ERRORES EN LAS MEDIDAS

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1 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA ERRORES EN LAS MEDIDAS I. Uidades de medició. Todas las medicioes costa de ua uidad que os idica lo que fue medido y u úmero que idica cuátas de esas uidades fuero medidas. Ejemplo: 36 m II. Números. E la ciecia se usa tres clases de úmeros: los que se cueta, los que se defie y los que resulta de ua medició. Se puede especificar el valor eacto de u úmero cotado o defiido, pero el valor eacto de u úmero medido o puede coocerse. Por ejemplo, se puede cotar co absoluta certeza el úmero de mesas que hay e clase, el úmero de dedos de ua mao o el úmero de moedas que llevamos e el bolsillo. Los úmeros cotados o está sujetos a error ( a meos que el úmero cotado sea ta grade que o podamos estar seguros de llevar bie la cueta!) Los úmeros defiidos so relacioes eactas que ha sido establecidas como válidas. El úmero eacto de segudos e ua hora y el úmero eacto de lados de u cuadrado so ejemplos de esto. Los úmeros defiidos tampoco está sujetos a error. Todos los úmeros medidos, o importa co cuáto cuidado se realice la medició, implica cierto grado de icertidumbre. III. Icertidumbre e las medicioes. La icertidumbre o error de ua medició depede de la precisió del dispositivo utilizado y de la habilidad de la persoa que la realizó. Las limitacioes humaas iterviee casi siempre que se hace ua medició. Además, o es posible evitar la icertidumbre ocasioada por la limitada precisió de los istrumetos de medició. La icertidumbre de ua medició se puede ilustrar co las dos reglas que se muestra e la figura. Las medicioes correspode a la logitud de ua mesa. Supoiedo que el etremo de la regla dode está el cero haya sido colocado cuidadosa y precisamete e el borde izquierdo de la mesa, cuál es la logitud de ésta?

2 La escala de la regla que aparece e la parte superior de la figura está graduada e cetímetros. Usado esta escala se puede decir co certidumbre que la logitud debe estar etre 8 y 83 cetímetros. Más aú, podemos añadir que se ecuetra más cerca de la marca de 8 que de la de 83 cetímetros, y podemos estimar que la logitud es de 8. cetímetros. La escala de la regla iferior muestra más subdivisioes y tiee mayor precisió porque está graduada e milímetros. Co esta regla se puede decir que la logitud está defiitivamete etre 8. y 8.3 cetímetros, y podemos estimar la logitud e 8.5 cetímetros. Observemos que ambas lecturas cotiee alguos dígitos que coocemos co eactitud y u dígito más (el último) que ha sido estimado. Observemos tambié que la icertidumbre e la lectura de la regla iferior es meor que e la de la regla superior. La regla iferior os permite hacer lecturas hasta cetésimas, y la superior, hasta décimas. La regla iferior es más precisa que la superior. Nigua medició es eacta. Su epresió cotiee dos clases de iformació: (1) la magitud de la medició y () la precisió de la misma. La ubicació del puto decimal y el valor del úmero epresa la magitud. La precisió se idica co el úmero de cifras sigificativas. IV. Cifras sigificativas. E cualquier medició, las cifras sigificativas so los dígitos que se cooce co certeza más u dígito que es icierto. La medició de 8. cetímetros (hecha co la regla superior de la figura aterior) tiee tres cifras sigificativas, y la medició de 8.5 cetímetros (hecha co la regla de abajo) tiee cuatro cifras sigificativas. El dígito del etremo derecho siempre es u estimado. Siempre se escribe sólamete u dígito estimado como parte de ua medició. Sería icorrecto decir que la logitud de la mesa de la figura, medida co la regla de abajo, es de 8.53 cetímetros. Este valor de cico cifras sigificativas tedría dos dígitos estimados (el 5 y el 3) y sería icorrecto porque idicaría ua precisió mayor que la que esa regla puede proporcioar. Se ha desarrollado reglas para escribir y usar las cifras sigificativas, tato e las medicioes como e valores calculados a partir de ellas. Regla 1. E úmeros que o cotiee ceros, todos los dígitos so sigificativos. Ejemplos: cico cifras sigificativas 3.14 tres cifras sigificativas 469 tres cifras sigificativas Regla. Todos los ceros etre dígitos sigificativos so sigificativos. Ejemplos: cuatro cifras sigificativas 7053 cuatro cifras sigificativas 30 tres cifras sigificativas Regla 3. Los ceros a la izquierda del primer dígito que o es cero sirve sólamete para fijar la posició del puto decimal y o so sigificativos. Ejemplos: dos cifras sigificativas tres cifras sigificativas ua cifra sigificativa Regla 4. E u úmero co dígitos a la derecha del puto decimal, los ceros a la derecha del último úmero diferete de cero so sigificativos. Ejemplos: 43 dos cifras sigificativas

