ACTIVIDADES COGNITIVAS ASOCIADAS A LAS REPRESENTACIONES EXTERNAS EN LA ENSEÑANZA DE LOS POLINOMIOS

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1 ACTIVIDADES COGNITIVAS ASOCIADAS A LAS REPRESENTACIONES EXTERNAS EN LA ENSEÑANZA DE LOS POLINOMIOS Frnklin J. Colin - Yneth Ríos - Lrry J. Mendoz Universidd del Zuli - Universidd Ncionl Experimentl Politécnic colin_2828@hotmil.com - ynriosgrci@gmil.com - prodimt@gmil.com Enseñnz de l Mtemátic. Nivel: Educción Secundri. En l educción de hoy en dí se hn ddo grndes psos, esto quizás deido los cmios de todo tipo de índole, socil, político, económico entre otros. L educción de form generl dee estr llen de ciertos requisitos exigidos y emndos por ls utoriddes eductivs quienes son ls encrgds de l estructurción del sistem eductivo y del currículo. El diseño de progrms instruccionles form prte de es estructurción, y est es uno de los requisitos que dicho sistem exige los docentes y que pertenecen lo que llmmos instrumentos didácticos de enseñnz, los cules son utilizdos por los docentes pr relizr de form men un evlución durnte el proceso de enseñnz-prendizje ls competencis de cd uno de los estudintes. El propósito de este trjo es presentr un propuest didáctic sd en ls ctividdes cognitivs socids ls representciones externs que fcilite el proceso de enseñnz-prendizje de los polinomios, en segundo ño de chillerto del Sistem Eductivo Venezolno. Con est unidd se dese que los docentes de Mtemátics cuenten con un herrmient que cumpl con ls condiciones del sistem eductivo y sore todo que permit el prendizje de los estudintes de form dinámic y sencill. Est unidd se fundment con teorís sds en el esquem prticulr del currículo y pr ello se tomn en cuent l teorí de ls Representciones Externs como Orgnizdor Didáctico de Segovi y Rico, y los portes que hcen sore ésts, Duvl y Gómez en referenci ls operciones cognitivs tles como l creción, trnsformción y conversión de representciones. Con dich unidd se pretende completr dich plnificción l cul permitirá l docente y l estudinte fcilitr el proceso de enseñnz prendizje de los polinomios. Además de lo ntes menciondo se dese hcerle ver l docente y l mismo estudinte l vinculción que existe entre ls Mtemátics y ls plicciones del dí dí de los mismos, es decir, estlecer o proporcionr los estudintes de un cultur Mtemátic que les yude resolver situciones reles, lo cul les permitirá desrrollr un pensmiento lógico Mtemático. Los Orgnizdores Didácticos. En los liros de texto y en l propi práctic docente puede precirse que l orgnizción de un unidd didáctic no se reduce un secuencición de conceptos y procedimientos sino que incorpor otrs informciones, que portn diferentes sentidos l conocimiento mtemático y lo enriquecen. Denominmos Orgnizdores del Currículo, o simplemente Orgnizdores, quellos conocimientos que doptmos como componentes fundmentles pr Pág.Nº 443

2 rticulr el diseño, desrrollo y evlución de uniddes didáctics. Los orgnizdores son quellos conocimientos que sostienen los significdos contempldos pr ls mtemátics escolres (Segovi y Rico, 2.001). Entre los orgnizdores relevntes se encuentr l fenomenologí didáctic, cuyo ojeto de estudio son los fenómenos de los que hn surgido los conceptos como forms de orgnizción, sí como ls plicciones práctics de los conocimientos; los sistems de representción de los conceptos y procedimientos, estlecidos medinte convenios o por propi decntción de crácter práctico lo lrgo de l histori de l mtemátic; los modelos mtemáticos y los procesos de modelizción usules, medinte los cules se sign un estructur mtemátic un fmili de fenómenos que quedn representdos medinte un sistem; los mteriles y recursos que puedn emplerse en l enseñnz pr mnipulr y experimentr; los errores, dificultdes y ostáculos socidos conceptos y procedimientos de cd unidd, que se hn detectdo en el prendizje y que se hn puesto de mnifiesto en estudios e investigciones de psicologí mtemátic; l histori de ls mtemátics que nos muestr los momentos de interés relciondos con cd uno de los tópicos del currículo de ls mtemátics escolres, tmién los estudios sore resolución de prolems constituyen un conocimiento orgnizdor relevnte del currículo de mtemátics. Todos estos conocimientos proporcionn un informción que permite dr un nuev perspectiv ls componentes del currículo: Ojetivos, Contenidos, Metodologí y Evlución y ls relciones entre ellos. No ce dud que, dependiendo de los csos, se hrá más conveniente un myor insistenci en unos orgnizdores que en otros, e incluso será conveniente l incorporción de lgunos nuevos, lo cul constituye un elemento diferencidor. Sistems de representción (Ls Representciones Externs) Los sistems de representción o ls representciones externs constituyen un specto fundmentl en l enseñnz, pues pr pensr y rzonr mtemáticmente es necesrio tener un representción en l mente (intern), l cul constituye un internlizción de l representción extern. Igulmente, ls representciones externs constituyen el medio pr exteriorizr ls representciones interns. Ests representn el sistem de signos por medio del cul se design un concepto mtemático. Así pues que pr logrr los procesos del pensmiento y umentr l cpcidd cognitiv es decudo que se logre un vriedd de representciones externs del mismo concepto. Eso lo sugiere Romero (2000) pues ls representciones se complementn y muestrn diversos spectos de un mismo concepto con myor o menor clridd, porque todos son limitdos y necesitn de los otros (Blázquez y Orteg, 2001). Definimos entonces ls representciones externs de l siguiente mner: Son ls notciones simólics o gráfics, específics pr cd noción, medinte ls que se expresn los conceptos y procedimientos mtemáticos sí como sus crcterístics y propieddes más relevntes. El conjunto de símolos, gráficos y regls que permite representr un estructur Mtemátic hn de responder su crácter sistémico, por lo que Pág.Nº 444

