Cristales metálicos. Química Física del Estado Sólido U A M

Transcripción

1 Cristls mtálicos Químic Físic dl Estdo Sólido U A M

2 Cristls mtálicos Contnidos El gs d lctrons librs Monodimnsionl - Enrgí d Frmi; dnsidd d stdos; nrgí totl Tridimnsionl Efcto d l tmprtur: Distribución d Frmi-Dirc Elctrons n un potncil priódico Onds plns; rd d Brvis; cld unidd primitiv; rd rcíproc; cld d Wignr-Sitz; primr zon d Brillouin Funcions d Bloch Bnds QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

3 Bibliogrfí Th Physicl Chmistry of Solids,, R. J. Borg nd G. J. Dins, (Acdmic Prss, Sn Digo, 99). Solid Stt Physics, N. W. Ashcroft nd N. Dvid Mrmin, (Thomson rning, 976). [Cps., 4, 5, 8 y 9] Elctronic Structur of Mtrils, A. P. Sutton, (Clrndon Prss, Oford, 993). QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

4 Cristls mtálicos El nlc mtálico s spcífico d fss condnsds. (Trdicionlmnt, s trtdo muy suprficilmnt dsd l químic.) Un punto d vist ( químico ): tnsión d t. MO; grn bundnci d MOs; bnds (no muy convincnt como torí simpl; muchs custions por contstr) Otro punto d vist ( físico ): tnsión rfind d un torí dl gs d lctrons librs Modlo d Bnds. no port un plicción simpl d ls furzs d cohsión ntr los átomos d un mtl s l bs d l comprnsión d conductividd y mgntismo cálculos (b initio o smimpíricos) cso cso Ductilidd; ntlpís d fusión pquñs (5-0 kcl/mol) pérdid d priodicidd cristlin no jug un ppl dtrminnt n l nlc mtálico. Un modlo d prtid: Gs d lctrons librs QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

5 El gs d lctrons librs QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

6 Gs d lctrons librs (monodimnsionl( monodimnsionl): El modlo Distribución monodimnsionl d lctrons librs (*) con un dnsidd lctrónic d, d N lctrons por sgmnto d longitud. N lctrons 0 (*) Cd lctrón s muv somtido l potncil crdo por todos los dmás y s cpt qu ést s l mismo pr todos los lctrons y n culquir punto dl spcio disponibl pr todos los lctrons. h m ψ ( ) ψ ( ) ψ ( + ) ψ ( ) [condicions d contorno priódics (Born-von Krmn)] quivln construir un mcrord d priodicidd Atnción: ésts NO son ls condicions d priodicidd nturls dl cristl; sólo son condicions d contorno rzonbls QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

7 Gs d lctrons librs (monodimnsionl( monodimnsionl): Nivls prmitidos ik h ψ ( ) Nk ; ( k ) ; k m c.c. i k ik ik k i k, ± π, ± 4π, n π 0 π k n Nivls prmitidos π ( 0, ±, ±,) n 0 sik k ik ik cos k sn k 0 k [ ] ; π π 0 π π 3 π k QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

8 Gs d lctrons librs (monodimnsionl( monodimnsionl): Nivls ocupdos T0 3 N s muy grnd (dl ordn d ) 0 Principio d Puli máimo d lctrons / nivl lctrónico ocupdo Último nivl ocupdo (nivl d Frmi): ( n ) N ; + n N N ;, F π N π k, F n, F d Enrgí d los nivls ocupdos: Enrgí d Frmi: h π 8m F d 4, F π h m h m n 4π, F N 4 ( k ) k n n h m ( n, ±, ±,, ± N 4) 0 muy grnd distribución qusi-continu d nivls l nivl 0 s sul omitir QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

9 Gs d lctrons librs (monodimnsionl( monodimnsionl): Nivls h m ( k ) k nivls vcíos nivls ocupdos Enrgí d Frmi F N π N π 4 ª (mcro) zon d Brillouin (d l mcrord d priodicidd ) N π QFES. Cristls mtálicos. U.A.M N π + 4 k

10 Gs d lctrons librs (monodimnsionl( monodimnsionl): Dnsidd d stdos Númro d stdos cuy nrgí stá comprndid ntr y D ( ) d Númro d stdos cuyo vctor d ond stá comprndid ntr D( k ) D ( k ) dk π stdo unidds d longitud dl j k ( m ) π / m dk d / π m d π h π 3/ / h k k dk y + k + dk d h k m h d k dk m h( ) / m m dk D ( ) m hπ / 3/ / D( ) QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

