Unidad 3. Objetivos. Segunda ley de Newton. Al término de la unidad, el alumno podrá: Definir la segunda ley de Newton y el concepto de masa.

Transcripción

1 Unidad 3 Segunda ley de Newton Objetivos Al témino de la unidad, el alumno podá: Defini la segunda ley de Newton y el concepto de masa. Enuncia la ley de gavitación de Newton. Aplica la segunda ley de Newton a sistemas constituidos po un cuepo sujeto a la inteacción de otos paa calcula su aceleación adquiida, po ejemplo, si se conocen las fuezas que actúan sobe él. Aplica la segunda ley de Newton a sistemas constituidos po un cuepo inteaccionando con otos, tomando en cuenta las fuezas de ozamiento ente supeficies en contacto y el movimiento elativo ente ellos.

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3 Intoducción El intento po enconta leyes fundamentales que se aplicaan a muchas expeiencias cotidianas elativas al movimiento llevó muchos siglos y fue hasta la época de Galileo y posteiomente en la de Newton donde se alcanzaon gandes pogesos. Las tes leyes del movimiento de Newton dieon luz al conocimiento científico po muchos años y son el eje pincipal de la mecánica clásica, cuyo popósito es detemina la elación ente el estado de movimiento de un cuepo y las fuezas que actúan sobe él. La mecánica newtoniana es adecuada paa descibi eventos físicos de la expeiencia diaia, es deci, eventos que suceden a velocidades muchísimo menoes que la velocidad de la luz y a escala macoscópica. 3.1 Gavitación En la natualeza se identifican cuato tipos de fuezas: la gavitacional, la electomagnética y las nucleaes fuete y débil. De ellas, la gavitacional es la dominante. Las fuezas nucleaes se manifiestan a escalas atómicas y subatómicas, las fuezas electomagnéticas y sus efectos no siempe se pueden obseva a simple vista, mientas que la fueza gavitacional es la esponsable del movimiento planetaio. Newton ( ) publicó en su oba Philosophiæ Natualis Pincipia Mathematica de 1687, la vinculación ente la fueza que mantiene a la luna obitando alededo de la tiea y la que povoca la caída de los cuepos debido solo a su peso. 65

4 CinemátiCa y dinámica Fue Newton quien le dio a estos eventos un sustento matemático y físico, basándose en el tabajo expeimental de Keple y en la estuctua de pensamiento de Galileo. Según la segunda ley de Newton, si un cuepo expeimenta una aceleación, entonces hay una fueza que actúa sobe él. De igual manea se sabe que dos cuepos, po el hecho de tene masa, ejecen una fueza uno sobe oto. Newton examinó estos fenómenos sobe el tipo de fueza que actúa sobe la Luna, paa que ésta mantenga una obita casi cicula alededo de la Tiea, llegó a la conclusión que debe de habe una fueza que se ejece sobe la Luna, a la cual llamó fueza de gavedad y que debía se la Tiea la que ejece esta fueza, que es la misma que egula tanto la caída de una manzana, como a la obita luna. La gavitación es, po lo tanto, una sola fueza univesal y fundamental que influye en el movimiento de una patícula con masa apeciable tanto como en el de una galaxia. Esta fueza univesal ha sido discutida como una de las más amplias genealizaciones de la mente humana. Su fenomenología ha sido plasmada en un pincipio elegantemente simple llamado la Ley de la Gavitación. Antes de comenza con el estudio de la ley de la gavitación univesal es necesaio conoce las leyes de Newton y el concepto de masa. 1. Un cuepo tiende a pemanece en eposo o en movimiento ectilíneo unifome mientas no actúe una fueza extena que modifique dicho estado.. La aceleación poducida en un cuepo es diectamente popocional a la fueza aplicada e invesamente popocional a su masa. La expesión matemática de esta ley está dada po F = ma (3.1) donde F es la suma de fuezas extenas que actúan sobe el cuepo. m: masa del cuepo a : es la aceleación 3. Paa cada fueza de acción siempe existe una fueza de eacción de la misma magnitud peo de sentido opuesto. Las fuezas de eacción y de acción actúan, de manea independiente, paa cada uno de los cuepos que inteactúan. Qué es la masa? La masa es un concepto intuitivo. Una manea de concebi el concepto de masa es desde un punto de vista opeativo se puede defini la masa o sabe la cantidad de masa que tiene un cuepo utilizando una balanza. Cuando en uno de los bazos de la balanza colocamos un cuepo con masa desconocida y en el oto bazo se coloca un cuepo con masa conocida y la balanza se mantiene en equilibio po la acción conjunta de estos dos cuepos, se puede deci que estos dos cuepos tienen masas iguales. 66

