DE ECONOMÍA DEPARTAMENTO DOCUMENTO DE TRABAJO N 288 CRECIMIENTO ECONÓMICO: ENFOQUES Y MODELOS CAPÍTULO 1 - INTRODUCCIÓN: LA TEORÍA DEL.

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1 DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ DOCUMENTO DE TRABAJO N 288 CRECIMIENTO ECONÓMICO: ENFOQUES MODELOS CAPÍTULO - INTRODUCCIÓN: LA TEORÍA DEL CRECIMIENTO, CONCEPTOS PONTIFICIA BÁSICOS UNIVERSIDAD BREVE CATÓLICA HISTORIA DEL PERÚ Félix Jiménez DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA

2 DOCUMENTO DE ECONOMÍA N 288 CRECIMIENTO ECONÓMICO: ENFOQUES MODELOS CAPÍTULO INTRODUCCIÓN: LA TEORÍA DEL CRECIMIENTO, CONCEPTOS BÁSICOS BREVE HISTORIA Félix Jiménez Agoso, 2 DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA DOCUMENTO DE TRABAJO 288 hp://

3 Deparameno de Economía Ponificia Universidad Caólica del Perú, Félix Jiménez Av. Universiaria 8, Lima 32 Perú. Teléfono: (5-) anexos Fax: (5-) Encargada de la Serie: Giovanna Aguilar Andía Deparameno de Economía Ponificia Universidad Caólica del Perú, Félix Jiménez CRECIMIENTO ECONÓMICO: ENFOQUES MODELOS CAPITULO INTRODUCCIÓN: LA TEORÍA DEL CRECIMIENTO, CONCEPTO BÁSICOS BREVE HISTORIA / Félix Jiménez Lima, Deparameno de Economía, 2 (Documeno de Trabajo 288) Crecimieno económico / Modelos de crecimieno / Opimización y crecimieno / Desigualdad y crecimieno Las opiniones y recomendaciones veridas en esos documenos son responsabilidad de sus auores y no represenan necesariamene los punos de visa del Deparameno Economía. Hecho el Depósio Legal en la Biblioeca Nacional del Perú Nº ISSN (Impresa) ISSN (En línea) Impreso en Carolan Ediora y Comercializadora E.I.R.L. Pasaje Alánida 3, Lima, Perú. Tiraje: ejemplares

4 CRECIMIENTO ECONÓMICO: ENFOQUES MODELOS CAPITULO INTRODUCCIÓN: LA TEORÍA DEL CRECIMIENTO, CONCEPTO BÁSICOS BREVE HISTORIA Resumen Félix Jiménez Ese capíulo es inroducorio. Se inicia con la discusión del objeo de la eoría del crecimieno y la disinción enre crecimieno de largo plazo y flucuaciones. Se presena daos sobre la evolución del Produco Bruo Inerno (PBI) y del PBI per cápia de disinos países desde una perspeciva comparada, vinculando dicha evolución a las políicas económicas que influyen en el crecimieno de los países. Se desarrolla ambién algunas herramienas maemáicas úiles para la comprensión de los disinos enfoques del crecimieno económico. Se precisan los concepos de función de producción, la conabilidad del crecimieno y oros concepos relacionados con la eoría del crecimieno. También se resume la hisoria de las eorías del crecimieno desacando sus respecivos emas de preocupación eórica en deerminados momenos del desarrollo de la economía capialisa. El capíulo ermina con el análisis de los hechos esilizados del crecimieno. Absrac This is an inroducory chaper o he heory of economic growh. I sars analyzing he obje of he growh heory and he disincion beween long erm growh and flucuaions. The chaper includes daa abou Gross Domesic Produc (GDP) and GDP per capia for differen counries from a comparaive perspecive, relaing such an evoluion o he economic policies underaken in hose counries. Some useful mahemaic ools o faciliae he undersanding of he differen growh approaches are developed oo. Basic noions, as producion funcion, growh accouning and ohers conceps relaed o growh heory, are specified. Moreover, his chaper includes presen a brief summary of he hisory of he economic growh heories highlighing he subjecs of heoreical concern in differen momens of he capialism developmen. Finally he chaper ends wih an analysis of some sylized facs of economic growh.

5 CRECIMIENTO ECONÓMICO: ENFOQUES MODELOS FÉLIX JIMÉNEZ * PROFESOR PRINCIPAL DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ * Con la excelene asisencia de Rosmary Lozano.

6 Capíulo : Inroducción Presenación Ese es un exo de enfoques y modelos eóricos de crecimieno económico. A diferencia de oros exos universiarios que circulan en el medio académico, ese aborda no solo las eorías del crecimieno de largo plazo de las economías de mercado que hacen énfasis en los facores de ofera, sino ambién los enfoques que, desde la veriene keynesiana, le oorgan imporancia decisiva a los facores de demanda. En odos los casos los modelos se presenan con sus respecivos desarrollos maemáicos para faciliarle al lecor la comprensión eórica y écnica de los mismos. El exo coniene siee capíulos. El primer capíulo es inroducorio. Apare de discuir el objeivo de la eoría del crecimieno y proporcionar concepos básicos y herramienas maemáicas, incluye una breve hisoria del desarrollo de las eorías y los hechos esilizados del comporamieno de largo plazo de las economías. El capíulo dos coniene las eorías keynesianas y neoclásicas del crecimieno y de su relación con el empleo. Solo los neoclásicos posulan el crecimieno con pleno empleo. Esán los modelos con ahorro exógeno keynesianos (Harrod y Domar) y neoclásicos (Solow-Swan y Uzawa), como los modelos neoclásicos con opimización del consumo (Ramsey-Cass-Koopmans y el de Generaciones Superpuesas). En el ercer capíulo se presena la conroversia sobre la eoría del capial y la eoría del crecimieno. El capíulo cuaro esá dedicado al Crecimieno y su relación con la Disribución del Ingreso. Aquí se revisan básicamene modelos keynesianos que hacen depender la asa de ahorro de la disribución del ingreso, con lo cual se inroduce la posibilidad del crecimieno con pleno empleo. El capíulo cinco raa de la eoría del crecimieno endógeno. Los modelos neoclásicos para explicar el crecimieno del produco per cápia habían inroducido exógenamene el cambio écnico. La nueva eoría del crecimieno surge como críica a esa explicación y al endogenizar el cambio écnico abandonan la función de producción neoclásica y los rendimienos marginales decrecienes del capial. Se revisan las eorías de crecimieno endógeno de primera generación y de segunda generación. Los primeros paren de una función de producción neoclásica con cambio écnico a la Harrod (aumenador de rabajo) e inroducen una función de cambio écnico que la ransforma en una función de producción similar a la del modelo de keynesiano de Harrod o a ora que exhibe rendimienos crecienes. En los modelos de segunda generación se encuenran los modelos seudo Harrod- Domar (que eliminan de la función de producción los facores no producidos para eviar cualquier fuene de rendimienos decrecienes del facor producido) y modelos neoexógenos (que raan de inegrar la ecuación de cambio écnico de Solow con una relación enre la asa de cambio de la producividad del rabajo y las elecciones de la sociedad enre consumo presene y fuuro. Consisene con la idea de que la frugalidad es la causane del crecimieno económico, la eoría neoclásica del crecimieno endógeno raa de asociar la 2