11 Gs d lctrons librs (monodimnsionl( monodimnsionl): Enrgí totl E T 0 F D( ) d E T / m F π / 0 / h d m hπ / / 3 3/ F Enrgí mdi por lctrón h π 4 3 m N d h π 8m F d E N T h π 48m d 6 F QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

12 Gs d lctrons librs Distribución tridimnsionl d lctrons librs (*) con un dnsidd lctrónic, d, d N lctrons n un volumn V. h m ˆ r r ψ ( ) ψ ( ) [condicions d contorno priódics (Born-von Krmn)] ψ ( +, y, z) ψ (, y, z) ψ (, y +, z) ψ (, y, z) ψ (, y, z + ) ψ (, y, z) π k n ky ny 0, ±, ±, ( ) n r k ( k k, k );, y z ( 0, ±, ±,) n y π kz nz r r r r ik h ψ r ( ) C ; k ( k ) k m ( 0, ±, ±,) QFES. Cristls mtálicos. U.A.M n z π

13 k y Gs d lctrons librs π k Númro d stdos prmitidos por unidd d volumn dl spcio : V 3 3 ( π ) 8π k r k y Númro d stdos prmitidos n un sfr dl spcio d rdio : k r k F k V 3 8π 4 πk 3 V 6π 3 3 F k F QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

14 Gs d lctrons librs: Nivls ocupdos T0 Último nivl ocupdo (nivl d Frmi): N 3 k F 3 ; k 3π V 3π F d V 6 π 3 k F N (vctor d ond d Frmi) h h Enrgí d Frmi: Enrgí dl último nivl ocupdo T0 F kf (3π ) Esfr d Frmi: Esfr dl spcio k r m m qu contin todos los stdos ocupdos T0 n l gs d lctrons librs. Suprfici d Frmi: Suprfici dl spcio k r qu contin todos los stdos ocupdos T0 n un cristl ddo; n gnrl no s un suprfici sféric. Momnto linl d Frmi: Vlocidd d Frmi: p F k F v F p F h m k F h m /3 Constituid por todos los puntos dl spcio qu tinn nrgí F k r d /3 Tmprtur d Frmi: F k B T F QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

15 Gs d lctrons librs: Dnsidd d stdos Númro d stdos cuyo vctor d ond tin un módulo comprndid ntr y D ( k) dk V 4πk dk 3 V D ( ) d 4πk dk 3 8π 8π stdos por unidd d volumn dl spcio k r volumn dl spcio k r k ( m ) comprndido ntr y k k + dk h k m / V m Vm 3/ / 4π d d 3 8π h h π 3 / h ; k + dk d h m kdk 3/ Vm D ( ) 3 / h π / D( ) QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

16 Gs d lctrons librs: Enrgí totl y otrs propidds E T 0 F D( ) d E T V m h π 5 3/ 3/ 4/3 5/3 5/ h π 3 / 3 3 F Enrgí mdi por lctrón: E N T 0m h π 0 Vrición d l nrgí d Frmi con l volumn: Prsión (intrn) dbid l gs d lctrons: Módulo d comprsibilidd dl gs d lctrons: 3 m N d 4/3 5/3 /3 3 d F 5 F F V 3V E P 3V 0E B 9V T T /3 /3 F (3 ) d hm π QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

17 Distribución d Frmi-Dirc Ddo un conjunto d N lctrons n quilibrio térmico l tmprtur T, l probbilidd d qu hy un lctrón ocupndo l nivl d nrgí i vin dd por: p i p( i ) ( i F ) k T B + Númro totl d lctrons: N p i i p( ) D( ) d + si l nrgí d los nivls vrí d form qusi-continu QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

18 Distribución d Frmi-Dirc QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

24 Propidds térmics dl gs d lctrons librs Númro totl d lctrons N + 0 p( ) D( ) d 3/ Vm 3 h π 3/ Vm 3 h π / / + / 0 ( F ) k B T 3 3/ F + d Enrgí totl lctrónic l tmprtur E T + 0 p( ) D( ) d T 3/ Vm 3 / h π + 3/ 0 ( F ) k B T Cpcidd clorífic lctrónic volumn constnt, l tmprtur T p( ) T C V lc +, D( ) 0 d + d QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