5 Unidad 3 Si se ealiza este expeimento en oto luga que no sea la Tiea, po ejemplo, en la Luna, en teoía se encontaía una masa equivalente a la encontada en la Tiea. En otas palabas, la balanza también pemaneceía en equilibio en la Luna. Esto significa que la masa es una popiedad de los cuepos independiente del luga donde se encuenten. Se podía expesa de la siguiente foma: la masa es invaiante ante el cambio de posición espacial. El concepto de masa va todavía más allá. Paa medi la masa desconocida es posible que elijamos una masa patón adecuada. Po ejemplo: supongamos que nuesta masa patón es 1 kg y deseamos medi una masa de 5 kg. Eso significa que la masa (oiginalmente desconocida) de 5 kg pesa un múltiplo de la masa patón. Cuando la masa se mide de esta manea se dice que se está obteniendo la masa gavitatoia. Existe una última concepción de masa. Esta es cuando la masa está movimiento. Si po ejemplo, a la masa de 5 kg se le aplica una fueza y se caacteiza la masa, que se mueve con consecuencia de su inteacción con la fueza, se dice que se está midiendo la masa inecial. La masa inecial es una medida de la esistencia que pesenta un cuepo al cambio en su estado de eposo o movimiento ectilíneo unifome. Es petinente menciona que ambas mediciones, la de la masa gavitacional y la de la masa inecial son mediciones equivalentes y po ello su unidad de medida en el SI es el kg. Qué es esta ley de la gavitación? Consiste en que todo objeto A en el univeso atae a todo oto objeto B con una fueza que paa dos cuepos cualesquiea vaía invesamente con el cuadado de la distancia ente ellos. Lo anteio se puede analiza de la siguiente manea. Sea 1 FG (3.) la fueza gavitacional (F G ) ejecida po la Tiea sobe cualquie oto cuepo, la cual es popocional a la vaiación invesa del cuadado de la distancia que los sepaa, consideándo dicha distancia el cento de la Tiea. Paa pode hace uso algebaico de la elación 3.1 es común añadi una constante k, elimina el signo de popocionalidad a y agega el signo de igualdad, de la siguiente manea k FG = o k = F G (3.3) 67

6 CinemátiCa y dinámica Así, F G coesponde a la fueza gavitacional ente dos patículas como se ilusta en la figua 3.1: B Fueza gavitacional ejecida sobe B po A FBA A Fueza gavitacional ejecida sobe A po B FAB Figua 3.1. Esquema que ilusta la fueza gavitacional que se ejece mutuamente ente dos patículas. Dice la tecea ley de Newton que la Tiea ejece fueza gavitacional sobe cualquie cuepo, y a su vez, dicho cuepo ejece una fueza de diección opuesta e igual magnitud sobe la Tiea. (F BA = F AB, figua 3.1). Po tanto, la fueza de gavedad también depende de las masas. Así, la constante k es diectamente popocional a las dos masas: k m m (3.4) A Aplicando el mismo pocedimiento que paa la elación 3.1, la elación 3.3 la podemos eescibi como: B k = Gm m (3.5) A B Donde G es la constante de la gavitación univesal, que se ha deteminado expeimentalmente, y cuyo valo aceptado es de 6.67 x (N m /kg ). La expesión (3.4) se sustituye en (3.) paa conoce la F G y se obtiene: F Gm m A B G = (3.6) Esta ecuación es la expesión de la ley de la gavitación univesal, que se define de la siguiente manea: Todo cuepo en el Univeso atae a otos cuepos con una fueza que es popocional al poducto de sus masas e invesamente popocional al cuadado de la distancia ente sus centos de masa. Esta fueza actúa a lo lago de la línea de acción que une a los dos cuepos. Dicho de ota manea, la fueza vaía con el inveso del cuadado de la sepaación de los cuepos, y además la fueza gavitacional que actúa sobe un cuepo es diectamente popocional al poducto de las masas de dichos cuepos. De acuedo con la ley de gavitación univesal, la fueza de atacción ente un 68

7 Unidad 3 cuepo que se encuenta sobe la supeficie de la tiea y ésta, es máxima y tiende a disminui a medida que el cuepo se aleja ya que aumenta la distancia ente las masas (la fueza de atacción gavitacional es invesamente popocional al cuadado de la distancia que sepaa a dos cuepos). Sin embago, si un cuepo se adentaa en la tiea, la masa po de bajo de este disminuye la fueza gavitacional (la fueza es diectamente popocional al poducto de las masas de los cuepos que inteaccionan). m 1 m 1 m m m 1 m Figua 3.. Una vez que se ha establecido la Ley de gavitación se comenzaá con la idea de la intensidad del campo gavitatoio o, simplemente, gavedad. La fueza gavitacional, de acuedo con Newton, es una fueza univesal en la que cada cosa atae a las demás. En otas palabas, es una fueza de atacción ente cuepos. El campo gavitatoio epesenta la inteacción gavitatoia y puede intepetase como la fueza gavitatoia po unidad de masa. El concepto intensidad de campo gavitatoio o simplemente de gavedad es el más intuitivo, a difeencia del concepto de fueza. En física, la aceleación de la gavedad se epesenta con el vecto g. Las unidades de la aceleación de la gavedad en el sistema MKS están dadas po m/s. Sobe la supeficie de un planeta típicamente esféico la aceleación de la gavedad está dada po: g GM sup = u (3.7) R 69

