Cartografía de las transiciones electrónicas en cristales ferromagnéticos. Rolando Saniz. Departamento de Ciencias Exactas

Transcripción

1 Cartograía de las trascoes electrócas e crstales erromagétcos Rolado Saz Deartameto de Cecas Exactas Uversdad Católca Bolvaa Caslla #5381 Cochabamba El coocmeto de las trascoes electrócas osbles etre estados de u sstema detro del marco de la mecáca cuátca es udametal ara oder comreder las roedades del sstema y su resuesta a u estímulo exteror. E este trabajo estudamos los maas de las trascoes de tercambo osbles etre estados electrócos e u modelo de crstal erromagétco tomado e cueta las trascoes de Stoer co versó del s electróco y las trascoes s versó de s. Estos maas oe e evdeca el orge de la estructura de la resuesta del materal cuado sometdo a u aálss de esectroscoía electróca. Palabras clave: Trascoes de Stoer; Esectroscoía electróca; erromagetsmo terate. 1. Itroduccó La estructura electróca de u materal juega u ael sumamete mortate e determar muchas de sus roedades. Podemos ctar e.g. la resstvdad la relectvdad la coductvdad térmca la suscetbldad y otras de gra terés ráctco. Por esta razó es ue ua las rmeras tareas al estudar u materal es tratar de determar teórca y exermetalmete su estructura electróca. Desde el uto de vsta teórco exste hoy e día métodos sostcados como FPLAPW Full Potetal Lear Augmeted Plae Wave o FPLMTO Full Potetal Lear Mu-T Orbtal utlzado ambos

2 resultados de la teoría de la ucoal de desdad. Desde el uto de vsta exermetal exste ua sere de métodos ue se utlza segú el materal ue se desea estudar. Se tee or ejemlo la otoemsó uo de los rmeros y la dusó de muoes uo de los más recetes. Etre los materales más estudados or su utldad e la tecología de ormacó de hoy está los materales de erromagetsmo terate. Los ejemlos más comues de este to de materal so los metales de trascó Fe N y Co. La gra dereca etre éstos y otros materales radca e ue e ellos los veles de eergía electrócos o reseta degeeracó de s. Este es recsamete el orge de su erromagetsmo. E eecto e los materales erromagétcos exste ua searacó etre los veles eergétcos de los electroes co s e u setdo y los electroes co s ouesto searacó coocda como la searacó de tercambo. Debdo a esta searacó los veles eergétcos co u setdo de s está e geeral or debajo los de sus semejates de s verso y or cosguete más oblados. El hecho ue los electroes e el materal reseta u setdo reerecal de s le coere roedades magétcas or el mometo magétco asocado al s electróco. No es de extrañar etoces ue uo de los métodos más utlzados e los últmos años e el estudo de materales erromagétcos trata de dstgur etre electroes co s ouesto. Se trata de la esectroscoa SPEELS del glés S-Polarsed Electro Eergy Loss Sectroscoy. Este método cosste e evar u electró de s coocdo sobre ua muestra de materal y e recoger el electró duddo mdedo su eergía catdad de movmeto y s. S el s del electró recogdo es derete al del electró cdete se dce ue ha habdo ua dusó co versó de s. E realdad este ombre se resta a cousó orue lo ue ocurre e realdad es ue le electró cdete se ueda e el materal e u estado vacío co s aroado y el electró recogdo vee de u estado ocuado de s ouesto. Más correctamete se habla de dusó co tercambo. Por otra arte s el s del electró cdete y del electró observado so guales uede haber ocurrdo tato ua dusó

