Unidad 7. Trigonometría

Transcripción

1 Págin Resuelve. ) Rzon que l estc y su sombr formn un triángulo rectángulo. Ocurre lo mismo con cd árbol y su sombr? b) Por qué se hn de dr pris en señlr los etremos de ls sombrs? Rzon que todos los triángulos formdos por un árbol, o l estc, y sus correspondientes sombrs en cd instnte son semejntes. c) Sbiendo que hy un chopo cuy sombr midió,9 m, hll su ltur. ) L estc es verticl y el suelo es horizontl. L sombr se proyect sobre el suelo. Por tnto, l estc y su sombr son los ctetos de un triángulo rectángulo. EST Lo mismo ocurre con cd árbol y su sombr. (Los árboles hy que idelizrlos pr considerrlos como segmentos verticles). SOMR DE L EST b) Hy que señlr ls sombrs muy depris pr que no les fecte el movimiento del Sol. Los triángulos formdos por un estc y su sombr y por un árbol y su sombr siempre serán semejntes porque siempre serán rectángulos y comprtirán un ángulo gudo (el que corresponde l inclinción de los ryos del Sol). c) Longitud estc 6 cm Sombr de l estc 76 cm ltur del chopo Sombr del chopo,9 m 9 cm ,7 cm 8,07 m

2 Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Págin. Dibuj sobre un ángulo como el nterior,, un triángulo rectángulo de tl modo que 00 mm. Hll sus rzones trigonométrics y observ que obtienes, proimdmente, los mismos vlores que en el ejemplo de rrib. 00 mm 6 mm sen cos 6 0, , mm tg 6 0,67 8. Dibuj, sobre un ángulo de, un triángulo rectángulo cuy hipotenus mid 0 cm. lcul, como en el ejemplo de rrib, ls rzones trigonométrics de. ómo son entre sí el seno y el coseno? uánto vle l tngente? Eplic por qué. 0 cm 7, cm sen cos tg 7, 0,7 0 7, 0,7 0 7, 7, 7, cm El triángulo demás de rectángulo es isósceles y, por tnto, los dos ctetos tienen l mism longitud, de hí que el seno y el coseno de sen igules y l tngente vlg.

3 Págin. Utilizndo un plntill de ppel milimetrdo como l de rrib y un trnsportdor de ángulos, clcul el seno y el coseno de 0, 0, 0, 0, 0, 60, 70 y 80, y l tngente de quellos que pueds. 0, O 0, U sen 0 0,8, cos 0 0,98, tg 0 0,8 sen 0 0,, cos 0 0,9, tg 0 0,7 sen 0 0,, cos 0 0,86, tg 0 0,8 sen 0 0,6, cos 0 0,76, tg 0 0,8 sen 0 0,76, cos 0 0,6 sen 60 0,86, cos 60 0, sen 70 0,9, cos 70 0, sen 80 0,98, cos 80 0,8

4 . lcul ls rzones trigonométrics, seno, coseno y tngente, de y comprueb que coinciden (ecepto decimles) con lo que clculste en el ejercicio de l págin nterior. D E 0, O 0, sen E cos O sen E sen 0,7 cos O cos 0,7 tg D D D tg O

5 Relciones trigonométrics fundmentles Págin 6. sen α 0,6. lcul cos α y tg α. sen α + cos α 0,6 + cos α cos α 0,6 tg α sen 8 cos cos α 0,6 tg 06, tg α 0,7 08, Por tnto, cos α 0,8 y tg α 0,7.. tg β 0,. lcul sen β y cos β. sen cos sen b b 0, 8 sen b 0, cos b b+ cos b tommos l ríz positiv cos α 0,8 (0,cos β) + cos β 0,809cos β + cos β,809cos β cos β sen β 0,cos β sen β 0,7 Por tnto, sen β 0,7 y cos β 0,88., 809 tommos l ríz positiv cos β 0,88

6 Págin 7. Teniendo en cuent que tg, deduce el vlor de sen y de cos medinte ls relciones fundmentles. sen ; sen cos cos (sen ) + (cos ) (cos ) + (cos ) cos ± ± Solo tommos el resultdo positivo: cos sen. Teniendo en cuent que sen 0 /, hll el vlor de cos 0 y de tg 0 medinte ls relciones fundmentles. sen 0 (sen 0 ) + (cos 0 ) + (cos 0 ) cos 0 ± Tommos el resultdo positivo: cos 0 tg 0 / /. lcul el seno y l tngente de un ángulo cuyo coseno vle 0,8. cos α 0,8 (sen α) + (cos α) (0,8) + (sen α) sen α ±0,6 Tommos solo el vlor positivo: sen α 0,6 tg α 06, 0,7 08, 6. Hll el seno y el coseno de un ángulo cuy tngente vle 0,7. tg α sen 0,7; sen α 0,7 cos α cos (sen α) + (cos α) (0,7cos α) + (cos α),9(cos α) cos α ±0,8 Solo tommos el vlor positivo: cos α 0,8 sen α 0,7 0,8 sen α 0,7 6

7 7. opi en tu cuderno y complet l siguiente tbl de rzones trigonométrics: sen α 0,9 / cos α 0,8 / tg α, En ls operciones donde prezcn frcciones o rdicles, trbj con ellos; no utilices su epresión deciml. En todos los csos, solo tomremos los resultdos positivos. sen α 0,9 cos α 0,8 (cos α) + (0,9) cos α 0, (sen α) + (0,8) sen α 0,7 tg α 09,,76 tg α 07, 0,69 0, 08, sen α tg α, c m + (cos α) cos α tg α / / cos α (sen α) + (sen α) + (cos α) sen sen α, cos α cos (,cos α) + (cos α) cos α 0,7 sen α, 0,7 sen α 0,96 e o sen α tg α sen ; sen α cos α cos tg α / / (sen α) + (cos α) (cos α) + (cos α) cos α sen α sen α 0,9 0,7 / 0,96 / / cos α 0, 0,8 / 0,7 / / tg α,76 0,69 /, / 7

