CAPITULO VI CALCULO DE CANALES. 6.1 Condiciones normales

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1 Capítulo VI Cálculo de caales CAPITULO VI CALCULO E CANALES 6. Codicioes ormales Los aspectos teóricos más importates del flujo uiforme e caales ha sido a presetados e los capítulos I II. Ahora, e este capítulo VI, se expoe esecialmete el cálculo de caales. Es decir, el dimesioamieto de la secció trasversal para coducir u gasto dado e determiadas codicioes. Supogamos que e u caal escurre libremete u caudal Q. El movimieto es permaete uiforme. La profudidad del agua (tirate) está determiada por la pediete, la rugosidad, la forma de la secció trasversal por el caudal Q, que segú hemos dicho ates se supoe que es costate. El tirate co el que escurre el agua (o cualquier otro líquido) e estas codicioes se llama tirate ormal. El tirate ormal es, pues, el que caracteriza al movimieto permaete uiforme. Si el movimieto fuera, por ejemplo, gradualmete variado habría para cada secció u tirate diferete del ormal (maor o meor segú el caso). Al respecto se puede observar la Figura.4. E el capítulo II hemos establecido la ecuació geeral para el cálculo de la velocidad media e u coducto V = C RS (6-) e el cual V es la velocidad media, C el coeficiete de Chez, R el radio hidráulico S la pediete. 57

2 Hidráulica de tuberías caales Arturo Rocha Esta ecuació correspode a ua secció determiada cuo radio hidráulico R implica u tirate " " que es el tirate ormal. Esta ecuació (6-) llamada de Chez fue establecida e el capítulo II (ec. -4) mediate cosideracioes teóricas basadas e las ecuacioes de Karma-Pradtl. Lo esecial e esta ecuació es que el coeficiete C de Chez tiee ua estructura que es fució de las características del escurrimieto de la aturaleza de las paredes. La expresió geeral del coeficiete C es C = 8log 6R k δ + 7 (6-) R es el radio hidráulico, k la rugosidad absoluta δ el espesor de la subcapa lamiar.. Segú los valores relativos de k de δ el cotoro puede cosiderarse hidráulicamete liso o hidráulicamete rugoso. Esta es la forma presetada por Thijsse. La ecuació de Chez resulta ser etoces, V = 6R 8log RS k δ (6-) + 7 El gasto se obtiee imediatamete a partir de la ecuació de cotiuidad. Los valores de la rugosidad absoluta k puede obteerse de la Tabla 6. que es ua ampliació de la Tabla. (o de la Tabla 4.4). La velocidad media puede expresarse tambié por medio de la ecuació de Colebrook White, estudiada el capítulo III V = 8g RS k log + 4,8R 4,5ν 8g R RS (6-4) Esta ecuació es equivalete a la de Chez. Muchas veces el caal es hidráulicamete rugoso, etoces las ecuacioes 6- ó 6-4, que so geerales, puede fácilmete reducirse a este caso particular. 58

3 Capítulo VI Cálculo de caales TABLA 6. VALORES E LA RUGOSIA ABSOLUTA k MATERIAL k (m) Tubos mu lisos si costura (vidrio, cobre, acero uevo co superficie pitada, plástico, etc.) Fierro forjado Acero rolado, uevo Acero lamiado, uevo Fierro fudido, uevo Fierro galvaizado Fierro fudido, asfaltado Fierro fudido, oxidado Acero remachado Cemeto elucido Asbesto cemeto, uevo Cocreto cetrifugado, uevo Cocreto mu bie termiado, a mao Cocreto liso Cocreto bie acabado, usado Cocreto si acabado especial Cocreto rugoso uelas de madera Piedra asetada bie lisa Revestimieto de piedra Grava Piedra pequeña Piedra grade Roca Tierra (lisa) Fodo co trasporte de area Acequia co vegetació,5 x 0-6 4,5 x x x ,5 x 0-4,5 x 0-4, x 0-4 x 0 -,5 x 0-0,9 x 0-4 0,9 x 0-4 x 0-4,5 x 0-5,6 x ,5 x 0-5 x 0-4 x x 0-0 -,8 x x x 0-4 x x 0-5 x 0-0, x x 0-0, NOTA: Tégase presete que el valor de k señalado para los cotoros mu rugosos (roca, fodo de area, etc.) es absolutamete referecial sujeto a grades variacioes segú las circustacias de cada caso particular. 59

4 Hidráulica de tuberías caales Arturo Rocha 6. Fórmulas atiguas esde el siglo XVIII se coocía la ecuació de Chez (6-), pero se igoraba la aturaleza estructura del coeficiete C. La fórmula se origió e 768 cuado Chez recibió el ecargo de diseñar u caal para el sumiistro de agua a París. Hubo ua larga época e la que se cosideró que el coeficiete C era costate e igual a 50, para cualquier río. Examiaremos brevemete alguas de las umerosas fórmulas de orige experimetal que e el pasado se estableciero para el coeficiete C. Las fórmulas que presetaremos a cotiuació so las de Gaguillet-Kutter, Kutter Bazi. Las tres fórmulas se caracteriza por correspoder a la siguiete expresió geérica X C = Y + R (6-5) Los valores de X e Y correspode a cada fórmula particular. R es el radio hidráulico. C es el coeficiete a usarse e la ecuació de Chez. a) Fórmula de Gaguillet-Kutter La fórmula, establecida e 869 por los igeieros suizos E. Gaguillet W. R. Kutter, se basó e umerosas medicioes, icluedo el río Mississippi. urate muchos años estuvo bastate extedido el uso de esta fórmula. Su expresió es 0, C = S 0, S R (6-6) C es el coeficiete de Gaguillet-Kutter a usarse e la fórmula de Chez (6-), S es la pediete, R el radio hidráulico u coeficiete de rugosidad (de Kutter), cuos valores aparece e la Tabla

5 Capítulo VI Cálculo de caales Coviee cometar alguas particularidades de esta fórmula. Si el radio hidráulico es igual a etoces C resulta ser idepediete de la pediete la fórmula se reduce a C = (6-7) Segú señala Kig, la pediete S fue itroducida e la fórmula de Gaguillet-Kutter para lograr cocordacia co las medicioes efectuadas por Humphres Abbott e el río Mississippi. Si embargo, parecería que los errores (0 a 5 %) que tuviero esas medicioes orietaro erróeamete a Gaguilllet Kutter. Alguos piesa que si o se hubiera itroducido la ifluecia de la pediete, los resultados de la fórmula sería más precisos. Se observa que la fórmula de Gaguillet-Kutter correspode a la forma geérica de la ecuació 6-5. La fórmula de Gaguillet-Kutter e el sistema de uidades iglesas es 0,008,8 4,65+ + C = S 0, ,65 + S R (6-8) b) Fórmula de Kutter Para pedietes maores que 0,0005 (/ 000) la fórmula de Gaguillet-Kutter tiee ua forma particular establecida por Kutter que es idepediete de la fórmula (6-6). La fórmula es R C = 00 (6-9) m + R Los valores del coeficiete de rugosidad m so diferetes de los valores de (Kutter). R es el radio hidráulico. C es el coeficiete a usarse e la ecuació de Chez. Los valores de m aparece e la Tabla 6.. 6