8 CinemátiCa y dinámica Donde G es la constante de gavitación univesal en N.m /kg, M es la masa del planeta en kg, R es el adio del planeta en m y u es un vecto unitaio que toma una diección hacia el cento del planeta. El valo de la constante de la gavitación univesal G en el sistema intenacional SI de unidades es de 6.67 x N m /kg (m 3 /kg m ). Los valoes de la aceleación de la gavedad en la supeficie de la Tiea vaían, de m/s (o en el sistema Inglés de 3.09 ft/s ) en el ecuado, hasta alcanza un valo de m/s (o de 3.6 ft/s ) en los polos; paa efectos de cálculo se usaá el valo apoximado de 9.81 m/s (o de 3. ft/s ). El valo de la aceleación de la gavedad tiene su valo máximo en la supeficie del planeta, disminuyendo de foma apoximadamente paabólica con la altua y de foma lineal con la pofundidad. La aceleación de la gavedad en la Tiea vaía según la altua. Paa el caso de una altua H sobe la supeficie teeste, el valo de la gavedad se encuenta deteminado po la siguiente fómula: GM g ( H) = ( R + H) Equivalentemente g puede definise como el peso po unidad de masa de un objeto que se encuenta sobe la supeficie de la Tiea. De esta manea: w g = m (3.9) La lista adjunta muesta la aceleación de la gavedad en el Sol, en las supeficies de cada planeta del Sistema Sola y en la Luna, tomando como efeencia su elación con el valo de g en la Tiea. Paa el caso de la Luna, la gavedad luna epesenta 0.16 veces la gavedad que existe en la Tiea. u Asto Facto de multiplicación Sol 7.90 Mecuio 0.37 Venus 0.88 Tiea 1.00 Luna 0.16 Mate 0.38 Júpite.64 Satuno 1.15 Uano 0.93 Neptuno 1. Plutón 0.06 (3.8) 70

9 Unidad 3 Ejemplo 1 Una chica de 55 kg y un muchacho de 77 kg se encuentan en un paque a una distancia de.5 m. Cuál es la magnitud de la fueza con la que se ataen? Usando la ecuación (3.6) y sustituyendo en ella los datos del enunciado. F Gm m = = = (.5m) 11 A B ( Nm kg )(55kg)(77kg) G N Este valo ealmente es una fueza muy pequeña, tal vez necesitan acecase más! Ejemplo Un objeto de masa igual a 50 kg se encuenta a una distancia de 6,380 km de la supeficie de la Tiea, calcula el valo de la magnitud de la gavedad y el peso de ese objeto a esa distancia. Si la masa de la Tiea es de 5.97 x 10 4 kg y el adio de la Tiea es de 6,380 km, sabiendo que la constante de la gavitación univesal es de 6.67 x m 3 /kg.m (N.m /kg ). En la fómula 3.8 se tiene que H = km = R, o sea, el adio de la Tiea, entonces: GM GM 1 GM m g( R) = = =.455 = ( R + R) ( R) 4 R s De la ecuación 3.9 el peso del objeto es: m w= mg = (50 kg).455 = 1.65 N s hacia el cento de la tiea. No hay que olvida que el peso es la fueza gavitacional que ejece la Tiea sobe cualquie objeto de masa m que se encuenta dento del campo gavitatoio; este peso se mide en Newtons (N) en el SI, que se define como: 1N (1 ) m = kg 1 s Ejemplo 3 Si el objeto del poblema anteio, de masa igual a 50 kg se colocaa en la supeficie de Venus, la Tiea, la Luna y Júpite, cuál seía el peso en cada caso? Paa Venus: w = (m) (g Venus ) = (m) (0.88g) = (50kg) (0.88) (9.81m/s ) = N hacia el cento de Venus Paa la Tiea: w = (m) (g Tieas ) = (m) (1.00g) = (50kg) (1.00) (9.81m/s ) = N hacia el cento de la Tiea 71

10 CinemátiCa y dinámica Paa la Luna: w = (m) (g Luna ) = (m) (0.16g) = (50kg) (0.16) (9.81m/s ) = N hacia el cento de la Luna Paa Júpite: w = (m) (g Júpite ) = (m) (.64g) = (50kg) (.64) (9.81m/s ) = 1,94.9 N hacia el cento de Júpite Ejecicios Realiza una investigación donde se elacione la Luna con las maeas.. Compaa la fueza de la gavedad aplicada sobe una bola hecha al auga una hoja de papel con la fueza de la gavedad aplicada a la misma hoja, peo sin auga. Justifica tu espuesta. 3. Si la masa del planeta Mecuio es de 3.3 x 103 kg y su adio de km, cuál es el valo de g en su supeficie? 4. Cuánto pesa un objeto de 38 kg colocado en la supeficie de Mecuio? 5. Cuánto pesaías si estuvieas paado en la supeficie de Mate? 6. Cuál seá el valo de g a una distancia del cento de la Tiea de 4 veces su adio si la masa de la Tiea es de 5.97x104 kg y el adio es de 6,380 km? 7. Dos baas metálicas, una de ellas de 500 kg y ota de 1,000 kg, se encuentan a una distancia de 4.5 m, con qué fueza se ataen? 8. Si la gavedad en la Luna es de 1.6 m/s, cuál seá el peso en la Luna de una pesona cuyo peso en la supeficie teeste es de 540 N? 9. Cuál debe se el valo de la gavedad en un planeta si el peso de un objeto sobe su supeficie es el tiple que sobe la supeficie de la Tiea? 10. Una oca de kg de masa se encuenta localizado en un punto sobe un planeta donde el adio mide 1.74x106 m. Si la masa del planeta es de 7.5 x 1,0 kg, detemina la fueza gavitacional que ejeceá el planeta sobe la oca. 3.. El movimiento de los planetas En el espacio se puede obseva expeimentalmente y de una manea claa el cumplimiento tanto de la ley de la gavitación univesal como de las tes leyes de Newton. Po ejemplo, la pimea ley de Newton se compueba si a un objeto, estacionado en el espacio y aislado de la influencia de fuezas extenas pomovidas po otos cuepos o planetas, se le aplica una fueza de manea instantánea; enseguida, se obsevaá alteado el estado de movimiento de este cuepo del estado estático al movimiento ectilíneo con velocidad unifome siendo este último el que se conseve de manea indefinida. A menos que ota fueza extena lo altee. 7