8 Utilizción de l clculdor en trigonometrí Págin 8. Obtén ls siguientes rzones trigonométrics y escribe en tu cuderno los resultdos redondendo ls milésims. ) sen 86 b) cos 9 c) tg d) sen ' '' e) cos 9 7' f ) tg 86 ' g) sen 0 0'' (tención, 0 0' 0'') ) sen 86 0,998 b) cos 9 0, c) tg 0,0 d) sen ( ' ") 0,66 e) cos (9 7') 0,08 f) tg (86 ') 8,68 g) sen (0 0") 0,7 8

9 Págin 9. D el vlor del ángulo α en form segesiml, en cd cso: ) sen α 0,9 b) tg α,8 c) cos α 0, d) tg α 0, e) sen α 0,08 f ) cos α 0,88 ) α 6 0' 9" b) α 80 6' " c) α 6 9' " d) α 8 6' " e) α ' 9" f) α 8 ' 7". ) lcul sen α sbiendo que cos α 0,9. b) lcul cos α sbiendo que tg α 6,. c) lcul tg α sbiendo que cos α 0,06. d) lcul tg α sbiendo que cos α 0,96. e) lcul sen α sbiendo que tg α 0,. ) cos α 0,9 sen α 0, b) tg α 6, cos α 0, c) cos α 0,06 tg α 6,67 d) cos α 0,96 tg α 0,9 e) tg α 0, sen α 0,099 9

10 Resolución de triángulos rectángulos Págin 0. Los dos ctetos de un triángulo rectángulo miden 8 cm y 7 cm. Hll los dos ángulos gudos. 8 cm b 7 cm tg α 8 0,676 α ' 9,7" 7 β 90 ' 9,7" 86',7". En un triángulo rectángulo, un ángulo gudo mide 7, y el cteto opuesto, 87 m. Hll el otro cteto y l hipotenus. 87 m c 7 sen ,6 m sen 7 tg 7 87 c 87, m c tg 7. lcul el rdio de un octógono regulr de 0 cm de ldo. uánto mide su potem? r, 0 sen, 0 r r 0 6, cm sen, cos, potem potem, cm r. Hll l potem de un heptágono regulr de 0 cm de rdio. lcul tmbién l longitud del ldo. 0 cm α l/ α 60 : ' " cos ( ' ") 0 0 cos ( ' ") 9 cm sen ( ' ") l/ l 0 l Por tnto, el ldo del heptágono mide 8,68 cm y su potem 9 cm. 0 sen ( ' "), cm l 8,68 cm 0

11 Resolución de triángulos oblicuángulos Págin. En un triángulo, hll conociendo 7 cm, 0 cm y ^. 7 cm h cos 7,8 cm sen h h 9,6 cm 7 y 0 cm y 0 0,8 8,6 cm h + y 7,0 cm. Hll los ldos y de un triángulo en el que sbemos 00 cm, ^ y ^ 8. c h 8 H 00 Trzmos l ltur sobre y dividimos el triángulo & en dos triángulos rectángulos H & y H &. En H & : tg h 0, 900 h 8 En H & : tg 8 h 0, h h 0, 900 h 0, ( 00 ) onociendo y h podemos hllr los ldos 0,900 0,(00 ) 0,900, 0,,,, 6, cm, h,8 cm y. En H & : cos 6, c 6, c,7 cm c cos En H & : cos , 7, 77, cm cos 8 Por tnto, c,7 cm y 77, cm.

12 6 Rzones trigonométrics de 0 60 Págin. Indic el signo de cd un de ests rzones trigonométrics, situndo proimdmente los ángulos en l circunferenci goniométric: ) sen 8 b) cos 0 c) tg 00 d) cos 0 e) cos 0 f ) tg 9 g) cos 7 h) sen 8 i) tg 6 ) b) c) sen 8 < 0 cos 0 > 0 tg 00 < 0 d) e) f) cos 0 > 0 cos 0 < 0 tg 9 < 0 g) h) i ) cos 7 > 0 sen 8 > 0 tg 6 > 0. Indic en qué cudrnte se encuentr cd uno de los ángulos α, β, γ y ϕ: ) sen α < 0 y tg α > 0 b) cos β > 0 y tg β < 0 c) sen γ < 0 y cos γ < 0 d) cos ϕ > 0 y sen ϕ < 0 Qué signo tiene cd un de ls rzones trigonométrics que fltn? ) sen α < 0 α III o IV cudrnte tg α > 0 α I o III cudrnte demás, cos α < 0. α III cudrnte

13 b)cos β > 0 β I o IV cudrnte tg β < 0 β II o IV cudrnte β IV cudrnte demás, sen β < 0. c) sen γ < 0 γ III o IV cudrnte cos γ < 0 γ II o III cudrnte γ III cudrnte demás, tg γ > 0. d)cos ϕ > 0 ϕ I o IV cudrnte sen ϕ < 0 ϕ III o IV cudrnte ϕ IV cudrnte demás, tg ϕ < 0.. Dibuj sobre un circunferenci goniométric, en ppel milimetrdo, los ángulos siguientes: 6,, y 00 Represent sus rzones trigonométrics y d su vlor proimdo. sen 6 0,88 cos 6 0,7 tg 6,88 sen 0, cos 0,9 tg 0,9 sen 0,89 cos 0, tg,96 sen 00 0,87 cos 00 0, tg 00,7. En l págin nterior, en l circunferenci goniométric sobre l que se hn representdo el seno y el coseno, hy un triángulo coloredo, O'. ) Rzonndo sobre él y teniendo en cuent que O, justific que cos α O' y sen α. ' b) plicndo el teorem de Pitágors en este triángulo, justific que (sen α) + (cos α). c) Justific que (sen β) + (cos β), rzonndo sobre el correspondiente triángulo. ) cos α O ' O ' ' O O O b) (sen α) + (cos α) `' j + ` ' j `Oj c) (sen β) + (cos β) O. Di el vlor de sen α y cos α cundo α vle 0, 90, 80, 70 y 60. α sen α cos α 0 0