3 co tercambo como ua dusó drecta e la ue el electró cdete y el electró duddo so el msmo. Para terretar los resultados de los métodos esectroscócos e geeral y o sólo e el caso de SPEELS es útl determar exactamete cuáles estados ocuados y cuáles estados lbres uede terver e los ue se llama la creacó de u ar electro-hueco es decr el roceso or el cual u electró asa a ocuar u estado vacío y otro o el msmo deja u estado ocuado. E este trabajo estudamos los maas de las trascoes osbles tato co tercambo como drectas de las arejas osbles e ucó de la eergía de la areja y de las badas electrócas a las ue erteece. Este to de aálss ha demostrado ser útl e la elucdacó de la eomeología de la esectroscoía SPEELS alcada a crstales erromagétcos [1]. E el resete estudo hacemos u aálss más detallado de la deedeca de estos maas resecto al águlo de cdeca de los haces de electroes utlzados así como de la aceta exuesta or los crstales. E la sguete seccó se reseta el modelo ue crstal erromagétco co el ue se ha realzado el trabajo y la ucó resuesta del sstema ue oe e evdeca la utldad de los maas mecoados. El Seccó 3 se reseta los resultados rcales de este estudo. Falmete e la Seccó 4 se rocede a cometar sobre los resultados del trabajo cluyedo alguas coclusoes. 2. Modelo de crstal erromagétco y ucó resuesta Los materales erromagétcos como el Fe N o Co reseta u magetsmo terate debdo a su carácter metálco. Por esta razó los veles electrócos se descrbe be or ucoes de oda de Bloch del to ψ 1 R r = e φ r R N η 0 R. 1

4 E esta ecuacó N 0 es el úmero de oes e el crstal es el ídce de bada el vector de oda y η la ucó de s. Escrbmos las ucoes de Waer φ como combacoes leales de orbtales atómcos ϕ m φ r = b ϕ r. 2 m m E uestro modelo tomamos e cueta solamete los orbtales 3d ue so los rcales resosables del magetsmo e los metales de trascó ue se uere modelzar. Los coecetes b m dagoalza el Hamltoao crstalo y está ormalzados de maera ue dee ua matrz utara. Para jar arámetros tomamos el caso del Fe. Los cco orbtales 3d uero determados e base a la aroxmacó de Grth [2] y la costate de red se jó e a=2.87 Å [3]. Deedo a como el oerador de creacó de ua artícula e el estado de Bloch de vector de oda y s s e la bada el Hamltoao de electroes deedetes se escrbe m H0 = ε a a 3 dode las ucoes ε so las eergías de bada aramagétcas determadas e el roceso de dagoalzacó. Como Hamltoao de teraccó tomamos u modelo de Hubbard a saber 1 H I = U mj m j 4 2 mm j dode las sumas se realza sobre ídces orbtales mm los oes j y el s. Es así ue teemos ua reulsó de Coulomb U etre electroes de s ouesto ue se ecuetra e el msmo ó. E la base de estados de Bloch éste Hamltoao se escrbe H I = 1 2 U N m 0 ' mm ' c + c a a a a 5 m + m - m - dode hemos dedo c m = l b l b lm.

5 La seccó ecaz de dusó de u electró olarzado or u sstema de N electroes de electroes es roorcoal a la arte magara de ua ucó retardada dada or [4] 1 Im E R e E m ded d β χ π π = Ω h 6 dode E es la eergía erdda Ω es el águlo sóldo m la masa del electró y β = 1/ B T. La catdad de movmeto traserda e la colsó es = co y las catdades de movmeto de los electroes cdete y duddo resectvamete y decoes smlares ara los s y. E el resete caso la ucó retardada se uede obteer or cotuacó aalítca de ua ucó de correlacó χ ue como se ha demostrado aterormete [1] se dvde e dos. MP S ω χ ω χ ω χ + = 7 El rmer térmo es el ue cotee las trascoes de Stoer ue so las ue os ocua e este artículo. El segudo térmo cotee todos los eectos a muchas artículas e artcular los modos colectvos odas de s. Tomado la cotuacó aalítca ω E+η el térmo de Stoer se escrbe. 2 S W E E + + = η ε ε χ 8 E esta ecuacó hemos troducdo la robabldad de ocuacó del estado deda or = a a y la eergía de las artículas dvduales modcada or la eergía de tercambo. 0 = ε ε N U 9 Es así ue e uestro modelo las badas co s haca arrba y s haca abajo está rígdamete searadas or ua catdad = U dode = m m N es el úmero medo or ó de estados co s.