11 Unidad 3 Fue en el espacio, específicamente con el estudio del movimiento elativo ente la Tiea, la Luna y el Sol donde Newton se pecató de que la gavedad ea una de las fuezas que contolaba dicho movimiento de los planetas. El movimiento de los planetas es muy complejo, pues no sólo se involucan conceptos ya conocidos como la ley de la gavitación univesal y las tes leyes de Newton, sino que además es necesaio aboda nuevos conceptos que sugen y están elacionados con este movimiento. Po ejemplo: los planetas en geneal se mueven en tayectoias elípticas. Este movimiento tae como consecuencia que exista, en vez de una velocidad lineal, una velocidad angula; que haya aceleación debido al cambio continuo de diección del vecto de velocidad tangencial a lo lago de todo el movimiento y que tanto esta velocidad angula como la aceleación angula dependan del adio de gio del cuepo. Paa compende el movimiento de los planetas y en geneal de cuepos que gian en tono a un punto, es necesaio estudia lo que conocemos como las popiedades del movimiento cicula. La fenomenología obital que tanto Newton, como Galileo y Kepple estudiaon ceó la necesidad de asocia la ley de la gavitación univesal con las tes leyes de Newton y un fomalismo físico y matemático que explicaa y cuantificaa los paámetos asociados al movimiento alededo de los planetas como la velocidad angula, la aceleación angula, la fueza centípeta, etcétea. Lo que justifica que todo el conocimiento elacionado con el movimiento cicula, se pueda aplica a poblemas elacionados con el movimiento de planetas y estellas es que, en pincipio, se simplifican las óbitas de los planetas al considease ciculaes en luga de elípticas Movimiento Cicula Unifome (MCU) Paa estudia el movimiento cicula se va a considea el caso especial en el que un cuepo descibe una tayectoia cicula. Este movimiento tiene las siguientes caacteísticas (ve figua 3.3): (I) La velocidad v es un vecto tangente al cículo y po tanto, pependicula al adio. (II) Cuando se miden distancias a lo lago de la cicunfeencia del cículo, a pati de la posición del adio indicado con la leta se descibe un aco s que esta asociado al ángulo θ medido s en adianes de la siguiente manea: θ =. (III) La magnitud de la apidez del movimiento cicula es constante, es deci, ecoe acos iguales en tiempos iguales. 73

12 CinemátiCa y dinámica Figua 3.3. El que la apidez sea constante simplemente significa que la magnitud de la velocidad angula es constante. Hay que ecoda que el concepto de velocidad es de mayo complejidad que el de la apidez (simila al de la apidez y velocidad lineal). La velocidad es una cantidad vectoial y po tanto tiene magnitud, diección y sentido; mientas que la apidez sólo posee magnitud. La caacteística (II) tiene fuete elevancia en la compensión del movimiento cicula. El hecho s de que θ = significa que dado un ángulo, descito po un movimiento cicula, la elación s es constante e independiente del adio y es, po lo tanto, la medida del ángulo expesada en adianes. En s' otas palabas, si se elige el aco s, ahoa el adio asociado seá /, y po tanto la elación seguiá siendo igual a θ. Po eso se dice que s es constante e independiente del adio. Po consiguiente, si aplicamos el concepto de que la deivada de la posición con especto al tiempo ds ds ds dθ es la velocidad, esto es: v = y como s es una función de θ y de entonces: =. De acuedo dt dt dθ dt con lo ya explicado en el páafo anteio, s = θ po tanto: ds d θ = y esto implica que ds d θ =. La dt dt deivada d θ dθ significa la azón de cambio del ángulo descito con especto al tiempo: w =, que es dt dt pecisamente la velocidad angula que lleva el objeto al descibi un movimiento cicula. La unidad en el SI de la velocidad angula son las.p.m. (evoluciones po minuto) o.p.s. (evoluciones po segundo). Ejemplo 4 Paa conveti en adianes un ángulo expesado en gados es necesaio sabe que 360 son π adianes, o que 180 son π adianes. Po ejemplo, expesa en 30 adianes: π π 30 = 30 ad = ad

13 Unidad Velocidad angula y velocidad lineal Continuando con la expesión ds d θ =. Esta se puede eescibi como v = w, siendo v la dt dt velocidad lineal del objeto (el espacio s ecoido en el tiempo t que dua el movimiento). Po tanto: la velocidad angula se elaciona con la velocidad lineal mediante la espesión: v w = (3.10) Aceleación centípeta En el caso especial del MCU la aceleación es, en todo momento, nomal a la tayectoia del movimiento cicula. Además es diigida hacia el cento del adio de cuvatua. Esta apaece debido al cambio continuo de diección del vecto velocidad a lo lago de todo el movimiento, figua 3.3. Se le llama aceleación centípeta a c y su magnitud se obtiene dividiendo el cuadado de la velocidad ente el adio de la tayectoia: v ac = (3.11) Fecuencia y peiodo del M C U El númeo de vueltas completas que da un objeto en un segundo se llama fecuencia y se denota con f y su ecípoco, esto es, el tiempo que se emplea en da una vuelta completa se designa como peiodo y se denota con T: 1 T = y f 1 f = (3.1) T Dado que una evolución equivale a una vuelta de 360 = π adianes, entonces también se puede expesa la velocidad angula como: π w= = π f (3.13) T Po lo tanto, ota manea de expesa las unidades de apidez de MCU en el S.I. son los adianes ad po segundos s. 75