14 6. Teniendo en cuent l semejnz de los triángulos O' y OUT, y que OU, demuestr que: sen tg cos sen α T tg α α cos α O ' U Por l semejnz de triángulos: O' ' OU 8 UT ' OU ' tg α UT O' O' ' O' sen cos

15 7 Ángulos de medids culesquier. Rzones trigonométrics Págin. Epres con vlores comprendidos entre 80 y 80 estos ángulos: ) 87 b) 8 c)0 8 d) 80 omprueb con l clculdor que, en cd cso, coinciden ls rzones trigonométrics de uno y otro ángulo. ) sen 87 sen 7 0,60 cos 87 cos 7 0,799 tg 87 tg 7 0,7 b) sen 8 sen 8 0,88 cos 8 cos 8 0,69 tg 8 tg 8,88 c) sen 8 sen ( 9 ) 0,87 cos 8 cos ( 9 ) 0, tg 8 tg ( 9 ),66 d) sen 80 sen ( ) 0, cos 80 cos ( ) 0,906 tg 80 tg ( ) 0,66

16 8 Funciones trigonométrics. El rdián Págin. Ps rdines los siguientes ángulos: ) b) 00 c)00 d) 0 Epres el resultdo en función de π y, luego, en form deciml. Por ejemplo: 80 π rd, rd. ) π rd π rd 0, rd 60 6 b) π rd π rd,7 rd 60 9 c) 0 d) 0 0 π rd π rd,6 rd π rd π rd,6 rd Ps grdos los siguientes ángulos: ) 0, rd b), rd c) π rd d) π rd e),8 rd f ) π rd ) 0, rd 0, 60 π 8 9' 6" b), rd, 60 π 8 9' " c) π rd d) π rd 80 8, 60 e),8 rd π 7 8' 6" f) π rd

17 Págin 6. Verddero o flso? ) El rdián es un medid de longitud equivlente l rdio. b) Un rdián es un ángulo lgo menor que 60. c) Puesto que l longitud de l circunferenci es πr, un ángulo completo (60 ) tiene π rdines. d) 80 es lgo menos de rdines. e) Un ángulo recto mide π/ rdines. f) Ls funciones trigonométrics son periódics. g) Ls funciones sen y cos tienen un periodo de π. h) L función tg tiene periodo π. i) L función cos es como sen desplzd π/ l izquierd. ) Flso, el rdián es un unidd de medid de ángulos. Se llm rdián un ángulo tl que el rco que brc tiene l mism longitud que el rdio con el que se h trzdo. b) Verddero. rd 7 7' " c) Verddero. d) Flso. 80 π rd, rd e) Verddero. f) Verddero. g) Verddero. h) Verddero. i ) Verddero, se cumple sen b + π l cos α, α. 7

18 Págin 7 Hzlo tú. Repite el problem nterior suponiendo que el stélite ve l Tierr bjo un ángulo de 00. % % ) En este cso, TSO 0 y, por tnto, SOT 0. Siguiendo el mismo rzonmiento que en el libro de teto: d km cos 0 b) h R ( cos 0 ) 6 7 ( cos 0 ) 90, Áre del csquete πr h km El áre de l porción visible de l Tierr es de unos 60 millones de km. Hzlo tú. qué ltur hemos de subir pr ver un lugr situdo 00 km? d R S R 00 km T O, omo el cudrnte de meridino terrestre tiene km y corresponde un ángulo recto, l rco de 00 km le corresponde un ángulo de,. Siguiendo el mismo rzonmiento que en el ejercicio resuelto en el libro de teto: d 67 c m 9,7 km cos, Deberímos elevrnos unos 9 km. Hzlo tú. Repite el problem con estos dtos:.ª medición, 0 ; cmin 0 m;.ª medición,. Siguiendo el plntemiento del ejercicio resuelto del libro de teto: tg 0 y y tg y 9, 6,; y 7,77 y ( + 0) 07, El ncho del río es 6, m y l ltur del árbol, 7,77 m. 8

19 Ejercicios y problems Págin 8 Prctic Rzones trigonométrics de un ángulo gudo. Hll ls rzones trigonométrics del ángulo α en cd uno de estos triángulos: ) b) c) 7 m m α,6 cm ) sen α 7 7 0,8; cos α 0,96; tg α 7 0,9 b) sen α cos α c) sen α cos α 60 68, 6 8 8, 0,7, 6, 6 8 0,69; tg α, ,, , ,88; tg α 7 60 α 8 m 8 0,. Hll ls rzones trigonométrics de los ángulos gudos de los siguientes triángulos rectángulos (^ 90 ): ) b 6 cm; 6, cm b) b,6 cm; c, cm c) b 6 cm; 6 cm ) sen ^ 7, cm 6, cm cos ^ 6 0,90 6, m 6, 6 7, 0,8 6, 6, α 60 m 6 cm tg ^ 6,0 7, sen ^ 7, 0,8; cos ^ 6, 6 0,90; tg ^ 6, 7, 0,87 6 9