6 Hidráulica de tuberías caales Arturo Rocha TABLA 6. VALORES EL COEFICIENTE E KUTTER QUE GENERALMENTE SE USAN EN LOS ISEÑOS. SUPERFICIE Superficie metálica, lisa, si pitar Superficie metálica, lisa, pitada Superficie metálica, corrugada Cemeto liso Mortero de cemeto Madera cepillada Madera si cepillar Tabloes si cepillar Cocreto liso Cocreto bie acabado, usado Cocreto frotachado Cocreto si termiar Guita (secció bie termiada) Guita (secció odulada) Superficie asfáltica lisa Superficie asfáltica rugosa Tierra, limpia, secció ueva Tierra, limpia, secció atigua Tierra gravosa Tierra, co poca vegetació Tierra, co vegetació Tierra, co piedras Tierra, co pedroes Para seccioes circulares (trabajado como caal) Metal, liso Acero soldado Acero ribeteado Fierro fudido Cemeto Vidrio 0,0 0,0 0,05 0,0 0,0 0,0 0,0 0,04 0,0 0,04 0,05 0,07 0,09 0,0 0,0 0,06 0,08 0,0 0,05 0,07 0,05 0,05 0,040 0,00 0,0 0,06 0,0 0,04 0,0 0,0 0,00 6

7 Capítulo VI Cálculo de caales TABLA 6. VALORES EL COEFICIENTE m E RUGOSIA A USARSE EN LA FORMULA E KUTTER PARA PENIENTES MAYORES QUE 0,0005 CATEGORIA FORMA ESCRIPCION m I II Semicircular Superficie mu lisa. Cemeto mu pulido Superficie bastate lisa. Madera cepillada 0, 0,5 III Superficie bie termiada 0,0 IV Superficie usada. Tuberías de abastecimieto de agua co mucho tiempo de servicio, pero Rectagular si grades icrustacioes 0,5 V VI VII Otras Piedra labrada bie acabada Piedra o bie termiada, usada Piedra rústica, fodo co poco lodo 0,0-0,5 0,45 0,55 VIII Piedra mal termiada, fodo fagoso 0,75 IX Piedra atigua, si vegetació, fagoso,00 Fodo rocoso. Acho iferior a,50 m. Poca Xa vegetació,5 Xb Secció defiida, e tierra si vegetació,50 XIa E tierra co fodo pedregoso o fagoso. Poca vegetació. Acho superior a m Trapecial (correspode a alguos arroos ríos),75 XIb E tierra o piedra, lecho fagoso, co vegetació abudate (correspode a alguos arroos ríos),00 XII E tierra co vegetació mu abudate. Co mal mateimieto, lecho fagoso. Arrastre de fodo,50 6

8 Hidráulica de tuberías caales Arturo Rocha c) Fórmula de Bazi Esta fórmula fue establecida por Bazi e C = G + R (6-0) C es el coeficiete a usarse e la fórmula de Chez, R el radio hidráulico, G el coeficiete de rugosidad de Bazi. Los valores del coeficiete G aparece e la Tabla 6.4 determiada por el autor de la fórmula. TABLA 6.4 VALORES EL COEFICIENTE G E RUGOSIA A UTILIZARSE EN LA FORMULA E BAZIN CATEGORIA ESCRIPCION G Cotoro mu liso, perfectamete ejecutado. Placha metálica. Cemeto liso, madera mu cepillada. 0,06 Cotoros lisos. Cocreto bie acabado. 0,6 Cocreto si pulir. Albañilería de piedra bie termiada. 0,46 4 Caales e tierra, si vegetació. 0, Caales e tierra co hierbas. Ríos de cauce irregular, si vegetació. Caales e tierra co vegetació. Fodo de catos rodados. Caales e tierra mu erosioados e irregulares.,0,75 Además de las tres fórmulas presetadas ha habido desde fies del siglo XIX ua catidad eorme de ellas. Sólo a título ilustrativo podríamos mecioar las siguietes. Kauff, quié e realidad presetó u cojuto de fórmulas, cada ua de las cuales se aplica segú la forma de la secció la aturaleza de las paredes. Utilizó el cocepto de rugosidad de Kutter. 64

9 Capítulo VI Cálculo de caales Siedek publicó e Viea e 90 "ua ueva fórmula para el cálculo de caales" que es e realidad bastate complicada. Al igual que muchas fórmulas de esa época está basada e modificacioes de las ideas de Kutter Bazi. Lidboe publicó e 90 ua "ueva fórmula" para el cálculo de la velocidad media e corrietes aturales. Matakiewiez publicó e 90 otra ueva fórmula para cursos aturales (ríos). Ha muchas otras más como la de Christe (90), Forchheimer (95), Groeger (94), Scobe, etc. Respecto a las fórmulas empíricas para el cálculo de la velocidad media es coveiete citar lo escrito por el profesor Fracisco Javier omigez. "Ua crítica razoada cietífica de las fórmulas ateriores o puede hacerse, pues, e primer lugar, o descasa e base cietífica, sio que so fórmulas empíricas de resultados experimetales ha, además, dificultades de otro orde, que impide ua comparació justa. E efecto, Cómo preteder comparar las categorías fijadas por u experimetador co las de otro?. Es evidete que e la primera categoría, que es la mejor defiida, cabe ua comparació e ella parece adaptarse mejor a las experiecias la de Bazi que la de Gaguillet Kutter Maig; pero pasado a otras categorías, mietras más áspera es la pared, más difícil es comparar. Ha otra dificultad es determiar por simple ispecció que categoría de ua fórmula que se quiere usar, correspode a u caal existete, es aú más difícil proectar u caal dádose a priori la categoría que debe asigársele. Por otra parte, la rugosidad de pared de u lecho cambia si está sujeto a posibles embacamietos, deformacioes vegetacioes, variables de ua estació a otra: estamos lejos de haber expresado e fórmulas la asperidad de la pared de los caales, variable desde u cemeto liso hasta ua roca. 6. Fórmula de Maig Es la fórmula cuo uso se halla más extedido e la actualidad. Proviee de cosiderar que e la fórmula de Chez el coeficiete C es C 6 R = (6-) de dode al sustituir e 6- se obtiee la fórmula de Maig 65

10 Hidráulica de tuberías caales Arturo Rocha V R S = (6-) el gasto es Q AR S = (6-) Los valores del coeficiete de rugosidad so los de Kutter (Tabla 6.), los mismos que se utiliza e la fórmula de Gaguillet-Kutter (6-6). Se observa que las dimesioes de so TL. E cosecuecia, al teer uidades debería de cambiar de u sistema de uidades a otro. Si embargo, desde el pricipio se impusiero los valores de determiados por Kutter (sistema métrico decimal) se halló ua solució práctica que cosiste e cosiderar a como adimesioal e icorporar e la ecuació de Maig, e uidades iglesas, u factor de correcció que es parte de la fórmula. Así se tiee, que e el sistema de uidades iglesas, la ecuació de Maig es,486 V = R S (6-4) Las uidades de,486 so ft / /sec. (,486 =,808 / ). E el sistema métrico decimal la costate vale sus uidades so m / /s. ado el carácter empírico de la fórmula de Maig debe esperarse que su validez esté limitada a determiadas codicioes. Rouse, e su "Hidráulica" señala que: "La fórmula de Maig es aceptable para valores itermedios de la rugosidad relativa. Tampoco ha que olvidar que ua expresió de este tipo o puede eglobar la acció de la viscosidad. Es, pues, de supoer que su poca exactitud dismiua co úmeros de Reolds bajos". E la literatura europea es frecuete que la fórmula aparezca co el ombre de Strickler o de Maig-Strickler co la siguiete forma V = kr S (6-5) siedo, 66