25 Cpcidd clorífic lctrónic V constnt númro d lctrons qu s citn ( T) T ~k B nrgí gnd por cd lctrón qu s citn ( T) ~k B T QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

26 Cpcidd clorífic lctrónic V constnt númro d lctrons qu s citn ( T) T ~k B nrgí gnd por cd lctrón qu s citn ( T) ~k B T QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

27 Cpcidd clorífic lctrónic V constnt númro d lctrons qu s citn ( T) T ~k B nrgí gnd por cd lctrón qu s citn ( T) ~k B T nrgí térmic ( T) cpcid clorífic lctrónic volumn constnt ~ k B T ~T QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

28 QFES. Cristls mtálicos. U.A.M Cpcidd clorífic lctrónic V constnt Cpcidd clorífic lctrónic V constnt por volumn V dl mtl (qu contin N lctrons) d D T p C lc V + 0, ) ( ) ( ( ) [ ] T k T k T p B F B F 4cosh ) ( d T p D C F lc V + 0, ) ( ) ( d D p E T + 0 ) ( ) (

29 C V, lc D( Cpcidd clorífic lctrónic V constnt D( ) D( ) p( ) T + F d 0 + F F ) 0 kbt 4cosh F + k B T T (kbt + F ) 4cosh F d [( ) k T ] F B F ; kbt + F ; d kbtd k T k B T B d C V, lc (kbt + F ) cosh D( + F ) k B d QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

30 Cpcidd clorífic lctrónic V constnt C V, lc D + ( F ) kbt kbf + cosh cosh + d 0 cosh d + cosh d π 6 por volumn V dl mtl (qu contin N lctrons) C π D( F kbt vrición linl con 3 V, lc ) T b pndint proporcionl D( F ) QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

31 Cpcidd clorífic lctrónic V constnt por volumn V dl mtl (qu contin N lctrons) Gs d lctrons librs C V, lc π Nk F B T D Vm h π 3/ / ( F ) 3 / F /3 /3 F (3 ) d hm π N d V por mol d mtl p.j. mtl monotómico C N n, conna π V, lc n, con NAkBT bt kb F b n, con π R T F tmprtur mbint π k T C 3N B V lc n,, con 6 F A k B π T 6 T n, con CV, vib F ~ 0 C V, vib QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

32 Elctrons n un potncil priódico QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

33 Onds plns Ond pln qu s propg n l dircción dl spcio rl : ik r k r r r, r k ( k, k, k ) y (, y z) z rls rls QFES. Cristls mtálicos. U.A.M r propg r k l vlor d l ond pln s constnt n culquir plno dl rr k spcio rl qu s prpndiculr k r k + kyy + kzz C k r C (un plno pr cd vlor d ) l vlor d l ond pln s priódico lo lrgo d líns k r prlls, con priodicidd dd por p.j., n l k r ik ik ik yy ikyy pˆ kh ; pˆ y kyh ; r r p kh λ π k dircción d k r ikr ik r+ ) s un momnto linl; s conoc como l vctor d ond pˆ z ik z z ( λ k z h ik z z

34 Rd d Brvis: Rd d Brvis; Cld unidd primitiv Conjunto d puntos discrtos cuyo vctor d posición vin ddo por r R r r r n n + n + n3, n, n3 3 r r r,, 3 ntros no coplnrs (dfinición ltrntiv) Rd infinit d puntos discrtos, cuy distribución y orintción s idéntic n todos los puntos d l mism. jmplo d rd d Brvis bidimnsionl jmplo d rd bidimnsionl qu no s d Brvis Cld unidd primitiv: Volumn dl spcio qu, trslddo todos los puntos d un rd d Brvis, lln todo l spcio sin vcíos ni solpmintos: Gnr l cristl complto. QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

35 Rd rcíproc (d un rd d Brvis) { } R r (, ) S un rd d Brvis, d priodicidd Rd rcíproc: r r, Un ond pln culquir no tin, n gnrl, l priodicidd d s rd d Brvis, pro sí k r l tin si su vctor d ond punt n cirts dirccions y tin cirts longituds. { } K r Conjunto d vctors d ond cuys onds plns tinn l mism priodicidd qu l rd d Brvis (o rd dirct) r r r r r r ik ( + R) ikr rd dirct ikr { } K r r r { R r } { K r } 3 rd rcíproc Cso d un rd dirct cúbic: K n π K y n π K z 3 n 3 π Cd punto d un rd rcíproc rprsnt un ond pln con ls misms condicions d priodicidd qu l rd dirct. Si un ond pln tin ls misms condicions d priodicidd qu l rd dirct, stá rprsntd por lgún punto d l rd rcíproc. QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

