Los problemas de la medición cuántica sin decoherencia

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1 Vann, Leonardo Los problemas de la medcón cuántca sn decoherenca Esta obra está bajo una Lcenca Creatve Commons rgentna. trbucón - No Comercal - Sn Obra Dervada Documento descargado de RID Repostoro Insttuconal de cceso berto de la Unversdad Naconal de Qulmes Cta recomendada: Vann, L. (2012). Los problemas de la medcón cuántca sn decoherenca (Tess de posgrado). Unversdad Naconal de Qulmes, Bernal, rgentna. Dsponble en RID Repostoro Insttuconal de cceso berto Puede encontrar éste y otros documentos en:

2 Vann, Leonardo, Repostoro Insttuconal Dgtal de cceso berto, dcembre de 2012, pp. 105, Unversdad Naconal de Qulmes, Secretaría de Posgrado, Doctorado en Cencas Socales y Humanas. Los problemas de la medcón cuántca sn decoherenca Leonardo Vann TESIS DOCTORL daeos@gmal.com Resumen En la teoría cuántca de la medcón exsten dos problemas centrales: el problema de la lectura defnda y el problema de la base preferda. El prmer problema consste en el hecho de que la teoría no puede dar cuenta de valores ben defndos regstrados como resultados en la medcón, puesto que predce que el estado fnal del sstema y aparato es una superposcón sn valor defndo. El segundo problema consste en el hecho de que bajo certas crcunstancas (referdas a la preparacón del estado del sstema a medr) la teoría no puede dar cuenta, además, de una base ben defnda de estados a la cual pertenece el resultado obtendo en la medcón. Hstórcamente la pretendda resolucón a estos problemas vene de la mano del formalsmo de decoherenca, el cual se ha desarrollado como un ntento de encontrar el lmte clásco de la mecánca cuántca. El objetvo prncpal de esta tess consste en brndar una respuesta a los menconados problemas sn apelar a decoherenca alguna. Respecto del problema de la base preferda presente en las correlacones del estado fnal de la medcón, mostraremos que, en lugar de resolverse apelando a una nteraccón posteror con el entorno, tal como en la teoría de la decoherenca, puede ser resuelto analzando el proceso prevo a dcho estado fnal sn la necesdad del entorno. La esenca del procedmento consste en reconsderar la medcón, no como la mera correlacón que se manfesta en el estado fnal, sno como el proceso capaz de establecerla. Desde esta nueva perspectva es posble dferencar dstntos procesos que conducen a dstntas correlacones, ndependentemente de que éstas puedan vncularse matemátcamente medante un cambo de base. La elmnacón de la ambgüedad de la base se logra al determnar qué proceso es caracterzado por el operador de evolucón que conecta el estado ncal de la medcón con el fnal. Estrctamente hablado, el problema no queda resuelto, sno más ben dsuelto, al consderar que la medcón nvolucra todo el proceso que desemboca en una correlacón fnal, y ello sn la necesdad de agregar nteraccones posterores con sstemas como el entorno. Respecto del problema de la lectura defnda nuestro objetvo es un poco más modesto. No vamos a resolver el problema estrctamente sno que, en el marco de ese problema, brndaremos una respuesta a la ncompatbldad que establece el postulado del colapso respecto de las evolucones untaras. La estratega aquí es ncorporar los aparatos de medcón en el cálculo de las probabldades condconales establecdas para una secuenca de dos medcones. sumendo valores defndos para la prmera, demostramos que el postulado del colapso sobre el sstema puede ser dervado del propo formalsmo de la teoría cuántca, aun cuando el sstema compuesto que ncluye a los aparatos nunca abandona la evolucón untara que predce la ecuacón de Schrödnger

3 Prólogo Introduccón Capítulo 1. Nocones báscas de la mecánca cuántca 1.1 Observables y propedades 1.2 Estados y probabldades 1.3 Estados puros y estados mezcla 1.4 Estados reducdos de sstemas compuestos 1.5 El prncpo de superposcón 1.6 El prncpo de ncerteza 1.7 La evolucón de los estados cuántcos Capítulo 2. Los problemas de la medcón cuántca 2.1 La teoría cuántca de la medcón Prmera etapa: preparacón Segunda etapa: nteraccón 2.2 El problema de la lectura defnda Copenhague y la hpótess del colapso Las nterpretacones modales La nterpretacón subjetva de Wgner Everett y la multplcdad de mundos 2.3 El problema de la base preferda Capítulo 3. El formalsmo de decoherenca 3.1 Idea básca y antecedentes 3.2 La teoría de la decoherenca 3.3 lgunas crítcas a la decoherenca Capítulo 4. Valores defndos sn decoherenca 4.1 Medcones deales 4.2 Medcones no deales Capítulo 5. Base preferda sn decoherenca 5.1 Condcón de macroscopcdad en el expermento de Stern y Gerlach 5.2 El aparato de cuatro luces 5.3 Deteccón de entdades lngüístcas? 5.4 Cuál juego de saldas? Capítulo 6. Conclusones péndce. La matemátca de la mecánca cuántca.1 Campo de complejos.2 Espacos y subespacos vectorales.3 Producto nterno.4 Operadores lneales.5 Producto tensoral Bblografía Repostoro Insttuconal Dgtal de cceso berto, Unversdad Naconal de Qulmes

4 Prólogo Toda teoría centífca se compone de dos partes fundamentales: un formalsmo y una nterpretacón. Es por medo de la nterpretacón que se establecen las conexones conceptuales entre los elementos del formalsmo y los elementos de la realdad. Con esas conexones la nterpretacón da sentdo a la formalzacón y provee la semántca de la teoría. Esto es de captal mportanca para la cenca, una mportanca subestmada por parte de la mayoría de los centífcos actuales, y en especal los físcos. Frente a la exacttud de las elaboracones matemátcas, los análss conceptuales son a veces dejados de lado como s se tratara del ejercco de otra dscplna, más propo de la flosofía, cuyas especulacones son muchas veces consderadas nnecesaras para el desarrollo y la aplcacón de la físca. Esto es un error grave. Cenca y flosofía se conjugan en la nterpretacón de la teoría, y un cambo de nterpretacón, nclusve de una sola fórmula, puede abrr la puerta a nuevas conexones conceptuales y esto a su vez, a desarrollar toda una nueva teoría. Hay sobrada evdenca hstórca de este proceso en la físca. La nterpretacón que ofrece Ensten de las formulas de Lorentz para dar nco a la relatvdad, o la nterpretacón de Maxwell de la ley de nduccón de Faraday al consderar la exstenca de un campo eléctrco como el causante de la corrente nducda y completar así las famosas ecuacones del electromagnetsmo, son algunos de los muchos ejemplos. Todos tenen en común que en un punto, el avance de la teoría se basa en la nterpretacón, en las conexones conceptuales ntroducdas al formalsmo. Esto no puede ser desestmado. Sólo así será posble trascender los límtes fctcos de lo que actualmente es defndo como cenca y como flosofía, de modo de producr una ntegracón más fructífera para ambas. El presente trabajo ntenta ser una contrbucón en este aspecto, pues hemos brndado respuestas conceptuales como solucón a problemas físcos concretos. unque modesto, buscamos ofrecer un aporte a la ntegracón entre cenca y flosofía, bajo el supuesto de que ambas pueden consderarse formas fundamentales a través de las cuales se manfesta el pensamento humano. Repostoro Insttuconal Dgtal de cceso berto, Unversdad Naconal de Qulmes