7 Félix Jiménez / Crecimieno Económico: Enfoques y Modelos asa de crecimieno con las decisiones de ahorro de la comunidad. En los modelos neoexógenos esa asociación se da a ravés de la influencia de la asa de ahorro sobre el rimo del cambio écnico, a ravés de la I y D, la educación, ec. En el capíulo seis se presenan varios modelos de crecimieno dirigidos por facores de demanda. Se desarrollan el modelo de crecimieno limiado por la balanza de pagos, oro donde la inversión es la principal deerminane del crecimieno, un modelo que capura la persisencia de shocks de demanda en el largo plazo y oros modelos de crecimieno dirigidos por los salarios y los beneficios. Finalmene, el capíulo siee es una miscelánea de emas pero odos relacionados con la políica económica y el desarrollo. Luego de discuir qué espacios para la inervención del Esado dejan los disinos enfoques del crecimieno, se presena la experiencia de algunos países expliciando la esraegia de desarrollo que adoparon. También se analiza la imporancia de las insiuciones y de la democracia, así como el papel del comercio, los mercados financieros, ec. Para el crecimieno y el desarrollo. El capíulo ermina con el análisis de la relación enre el crecimieno, la pobreza, la desigualdad y el empleo. El conenido de ese exo se basa en mis noas de clases para el curso de Teoría del Crecimieno que dicé en los res úlimos años. La versión que esá en sus manos ha sido posible con la excelene asisencia de Rosmary Lozano, una de mis mejores exalumnos de los cursos de Teoría del Crecimieno y Macroeconomía. Ella me ha asisido ano en la area de poner en la compuadora mis noas de clases, como ambién en la solución maemáica de los modelos y en el mismo proceso de redacción de ese libro. A ella mi graiud especial. Como ya lo dije en ora oporunidad, hacer un libro de exo úil para la formación inegral del profesional economisa y disino, por la diversidad de enfoques que incorpora, de los que ya circulan en el mercado, no es area fácil por el limiado iempo y las condiciones de rabajo en nuesra universidad. Se nos concedió solo un año sabáico para escribir dos libros, pero aforunadamene la Dirección de Gesión de la Invesigación de la Universidad nos ayudó remunerando a nuesros asisenes. Debo reconocer y agradecer infiniamene a la Dirección de Gesión de la Invesigación. En especial mis gracias a Carlos Chávez, funcionario de esa Dirección, quien siempre supo enconrar soluciones a los problemas adminisraivos generados por nuesro proyeco y nunca dudó en apoyar nuesra demanda de ayuda con un pago relaivamene imporane para nuesros asisenes. FÉLIX JIMÉNEZ Profesor Principal del Deparameno de Economía de la Ponificia Universidad Caólica del Perú 3

8 Capíulo : Inroducción Capíulo INTRODUCCIÓN: LA TEORÍA DEL CRECIMIENTO, CONCEPTOS BÁSICOS BREVE HISTORIA. CRECIMIENTO, EVIDENCIA EMPÍRICA POLÍTICA ECONÓMICA 2. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS 3. FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN, CONTABILIDAD DEL CRECIMIENTO FACTORES PRODUCTIVOS 4. HISTORIA HECHOS ESTILIZADOS DE LA TEORÍA DEL CRECIMIENTO ECONÓMICO 4

9 Félix Jiménez / Crecimieno Económico: Enfoques y Modelos CAPITULO INTRODUCCIÓN: LA TEORÍA DEL CRECIMIENTO, CONCEPTOS BÁSICOS BREVE HISTORIA Recienemene, el Wall Sree Journal publicó un arículo acerca de las perspecivas para el crecimieno peruano en el 2. El arículo se iniciaba con la frase: «El sólido crecimieno económico, que esá foraleciendo las acciones de los secores de la consrucción y de los servicios básicos en Perú, debiera impulsar las ganancias del mercado bursáil durane el segundo rimesre de 2». Además, señalaba: «El Banco Cenral de Reserva del Perú proyeca un crecimieno del produco inerno bruo del 5.5% para ese año». Es común escuchar en las noicias y en los medios de comunicación expresiones de ese ipo en relación al crecimieno económico, como escuchamos hablar ambién de la acividad económica, la pobreza, la inflación, el desempleo y el ipo de cambio, enre oros emas resalanes de la economía. La mayoría de esos emas son fenómenos de coro plazo y son raados por la Macroeconomía. Por su pare, la Teoría del Crecimieno Económico aborda emas de largo plazo, vinculados principalmene a la expansión del produco bruo inerno (PBI) poencial de la economía. De ese modo, la eoría del crecimieno analiza la expansión del produco y la producividad de las economías en el largo plazo, con especial aención en las causas y los deerminanes del crecimieno, como ambién en sus principales limianes. Desde los orígenes de la ciencia económica, el crecimieno económico ha sido un ema de gran inerés en la economía, no sólo por curiosidad cienífica, sino sobre odo por sus implicancias en el bienesar de las sociedades. William Easerly, economisa esudioso de los procesos de crecimieno y desarrollo de los países subdesarrollados, señala en la inroducción de su libro The elusive ques for growh: «Nosoros los experos no nos ineresamos en elevar el produco bruo inerno por sí mismo. Nos impora porque mejora a la mayoría de pobres y reduce la proporción de personas que son pobres. Nos impora porque personas con más dinero pueden comer más y comprar más medicinas para sus hijos» (Easerly 2: 3). No obsane, como en muchos emas en economía, no se ha alcanzado pleno consenso acerca de nauraleza del crecimieno y sus deerminanes. Por ese moivo, las disinas escuelas de pensamieno exponen sus modelos y los resulados que se derivan de acuerdo a su visión de la economía y sus principales supuesos. Dependiendo del esudio del ema, se pueden concluir disinas explicaciones acerca del crecimieno y los facores subyacenes. Ese libro presena un recorrido por las principales explicaciones al crecimieno económico de diversas escuelas de la economía, con el objeivo de brindar una visión panorámica del ema del crecimieno económico. Iniciamos el capíulo definiendo la eoría del crecimieno y la imporancia de la disinción enre crecimieno y flucuacione. Asimismo, se presena evidencia empírica sobre la evolución del Produco Bruo Inerno (PBI) y del PBI per cápia de disinos países desde una perspeciva comparada, vinculando dicha evolución a las políicas económicas que influyen en el crecimieno de los países. En la segunda sección se desarrollan algunas 5