11 Capítulo VI Cálculo de caales k = (6-6) La ecuació de Strickler se cooce frecuetemete e los libros técicos fraceses co el ombre de fórmula de Gauckler, quie fue u igeiero que e 868 publicó e "Aales des Pots et Chaussées" la fórmula e cuestió, la misma que e 89 fue atribuida e su forma actual al irladés Maig. Alguos autores soviéticos cosidera que e lugar de la fórmula 6- debería usarse otra similar, pero co expoete variable. E 95 Pavlovski presetó la expresió siguiete C R x = (6-7) Siedo, ( 0, 0) x =,5 0, 0,75 R (6-8) C es el coeficiete de Chez e uidades métricas. Esta fórmula es válida para radios hidráulicos compredidos etre 0, m m para valores de compredidos etre 0,0 0,040. La ecuació 6-8 se puede simplificar para fies prácticos, co las siguietes ecuacioes Para R < m x =,5 (6-9) Para R > m x =, (6-0) Para el cálculo de u caal, o sea para el dimesioamieto de la secció trasversal, deberá tomarse e cueta todos los factores que afecte al coeficiete de Kutter, los mismos que será aalizados más adelate. Ejemplo 6. Se tiee u caal rectagular de 0 m de acho m de tirate que coduce agua. La superficie es de cocreto, bie acabado, pero co varios años de uso. La pediete es 0,0008. Calcular el gasto utilizado las fórmulas de Gaguillet-Kutter, Kutter, Bazi, Maig, Chez Pavlovski. Comparar los resultados. (T = 0 C) Solució. E primer lugar se calcula de imediato el radio hidráulico que resulta ser R =,875 m 67

12 Hidráulica de tuberías caales Arturo Rocha a) Fórmula de Gaguillet-Kutter. La descripció del cotoro correspode a = 0,04. Etoces, 0, ,04 0,0008 C = = 77 m 0,0055 0,04 / /s + + 0,0008,875 de dode, V = C RS =,98 m/s Q = AV = 89,4 m /s b) Fórmula de Kutter (S > 0,0005). La descripció del cotoro correspode a m = 0,5 C = 00,875 0,5 +,875 = 85 m / /s V =,9 m/s Q = 98,7 m /s c) Fórmula de Bazi. La descripció del cotoro correspode a G = 0,6 87 C = = 78 m / /s 0,6 +,875 V =,0 m/s Q = 90,6 m /s d) Fórmula de Chez. La descripció del cotoro correspode a k = x0-4 m V = 0, m/s * δ = 0, m V * k = 6 (trasició) C = 87 m ν / /s por lo tato, V =,7 m/s Q = 0, m /s 68

13 Capítulo VI Cálculo de caales e) Fórmula de Maig. ( = 0,04) V R S = =,07 m/s Q = 9, m /s (Correspode a u valor de C igual a 79 m / /s, que se obtiee aplicado la ecuació 6-) f) Fórmula de Pavlovski. ( = 0,04) ( 0,04 0,0 ) x =,5 0,04 0, 0,75,875 = 0,47 x R C = = 78 m / /s V = C RS =,0 m/s Q = 90,6 m /s COMPARACION E LOS RESULTAOS FORMULA C V Q Gaguillet Kutter 77,98 89,4 Kutter 85,9 98,7 Bazi 78,0 90,6 Chez 87,7 0, Maig 79,07 9, Pavlovski 78,0 90,6 Promedio 8, 9,8 Ejemplo 6. Cuáles sería los valores del gasto e el caal del ejemplo aterior segú las mismas fórmulas cosiderado que el caal fuera de tierra co fodo pedregoso, e bue estado. Comparar los resultados de ambos ejemplos. Solució. a) Gaguillet-Kutter = 0,05 C = 45 m / /s V =,74 m/s Q = 5, m /s 69

14 Hidráulica de tuberías caales Arturo Rocha b) Kutter c) Bazi d) Chez e) Maig f) Pavlovski m =,75 C = 44 m / /s V =,70 m/s Q = 5 m /s G =, C = 45 m / /s V =,74 m/s Q = 5, m /s k = 5x0 - m C = 48 m / /s V =,86 m/s Q = 55,8 m /s = 0,05 V =,7 m/s Q = 5,6 m /s = 0,05 x = 0,06 C = 46 m / /s V =,78 m/s Q = 5,4 m /s COMPARACION E LOS GASTOS CALCULAOS (m /s) SUPERFICIE FORMULA Gaguillet - Kutter Kutter Bazi Chez Maig Pavlovski CONCRETO BIEN ACABAO CON VARIOS AÑOS E USO 89,4 98,7 90,6 0, 9, 90,6 EN TIERRA CON FONO PEREGOSO, BUEN ESTAO 5, 5 5, 55,8 5,6 5,4 70

15 Capítulo VI Cálculo de caales e este ejemplo obteemos alguas coclusioes importates. E primer lugar, las diversas fórmulas o da ua gra dispersió e los resultados, para ua misma aturaleza del cotoro. E segudo lugar, esto es mu importate, la velocidad está fuertemete iflueciada por la aturaleza del cotoro. E el diseño de u caal será de primerísima importacia la correcta estimació de la rugosidad de las paredes. e acá vemos la importacia que tiee el revestimieto. Al obteerse ua superficie más lisa se logra dismiuir el tamaño de la secció trasversal ó aumetar la capacidad de descarga del caal. 6.4 iscusió de los valores del coeficiete de rugosidad a emplearse e la fórmula de Maig Básicamete se preseta dos problemas de aturaleza diferete a) ado u curso de agua existete calcular el gasto Q que puede escurrir, aplicado la fórmula de Maig. Para ello se requiere estimar el valor de que correspode al cauce. b) ado u problema de diseño ha que cosiderar para la superficie (revestimieto) que va a teer el caal, cual es el valor de que se le asiga. Las tablas cosidera los valores usuales del coeficiete para codicioes que podríamos llamar ormales. Si embargo, lo ormal es que u caal tega uo o varios de los problemas que a cotiuació se señala que modifica el valor origial que podía haberse asigado a. El coeficiete depede, pues, esecial, pero o exclusivamete de la aspereza de la superficie. Tambié iterviee lo siguiete a) Curvas. No es correcto cosiderar el coeficiete de rugosidad, que estrictamete es u coeficiete de resistecia, como idepediete del alieamieto del caal. La presecia de curvas aumeta la resistecia. Especialmete si estas so umerosas de pequeño radio de curvatura. b) Vegetació. Es particularmete importate e caales pequeños. Su crecimieto puede alterar esecialmete los valores supuestos e base úicamete a la rugosidad. Es frecuete e caales e tierra. Su crecimieto desmedido puede dar lugar fácilmete a aumetos del orde del 50 % e el valor de. c) Irregularidades. Los caales e tierra se caracteriza por o teer ua secció trasversal ivariable. Las pequeñas irregularidades que puede ocurrir como cosecuecia de bacos, depósitos de sedimetos, etc. altera el valor de la rugosidad supuesta. 7

