación 24 IX 2008

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1 Ensayos Volumen XXVII, núm., noviembre 008, pp Varianza coicional de medias móviles no-lineales Daniel Venosa-Sanaulària Alfonso Meoza Velázuez Manuel Gómez-Zaldívar* Fecha de Recepción: I 008; Fecha de acepación 4 IX 008 Absrac We presen a new heeroskedasic coiional variance model using Non- Linear Moving Average as he basis for his specificaion [ NLMACH ( ) ]. The ypical problem of his class of models-i.e., noninveribiliy is solved by means of an inuiive parameric resricion; his allows us o use Maximum Likelihood as he esimaion procedure. The saisical properies of he new model are boh simple a aracive for empirical purposes in finance: a naural fa-ailed disribuion sas ou. The Auocorrelaion Funcion of he suared process allows us for idenificaion of he number of lags o be included in he new specificaion. In addiion, we presen several Mone Carlo experimens where he properies of he model using finie samples are exhibied. Finally, an empirical applicaion using exchange raes a capial marke bos is shown. Keywords: Coiionally Heeroskedasic Models, NLMACH ( ), Volailiy, Fa-ailed Disribuions. Resumen Presenamos en ese rabajo un nuevo modelo para la varianza coicional, ue esá fuamenado en medias móviles no-lineales [ NLMACH ()]. Mediane una resricción sencilla, se evia el ípico problema de noinveribilidad ue aueja a esa clase de procesos; eso facilia su esimación por Máxima Verosimiliud. Las propiedades esadísicas del nuevo modelo Escuela de Economía Universidad de Guanajuao. s: daniel@venosa-sanaularia.com y manuel.gomez@ugo.org, respecivamene. Deparameno de Economía y Cenro de Invesigación e Ineligencia Económica (CIIE), Universidad Popular Auónoma del Esado de Puebla. alfonso.meoza@upaep.mx

2 30 Ensayos son simples y a la vez aracivas para el ajuse de series financieras, como sucede con la reproducción naural de colas pesadas. Se desarrolla la función de auocorrelación del proceso al cuadrado, lo ue permie idenificar con precisión el número de rezagos ue serán incluidos en la especificación. Además, se presenan diversos experimenos de Mone Carlo ue muesran las propiedades esadísicas del modelo, en muesras finias. Se concluye el esudio con una aplicación del NLMACH ( ) a ipos de cambio y bonos del mercado de capiales mexicano. Palabras Clave: Modelos de Varianza Coicional, NLMACH ( ), Volailidad, Colas Pesadas. Clasificación JEL: C, C3, C. Inroducción Los modelos ARCH, inroducidos exiosamene por el rabajo seminal de Engle (98), se han converido en una de las herramienas de esudio más dinámicas y populares de la economería aplicada. En los úlimos 6 años surgió una gran canidad de exensiones, las cuales incorporan al modelo básico propiedades esadísicas capaces de capar algunas de las regularidades de los reimienos financieros. Desaca el modelo GARCH (Bollerslev 986), ue generaliza el comporamieno de la volailidad al hacerla depeiene de su propia inercia. Oras variaciones imporanes son las ue oman en cuena el impaco de la volailidad en la esperanza coicional de la variable, ARCH M (Engle, Lilien y Robins 987), auéllas capaces de reproducir los efecos asiméricos de los choues según su signo, como en el modelo EGARCH (Nelson 99) y las ue inenan capurar la ala persisencia o memoria larga, ue esá presene en disinas series económicas y financieras (Bollerslev y Mikkelsen 996). Toda exensión de un modelo base conlleva necesariamene un grado de complejidad mayor no siempre jusificado; las especificaciones más recienes ue parecen mejorar sólo marginalmene el ajuse y los pronósicos fuera de muesra, pueden exigir a cambio esimaciones cososas en programación y iempo. De ahí deriva la popularidad del modelo GARCH (, ) ; su esimación es sencilla y, ano en el ajuse como en las predicciones, es comparable con las de modelos más complejos. Hasa ahora, han dominado las especificaciones auorregresivas en el ajuse de la varianza coicional. Su conrapare de medias móviles ha sido virualmene ignorada. En ese senido, Robinson (977) propuso un modelo de medias móviles no-lineales ( NLMA, por sus siglas en inglés) basado en