10 Capíulo : Inroducción herramienas maemáicas úiles para la comprensión de los disinos enfoques de crecimieno, que se presenarán en los capíulos siguienes. En ercer lugar, se precisan los concepos de función de producción, la conabilidad del crecimieno y oros concepos relacionados con la eoría del crecimieno. Finalmene, se resume la hisoria de las eorías del crecimieno desacando los emas de preocupación eórica en deerminados momenos del desarrollo de la economía capialisa, los cuales serán profundizados en los capíulos siguienes al desarrollar cada modelo. CONSTRUCCIÓN SERVICIOS IMPULSARÍAN AL MERCADO PERUANO EN EL SEGUNDO TRIMESTRE* LIMA (Dow Jones)--El sólido crecimieno económico, que esá foraleciendo las acciones de los secores de la consrucción y de los servicios básicos en Perú, debiera impulsar las ganancias del mercado bursáil durane el segundo rimesre de 2. El secor de manufacuras ambién debiera crecer, aunque el de meales podría regisrar volailidad, según analisas del mercado. Se esima que los riesgos para la economía peruana en el segundo rimesre podrían provenir principalmene del exranjero y ser causados por cualquier crisis en la economía mundial. En el período previo a las elecciones regionales de ocubre, que preceden a las voaciones presidenciales de 2, podría generarse ciera volailidad inerna, pero su efeco debería ser marginal. El Banco Cenral de Reserva del Perú proyeca un crecimieno del produco inerno bruo del 5,5% para ese año. Según Robero Flores, analisa de la corredora limeña Ineligo SAB, se espera que las acciones regisren un crecimieno cercano al % durane el segundo rimesre, el que sería impulsado por el secor de la consrucción. Pablo Nano, economisa senior de Scoiabank Perú, ambién prevé un crecimieno del % para el segundo rimesre, a parir de la inversión privada en los secores de vivienda y obras públicas, los que a su juicio podrían subir enre un 5% y un 2% ese año. Según los analisas, eso debiera beneficiar a las acciones de empresas como Cemenos Lima SA y Cemenos Pacasmayo SAA, así como ambién a las de consrucoras como Graña y Monero SAA. Cemenos Lima SA, que iene una paricipación de mercado cercana al 4% en el secor peruano de cemenos, indicó hace poco que espera que sus venas aumenen un 6% en 2. Flores, de Ineligo, señaló que el secor elécrico ambién debiera regisrar ganancias a medida que la recuperación económica aumena la acividad en los secores indusrial y minero. El expero proyeca un buen rimesre para el secor, lo que beneficiaría a empresas elécricas como Edelnor SAA y Enersur SA. Nano, de Scoiabank, manifesó además que prevé que el secor de manufacuras se expandirá enre un 5% y un 6% en 2. Sin embargo, el secor minero -que iene la mayor ponderación en el mercado bursáil local- podría regisrar una mayor volailidad, debido a que cualquier nueva desaceleración en la economía inernacional podría afecar los precios de los meales y las exporaciones en general. Según Flores, se esima que la minería en general seguirá mosrando ciera volailidad, ya que los mercados exernos influyen en ella. El Índice General de la Bolsa de Valores de Lima, que esá compueso en gran medida por empresas del secor minero y que en 28 perdió cerca del 6% de su valor, se duplicó con creces en érminos de dólares en 29. Perú es el mayor producor mundial de plaa, el segundo principal producor de cobre y un imporane producor de oro a escala mundial. * Tomado del Wall Sree Journal Americas. Escrio por Sophie Kevany (3/5/2).. CRECIMIENTO, EVIDENCIA EMPÍRICA POLÍTICA ECONÓMICA Hasa ahora hemos definido la eoría del crecimieno económico como la rama de la economía que se cenra en el análisis de la evolución del produco poencial de las economías en el largo plazo. Por esa razón, es necesario disinguir el crecimieno 6

11 Félix Jiménez / Crecimieno Económico: Enfoques y Modelos económico de las flucuaciones económicas. La evolución del PBI puede separase en dos pares: la endencia o produco poencial y las flucuaciones alrededor de la endencia. El produco poencial es el produco endencial o de largo plazo de una economía, por eso se dice ambién que es el mono promedio de bienes y servicios producidos en la economía durane un largo período. El nivel del produco puede exceder al nivel del produco poencial durane coros períodos; ambién puede ser menor durane oros coros períodos (véase el Gráfico.). 2, Gráfico. Perú: PBI y PBI poencial* (Millones de soles de 994) 8, 6, 4, 2,, 8, 6, PBI PBI Poencial* Fuene: Esadísicas BCRP. Elaboración propia. *El PBI Poencial fue consruido por el auor en Jiménez (29). La eoría del crecimieno raa del comporamieno del produco poencial o del produco de largo plazo. Cuando hablamos de crecimieno económico, esamos hablando del incremeno del produco poencial. Crecimieno y flucuaciones Por lo general, las flucuaciones del produco en orno a la endencia son consideradas fenómenos de coro plazo sin mayor relación con el crecimieno de largo plazo. Sin embargo, no puede negarse que las flucuaciones ienen efecos sobre la endencia de las variables relevanes en la economía. Rober Solow, en su discurso de agradecimieno al recibir el Premio Nobel de Economía de 987, señala precisamene ese ema: La eoría del crecimieno fue invenada para proveer una manera sisemáica de hablar acerca de sendas de equilibrio para la economía y compararlas. En esa area, ha enido razonable éxio. Sin embargo, ha fallado en raar 7