36 Rd rcíproc (monodimnsionl) rd dirct cld unidd primitiv ik K n π n 0, ±, ±, ª zon d Brillouin rd rcíproc k 4π π 0 π 4π QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

37 Priodicidd d ls onds plns (monodimnsionls) rd dirct ond pln π i priodicidd n l dircción d propgción λ π k tin l priodicidd d l rd dirct ª zon d Brillouin rd rcíproc k 4π π 0 π 4π QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

38 Priodicidd d ls onds plns (monodimnsionls) rd dirct ond pln 4π i priodicidd n l dircción d propgción λ π k tin l priodicidd d l rd dirct ª zon d Brillouin rd rcíproc k 4π π 0 π 4π QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

39 Priodicidd d ls onds plns (monodimnsionls) rd dirct ond pln 0.8π i priodicidd n l dircción d propgción λ π k.5 NO tin l priodicidd d l rd dirct ª zon d Brillouin rd rcíproc k 4π π 0 π 4π QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

40 r ( 0, ) r (,0) Rd rcíproc (bidimnsionl) rd dirct rd rcíproc r R r r l + l ( l, l ) r K r mk r + mk ( m π, m π ) r K ( 0,π ) r r K R ( lm + lm ) π π n r K ( π,0) QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

41 Priodicidd d ls onds plns (monodimnsionls) rd dirct r ( 0, ) r (,0) rd rcíproc ond pln π π p i + y priodicidd n l dircción d propgción r K ( 0,π ) λ π k p.j.: r K ( π,0) tin l priodicidd d l rd dirct QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

42 Rd rcíproc (bidimnsionl) rd dirct r r R l r + l r (, 3 ) r (,0 ) rd rcíproc l l, l 3 ) ( + r K r mk r + mk m 3, m + m ) 4 3 ( π r K (0,) 4 3 π r K ( 3, ) 4 3 π r r K R ( lm + lm + lm ) π π n QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

43 Cld primitiv d Wignr-Sitz Cld d Wignr-Sitz n torno un punto d un rd d Brvis: Rgión dl spcio qu stá más próim dicho punto qu culquir otro d s rd d Brvis Contrucción prácit: Trzr líns dsd s punto hst sus primros vcinos d l rd d Brvis; trzr plnos bisctrics d ls misms; tomr l polidro limitdo por dichos plnos qu contin l punto d l rd d Brvis d rfrnci. QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

44 Primr zon d Brillouin Primr zon d Brillouin: cld d Wignr-Sitz n torno un punto d l rd rcíproc ª zon d Brillouin π k π k 4π π 0 π 4π ª zon d Brillouin k k rd rcíproc π 3π 3π π Dl mismo modo qu un cld primitiv unidd contin tod l informción sobr l structur d un cristl, l primr zon d Brillouin contin tod l informción sobr ls onds plns qu s propgun n s cristl. QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

45 Elctrons n un potncil priódico: Torm d Bloch / V ( ) V ( + ) ~ Å ~ 0 6 Å 0 / rd dirct N Torm d Bloch: h m ˆ + V ( ) ψ nk ( ) V ( ) V ( + ) nk ψ nk ( ) ik ψ n ( ) U ( ) k nk con U ) U ( ) n k ( nk + s funcions propis d l c. d Schrödingr con un potncil priódico son onds plns multiplicds por un función priódic (con l mism priodicidd qu l potncil) QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

46 Elctrons n un potncil priódico: Torm d Bloch ik ψ ( ) U ( ) con U ) U ( ) n k nk n k ( nk + o, ltrntivmnt: En trs dimnsions: ik ψ nk ( + ) ψnk ( ) r rr ikr r r r r ψ r ( ) U v ( ) con U v ( ) U v ( + R) nk nk nk nk r r r r ikr r ψ r ( + R) ψ v ( ) nk nk QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