3 Varianza coicional de medias móviles no-lineales 3 una expansión de Volerra runcada. Dicha propuesa no uvo mucho eco, pues no sólo no aparecieron aplicaciones sino ue además exisían problemas de inveribilidad y sobre odo, porue resulaba exremadamene difícil de esimar. La aplicación empírica de los modelos NLMA ha sido, de hecho, limiada (Tong, 990; Guégan, 994; Granger, 998). Ese rabajo propone el uso y exensión de los modelos NLMA en el campo de las Varianzas Coicionales, con objeo de mosrar el poencial de ésos. En lo paricular, proponemos una nueva especificación ue denominamos Modelo de Varianza Coicional Heeroscedásica y No Lineal de Medias Móviles ( NLMACH, por sus siglas en inglés). A diferencia de las propuesas auorregresivas, el NLMACH coiciona el comporamieno de la varianza a los shocks no observados -pero reconsruibles- ue se dan en la serie. Si surge un eveno impredecible, ése ería consecuencias sobre las realizaciones fuuras inmediaas de la serie. El proceso es análogo al ue dican los modelos de la clase ARCH, sólo ue el mecanismo de ransmisión no radica en el comporamieno pasado de la serie observada, sino en el de una serie subyacene inobservada, pero reconsruible. Cabe señalar ue es posible eviar las dificulades de inveribilidad enconradas por Robinson (977), mediane la imposición de una resricción en los parámeros, ue coincidenemene funge ambién con la coición de posiividad de la varianza coicional. La nueva especificación incorpora de manera naural caracerísicas comúnmene enconradas en series financieras, enre ésas desacan: (i) ala frecuencia de graes variaciones (picos de varianza); (ii) eencia al agrupamieno ( clusering ) de las graes desviaciones y, (iii) lepocuricidad de la disribución de la serie. Esa úlima es uizá una de las venajas más aracivas de nuesra propuesa, debido a ue se ha reporado incansablemene en la lieraura la exisencia de colas anchas en reimienos financieros. Ora venaja, en comparación con especificaciones auorregresivas, es (iv) la exisencia de coiciones de esacionariedad mucho más laxas. Mediane experimenos de Mone Carlo, se muesra ue el proceso de esimación del NLMACH arroja resulados adecuados con muesras de amaño relaivamene chico ( < 500 obs.); y, más imporane, nuesra propuesa parece capurar un ipo de volailidad inrínsecamene disina a la de los modelos auorregresivos, lo ue la posiciona favorablemene como una alernaiva viable, cuao las especificaciones clásicas resulan inadecuadas. Finalmene, con el fin de evaluar el desempeño empírico de nuesro modelo, se hace compeir al NLM ACH conra especificaciones ARCH, ARCH y GARCH (, ) usao daos de ipo de cambio y bonos del mercado de capiales.

4 3 Ensayos. Especificación NLMACH() El nuevo modelo propueso, NLMACH ( ), coiciona la varianza a un proceso de medias móviles usao un ruido inobservado, pero reconsruible,. Conviene desacar ue dicha especificación no puede ser anidada en el V modelo de Robinson (977), el cual posee algunas caracerísicas ieseables, en paricular la no-inveribilidad y dificulades de esimación (Granger y Aersen, 978; Granger, 998). Un NLMACH ( ) se represena, como sigue: X = Vh / () = 0 + iv i i= h ( ) doe V ~ i. i. d. N 0, y i 0 para i =,, con al menos un i esricamene mayor ue cero, con i =,, K,. La ecuación () hace evidenes las similiudes con un ARCH (). No obsane, la variable ue explica el comporamieno de la varianza coicional no es X sino más bien V. Los parámeros deben saisfacer i una coición (odos deben ser mayores o iguales a cero y al menos uno esricamene mayor a cero), para asegurar ue la varianza coicional sea posiiva. Muchas de sus propiedades esadísicas se pueden inferir fácilmene. Por ejemplo, los primeros dos momenos -ano coicionales como incoicionales- de un NLMACH ( ), son: i EX ( ) = 0 E ( X X ) E j = = i 0 i 0 ( / ) = 0 X Ψ para j = 0 e. o. c. () ( Ψ ) = 0 + E X / V i= i i Doe Ψ = { X, X, L, X0, V, V,, V0}. L es el conjuno de información disponible hasa el período Son ésas las coiciones de esacionariedad débil. La normalidad del ruido, de hecho, es presciible.