3 43.0 tres cifras sigificativas cuatro cifras sigificativas tres cifras sigificativas cico cifras sigificativas Regla 5. E u úmero que o tiee puto decimal y que termia co uo o más ceros (como 3600), los ceros co los cuales termia el úmero puede ser o o sigificativos. El úmero es ambiguo e térmios de cifras sigificativas. Ates de poder especificar el úmero de cifras sigificativas, se requiere iformació adicioal acerca de cómo se obtuvo el úmero. Si el úmero es el resultado de ua medició, los ceros probablemete o so sigificativos. Si el úmero ha sido cotado o defiido, todos los dígitos so sigificativos ( supoiedo que el recueto haya sido perfecto!). Se evita cofusioes epresado los úmeros e otació cietífica. Cuado está epresados e esta forma, todos los dígitos se iterpreta como sigificativos. Ejemplos: dos cifras sigificativas tres cifras sigificativas cuatro cifras sigificativas 10-5 ua cifra sigificativa dos cifras sigificativas V. Redodeo. Ua calculadora muestra ocho o más digitos. Cómo se puede redodear ese úmero de cifras a, digamos, tres cifras sigificativas? Tres reglas secillas rige el proceso de elimiar los dígitos o deseados (o sigificativos) del resultado. Regla 1. Si el primer dígito que se va a elimiar es meor que 5, ese dígito y todos los dígitos que le sigue simplemete se elimia. Ejemplo: redodeado a tres cifras sigificativas se covierte e 54. Regla. Si el primer dígito que se va a elimiar es mayor que 5, o si es 5 seguido de dígitos diferetes de cero, todos los dígitos siguietes se suprime y el valor del último dígito que se coserva se aumeta e ua uidad. Ejemplo: 54.36, y al ser redodeados a tres cifras sigificativas queda todos como 54.4 Regla 3. Si el primer dígito que se va a elimiar es u 5 que o va seguido de igú otro dígito, o si es u 5 seguido sólo de ceros, se aplica la regla par-impar. Es decir, si el último dígito que se va a coservar es par, su valor o cambia, y tato el 5 como los ceros que lo sigue se suprime. Pero si el último dígito a coservar es impar, etoces su valor se aumeta e uo. La iteció de esta regla parimpar es promediar los efectos del redodeo. Ejemplos: co tres cifras sigificativas se vuelve co tres cifras sigificativas se vuelve 54.4

