LA INCERTIDUMBRE DE MEDICIÓN EN EL CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

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1 Simosio de Metrología al 7 de Otubre LA INCETIDUMBE DE MEDICIÓN EN EL CONTOL ESTADÍSTICO DE POCESOS Enrique Villa Dihare Centro de Investigaión en Matemátias, A. C. Jaliso s/n, Mineral de Valeniana, Guanajuato, Gto. CP Tel.: (473) ext. 4965, Fax: (473) , villadi@imat.mx esumen: Una forma de evaluar el desemeño de un roeso onsiste en omarar su variabilidad on los límites de eseifiaión estableidos ara el roeso. Para uantifiar la variabilidad del roeso, medimos la araterístia de interés, y alulamos su desviaión estándar. Esta medida de variabilidad se ve inrementada or la inertidumbre del roeso de mediión utilizado. La magnitud de la inertidumbre de mediión es roorional a la robabilidad de lasifiar erroneamente las unidades generadas or el roeso, omo dentro o eseifiaiones. Esta relaión se muestra en dos ejemlos que ilustran el imato de la inertidumbre de mediión en el ontrol estadístio del roeso. 1. INTODUCCIÓN Para uantifiar la variabilidad de un roeso, tenemos que medir la araterístia de interés en las iezas generadas or el roeso, y evaluar una medida de variabilidad, omo or ejemlo, la desviaión estándar. Cuando utilizamos un sistema de mediión ara uantifiar la aaidad de un roeso, obtenemos informaión donde están mezladas la variabilidad del roeso y la reetibilidad o variabilidad del sistema de mediión. Para searar estas variabilidades se diseñan y alian exerimentos en donde la variabilidad introduida or el oerador y la debida a las iezas intervienen omo efetos aleatorios que se searan mediante un análisis de varianza. Este tio de estudios se onoen omo estudios [1]. El monitoreo de un roeso industrial, desansa en un sistema de mediión que establee la onexión entre los omonentes que genera el roeso y el ténio que evalúa su desemeño. Así, el desemeño del sistema de mediión debe estar de auerdo on la aaidad del roeso que estudiamos. Las iniiativas de alidad mas reientes, omo lo son, Calidad total [] y Seis sigma [3], estableen que la toma de deisiones debe basarse en datos y no en suosiiones, y que ara esto es imresindible medir las araterístias que son relevantes ara el liente. Así, en la gran mayoría de los royetos seis sigma [4], la etaa iniial onsiste en elaborar un estudio de variabilidad del sistema de mediión que se utiliza, ara saber si este es adeuado. Cuando tomamos la deisión de lasifiar las unidades generadas or un roeso, omo dentro o eseifiaiones, de auerdo a una letura que nos rooriona un sistema de mediión, tenemos una robabilidad de error en la lasifiaión, roorional a la magnitud de la inertidumbre de mediión. Los errores en la lasifiaión ueden originar una érdida ara el fabriante, uando unidades onformes a la eseifiaión se delaran omo no onformes, o una erdida ara el liente uando este reibe unidades no onformes omo si fueran onformes [5, 6, 7, 8]. En la seión dos disutimos la evaluaión de la aaidad de mediión y su relaión on la variabilidad del roeso monitoreado. En la seión tres disutimos la uantifiaión de los errores que odemos ometer al lasifiar las unidades de auerdo a límites de eseifiaión dados, on un sistema de mediión uya inertidumbre es onoida. Se resentan además dos ejemlos en donde se muestran dos roesos que se monitorean on dos sistemas de mediión de alidad diferente.. CAPACIDAD DE MEDICIÓN Tenemos que un sistema de mediión es adeuado si el error de mediión es menor que la variaión del 1

