INTERFAZ GRÁFICA PARA LA INTERPOLACIÓN DE DATOS A TRAVÉS DE SPLINES CÚBICOS. GUI for Data Interpolation by Cubic Spline

Transcripción

1 Scena e Tecnca ño XVI, No 44, brl de 00. Unversdad Tecnológca de Perera. ISSN INTERFZ GRÁFIC PR L INTERPOLCIÓN DE DTOS TRVÉS DE SPLINES CÚICOS GUI for Daa Inerolaon b Cubc Slne RESUMEN En ese documeno se resenan los resulados obendos al desarrollar una nerfaz gráfca en la uldad GUIDE Gracal User Inerface Develomen Envronmen de Malab, la cual erme llevar a cabo la nerolacón de los daos ngresados or el usuaro a ravés de Slnes Cúbcos. El rograma ambén osbla la realzacón de la nerolacón lneal, con el objevo de comarar los resulados obendos con las funcones cúbcas arrojadas al realzar la reconsruccón con olnomos de ercer orden, cuos coefcenes ueden ser recuerados en un arcvo de exo una vez es ejecuado el rograma. PLRS CLVES: Inerfaz Gráfca, nerolacón, reconsruccón de funcones, slnes. STRCT Ts aer resens e resuls obaned b develong a GUI ul n e GUIDE Gracal User Inerface Develomen Envronmen n Malab, wc allows nerolaon of e daa enered b e user va Cubc Slnes. Te rogram also enables e realzaon of e lnear nerolaon, n order o comare e resuls w cubc funcons rown wen erformng e nerolaon w olnomals of rd order, wose coeffcens can be rereved n a ex fle afer runnng e rogram. KEYWORDS: GUI, nerolaon, reconsrucon of funcons, slnes. EDWIN NDRÉS QUINTERO S. Ingenero Elecrónco Canddao a Magíser en Insrumenacón Físca Gruo de Invesgacón en sronomía lfa Orón Profesor uxlar Unversdad Tecnológca de Perera equnero@u.edu.co WILLIM RDIL URUEÑ Lcencado en Físca MSc. Físca Profesor Tular Unversdad Tecnológca de Perera wllamar@u.edu.co HUGO RMNDO GLLEGO Lcencado en Físca MSc. Físca Profesor ssene Unversdad Tecnológca de Perera ugo@u.edu.co. INTRODUCCIÓN En el desarrollo de una rácca de laboraoro de físca unversara, generalmene los esudanes realzan lecuras de los dferenes valores que oma cera varable físca en arcular, que odría ser, enre oras, dsanca, emeraura, resón, emo, ec. Nauralmene, esos daos recolados corresonden a un conjuno fno de muesras que ofrecen una dea acerca de la endenca exsene en el comorameno del arámero meddo. Dado que el exermenador no uede omar una candad nfna de valores de al manera que la reresenacón corresonda a una curva connua, la gráfca fnal consruda con odas las muesras recoladas corresonderá a una funcón dscrea, es decr, una funcón que oma algún valor de un conjuno fno de osbles valores denro de un nervalo de emo dado. Debdo a que odas las varables físcas resenan un comorameno connuo, es osble conclur que la gráfca consruda al unr con recas odos los unos omados, corresonderá a una vsón un oco alejada de la realdad. S en vez de razar recas ara unr los unos recolecados, se lanean funcones de orden sueror que unan cada areja de unos sn afecar la connudad de la curva fnal, enonces se esará realzando una nerolacón olnomal a rozos [], la cual enregará como resulado fnal una curva muco más aroxmada al comorameno real de la varable medda. sí, la nerolacón or medo de Slnes Cúbcos erme crear funcones de orden sueror que aroxman los daos omados a una curva connua que conserva la suavdad nerene a oda varable físca. demás de la uldad que resenan los Slnes en la nerolacón de daos, ambén se encuenran múlles alcacones de ese o de funcones en dferenes áreas de la ngenería, esecalmene en el camo del rocesameno dgal de mágenes, ues son deales en la reconsruccón, alsado, flrado, amlacón reduccón de foografías []; odo eso gracas, enre oras cosas, a que las funcones reconsrudas a arr de esos olnomos conservan su connudad, lo cual erme reducr los efecos de los valores exremos de una manera mu efcaz []. El objevo fundamenal del rograma desarrollado consse en brndar una erramena nformáca a los esudanes de los cursos de laboraoro de físca ara ngenerías, la cual ermrá la consruccón de las gráfcas solcadas en las guías, a arr de la nerolacón con Slnes Cúbcos, faclando así la realzacón del análss de cada gráfca necesaro ara la comrensón del fenómeno esudado. demás, gracas a que el rograma erme obener los coefcenes de los olnomos ulzados ara la nerolacón, el esudane ambén odrá famlarzarse con esa morane alcacón de los méodos numércos. Feca de Rececón: Enero de 00 Feca de ceacón: Marzo 5 de 00