12 Capíulo : Inroducción adecuadamene un problema igualmene imporane e ineresane: la manera correca de lidiar con las desviaciones del equilibrio.( ) En paricular, el mono y la dirección de la formación de capial es suscepible de ser afecada por el ciclo económico, ya sea a ravés de la inversión brua en nuevo equipo o a ravés de la aceleración del desecho de equipo aniguo.( ) Por lo ano, un análisis simuláneo de la endencia y las flucuaciones en realidad implica una inegración del equilibrio y desequilibrio de coro plazo y largo plazo (Solow 988:3-32). Evidencia empírica sobre crecimieno El análisis del crecimieno de un país se cenra en la evolución de su PBI y sobre odo en la asa a la que crece durane un período deerminado. No obsane, el PBI es una variable muy agregada que presena algunos inconvenienes cuando se preende analizar el nivel de desarrollo y bienesar de un país. Por ejemplo, los habianes de dos países con el mismo nivel de PBI no necesariamene gozan del mismo grado de bienesar, si uno de los países iene una mayor población. Por ello, para realizar comparaciones inernacionales es preferible considerar el PBI en relación al número de habianes del país. Cuadro. Tasa de crecimieno promedio anual PBI real PBI per cápia PBI real PBI per cápia Canadá 2.72%.62% América Laina China 9.9% 8.83% Argenina 2.38%.7% Francia 2.4%.5% Bolivia 2.44%.% Alemania.89%.67% Brasil 2.76%.78% India 6.9% 4.4% Chile 4.76% 3.% Ialia.57%.5% Colombia 3.55%.58% Japón 2.26%.9% México 2.88%.% Reino Unido 2.4% 2.26% Perú 3.8%.3% Esados Unidos 2.92%.84% Venezuela 2.37%.27% Fuene: IMF. World Economic Oulook, April 29; Economic Repor of he Presiden, 29; Esadísicas BCRP, INEI. Elaboración propia. El PBI per cápia, o por habiane, permie ener una mejor aproximación al nivel de bienesar. Lamenablemene ambién presena algunas limiaciones, principalmene vinculadas a la disribución del ingreso. Por lo ano, debe enerse en cuena que el PBI per cápia es solo un indicador promedio. Si la sociedad esá caracerizada por una 8

13 Félix Jiménez / Crecimieno Económico: Enfoques y Modelos concenración excesiva de la riqueza, enonces el promedio no resula ser una buena aproximación al bienesar de la mayoría de habianes. A pesar de esas dificulades, podemos uilizar el PBI per cápia para comparar, por ejemplo, el crecimieno de China y la India, países con alos niveles de población, con las asas de crecimieno de oros países con diferenes dinámicas poblacionales, como es el caso de los países europeos (véase Cuadro.). Además, la lieraura ha señalado que el PBI per cápia puede ser una buena aproximación al bienesar de la población de un país, pues se halla alamene correlacionado con oras medidas de calidad de vida, como la esperanza de vida, la asa de moralidad, enre oras (Jones 22:5). Hay economías que crecen más rápido que oras. Un ejemplo es China, país que en las dos úlimas décadas ha crecido a una asa mayor que el reso del mundo. La asa de crecimieno del PBI se mide como el porcenaje de incremeno del PBI de un período a oro. De ese modo, su PBI per cápia chino en 28 fue aproximadamene de 8,539 yuanes de 99, lo cual represena más de diez veces su valor de 98 (87 yuanes de 99). Oro país que ha experimenado aceleración en el crecimieno en los úlimos años es la India, país que riplicó su produco per cápia con una asa de crecimieno promedio anual de 4.% desde 98. Desde 98 ano China como India han experimenado asas posiivas de crecimieno de su produco per cápia (véase Gráfico.2) a diferencia de lo ocurrido en países desarrollados donde el crecimieno ha sido más leno Gráfico.2 Tasas de crecimieno del PBI per cápia Porcenaje China India US Fuene: IMF. World Economic Oulook, April 29. Elaboración propia. Enre los países de América Laina, durane el periodo comprendido enre 98 y 28, Chile manuvo una asa promedio anual de crecimieno de su PBI de 4.76% y un crecimieno de su PBI per cápia a una asa mayor al 3%, lo que le permiió duplicar el nivel alcanzado en 98. Por su pare, el PBI de Perú creció a la asa de 3.8%, pero su PBI per cápia solo lo hizo a la asa de.3% promedio anual. Así en 28 años, el produco por habiane aumenó en únicamene 3%. En el Gráfico.3 se muesran los niveles de PBI 9

14 Capíulo : Inroducción per cápia en dólares del año 2 para Chile y Perú desde 99 de acuerdo con los daos de la CEPAL. Al respeco, cabe señalar no sólo que en 99 el PBI per cápia de Chile superaba ampliamene al peruano, sino además resalar que su asa de crecimieno fue una asa promedio anual mucho mayor. Por oro lado, enre 87 y 99 el PBI per cápia, es decir el PBI dividido enre el número de habianes, de Esados Unidos, pasó de 2,244 a 8, dólares de 985. Es decir, el produco per cápia alcanzó en 99 un nivel que represenaba ocho veces el de 87, con una asa de crecimieno de.75% promedio anual. Si la asa hubiera sido de.75% promedio anual, el PBI per cápia de 99 habría sido de 5,59 dólares. Asimismo, se habría muliplicado por 27 si la asa hubiera sido de 2.75%. De ese modo, pequeñas diferencias en la asa de crecimieno, que se manienen por largos períodos, generan enormes diferencias en los niveles de ingreso o produco per cápia. Desde 96, el PBI per cápia en Esados Unidos, ha aumenado a una asa de 2.6% promedio anual, pasando de 3,84 dólares de 2 a 38,48 en 27, logrando en 47 años que el produco por habiane casi riplicara su valor (véase Gráfico.3). Gráfico.3 Perú y Chile: PBI per cápia (US Dólares de PPC de 2) 7, 6, 5, 4, 3, 2,, Perú Chile Fuene: CEPAL. Elaboración propia. La evidencia empírica muesra que el PBI de los países presena, en general, una endencia creciene, pero por qué crece el produco de los países? y por qué difieren las asas de crecimieno enre países? Pueden los gobiernos inervenir para faciliar el crecimieno de un país? Qué políicas conribuyen al crecimieno económico? Como ya se mencionó, la eoría del crecimieno económico, que esudia cuáles son los deerminanes del crecimieno económico a largo plazo y sus mayores limiaciones, surge como un ineno de responder a esas y oras pregunas relacionadas. Hemos mencionado ambién que las respuesas a esas inerroganes dependerán del modelo que se uilice para analizar el crecimieno. Aforunadamene, conamos con evidencia empírica para conrasar