2 Simosio de Metrología al 7 de Otubre roeso. La finalidad de un estudio es verifiar que el roeso de mediión está en ontrol estadístio, y además, estimar la aaidad del sistema de mediión. Los onetos entrales en los estudios son la reroduibilidad y la reetibilidad. Se die que un sistema de mediión es reetible, si las mediiones que se realizan varias vees a una misma ieza son aroximadamente iguales. Un sistema de mediión es reroduible si este tiende a dar los mismos resultados a esar de ambiar alguna variable de influenia. Para estudiar la variabilidad de un sistema de mediión, uando hay varios oeradores que miden on un mismo instrumento las iezas que genera un roeso, odemos seguir un modelo de análisis de varianza, en donde la resuesta es la mediión y los fatores son, las iezas y los oeradores. Para haer un estudio de un instrumento de mediión se lleva a abo un exerimento balaneado, on dos fatores: iezas y oeradores. Se toman K mediiones (k 1,, 3, K), or el y ijk oerador j a la ieza i, i 1,,..., I, j 1,,..., J. Tenemos un modelo de efetos aleatorios, uando los I oeradores son una muestra aleatoria de la oblaión de oeradores que usan el instrumento de mediión. En este aso el modelo de mediión es: y ijk µ αi β j ij εijk, (1) donde µ es una onstante desonoida y los efetos α (de iezas), β (de oeradores), i j ij (de interaión entre iezas y oeradores) y el término de error, se onsideran variables ε ijk aleatorias entradas en ero, esto es, α i N(0, α ), β j N(0, β ), (0, ij N ) y ε ijk N(0, ). Además los efetos y el término de error se onsideran indeendientes. Cuando tenemos un modelo de mediión omo el anterior, estimamos sus arámetros µ,,, y, or medio de un análisis de varianza, o algún otro método [9]. Interretamos la variabilidad del instrumento de mediión omo su reetibilidad, mientras que la variabilidad debida al oerador, omo la α β reroduibilidad. Estas métrias se definen a artir de las estimaiones de las varianzas del instrumento y del efeto oerador de la siguiente manera: ˆreet ˆ, (reetibilidad) y ˆ ˆ ˆ, (reroduibilidad). rero β Como la variabilidad del sistema de mediión tiene dos omonentes que son el instrumento de mediión y el oerador del instrumento, entones la variabilidad del sistema de mediión esta dada or, ˆ ˆ ˆ. reet rero La variabilidad de las iezas, es una omonente que no está inluida en la reetibilidad del sistema de mediión, sino que exresa la variabilidad del roeso de fabriaión. La estimaión de esta variabilidad es, ˆ ˆ. iezas α Una medida de la alidad del instrumento de mediión ara nuestro roeso es el oiente de la reetibilidad del instrumento de mediión reseto de la variabilidad del roeso δ ˆ ˆ. () iezas Cuando tenemos límites de eseifiaión del roeso de mediión, (, ), odemos omarar la reisión del sistema de mediión on el intervalo de eseifiaión o tolerania. Una métria que hae esta omaraión es el oiente reetibilidad - tolerania, dado or la exresión P/ T k ˆ ( ). (3) Algunas vees se toma k 5.15, que reresenta el rango de la normal estándar que omrende una robabilidad de 99%, mientras que otras vees se toma k 6, que orresonde a una robabilidad de 99.73%. Esta métria se exresa algunas vees omo orentaje. Para entender el imato que la inertidumbre de mediión tiene sobre la estimaión de la aaidad del roeso, onsideremos un roeso entrado y