5 Varianza coicional de medias móviles no-lineales 33 La ecuación () muesra ue el NLMACH ( ) es débilmene esacionario. Conrariamene a oras especificaciones, exisen menos coiciones para la exisencia de los momenos de seguo orden. Es imporane resalar ue el NLMACH() ofrece implíciamene una disribución con colas pesadas. Su grado de curosis es superior a res, siempre y cuao, i =,, K,, sea mayor o igual a cero con al menos un esricamene mayor ue cero: E K = σ 4 ( ) X i i + = i= i 0 + i= i 3 = > 3 La figura () muesra una simulación de dicho proceso ( = ). Figura : NLMACH() Simulación: h + 0.7V i i = (3) La esacionariedad en senido esrico del proceso NLMACH( ) no reuiere coiciones adicionales. La exisencia de odos los momenos esá asegurada, bajo las ya mencionadas. Teorema. Sea X un proceso NLMACH ( ), =,, <, ue r saisfaga la ecuación (). Enonces, odos los momenos de X, E X r =,,K, exisen. No obsane, no hay ue olvidar las hipóesis hechas sobre, así como, ampoco la coición de posiividad de los parámeros. V

6 34 Ensayos Prueba: ver apéice... Inveribilidad del proceso NLMACH() La inveribilidad ha sido siempre el puno débil de las medias móviles, ano lineales como no-lineales. Prueba de la inveribilidad del proceso propuesa es ue ése sí permie reconsruir el ruido blanco no observado, al y como lo señala Granger y Terasvira (993). Por ora pare, las coiciones ue aseguran la inveribilidad de un proceso MA( ) han sido esablecidas en la lieraura desde hace mucho iempo. Manipulao la expresión del NLMACH ( ), se pueden esablecer coiciones análogas. Parieo de la expresión de la varianza coicional esablecida en el eorema (), podemos escribir: ( V ) h = + + (4) i 0 i i i= i= = + ς W i= i i W = es un ruido no- doe ς = gaussiano al ue: 0 i i = + es una consane y V i ( ) = 0 (5) E W E( W ) = W j 0 para e. o. c. j = 0 La varianza coicional, h, puede ser reinerpreada como un MA( ) no gaussiano, por lo ue las coiciones de inveribilidad esáar aplican al caso. Eso implica ue el proceso NLMACH ( ) es inverible si las raíces del polinomio + z+ z + + z =0 esán fuera del círculo uniario.. Definieo el valor de en un NLMACH() Esimar un NLMACH ( ) doe > reuiere seleccionar el número adecuado de rezagos del ruido incluidos en la especificación. De hecho, el orden de un NLMACH ( ) puede ser idenificado mediane la función muesral de la auocorrelación cuadráica (QSAcF, por sus siglas en inglés). Las propiedades esrucurales del modelo son ales ue el verdadero valor de

7 Varianza coicional de medias móviles no-lineales 35 se refleja en la QSAcF. Sin duda exisen oros medios de idenificar el valor de ; pero, en ese esudio, nos concenramos en la QSAcF, por su simpleza. La forma eórica de la función de auocorrelación cuadráica (QAcF) es fácilmene calculable: sea X un proceso NLMACH ( ), doe =,, especificado en la expresión (); su QAcF es: ρ ( X, X j ) = 0 + i j ( ) i i i= i ( 0 + ) i= i ( 0 + i ) + 3 i = i = 0 i = j+ i i i + 3 = i = = 0 j i i para j < si j = j > (6) Cabe desacar ue la QAcF es suficienemene flexible como para proponer esrucuras similares a las ue sugieren las regularidades empíricas en finanzas. No obsane, ello exigiría un número imporane de rezagos ( grae), pueso ue dichas regularidades iican una memoria no an cora. Exise la posibilidad de generalizar el NLMACH() incluyeo rezagos de h. Esa idea, aunue promeedora, no es esudiada en el presene arículo, debido a ue se esá rabajao acualmene en ello.. Esimación de un NLMACH() Ahora ue se han presenado ya las propiedades esadísicas principales del modelo, conviene presenar evidencia inherene a la esimación. En paricular, se invesiga la capacidad esadísica de la esimación y la capacidad prediciva del modelo. Para eso, se simula en primer érmino un NLMACH () y se maximiza su función de verosimiliud, mediane un algorimo numérico. Se ilusra el hecho de ue la esimación, pese a raarse de una función no lineal, es simple y eficaz. La esimación por Máxima Verosimiliud (MV) es sencilla, pueso ue aprovecha la normalidad coicional de la varianza: N(0 h /, ) ; X ( / / Ψ ~ N 0, h ). Bajo coiciones esáar de regularidad, se puede evaluar la función de log-verosimiliud y opimizarla usao un algorimo de gradiene. Ilusramos la capacidad de esimación por MV mediane un experimeno de Mone Carlo. La abla () muesra los resulados de la esimación usao Procesos Generadores de Daos (DGP, por sus siglas en inglés), con disinos