16 Hidráulica de tuberías caales Arturo Rocha Esto se agrava cuado el caal tiee trasporte sólido, que motiva ua cofiguració variable del lecho. d) Tirate. E geeral al aumetar el tirate se tedrá, de acuerdo a la teoría, que la rugosidad relativa dismiue por lo tato tambié debe dismiuir el coeficiete. Cowa determió que el valor de a cosiderarse e los cálculos debería tomar e cueta los factores ateriormete señalados, segú la ecuació siguiete siedo ( ) m5 = + 0 : el valor básico que depede de la rugosidad (aspereza) : es u valor adicioal para tomar e cueta las irregularidades : es u valor adicioal para tomar e cueta las variacioes e la forma tamaño de la secció trasversal : es para tomar e cueta las obstruccioes 4 : es para tomar e cueta la vegetació m : es u factor para tomar e cueta los meadros 5 Al respecto se iclue la Tabla 6.5 tomada del libro de Ve Te Chow. 6.5 etermiació de la secció trasversal E el cálculo de la secció de u caal debe partirse del hecho siguiete: desde el puto de vista hidráulico ha, e pricipio, u úmero ifiito de solucioes. Si se va a costruir u caal el gasto o caudal está dado por las codicioes de diseño; o proviee de u cálculo hidráulico, sio de la fució del caal, de la aturaleza del servicio que presta por cierto del aálisis que se ha hecho de las dispoibilidades de agua. El caudal de diseño Q es u dato impuesto al que debe adecuarse el cálculo de la secció del caal. U caal puede servir para abastecer de agua a ua ciudad, servir a ua irrigació, a ua cetral hidroeléctrica o teer u uso múltiple. Para trasportar u gasto Q podemos, detro de las limitacioes topográficas, adoptar ua determiada pediete compatible co la aturaleza del revestimieto, que escogeremos e fució de varios factores: costo, seguridad, dispoibilidad de materiales, etc. 7

17 Capítulo VI Cálculo de caales TABLA 6.5 TABLA E COWAN PARA ETERMINAR LA INFLUENCIA E IVERSOS FACTORES SOBRE EL COEFICIENTE Tierra 0,00 Superficie del Caal Roca 0,05 0 Grava fia 0,04 Grava gruesa 0,08 Suave 0,000 Irregularidad Meor 0,005 Moderada 0,00 Severa 0,00 Gradual 0,000 Variació de la Secció Ocasioal 0,005 Frecuete 0,00 0,05 espreciable 0,000 Efecto de la Obstrucció Meor 0,00 0,05 Apreciable 0,00 0,00 Severo 0,040 0,060 Bajo 0,005 0,00 Vegetació Medio 0,00 0,05 Alto 4 0,05 0,050 Mu alto 0,050 0, Itesidad de Meadros Meor,000 Apreciable m,50 Severo,00 5 ( ) m5 = + 7

18 Hidráulica de tuberías caales Arturo Rocha E esas codicioes podemos diseñar diversas seccioes trasversales: rectagular, trapecial, semicircular, etc. E la Figura 6. se observa varias seccioes trasversales que se caracteriza por teer todas u radio hidráulico de m. 4 m 6 m,5 m 6 m m m m 4 m,4 m 45,095 m 0 m Figura 6. Comparació de varias seccioes trasversales que se caracteriza por teer todas u radio hidráulico de m Veamos, co u poco más de deteimieto, cuales so los factores limitates para el diseño. No siempre u caal coduce agua totalmete libre de partículas sólidas (sedimetos). ebemos admitir, pues, que e muchos casos el agua cotedrá partículas e suspesió (areas, limos, arcillas) de diferete diámetro. Si la velocidad del caal es pequeña ha la posibilidad de que estas partículas sedimete formado bacos o depósitos. ado que la secció trasversal se caracteriza por teer ua distribució de velocidades, ha zoas e las que la velocidad es otablemete meor que la velocidad media. 74

19 Capítulo VI Cálculo de caales Si embargo, se cosidera que, por lo meos e primera aproximació, la velocidad media es u parámetro útil para examiar la posibilidad de sedimetació. Cada partícula sólida se matiee e suspesió e fució de la relació que existe etre su velocidad de caída w la velocidad V de la corriete. w V w V Valores altos de esta relació idica tedecia a la sedimetació. A veces las partículas actúa como proectiles si la velocidad es alta puede destruir el revestimieto. El problema de erosió sedimetació es más serio e tramos e curva, pues e ua marge la velocidad es mu grade e la otra mu pequeña. Segú la aturaleza de las paredes ha tablas que da las velocidades límites. La velocidad ideal es la que para las características del agua del revestimieto o produce erosió i sedimetació da lugar a u costo míimo de costrucció. El talud de la secció depede de la aturaleza del terreo. esde el puto de vista puramete hidráulico se puede lograr los mismos resultados co u caal de cualquier forma. z Los taludes que geeralmete se recomieda so los siguietes (e seco) MATERIAL TALU z Roca dura saa Roca fisurada Suelos cemetados, firmes Tierra arcillosa Tierra areosa Area 0 0,5,5,5 ó más Los valores cosigados e esta tabla debe cosiderarse meramete refereciales. Siempre cosideramos que el talud se defie como vertical z horizotal. 75

20 Hidráulica de tuberías caales Arturo Rocha La secció hidráulica de u caal debe satisfacer la fórmula de Maig (o algua de las otras fórmulas). Q = AR S de dode, Q AR = (6-) S El miembro de la izquierda describe la geometría de la secció trasversal. El valor / AR geeralmete crece al aumetar el tirate. Para u valor del gasto ua rugosidad pediete dadas ha u valor de / AR que correspode al tirate ormal. Para realizar u bue diseño, debemos teer ua idea clara de como varía el gasto co el tirate, lo que se logra efectuado el cálculo respectivo graficado como se ve e la figura adjuta. ( Q) = f (6-) Q Empezaremos por aalizar como se realiza el cálculo cuado ha ua codició impuesta. Esta puede ser el acho e la base o el tirate. Si igua de estas dos codicioes es impuesta, etoces teemos maor libertad para escoger la secció trasversal. CASO A: Se cooce el acho b e la base Los datos so b : acho e la base Q : gasto S : pediete z : talud : rugosidad 76

21 Capítulo VI Cálculo de caales La icógita es el tirate Este caso se preseta co algua frecuecia dado que por razoes costructivas se puede requerir para el caal u acho determiado. Para la solució de este caso Ve Te Chow ha preparado u gráfico al que se etra co los AR b / valores de 8/ se obtiee el valor de b, para cada talud (Figura 6.), tal como se ve e el esquema adjuto. El gráfico de Ve Te Chow ha sido ampliado de modo de icluir la Máxima Eficiecia Hidráulica, que más adelate se presetará. z b AR b 8/ / Para el cálculo de AR basta co recordar que (6-) Q AR = S Ejemplo 6. Se tiee u caal trapecial revestido e tierra e regulares codicioes de coservació. El acho e la base es de 4 m. El talud de 45. La logitud de caal etre los putos A B es de 000 m. La cota del puto A es 86,5 m la cota del puto B es 85,8 (ambas cotas está medidas e la superficie libre). El gasto es de 8 m /s.calcular el tirate ormal. ibujar la fució gasto-tirate. 77

22 78 b ó ,0 0,8 0,6 0,4 0, 0, 0,000 0,00 0,0 0, circular 0, 0,5 z = 0,5 z = 0 (rectagular) 4 z =, MEH z =,5 z =,0 z =,5 z =,0 z = 4, ,0 0,8 0,6 0,4 0, 0, b ó Hidráulica de tuberías caales 0, 0,08 0,06 0, 0,08 0,06 0,04 0,0 0,0 z b 0,04 0,0 0,0 0,0 0,000 0,00 0,0 0, 0, 0, ,0 9 0 AR b 8/ / ó / AR 8/ Figura 6. Curvas para determiar el tirate ormal (Ve Te Chow) Arturo Rocha