4 VI. Cifras sigificativas y catidades calculadas. Supogamos que al medir la masa de u pequeño bloque de madera se obtiee ua lectura de gramos e ua balaza, y observamos que su volume es de 3 cetímetros cúbicos al sumergirlo e el agua coteida e ua probeta graduada. La desidad de ese trozo de madera es igual a su masa dividida etre su volume. Si dividimos etre 3 e la calculadora, la lectura de la patalla es Sería icorrecto decir que la desidad del bloque de madera es de gramos por cetímetro cúbico. Al hacerlo así, estaríamos supoiedo u grado de precisió que o se justifica. La respuesta se debe redodear a u úmero razoable de cifras sigificativas. El úmero de cifras sigificativas permitido e u resultado calculado depede del úmero de cifras sigificativas de los datos utilizados para calcularlo, y del tipo de operació u operacioes matemáticas que se haya efectuado para obteer dicho resultado. Eiste reglas distitas para la multiplicació y la divisió, y para la suma y la resta. Multiplicació y divisió. E este caso, la respuesta deberá teer el mismo úmero de cifras sigificativas que el dato iicial que tega meos cifras sigificativas. E el cálculo de la desidad del ejemplo aterior, la respuesta debe redodearse a ua sola cifra sigificativa: 0.7 gramos por cetímetro cúbico. Si la medida de la masa hubiera sido.0 gramos y la del volume se hubiera mateido e 3 cetímetros cúbicos, la respuesta seguiría redodeádose a ua sola cifra sigificativa, es decir, a 0.7 gramos por cetímetro cúbico. Si el resultado de la medició de la masa hubiera sido.0 gramos y el volume medido hubiera sido 3.0 ó 3.00 cetímetros cúbicos, etoces la respuesta se redodearía a dos cifras sigificativas: 0.67 gramos por cetímetro cúbico. Ejemplo: = (respuesta e la calculadora) El dato de etrada que tiee el meor úmero de cifras sigificativas es 0.47, co dos cifras sigificativas. Por lo tato, la respuesta de obteida e la calculadora debe redodearse a 4.0. Suma y resta. E la suma o la resta, la respuesta o debe teer dígitos más allá de la posició del último dígito comú a todos los úmeros sumados o restados. Ejemplo: = 67.4 (respuesta e la calculadora) La posició del último dígito comú a todos estos úmeros es la correspodiete a las uidades. Por cosiguiete, la respuesta de 67.4 obteida e la calculadora debe redodearse a uidades, y es 67. VII. Epresió de ua medida y su error. Los criterios a seguir para la determiació del error so los siguietes: a) Cuado se realiza ua sóla medida ( pesada, determiació de ua logitud, etc. ), su error absoluto se toma igual a la precisió del aparato de medida, siempre que o tegamos la seguridad de que o se puede iterpolar visualmete; por ejemplo, si es ua pesada, la pesa más pequeña, si se trata de ua regla graduada e milímetros, 1 mm, si de ua probeta cuyas divisioes so de dobles cetímetros cúbicos, cm 3, etc. b) E los aparatos provistos de ua escala, tales como barómetros, amperímetros, voltímetros, etc., y e el caso de realizar ua sola medida, se cosiderará su error igual al valor de la divisió más pequeña que pueda apreciarse por iterpolació visual. Si la determiació la hemos de realizar

5 ajustado los etremos de la escala del aparato, dado que para ambos etremos hemos de cosiderar u error de ua divisió apreciada, el error total será de dos divisioes. c) Cuado debamos deducir u valor co auilio de ua gráfica, z = f(), se determiará los correspodietes valores de z, para + y para -, y su error vedrá dado por z = z ma z mi Los errores absolutos se epresará siempre co ua sóla cifra sigificativa, que se habrá forzado e ua uidad si la primera suprimida es igual o mayor que 5. Sólo aparecera co dos cifras sigificativas, cuado la primera de ellas sea u 1; siguiédose para la seguda el mismo criterio que e el caso aterior. Ejemplos: Icorrecto Correcto.317 ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± VIII. Epresió de ua medida, realizada varias veces, y su error. Si realizamos u gra úmero de veces la medida directa de ua magitud, los diferetes valores se agrupará alrededor de u cierto valor medio que osotros vamos a tomar como valor verdadero. Ua sola determiació, y aú dos, que de casualmete el mismo valor o so garatía de ua buea medida. Por ello debe realizarse, como míimo, de 5 a 10 medidas de cada magitud. De ellas deduciremos el valor medio: i= = 1 i que tomaremos como verdadero, y le asigaremos u límite superior de error que vedrá dado por la media de las diferecias, e valor absoluto, etre el valor medio <> y cada uo de los resultados i de las medidas realizadas, es decir, = i= 1 i De acuerdo co la teoría de errores de Gauss, e la que se supoe que éstos se produce por causas aleatorias, se toma el error cuadrático como la mejor estimació de error:

6 i= 1 = ( i ) El resultado del proceso de medida se epresa como ± seguido de la uidad de medida. Además del error absoluto, se defie el error relativo como el cociete etre el error absoluto y el valor medio. Es decir, ε = El error relativo es u ídice de la precisió de la medida. Es habitual que la medida directa o idirecta de ua magitud física co aparatos covecioales tega u error relativo del orde del uo por cieto o mayor. Errores relativos meores so posibles, pero o so habituales. La idetificació del error de u valor eperimetal co el error cuadrático obteido de medidas directas cosecutivas, sólamete es válido e el caso de que el error cuadrático sea mayor que el error istrumetal, es decir, que aquél viee defiido por la resolució del aparato de medida. Es evidete, que si el resultado de las medidas ha sido el mismo, el error cuadrático, de acuerdo co la fórmula será cero; pero, eso o quiere decir que el error de la medida sea ulo, sio que el error istrumetal es ta grade, que o permite observar diferecias etre las diferetes medidas y, por cosiguiete, el error istrumetal será el error de la medida. IX. Error de las medidas idirectas. Ua vez tegamos determiado cada uo de los valores eperimetales co su error absoluto y relativo, debemos hallar el valor de la magitud cuya medida pretedemos lograr a través de ua fórmula. E ella sustituiremos los valores de cada magitud medida, y efectuado operacioes deduciremos el valor correspodiete. E geeral, siempre que itervega ua fórmula, obtedremos el límite de error cosiderado a los errores como difereciales o icremetos físicamete pequeños y recurriedo al aálisis ifiitesimal para obteer las correspodietes epresioes. U procedimieto elemetal cosiste e tomar logaritmos eperiaos e las epresioes y difereciar. Así por ejemplo, supogamos que cierta magitud M se obtega a través de la epresió M b = a c e la que a, b y c so tres magitudes que hemos medido eperimetalmete y de las que coocemos sus correspodietes errores. De esta forma, si e la epresió aterior tomamos logaritmos eperiaos se obtiee:

7 l M = l a + l b l c y si difereciamos esta última, dm M da db dc = + a b c Pues bie, para el cálculo, como hemos dicho ates, se idetifica las difereciales co los errores absolutos, y como éstos viee afectados de u doble sigo, determiaremos el límite de error, tomado aquel que os de el resultado más desfavorable, es decir, cuado todos los errores se sume. De esta forma, la epresió aterior se trasforma e: M M a b c = + a b c o bie, εm = εa + εb + εc de la que deducimos la siguiete regla práctica que os permite hallar los errores e el caso de epresioes como la cosiderada: "El error relativo de la magitud M es igual a la suma de los errores relativos de cada uo de los térmios de la epresió multiplicados por los epoetes". Esta regla será útil para el caso e que las magitudes implicadas e la epresió aparezca como factores, cocietes, potecias y raíces, pues éste último caso se reduce al de potecias de epoetes fraccioarios. Si e la epresió iterviee coeficietes, éstos será úmeros puros y, por cosiguiete, o afectados. E el caso de que aparezca úmeros irracioales tales como π o el úmero e, o bie logaritmos y fucioes trigoométricas, su error absoluto es igual a la uidad del orde de la última cifra coservada y se procura tomar tatas cifras como sea ecesarias a fi de coseguir que su error relativo sea uas 10 veces meor que el más pequeño de los errores relativos de las magitudes medidas. Así cuado tomamos para π el valor 3.14 cometemos u error relativo de 0.01/ %, mietras que si tomamos 3.141, su error vale 0.001/ %, y así sucesivamete. E el caso de que e la epresió de partida aparezca determiadas magitudes que deba sumarse o restarse, para el cálculo del error se sustituirá ésta por su suma efectuada, a la que se asigará u error de acuerdo co la regla: "El error absoluto de la suma ( o diferecia ) es igual a la suma de los errores absolutos de los sumados". Ejemplo. Vamos a determiar el volume de u cilidro del cual se ha hallado su logitud utilizado u calibre o pie de rey, obteiédose como promedio el valor l = 1.5 ± 0.3 mm εl = 0. % y su diámetro medido co u palmer vale: d = 10.6 ± 0.07 mm εd = 0.7 %