8 36 Ensayos valores de parámeros. 3 Se calculan,000 réplicas para cada caso, y se ranscribe el promedio de cada esimador así como su desviación esáar enre parénesis. Tabla : Simulación de Mone Carlo: esimadores de NLMACH(); T={00, 500, 700} Parámeros Tamaño de muesra T=00 T=500 T=700 ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0 ˆ ˆ (0.0039) (0.0034) (0.003) (0.003) (0.00) (0.000) (0.0044) (0.005) (0.008) (0.0030) (0.003) (0.005) (0.0046) (0.007) (0.09) (0.0044) (0.004) (0.0038) (0.0074) (0.005) (0.0049) (0.0033) (0.004) (0.009) (0.0080) (0.0069) (0.050) (0.0044) (0.0045) (0.0038) (0.0086) (0.0097) (0.0056) (0.0059) (0.0046) (0.0049) (0.006) (0.0066) (0.0069) (0.0044) (0.006) (0.0038) (0.04) (0.03) (0.0086) (0.07) (0.0076) (0.0079) (0.0057) (0.007) (0.006) (0.0065) (0.0049) (0.0063) El experimeno revela ue, usao un algorimo uasi-newon esáar se obiene una esimación consisene de los parámeros del NLMACH(). No sólo los esimadores son muy cercanos (en promedio) al verdadero valor de los parámeros, sino ue ambién, conforme aumena el amaño de muesra, su varianza disminuye. No hace fala mencionar, la gran diversidad de modelos de varianza coicional ue hoy se conoce; resula por ee fuamenal comparar la propuesa de ese arículo con oras especificaciones empleadas en los esudios empíricos. Esudiar eso úlimo puede ser logrado nuevamene mediane experimenos de Mone Carlo. Para lograr los fines comparaivos ue se persiguen, el Mone Carlo incluye especificaciones de varianza coicional muy socorridas, ARCH(), GARCH (, ), ARCH-(). Se simulan los cuaro procesos y se esiman a su vez las cuaro especificaciones. 3 Los parámeros escogidos para simular el proceso NLMACH() son cercanos a los obenidos en la aplicación empírica de la sección siguiene. También se efecuaron esimaciones de un NLMACH() con daos ue correspoen a dicho proceso. Los resulados son similares y por razones de espacio se decidió no incluir esos resulados, aunue esán disponibles mediane soliciud a los auores.

9 Varianza coicional de medias móviles no-lineales 37 Exisen enonces cuaro esimaciones basadas en una especificación correca y doce esimaciones basadas en una especificación incorreca (esimar un NLMACH () sobre una serie generada mediane un GARCH (, ), por ejemplo). En odos los casos se reporan dos crierios de selección de especificación, el de Akaike (AIC) y el Bayesiano (BIC) así como la log-verosimiliud maximizada. Ese ejercicio se realiza para res amaños de muesra disinos, T = 00, T = 500 y T = 700. El experimeno se repie 0,000 veces y, con base en las replicaciones, se promedian los cálculos anes mencionados. Las ablas (a), (b) y (c) resumen los resulados obenidos (la especificación esimada ue opimiza cada crierio, muesra realzado en negro el valor numérico correspoiene). Tabla a: Simulación y esimación de los procesos NLMACH(), ARCH(), GARCH(,) y ARCH-() DGP. Mod. Esimado Tamaño de Muesra, T=00 NLMACH ARCH GARCH ARCH- NLMACH ARCH GARCH ARCH- AIC BIC Log-Ver AIC BIC Log-Ver AIC BIC Log-Ver AIC BIC Log-Ver

10 38 Ensayos Tabla b: Simulación y esimación de los procesos NLMACH(), ARCH(), GARCH(,) y ARCH-() DGP NLMACH ARCH GARCH ARCH- Tamaño de Muesra, T=500. Mod. Esimado NLMACH ARCH GARCH ARCH- AIC BIC Log-Ver AIC BIC Log-Ver AIC BIC Log-Ver AIC BIC Log-Ver Tabla c: Simulación y esimación de los procesos NLMACH(), ARCH(), GARCH(,) y ARCH-() DGP. Mod. Esimado Tamaño de Muesra, T=700 NLMACH ARCH GARCH ARCH- NLMACH ARCH GARCH ARCH- AIC BIC Log-Ver AIC BIC Log-Ver AIC BIC Log-Ver AIC BIC Log-Ver Como sería de esperarse, el ajuse de las especificaciones es mejor lógicamene cuao el DGP de base correspoe a su propia especificación. Lo anerior ueda manifieso al esudiar los crierios de selección de especificaciones. De forma ineresane, se muesra ue ales crierios (ano el AIC y el BIC) cumplen adecuadamene esa función. Con base en ellos y de acuerdo a ese experimeno de Mone Carlo, es posible escoger la