5 Este trabajo tuvo su géness hace ya unos años atrás. Por dstntas razones personales que no detallare aquí, quedó postergado hasta el presente año, donde pude brndarle la dedcacón adecuada para concretarlo. En el camno he aprenddo mucho y en esto le debo agradecer a la Dra. Olmpa Lombard. Leonardo Vann, agosto 2012 Repostoro Insttuconal Dgtal de cceso berto, Unversdad Naconal de Qulmes

6 Introduccón Desde los orígenes de la físca arstotélca en la ntgua Greca hasta nuestros días, no ha habdo un campo de trabajo tan fructífero para la flosofía de la físca como el que se presentó en los últmos 100 años. Esto se debe al advenmento, durante el sglo pasado, de la llamada físca moderna, que ncluye esencalmente a la relatvdad y la mecánca cuántca. unque ambas teorías desafían las nocones newtonanas y nuestra percepcón del mundo, es en la mecánca cuántca donde la especulacón flosófca ha alcanzado un nvel de rqueza tal que en su acconar ha contrbudo notablemente al acercamento cas perddo entre cenca y flosofía. Las reformulacones que ntrodujo la mecánca cuántca tuveron consecuencas tan profundas que han llegado al nvel de repercutr en la propa estructura lógca con la que pensamos el unverso. Es por esto que se habla de "lógca cuántca", y hasta de un "mundo cuántco", nada parecdo en otra teoría. Pese a los aspectos revoluconaros de la relatvdad, rara vez se habla de algo como "mundo relatvsta", y nunca de una "lógca relatvsta". La mecánca cuántca es verdaderamente una teoría muy msterosa. No sólo por las peculardades conceptuales que presenta, sno porque a pesar de eso es una de las más extosas. ctualmente exste elevado consenso respecto de consderarla unversalmente válda, hasta llegar a consderar al mundo clásco como dervado de ella. En esto consste el llamado límte clásco de la mecánca cuántca, que a dferenca del límte clásco de la relatvdad, es un terreno mucho más oscuro y complejo. Los ntentos por encontrar el lmte clásco de la mecánca cuántca sólo han consegudos éxtos parcales y sujetos a restrccones dudosas, o al menos no totalmente generales como se pretende. Esto aplca al formalsmo de decoherenca, en partcular en su enfoque ortodoxo, Decoherenca Inducda por el mbente (EID, por sus sglas en ngles). Como su nombre lo ndca, la decoherenca ntenta explcar como la "coherenca", palabra que remte a la relacón de fase de los componentes de un estado superposcón, puede perderse de modo de recuperarse característcas cláscas para dcho estado, al menos en su nterpretacón. La dea Repostoro Insttuconal Dgtal de cceso berto, Unversdad Naconal de Qulmes

7 básca consste en asumr al sstema y aparato, entre los cuales se produce la medcón, como un sstema aberto en contacto con un tercer sstema, el entorno (envronment), típcamente con muchos grados de lbertad y capaz de nteractuar con los dos prmeros. La njerenca de un tercer sstema tene consecuencas sobre la superposcón fnal del sstema compuesto por sstema + aparato + entorno, de modo que en el límte hpotétco de consderar nfntos grados de lbertad del entorno, la coherenca cuántca en el sstema resulte elmnada. unque con mucho reconocmento a nvel práctco, en verdad el formalsmo está plagado de dfcultades conceptuales y excepcones teórcas, algunas de las cuales profundzaremos en la tess. De este modo, la formalzacón de lmte clásco por parte de la decoherenca es actualmente más pretendda que real. No obstante, la decoherenca ha tendo gran relevanca hstórca como ntento de brndar una respuesta conjunta a los llamados problemas de la teoría de la medcón cuántca. En la teoría cuántca de la medcón, exsten dos problemas centrales: el problema de la lectura defnda y el problema de la base preferda. El prmer problema consste en el hecho de que la teoría no puede dar cuenta de valores ben defndos regstrados como resultados en la medcón, puesto que se predce, como consecuenca de la evolucón untara, que el estado fnal del compuesto sstema y aparato es una superposcón sn valor defndo. El segundo problema consste en el hecho de que bajo certas crcunstancas (referdas a la preparacón del estado del sstema a medr) la teoría no puede dar cuenta, además, de una base ben defnda de estados a la cual pertenece el resultado obtendo en la medcón. La formulacón del prmer problema, el de la lectura defnda, data de los orígenes msmos de la teoría cuántca de la medcón, la cual se debe esencalmente a los trabajos de von Neumann en la década del 50 del sglo pasado. Desde entonces ha habdo un snnúmero de propuestas para resolver el problema, algunas apelando a supuestos algo nverosímles, como la posbldad de la njerenca de la mente humana en el proceso de medcón en la nterpretacón subjetva de Wgner, o la posbldad de múltples unversos en la teoría de muchos mundos de Everett. De todas éstas, la respuesta más sólda, y hoy día más aceptada, consste en adoptar el llamado postulado del colapso. Este postulado afrma que, después de la evolucón untara que predce la ecuacón de Schrödnger y que establece la correlacón Repostoro Insttuconal Dgtal de cceso berto, Unversdad Naconal de Qulmes