3 hlmos en generl de sistems de representción en vez de representción simplemente. Un sistem de representción lo constituyen los símolos y gráficos medinte los que se expresn los diferentes conceptos y procedimientos mtemáticos. Los sistems de representción constituyen un specto fundmentl de l enseñnz en cunto que el conocimiento se produce medinte el procesmiento de l informción visul y su integrción con procedimientos nlíticos. Ls diferentes representciones pr los conceptos y procedimientos mtemáticos se presentn explícitmente sí como ls conexiones entre ells pero rrs veces se insiste en que expresn diverss fcets y propieddes de un mismo concepto. Hy que destcr que l tre de enseñr y prender ls representciones convencionles no es sencill, por el hecho de que l relción entre el sistem de representción y l estructur mtemátic correspondiente es stnte más complej de lo que prece tmpoco son sencills ls trducciones entre diferentes sistems de representción. Gómez (2.007) se refiere los sistems de representción como los signos por medio de los cules se design un concepto, l importnci de los sistems de representción en el nálisis del contenido que rdic en que: Los sistems de representción orgnizn los símolos medinte los que se hce presentes los conceptos mtemáticos. Los distintos sistems de representción portn distintos significdos pr concepto. Un mismo concepto dmite y necesit de vrios sistems de representción complementrios. Gómez demás de estlecer que ddo un mismo concepto o estructur Mtemátic se puede representr en diferentes sistems de representción, y que es posile grupr y crcterizr en cutro ctegorís, ls operciones que se pueden relizr sore los signos que pertenecen esos sistems de representción, los cules nomr de l siguiente mner: 1.-) Creción y representción de signos o expresiones. Est operción permite determinr expresiones vlids e invlids, por ejemplo l expresión ((x) F = 3X es un ejemplo de un expresión invlid en el sistem de representción simólico (lgerico) de ls funciones polinómics. 2.-) Trnsformción sintáctic invrinte. Est operción se refiere l trnsformción de un signo en otro, dentro de un mismo sistem de representción, sin que el ojeto mtemático designdo cmie. Por ejemplo podemos oservr que en el siguiente ejemplo l función polinomic unque es presentd de diferentes forms no cmi el ojeto. (Fctorizción) F(x) = X 2 8X + 12 F(x) = (X 2) (X 6) (Expnsión) (Completción de cudrdos) Pág.Nº 445