15 Félix Jiménez / Crecimieno Económico: Enfoques y Modelos los resulados eóricos de cada modelo con la realidad, con el fin de enconrar la mejor explicación al crecimieno de cada economía en paricular. En base a ese conocimieno, se puede analizar cuáles son las políicas que deben implemenarse para esimular el crecimieno, o en el peor de los casos, saber cuáles deben eviarse. Gráfico.4 Esados Unidos: PBI per Cápia (US Dólares de 2) 45, 4, 35, 3, 25, 2, 5,, 5, Fuene: Economic Repor of he Presiden, 29. Elaboración propia. Crecimieno y políica económica Las condiciones iniciales de las que se pare y la políica económica que se adope durane un deerminado período, pueden acelerar o rerasar el crecimieno económico. Su influencia se ejerce, principalmene, a ravés de dos canales: la ecnología y la inensidad de capial o relación capial/rabajo. La ecnología: Cuando mejora la ecnología (conocimieno para la fabricación de moores elécricos, ransmisión de señales por medio de fibra ópica, ec.) aumena el nivel de eficiencia de los rabajadores, es decir, su capacidad para uilizar las ecnologías modernas (su calificación y educación). La inensidad de capial: Se define como la canidad de sock de capial (equipo, edificios, auopisas, pueros y máquinas) que iene a su disposición un rabajador promedio. Una economía inensiva en capial es más produciva y genera mejores condiciones de bienesar para la población. Las condiciones iniciales y la políica económica influyen en la inensidad de capial a ravés de: o La proporción de la producción oal que se ahorra y se inviere para aumenar el sock de capial (se le denomina ambién esfuerzo de inversión o coeficiene de

16 Capíulo : Inroducción inversión). Las políicas económicas que aumenan ese esfuerzo aceleran la asa de crecimieno económico a largo plazo. o La nueva inversión necesaria para doar de capial a los nuevos rabajadores o para reponer el sock de capial gasado u obsoleo. Con el surgimieno de los modelos de crecimieno endógeno, es decir, de los modelos que deerminan el crecimieno del produco per cápia endógenamene, se ha oorgado un renovado inerés a la influencia de las políicas públicas sobre el crecimieno al considerar su efeco sobre la inversión y la ecnología. Así, las políicas económicas deben dirigirse a propiciar la acumulación del capial humano (a ravés de la educación, servicios de salud y nurición), como a impulsar la inversión en capial físico y en Invesigación y Desarrollo (I&D). Además, para reducir la inceridumbre y favorecer la inversión e innovación ecnológica, se desaca la necesidad de manener la esabilidad ano macroeconómica (vinculada a políicas de conrol de la inflación y de la volailidad cambiaria) como ambién la esabilidad políica basada en un marco de insiuciones sólidas (Corbo 996:63-64). Respeco a la influencia de las políicas comerciales en crecimieno económico, la evidencia empírica no resula concluyene y el ema de la aperura comercial es aún objeo de debae enre los economisas. Por un lado, se argumena que la liberalización comercial conribuye al incremeno de la producividad nacional pues al incremenar la compeencia se realiza una mejor asignación de recursos y se facilia la imporación de equipo y maquinaria necesaria en los países con escaso desarrollo ecnológico. Esos son los argumenos en los que se apoyan las medidas de liberalización propuesas por los organismos mulilaerales para los países en desarrollo desde 99. Por oro lado, Krugman (987) afirma que la aperura puede disminuir el crecimieno si la compeencia afeca a secores inensivos en invesigación que no se encuenren desarrollados. En ese caso, la proección de las imporaciones puede fomenar la inversión en dichos secores. Oros auores han señalado que los países alamene indusrializados lograron el crecimieno del que disfruan a ravés de medidas proeccionisas y de promoción de la indusria domesica por pare del Esado. Crecimieno, flucuaciones y políica económica Luego de la Gran Depresión, se logró ciero consenso en orno a la idea de que la políica económica era necesaria para ayudar a la economía a paliar los efecos de las flucuaciones económicas, como defendió el reconocido economisa, J.M. Keynes. Sin embargo, algunos economisas han defendido la efecividad de la políica económica en el coro plazo y la neuralidad de la misma en el largo plazo. Es decir, afirman que la inervención del esado, sobre odo a ravés de la políica monearia, finalmene no iene incidencia en el nivel de acividad y de empleo de largo plazo. Por su pare, Olivier Blanchard sosiene que: «si acepamos el hecho de que la políica monearia puede afecar la asa de inerés real por una década y al vez más, enonces, debemos acepar, lógicamene, que ella puede afecar la acividad económica, el produco o 2

17 Félix Jiménez / Crecimieno Económico: Enfoques y Modelos el nivel de desempleo, por un periodo de iempo similar» (Blanchard 23:3). Blanchard coninúa: Bajas asas de inerés real en 97 probablemene miigaron parcialmene el incremeno de los cosos laborales sobre los beneficios, limiando la disminución en la acumulación del capial y, por lo ano, limiando el incremeno en la asa naural de desempleo en 97. Alas asas de inerés real en 98 (y luego ambién, como resulado de la políica monearia alemana de la reunificación en los primeros años de 99) uvieron el efeco conrario, generando un gran aumeno de la asa naural de desempleo durane ese periodo. ( )Mi opinión es que, los cambios en el mark-up inducidos por la asa de inerés pueden ser relevanes, pero el canal de la acumulación de capial resula más obvio y probablemene más imporane. ( )Las implicancias del argumeno anerior es que una subida sosenida en las asas de inerés reales lleva primero a un incremeno de la asa de desempleo acual (por el efeco demanda agregada usual) y luego, a medida que la acumulación del capial disminuye, lleva a un incremeno de la asa naural de desempleo en sí misma (Blanchard 23:5-6). Crecimieno y políica económica en Perú En 965 el PBI per cápia de América Laina era el mismo que el de los países del Ese Asiáico; no obsane, en 989 el Ese de Asia superaba en más del doble el PBI per cápia de América Laina (Easerly, 995). Las explicaciones acerca de esas divergencias relacionadas con las políicas económicas se manifesaron a ravés de la diferencia en las disorsiones del nivel de precios, la profundidad financiera, el défici presupuesario, la inesabilidad políica y la asa de escolarización (Corbo 996: 8). 7, Gráfico.5 Perú: PBI per cápia (Soles de 994) 6, 5, 4, 3, 2,, Fuene: Memoria 29 BCRP. Elaboración propia. 3