8 entre sstema y aparato a través de un estado superposcón, exste una evolucón adconal, no untara, que consste en una proyeccón a uno de los componentes de la superposcón. De este modo, la medcón se completa al colapsar el estado a un componente de valor defndo. S ben el postulado del colapso, con el agregado de la regla de Born de la probabldad, permte una descrpcón probablístca de los fenómenos cuántcos que está perfectamente acorde con los resultados expermentales, dcho postulado es altamente problemátco desde un punto de vsta conceptual. En prmer lugar, porque es un postulado adconal, no dervado de la teoría, y en segundo, porque está en contradccón con lo que la teoría predce. Una evolucón de tpo colapso vola la ecuacón de Schrödnger. El aporte de la decoherenca al problema de la lectura defnda consste en demostrar que, luego de la nteraccón con el entorno, y como consecuenca de los muchos grados de lbertad de este últmo, el estado fnal del sstema objeto puede ser descrpto como una mezcla de estados que admte una nterpretacón por gnoranca. La nterpretacón por gnoranca concbe el estado mezcla como una mezcla estadístca, representando la gnoranca acerca de cuál estado es aquel en el que verdaderamente se encuentra el sstema. El problema de la lectura defnda se resolvería s pudera mostrarse que el sstema efectvamente está en uno de los estados de la mezcla, y con valor defndo, sólo que el observador desconoce cuál. Como veremos, la nterpretacón por gnoranca no es trvalmente aplcable a estados mezclas cuántcos y, por tanto, esta solucón no es completamente aceptable. La formulacón del segundo problema, el de la base preferda, se debe práctcamente al formalsmo de la decoherenca, y su supuesta solucón se presenta como uno de sus logros. Tal como los prncpales segudores del formalsmo lo presentan, perece un problema dseñado para ser abordado y resuelto por la msma decoherenca. Como en el problema anteror, una vez más el recurso consste en apelar a la nteraccón del sstema y aparato con el entorno, de modo que la descomposcón del trple sstema compuesto formado por sstema + aparato + entorno elmne la ambgüedad del cambo de base. El fundamento de la demostracón descansa en el hecho matemátco por el cual una descomposcón trortonormal de un vector de estado, a dferenca de la bortonormal, sí es únca. Esa base es la únca que permte mantener la correlacón prevamente establecda entre sstema y aparato, de modo Repostoro Insttuconal Dgtal de cceso berto, Unversdad Naconal de Qulmes

9 que el regstro de la medcón no se perda aun cuando al fnal se desee gnorar los grados de lbertad del entorno. Estos son, esencalmente, los aportes de la decoherenca a los problemas de la medcón. El objetvo prncpal de esta tess consste en brndar una respuesta a los menconados problemas sn apelar a decoherenca alguna. Respecto del problema de la base preferda presente en las correlacones del estado fnal de la medcón, mostraremos que, en lugar de resolverse apelando a una nteraccón posteror con el entorno, tal como en la teoría de la decoherenca, puede ser resuelto analzando el proceso prevo a dcho estado fnal sn la necesdad del entorno. La esenca del procedmento consste en reconsderar la medcón, no como la mera correlacón que se manfesta en el estado fnal, sno como el proceso capaz de establecerla. Desde esta nueva perspectva es posble dferencar dstntos procesos que conducen a dstntas correlacones, ndependentemente de que éstas puedan vncularse matemátcamente medante un cambo de base. La elmnacón de la ambgüedad de la base se logra al determnar qué proceso es caracterzado por el operador de evolucón que conecta el estado ncal de la medcón con el fnal. Estrctamente hablado, el problema no queda resuelto, sno más ben dsuelto, al consderar que la medcón nvolucra todo el proceso que desemboca en una correlacón fnal, y ello sn la necesdad de agregar nteraccones posterores con sstemas como el entorno. Respecto del problema de la lectura defnda nuestro objetvo es un poco más modesto. No vamos a resolver el problema estrctamente sno que, en el marco de ese problema, brndaremos una respuesta a la ncompatbldad que establece el postulado del colapso respecto de las evolucones untaras. La estratega aquí es ncorporar los aparatos de medcón en el cálculo de las probabldades condconales establecdas para una secuenca de dos medcones. sumendo valores defndos para la prmera, demostramos que el postulado del colapso sobre el sstema puede ser dervado del propo formalsmo de la teoría cuántca, aun cuando el sstema compuesto que ncluye a los aparatos nunca abandona la evolucón untara que predce la ecuacón de Schrödnger. Con estos dos núcleos centrales como objetvos, pasamos ahora a detallar cómo se organza la tess. Repostoro Insttuconal Dgtal de cceso berto, Unversdad Naconal de Qulmes

10 En el Captulo 1 brndaremos una presentacón concsa pero completa de los contendos conceptuales más relevantes de la mecánca cuántca a modo de ntroduccón formal que capactará al lector, aun con conocmentos mínmos de la teoría, comprender el desarrollo de los sguentes capítulos. Podemos decr que toda la tess reposa en las bases conceptuales de este prmer capítulo. smsmo, este prmer capítulo reposa a su vez en las bases matemátcas más fundamentales que hemos desarrollado en el péndce. Creemos que en dcho apéndce se presenta el compendo matemátco más reducdo posble necesaro para entender completamente cualquer consderacón cuántca desarrollada en la tess. Quen posea nquetudes de justfcacón más formales puede recurrr a este apéndce en cualquer momento, y a lo largo de toda la tess haremos referenca a él cada vez que consderemos necesara una justfcacón matemátca más rgurosa. En el Captulo 2 presentaremos la teoría cuántca de la medcón como es entendda en nuestros días, sobre la base orgnalmente desarrollada por von Neumann, de modo de brndar así el marco adecuado para presentar los dos problemas de la medcón que ya hemos menconado. l fnal de este capítulo repasaremos las propuestas más destacadas presentadas respecto del problema de la lectura defnda. En este repaso podríamos haber menconado a la decoherenca, pero debdo a su peso propo y relevanca hstórca vnculada a los dos problemas de la medcón, hemos decddo dedcarle un captulo propo, el próxmo. El Captulo 3, como acabamos de decr, lo dedcaremos enteramente a la teoría de la decoherenca. Partendo de algunos antecedentes hstórcos, explcaremos el formalsmo y luego desarrollaremos cómo es aplcado al proceso de medcón, para dervar fnalmente el modo en que este enfoque pretende dar respuestas a los problemas que hemos menconado. l fnal del capítulo repasaremos algunas de las crítcas que se le han formulado y sus debldades más fundamentales. En los Capítulos 4 y 5 se corporza la propuesta central de la tess. En el Capítulo 4, en el marco del problema de la lectura defnda, brndaremos una solucón a la ncompatbldad entre el postulado del colapso y la evolucón untara que predce la ecuacón de Schrödnger. Sn pretender resolver el problema de la lectura defnda, es decr, justfcar por qué exsten valores ben defndos, demostraremos que el postulado del colapso, Repostoro Insttuconal Dgtal de cceso berto, Unversdad Naconal de Qulmes