6 E la Fgura 1a odemos ver las badas de eergía electrócas de uestro modelo co la searacó etre badas co s mayortaro y mortaro. El acho de bada ue jado a 4.7 ev ue corresode aroxmadamete al acho de bada de los electroes 3d e el Fe [5]. La searacó de badas es de 2 ev. El vel de Ferm ue determado co la codcó de teer 6 electroes or célula utara. E la Fgura 1b odemos ver la desdad de estados electrócos ara ambas oretacoes de s. Se uede arecar claramete las regoes elace y at-elace tícas de los materales BCC co veles d comletos. Así los cos más modestos corresode a estados de smetría t 2g y los cos elevados a estados de smetría e g. Esto últmos rovee de ua gra catdad de estados de s ouesto a ambos lados del vel de Ferm. FIG. 1. a Estructura de badas de eergía del Fe e uestro modelo ara vectores de oda a lo largo de las dreccoes de smetría rcales. Las líeas cotuas rereseta estados de s mayortaro y las líeas uteadas estados de s mortaro. b Desdad de estados electrócos del Fe e uestro modelo. La searacó de badas es de 2 ev. Las trascoes de Stoer osbles está determadas or los ceros de la E. 8 y la ocuacó de los estados volucrados e la trascó. Esto dee lo ue se cooce como desdad de estados de Stoer c. sguete seccó. Estas trascoes está oderados or u eso dedo or W N0 ˆ* ˆ ˆ ' = v K φ K φ K. 11 V K Este térmo deede de las ucoes de Waer y de la teraccó de Coulomb v etre el electró cdete y los electroes del crstal. La suma es sobre la red de vectores recírocos. El ael de este térmo e esectroscoía es muy mortate y ha sdo aalzado e otro trabajo [1]. Como mecoado e la troduccó auí os cocetraremos e la desdad de estados de Stoer.

7 3. Cartograía de los estados de Stoer La desdad de estados de Stoer e ucó de la eergía erdda y de las badas de eergía volucradas está deda or 1 ρ' E = - δ E + ε ε 12 N 0 dode δ es la ucó delta de Drac. E los exermetos esectroscócos más comues se emlea la geometría sguete [6]. El haz de electroes cdetes tee ua olarzacó ouesta a la de la muestra. Luego ésta exoe la suerce 110 y el lao de dusó está dedo or la ormal a la suerce [110] y el eje [001]. S deomamos u el eje eredcular a la suerce la catdad de movmeto traserda e el roceso de dusó comúmete emleada e el aálss de resultados exermetales se escrbe u z = = cosθ seθ 1 E seθ cosθ 1 E E E 13 dode θ es el águlo de cdeca. Esta catdad de movmeto corresode al caso e ue el electró cdete sure rmero ua relexó elástca sobre la red y/o los electroes de la msma ara luego surr ua dusó elástca ue drge al electró duddo e la dreccó de observacó. Como se mostró e u ateror trabajo exste otros dos rocesos ue cotrbuye a la seccó ecaz co la msma eergía erdda e gual catdad de movmeto traserda a saber [7] u u z = cosθ + seθ 1 E E = cosθ + seθ 1 E E = z =. z 14 E el segudo caso a dereca del rmero la relexó elástca se roduce desués de la dusó elástca. E el tercer caso teemos u roceso de dusó elástca uro es decr ue la catdad de

8 movmeto traserda corresode eteramete al cambo de catdad de movmeto de la artícula dudda. U aálss de la dereca etre las cotrbucoes a la seccó ecaz total de los tres rocesos cae uera del alcace de este trabajo. S embargo odemos dcar ue es dícl detcar exermetalmete las tres cotrbucoes or lo ue sólo se aalza la seccó ecaz total. E la Fgura 2 resetamos los maas de trascoes de Stoer osbles ara deretes águlos de cdeca. Los tres águlos cosderados so y 75 resetados e las Fguras 2a 2b y 2c resectvamete. Las curvas de vel so curvas de gual desdad de trascoes o estados de Stoer e ucó de la eergía absorbda or el ar de Stoer y las badas etre las ue ocurró la trascó. La eergía del electró cdete es de 22 ev ue corresode a la eergía utlzada exermetalmete e la Re. [6]. Lo rmero ue se observa es ue se detca exactamete las eergías a las ue se uede roducr trascoes etre las deretes badas. Las curvas de vel deede de maera muy sesble de la estructura de bada del materal y costtuye e ua huella dgtal del msmo. Es así ue estos maas so además u strumeto útl y ecaz ara dstgur etre deretes modelos o cálculos de estructura de bada y ara valdarlos ya ue está lgados drectamete a las observacoes exermetales. Luego vemos ue las regoes de trascó osbles so esecalmete las msmas e los tres casos. Sólo camba las alturas relatvas. Es decr ue el águlo de cdeca o determa las trascoes so osbles ue costtuye ua roedad del materal ero sí su catdad. Estos maas está drectamete relacoados co uo de los trabajos más mortates e este camo. Hace varos años Abraham y Hoster [8] mdero el esectro SPEELS del N co ua alta resolucó ara u águlo de cdeca de 55 y ecotraro u umbral ara las trascoes de Stoer alrededor de 65 mev. Iterretaro su resultado e térmos de la estructura de bada 3d del N a lo largo de la dreccó Γ-X. U maa de las trascoes de Stoer etre badas d ara ese águlo valdaría o cotestaría medatamete esa terretacó.