18 Capíulo : Inroducción El caso del Perú es especial. Su PBI per cápia crece sosenidamene desde 95 hasa mediados de la década del seena (véase Gráfico.5), para luego mosrar considerables flucuaciones y disminuir noablemene enre fines de la década de los ochena e inicios de los novena. En 992, el PBI per cápia ascendía a S/. 3,684 de 994, cercano a su valor regisrado en 96 y recién en 26 pudo sobrepasar el nivel que alcanzó en 975, gracias al crecimieno acelerado producido desde 24. Enre 24 y 28, el produco por habiane aumenó a una asa de 6% promedio anual. Cómo puede explicarse ese comporamieno del PBI per cápia peruano? Cuál fue la políica económica seguida que puede explicar ese comporamieno? Tiene enre sus objeivos, la políica económica, la promoción del crecimieno? Para abordar esas inerroganes, debemos analizar la evolución de las principales variables económicas que conribuyen o influyen en el crecimieno del PBI. Una de esas variables es la inversión, pues gracias a ella no sólo se incremena el sock de capial en la economía, si no ambién se incorporan cambios ecnológicos y se eleva la producividad del rabajo. El ahorro ambién cumple un rol imporane en el crecimieno de un país, pues, para los enfoques no keynesianos, es fuene principal de financiamieno de las inversiones. Por lo ano, la políica económica debe promover la inversión privada y/o favorecer el ahorro privado y público. 3 Gráfico.6 Perú: Ahorro Inversión (Porcenaje del PBI) Porcenaje del PBI Ahorro Inerno Privado Inversión Privada Fuene: BCRP. Elaboración propia. En el año 97 el porcenaje de la inversión privada con respeco al PBI era de 2% y aumenó a 22% en 28. Por su pare el ahorro privado pasó de 4% en 97 a 7% en 28 (véase Gráfico.6). Por oro lado, la paricipación del ahorro público en el ahorro inerno o nacional oal, ha sido siempre reducida y muy flucuane, aunque en los úlimos años se aprecia un leve incremeno (véase Gráfico.7). Es necesario señalar, sin embargo, 4

19 Félix Jiménez / Crecimieno Económico: Enfoques y Modelos que la promoción del ahorro público no debe afecar el gaso en capial, sobre odo, el gaso en infraesrucura, debido al alo défici que regisra el país en ese rubro. Hay evidencia empírica que muesra que el gaso público en infraesrucura incremena la renabilidad de las inversiones privadas, esimulando su expansión Gráfico.7 Perú: Ahorro inerno privado y público (Porcenaje del PBI) Porcenaje de PBI Ahorro Inerno Público Ahorro Inerno Privado Ahorro inerno Fuene: BCRP. Elaboración propia. No hay duda de la imporancia de la inversión para el crecimieno económico. Las variaciones porcenuales anuales de la inversión brua fija privada (que no incluye la variación en invenarios) y las del PBI, evolucionan conjunamene mosrando una correlación posiiva. 25, 2, 5,, 5, Gráfico.8 Perú: PBI e Inversión brua fija privada (Millones de soles de 994) 5, 45, 4, 35, 3, 25, 2, 5,, 5, Inversión Brua Fija Privada (eje derecho) PBI Fuene: BCRP. Elaboración propia. 5

20 Capíulo : Inroducción Lo mismo ocurre con las variaciones porcenuales de la inversión oal y las del PBI. En el comporamieno de los niveles de la inversión y del PBI ambién se observa una correlación esrecha (véase Gráficos.8 y.9). Por lo ano, se puede decir que las políicas económicas que afecan los niveles de la inversión oal, y de la inversión privada en paricular, ambién afecan el crecimieno económico de largo plazo del PBI. Gráfico.9 Perú: PBI real, Inversión brua fija real e Inversión brua fija real privada (Variaciones porcenuales) 2 5 Porcenaje Porcenaje PBI real Inversión brua fija real (eje derecho) Inversión brua fija privada real (eje derecho) Fuene: BCRP. Elaboración propia. El oro canal a ravés del cual influye la políica económica sobre el crecimieno de largo plazo es la inensidad de capial, o la relación enre los facores capial y rabajo. Ese raio es un indicador de la inensidad con que se uiliza el facor capial (o el facor rabajo) en la economía. Cuando los rabajadores cuenan con un mayor sock de capial, se vuelven más producivos y pueden conribuir de mejor forma al incremeno de la producción. La relación capial rabajo es ambién, por lo ano, un indicador de modernización económica. En el Gráfico. se muesra la evolución del raio capial rabajo y del PBI per cápia. Se puede apreciar una relación esrecha enre ambas variables. Las dos crecieron hasa mediados de los años seena y decrecieron ligeramene en las úlimas décadas. Un canal adicional a ravés del cual las políicas económicas influyen en el crecimieno económico es la ecnología y hay, como se sabe, una relación esrecha enre los avances ecnológicos o las innovaciones con los niveles educaivos y de calificación de los rabajadores, así como con los gasos en invesigación y desarrollo. Al respeco hay que señalar que la eoría del crecimieno endógeno, desarrollada en los úlimos años, ha enfaizado la necesidad de incremenar no solo el sock de capial físico, sino ambién el sock de capial humano. 6

21 Félix Jiménez / Crecimieno Económico: Enfoques y Modelos 2, 5,, 5, Gráfico. PBI per cápia y relación capial rabajo, (PBI per cápia en soles de 994) Relación K/L (eje derecho) PBI per cápia 5 Fuene: BCRP;INEI. Elaboración propia. Noa: La relación capial rabajo se obuvo dividiendo el sock de capial enre la PEA ocupada. El sock de capial fue consruido por el auor en Jiménez (29). Los principales medios para mejorar el sock de capial humano son brindar educación de calidad, servicios adecuados de salud y asegurar la nurición adecuada de los habianes. Con el fin de conocer a grandes rasgos la evolución de la inversión pública en capial humano en el Perú y oros países, el Gráfico. muesra el porcenaje del gaso público en educación con respeco al PBI. Se observa que el Perú inviere considerablemene menos en educación que México, Chile, Colombia y Argenina. 6 Gráfico. Gaso público en educación (Porcenaje de PBI) 5 Porcenaje de PBI Argenina Chile Colombia México Perú Fuene: CEPAL. Elaboración propia. 7