11 Varianza coicional de medias móviles no-lineales 39 especificación ue correspoe al proceso ue generó los daos. Lo anerior es ciero para odos los amaños de muesra esudiados. Por ora pare, la log-verosimiliud no proporciona muchos elemenos para disinguir enre especificaciones. Sólo en el caso de los daos generados con base en un NLMACH() así como en un ARCH-() es posible ver una diferencia considerable en la log-verosimiliud maximizada; dicha diferencia se maniene en odos los amaños de muesra esudiados. Ello iica ue sería facible disinguir dichas especificaciones del ARCH() así como del GARCH(,), pero no a la inversa. En oras palabras, con base en ese crierio, y sieo los daos generados por un ARCH() o bien por un GARCH(,), no podrían disinguirse las esimaciones de ésos, de las de un NLMACH() o un ARCH-(). Ese parón no parece cambiar conforme aumena el amaño de la muesra. Todo eso deja inuir ue la uilización del NLMACH podría revelarse úil para aplicaciones empíricas. 4 Los resulados de ese experimeno de Mone Carlo permien pensar ue el ipo de volailidad coicional, capurado por el modelo propueso, posee una nauraleza disina a la de los modelos auorregresivos. Eso ueda manifieso específicamene en lo ue iican los crierios de selección de modelos, el AIC y el BIC. 3. Ejercicio empírico: ipos de cambio y cerificados bursáiles Para poder evaluar el desempeño del NLMACH () con daos empíricos uilizamos información del mercado de divisas inernacional y daos sobre las emisiones bursáiles de algunas enidades federaivas en México. Se esima el NLMACH(), debido a la propiedad ue ienen para generar colas pesadas de manera naural, y se compara con diversas propuesas: un ARCH (), un ARCH () con ruido exraído de una disribución [ ARCH () ] y con el modelo más popular, en esa clase: el modelo GARCH (, ) de Bollerslev (986). Los daos para el ipo de cambio correspoen a ocho monedas duras, y su reimieno logarímico diario va 5 desde el enero de 99 hasa el 9 de diciembre de 995. Los reimienos se calculan aplicao la primera diferencia del logarimo de las coizaciones spo (,303 observaciones para cada moneda). En paricular, las monedas esudiadas son el dólar ausraliano (AUS), la libra eserlina (GBR), el dólar canadiense (CAN), el florín holaés (NLG), el franco francés 4 Es imporane señalar ue lo anerior se infiere de un experimeno de Mone Carlo. No iene carácer definiivo sino ue arroja evidencia sobre un caso paricular. 5 Tales series han sido exhausivamene esudiadas por Franses a Van Dijk (000) para el período ue se iica, y pueden enconrarse en la página de web del auor.

12 40 Ensayos (FRA), el marco alemán (DEU), el yen japonés (JPY) y el franco suizo (CHF). En lo ue concierne a los cerificados bursáiles (CBs) se usan muesras provisas por la Bolsa Mexicana de Valores, para disinos emisores en varios periodos. Para el cálculo de los reimienos logarímicos diarios se usan los CBs, emiidos por: el esado de Chihuahua en el año 00 (CHIHCB0), el Chihuahua udizado (CHIHCB0U), el esado de Hidalgo serie y de 003 (EDOHGO03 y EDOHGO03, respecivamene), el esado de Sinaloa (EDOSIN04U) y el gobierno del Disrio Federal en el año 003 (GDFCB03). La abla (3) muesra la esadísica descripiva de esas series: Tabla 3: Esadísica Descripiva: Tipo de Cambio y Cerificados Bursáiles Media Mediana Desv. Es. Mínimo Máximo Curosis Tipos de Cambio AUS GBR CAN NLG FRA DEU JPY CHF Obs. Cerificados Bursáiles b CHIHCB CHIHCBU EDOHGO EDOHGO EDOSIN04U GDFCB a Dólar Ausraliano (AUS); Libra Eserlina (GBR), Dólar Canadiense (CAN), Florín Holaés (NLG), Franco Francés (FRA), Marco Alemán (DM), Yen Japonés (JPY) y Franco Suizo (CHF). b Cerificados Bursáiles emiidos por Chihuahua en el año 00 (CHIHCB0), Chihuahua udizado (CHIHCB0U), Esado de Hidalgo, serie y de 003 (EDOHGO03 y EDOHGO03 respecivamene), Esado de Sinaloa (EDOSIN04U) y Gobierno del Disrio Federal en el año 003 (GDFCB03). Una de las caracerísicas de inerés derivadas de esa abla es ue las series de iempo correspoienes a los cerificados bursáiles, en conrase con los ipos de cambio, muesran una curosis muy ala. Ello sugiere ue la disribución de los reimienos de esos bonos exhibe colas pesadas. Un primer ejercicio de esimación se presena en las ablas (4) y (5) siguienes, doe se examina el caso de los ipos de cambio. Se esudiaron disinos órdenes para cada proceso de acuerdo al Crierio de Información de