47 Elctrons n un potncil priódico: Estdos prmitidos Priodicidd microscópic, nturl n l cristl Condicions d Bloch ik ψ nk ( + ) ψ ( ) nk ikn ψ ( + N ) ψ ( nk nk ) Priodicidd scl mcroscópic, impust rbitrrimnt Condicions d Born-von Krmn ψ ( + ) ψ ( ) nk ψ ( + N) ψ ( ) nk nk nk k i N π k N m π ; k m ; N k ( 0, ±, ±,) En l j (dl qu lgunos d sus puntos constituyn l rd rcíproc) hy un stdo prmitido por cd sgmnto d longitud QFES. Cristls mtálicos. U.A.M m π N os stdos prmitidos d un lctrón n un potncil priódico tinn los mismos vlors d qu los stdos prmitidos dl Gs d Elctrons ibrs! k

48 Elctrons n un potncil priódico: Estdos prmitidos π ψ nk ( k m ; ( m 0, ±, ±,) N Estdos prmitidos: ) ª zon Brillouin rd rcíproc k 4π π π N 0 π N 4π N π 6π N 4π En un cld primitiv d l rd rcíproc, l númro d stdos prmitidos s: π π N unidds long. j k / cld primitiv rr unidds long. j k / stdo prmitido N stdos prmitidos cld primitiv rr El númro d stdos prmitidos n l primr zon d Brillouin s igul l númro d clds primitivs dl cristl. QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

49 Elctrons n un potncil priódico: Bnds Un función con condicions d contorno Born-von Krmn pud prsrs como combinción linl d tods ls onds plns qu stisfgn dichs condicions d contorno [porqu son todos los stdos prmitidos d un gs d lctrons librs con cc B-vK] N iq π π q ; q ; m m N ( 0, ±, ±,) ψ ( ) C q GE V ( ) V ( + ) Un potncil priódico pud prsrs como combinción linl d tods ls onds plns qu tngn l mism priodicidd (l dl cristl) [qu son los lmntos d l rd rcíproc] π ik ; K n ; V ( ) q iq QFES. Cristls mtálicos. U.A.M m ( n 0, ±,, ) K RR K ik ±

50 Elctrons n un potncil priódico: Bnds Método vricionl linl [omitimos los subíndics ]. Cálculo d l mtriz dl Hmiltonino,, n l bs d onds plns dl gs d lctrons librs N q iq Tˆ q i N C q T ˆ +V. mtriz d nrgí cinétic s digonl [s l cso d GE] N q iq V ( ) δ iq q δqq GE( q) N iq q K RR K RR K N q qq iq h q m b. s intrccions ntr onds plns sólo procdn dl potncil priódico K δq, q + K K RR N q iq N q K iq N q iq N ik q N q i( q + K ) K δq, q + K K RR iq Sólo s copln (s mzcln) onds plns cuyos vctors d ond difirn ctmnt n lgún vctor d l rd rcíproc q q + K QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

51 Elctrons n un potncil priódico: Bnds Convin scribir q k Kq d modo qu k sindo K ª zon Brillouin q ª zon d Brillouin un vctor d l rd rcíproc p.j. k π 0 ntoncs q q + K k Kq q + K ; k π K q 4π k ( K ) q + K k Kq q s onds plns qu s copln por l potncil priódico s corrspondn k un mismo dsplzminto d dos puntos distintos d l rd rcíproc os stdos lctrónicos n un potncil priódico s pudn crctrizr k con un vctor d ond d l ª zon d Brilloin q q k K q q k K q ψ k () QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

52 Elctrons n un potncil priódico: Bnds ª zon Brillouin k π 0 π 4π π + k k + k ist d onds plns qu contribuyn l función d ond π 4π + k 6π + k ψ k () ψ ( ) k K RR C k K i( k K ) k ª zon d Brillouin. Digonlizción d l mtriz dl Hmiltonino Ck K Rsultn tntos stdos como onds plns contribuynts () ψ nk QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

53 Elctrons n un potncil priódico: Bnds Ĥ k π +k π +k 4π +k 4π +k 0 0 k + k π π + k + k 4π + k 4π k + k π QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

54 QFES. Cristls mtálicos. U.A.M m π h Nivls dl GE(m) n rprsntción d zon rducid Nivls dl GE(m) n rprsntción d zon rducid k k k π k π + k π k π + 3 k π 3 k π + π 4 π π 4 π k 0

55 Elctrons n un potncil priódico: Bnds Modlo simplificdo: Intrcción ntr stdos dl gs d lctrons librs d nrgí prcid N k K ik N k i( k K ) GE ( k) Vk, k K GE Vk, k K ( k K) H H H H ( H )( H ) H 0 ( H + H ) H + H H 0 ( H + H ) ± + H H H ( k) K) GE GE ( ( k) + ( k K) ) ± + k GE GE V k, k K ( k k, k Punto k K (plno d Brgg) k GE ( k ) ± VK QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