14 CinemátiCa y dinámica Fueza centípeta En el movimiento cicula se expeimentan dos tipos de fuezas: la tangencial, que es colineal a la velocidad tangencial del movimiento, es deci, al vecto v de la figua 3.3 y la centípeta, que es la componente de la fueza pependicula a la tayectoia y que tiene la misma diección que la aceleación centípeta. Su magnitud de acuedo con las ecuaciones 3.1 y 3.11: m v Fc = m ac = (3.14) Como eflexión, se te pide contesta lo siguiente elacionado con la fueza centípeta: 1. Halla una fómula paa F c, en función de la velocidad angula.. Cuando se gia un objeto atado a una cueda en un plano hoizontal, quién ejece la fueza centípeta? 3. Cuál es la causa de que la luna desciba su óbita alededo de la Tiea? 4. Se puede habla de aceleación centípeta en un movimiento ectilíneo? Ejemplo 5 Empleando las ecuaciones 3.1, 3.6 y 3.13, detemina la elación ente la masa del Sol y la masa de la Luna: F = ma = mw, 4π m m 1 w =, F = G T 1 La magnitud de la fueza gavitacional ente la Tiea y el Sol está dada po: F GM M T S TS = (3.15) TS De igual manea, la magnitud de la fueza gavitacional ente la Tiea y la Luna es: F GM M L L TL = (3.16) TL Dividiendo la ecuación (3.15) ente la (3.16) se obtiene: F F M = de donde TS S TL TL ML TS M F M F S TS TS = L TL TL como F TS = M T 4π T TL TL y F TL M = T 4π T TL TL 76

15 Unidad 3 Sustituyendo y eliminando la masa de la Tiea y eagupando téminos se llega a: S TL TS 7.3días m 8 L TS TL 365días m M T = = = M T El Sol es 330,000 veces más gande que la Luna! 5 Ejecicios Un disco de 15 cm de adio gia a 45 pm. Detemina la magnitud de la velocidad lineal en algún punto de su peifeia.. La ueda de una bicicleta de 30 cm de adio gia a azón de 00 vueltas po minuto. Cuál es la fecuencia del movimiento y la magnitud de su aceleación centípeta? 3. Colocamos pintua en la supeficie de una llanta de bicicleta de 30 cm de adio de modo que al gia vaya dejando dibujada una línea. Cuál seá la velocidad angula de la llanta si dibuja una línea de m en 3 segundos? 4. Un objeto amaado al extemo de una cueda de 50 cm de longitud gia con una velocidad angula de 300 pm. Detemina la magnitud de su velocidad lineal. 5. Detemina la aceleación centípeta que expeimenta un papalote el cual está giando como se muesta en la figua a 0.5m/s y la longitud de los cables es de 3m. 6. Calcula la fueza centípeta que expeimenta una bola de 3 kg que se encuenta amaada al extemo de una cueda de m de longitud la cual se hace gia en un plano hoizontal dando 1 vuelta completa en 4 segundos. 7. Detemina la velocidad angula del minuteo de un eloj. 8. Una máquina centifugadoa tiene un cilindo de 0.4 m de adio. Si la máquina tabaja a 560 pm, detemina la fecuencia del cilindo y la aceleación centípeta. 9. Detemina la fueza centípeta que expeimenta una cubeta de 5 kg que gia en un movimiento cicula con una velocidad lineal de 5 m/s si está amaada a una cueda de m. 10. Un competido de lanzamiento de matillo gia y expeimenta una velocidad lineal de 40 m/s. Si el matillo tiene una masa de 4.5 kg y el adio de gio es de 11 m, detemina la fueza centípeta expeimentada po el peso. 77

16 CinemátiCa y dinámica 3.3 Aplicaciones de la segunda ley de Newton En este apatado se explican aplicaciones de la segunda ley de Newton al estudio del movimiento de objetos de acuedo con su velocidad y posición. De acuedo con la ecuación 3.1: F neta = m a o F neta = m a Paa enconta una foma de detemina la fueza o fuezas que actúan sobe un objeto, ya sea que esté en eposo o en movimiento, hay que visualiza que el sistema puede consta de vaias pates, cada una de las cuales pesenta una aceleación y masa. La magnitud de F es una fueza neta, o sea, la fueza esultante que actúa sobe cada pate del sistema que es la suma de todas las fuezas que actúan sobe una deteminada pate. Después de esta obsevación, es útil sepaa las pates que constituyen al sistema y esquematiza un diagama de fuezas paa cada una. Estos diagamas eciben el nombe de diagamas de cuepo libe. En un diagama de cuepo libe cada objeto de estudio se puede epesenta como un punto con una deteminada masa, ya que paa la segunda ley no impota su foma ni su tamaño. Se ilustan además todas las fuezas que actúan sobe un deteminado objeto y hay dos que son muy impotantes, que son su peso, que actúa hacia abajo y la fueza de contacto de una supeficie hacia aiba. Si el objeto está en eposo en una supeficie hoizontal significa que la fueza de contacto es igual y opuesta al peso del objeto. Esta fueza de contacto es la fueza nomal que tiene una diección pependicula a la supeficie. Ejemplo 6 Una masa de kg es empujada po una fueza esultante de (a) 9 N, (b) 10 N, y (c) 15 N. Calcula las aceleaciones esultantes. (a) 9N 4.5 / kg a = = m s (b) 10N 5 / kg a = = m s (c) 15N 7.5 / a = = m s kg 78