13 Varianza coicional de medias móviles no-lineales 4 Akaike (AIC) y al Crierio de Información Bayesiana (BIC). Sin embargo el NLMACH() fue preferido en la mayoría de las aplicaciones, con el fin úlimo de capurar la propiedad de colas anchas ue se derivan del NLMACH() y de manener la consisencia con el ejercicio de simulación (ver sección y 3, respecivamene). El algorimo de opimización empleado es BFGS 6 y el código de programación esá escrio en RATS. Usao errores esáar robusos se observa ue, con la excepción de la consane, odos los demás parámeros son alamene significaivos. No obsane la baja curosis en los ipos de cambio, es curioso observar ue el parámero de forma resula significaivo y mayor a res, capurao el fenómeno de colas pesadas reporado en oras secciones. Ese primer ejercicio considera la oalidad de las observaciones y compara el NLMACH () con el ARCH (), el ARCH()- y el GARCH (, ). Los crierios AIC y BIC proveen evidencia mixa. Es decir, de acuerdo con dichos crierios, el NLMACH () iene un mejor ajuse ue el ARCH () para el franco suizo, el yen japonés, el dólar canadiense y la libra eserlina. Cuao se comparan el NLMACH () y el GARCH (, ), enonces, de acuerdo con el AIC y el BIC, el NLMACH() se prefiere en odos los casos. 6 BFGS correspoe al méodo de opimización desarrollado por Broyden-Flecher- Goldfarb-Shanno en disinos rabajos; algorimo uasi-newon esáar, consisene con el empleado en las simulaciones.

14 4 Ensayos *, Tabla 4: Ajuse del modelo para el Florín Holaés (NLG), Franco Suizo (CHF), Franco Francés (FRA) y Marco Alemán (DEU) JPY CAN GBR AUS NLMACH ARCH GARCH ARCH - NLMACH ARCH GARCH ARCH - NLMACH ARCH GARCH ARCH - NLMACH ARCH GARCH ARCH - Coeficienes esimados C (0.0073) a (0.0078) a * * * 0.03 * 0.09 * 0.00 * * * * * * * * * * * 0.86 * * * * 0.99 * * 0.78 * * 0.38 * * * * * * * * * * b V * * * * Crierios de decesión L (θ ) d AIC BIC ** denoan significancia esadísica al % y 0%, respecivamene. a Errores esáar robusos enre parénesis. Parámero de forma. c Valor de la verosimiliud opimizada. d Crierio de Información de Akaike. e Crierio de Información Bayesiana. b P P c c

15 Varianza coicional de medias móviles no-lineales 43 Tabla 5: Ajuse del modelo para el Yen Japonés (JPY), Dólar Canadiense (CAN), Libra Eserlina (GBR) y Dólar Ausraliano (AUS) T=00 T=500 T= NLMACH ARCH ARCH GARCH NLMACH ARCH ARCH GARCH NLMACH ARCH ARCH GARCH NLG L() Nd AIC Nd BIC Nd CHF L() Nd AIC Nd BIC Nd FRA L() Nd Nd AIC Nd BIC DEU L() Nd AIC Nd Nd BIC JPY L() Nd AIC Nd BIC Nd CDL L() AIC BIC *, ** denoan significancia esadísica al % y 0% respecivamene. a Errores esáar robusos enre parénesis. b Parámero de forma. c Valor de la verosimiliud opimizada. d Crierio de Información de Akaike. e Crierio de Información Bayesiana.