4 F(x) = (X 4) ) Trnsformción sintáctic vrinte. Est operción se refiere l trnsformción de un signo en otro, dentro de un mismo sistem de representción, en el que el ojeto mtemático designdo cmi. Por ejemplo l trslción horizontl y verticl de un práol (Función Cudrátic) 4.-) Trducción entre sistems de representciones. Est operción se refiere l procedimiento en virtud del cul se estlece l relción entre dos signos de un mismo ojeto pero que pertenece diferentes sistems de representción. Por ejemplo un función lgeric cudrátic y el grfico de l mism en el plno crtesino. En este trjo se pretende estlecer o plicr tods y cd un de ls representciones mencionds los polinomios. Los polinomios son uno de los conceptos más strctos que deen prender nuestros jóvenes en ul. Quizás su lto nivel de strcción se de que los docentes no tenemos conocimientos previos que nos sirvn de soporte pr l enseñnz de estos. Por tl motivo, pensmos que utilizndo los diversos sistems de representción externs, utilizdos en niveles inferiores podemos fcilitr l enseñnz y el prendizje de los polinomios. L Geometrí, por su crácter gráfico, nos ofrece un herrmient que puede ser utilizd pr interpretr, trvés del concepto de áre, lgunos productos notles. Pensmos que pr trjr lguns igulddes lgerics, relcionds los productos notles, podemos usr diferentes sistems de representción extern, los cules se muestrn continución: Lenguje verl Aritmétic Gráfico Expresión lgeric El cudrdo de l (2 + 3) 2 = El áre sum de dos cudrdo es igul números es igul l sum de ls l cudro del áres de l primero ms del figurs que dole del producto de mos ms el cudrdo del segundo El cudrdo de l diferenci de dos números es igul l cudro del primero menos del dole del producto de mos ms el contiene Gráfico 1 (5-3) 2 = El áre de un cudrdo es igul l sum y diferenci de ls áres de l figurs contiene Gráfico 2 que (X + Y) 2 = x x y + y 2 (X - Y) 2 = x 2-2 x y + y 2 Pág.Nº 446

5 cudrdo del segundo El producto de l sum de dos números por su diferenci es igul l diferencis de los cudrdos de mos números El producto de un número por l sum de otros dos números el igul l sum del producto del primer número por los otros dos (propiedd distriutiv) El producto de dos fctores, donde cd uno es l sum de dos números, es igul l sum de cutro sumndos, donde cd uno es el producto de dos fctores. Estos fctores son ls cominciones dos dos, de los sumndos de los dos fctores iniciles. El áre de un (5-3). (5+3) = rectángulo es igul l sum y diferenci de ls áres de l figurs que contiene Gráfico 3 2 (3 + 4) = L sum de ls áres de dos rectángulos que tengn en común un ldo es igul l áre de un rectángulo que teng por ldos, el ldo común los dos ddos y el otro ldo es l sum de los otros dos ldos, no comunes Gráfico 4 (2+3). (4+5) = El áre de un rectángulo, donde cd ldo está conformdo por dos segmentos, es igul l sum de ls áres de los cutro rectángulos, cuyos ldos son ls cominciones dos dos de los segmentos que conformn los ldos del rectángulo previo. Gráfico 5 (x+y). (x y) = x 2 - y 2 (+c) = + c (+). (c+d) = c+d+c+d A continución mostrmos los gráficos otenidos de cuerdo los ejemplos menciondos nteriormente: Pág.Nº 447

6 Grfico # 1: El áre de un cudrdo (+) 2 es igul l sum de ls áres de l figurs que contiene = Grfico # 2: - ( ) 2 2 El áre de un cudrdo (-) 2 es igul l sum y l diferenci de ls áres de l figurs que contiene = (Se sum 2 pues se rest dos veces, en y ) Grfico # 3: - X Y Z 2 El áre de un rectángulo (-).(+) es igul X + Y + Z, l cul corresponde l diferenci de ls áres de l figurs dos cudrdos contenidos, es decir, 2 2 Z Pág.Nº 448

7 Gráfico # 4: Gráfic # 5: c d c L sum de ls áres de dos rectángulos que tengn en común un ldo + c, es igul l áre de un rectángulo que teng por ldos, el ldo común los dos ddos y el otro ldo es l sum de los otros dos ldos, no comunes, es decir, (+c).c.c. d.d El áre de un rectángulo, donde cd ldo está conformdo por dos segmentos (+).(c+d), es igul l sum de ls áres de los cutro rectángulos, cuyos ldos son ls cominciones dos dos de los segmentos que conformn los ldos del rectángulo previo, es decir, c+d+c+d Biliogrfí 1.-) Ardil, Víctor H. Supermt, Mtemátics. Editoril Excelenci. Crcs ) Slcedo A, Guí pr el docente de Mtemátics. Editoril Lrousse, Crcs. 3.-) Torres B y otros, Supermt Mtemátics. Editoril Excelenci. Crcs ) Uniddes Didáctics: Orgnizdores Rico L, Segovi I. Didáctic de l Mtemátic en Educción primri. / Coord. Por De Cstro E, 2.001, ISBN ) Gómez, P. (2.007). Tesis Doctorl. Universidd de Grnd. Deprtmento de Didáctic de l Mtemátic. 6.-) Duvl, R. (1998). Registros de Representción semiótic y funcionmiento cognitivo del pensmiento. En F. Hitt (Ed.), Investigción en Mtemátics Eductiv II., pp México. CINVESTAV. Pág.Nº 449