2 9 Scena e Tecnca ño XVI, No 44, brl de 00. Unversdad Tecnológca de Perera.. INTERPOLCIÓN POLINOMIL Cuando se desea nerolar un conjuno de daos or medo de olnomos, es osble deermnar la funcón que denfca cada areja de unos enendo en cuena úncamene la nformacón sumnsrada or el ar de valores. ese o de nerolacón olnomal se le conoce como local. S or el conraro, en el momeno de obener la ecuacón que unrá un ar de unos, no solamene se ene en cuena la nformacón sumnsrada or la areja, sno que además se oma odo el conjuno de muesras, enonces se esará realzando una nerolacón olnomal global [4]. 4 5 S es un olnomo de grado res, su segunda dervada corresonderá a una línea reca, al como se observa en la fgura.. INTERPOLCIÓN POR SPLINES CÚICOS Un ejemlo claro de la aroxmacón global de funcones descra anerormene consse en la nerolacón or Slnes Cúbcos. Suóngase que se desea nerolar cera funcón f defnda or un conjuno fno de valores ver fgura, medane una sere de olnomos. Los daos 0,,, -,,,, n-, n ; no necesaramene enen que esar gualmene esacados, ero s deben ser ordenados [5], es decr, se debe cumlr que: 0 < <... < < < <... < n < n El objevo es enonces enconrar los olnomos que nerolen la funcón f en los nervalos [, ], con,,,,n-. Fgura. Polnomos de rmer grado, ercer grado que nerolan la funcón f en el nervalo defndo or [, ]. ajo esas condcones, rmero se obenen olnomos de grado uno que nerolen cada areja de daos, ara lo cual se alca la ecuacón de la reca: m x 0 0 x 7 8 Fgura. Inerolacón de una funcón f medane olnomos ndvduales ara cada ar de daos. Para que los olnomos nerolen la funcón se debe cumlr que: ora, ara que la funcón nerolada no conenga cambos bruscos, las dervadas en los exremos de los olnomos que aroxman cada ramo deben concdr, al gual que su segunda dervada; eso con el fn de manener la connudad de la curva fnal obenda: 9 0

3 Scena e Tecnca ño XVI, No 44, brl de 00. Unversdad Tecnológca de Perera. 97 Sea: Enonces se uede exresar como: Por ora are, s: 4 5 La ecuacón queda: La exresón reresena la ecuacón de la reca que nerola la areja de unos erenecenes al nervalo [, ]. sí, ara obener la ecuacón del Slne Cúbco se debe negrar dos veces la ecuacón : D C 7 Donde los érmnos C D reresenan las consanes orgnadas durane el roceso de negracón, las cuales se ueden exresar de la sguene forma: D C 8 sí, la ecuacón 7, se uede escrbr como: 9 Para deermnar los valores de las consanes, alcamos las condcones a la ecuacón 9: 0 Reemlazando en 9: Solo resa calcular los érmnos, ara lo cual se alca sobre las condcones 4 5. Prmero se deermna : 4 5

4 Scena e Tecnca ño XVI, No 44, brl de 00. Unversdad Tecnológca de Perera. 98 ora se debe allar el érmno. Para eso se deermna rmero : [ ] 7 Reemlazando or en 7 se obene: 8 Igualando 5 8, con el fn de cumlr con lo esablecdo en 4, se obene: 9 0 Donde,,,,n-; sendo n el número de muesras que consuen la funcón a nerolar. l evaluar la ecuacón en cada uno de esos valores, se obendrá un ssema de n- ecuacones n ncógnas. Los dos daos resanes necesaros ara resolver el ssema, resulan al asgnar valores a la segunda dervada de los Slnes Cúbcos en los exremos de la funcón. En el rograma desarrollado esos valores ueden ser ngresados or el usuaro.. INTERFZ GRÁFIC La fgura conene uno de los ramos más relevanes del códgo desarrollado, en el cual se realza el cálculo de los Slnes. Es morane aclarar que ara esa oeracón no se ulzó la funcón roeara de Malab. Fgura. Porcón más reresenava del códgo desarrollado. El rograma consrudo en la uldad GUIDE de Malab, erme al usuaro ngresar una candad deermnada de daos, con el objevo de obener el conjuno de olnomos de grado res que realza la nerolacón de los msmos. La fgura 4 conene la aarenca de la alcacón una vez es ejecuada. Para lograr la reconsruccón de la funcón, el algormo calcula el érmno deermnado or la ecuacón, los olnomos que nerolan cada ramo esablecdos en la exresón, el conjuno de ecuacones dadas or que ermen obener los dferenes valores que oma.