20 b) sen ^, cm,9 cm,6 cm cos ^, 6, +, 6, 0,, 9, 6 0,99, 9 sen ^, 0,; cos ^, 9 tg ^, 6 7,67,, 6 0,99; tg ^, 9, 9,9, c) sen ^ 6 6 cm cos ^ 6! 0, 6 6 cm, cm tg ^,,06 6, 6 0,896 sen ^ 6! 0, ; cos ^ 6, 0,896; tg ^ 6 6 0,96, % %. lcul ls rzones trigonométrics de los ángulos ^, ^, D y D. cm cm D 9 cm cm D 6 cm sen cos D D 0,8 0 0,6 9 0,6 6 0,8 0 ^ ^ 9 0,6 6 0,8 0 tg, 9! 6 0,7 0,8 0 0,6 6! 9 0,7, Relciones fundmentles. Si sen α 0,8, clcul cos α y tg α utilizndo ls relciones fundmentles (α < 90 ). cos α 0, 8 0,96; tg α 08, 0,9 096,. Hll el vlor ecto (con rdicles) de sen α y tg α sbiendo que cos α / (α < 90 ). sen α c m ; tg α 9 / / 0

21 6. Si tg α, clcul sen α y cos α (α < 90 ). sen s c cos sen cos + ( c) + c 8 6c 8 cos 6 sen α omplet en tu cuderno est tbl con ls rzones trigonométrics que fltn siendo α < 90. Utiliz rdicles cundo se posible. sen α 0,9 / cos α 0, / tg α 0,7 omo α < 90 sen α > 0, cos α > 0 y tg α > 0 en todos los csos. sen α 0,9 cos α 0, 9 0,9 tg α cos α 0, sen α 0, 0,99 tg α tg α 0,7 sen cos sen 07, 8 sen 07, cos + cos 09,,6 09, 099, 8, 0, (0,7 cos α) + cos α 0,6cos α + cos α,6cos α cos α sen α 0,7 cos α sen α 0,6 cos α 0,8, 6 sen α cos α tg α 9 9 cos α sen α 7 7 tg α 9 9 tg α sen cos sen 8 sen cos + cos / / 7/ 7 / ( cos α) + cos α cos α + cos α cos α sen α cos α sen α cos α cos α

22 Por tnto: sen α 0,9 0,99 0,6 / 7 / / cos α 0,9 0, 0,8 / / / tg α,6 8, 0,7 / / 8. lcul el vlor de ls siguientes epresiones sin utilizr l clculdor: ) sen cos b) sen 0 + cos 60 c) sen 0 + cos 0 d) tg 0 + tg 60 e) tg cos 60 f) tg + sen ) sen cos 0 b) sen 0 + cos 60 + c) sen 0 + cos d) tg 0 + tg 60 + e) tg cos 60 f) tg + sen + + lculdor 9. omplet en tu cuderno l tbl siguiente, utilizndo l clculdor: α 0' 7 ' 0'' 8, sen α 0,6 0,8 0,9 0,997 cos α 0,97 0,7 0,0 0,078 tg α 0,7,,6,7 0. Hll el ángulo α < 90 en cd cso. Epréslo en grdos, minutos y segundos. ) sen α 0,8 b) cos α 0,7 c) tg α, d) sen α e) cos α f ) tg α ) α 7' " b) α ' " c) α 68 ' " d) α 8 ' " e) α ' 8" f) α 76 ' ". Hll, con l clculdor, ls otrs rzones trigonométrics del ángulo α < 90 en cd uno de los csos siguientes: ) sen α 0, b) cos α 0,7 c) tg α,7 d) sen α e) tg α f ) cos α ) cos α 0,97; tg α 0, b) sen α 0,67; tg α 0,9 c) sen α 0,87; cos α 0, d) cos α 0,7; tg α e) sen α 0,87; cos α 0, f) sen α 0,; tg α 0,8

23 Resolución de triángulos. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos (^ 90 ) hllndo l medid de todos los elementos desconocidos: ) cm, b cm. Hll c, ^, ^. b) m, ^ 7. Hll b, c, ^. c) 7 m, ^ 8. Hll b, c, ^. d) c,8 km, ^ 7. Hll, b, ^. ) Por el teorem de Pitágors: c cm c + c 69 c cm tg ^ ^ 7' " b cm ^ 90 ^ ^ 67 ' 9" b) ^ 90 ^ ^ sen 7 c c sen 7 c m c 7, m tg 7 b b tg 7 7 b 7,06 m b c) ^ 90 ^ c b 8 7 m tg 8 b 7 ^ b 7 tg 8 b,0 m cos 8 7 c 7 c cos 8 c, m d) ^ 90 ^ ^ 9 c,8 km sen 7 cos 7 8, b 8,,8 sen 7,8 km b,8 cos 7 b,89 km 7 b

24 . undo los ryos del sol formn 0 con el suelo, l sombr de un árbol mide 8 m. uál es su ltur? 0 8 m tg 0 8 El árbol mide, m.. Un escler de m está poyd en un pred. Qué ángulo form l escler con el suelo si su bse está, m de l pred? m cos α, 0, α 66 ' 9", m

25 Págin 9. lcul el perímetro y el áre de un triángulo isósceles en el que el ángulo desigul mide 7 y l medid del ldo opuesto ese ángulo es de 6 m. 7 ^ m 8 m cos 8 8 8,6 m cos Perímetro,6 + 6, m ltur, h: tg 8 h h 8 tg,0 m Áre 6, 0 88, m 6. Un mástil está sujeto tierr con dos cbles de m que formn ángulos de 0 con el suelo. lcul l ltur del mástil y l distnci de l bse los puntos de sujeción. M m m 0 0 d d sen 0 cos 0 d sen 0 9,9 m d cos 0 d 7,7 m El mástil mide 9,9 m y l distnci de l bse del mástil los puntos de sujeción y es 7,7 m. 7. lcul l ltur, h, y el áre de los siguientes triángulos: 8 cm h h 8 cm 6 D cm D cm sen 6 h h 6, cm sen h h 6, cm 8 8 6, 60,8 cm 6, 0,6 cm 8. Pr medir l ltur de un árbol, nos situmos 0 m de su bse y observmos, desde el suelo, su prte más lt bjo un ángulo de 0. uánto mide el árbol? h 0 0 m tg 0 h h 0 tg 0,8 m 0