23 Capítulo VI Cálculo de caales Solució. Q = 8 m /s b = 4 m z = S = 0,0007 = 0,0 (Tabla 6.) Q AR = = 6,04 o o o S b 8 AR = 0,5 e la Figura 6. se obtiee b = 0,5 de dode =,6 m Luego el tirate ormal es,6 m se puede calcular toda la secció trasversal (para 8 m /s). Examiemos ahora el método de tateos, tato para resolver este ejemplo si la auda del gráfico de Ve Te Chow, como para obteer la fució gasto - tirate (ec 6-). Cosideremos ua secció trapecial como la mostrada e la figura b z Aplicado ecuacioes coocidas se obtiee las expresioes siguietes A = ( b + z ) (6 -) P + = b + z (6-4) e dode, ( b + z) R = (6-5) b + + z ( b + z) S b z Q ( b z) + + = + (6-6) 79

24 Hidráulica de tuberías caales Arturo Rocha Reemplazado los datos del ejemplo se tiee A = ( 4 + ) P = 4 + ( 4 + ) R = 4+ Q = ( 4+ ) ( 4 + ) 4+ 0,0 ( 0,0007 ) Teemos así ua ecuació co ua icógita, que puede ser resuelta por el método de tateos. Q =, ( 4 + ) ( 4 + ) 4 + ado valores al tirate se obtiee lo siguiete (m) 0,9,0,,,,4,5 Q(m /s) 4,48 5,7 6,4 7,7 8,48 9,66 0,9 (m),6,4,6,,0 0,8 0,6 0,4 0, Q (m /s) 80

25 Capítulo VI Cálculo de caales CASO B: Se cooce el tirate Los datos so : tirate Q : gasto S : pediete z : talud : rugosidad La icógita es el acho e la base. Esta codició se preseta cuado por razoes de servicio se requiere u tirate determiado. Para la solució se puede recurrir al método de tateos descrito ateriormete. CASO C: Se descooce los valores de b e Para la solució se puede escoger libremete los valores del acho e la base el tirate. Se suele usar etoces el cocepto de máxima eficiecia hidráulica que se estudia a cotiuació. 6.6 Secció de máxima eficiecia hidráulica (M. E. H.) Como se ha visto ateriormete ha muchas seccioes trasversales que satisface las ecuacioes de la velocidad media e movimieto uiforme. Como ormalmete los datos so Q,, z S ha muchas combiacioes de las icógitas b e, que satisface la fórmula de Maig. Ateriormete hemos visto los casos e los que ha ua codició impuesta: Por ejemplo, el acho e la base. Etoces se calcula el tirate que satisface la codició hidráulica. O bie al revés. Tambié puede darse que haa libertad para escoger los valores del acho e la base el tirate. E estos casos puede buscarse la secció de máxima eficiecia hidráulica. Se dice que ua secció es de máxima eficiecia hidráulica cuado para la misma área, pediete calidad de paredes deja pasar u gasto máximo. O bie, es aquella que para el mismo gasto, pediete calidad de paredes tiee u área míima. 8

26 Hidráulica de tuberías caales Arturo Rocha La secció de M. E. H. se puede iterpretar a la luz de la fórmula de Maig Q = AR S Luego, 5 Q A = P S Q A = S 5 P 5 Como e u caal dado, Q, S so costates 5 A = KP La secció de M. E. H. es aquella que para la misma área tiee el perímetro míimo. E cosecuecia la secció de máxima eficiecia hidráulica es la semicircular. Esto, basádose e la propiedad geométrica de ser el círculo la figura que para la misma área tiee el perímetro míimo. E codicioes ormales la secció de M. E. H. ivolucra la míima secció de excavació, de revestimieto de superficie de ifiltració. Tambié debe teerse presete que el perímetro míimo ivolucra meor rozamieto. Si embargo, los caales circulares so poco usados. Naturalmete que e u caal e media ladera la secció de M. E. H. o da la míima excavació. Ha ua patete española, Barragá, para la costrucció de caales circulares. Más adelate os ocuparemos de este tipo de caales. 8

27 Capítulo VI Cálculo de caales Para obteer la secció de máxima eficiecia hidráulica e la práctica se reemplaza la secció semicircular por ua trapecial. z T z b Lo que os iteresa es la relació que debe haber etre b e para que la secció sea de máxima eficiecia hidráulica. Llamemos m a esta relació b m = (6-7) Mediate simples cosideracioes geométricas se obtiee de dode, ( m z ) A = + = A m + z El perímetro es P = m + + z Mediate trasformacioes sucesivas se obtiee ( + 4m + z + 4 4z ) P m + P z = A m + erivado el perímetro P co respecto a m se obtiee 8

28 Hidráulica de tuberías caales Arturo Rocha dp dm A( m + + z ) P = P( m + z) = 0 e dode, m = ( + z z) (6-8) Se coclue que para cada talud ha ua relació m, que es la que da la máxima eficiecia hidráulica. Así por ejemplo, e u caal rectagular z = 0, de dode m =. Sigifica esto que e u caal rectagular la máxima eficiecia hidráulica se obtiee cuado el acho es igual al doble del tirate. b = Para las diferetes seccioes trapeciales la relació m se obtiee para cada talud, aplicado la ecuació 6-8. Los valores más comues so z 0 0,5 0,5,5,5 4 m,56,4 0,8 0,6 0,47 0,9 0, 0,5 E ua secció de M. E. H. el radio hidráulico es R ( m + z) m+ + z = (6-9) reemplazado el valor de m de la ecuació 6-8 se obtiee, luego de simplificar 84

29 Capítulo VI Cálculo de caales R = (6-0) Lo que demuestra que e ua secció de máxima eficiecia hidráulica el radio hidráulico es igual a la mitad del tirate (secció trapecial). Tambié puede obteerse las codicioes de máxima eficiecia hidráulica para talud variable. Se busca así el llamado "talud más eficiete". Para este caso el perímetro es ( m + z ) P = + por codició de M. E. H. m = ( + z z) sustituedo se obtiee que el perímetro míimo es P mi = 4 + z z dp mi dz = 0 de dode z = (6-) E las Tablas se preseta cuadros auxiliares para el cálculo de caales e máxima eficiecia hidráulica. Ejemplo 6.4 U caal debe trasportar 6 m /s. La icliació de las paredes (talud) impuesta por la aturaleza del terreo es 60 co la horizotal. etermiar las dimesioes de la secció trasversal co la codició de obteer máxima eficiecia hidráulica. La pediete del fodo es 0,00 el coeficiete de rugosidad de Kutter se ha cosiderado de 0,05. Solució. tg 60 = z =,7. Luego, z = 0,577 85

30 Hidráulica de tuberías caales Arturo Rocha Para máxima eficiecia hidráulica se tiee que, ( + z z) m = =,55 o o o b =,55 Para utilizar el gráfico de la Figura 6. debemos etrar co la iversa del valor aterior obteemos que, = 0,866 b pero, b 8 AR = 0,74 Q AR = =,74 o o o b =,6 m S luego los otros valores so =,4 m A =,45 m V =,74 m/s R = 0,705 m El cálculo podría haberse hecho de otra maera. A partir de la ecuació aplicado la fórmula de Maig ( m z) A = + se obtiee A =,7 se obtiee Q =,7 0,05 8 Q =,9 ( 0,00 ) para Q = 6 m /s se ecuetra =,4 m (Este problema se podría haber resuelto usado la Tabla 6.9) 86