11 en realdad, no es tal, sno que puede ser dervado dentro de la msma teoría y en perfecta concordanca con las evolucones untaras, pero consderadas en el sstema completo que ncluya todas las partes en nteraccón. En el Capítulo 5, daremos respuesta completa al problema de la base preferda. Como ya hemos ndcado, no lo resolveremos, sno que más ben lo dsolveremos en vrtud de consderar la medcón como un proceso, y no sólo como la correlacón que dcho proceso puede establecer. Para poder rastrear qué proceso puede ser o no nvolucrado en el establecmento de la correlacón del estado fnal de la medcón, ndagaremos la exstenca de un hpotétco aparato, que hemos llamado "aparato de cuatro luces", que resulta cuántcamente mposble. En vrtud de consderacones sobre este aparato, elaboraremos argumentos que permtrán selecconar una base como preferda sn apelar a la decoherenca. Fnalmente, en el Captulo 6 brndaremos las conclusones de la tess, donde ntentamos repasar los aspectos conceptuales más destacados en relacón al camno transtado. Repostoro Insttuconal Dgtal de cceso berto, Unversdad Naconal de Qulmes

12 Capítulo 1. Nocones báscas de la mecánca cuántca Todo sstema cuántco queda caracterzado en un tpo especal de espaco vectoral llamado espaco de Hlbert, en el que se pueden representar matemátcamente los dos aspectos centrales de su descrpcón: los observables y los estados. Las partculardades técncas de los espacos de Hlbert y sus característcas como espacos de vectorales se desarrollan en el péndce.2. Como en el caso especal de la mecánca cuántca se requere de la operacón de espacos de Hlbert sobre números complejos, puede resultar útl la adconal lectura del péndce.1. En lo que sgue desarrollaremos cómo pueden ser representados los observables y los estados cuántcos, y los alcances que esta representacón adquere en la elaboracón de las descrpcones de la teoría. 1.1 Observables y propedades En general, ya sea para la mecánca clásca o cuántca, los observables de un sstema son entenddos como aquellas propedades caracterzadas por magntudes físcas que están sujetas a evaluacón expermental. Dremos que son las propedades-tpo del sstema. Por ejemplo, la poscón X, la energía E, etc. Cada una de estas propedades-tpo se corresponde con un conjunto de propedades-caso o propedades de valor, que son los posbles valores que puede tomar la propedad tpo al ser medda (para la dstncón entre propedades-tpo y propedades-caso, bajo la denomnacón de determnables y determnados, ver Sanford 2011). S medmos el observable poscón como propedad-tpo, por ejemplo, podemos obtener el valor x 2mt como propedad-caso. Pero otra medcón del msmo observable puede arrojar otro valor como caso. El conjunto de valores posbles para un observable es llamado espectro de ese observable. En lo que sgue, consderaremos observables con espectro dscreto y fnto 1, por lo que sus valores pueden etquetarse con un índce natural. Dremos que un observable 1 La generalzacón del tratamento que se sgue en estas págnas para el caso de observables con valores contnuos es nmedata, aunque no exenta de sutlzas técncas de carácter matemátco las cuales no ntervenen en lo tratado en esta tess. Repostoro Insttuconal Dgtal de cceso berto, Unversdad Naconal de Qulmes

13 tene un espectro de N elementos compuesto por el conjunto de los posbles valores { a }, con 1 N. En una medcón de un dado observable, se regstrará uno y sólo uno de sus posbles valores. Por lo tanto, cada medcón puede ser pensada como una posble pregunta sobre el valor de la magntud. La respuesta a esa pregunta tene que ser únca. Carecería de sentdo físco la medcón s, al medr la poscón por ejemplo, obtuvéramos x 2mt y x 4mt. Cada elemento del espectro de un observable determna una propedad de valor correspondente a la afrmacón el observable tene valor a. Consderada como pregunta, podemos pensar que esta expresón determna una cuestón expermental, cuya respuesta se obtene de los resultados de la medcón (Hughes 1989, p. 60). La respuesta será afrmatva s el valor obtendo es a, y negatva en caso contraro. Por medo de subconjuntos 2 de valores del espectro es posble especfcar propedades de valor más generales. Dremos que el p subconjunto del espectro de un observable determna la propedad de valor p correspondente a la afrmacón el valor de pertenece al conjunto. Como antes, el sstema posee la propedad s la cuestón expermental puede ser respondda afrmatvamente luego de efectuar una medcón, y no la posee en caso contraro. Estas consderacones valen para cualquer teoría físca, son formulacones sobre propedades físcas de un sstema sujeto a evaluacón expermental. Veremos ahora qué entdades matemátcas representan esas propedades en el caso que nos nteresa: la teoría cuántca. Pues ben, uno de los postulados báscos de la mecánca cuántca es que cada observable de un sstema físco se puede representar con un operador lneal hermítco, y cada uno de los posbles valores que puede tomar en una medcón se corresponde con alguno de los autovalores { a } del correspondente operador (ver péndce.4). Por smplcdad, en todo lo que sgue, y como la mayoría de la lteratura hace, dentfcaremos el observable, con el operador que lo representa en la teoría, aunque está claro que el 2 Los posbles subconjuntos ncluyen al vaco y al espectro msmo, los cuales corresponden a la propedad nula y la unversal respectvamente. La prmera nunca se cumple, puesto que en toda medcón algún valor se obtene. Por eso msmo, la propedad unversal es la que se cumple sempre. Repostoro Insttuconal Dgtal de cceso berto, Unversdad Naconal de Qulmes