22 Capíulo : Inroducción Es imporane resalar que un nivel elevado de gaso público no necesariamene se raduce en una mejora de la calidad y coberura educaiva, por ano, ese indicador resula deficiene en ese aspeco. A pesar de ello, el porcenaje que represena el gaso público en educación en relación al gaso público oal nos permie aproximarnos a la relevancia que oorga el gobierno a la educación. Lamenablemene, el gaso en educción en la úlima década no ha aumenado con respeco a los niveles de 975 (véase Gráfico.2). Gráfico.2 Perú: Gaso público en educación (Porcenaje del Gaso Toal) Porcenaje de Gaso Toal Fuene: CEPAL. Elaboración propia. En esa sección hemos presenado una visión general del crecimieno económico refiriéndonos consanemene a variables como la producción, los facores producivos, la inversión, el ahorro, el gaso, la asa de crecimieno, enre oros. Si bien el lecor puede esar familiarizado con esos érminos, las dos siguienes secciones preenden aclarar dichos concepos y brindar las herramienas maemáicas básicas para comprender los desarrollos de los modelos que se llevarán a cabo en los capíulos siguienes. 2. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS En esa sección se presenan brevemene algunos concepos úiles para raar el ema del crecimieno. En especial se enfaiza los emas de cálculo elemenal y la eoría de ecuaciones diferenciales y en diferencias simples, como ambién los concepos de asa de crecimieno y valor presene y fuuro en iempo discreo y coninuo. Modelo económico y el uso de la maemáica Los modelos económicos son absracciones de una realidad más compleja. Cada modelo es úil para lo que se propone mosrar; sin embargo, puede ser compleamene inúil para oros propósios. Por ora pare, la uilidad del modelo no depende necesariamene de su complejidad. Los modelos paren de supuesos simplificadores que permien dejar de lado 8

23 Félix Jiménez / Crecimieno Económico: Enfoques y Modelos algunos hechos para concenrar la aención en aquellos que los modelos esán en capacidad de esudiar. La maemáica es el lenguaje que se uiliza para presenar los modelos. Las ecuaciones describen las relaciones enre disinas variables que el modelo presena como una represenación absraca de una pare o del conjuno de la economía. Uilizando herramienas maemáicas, los modelos permien realizar ejercicios de esáica comparaiva, es decir, análisis de los efecos en las variables endógenas de cambios en las variables exógenas. En eoría del crecimieno impora el comporamieno dinámico. Se rabaja ano con procesos de cambio coninuos, así como con cambios discreos. Se uiliza, por lo ano, cálculo elemenal y la eoría de ecuaciones diferenciales y en diferencias simples que nos permien comprender la nauraleza de los modelos dinámicos. Por ejemplo, supongamos que el equilibrio ingreso gaso de una economía cerrada y sin gobierno esá represenada por la ecuación: C + Podemos asumir que la inversión ( I ) es igual al incremeno del sock de capial ( K ), es decir: I K Si suponemos que siempre se uiliza un deerminado nivel de sock de capial para producir una unidad de produco, enonces: I K v De aquí se deduce que: K v La economía crece pasando de un esado a oro o de un año a oro. La fuene del nuevo capial se supone que proviene del ahorro del produco que no es consumido durane el año y que es inverido al final del año. Si una proporción consane del produco ( s ) no es consumida o es ahorrada para aumenar el sock de capial ( K ), enonces: K Combinando las dos ecuaciones aneriores se obiene: s 9

24 Capíulo : Inroducción s v Esa es una ecuación en diferencias de primer orden. Nos dice que hay una relación enre y. La eoría del crecimieno es la que permie especificar esa relación en forma precisa. Ejemplo: A modo de ejemplo, podemos hallar la solución emporal de esa ecuación suponiendo que s / v. 5 y que el valor inicial de es ( ) 5. La solución de ese problema puede obenerse por dos méodos: el méodo ieraivo o el méodo general. Méodo ieraivo Tenemos: ) + ( Por lo ano, para los disinos valores de, se obiene: 2 3 n n (.5) n 3 (.5) 2 2 (.5) n (.5)(.5) n 2 (.5) 3 (.5)(.5) 2 (.5)(.5) n.5)(.5)(.5) 2 3 (.5)(.5)(.5) 2 (.5) 3 3 (.5) n (.5) ( n 3 n En general: (.5) De ese modo, si conocemos la condición inicial,, podemos hallar los demás valores de la variable (). El Cuadro.2 muesra los disinos valores que oma la variable () para disinos periodos. Asimismo, el Gráfico.3, muesra la evolución en el iempo de la variable. 2

25 Félix Jiménez / Crecimieno Económico: Enfoques y Modelos Cuadro.2 Evolución de () en el iempo Tiempo () ,94.6 6,575. Gráfico.3 Evolución de la variable () en el iempo Tiempo Méodo general En nuesro ejemplo, (.5 + ), el érmino consane ( c ) es igual a cero. Por lo ano, la solución paricular es igual a cero y la solución general de la ecuación será igual a la solución homogénea. De ese modo, enemos: (.5) Por oro lado, se puede uilizar el modelo para demosrar que la inversión nea es igual a la asa de crecimieno del sock de capial por el nivel del sock de capial. De ese modo, si I K y si K crece a la asa g, puede mosrarse que I gk. Parimos de la dinámica del sock de capial en iempo discreo: Cuando, enonces: K ( ) K()( + g) K K K( + g) ( + g) K Tomamos logarimos: K ln K ln( + g) K ln + ln( + K g ) 2