31 Capítulo VI Cálculo de caales Co lo que la secció trasversal queda así,,6 m,6 m,4 m 60º,6 m,6 m Q = 6 m /s V =,74 m/s R = 0,705 m A =,45 m P = 4,89 m =,4 m Se observa que por ser ua secció trapecial de máxima eficiecia hidráulica el radio hidráulico es igual a la mitad del tirate, la logitud de cada talud es igual a la mitad del acho superficial. El talud, por la aturaleza del terreo es de 60. Casualmete resulta ser el talud que da el perímetro míimo (talud más eficiete). Al respecto se puede ver la ecuació 6-. E este caso particular la secció hidráulica obteida es la mitad de u hexágoo. Si resolviéramos este mismo problema para u talud diferete de 60 obtedríamos siempre ua secció de máxima eficiecia hidráulica (para el talud respectivo), pero el perímetro sería maor que 4,89 m. Co la ecuació Q =,9 8 obteida, se puede hacer u gráfico (m),0,5,0 0, Q (m /s) 87

32 Hidráulica de tuberías caales Arturo Rocha La ecuació que se ha obteido gasto-tirate es mu importate. Así por ejemplo, si el gasto fuera 0 % maor (6,6 m /s). Etoces =,46 m 6.7 Cocepto de borde libre Se deomia borde libre (freeboard) a la altura (tirate) adicioal que se da a fi de absorber los iveles extraordiarios que pueda presetarse por ecima del caudal de diseño de u caal. borde libre Por qué puede presetarse e u caal u tirate maor que el correspodiete al del gasto de diseño?. Por ejemplo, si se diseña u caal para 0 m /s se ecuetra que el tirate (ormal) es,0 m Por qué hemos de esperar u tirate maor? Las razoes podría ser. etre otras, las siguietes a) Cuado se calcula la secció trasversal de u caal ha que supoer u valor para la rugosidad, pero, e el mometo de la costrucció por causas que escapa al igeiero diseñador puede ser que la superficie tega ua maor rugosidad. E cosecuecia, se requerirá de u tirate maor para que escurra el mismo caudal. Tambié puede ocurrir que co el paso de los años el revestimieto del caal se deteriore tieda a hacerse más rugoso. Si este feómeo fuera más iteso que el previsto, la diferecia es tomada por el borde libre. b) Ua mala operació e las compuertas de etrada al caal puede dar lugar a que igrese a éste u caudal maor que el de diseño. c) A lo largo de la coducció puede presetarse igresos de agua o previstos. d) Puede ocurrir ua obstrucció parcial a lo largo de la coducció. Por ejemplo, caída de u troco. El borde libre sirve para absorber los icremetos e el tirate que se produzca como cosecuecia de lo aterior. e) Por ua razó u otra puede presetarse ua oda e el caal. El borde libre debe absorber la altura de ola correspodiete. 88

33 Capítulo VI Cálculo de caales El borde libre es, pues, ua seguridad que toma el igeiero diseñador cotra feómeos que tiee ua cierta probabilidad de ocurrecia. Etoces la magitud del borde libre depede esecialmete del grado de seguridad que se debe dar al caal como cosecuecia de su importacia de ua estimació de la posibilidad que ocurra algú feómeo extraordiario. E cosecuecia, e la determiació de la magitud del borde libre juega u gra papel la aturaleza del terreo e que está costruido el caal. Si el caal rebalsa está e zoa areosa las cosecuecias puede ser mucho más graves que e otro tipo de suelo. Para dimesioar el borde libre (etedido como ua altura vertical adicioal al tirate) debemos teer e cueta la forma de la secció trasversal esecialmete la curva gasto-tirate. Supogamos que se tiee dos seccioes trasversales como las mostradas a cotiuació m 8 m Si ambas tiee similares velocidades, es evidete, puede demostrarse mediate el cálculo, que u borde libre igual e ambas, represetará e la primera u pequeño aumeto de caudal e la seguda u aumeto de caudal bastate maor. El aálisis de la curva gasto-tirate os permite visualizar el problema del borde libre bajo ua perspectiva diferete. No pesemos úicamete e cetímetros adicioales para el tirate, sio e su equivalete e metros cúbicos por segudo. Por último, podríamos señalar que e zoas e las que los estudios hidrológicos o ofrece ua gra cofiabilidad, tato e la estimació de la oferta como de la demada, e las que sea cara el agua, es coveiete dimesioar co geerosidad el borde libre. Naturalmete que ha que teer presete como varía el costo de u caal co el tirate. Esta fució o es lieal, de modo que es frecuete que u aumeto e el tirate produzca u aumeto pequeño e el costo del caal. Ve Te Chow señala que el borde libre varía etre meos del 5 % más del 0 % del tirate. Idudablemete se trata de valores extremos. 89

34 Hidráulica de tuberías caales Arturo Rocha Para caales e tierra, dode dicho sea de paso es maor la icertidumbre co respecto al coeficiete de rugosidad, el Bureau of Reclamatio señala que el borde libre varía etre ft (0,0 m) para caales pequeños poco profudos, hasta 4 ft (,0 m) para caales grades, profudos co caudales de 85 m /s ó más. Para cálculos prelimiares el Bureau recomieda la fórmula siguiete b.l. : es el borde libre e metros : es el tirate e metros c : es u coeficiete que varía así 0,46 para Q = 0,60 m /s 0,76 para Q = 85 m /s b. l. = c (6-) El Bureau of Reclamatio recomieda el gráfico de la Figura 6., Altura del Terraplé sobre la Superficie Libre Altura del Revestimieto sobre la Superficie Libre ALTURA EN METROS 0,9 0,6 0, 0,,,4, ,,0 0 GASTO 00 m /s Figura 6. Borde libre recomedado por el Bureau of Reclamatio Ha tambié uas curvas que da el borde libre e fució del tirate la velocidad, tal como aparece e la Figura

35 Capítulo VI Cálculo de caales 6 5 TIRANTE EN METROS 4 velocidad 0,80 m/s,0 m/s, m/s,4 m/s,6 m/s,8 m/s,0 m/s, m/s,4 m/s,6 m/s,8 m/s,0 m/s, m/s,4 m/s,6 m/s 0 0 0, 0, 0, 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 BORE LIBRE EN METROS Figura 6.4 Tabla orietativa para el cálculo del borde libre e caales revestidos (Tomada de Egieerig News Record) 9

36 Hidráulica de tuberías caales Arturo Rocha 6.8 Cálculo de caales de secció compuesta Puede haber caales que tega ua secció trasversal como esta Se dice etoces que es ua secció compuesta. Está formada por la suma de dos figuras geométricas. Tambié puede ocurrir algo similar e u cauce atural. U río tiee e época de estiaje u caudal pequeño, pero e época de abudacia tiee u caudal grade que ocupa las áreas adacetes. Areas de iudació Q Q Q Ua secció compuesta se puede dividir e N seccioes parciales de modo que el gasto total Q es igual a la suma de los gastos parciales Q = (6-) Q + Q + Q +... Q N Cada parte de la secció tiee su propia rugosidad:,,..., Para cada parte de la secció se tedrá que N V i i R S = i 9

37 Capítulo VI Cálculo de caales Q AiRi S i = = i K S i siedo, K i = AiR i i El gasto total es Q i= ( K ) S = (6-4) i de dode, V = ( K ) i A S (6-5) que es la expresió de la velocidad media e ua secció compuesta. Rugosidad compuesta U caal puede ser costruido de modo que el fodo las paredes tega rugosidades diferetes. Habrá así dos valores para el coeficiete de rugosidad. Uo para el fodo otra para las paredes. Se dice etoces que el caal es de rugosidad compuesta. vidrio madera piedra cocreto Estas figuras muestra dos ejemplos característicos de rugosidad compuesta. Si cada parte de la secció tiee u coeficiete e hallar u valor de que sea represetativo de todo el perímetro. i de Kutter, etoces el problema cosiste 9