14 prmero es una propedad de un sstema físco y el segundo es elemento formal de la teoría matemátca que utlza la mecánca cuántca. Como se señala en el péndce.4, el hecho de que el operador sea hermítco asegura que sus autovalores sean reales, como se requere para el valor de una magntud físca. Cada a autovalor de un observable (operador) se corresponde a un subespaco undmensonal generado por el autovector correspondente a su vez se corresponde con el proyector a en el espaco de Hlbert, y dcho subespaco a a que partcpa en la descomposcón a espectral de (ver péndce.4). Es esto lo que nos da la pauta de cómo pueden ser representadas las propedades de valor del observable. La propedad p correspondente a la cuestón expermental el observable a tene valor será representada en el formalsmo a a de la teoría cuántca por el proyector a correspondente al subespaco generado a por. En forma más general, la propedad p correspondente a la cuestón el valor de pertenece al conjunto, donde es un a subconjunto a de valores del espectro, podrá ser a representada por el proyector correspondente al subespaco generado por a el conjunto de autovectores a, con. La capacdad predctva de esta forma de representar propedades quedará evdencada más claramente con la nocón de estado, nocón que permte asgnar probabldades a dchas propedades. 1.2 Estados y probabldades S los valores para los observables determnan las cuestones expermentales del sstema físco, ya sea para la mecánca clásca o cuántca, el estado de dcho sstema es entenddo como el conjunto de respuestas que pueden ser asgnadas a esas posbles cuestones expermentales. Debdo a la naturaleza determnsta de la mecánca clásca (Hughes 1989, Cap. 3), cada cuestón expermental puede ser respondda por sí o no en esa teoría. Esto sgnfca que, en el caso clásco, un estado es una funcón que asgna uno o cero a cada cuestón expermental: uno s la respuesta es afrmatva, y cero s no lo es. Debdo a ello, desde el punto de vsta clásco, el estado determna con certeza todas las propedades de Repostoro Insttuconal Dgtal de cceso berto, Unversdad Naconal de Qulmes

15 valor del sstema en un certo nstante, e nversamente, el conjunto de todas las propedades de valor en un certo nstante determna el estado del sstema. En la mecánca cuántca esto no es así (Hughes 1989, Caps. 2 y 3). Es necesaro recurrr a una descrpcón probablístca donde el estado es entenddo como una funcón o medda de probabldad, que asgna a cada cuestón expermental un valor entre cero y uno. Cuántcamente hablando, el estado no determna con certeza todas las propedades de valor de las propedades-tpo del sstema. Para estados llamados puros 3, la entdad matemátca capaz de determnar esta funcón de probabldad es un vector en el espaco de Hlbert que caracterza al sstema (ver péndce.2). Por requermentos de normalzacón de la probabldad (la exgenca de que la suma de las probabldades de todas las posbldades de una medcón sume uno), se requere que los vectores de estado estén normalzados a la undad. De la defncón de norma de un vector (péndce.3), y consderando el caso general de un espaco de Hlbert sobre los complejos (péndce.2), el requermento de normalzacón sgnfca que dos vectores que dferen sólo en una fase (es decr en un numero complejo de modulo uno) representaran el msmo estado cuántco. Esto puede comprenderse a partr de la propa defncón de la probabldad cuántca, tal como sgue. Cada vector normalzado en el espaco de Hlbert, que smbolzamos como v, nduce una funcón de probabldad para cada propedad p representada por el proyector dada por Pv( p) v v v v = v (1.1) 2 donde se ha utlzado el hecho que un proyector es dempotente en la segunda gualdad, y la defncón de norma de un vector, en la tercera (péndce.4). El vector v normalzado es llamado vector de estado. De la accón de un proyector sobre un vector (péndce.4), es posble asocar un sgnfcado geométrco a la últma ecuacón: un vector de estado determna una funcón de probabldad para una propedad, que es el cuadrado en norma de la proyeccón de dcho 3 Entre los estados de la mecánca cuántca se dstnguen estados puros y estados mezcla. De estos últmos hablaremos en una seccón más adelante. Repostoro Insttuconal Dgtal de cceso berto, Unversdad Naconal de Qulmes

16 vector sobre el subespaco asocado a la propedad. Esto puede ser mejor entenddo con el sguente ejemplo. Por smplcdad consderemos un observable no degenerado en un espaco de Hlbert sobre los reales de dmensón 2. Exstrán dos propedades a correspondentes a los autovalores representadas por los proyectores que llamaremos, con 1,2. Estos proyectores proyectan sobre subespacos undmensonales (rectas) generados por cada uno de los correspondentes autovectores { a }. Por tratarse de un operador hermítco, estos autovectores son ortogonales y determnan una base del espaco (ver Fgura 1). p a 2 sen ( ) v 0 cos ( ) a 1 Fgura 1 Supongamos que el vector v forma un ángulo respecto de la recta horzontal, que en la fgura asummos asocada al proyector 1, es decr, al subespaco generado por a 1. Por ortogonaldad, la vertcal corresponderá al subespaco generado por a 2. De la ecuacón (1.1), para cada una de las propedades elementales p, con 1,2 tenemos P ( p ) v cos ( ) v 2 2 P ( p ) v sen ( ) v (1.2) Como el vector v tene norma gual a uno, las funcones sen ( ) y cos ( ) son los componentes de sus proyeccones sobre los ejes coordenados. Es fácl ver que la defncón dada por la ecuacón (1.1) cumple con los axomas de Kolmogorov que se esperan para una funcón de probabldad (Hughes 1989, p. 88). Repostoro Insttuconal Dgtal de cceso berto, Unversdad Naconal de Qulmes

17 En el caso partcular en el que el vector de estado concde con unos de los autovectores del observable, por ejemplo v a 1, es claro de la ecuacón (1.2) que P ( p ) 1 v 1 P ( p ) 0 v 2 es decr, la probabldad es uno para la propedad asocada al autovalor cuyo autovector es vector de estado, y cero en cualquer otro caso. Dcho de otro modo, s el sstema es preparado de tal manera que su estado concda con uno de los autovectores de, entonces exste la certeza de obtener el correspondente autovalor al efectuar una medcón de. Esto justfca el llamado vínculo autovector-autovalor (egenstate-egenvalue lnk, ver Wlce 2006). Cabe señalar que en este ejemplo hemos consderado cuestones expermentales referdas a las propedades de valor de un solo expermento: la medcón del observable. Pese a esto, la expresón dada por la fórmula (1.1) asgna una probabldad a todas las cuestones expermentales de todos los observables posbles en el espaco de Hlbert. Sn embargo, se puede demostrar que sobre este espaco muestral más general, que ncluye propedades de valor de dstntos observables, esta fórmula no cumple con los axomas de Kolmogorov, por lo que, estrctamente desde un punto de vsta matemátco, no es una medda de probabldad legítma (Mttelstaedt 1998, p. 92; Grffths 2002). 1.3 Estados puros y estados mezcla Los estados con los que hemos tratado hasta ahora son estados puros; son los estados determnados por vectores normalzados el espaco de Hlbert. No obstante, estos estados no agotan todos los posbles estados que podemos consderar. Es posble establecer meddas de probabldad para todas las cuestones expermentales del sstema que no sean nducdas por un vector. Éstas se logran combnando adecuadamente funcones de probabldad provenentes de dstntos vectores de estado. Consderemos la medcón de un observable cuyo espectro vene dado por los autovalores { a } que determnan las cuestones expermentales referdas a las propedades Repostoro Insttuconal Dgtal de cceso berto, Unversdad Naconal de Qulmes