16 44 Ensayos El inerés de nuesro ejercicio empírico es explorar el desempeño del NLMACH(), un modelo parsimonioso capaz de producir colas anchas, con sus mejores alernaivas. Resula ue la conrapare naural a nuesra propuesa es en realidad el modelo ARCH(), y mejor aún ARCH() con disribución coicional de suden. Para manener la consisencia con nuesro ejercicio de simulación, la abla 6 compara el NLMACH() con sus principales adversarios -ARCH (), ARCH()- y GARCH(,)-para T={00,500,700} 7. Tabla 6. Crierios de Selección Modelos de Tipo de Cambio. T={00,500,700} NLG CHF FRA DEU JPY CDL GBR AUS T=00 T=500 T=700 NLMACH ARCH ARCH GARCH NLMACH ARCH ARCH GARCH NLMACH ARCH ARCH GARCH L( ) n.d n.d n.d AIC n.d n.d n.d BIC n.d n.d n.d L( ) n.d n.d n.d AIC n.d n.d n.d BIC n.d n.d n.d L( ) n.d n.d n.d AIC n.d n.d n.d BIC n.d n.d n.d L( ) n.d n.d n.d AIC n.d n.d n.d BIC n.d n.d n.d L( ) n.d n.d n.d AIC n.d n.d n.d BIC n.d n.d n.d L( ) AIC BIC L( ) AIC BIC L( ) AIC BIC Noas: Todos los modelos considerados son de primer orden. Para una definición de los crierios y monedas bajo examen, ver ablas 4 y 5; n. d.: modelos sin convergencia saisfacoria. Tomao como crierios de decisión el AIC y el BIC 8, se observa ue: mienras para muesras peueñas (i.e., T=00), la evidencia es mixa; para 7 Las muesras conienen las úlimas 00, 500 y 700 observaciones de cada serie respecivamene. Noe ue para el caso de Sinaloa se conó con 697 observaciones por lo ue para T=700 se incluyó la oalidad de las observaciones. 8 Los dos crierios de boad ajuse ienen venajas aunue el crierio de Schwarz iene una mayor penalización por grados de liberad perdidos [ver Greene (008)]. La función de verosimiliud maximizada como crierio de selección puede arrojar elecciones ue no poeran el número de observaciones y esimaciones, respecivamene.

17 Varianza coicional de medias móviles no-lineales 45 muesras medianas y graes (i.e., T=500 y T=700), el modelo NLMACH() es claramene preferido sobre oras especificaciones, en las primeras cinco monedas de nuesra abla 6 (ver NLG, CHF, FRA, DEU y JPY); 9 sin embargo, para la libra eserlina, el NLMACH() es superior a oros modelos, cuao T={500,700} -ver panel GBR y T={500,700}, en la abla 6. Ese resulado mixo para los ipos de cambio puede deberse a la inexisencia de colas pesadas como se había sugerido al inicio, por la curosis de las series (abla 3). Para explorar esa posibilidad más a foo, la abla siee (7) muesra los mismos crierios de selección, pero ahora para los cerificados bursáiles, los cuales exhiben colas pesadas. Con sólo algunas excepciones, se observa ue el modelo NLMACH() es ahora superior no únicamene a sus principales compeidores -ARCH y ARCH()--, sino ue ambién es preferido en general al modelo GARCH(,) de Bollerslev (986). 0 Ese resulado es alenador y sugiere ue nuesra propuesa puede consiuirse como una alernaiva sólida para modelar algunas series financieras, en paricular bonos en el mercado de capiales o series de iempo con disribuciones ue exhiban colas pesadas. Tabla 7. Crierios de Selección Modelos de Cerificados Bursáiles; T={00,500,700} T=00 T=500 T=700 NLMACH ARCH ARCH GARCH NLMACH ARCH ARCH GARCH NLMACH ARCH ARCH GARCH CHIHCB L( ) AIC BIC CHIHCBU L( ) AIC BIC EDOHGO03 L( ) AIC BIC EDOHGO03 L( ) AIC BIC EDOSIN04U L( ) AIC BIC GDFCB03 L( ) AIC BIC Noas: Todos los modelos considerados son de primer orden. Para una definición de los crierios y monedas bajo examen ver ablas 4 y 5. 9 Desaforunadamene, después de varios inenos de esimación, el modelo ARCH()- no convergió saisfacoriamene en varios casos como puede apreciarse; lo ue hace difícil su comparación. 0 No se muesran resulados compleos de esas esimaciones con el fin de ahorrar espacio; pero, ésos se encuenran disponibles por pare de los auores.