38 Hidráulica de tuberías caales Arturo Rocha Cosideremos que hubiera N rugosidades diferetes. A cada ua le correspode ua parte del perímetro mojado. Rugosidades:... N Perímetros: P P P... PN Supogamos, por facilidad operativa, que sólo hubiera dos rugosidades diferetes. Para cada ua de ellas habrá u radio hidráulico correspodiete se puede calcular cada velocidad parcial R S V = V = R S o bie, R V = S R V = S e cosecuecia, aplicado la ecuació A = RP se tiee que V V = P A = P A S S El área total es igual a la suma de las áreas parciales A = A + A V S V V P = P + P S S La pediete es la misma. Horto Eistei hiciero la suposició de que la velocidad es ua sola. V = V =... V N 94

39 Capítulo VI Cálculo de caales Luego, P + P = (6-6) P que es coeficiete de rugosidad de Kutter para toda la secció trasversal. Ejemplo 6.5 Se tiee u caal trapecial de 4 m de acho e la base. El talud es de 45. La pediete es 0,07 %. Origialmete las paredes era lisas para u gasto de 6 m /s el tirate ormal era 0,88 m. Luego el mismo caal se reviste co mortero preparado a base de area gruesa, co lo que la rugosidad aumeta, determiádose que para u caudal de 0 m /s el tirate ormal es,44 m. a) etermiar el gasto para u tirate ormal de,0 m, si el fodo tuviera u acabado rugoso las paredes el acabado liso origial. b) etermiar el gasto para el mismo tirate ormal, si el fodo fuera liso las paredes rugosas. Solució. Si el caal es liso etoces ( 0,66 ) ( 0,0007 ) AR S 4,9 = = = 0,04 Q 6 Si el caal es rugoso etoces, ( 0,97 ) ( 0,0007 ) = 7,8 = 0,00 0 a) Si el fodo es rugoso las paredes lisas P = + P P [,( 0,04 ) ( ) ] + 4 0,0 ( 7,) = = 0,075 95

40 Hidráulica de tuberías caales Arturo Rocha el gasto es b) Si el fodo es liso las paredes rugosas Luego, ( 0,79 ) ( 0,0007 ) AR S 5,6 Q = = = 7,5 m /s 0,075 [ 4 ( 0,04 ) +,( 0,0 ) ] ( 7,) = = 0,07 ( 0,79 ) ( 0,0007 ) 5,6 Q = = 7,46 m 0,07 /s 6.9 Escurrimieto e tubo parcialmete lleo Es frecuete teer u coducto cerrado llevado u fluido que o ocupa totalmete la secció trasversal. Podría ser, por ejemplo, u túel, ua tubería de desagüe o ua alcatarilla. El coducto o trabaja a presió e hidráulicamete es u caal. Examiemos u tubo circular parcialmete lleo 96

41 Capítulo VI Cálculo de caales Mediate simples cosideracioes geométricas se puede determiar el área, perímetro demás elemetos de la secció trasversal ocupada por el fluido. Si embargo, los cálculos se puede simplificar co el gráfico de la Figura 6.6 "Características geométricas e ua secció circular" que os da para cada valor de la relació área, perímetro, tirate hidráulico radio hidráulico. el correspodiete valor del La tubería que trabaja parcialmete llea se caracteriza por la posibilidad de teer ua velocidad media u gasto maores a los que correspodería a tubo lleo. Examiemos e primer lugar las codicioes para teer velocidad máxima e u tubo parcialmete lleo. Cosideremos ua tubería cuo diámetro es cuo radio es r. El flujo correspode a u tirate. A B θ Figura 6.5 Cálculo de u tubo parcialmete lleo Se trata de hallar la relació libre, θ es el águlo e el cetro. que da la máxima velocidad para el flujo. AB es la superficie Las expresioes correspodietes al área, perímetro mojado radio hidráulico so = r ( θ seθ) A (6-7) P = rθ (6-8) 97

42 Hidráulica de tuberías caales Arturo Rocha = r θ ( θ seθ) R (6-9) Si cosideramos las fórmulas de Maig o de Chez, o cualquier otra para el cálculo de la velocidad media ecotramos que siempre se cumple que x V = kr (6-40) Para pediete rugosidad costates, k x depede de la fórmula particular empleada. Por lo tato, para que la velocidad sea máxima se requiere que el radio hidráulico sea máximo dr dθ = 0 (6-4) r seθ θcosθ θ = 0 de dode, è = tgè (6-4) θ = 4,494 rad θ = 57º º 0 θ es el águlo que correspode a la velocidad máxima. Se determia imediatamete que π θ = 0º 0 El tirate es θ = r cos (6-4) e dode = 0,88 0,8 (6-44) Por lo tato, cuado el tirate es 0,8, la velocidad es máxima. 98

43 Capítulo VI Cálculo de caales Se observa que el resultado obteido es idepediete de la fórmula co la que se calcule la velocidad media. Calculemos ahora cual es el valor de e la Figura 6.5 se obtiee que que hace que el gasto sea máximo. A = r ( θ seθ) R = r θ P = rθ ( θ seθ) El gasto, si usamos la fórmula de Maig, tiee por expresió Q = AR S Se observa que para S costates el máximo valor del gasto correspode al máximo valor de AR d AR dθ = 0 (6-45) dr da AR + R dθ dθ = 0 r ( θ seθ) r dr da A = R dθ dθ ( seθ θcosθ) θ r = r θ ( cosθ) ( θ seθ) e dode, 99

44 Hidráulica de tuberías caales Arturo Rocha 5 cosθ seθ θ = 0 θ (6-46) θ = 5,78 rad θ = 0º 4 6 0º 0 que es el águlo que correspode al gasto máximo. Se determia imediatamete que El tirate es de dode, π θ = 57º 0 θ = r cos = 0,98 0,94 (6-47) Por lo tato, cuado se usa la fórmula de Maig para los cálculos, el gasto es máximo cuado = 0,94. Si se hubiera empleado la fórmula de Chez, etoces la codició hubiera sido se habría obteido d AR dθ = 0 θ = 5,784 rad θ = 08º º = 0,95 (6-48) Por lo que cuado se usa la fórmula de Chez para los cálculos, el gasto es máximo cuado = 0, 95. E la Figura 6.7 se muestra el gráfico de elemetos hidráulicos proporcioales que sirve para aligerar los cálculos de tubos circulares trabajado parcialmete lleos (como caales). 00

45 d = A T Z = A d = A A T,0 0,9 T 0,0 0,9 Capítulo VI A = π. 0 4 P = π R 0 = ,8 0,7 0,6,5 Z 0 d 0 A A 0 R R 0 0,8 0,7 0,6 0,5 0,5 T 0,4 0,4 0, P P 0 0, 0 0, 0, 0, 0, 0 El subidice "0" correspode a tubo lleo , 0, 0, 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0,,, Figura 6.6 Características geométricas e ua secció circular A P d,,, etc. A 0 P0 0 Cálculo de caales

46 0 0,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0, 0 0, 0, 0, 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0,, Q 0 Q ( variable) Q 0 V 0 A 0 A Q ( costate) V ( variable) N R R 0,,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0, 0 Hidráulica de tuberías caales * El subidice "0" correspode a tubo lleo * N es el coeficiete de Kutter 0, 0, 0 0 0, 0, 0, 0,4 0,5 V V 0 ( costate) Q 0 0,6 0,7 0,8 0,9,0,,, Q ; V V ; ; etc. 00 R R 0 Figura 6.7 Elemetos hidráulicos proporcioales e ua secció circular parcialmete llea. 0, 0, Arturo Rocha