18 p, sendo un subconjunto del espectro de. Las propedades elementales asocadas a cada autovalor autovectores a a son representadas por los subespacos generados por los respectvos. Según la ecuacón (1.1), cada uno de estos vectores, correspondentes a estados puros, especfca la medda de probabldad dada por P( p ) a a. Se puede demostrar que la combnacón de estas meddas, efectuada de la sguente manera, P( p ) b P( p ), con b 0 y b 1, (1.3) es tambén un medda de probabldad, es decr, es una funcón de probabldad que cumple con los axomas de Kolmogorov (Ballentne 1998, Cap. 2). Es fácl ver que esta probabldad no vene de un vector, por lo que debe ser pensada como provenente un nuevo tpo de estado. S provnera de un vector, tendría que exstr algún v tal que P( p ) b a a v v Pues ben, de la propa sumatora vemos que, a menos que v sea uno de los posble satsfacer esta últma ecuacón. a, no es Los estados que determnan una funcón de probabldad como la dada en la ecuacón (1.3), es decr, formada por una combnacón de probabldades provenentes de estados puros, son llamados estados mezcla (Hughes 1989, p. 93; Ballentne 1998, Cap. 2), y la combnacón específca ndcada en esa ecuacón es llamada combnacón convexa (Hughes 1989, p. 143; Ballentne 1998, p. 37). Con todo esto en mente, el problema nmedato que se presenta es determnar con qué elemento matemátco representar este nuevo tpo de estados. Pues ben, hay una formulacón en térmnos de operadores de estados que es senclla, elegante, y que además unfca el tratamento que hemos abordado para estados puros. Partamos de consderar la probabldad P( p ) a a sobre cualquer cuestón expermental referda a la medcón del observable nducda por el estado puro a que es autovector de. Consderemos además al proyector a asocado al subespaco generado por el vector j a j. Como los Repostoro Insttuconal Dgtal de cceso berto, Unversdad Naconal de Qulmes

19 vectores a son ortonormales, tenemos que a j a es gual a S en este punto ntroducmos la funcón delta de Kronecker, dada por a s j, y cero s j. 1 s j 0 s j j se obtene que a a, por lo que a j j j P( p ) a a j j j j a a Tr[ ] j a a (1.4) j a j a Hemos consegudo así una nueva fórmula para calcular la probabldad de la propedad p cuando el sstema está en el estado puro propedad. a p, pero la nformacón del estado puro a. Como antes el operador representa la a esta ahora contenda en el operador Esta estratega nos permte consderar una nueva representacón de los estados puros en térmnos de operadores: los estados puros quedarán representados por los operadores proyectores sobre el subespaco generado por el vector que representa el estado puro. La utldad de este tpo de representacón de estados en térmnos de operadores resde en su posbldad de generalzacón para estados mezclas. Para poner de manfesto lo dcho, hagamos uso de la ecuacón (1.4) en la fórmula (1.3) para calcular la probabldad nducda por un estado mezcla P( p ) b P( p ) btr[ ] a Tr b a Repostoro Insttuconal Dgtal de cceso berto, Unversdad Naconal de Qulmes

20 donde hemos hecho uso de la propedad para la traza de una suma de operadores (péndce.4). Esta últma ecuacón tene exactamente la msma forma que la últma ecuacón que hemos usado en (1.4) para calcular la probabldad de estados puros, s defnmos el operador de estado como b a Este operador es una combnacón convexa de operadores correspondentes a estados puros, y así la medda de probabldad que nduce es tambén una combnacón convexa de las meddas de probabldades nducdas por estados puros. Por tratarse de este tpo de combnacón, todo operador de estado resulta hermítco; además se cumple Tr [ ] 1, que es la condcón de normalzacón que se requere para la probabldad (Ballentne 1998, Cap. 2). Ya sea un estado puro correspondente a un proyector, o un estado mezcla correspondente a una combnacón convexa de proyectores, se obtene la fórmula general para la probabldad de una propedad p en el estado dada por P ( p ) Tr La construccón realzada para defnr los estados mezcla sugere la sguente nterpretacón que, como veremos, resulta cuestonable: los estados mezcla representan una mezcla estadístca de los posbles estados puros en los que puede encontrarse el sstema. Los dstntos coefcentes con los que se pesa cada estado puro brndan una medda de la gnoranca que poseemos acerca del verdadero estado en el que se encuentra el sstema. S esto fuera así, un estado mezcla nos permtría calcular probabldades que resultarían ser producto de una ndetermnacón meramente gnoseológca y no ontológca (Cohen 1989, p. 41), pues no surgrían de una regulardad subyacente sno de una lmtacón de nuestro conocmento. Sus valores cambarían s se agregara conocmento sobre el sstema. Esta nterpretacón es llamada nterpretacón por gnoranca (Hughes 1989, p. 96; Mttelstaedt 1998, p. 16; Ballentne 1998, p. 39), y s ben es como cláscamente se nterpretaran las probabldades calculadas en la mecánca estadístca, en el caso cuántco tal nterpretacón Repostoro Insttuconal Dgtal de cceso berto, Unversdad Naconal de Qulmes