17 Unidad 3 Ejemplo 7 Detemina las aceleaciones esultantes cuando una fueza constante de 10 N actúa sobe una masa de (a) kg, (b) 4 kg, y (c) 6 kg. (a) 10N 60 / kg a = = m s (b) 10N 30 / 4 kg 10N 0m / s 6 kg a = = m s (c) a = = Ejemplo 8 Detemina la aceleación que poduce una fueza de 150 Newtons que actúa sobe un cuepo cuya masa es de 5,000 gamos. Expesa el esultado en m/s de acuedo con la ecuación 3.1. a =? a = F/m a = 50 kg m/s. = 30 m/s F = 150 N 5 kg m = gamos = 5 kg Ejemplo 9 Detemina la masa de un cuepo si al ecibi una fueza de 500 Newtons le poduce una aceleación de m/s. Expesa el esultado en kg empleando la ecuación 3.1. m=? m = F/a m = 500 kg m/s F = 500 N m/s a = m/s m = 50 kg Ejemplo 10 Detemina la fueza que ecibe un cuepo de 10 kg, la cual le poduce una aceleación de 5 m/s empleando la ecuación 3.1. F =? F = ma F = (10 kg) (5 m/s ) m = 10 kg F = 50 kg m/s a = 5 m/s F = 50 Newtons 79

18 CinemátiCa y dinámica Ejemplo 11 Detemina el peso de un cuepo cuya masa es de 60 kg. Emplea la ecuación 3.9. w =? w = mg w = (60 kg) (9.8 m/s ) m = 60 kg w = 588 kg m/s g = 9.8 m/s w = 588 Newtons Ejemplo 1 Calcula la masa de un cuepo cuyo peso es de 580 Newtons empleando la ecuación 3.9. m =? m = w/g m = 580 N w = 580 N 9.8 m/s g = 9.8 m/s m = kg Ejemplo 13 Un objeto de 16 kg se desliza sin ficción po un plano inclinado que foma un ángulo con la hoizontal de 8 con ayuda de una cueda de masa despeciable. Oto objeto de masa 6 kg cuelga del oto extemo de la cueda que pasa po una polea (figua 3.4). Cuál seá la aceleación del sistema? x positiva y positiva 16 kg 6 kg 8 Figua 3.4. Dibujando pimeo los diagamas de cuepo libe paa ambos objetos (Figua 3.5), llamando al objeto de masa de 16 kg como m 1 y al de masa de 6 kg como m. 80

19 Unidad 3 y x F c F N F c1 w 1 = m 1 g w = m g Figua 3.5. Las aceleaciones de los objetos están elacionadas: a = a1 = a Las fuezas ejecidas sobe los objetos po la cueda cumplen la siguiente elación: F c = F c1 De acuedo con la segunda ley de Newton, paa cada objeto la fueza neta paa el objeto de masa m 1 es: F + w + F = m a N 1 c1 1 1 De acuedo con la segunda ley de Newton, la fueza neta paa el objeto de masa m es: F + w = m a c Tomando las componentes a lo lago de cada eje, paa el objeto 1: Componente x: Fc1 m1g senθ = m1a Componente y: F m cos 0 1g θ= Tomando las componentes a lo lago de cada eje, paa el objeto : Componente y: F c + mg = ma Sustituyendo el valo de F c1 en F c, y esolviendo la anteio ecuación se llega a: N Fc1 = ma + mg 81

20 CinemátiCa y dinámica Sustituyendo en la componente x se encuenta que la aceleación del sistema tiene el siguiente valo: ( m m1 8 ) 9.81 ( ) g sen m s kg kg sen a = = = 0.67m s m + m kg 1 En el ejemplo anteio se ignoan los efectos de la ficción. La fueza de contacto está epesentada po dos fuezas: F N, la fueza nomal y F k, la fueza de ficción que es paalela a la supeficie y opuesta a la velocidad. Ahoa se incopoa, figua 3.6, el efecto de la fueza de ficción en el estudio de los objetos en movimiento. Sólo se necesita inclui la fueza de ficción en el diagama de cuepo libe. La fueza de ficción cinética es llamada F k. Obsevando que: Figua 3.6. Fk FN Fk = µ kfn (3.17) Donde la constante de popocionalidad μ k es un númeo sin dimensiones que se denomina coeficiente de ficción cinética. La ecuación (3.17) puede escibise de acuedo con la componente en x, en el caso de que el movimiento sea totalmente hoizontal, es deci que no haya ningún ángulo con especto a la hoizontal y que no exista sobe el cuepo ninguna fueza difeente al peso. Ejemplo 14 F k = µ kw = µ kmg F = ma = µ mg x x k a µ = (3.18) g x k Tomando el ejemplo anteio, peo ahoa el cuepo de masa de 16 kg se desliza sobe un plano lubicado; el coeficiente de ficción cinética es μ k = 0.03 encuenta nuevamente la aceleación del sistema. 8