47 Capítulo VI Cálculo de caales Gráfico de elemetos hidráulicos proporcioales La Figura 6.7 muestra para cada relació tirate-diámetro de ua secció circular parcialmete llea, la relació existete etre el gasto Q correspodiete a dicha secció el gasto Q0 correspodiete al tubo lleo. Ha tambié ua curva que da la relació etre las velocidades ( V V0 ). Para cada variable (gasto, velocidad) ha e realidad dos curvas, ua para coeficiete de rugosidad costate otra para coeficiete de rugosidad variable e fució de la altura. N es el coeficiete de rugosidad de Kutter para toda la secció (podría expresarse como 0 ). E cambio, es el coeficiete de rugosidad (variable) para la secció parcialmete llea. Así por ejemplo, si u tubo tiee u coeficiete de rugosidad (a tubo lleo) de 0,0, cuado esté trabajado a 0,7 tedrá u coeficiete 0,0 = N = = 0,05 0,85 0,85 puesto que del gráfico de elemetos hidráulicos proporcioales se obtiee que para = 0, 7 la relació N es 0,85. Examiemos las curvas de gasto velocidad que correspode a u coeficiete de rugosidad costate. La curva de gastos tiee u máximo que correspode a igual a 0,94 si se usa la fórmula de Maig a 0,95 si se usa la fórmula de Chez. E el primer caso la relació Q Q 0 es,07 e el segudo es,05. La curva de velocidades tiee u máximo que se preseta para = 0, 8. Correspode a V V 0 igual a,4 (segú Maig). Todos estos valores se puede obteer fácilmete a partir de las ecuacioes ateriormete establecidas. U cuadro comparativo de todos los valores aparece e la Tabla 6.6. E la Figura 6.7 se observa que para > 0, 8 (aprox.) ha para cada valor del gasto dos tirates posibles. Tambié se cumple que para > 0, 5 se tiee dos tirates posibles para cada valor de la velocidad (uo por ecima otro por debajo de 0,8 ). 0

48 04 VARIABLES CONICION A ( θ seθ ) P TABLA 6.6 SECCIONES CIRCULARES PARCIALMENTE LLENAS TUBO LLENO GASTO MAXIMO (Maig) GASTO MAXIMO (Chez) VELOCIA MAXIMA = r A 0,785 0,765 0,77 0,684 R ( θ seθ ) P = rθ,4,69,689,47 R = r 0,5 0,9 0,87 0,04 θ Hidráulica de tuberías caales _ 0,94 0,95 0,8 θ _ π rad 60º 5,78 rad 0º 4 6 5,784 rad 08º ,494 rad 57º 7 0 Q max Q 0 _,07,05 _ V V,4 (Maig) max 0 _,0 (Chez) A A 0 _ 0,97 0,98 0,87 P P 0 _ 0,84 0,86 0,7 R R 0 _,5,4, Arturo Rocha

49 Capítulo VI Cálculo de caales Obsérvese que para coeficiete de rugosidad costate, que es el caso que estamos aalizado, se cumple que la velocidad media es la misma para medio tubo para tubo lleo. E cambio, si cosideráramos que la rugosidad es variable, etoces la velocidad media e medio tubo es sólo el 80 % de la correspodiete a tubo lleo. E la práctica o coviee diseñar para la codició de gasto máximo porque etoces la superficie libre está ta cerca del extremo superior que cualquier evetualidad tedería a que el escurrimieto sea a tubo lleo, dismiuedo así la capacidad de coducció. Es usual diseñar para u águlo de 40. Las Tablas sirve como auda para el cálculo de seccioes circulares. Expresió del caudal máximo para cualquier coducto abovedado Ateriormete hemos examiado las codicioes de máximo caudal para u coducto circular parcialmete lleo. Ahora examiaremos la misma codició, pero para cualquier coducto abovedado. Siempre se tedrá por cotiuidad que Q = AV de dode dq = AdV + VdA = 0 que es la codició de máximo caudal. e acá da dv V A = (6-49) Tambié debe cumplirse la ecuació de Chez V = C RS o bie, V = C A P S Si reemplazamos este valor de la velocidad e la ecuació 6-49 además se reemplaza el valor de dv obteido de la ecuació de Chez se llega a PdA = AdP (6-50) 05

50 Hidráulica de tuberías caales Arturo Rocha Que es la ecuació diferecial que fija la codició de gasto máximo e cualquier coducto abovedado e el que se calcule el gasto co la fórmula de Chez. Obsérvese que la ecuació 6-50 al combiarse co las ecuacioes os daría la codició de gasto máximo e u coducto circular θ θcosθ + seθ = 0 (6-5) cua solució es precisamete θ = 5, 784 rad que correspode al resultado de la ecuació Si hubiéramos usado la fórmula de Maig se habría obteido que el gasto máximo para cualquier coducto abovedado está dado por 5 PdA = AdP (6-5) Si reemplazamos e esta ecuació las ecuacioes se obtedría la ecuació Expresió de la velocidad máxima para cualquier coducto abovedado E cualquier coducto abovedado debe cumplirse que V = C RS = C A S P de dode, dv = CS A P PdA AdP = 0 P PdA AdP = 0 (6-5) que es la codició de máxima velocidad e cualquier coducto abovedado. Esta ecuació o depede de la fórmula empleada para el cálculo de la velocidad. Caales cubiertos de hielo A veces ocurre que e u caal costruido e zoas frías se preseta u feómeo icoveiete: se hiela la parte superior el caal trabaja como tubería, co la cosiguiete dismiució e el gasto. Este feómeo es frecuete e zoas adias elevadas, especialmete si el caal tiee pequeña velocidad. Esta circustacia debe tomarse e cueta e los cálculos verificar la capacidad del coducto como si fuese ua tubería. 06

51 Capítulo VI Cálculo de caales Caales circulares U caal semicircular es el más coveiete desde el puto de vista exclusivo de la eficiecia hidráulica. Si embargo, este tipo de caales es poco usado por las dificultades costructivas que colleva. El método español de Barragá cosidera la costrucció mecáica de seccioes circulares. Segú dicho igeiero las seccioes circulares represeta ua ecoomía importate frete a las seccioes trapeciales (del orde del %). Nuestra opiió es que es difícil ua geeralizació e cada caso debe hacerse u aálisis técico- ecoómico. Seccioes e herradura Es frecuete que los túeles se costrua co ua secció diferete de la circular. Ua de las seccioes más empleadas es la secció e herradura. La Tabla 6.8 sirve como auda para el cálculo de las seccioes e herradura (horseshoe). Ejemplo 6.6 Por ua alcatarilla de 60 cm de diámetro flue u caudal de 80 l/s. La pediete es de 0,0008. El coeficiete de Kutter es 0,05. Calcular la velocidad. Solució. Si el flujo fuera a tubo lleo se tedría que Luego, ( 0,60) 0,60 π ( 0,0008 ) 4 4 Q 0 = = 0,505 m /s 5 l/s 0,05 Q Q 0 80 = 5 = 0,5 del gráfico de elemetos hidráulicos proporcioales se obtiee para = 0,5 se obtiee = 0,5 o o o = 0, m la velocidad a tubo lleo es V =,0 V 0 Q 0,50 4 V = = = 0,5 m/s 0 A π 60 ( 0, ) 07