21 presenta severas lmtacones que tenen que ver con la ndetermnacón del conjunto de estados puros con los que se puede expresar un msmo estado mezcla. En efecto, la descomposcón de un estado mezcla en térmnos de una combnacón convexa de estados puros de la forma b en general no es únca. Exsten nfntas descomposcones dstntas de la forma b por medo de no ortogonales (Mttelstaedt 1998, p. 79; Ballentne 1998, p. 39). Pero aun en el caso en que decdamos prvlegar sólo las combnacones ortogonales para hacer uso del teorema de la descomposcón espectral sobre, todavía es posble encontrase con una falta de uncdad en el desarrollo de s éste es degenerado (Mttelstaedt 1998, p. 79). En otras palabras, s exste al menos un b gual a un b j para j, entonces es posble reemplazar j por la suma de otros proyectores j tambén ortogonales, tal que j j (Hughes 1989, p. 139). En general, se tene b b. Esta falta de uncdad establece una ndetermnacón en el conjunto de estados puros que componen un estado mezcla. Estas propedades formales tenen consecuencas en la pretendda nterpretacón por gnoranca. Debdo a la falta de uncdad menconada, un estado mezcla no sólo representaría la gnoranca sobre cuál estado es aquel en el que verdaderamente se encuentra el sstema, sno una gnoranca mucho mayor, que nvolucra el desconocmento del conjunto de estados posbles que podemos asgnar al sstema. Otra objecón para la nterpretacón por gnoranca, aún en el caso de estados mezcla no degenerados, tene que ver con los estados de las partes de un sstema compuesto, lo cual será abordado en la sguente subseccón. 1.4 Estados reducdos de sstemas compuestos El formalsmo de operadores de estado es sumamente útl en la descrpcón de los estados de subsstemas de un sstema compuesto. Prmero hacemos notar que s tenemos un sstema S caracterzado por un espaco de Hlbert H, y otro sstema B un espaco de Hlbert H, entonces el sstema S S S B compuesto por caracterzado por un espaco Hlbert B S caracterzado por S y H H H que es el producto tensoral de B S B queda H y H (péndce.5). dconalmente, s es un operador que representa un observable, por B Repostoro Insttuconal Dgtal de cceso berto, Unversdad Naconal de Qulmes

22 ejemplo, en el sstema S, entonces el operador I B es el operador que lo representa en el sstema compuesto (Hughes 1989, p. 149), sendo I B el operador dentdad en el sstema Por consguente, s a a es la descomposcón espectral de en el subsstema S, entonces IB aa I B es la descomposcón espectral del correspondente operador del sstema compuesto. De este modo, cada cuestón expermental del sstema compuesto, pero referda a la medcón del operador en el sstema S B. S correspondente a la propedad p, el valor de pertenece al conjunto, estará dada por el proyector como ya hemos consderado, es algún subconjunto del espectro de. I donde, S el sstema compuesto S S S B es preparado en un estado B, puro o no, se puede demostrar que cada uno de los subsstemas por separado queda descrpto por uno de los sguentes estados Tr [ ] B B Tr [ ] B B B Esto es así porque la probabldad para cada cuestón expermental referda a la medcón de en el sstema compuesto, calculada por medo de msma probabldad calculada por medo se demuestra que I B en el estado B, es la con el estado del subsstema S. Es decr, P( p ) Tr [ ] Tr[ I ] B B Supongamos ahora que el sstema compuesto es preparado en un estado puro que puede adoptar la forma c a b B lo cual sgue de la descomposcón de Schmdt (péndce.5). Este vector corresponde a un estado puro cuyo operador de estado es B B B. No es dfícl mostrar que, en este caso, Repostoro Insttuconal Dgtal de cceso berto, Unversdad Naconal de Qulmes

23 2 TrB [ B] c a a 2 B Tr[ B] c b b Estas ecuacones manfestan una peculardad nteresante que permte formular otra objecón que se suma a las ya planteadas a la nterpretacón por gnoranca para estados mezcla. S la nterpretacón por gnoranca fuera válda, los estados mezcla nvolucrarían menor nformacón que los estados puros, pues en un estado mezcla no sabemos en cuál de los posbles estados puros que componen la mezcla se encuentra el sstema. Bajo esta consderacón, las últmas ecuacones nos muestran que los estados de las partes tenen menos nformacón que el estado de la totaldad. Dcho de otra manera, especfcar los estados de todas las partes no basta para obtener el estado del sstema compuesto por esas partes. S la nterpretacón por gnoranca fuera correcta, entonces el subsstema estaría en alguno de los estados representados por de los bk k k a a. smsmo, el subsstema B estaría en algunos a b b. Por consguente, el estado compuesto debería estar en una mezcla de estados formada con a bk. Pero esto conduce a una contradccón, pues partmos del supuesto de que el sstema compuesto se encontraba en el estado puro representado por B B B. Este argumento demuestra que la nterpretacón por gnoranca no es admsble para nterpretar estados mezcla en la mecánca cuántca. 1.5 El prncpo de superposcón El prncpo de superposcón de estados pone de manfesto uno de los aspectos fundamentales de la mecánca cuántca que la dferenca de la mecánca clásca, y consste en su carácter netamente probablístco. El prncpo se puede enuncar de la sguente manera. S v 1 y v 1 son vectores de estado, entonces la combnacón lneal dada por v a1 v1 a2 v2, de modo tal que v 1, tambén es un vector de estado. Repostoro Insttuconal Dgtal de cceso berto, Unversdad Naconal de Qulmes

24 Este prncpo tene consecuencas en el carácter probablístco de la teoría. Supongamos una vez más el ejemplo del expermento consstente en la medcón de un observable no degenerado en un espaco de Hlbert de dmensón dos, y cuyo espectro esta dado por los autovalores { } a correspondentes a los autovectores a, con 1,2. Cada uno de estos autovectores representan estados puros que determnan las meddas de probabldad P ( p ) a a para las posbles propedades a p referdas a las cuestones expermentales correspondentes a la medcón de. Como ya hemos ndcado, asummos como algún subconjunto del espectro de, de modo que las propedades representadas por p quedan a a a Consderemos el vector v 1 a1 2 a2, con v 1. Entonces, por la manera en que están formados los proyectores Como v 1, vale que P ( p ) v v v, se obtene * * 1 a1 2 a2 1 a1 2 a2 2 2 a a a a a1 2 a2 P ( p ) P ( p ) 2 1. Esto sgnfca que v( ) P p se obtene como una combnacón convexa de las probabldades P ( p ). Pero por el prncpo de superposcón se a tene que, s a 1 y a 2 son estados puros posbles, entonces v 1 a1 2 a2 tambén lo es. Por lo tanto, tenemos un estado puro cuya probabldad puede obtenerse como combnacón convexa de probabldades provenentes de otros estados puros. Esto no tene antecedente clásco. Cláscamente, combnacones convexas de probabldades provenentes de estados puros es sempre una probabldad nducda por un estado mezcla y, por consguente, con valores entre cero y uno. Una teoría donde vale el prncpo de superposcón no puede ser una teoría determnsta, ya que un estado puro que puede determnar valores ceros y unos para certas cuestones Repostoro Insttuconal Dgtal de cceso berto, Unversdad Naconal de Qulmes