26 9. Un comet está sujet l suelo medinte un hilo que mide 0 m y que form con l horizontl un ángulo de 60. qué ltur está l comet? OMET sen 60 h h 0 sen 60 h m 60 h h m L comet está un ltur de m. Rzones trigonométrics de ángulos culesquier 0. Sitú en l circunferenci goniométric los siguientes ángulos e indic el signo de sus rzones trigonométrics. ) 8 b) 98 c) 87 d) 98 e) 8 f ) 0 ompruéblo con l clculdor. ) 8 b) 8 sen + cos tg sen cos tg + c) 87 d) 87 sen + cos + tg sen + cos tg e) 8 f) 8 sen cos + tg 0 0 sen cos + tg. Eplic en qué cudrnte está el ángulo α en cd cso y clcul ls rzones trigonométrics que fltn: ) sen α 0,6; cos α < 0 b) cos α /; tg α > 0 c) tg α ; sen α > 0 d) sen α /; tg α < 0 Represent el ángulo α en un circunferenci goniométric en cd cso. ) sen 06, > 0 8 é IoII cudrnte α II cudrnte cos < 0 8 éii oiii cudrnte sen α + cos α cos α sen α cos α 0,6 cos α 0,6 tg α sen tg α cos cos α 06, cos α 0,8 06, 08, tg α 0,7 6

27 Representción de α en un circunferenci goniométric: 6 ' " sen α 0,6 α ) 78 ' " sen cos α II cudrnte α 7' 8" b) cos < 0 8 éii o IIIcudrnte α III cudrnte tg > 0 8 éioiiicudrnte sen α + cos α sen α cos α sen α c m sen α 8 9 tg α sen α 8 sen α 9 sen tg α 8 tg cos Representción de α en l circunferenci goniométric: cos α α 09 8' 6" ) 0 ' " α III cudrnte α 0 ' " cos sen c) tg < 0 8 éiioiv cudrnte α II cudrnte sen > 0 8 éioii cudrnte sen cos sen + cos 8 sen cos ( cos α) + cos α cos α + cos α cos α cos α sen α cos α sen α cos α 7

28 Representción de α en l circunferenci goniométric: 6 ' " tg α α ) 96 ' " tg α II cudrnte α 6 ' " sen cos d) sen < 0 8 éiii oiv cudrnte α IV cudrnte tg < 0 8 éii oiv cudrnte sen α + cos α cos α sen α cos α c m tg α sen tg α cos cos α 9 cos α tg α Representción de α en l circunferenci goniométric: sen α α 8 ' " ) 8' 7" cos sen α IV cudrnte α 8 ' ". Justific en qué cudrnte está α, en cd cso, y clcul ls restntes rzones trigonométrics: ) sen α /; α < 90 b) cos α /; α > 70 c) tg α ; α >80 d) cos α /; α < 80 ) sen α, α < 90 α I cudrnte y cos α > 0 sen α + cos α cos α tg α sen tg α cos / / c m cos α 9 cos α 9 8

29 b) cos α, α > 70 α IV cudrnte y sen α < 0 sen α + cos α sen α c m sen α sen α 9 9 tg α sen tg α cos c) tg α, α > 80 α III cudrnte sen cos sen + cos 8 sen cos (cos α) + cos α 9cos α + cos α 0cos α cos α 0 cos α 0 0 sen α cos α sen α d) cos α, α < 80 α II cudrnte y sen α > 0 sen α + cos α sen α cos α sen α c m tg α sen tg α cos plic lo prendido. Hll: ) L longitud. b) El áre del triángulo. ) En sen α 7 sen α & D, cos D 8 D, 8 cm En D &, cos D 8 D 9 cm b) Hllmos l ltur h en el triángulo D: 7 cm D,8 + 9,8 cm h cm sen h h 8,7 cm bc h, 8 8, 7 9,9 cm 9

30 . El ldo de un rombo mide 8 cm y el ángulo menor es de 8. uánto miden ls digonles del rombo? sen 9 y 8 y 8 sen 9 y,60 cm y 8 cm 9 Digonl menor y,0 cm cos 9 8 cos 9 7,6 cm 8 Digonl myor, cm. Hll el áre de un prlelogrmo cuyos ldos miden 6 cm y cm y formn un ángulo de 0. 6 cm 0 h cm sen 0 h h 6 sen 0 h 0,8 cm 6 Áre 0,8 6,7 cm 6. En un crreter de montñ, un señl indic un ltitud de 78 m. Tres kilómetros más delnte, l ltitud es de 06 m. Hll l pendiente medi de l crreter y el ángulo que form con l horizontl. α 000 m m sen α 80 sen α 7 α ' 9" tg α 0,09 pendiente 9, % 7. ) En el triángulo, rectángulo en, clcul H y H. b) Hll ls rzones trigonométrics del ángulo ^ en el triángulo y en el triángulo H y comprueb que coinciden. 7 cm H cm cm ) Por el teorem del cteto: H 8 H 8 H,0 cm Por el teorem de Pitágors: H,0 H, 0 8 H 6,7 cm b) Rzones trigonométrics de ^ sen ^ cos ^ tg ^ H H H H 67, 0,8, 0 0,96 67, 0,9, 0 en H & : 0