8 Etoces, V = πd l = 1.5 = cm 4 4 y segú lo dicho ateriormete: εv = επ + εd + εl = = 1.64 = 1.6% Por lo tato, V = εv V= = 0.17 cm 3 epresado el resultado fial de la siguiete forma: V = ± 0.17 cm 3 co u error relativo εv = 1.6 % X. Represetacioes gráficas. Ordiariamete el estudio eperimetal de ua ley física, se realiza mejor ayudádose de ua represetació gráfica, pues mediate ella, se obtiee ua visió global del feómeo, que permite, co u simple golpe de vista, ver mucho más y co mayor claridad que lo que se podría apreciar a través de la lectura del teto y de tablas de valores que ofrece dificultad para ua rápida iterpretació. Ahora bie, para que de la represetació gráfica se obtega la máima iformació ha de ajustarse a ciertas ormas, las cuales vamos a dar a cotiuació: 1º) Utilizar papel milimetrado y titular la represetació gráfica de que se trate. º) Sobre ambos ejes debe epresarse las magitudes físicas y las uidades e que ha sido medidas. 3º) La variable idepediete se represetará e el eje de abscisas. 4º) Las uidades de las escalas de los ejes abarcará ua serie de úmeros (milímetros, cetímetros, etc. ) que se recomieda sea: 1,, 5, 10, 0, 50, etc. 5º) Las escalas abarcará sólamete el itervalo de medidas realizadas. 6º) Sobre los ejes o se idicará los valores de las medidas, sio las divisioes de la escala, suficietemete espaciadas. 7º) Cada puto eperimetal de la gráfica debe ir rodeado del rectágulo ( o cruz ) de error de base ± y altura y ± y, cuado los errores sea apreciables e los valores de ambas magitudes. 8º) La curva trazada e la gráfica, represetativa de la fució y = f(), debe ser de trazo fio y cotiuo ( uca e forma de líea quebrada ), si que pase ecesariamete por los putos eperimetales, bastado que atraviese los rectágulos de error. Uicamete las curvas de calibrado puede ser quebradas.

9 9º) Cuado sea posible, hallar la ecuació de la gráfica resultate. E geeral, sólo si se observa que es lieal ( ver párrafo siguiete: "Ajuste de ua recta por míimos cuadrados"). XI. Ajuste de ua recta por míimos cuadrados. Muchas veces, auque el feómeo estudiado respode a ua ley lieal, los valores eperimetales o se halla eactamete sobre ua recta, sio distribuidos más o meos simétricamete a u lado y a otro de la misma. Para hallar la ecuació de la recta que describe la ley física correspodiete se recurre al método de los míimos cuadrados, co lo que se logra que los putos eperimetales quede distribuídos simétricamete a ambos lados de ella y lo más próimos posible. Si la ecuació buscada es debe ocurrir que y = m + ( y y ) = ( y m ) i i i i C = sea míimo, e dode y i so las ordeadas eperimetales e y i ' so las de la recta buscada, para el mismo valor de i. Derivado C respecto a las dos icógitas del problema, la ordeada e el orige y la pediete m, e igualádolas a cero, se llega a las ecuacioes: m m ( i ) i + + N i = = yi y i i que escribiremos de la forma siedo SN PQ m = Rm + P = S RN P Pm + N = Q RQ PS = RN P ( i ) ; P = i; S = i yi; Q = yi; N R = = De este sistema obtedremos m y que so los valores buscados para represetar la recta.