56 Elctrons n un potncil priódico: Formción d bnds Intrcción kk K π k π QFES. Cristls mtálicos. U.A.M π π

57 Elctrons n un potncil priódico: Formción d bnds Intrcción kk K π 0 π QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

58 Elctrons n un potncil priódico: Formción d bnds Intrcción kk K N/ stdos dl GE N/ stdos dl GE N/ stdos dl GE π 0 π QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

59 Elctrons n un potncil priódico: Formción d bnds Intrcción kk K N/ stdos dl GE N/ stdos dl GE N/ stdos dl GE π 0 π QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

60 Elctrons n un potncil priódico: Bnds Esqum d zon tndid bnd d N stdos spcido ntr bnds (bnd gp) V K bnd d N stdos π 0 π QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

61 Elctrons n un potncil priódico: Bnds Esqum d zon rducid bnd d N stdos spcido ntr bnds (bnd gp) bnd d N stdos V K π 0 π π QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

62 Elctrons n un potncil priódico: Bnds N N lctrons/cld primitiv unidd < bnd (d vlnci) incomplt [conductors] Enrgí d Frmi (nivl d Frmi) si bnd (d vlnci) lln [islnts y smiconductors intrínscos] > ; < 4 bnd (d vlnci) incomplt [conductors] 4 bnd (d vlnci) lln [islnts y smiconductors intrínscos] 0 π N N N N QFES. Cristls mtálicos. U.A.M N N N N 4 3

63 Bnds (bidimnsionls), lo lrgo dl j (k,0) d l ªZB, n rprsntción d zon rducid spcio rcíproco y rd rcíproc (d un rd d Brvis bidimnsionl cudrd) k y k QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

64 Nivls dl GE(b) lo lrgo dl j (k,0) d l ªZB, n rprsntción d zon rducid h π m ( 4π,0) k ( + π,0) k ( k π,0) ( k,0) π π π k ª ZB π k QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

65 Nivls dl GE(b) lo lrgo dl j (k,0) d l ªZB, n rprsntción d zon rducid h π m ( 4 π, ± π ) k ( k + π, ± π ) 4π,0) k ( k + π,0) ( k π, ± π ) (,± π ) k ( k π,0) ( k,0) π π π k ª ZB π k QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

66 Nivls dl GE(b) lo lrgo dl j (k,0) d l ªZB, n rprsntción d zon rducid h π m π π π k ª ZB π ( k π, ± 4π ) ( k,± 4π ) ( 4 π, ± π ) k ( k + π, ± π ) 4π,0) k ( k + π,0) ( k π, ± π ) (,± π ) k ( k π,0) ( k,0) k QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

67 Nivls dl GE(b) lo lrgo dl j (k,0) d l ªZB, n rprsntción d zon rducid h π m π π π π k QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

68 Nivls dl GE(b) lo lrgo dl j (k,0) d l ªZB, n rprsntción d zon rducid h π m π π π π k QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

69 Suprfici d Frmi F X y Primr zon d Brillouin QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

70 QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

72 Digrm d bnds dl KI QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

74 Elctrons n un potncil priódico: Dnsidd d stdos Númro d stdos n un intrlo difrncil d nrgí n torno : dn stdos D( ) d Dnsidd d stdos n torno l nrgí : D( ) D( ) modlo linl Enrgí d Frmi (nivl d Frmi) si N N 4 N N 3 0 π N N N N QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

75 Elctrons n un potncil priódico: Dnsidd d stdos Dnsidds d ocupción T0 Gs d lctrons librs tridimnsionl D( ) Conductor mtálico tridimnsionl D( ) F F Aislnt tridimnsionl D( ) gp Smiconductor intrínsco tridimnsionl D( ) gp F F QFES. Cristls mtálicos. U.A.M

76 Elctrons n un potncil priódico: Dnsidd d stdos Dnsidds d ocupción T>0 Gs d lctrons librs tridimnsionl D( ) Conductor mtálico tridimnsionl D( ) F F Aislnt tridimnsionl D( ) gp Smiconductor intrínsco tridimnsionl D( ) gp F F QFES. Cristls mtálicos. U.A.M