31 Rzones trigonométrics de ^ en & : sen ^ cos ^ 7 0,8 0,96 tg ^ 7 0,9 8. Hll, en cd triángulo, l ltur y el ldo desconocido: ) b) 8 cm h 6 P cm 7 cm 9 cm h 0 P y ) En el triángulo P : sen 6 h h 6, cm 8 cos 6 P 8 8 P 7,6 P P 7,6,9 + P 6, +, 9, cm h b) En el triángulo P : cos 0 7 0,9 cm sen 0 h h,0 cm 7 En el triángulo P : y 9 h 9, 0,9 cm + y 6,8 cm 9. En un circunferenci de rdio 6 cm trzmos un cuerd cm del centro O. % Hll el ángulo O. M O O 6 cm; OM cm O cos 8 cos % α O 0

32 0. ) Epres en rdines los ángulos de 0,, 60 y 90 prtir de l equivlenci 80 π rd. b) Epres en rdines los siguientes ángulos teniendo en cuent que son múltiplos de los nteriores: 0 ; ; 0 ; 00 y 70. ) 0 0π 80 π 80 rd π rd b) rd π rd 60 60π rd π rd 0 60 π rd π 80 rd π rd π 6 π rd rd π rd π rd

33 Págin 60. Epres en grdos los siguientes ángulos ddos en rdines: Teniendo en cuent que π rd 80 : π ; π ; π ; 7π ; π; π 6 9 π rd 80 0 π rd π rd 80 7π rd π rd 80 0 π rd ) En un circunferenci de 8 cm de rdio, dibujmos un ángulo de, rdines. Qué longitud tendrá el rco correspondiente? b) Si en l mism circunferenci, un rco mide cm, hll l medid del ángulo centrl en grdos y en rdines. ) Sbemos que si un ángulo mide rd entonces el rco correspondiente tendrá un longitud igul l rdio, por tnto, un ángulo de, rd le corresponde un rco cuy longitud es, veces el rdio. En nuestro cso: Longitud del rco α r, 8 0 cm b) Longitud delrco cm Rdio 8cm Longitud delrco 8 rd, r 8 rd 80 π rd, rd 8, ' " π Resuelve problems. Desde el punto donde estoy, l visul l punto más lto del edificio que tengo en frente form un ángulo de 8 con l horizontl. Si me cerco 0 m, el ángulo es de 0. uál es l ltur del edificio? 8 0 m 0 h tg tg 0 8 h h 0 + h tg 0 h tg 8 ( 0 + ) tg 0 tg 8 (0 + ) tg 0 0 tg 8 + tg 8 (tg 0 tg 8 ) 0 tg 8 h tg 0 h 9,0 m Por tnto, el edificio mide 9,0 m. 0 tg 8,9 m tg 0 tg 8

34 . Dos edificios distn entre sí 90 m. Desde un punto que está entre los dos edificios vemos que ls visules los puntos más ltos de estos formn con l horizontl ángulos de y 0. uál es l ltur de los edificios si sbemos que uno es 6 m más lto que el otro? Primer solución: el edificio es más lto que el. EDIFIIO EDIFIIO h m h tg h + 6 h tg 6 8 tg 6 tg 0 (90 ) tg 0 h h tg 0 ( 90 ) 90 tg 6 90 tg 0 tg 0 tg + tg 0 90 tg (tg + tg 0 ) 90 tg tg tg + tg 0 6, m h tg 6 h 9,0 m ltur del edificio h + 6,0 m ltur del edificio h 9,0 m Segund solución: el edificio es más lto que el. EDIFIIO EDIFIIO h 0 90 m 90 h + 6 tg h h tg 8 tg 0 (90 ) tg + 6 tg 0 h + 6 tg 0 ( 90 ) h tg 0 tg 0 tg tg 0 6 (tg + tg 0 ) 90 tg 0 6 tg + tg 0, m h tg h 7,60 m ltur del edificio h 7,60 m ltur del edificio h + 6,60 m

35 . Un vión P vuel entre dos ciuddes y que distn entre sí 0 km. Desde el % % vión se miden los ángulos P 0 y P 0. qué ltur está el vión? P h 0 0 km 0 0 tg tg 0 h h tg 0 8 tg 0 tg 0 (0 ) 0 h h tg 0 ( 0 ) 0 tg 0 0 tg 0 tg 0 0 tg 0 tg 0 + tg 0 0,67 km h tg 0 h,6 km Por tnto, el vión vuel,6 km de ltur. 6. En lo lto de un edificio en construcción hy un grú de m. Desde un punto del suelo se ve el punto más lto de l grú bjo un ángulo de con respecto l horizontl y el punto más lto del edificio bjo un ángulo de 0 con l horizontl. lcul l ltur del edificio. GRÚ m h 0 tg tg 0 h h tg 0 8 tg 0 tg h + h tg (tg tg 0 ),86 m tg tg 0 h tg 0 h 0,86 m Por tnto, el edificio mide 0,86 m de ltur.

36 7. Pr clculr l ltur del edificio, PQ, hemos medido los ángulos que indic l figur. Sbemos que hy un funiculr pr ir de S Q, cuy longitud es de 0 m. Hll PQ. P Q 0 0 m S 0 R lculmos SR RQ sen y RQ en el triángulo SRQ & : RQ 0 sen 0 RQ m cos 0 SR 8 SR 0 cos SR m & lculmos RP en el triángulo SPR : tg 0 RP 8 8 8, SR tg 0 RP RP tg 0 RP 8 67 m Luego PQ RP RQ 8,67 m m 6,67 m Por tnto, l ltur del edificio es de 6,67 m. 8. Pr loclizr un emisor clndestin, dos receptores, y, que distn entre sí 0 km, orientn sus ntens hci el punto donde está l emisor. E Ests direcciones formn con ángulos de 0 y 6. qué distnci de y se encuentr l emisor? 0 0 km 6 tg tg 6 0 y y tg 6 8 y y tg 0 ( 0 ) 0 y E tg 6 tg 0 (0 ) tg 6 0 tg 0 tg 0 (tg 6 + tg 0 ) 0 tg 0 0 tg 0 tg 6 + tg 0,8 km y tg 6 y 6,0 km onocidos e y podemos hllr ls distncis de y l emisor. sen 0 sen 6 y E y E 8 y E sen 0 8 E 9,8 km 8 y E sen 6 8 E 6,6 km Por tnto, l emisor se encuentr 9,8 km de y 6,6 km de. 6