3 Simosio de Metrología al 7 de Otubre on una aaidad Ck igual a uno. Para un roeso entrado, se define el índie de aaidad Ck omo el oiente ( /6ˆ, donde ) o ˆo es la disersión observada en la mediión de las artes. Esta disersión tiene dos omonentes, la variabilidad de las iezas y la del sistema de mediión. Si uantifiamos la inertidumbre de mediión or el índie de reisión relativa (3), entones se uede robar que la aaidad de roeso estimada deende del índie P/T de auerdo a la funión Ck 1 1 ( P / T ). Esto signifia que la aaidad del roeso, se subestima, debido a que la variabilidad observada en las mediiones es una sobreestimaión de la variabilidad de las artes, debida a la inertidumbre del sistema de mediión. Ejemlo 1. En un estudio de aaidad de mediión de un instrumento, se hiieron tres mediiones a dos iezas de arte de ino oeradores elegidos aleatoriamente. En la Tabla 1 se muestran las mediiones obtenidas. En la Tabla tenemos los resultados del análisis de la varianza ara los datos, en donde odemos areiar las sumas de uadrados (S.C.), los grados de libertad (G.L.) y los uadrados medios (C.M.) ara las diferentes fuentes de error, omo lo son, las iezas, los oeradores y su interaión. Oerador Pieza O. 1 O. O. 3 O. 4 O Tabla 1. Valores de mediión de iezas or arte de 5 oeradores elegidos al azar. En la Tabla 3 tenemos las medidas de variabilidad del estudio, omo son reetibilidad, reroduibilidad, variabilidad del instrumento, y además, dos oientes que nos indian la magnitud de la variabilidad del instrumento de mediión y del roeso. En este aso tenemos un instrumento de mediión adeuado ara monitorear el roeso, ya que hemos enontrado que la variabilidad del roeso (iezas) es asi veinte vees mayor que la variabilidad del instrumento de mediión. Fuente S.C. G.L. C.M. Partes Oeradores PartesxOer Error Total Tabla. Análisis de Varianza ara los datos del Ejemlo 1, onsiderando omo aleatorios los efetos de ieza y oerador. Cantidad Estim. (EE) Lim.Inf. Lim.Su.00687(.00109) (.0044) rero.0079(.00133) (.11165) Piezas.75431(.557) (14.50) Piezas Tabla 3. Estimaiones y error estándar (EEerror estándar) de índies y razones de diferentes omonentes de variabilidad ara los datos del Ejemlo 1. En la olumna de las estimaiones de la Tabla 3, tenemos que la reroduibilidad rero es aroximadamente el 50% de la variabilidad del sistema de mediión. Esto india que odemos reduir la variabilidad del sistema, reduiendo la variabilidad del efeto oerador, lo ual uede lograrse on un entrenamiento de los oeradores, orientado a uniformizar el manejo del instrumento de mediión or arte de los oeradores. 3. ANÁLISIS DE IESGOS Cuando una unidad se enuentra los límites de eseifiaión deimos que es una unidad onforme y en aso ontrario, deimos que es una unidad no onforme. La lasifiaión de una unidad se hae desués de medir la araterístia de interés. Debido a la inertidumbre del instrumento de mediión, es osible que se ometa alguno de los dos siguientes errores: Clasifiar omo no 3

4 Simosio de Metrología al 7 de Otubre onforme a una unidad que es onforme y delarar omo onforme a una unidad que realmente no es onforme. Las robabilidades ondiionales de estos osibles errores se onoen omo riesgos del rodutor y del onsumidor resetivamente. Estas robabilidades ondiionales se ueden exresar en términos de los eventos A y B, definidos de la siguiente forma: A la unidad es onforme, y B La unidad se lasifia omo no onforme desués de la mediión[5,6]. Así, tenemos las siguientes exresiones ara los riesgos: α iesgo del rodutor PB ( A) / PA ( ) (4) β iesgo del onsumidor donde el argumento de la funión exonenial es una forma uadrátia, en donde el símbolo T reresenta la transformaión del vetor olumna en vetor renglón (transuesta), y Σ es la matriz de varianzas y ovarianzas dada or Σ. Enseguida alulamos las robabilidades onjuntas, requeridas ara obtener los riesgos α y β. La robabilidad de que una unidad esté eseifiaiones y además la unidad sea lasifiada omo onforme de auerdo a la mediión es PB ( A) / PA ( ) (5) P ( A B ) f ( x, y ) dxdy Como existe variabilidad de ieza a ieza, entones exresamos el valor real de la araterístia de interés, or una variable aleatoria X. Como la mediión de esta araterístia ontiene dos fuentes de variabilidad, la variabilidad de las iezas y la del instrumento de mediión, entones reresentamos el valor de la mediión or la variable aleatoria Y, que umle Y X ε, donde ε es el error de mediión. Como X N ( µ, ), y N(0, ), entones EY ( ) EX ( ε) EX ( ) E ( ε ) µ, y V ( Y) V( X ε) V X ε ( ) V( ε). (6) La robabilidad de que una unidad sea onforme y que sea lasifiada omo no onforme, es P( A B) f ( x, y) dxdy f ( x, y) dxdy. La robabilidad de que una unidad no sea onforme y que sea lasifiada omo onforme, es P( A B ) f ( x, y) dxdy f ( x, y) dxdy. (7) (8) La ovarianza entre X y ε es ero, debido a que son indeendientes. Para alular los riesgos de onsumidor y fabriante, hay que alular las robabilidaes relaionadas on las variables aleatorias X y Y, ara lo ual es neesario onoer su distribuión onjunta. Para esto solo nos falta onoer la ovarianza entre X y Y, que omo se uede robar, es { µ µ } Cov( X, Y ) E [ X ][ Y ] Por la anterior, tenemos que la funión de densidad bivariada de X y Y, es T 1 1 x µ x µ 1 f(, x y) ex 1/ Σ π Σ y µ y µ Finalmente la robabilidad onjunta de que una unidad no sea onforme, y que esta sea lasifiada omo no onforme, es f ( x, y) dxdy f ( x, y) dxdy f ( x, y) dxdy f ( x, y) dxdy. (9) Estas integrales bivariadas, se evalúan en forma numéria [13]. Las otras robabilidades que requerimos ara el álulo de los riesgos del rodutor y del onsumidor, son las marginales PA ( ) fx ( xdx ) y PA ( ) 1 PA ( ). donde f X es la funión de densidad de X. 4

5 Simosio de Metrología al 7 de Otubre Ejemlo [5]. Un disositivo de deteión ótia usa una lámara ara iluminar el objetivo. Un arámetro de rueba imortante ara el desemeño de la lámara es la luminosidad en unidades de andelas or metro uadrado ( d / m ). Un ingeniero ha realizado un estudio y ha enontrado que la razón reisión tolerania (3), exresada omo orentaje de eseifiaión es, P/ T % 38.73%. El ingeniero, además enontró durante el estudio que la distribuión de la luminosidad de la lámara es normal, on una media de d/m y una desviaión estándar de d/m. Los límites de eseifiaión inferior y suerior son resetivamente 30.0 y 4.0 d/m. La variabilidad del instrumento, uede estimarse a artir del valor del oiente reisión tolerania (3) omo ( P/ T)( ) (.3873)(4 30) k donde k se ha tomado omo 6.0. En este aso, el valor de la luminosidad, X y su mediión Y, tienen una distribuión onjunta normal bivariada, on medias iguales a 35. y una matriz de varianzas y ovarianzas dada or Σ Las robabilidades marginales neesarias ara obtener las robabilidades ondiionales son, la robabilidad P(A) de que la ieza realmente esté eseifiaiones, PA ( ) Φ[(4 35.) / 4.1] Φ[(30 35.) / 4.1].8491 y la robabilidad de que la ieza realmente esté eseifiaiones, PA ( ) 1 PA ( ).1509 Ahora obtenemos los riesgos del fabriante (4) y del onsumidor (5): α.048 / , β.0178/ En la Tabla 4, mostramos las robabilidades onjuntas de onformidad y lasifiaión, ara las uatro ombinaiones osibles de estar dentro y eseifiaión (6-9). ealmente eseifiaiones ealmente eseifiaiones Clasifiada eseifiaiones Clasifiada eseifiaiones Tabla 4. Probabilidades onjuntas de onformidad y lasifiaión, ara los datos del Ejemlo. Estas robabilidades, interretadas omo rooriones, nos indian que or ada 1000 iezas que reibe el liente, y que fueron lasifiadas onformes, en romedio alrededor de 9 estarán eseifiaiones. El riesgo del fabriante nos die que de ada 