9 FIG. 2. Curvas de vel de la desdad de trascoes de Stoer ara u electró cdete co ua eergía de 22 ev ara deretes águlos de cdeca resecto a la ormal [110]. El lao de dusó está dado or la ormal y el eje [001]. Las trascoes osbles se detca muy claramete tato e lo ue resecta a la eergía como a las badas volucradas. Los águlos de cdeca so los dcados or θ e cada caso. Los cálculos aterores se realzaro ara u haz de electroes cdetes sobre la suerce del crstal dada or la ormal [110]. Uo be uede regutarse cuál es la lueca de la smetría del crstal sobre el esectro de cdeca es decr s se realza ua observacó sobre otras acetas del crstal. La Fgura 3 hace ua comaracó de los maas de las trascoes de Stoer osbles ara u crstal exoedo tres acetas dsttas a saber [110] [100] y [111]. Vemos uevamete ue la dereca etre los deretes casos es relatvamete leve. Como ates esto se debe a ue se toma e cueta las trascoes osbles etre todos los estados detro de la zoa de Brllou. Por cosguete los exermetos realzados sobre deretes acetas estuda las msmas trascoes. Es resultado es útl s embargo orue deretes acetas uede ser más o meos ráctcas desde el uto de vsta exermetal e.g. el clvaje o la magetzacó uede ser más o meos smles de acuerdo a la dreccó e el crstal. FIG. 3. Curvas de vel de la desdad de trascoes de Stoer osbles ara u haz de electroes cdete sobre tres acetas dsttas de u crstal de Fe. El águlo de cdeca es 60 e los tres casos y la eergía de cdeca de 22 ev. La aceta exuesta es la dcada or la ormal e cada caso. Falmete hemos cosderado los maas de trascoes de Stoer ara u haz de electroes cdete co ua olarzacó gual a la de la muestra. Esto es de terés uesto ue exermetalmete es la deomada asmetría etre los esectros ara haces olarzados aralela y ataralelamete a la magetzacó del crstal ue oe e evdeca el esectro de Stoer ver or ejemlo [68]. E

10 geeral se suoe ue el esectro e el caso de u electró mayortaro o reseta ua estructura esecal y ue esto srve ara elmar las trascoes drectas del esectro de Stoer.e. auellas e las ue o exste tercambo ver las obras ctadas aterormete. Por tato es mortate aalzar el maa de trascoes de Stoer e las ue el electró se ecuetra e u estado mayortaro y el hueco e u estado mortaro. E la Fgura 4 resetamos las trascoes osbles e este caso ara los msmos águlos de cdeca ue e la Fgura 2. El hecho de ue las desdades de estado so bajas es smlemete cosecueca de ue exste muy ocos estados de s mayortaro vacíos ver Fg. 1b. Aarte de la lgera deedeca resecto al águlo de cdeca estas guras os muestra esecalmete dos cosas. Prmero ue las trascoes de Stoer e cuestó está cocetradas e eergías bajas alrededor de 0.5 ev y 1 ev y comrede sobre todo electroes e estados mortaros del to t 2g badas 3d erores y huecos e estados mayortaros e g badas 3d suerores. A esar de ue uestro modelo es relatvamete smle exlca muy be los resultados exermetales de Veus y Krscher. [6] E eecto e dcha reereca se uede observar ue los esectros ara deretes águlos de cdeca e el caso de u electró cdete mayortaro muestra sstemátcamete u máxmo relatvo e la seccó ecaz or debajo de 1 ev. Segudo ue las trascoes cosderadas o cotrbuye al esectro e la regó del co de Stoer ue e geeral se ecuetra or ecma de la eergía de searacó de badas [68] 2 ev e uestro caso y se lmta a bajas eergías. Por cosguete toda estructura alrededor y or ecma de la eergía e el esectro se deberá a trascoes s versó de s. Esto es mortate orue os da ua dcacó del grado de olarzacó del haz de electroes cdete u arámetro ue juega u ael udametal e la determacó de la resolucó exermetal. FIG. 4. Curvas de vel de la desdad de trascoes de Stoer ara electroes co s mayortaro co ua eergía de 22 ev cdedo sobre el crstal co deretes águlos resecto a la ormal. Los águlos