37 9. Desde un cntildo 0 m sobre el nivel del mr, se observ un helicóptero en práctics de slvmento. Un person desciende verticlmente hst un brco en el que lguien está en peligro. Si los ángulos de observción son de 7 pr el helicóptero y 8 pr el brco, cuánto medirá el cble que v desde el helicóptero l brco? En el triángulo PQ tg PQ,6 m PQ m P 7 8 Q 0 m Q En el triángulo PQ tg 7 8 PQ Longitud del cble 9, + 0, m Q,6 tg 7 9, m 0. En un trpecio isósceles de bses y D, conocemos los ldos m y m, y los ángulos que form l bse myor con los ldos oblicuos, que son de. Hll su áre. m m h D Áre ( + ) m sen h h m cos m se myor + + m. Desde un fro F se observ un brco bjo un ángulo de con respecto l líne de l cost; y un brco, bjo un ángulo de. El brco está km de l cost, y el, km. lcul l distnci entre los brcos. lculmos F sen sen F F 8 8 y F : F 7, km sen F 8,7 km sen Pr clculr d utilizmos el triángulo de l derech: sen h 7, h 7, sen,7 km cos 7, 7, cos 6,8 km y 8,7 y 8,7 6,8,7 km F F 7, km 8,7 km Utilizmos el teorem de Pitágors: d + y 7, +, 7,6 km L distnci entre y es de,6 km. h d km km h y d 7

38 . Pr iluminr un prcel rectngulr se hn colocdo tres focos en P de modo que los ángulos de iluminción P %, P % y PD % son igules. 0 m P D Un verí pg el foco centrl. uál es el áre y el perímetro de l zon oscurecid, si P 0 m? 0 m P D En el triángulo P tg En el triángulo P tg En el triángulo P cos P P 8,9 m 86,6 m 00 m Áre rectángulo 0 86, 6 0 m Áre Áre P 8, 9 0 7, m PD 86, m Áre de P: 0 ( 7, + 6), m lculmos hor el perímetro de P : En P, cos P 7, 7 m P 86, 6 89, 7, 7 m Perímetrode P: P + + P, m 8

39 Págin 6. En l prcel D conocemos ^ D^ 90 ; ^ 0 ; D 8 m y 9 m. Queremos verigur l longitud de l digonl. 9 m 8 m D Un migo topógrfo nos sugiere prolongr los ldos y D hst que se corten en % un punto P y verigur cuánto mide el ángulo PD. Hzlo tú. 9 m 0 8 m 60 0 P D % PD % PD En el triángulo PD, sen 0 8 P 8 P 6 m P m En el triángulo P : tg , m En el triángulo 9 + 7, 7, m Problems +. Sobre l circunferenci goniométric señlmos un ángulo α en el primer cudrnte y prtir de él dibujmos los ángulos: usc l relción que eistre entre: 80 α 80 + α 60 α ) sen (80 α) y sen α b) sen (80 + α) y sen α c) sen (60 α) y sen α cos (80 α) y cos α cos (80 + α) y cos α cos (60 α) y cos α tg (80 α) y tg α tg (80 + α) y tg α tg (60 α) y tg α 80 α α 80 + α α 60 α α ) sen (80 α) sen α b) sen (80 + α) sen α c) sen (60 α) sen α cos (80 α) cos α cos (80 + α) cos α cos (60 α) cos α tg (80 α) tg α tg (80 + α) tg α tg (60 α) tg α 9

40 . Sitú el ángulo ddo sobre l circunferenci goniométric y epres sus rzones trigonométrics utilizndo un ángulo gudo como en el ejemplo: Ángulo: sen sen cos cos tg tg ) 0 b) 0 c) 00 d) e) 00 f ) 0 ) sen 0 sen 0 b) sen 0 sen 60 c) sen 00 sen 60 cos 0 cos 0 cos 0 cos 60 cos 00 cos 60 tg 0 tg 0 tg 0 tg 60 tg 00 tg d) sen sen e) sen 00 sen 80 f) sen 0 sen 0 cos cos cos 00 cos 80 cos 0 cos 0 tg tg tg 00 tg 80 tg 0 tg Hll los ángulos comprendidos entre 0 y 60 que verificn ls siguientes ecuciones, como en el ejemplo: cos 0 cos / 60 ; 00 ) sen b) sen c) tg + 0 d) (sen ) e) (sen ) sen 0 f ) (sen ) 0 g) (cos ) cos 0 60 ) sen sen ) b) sen sen ) 0

41 c) tg + 0 tg tg ) 90 d) sen sen ± sen ) sen e) (sen ) sen 0 sen (sen ) 0 0 sen 0 ) sen 0 sen 90 f) (sen ) 0 sen sen sen ± sen 0 ) sen 0 ) 0 0 0

42 g) (cos ) cos 0 Efectumos el cmbio de vrible cos t t t 0 t ± + 8 ± Deshcemos el cmbio de vrible: t t / t cos t cos 0 ) Usndo ls relciones fundmentles, demuestr ests igulddes: ) (sen α + cos α) + (sen α cos α) b) ( sen ) + sen ( cos ) sen c) ( sen ) + sen ( cos ) cos d) + ( tg ) ( cos ) tg ) (sen α + cos α) + (sen α cos α) (sen α + cos α + sen α cos α) + (sen α + cos α sen α cos α) + sen α cos α + sen α cos α b) sen + sen cos sen ( sen + cos ) sen sen sen α + cos α c) sen + sen cos sen ( sen + cos ) sen cos cos cos sen tg α cos d) + tg α + sen cos + sen cos cos cos