18 46 Ensayos Conclusiones Se ha presenado un nuevo modelo fuamenado en medias móviles nolineales pero insrumenado para la varianza coicional. Mediane una resricción sencilla es posible sorear el ípico problema de no-inveribilidad ue aueja a esa clase de procesos y faciliar su esimación por Máxima Verosimiliud. Las propiedades esadísicas del NLMACH( ) son simples y a la vez aracivas para el modelaje de series financieras. Además se presenó la función de auocorrelación del proceso al cuadrado ue permie hacer un ajuse preciso del NLMACH al volverse facible idenificar el número de rezagos a incluir en la especificación. Los experimenos de Mone Carlo sugieren ue nuesra propuesa ofrece un mejor ajuse ue los modelos de la clase ARCH bajo ciero ipo de volailidad. Lo anerior puede ser deecado mediane los crierios de información AIC y BIC. Las simulaciones muesran ambién ue, aún sieo el NLMACH una especificación incorreca, la verosimiliud maximizada es euivalene a oras especificaciones (excepo cuao los daos son generados por un ARCH-). La nueva especificación habrá de compeir con una diversidad de varianes perenecienes a la clase ARCH. Tales compeidores comparen el mismo ipo de no-linealidad mienras ue el ofrece una NLMACH ( ) alernaiva de no linealidad con la capacidad de reproducir nauralmene disribuciones de colas pesadas. En lo ue concierne a la aplicación empírica los resulados sugieren ue el NLMACH es una alernaiva de modelaje úil y mejor para series ue exhiben colas pesadas. En general la especificación NLMACH() es preferida a sus principales adversarios: ARCH(), ARCH()- y GARCH(,). En sínesis, la inención al presenar ese nuevo modelo es rescaar a las medias móviles no-lineales para las ue el inerés académico ha sido marginal pese a represenar, como auí se muesra, una alernaiva poencialmene úil en aplicaciones empíricas. No sobra recalcar ue al experimeno de Mone Carlo sólo consiuye evidencia paricularizada, y ue bajo oras circunsancias, lo dicho podría revelarse inexaco.

19 Varianza coicional de medias móviles no-lineales 47 Referencias Bollerslev, T. [986]: Generalized Auoregressive Coiional Heeroskedasiciy, Journal of Economerics, 3, Bollerslev, T., a H. Mikkelsen [996]: Fracionally Inegraed Generalized Auoregressive Coiional Heeroskedasiciy, Journal of Economerics, 74, Engle, R. [98]: Auoregressive Coiional Heeroskedasiciy wih Esimaes of he Variance of he U.K. Inflaion, Economerica, 50, Engle, R., D. Lilien, a R. Robins [987]: Esimaing Time Varying Risk Premia in he Term Srucure: he ARCH-M Model, Economerica, 55, Franses, P., a D. van Dijk [000]: Non-Linear Time Series Models in Empirical Finance. Cambridge. Granger, C. W. [998]: Overview of Nonlinear Time Series Specificaions in Economics, UCSD, firs draf. Granger, C. W., a A. Aersen [978]: Applied Time Series Analysis. Academic Press, pp Edied by David F. Filey. Granger, C. W., a T. Terasvira [993]: Modelling Nonlinear Economic Relaionships. Oxford Universiy Press. Greene, W. [008]: Economeric Analysis, 6 h Ediion. Prenice Hall. Guégan, D. [994]: Séries Chronologiues Non Linéaires à Temps Discre. Economica. Nelson, D. [99]: Coiional Heeroskedasiciy in Asse Reurns: A New Approach, Economerica, 59, Robinson, P.M. [977]: The Esimaion of a Non Linear Moving Average Model, Sochasic Processes a heir Applicaions,, Tong, H. [990]: Non-Linear Time Series: A Dynamical Approach. Oxford Science Publicaions. A. Apéice: Esacionariedad esrica

20 48 Ensayos Los momenos impares son fácilmene calculables debido a las propiedades del ruido blanco gaussiano V. En efeco, odos los momenos impares son iguales a cero. Sólo fala calcular los momenos pares. La fórmula general de ésos es: r r r r E( X = = ) E( V ). E( h ) ( j ). 0 + iv j= i= El primer érmino, r j= cuano al seguo, se desarrolla ( j ), no iene coiciones de exisencia; en r = 0 + i i i= Eh ( ) E V r = E r r j 0 j 0 j = i= r = r r j 0 E j 0 j = i= r V i iv i j i j Y se infiere ue ( ) E V es la única pare ue coniene elemenos j i = i = i esocásicos. La desarrollamos por medio del binomio de Newon: j i i= = j j j z i i z 0 z = i= i E V E V V j = j z j z ( j z) EV E iv i z 0 z = i= j j z z j j z (k ) E iv i z z= 0 k= i= = z Eso úlimo iica ue sólo hay ue preocuparse de un elemeno, z. La suma pierde dicho elemeno y ahora corre únicamene de E i iv = i i = a. Repiieo el procedimieno (es decir, aplicao sobre lo resane el binomio de Newon) es posible eliminar uno a uno los elemenos de la suma hasa uedarnos con uno solo: s s E V = l s l= Al haber eliminado odas las esperanzas de la expresión, descubrimos ue no exisen coiciones, excepo las impuesas al ruido así como las de posiividad sobre el conjuno de parámeros para garanizar la exisencia de momenos pares superiores. V