11 de cdeca so los dcados or θ e cada caso. Las bajas desdades releja el hecho ue exste muy ocos estados mayortaros dsobles ara ua trascó de Stoer. 4. Cometaros y coclusoes E este trabajo hemos estudado los maas de las trascoes de Stoer osbles e u modelo de crstal erromagétco. Auue se emlearo arámetros ue corresode al Fe uestros resultados so cualtatvos y se alca a cualuer materal ue resete magetsmo terate. Es así ue u cálculo más recso de los maas de trascoes de Stoer e base a modelos más exactos de la estructura electróca de estos materales brdará ormacó recsa ara la terretacó de los resultados exermetales de esectroscoía SPEELS. Auí es ecesaro dcar ue la terretacó al de las observacoes exermetales deberá tomar e cueta també el eso relatvo de las deretes trascoes W ver las ecuacoes 8 y 11. Como se ha demostrado e u trabajo ateror [1] estos esos reduce las trascoes mortates a u úmero relatvamete eueño de ares de badas. De esta maera se tee la ormacó o sólo de cuáles trascoes so osbles so també de cuáles so las más determates. Es e este setdo ue los maas de trascoes de Stoer osbles costtuye u aso udametal e el etedmeto e terretacó de la esectroscoía SPEELS. Podemos añadr ue uestros resultados sugere ue ara exlotar a odo la esectroscoía SPEELS se reuere de ua resolucó exermetal bastate a. Por ejemlo la resolucó actual de 400 mev de Veus y Krscher [6] es claramete sucete. Lametablemete o exste otros resultados exermetales sobre el esectro de Stoer más recetes e el caso del Fe. Krscher y colaboradores realzaro u trabajo más recetemete e el ue utlza ua resolucó de 80 mev ero sólo se cocetraro e el estudo de las odas de s a baja eergía. [9] E el caso del N exste los resultados de Abraham y Hoster e los ue utlzaro ua alta resolucó de 25 mev auue la emlearo sólo ara estudar ua regó reducda del esectro. [8] Sería muy beecoso s se udera emlear esta

12 resolucó de maera sstemátca e los exermetos SPEELS tato del N y el Fe como del Co ue aú o ue estudado. Los maas de trascoes de Stoer y la esectroscoía SPEELS so strumetos de vestgacó de mucho otecal y ue e el uturo odrá cotrbur a dar u aso más e la comresó del magetsmo terate de los metales de trascó. Agradecmetos El autor desea agradecer al Dr. Su Joo You or dscusoes muy útles sobre el tema de este trabajo. De gual modo desea agradecer al Pro. A. Paxto or hacerle llegar lteratura sobre las ucoes de oda atómcas. 5. Reerecas [1] Saz R.; Aell S. P. uesto a cosderacó de Phys. Rev. B [2] Grth J. S. The Theory o Trasto-Metal Ios Cambrdge Uversty Press: Cambrdge [3] Ashcrot N. W.; Merm N. D. Sold State Physcs Sauders College: Phladelha [4] Vgale G.; Sgw K. S. Phys. Rev. B [5] Esta es ua estmacó del acho de la bada d de electroes mayortaros del Fe e el uto H basada e el método FPLMTO. R. Saz o ublcado. [6] D. Veus D.; Krscher K. Phys. Rev. B [7] Saz R; Aell S. P. Phys. Rev. B [8] Abraham D. L.; Hoster H. Phys. Rev. Lett [9] Plhal M.; Mlls D. L.; Krscher J. Phys. Rev. Lett