43 Refleion sobre l teorí 8. Verddero o flso? Justific y pon ejemplos. ) En un ángulo gudo, el seno es siempre myor que l tngente. b) No eiste ningún ángulo α tl que sen α / y tg α /. c) El coseno de un ángulo de π rdines es igul. d) El vlor máimo de l tngente de un ángulo es. e) Si 70 < α < 60, entonces tg α < 0 y cos α > 0. f ) No eiste ningún ángulo α tl que: sen α + cos α 0 g) L ltur de un triángulo es igul l producto de uno de sus ldos por el seno del ángulo que form dicho ldo con l bse. ) Flso, por ejemplo, sen < tg. b) Verddero. Si sen α y tg α entonces: tg α c) Verddero. sen 8 cos sen 8 cos cos, imposible. tg d) Flso, l tngente de un ángulo puede tomr culquier vlor rel. e) Verddero. f) Flso: sen α + cos α 0 sen α cos α tg α sen cos 6 ' " ) 96 ' " g) Verddero. α h sen α h 8 h sen α 9. Los dos ángulos gudos de un triángulo rectángulo se llmn complementrios porque su sum es uno recto. Observ l figur, copi y complet l tbl, y epres simbólicmente lo que obtienes: c α 90 α b α 90 α sen b/ c/ cos c/ b/ tg b/c c/b sen α cos (90 α) cos α sen (90 α) tg α tg ( 90 )

44 Págin 6 Entrénte resolviendo problems Qué frcción de l superficie del triángulo se h coloredo? m m Los triángulos & y DE & están en posición de Tles, son semejntes y l rzón de semejnz es Si l rzón de semejnz es : D m. m Áre DE & Áre & Áre & FE Áre G & Por tnto: m m D F G E Áre FEG & Áre G & Áre & FE Áre G & Áre G & Áre G & < & & Áre F Áre 8 El rombo tiene un superficie de cm, y su digonl menor es igul los tres curtos de l myor. lcul el áre del círculo inscrito. r En primer lugr hllremos l longitud de ls digonles y del ldo del rombo. Digonl myor Digonl menor 8 c m cm Áre rombo cm

45 Luego: Digonl myor 8 cm; Digonl menor 6 cm l Por el teorem de Pitágors: l + l cm Por tnto, el ldo del rombo mide cm. hor hllremos l longitud del rdio del círculo. El círculo es tngente l rombo en D D, es decir, D es l ltur sobre l hipotenus del triángulo rectángulo & y divide este en otros dos triángulos rectángulos, r D D & y D &. En En & ì : sen D & : sen ì D D 8 D, cm El rdio del círculo es D, cm. Finlmente hllmos el áre del círculo: Áre π,,76π cm 8,09 cm Infórmte Eclipses omplet en tu cuderno los dtos que fltn en l tbl, y comprueb que el ángulo β es similr si se clcul prtir de los dtos reltivos l Lun o de los reltivos l Sol. diámetro (km) distnci medi l tierr (km) tg α lun ?? sol ?? β lun: Diámetro 00 km R 70 km tg α sol: 0,007 α 0 ' 0" β α 0 ' 0" Diámetro R' tg α ,00676 α 0 6' " β 0 ' 9" diámetro (km) distnci medi l tierr (km) tg α lun ,007 0 ' 0" sol , ' 9" β

46 Págin 6 utoevlución. ) Si cos α 0, y α < 90, clcul sen α y tg α. b) Si tg β y β < 90, clcul sen β y cos β. ) sen α ( cos ) 0, 0,8; tg α 0,8/0,,6 sen b b ( / ) cos b b) tg b sen cos b ( cos b) ( cos b) 8 69 ( cos b) 8 ( sen b) ( cos b) + + (cos β) cos β 69 cos β 8 sen b. Los brzos de un compás, que miden cm, formn un ángulo de 0. uál es el rdio de l circunferenci que puede trzrse con es bertur? sen,07 cm 0 cm Rdio de l circunferenci 0, cm. Pr medir l nchur de un río, hemos tomdo ls medids indicds en l figur. Hálll. 6 y 0 tg 6 y tg y 0 y tg 6 y (0 ) tg 6 0 m tg 6 (0 ) tg y tg 6 8 m El río tiene 8 m de nchur. 0 tg tg 6 + tg 8,89 6

47 . En este triángulo, hll l ltur sobre, el áre del triángulo y el ángulo ^. 7 m 68 8 m ltur sobre h sen 68 h h,76 m 7 Áre del triángulo 8, 76 0,6 m cos m 68 h 8 tg ^ 6,7 m; 8,6 m h 0,79 ^ 6 ' " 6 8. En un huerto hy un pozo de, m de ncho. undo está vcío vemos, desde el brocl, el borde opuesto del fondo bjo un ángulo de 70 con l horizontl. undo el gu sube, vemos el borde opuesto del gu bjo un ángulo de. uál es l ltur del pozo? uánto subió el gu? P En el triángulo P tg 70 P, 8 P, m D En el triángulo PD tg PD, 8 PD, m ltur del pozo: P, m 70, m ltur del gu: P PD,,, m 6. Si cos α / y tg α < 0, indic en qué cudrnte está el ángulo α y clcul sus restntes rzones trigonométrics. cos < 0 8 é IIoIII cudrnte α II cudrnte tg < 0 8 éii oivcudrnte sen α + cos α sen α cos α sen α c m sen α sen α sen α 6 tg α sen tg α cos 6 tg α 6 Por tnto, sen α 6, cos α y tg α 6. 7