1000 iezas que rodue y que fueron lasifiadas omo no onformes, en romedio 118 son iezas eseifiaiones que se estarán desehando inorretamente. EJEMPLO 3. Consideramos el roeso del rimer ejemlo, en donde tomaremos omo valores verdaderos a las estimaiones de la variabilidad del roeso y del equio de mediión, así omo el valor medio del tamaño de las iezas, esto es: µ Suonemos además que los límites inferior y suerior de eseifiaión son resetivamente, 3.00, y En este aso, el tamaño de la ieza X y su mediión se distribuyen onjuntamente omo una normal bivariada, on medias iguales a 3.60 y matriz de varianzas y ovarianzas es 5

6 Simosio de Metrología al 7 de Otubre Σ De auerdo a estos datos, las robabilidades onjuntas de las uatro ombinaiones de estar y lasifiar dentro o eseifiaiones, se resentan en la Tabla 5. Las robabilidades marginales, de que las iezas estén dentro y eseifiaiones, se alulan omo en el Ejemlo, estas son resetivamente: PA ( ) y PA ( ) 1 PA ( ) Los valores de los riesgos del fabriante y del onsumidor son entones α / , β / ealmente eseifiaiones ealmente eseifiaiones Clasifiada eseifiaiones Clasifiada eseifiaiones Tabla 5. Probabilidades onjuntas de onformidad y lasifiaión, ara los datos del Ejemlo 3. Es interesante omarar los dos ejemlos, ya que tenemos dos roesos diferentes. El roeso de mediión del ejemlo 3 es globalmente mejor que el del ejemlo, omarados on los resetivos roesos de roduión que generan las iezas que se miden y lasifian. El heho de que tengamos una mayor variabilidad relativa () del roeso δ en el ejemlo 3, signifia que tenemos en este aso, un sistema de mediión on mayor reisión, on el que odemos monitorear el roeso on una mayor resoluión, que la orresondiente al ejemlo. 4. CONCLUSIONES Se mostró omo evaluar la aaidad de un instrumento de mediión y su aaidad de disriminar las eseifiaiones de una araterístia determinada a artir del análisis de los datos que se obtienen de un exerimento diseñado ara estudiar la variabilidad del instrumento. Además, se alularon las robabilidades de ometer un error en la lasifiaión de las unidades generadas or un roeso, onoidas omo riesgos del fabriante y del liente. Se analizaron y omararon dos ejemlos de alulo de riesgos, que orresonden a un instrumento de mediión on un desemeño inadeuado, y otro en donde el instrumento de mediión tiene un buen desemeño. AGADECIMIENTOS A omán de la Vara or sus oortunos omentarios, que ermitieron mejorar una versión iniial de este trabajo. EFEENCIAS [1] Smith, G. M., Statistial Proess Control and Quality Imrovement, Prentie Hall, Uer Saddle iver NJ, [] Feigenbaum, A. V., Total Quality Control: Engineering and Management, Mg Graw Hill, New York, [3] Harry, M. J., Six Sigma: A Breakthrough Strategy for Profitability, Quality Progress, Vol. 31, Num. 5,1998, [4] Pande P. S., Neuman,. C., and Cavanagh,.., The Six Sigma Way, Team Fieldbook, M Graw Hill, New York, NY, 00. [5] Mader, P. D., Prins, J., and Lame,. E., The eonomi imat of measurement error, Quality Engineering, 11 (4), 1999, [6] Doganoksay, N., Assessment of imat of measurement variability in the resene of multile soures of rodut variability, Quality Engineering, 13(), , [7] Bisgaard, S., Graves, S., and Valverde,., Quality Quandaries: The imat of measurement Error on Seifiations, Quality Engineering, 11, 1998, [8] Hahn, G. J., emoving Measurement Error in Assessing Conformane to Seifiations, Journal of Quality Tehnology, 14(3), 198, [9] Vardeman, S., and VanValkenburg, E., Two- Way andom-effets Analyses and Gauge Studies, Tehnometris 41(3), 1999,

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