5 Scena e Tecnca ño XVI, No 44, brl de 00. Unversdad Tecnológca de Perera. 99 Fgura 4. arenca ncal del rograma elaborado. El conjuno de valores a nerolar debe ser ngresado en un arcvo de exo, en forma de marz de n flas columnas, sendo n el número oal de daos. En la fla uno es necesaro arreglar los números corresondenes a las abscsas, menras que la fla debe conener los corresondenes valores de las ordenadas. No es necesaro que los daos de la columna uno se encuenren gualmene esacados, ero s deben aarecer en orden ascendene, a que de no ser así, no corresonderían a una funcón sno a una relacón. Para observar el funconameno del rograma es osble ulzar el sguene ejemlo: suóngase que se desea nerolar las dez arejas de daos mosrados en la fgura 5, los cuales corresonden a las lecuras omadas de cera varable físca durane un exermeno de laboraoro. Fgura 5. Conjuno de daos a nerolar or Slnes Cúbcos. Fgura. Carga de daos medane la ocón brr. Fgura 7. Presenacón de los daos ngresados en la nerfaz gráfca. l selecconar los cuadros de cequeo Inerolacón Lneal Slne Cúbco ubcados el la are sueror zquerda, el rograma resena las curvas obendas al conecar los unos a ravés de líneas recas en color verde, olnomos de grado res color rojo. Esa oeracón erme comarar las dferencas exsenes enre las reconsruccones realzadas, noándose la enorme venaja que ofrece la nerolacón or Slnes Cúbcos, la cual consse en la reservacón del carácer connuo de la funcón nerolada. Esa roedad es val a la ora de reconsrur funcones cuas muesras roceden de varables físcas, como las omadas or los esudanes de ngenería durane una rácca de laboraoro íca ues su nauraleza es de curva suave. En la fgura 8 se resena la curva consruda or el rograma usando las dos esraegas anerormene menconadas. El arcvo de exo debe ser cargado acconando el boón brr, ubcado en el menú rcvo, al como se muesra en la fgura. Una vez ngresados los daos, denro del gruo lógco Reconsruccón de Funcones, se ablan los cuadros de cequeo Inerolacón Lneal Slne Cúbco, menras que en el camo de gráfcos se muesran odos los daos cargados del arcvo de exo. La aarenca de la alcacón en ese esado es mosrada en la fgura 7. Fgura 8. Curva fnal consruda or el rograma al alcar nerolacón lneal color verde or Slnes color rojo.

6 00 Scena e Tecnca ño XVI, No 44, brl de 00. Unversdad Tecnológca de Perera. En la fgura 8 se observa que ara consrur la funcón en color rojo, el rograma debe generar nueve olnomos ndvduales de ercer grado, los cuales se ueden recuerar del algormo medane la ocón Guardar. Esa oeracón se muesra en la fgura 9. Gracas a que el rograma erme recuerar los coefcenes de los dferenes olnomos de ercer grado generados al ejecuar el algormo, esa nerfaz gráfca ambén uede ser ulzada en los cursos de méodos numércos con el fn de que los esudanes uedan verfcar la veracdad de los resulados obendos durane el desarrollo de la clase eórca. 5. ILIOGRFÍ [] Julo G. enedo, Méodos numércos en ngenería: ráccas con Malab, II Edcón, Servco de Publcacones de la Unversdad de Ovedo, 00. Fgura 9. Recueracón de los coefcenes de los olnomos de ercer grado generados or el rograma. Los coefcenes de esos olnomos son almacenados denro de un arcvo de exo de n flas cuaro columnas, donde n es el número de ramos reconsrudos. sí, la rmera columna conendrá el número que acomaña a en los Slnes generados, la segunda corresonderá a los dferenes coefcenes de, la ercera a, menras que en la úlma columna se encuenran los números ndeendenes. El arcvo de exo que conene los coefcenes generados ara el ejemlo roueso se muesra en la fgura 0. [] Hse S. Hou, Harr C. ndrews, Cubc Slnes for Image Inerolaon and Flerng, IEEE Transacons on couscs, Seec and Sgnal Processng, Vol, Nº, Dcembre de 978. [] Zang X. Guang, New Knd of Suer- Reconsrucon lgorm ased on e ICM and e Consraned Cubc Slne Inerolaon, Sofware Engneerng, rfcal Inellgence, Neworkng, and Parallel/Dsrbued Comung, 008. SNPD '08. Nn CIS Inernaonal Conference. IEEE, goso de 008. [4] lbero Serra, Inerolacón Polnomal Cúbca Segmenara. Cenro de Publcacones de la Unversdad Tecnológca de Perera. 98. [5] Jesús García Quesada, Tuoral de nálss Numérco - Inerolacón: Slnes Cúbcos, III Edcón, Unversdad de las Palmas de Gran Canara, de ocubre de 000, Recuerado el de marzo de 00 de: ://cm.ds.ulgc.es/an/uor/slnes.df Fgura 0. Coefcenes de los 9 olnomos ulzados ara nerolar los daos del ejemlo roueso. 4. CONCLUSIONES Y RECOMENDCIONES La reconsruccón de funcones or Slnes Cúbcos resena una gran venaja frene a la nerolacón lneal, a que erme manener el carácer de curva suave nerene a oda varable físca, lo cual ace que el rograma desarrollado sea basane úl a la ora de obener las gráfcas solcadas en las guía de laboraoro de los cursos ráccos de físca ara ngenerías. cualmene, los esudanes de uno de los cursos de Laboraoro de Físca III de la Unversdad Tecnológca de Perera, se encuenran ulzando el alcavo ara la nerolacón de los daos omados durane la rácca, arrojando resulados sasfacoros.