21 Unidad 3 Al igual que en el ejemplo anteio, tomando las componentes a lo lago de cada eje paa los dos objetos se tiene: Objeto m 1 : Componente x: Fk + Fc1 m1g senθ = m1a Componente y: F m cos 0 1g θ= Objeto m : N Componente y: Fc + mg = ma Sustituyendo F = m g cosθ, y N 1 Fk =µ kfn en la componente x, y esolviendo paa a: g( m m1µ k cosθ + sen θ) a = m + m 1 (9.81 )( cos8 + 8 ) m s kg kg sen a = =.69m s 16kg + 6kg Este esultado es, apoximadamente, la décima pate de la aceleación coespondiente al caso sin ficción. Fueza de ficción estática Existe ota fueza de ficción ente dos objetos que no están en movimiento, a esta fueza se le llama fueza de ficción estática, F s. Expeimentalmente se ha demostado que: F F F = µ F s,max N s s N (3.19) Donde μ s es el coeficiente de ficción estático, y es una epesentación del gado de adhesión de dos supeficies. Una foma de medi el coeficiente de ficción estática ente un objeto y la supeficie consiste en inclina el plano. El ángulo que esulta con la hoizontal justo antes de que el objeto comience a deslizase, se conoce como el ángulo cítico θ c de la ficción estática. Esta fueza es po tanto una fueza limite de ficción, la mayo fueza que se puede aplica a un objeto sin que se deslice sobe una supeficie es popocional a la fueza que de contacto. Se puede detemina μ s en función de θ c. 83

22 CinemátiCa y dinámica Nomalmente, paa un pa de supeficies dadas, μ s > μ k. Cuando el ángulo fomado ente el plano y la hoizontal se ajusta paa que el objeto se deslice con una velocidad constante se conoce como θ k. Ejemplo 15 Un bloque de 3 toneladas se encuenta en eposo sobe una supeficie cuando está inclinada un ángulo θ de 15. Si se supone un ángulo citico θ c de 39. (a) Qué valo tendá el coeficiente de ficción estático μ k? (b) Si θ k fomado ente el plano y la hoizontal se ajusta a 4, cuál seá el valo de μ k? (a) Cuando el bloque pemanece en eposo, las componentes de las fuezas son: Figua 3.7. Componente x: Fs mg senθ= 0, Fs = mg senθ Componente y: FN mg cosθ= 0 FN = mg cosθ Cuando θ = θ c µ sfn = mg senθc F = mg cosθ N sen θ Dividiendo estas expesiones y conociendo la identidad tigonomética de tan θ=, se obtiene que: cosθ µ s = tan θc µ s = tan 39 = 0.80 c Igualmente se puede conoce µ = tan θ = tan 4 = 0.90 k k 84

23 Unidad 3 Ejemplo 16 Detemina la tensión de la cueda y el peso del bloque si el sistema de la figua 3.8 pate del m eposo, si (a) el sistema adquiee una aceleación de 1 ; (b) el bloque llega al piso con una velocidad s m de cuando desciende un meto. s Figua Aplicando la ecuación 3.1 al bloque 1, y consideando positivas las fuezas en el sentido del movimiento del bloque 1, se tiene: F = m1 a1 ; la fueza que se aplica la bloque 1 es equivalente a la tensión de la cueda, y la masa del bloque 1 es: m A Peso 1 w = = 1 g g (aquí se está calculando un escala); po lo que tenemos paa el bloque 1: T = M1 a1 ; siendo T el vecto que epesenta la tensión de la cueda y T la magnitud de esta tensión. Como la aceleación del bloque 1 es la misma paa el bloque (debido a que están unidos po una cueda que pasa sobe una polea, la cual solo cambia la diección de la fueza.. Aplicamos ahoa la ecuación 3.1 al bloque, consideando positivas la fuezas en el sentido del movimiento del bloque, y de acuedo con el diagama de cuepo libe: F = M a ; como la única fueza que se aplica al bloque es la de la tensión de la cueda, y es la misma que se aplica en el bloque 1, 85

24 CinemátiCa y dinámica peo además, en la suma de fuezas se debe considea el peso del bloque, se tiene: T m g = m a (suma de magnitudes vectoiales); además, la aceleación es la misma paa ambos bloques, po lo que: T m g = m a. 3. Sustituyendo el valo de la tensión del bloque A en la ecuación del bloque, se tiene: m1 a m g = m a ; como se pegunta po el peso del bloque B, odenando: m1 a = m a + m g ; m( a + g) = m1 a y po tanto m = 19.6 Newtons 1.81 m = kg. ( ) s y m m1 a = a + g, 4. Po lo que el peso del bloque, es: w m g m s = = 1.81 kg 9.8 = Newtons. Respuesta. La tensión de la cueda, es: T = m a = 19.6 Newtons 1. También se puede compoba con la expesión: T = m a + m g ; m T = 1.81 kg Newtons = Newtons. s Ejemplo 17 En el sistema epesentado en la figua 3.9, el bloque A tiene un peso de 450 Newtons, el bloque B pesa 150 Newtons, si no hay ozamiento en la polea y el sistema pate del eposo, detemina: a) La aceleación del bloque A. b) La tensión de la cueda. c) La velocidad del bloque A cuando ha descendido m. d) La velocidad del bloque A al cabo de 3 segundos. 86