26 Capíulo : Inroducción Pueso que K / K y g no son números grandes, enonces: K K g K gk MÉTODO GENERAL DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EN DIFERENCIA El méodo general consise en la suma de dos componenes: la solución homogénea y la solución paricular. Supongamos una ecuación de la forma: + a c La solución homogénea, * H, (ambién conocida como solución complemenaria) se halla igualando a cero la ecuación en diferencias: + a Siguiendo el procedimieno que se uilizó en el méodo ieraivo, sabemos que la forma de la solución homogénea será: Ab Ab * + H + Donde A es una consane. Por lo ano, la ecuación en diferencias se puede expresar como: + + a Ab aab b a b a. Reemplazamos ese valor en la ecuación y De donde se obiene: enemos la solución homogénea o complemenaria: * H Aa La solución paricular, enonces * P, se halla igualando + ambién será consane e igual a k : a una consane, k. Si + es consane, + k k ak c * P k c a Por lo ano la solución general será: * * H + * P Aa c + a Usando un valor inicial conocido para () podemos hallar el valor de la consane A. Si : * c A + a A c a Es necesario que el parámero a sea diferene de. Si a solución paricular de la forma k, enonces debe raarse ora + (para mayor dealle, veáse A. Chiang, 987). 22

27 Félix Jiménez / Crecimieno Económico: Enfoques y Modelos Dado que I K, enemos: I I gk g K Además, se puede demosrar que el sock de capial crece a misma asa a la que crece la inversión nea. Como g es consane, de la I gk se obiene: I g K I gi Por lo ano, hemos demosrado que: I I g I K gk gk( )( + g) Lo anerior se puede mosrar en iempo coninuo. Si definimos la inversión nea I K y si K crece a la asa g, puede mosrarse que I gk, el crecimieno del sock de capial a una asa proporcional consane, se puede expresar como sigue: K ( ) K() e g Tomando logarimos: ln K ln K() + g Pueso que K() es un consane, diferenciando con respeco al iempo se iene: d ln K d d g d K dk d g En consecuencia: K K g K gk Dado que I K, enemos: I I gk g K 23

28 Capíulo : Inroducción Además, se puede demosrar que el sock de capial crece a misma asa a la que crece la inversión nea. Como g es consane, de la I gk se obiene: Por lo ano, hemos demosrado que: I gk I gi I I g I K gk gk() e g Generalizando, si enemos una variable x igual a: g x ae Enonces, su variación en el iempo será: dx x d g gae Tasa de crecimieno y valores presene y fuuro La asa de crecimieno del PBI (o de cualquier ora variable) se mide como el porcenaje de incremeno del PBI (o de cualquier ora variable) de un período a oro. A lo largo del exo se supone que la asa de crecimieno se maniene consane en el iempo. Cuando la asa de variación o crecimieno de una variable es consane, es fácil calcular su valor fuuro así como su valor presene o desconado. Maemáicamene, el cálculo de las asas puede hacerse en iempo discreo o en iempo coninúo. a. Crecimieno y valor presene en iempo discreo Si el PBI es represenado por la lera, su asa de crecimieno, enre las unidades de iempo y, será: g De aquí se obiene que: 24

29 Félix Jiménez / Crecimieno Económico: Enfoques y Modelos ( g) + y ( + g) Si la asa de crecimieno g, se maniene consane en el iempo, período ras período, el produco en el período, será igual a: ( g) + En general, si la variable X crece a una asa consane en el iempo igual a g su valor en el período será igual a valor de X. Por lo ano, sus valores en el período y en el periodo serán: Período : X X ( + g) Período : ( ) X X + g Ahora supongamos que el carácer compueso del crecimieno esá ocurriendo k veces denro del año, considerando que el iempo se divide en años, enonces: Período : X X + g k k Período : X X + g k k Nóese que k puede ser número de meses, rimesres o días. Si k iende a infinio, enonces nos enconramos en iempo coninuo y abandonamos el iempo discreo. Valor inicial o desconado: Es igual al valor de la variable en cuesión, en ese caso, el valor de X, cuando. Despejando X de las fórmulas presenadas aneriormene, se obiene: X X X o, en el oro caso: X ( + g) k g + k Cómo se obiene la asa de crecimieno? Para calcular el valor de la asa de crecimieno, g, despejamos dicha variable de las úlimas ecuaciones. Pariendo de: 25

30 Capíulo : Inroducción ( + g) X X ( + g) X X De aquí se deduce que: ( + g) X X g X X Pariendo de: ( + g ) X X, se puede escribir: + g k k X + X k g k X X Se oma logarimos: ln + g k k ln X X k ln + g k ln X ln X ln + ln X k ln X k g Si suponemos que g / k no es muy grande, podemos escribir ln ( + g / k) g / k, enonces: Por lo ano, la asa de crecimieno es igual a: Tasa de crecimieno de un cociene ln X ln X k k g ln X ln X g El produco per cápia, como ya fue señalado, se uiliza como un indicador de bienesar maerial de la población de un país. Ese indicador es el cociene de dividir el Produco enre la población, por ello resula de uilidad aprender a calcular la asa de crecimieno de 26

31 Félix Jiménez / Crecimieno Económico: Enfoques y Modelos 27 un cociene. Sea el PBI, L la población, el PBI per cápia se represena con la lera en minúscula y : L y La asa de crecimieno de y del período al período, será: y y y y + y y y y Expresando explíciamene el produco per cápia por sus componenes, enemos: + y y L L + y y L L De aquí se deduce que: L L L L y y Si denominamos g a la asa de crecimieno del produco, n a la asa de crecimieno de la población, enonces la asa de crecimieno del produco per cápia será igual a: + + n g y y n n g y y +

32 Capíulo : Inroducción ALGUNAS APLICACIONES Por ejemplo, suponiendo que se desea calcular la asa de crecimieno promedio anual enre los años 95 y 28. Se sabe que el PBI peruano en 28 fue de 9,479 millones de soles de 994, en 95 ese valor era de 2,929 millones de soles de 994. Enonces, aplicando la fórmula enemos: ( ) 58 PBI 28 PBI 28 PBI95 + g g 58 PBI95 Lo que genera un resulado de 3.8%. En el caso en que quisiéramos calcular la asa del crecimieno per cápia conociendo los valores de la asa de crecimieno del produco y de la población, los cuales son de 5% y 3% respecivamene. Enonces aplicando la fórmula enemos: y y Por lo ano, el PBI per cápia crecerá a.9%. b. Crecimieno y valor presene en iempo coninuo Para expresar el crecimieno de una variable en iempo coninuo, debemos recurrir al número naural e. Pariendo de la siguiene ecuación: X X + g k k Se obiene: X X + g k k g g Ahora, si k iende a infinio, debemos pregunarnos a qué será igual el límie de la expresión siguiene: + lim k g k k g En A. Chiang (987) se puede enconrar la demosración de que ese límie es igual al número naural, conocido ambién como número neperiano, represenado por el símbolo e, cuyo valor aproximado es