25 expermentales puede ser vsto como una combnacón convexa de estados asocados a otras cuestones expermentales cuyas funcones de probabldad (por tratarse de una combnacón convexa) no arrojan certezas, sno valores entre cero y uno. Desde el punto de vsta cuántco, al valer el prncpo de superposcón, por más que tratemos con estados puros, éstos no pueden determnar certezas para todas las cuestones expermentales. 1.6 El prncpo de ncerteza Enuncado orgnalmente por Hesenberg, el prncpo de ncerteza (o prncpo de ndetermnacón) establece la mposbldad de determnar smultáneamente y con una exacttud arbtrara, valores obtendos en la medcón de observables ncompatbles (Hughes 1989, pp ; Ballentne 1998, pp ). En el marco de la mecánca cuántca, este prncpo queda formalzado medante la llamada relacón de ncerteza, que mpone una cota al producto de las ncertezas de los observables meddos (Hughes 1989, p. 263; Ballentne 1998, p. 166). unque en muchos textos no se dscute, se presenta aquí el problema de consderar a qué refere exactamente la palabra ncerteza en este contexto (Hughes 1989, p. 266). La lectura usual, y de la que provene la menconada denomnacón del prncpo, consste en atrburle un sgnfcado estadístco, es decr consderando a la ncerteza como la varanza 4 de la magntud medda, esto es, como la ncerteza estadístca que se presenta como resultado de lmtacones propas de las medcones cuántcas. Otra lectura le atrbuye un sgnfcado ontológco, y consdera a la ncerteza como una ndefncón ntrínseca en los valores smultáneos que pueden tomar los observables ncompatbles, ndependentemente de que éstos sean meddos o no. Cualquera sea la lectura elegda, es posble demostrar que la relacón de ncerteza es consecuenca de la exstenca de observables ncompatbles en la teoría cuántca (Hughes 1989, pp ; Ballentne 1998, pp ; Sakura 1985, p. 35). Desde un punto de vsta formal, dos observables y B se dcen ncompatbles s sus correspondentes operadores y B no conmutan. Que los operadores no conmutan sgnfca que B B 0, lo cual se smbolza como [, B] 0. S dos operadores no conmutan, 4 Tambén llamada dspersón cuadrátca meda. Repostoro Insttuconal Dgtal de cceso berto, Unversdad Naconal de Qulmes

26 entonces algunos de los proyectores que partcpan en sus desarrollos espectrales tampoco lo hacen. Esto nos permte hablar de subespacos ncompatbles. Dremos que dos subespacos son ncompatbles s sus proyectores asocados no conmutan. Geométrcamente, es fácl ver que dos subespacos son ncompatbles s no son n paralelos no ortogonales. En subespacos undmensonales, dos subespacos son ncompatbles s sus rectas son oblcuas. unque más dfícl de ver, la dea permanece para subespacos de más dmensones (Hughes 1989, p. 104). Identfcando, como ya hemos señalado, los observables con sus correspondentes operadores, tenemos que dos observables y B son ncompatbles s exste al menos un autovector genera un subespaco oblcuo al subespaco generado por algún autovector este modo el proyector tampoco conmutará con B. a a no conmutará con a b a de que b de B. De b b y, por supuesto, Sn apelar a la demostracón general, la exstenca de una relacón de ncerteza entre observables ncompatbles puede ser fáclmente vsualzada s analzamos dos observables en un espaco de Hlbert de dmensón dos. Supongamos que a, con 1, 2, son los autovectores de un observable que generan los subespacos asocados a las propedades de valor a, y b, con 1,2, son los autovectores de otro observable B que generan los subespacos asocados a las propedades de valor b. S y B son ncompatbles, entonces los subespacos generados por los a son oblcuos a los generados por b. Esto es representado en la Fgura 2. Bajo esta condcón, tenemos que s el sstema es preparado, por ejemplo, en b 1, de acuerdo con la proyeccón del vector de estado b 1 sobre los b, habrá certeza (probabldad gual a cero o uno) para la propedad de valor b 1 referda a la medcón de B pero, de acuerdo con la proyeccón del msmo vector b 1 sobre los a, habrá ndetermnacón (probabldades entre cero y uno) para las propedades de valor a referdas a la medcón de. S, por otro lado, preparamos el sstema en algunos de los a de modo de tener certeza para las propedades de valor de, entonces tenemos ndetermnacón en las propedades de B. Por tener autovectores que generan subespacos oblcuos, no exste un estado que sea paralelo o perpendcular a todos los subespacos consderados y que, por Repostoro Insttuconal Dgtal de cceso berto, Unversdad Naconal de Qulmes

27 consguente, determne certezas para las propedades de valor de y B smultáneamente. Esta es la esenca geométrca del prncpo de ncerteza. a 2 b 2 b 1 a 1 Cabe señalar que el prncpo de ncerteza es ndependente del prncpo de superposcón. No obstante, sn el prncpo de ncerteza, es decr, en el caso en que todos los observables fueran compatbles, el prncpo de superposcón no tendría nterpretacón físca (Hughes 1989, pp ). Esto se debe a que, en ese caso, los estados puros provenentes de superposcones no podrían dstngurse de estados mezcla, en el sentdo que producrían las msmas probabldades que estados mezclas. En efecto, es en vrtud de la exstenca de observables ncompatbles, es decr de observables con propedades de valor asocadas a subespacos oblcuos, que se pueden dferencar estados puros, provenentes de una superposcón, de estados mezcla, provenentes de una combnacón convexa. Para explctar esta afrmacón, volvamos al ejemplo de dos observables ncompatbles y B en un espaco de dmensón dos, cuyas propedades de valor corresponden a los subespacos ndcados por los ejes de la Fgura 2. Como consecuenca de tal dsposcón se tene, por ejemplo, que los b pueden expresarse como combnacones lneales no trvales de los a, es decr b c a c a, 1, que cada, con todos los coefcentes c j dstntos de cero, lo cual asegura b no es paralelo n ortogonal a alguno de los puro superposcón de los a representada por el proyector Fgura 2. Para toda propedad a. Por lo tanto, b es un estado p referda a la medcón de y Repostoro Insttuconal Dgtal de cceso berto, Unversdad Naconal de Qulmes