25 Unidad 3 Figua Aplicando la segunda Ley de Newton al diagama de cuepo libe del bloque A y consideando positivas la fuezas en el sentido del movimiento del bloque A: F = ma a. Manejando magnitudes vectoiales y sustituyendo valoes: 450 T = ma a ; la tensión T de la cueda y la aceleación es la misma paa ambos bloques, poque la polea tansmite la tensión.. Aplicando la segunda Ley de Newton al diagama de cuepo libe del bloque B y consideando positivas las fuezas en el sentido del movimiento del bloque B: F = m a ; Manejando magnitudes vectoiales y sustituyendo valoes: T 150 N = m a ; despejando la tensión de la cueda y sustituyéndola en la ecuación obtenida paa el bloque A: 450 N ( m a N) = m a B despejando la aceleación: 450 N 150 N ( ) Respuesta. A, 300 N 450 N N m 9.8 s m s = a ma + mb ; a = = 4.9 La tensión de la cueda, es: T = m a N m T = N 5 N m + = 9.8 s s B ; B B 87

26 CinemátiCa y dinámica Paa detemina la velocidad del bloque A al cabo de los 3 segundos, que seá la misma magnitud paa el bloque B: v v a t m m v = (3 s) = 14.7 s s f = 0 + ; fa Ejecicios El cable de un ascenso ejece hacia aiba una fueza de,000 N sobe una caja que tiene una masa de 1,600 kg. Cuál es su aceleación?. El coeficiente de ficción estático ente una caja de 40 kg y la platafoma de un camión es de. Detemina la aceleación máxima que adquiiá el camión a lo lago del piso nivelado si no deseas que la caja esbale. 3. La única fueza que se aplica a un objeto de 5 kg, tiene po componentes F x = 0 N y F y = 30 N. Encuenta la aceleación del objeto. 4. Una fueza F aplicada a un objeto de masa m 1 poduce una aceleación de 3 m/s. La misma fueza aplicada a un objeto de masa m poduce una aceleación de 1 m/s. (a) Cual es el valo de la popoción m 1 /m? (b) Si se combinan m 1 y m encuenta su aceleación bajo la acción de F. 5. Tes fuezas dadas po F = ( i + j )N, F = ( 5i 3j )N, y F = ( 45i) N actúan sobe un objeto 1 3 paa poduci una aceleación de magnitud 3.75 m/s a) Cuál es la diección de la aceleación? b) Cuál es la masa del objeto? c) Si el objeto inicialmente esta en eposo, cuál es su velocidad después de 15 s? d) Cuales son las componentes de velocidad del objeto después de 15 s? 6. Una bala de 5 g sale del cañón de un ifle con una apidez de 30 m/s. Qué fueza ejecen los gases en expansión tas la bala mientas se mueve po el cañón del ifle de 0.8 m de longitud? Supón aceleación constante y ficción despeciable. 7. Un hombe lanza hoizontalmente hacia el fente una pelota de béisbol de 1.4 N de peso a una velocidad de 3 m/s. Al acelea unifomemente su bazo duante 0.09 s. Si la bola pate del eposo. a) Qué distancia se desplaza antes de acelease? b) Qué fueza ejece el lanzado sobe la pelota? 8. Un objeto con una masa de 5 kg cuelga del extemo de una cueda que pasa po una polea sin ficción, y en el oto extemo cuelga una masa de 1 kg, figua Encuenta la aceleación de las masas y la fueza de tensión en la cueda. 88

27 Unidad 3 Figua Considee los tes bloques conectados que se muestan en el diagama de la figua Si el plano inclinado es sin ficción y el sistema esta en equilibio, detemine (en función de m, g y θ). a) La masa M. b) Las tensiones T 1 y T. Figua Si se duplica el valo encontado paa la masa suspendida en el inciso a) del ejecicio anteio, detemina: a) La aceleación de cada bloque. b) Las tensiones T 1 y T. 11. Una bolsa de cemento de 400 N de peso cuelgan de 3 alambes como muesta la figua 3.1. Dos de los alambes foman ángulos θ 1 = 70 y θ = 30 espectivamente, con la hoizontal. Si el sistema esta en equilibio encuenta las tensiones T 1, T y T 3. 89

28 CinemátiCa y dinámica Figua El sistema que se indica en la figua 3.13 pate del eposo, si no hay ningún tipo de ozamiento y la polea es de peso despeciable, detemina: a) La tensión de la cueda. b) La aceleación de los bloques. c) La velocidad de los bloques al cabo de 3 segundos. Figua

29 Unidad 3 Simbología g = aceleación de la gavedad. G = constante de la gavitación univesal. M = masa del planeta. R = adio del 10planeta. w = peso de un objeto. F G = fueza gavitacional. m = masa del objeto. a = aceleación de un objeto. F k = fueza de ficción cinética. F s = fueza de ficción estática. µ k = coeficiente de ficción cinética. µ s = coeficiente de ficción estático. 91