Fuzzy mathematical programming applied to the material requirements planning (MRP)

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1 Rev. Téc. Ig. Uiv. Zulia. Vol. 33, Nº 1, 77-86, 2010 Fuzzy atheatical prograig applied to the aterial requireets plaig (MRP) Martí Darío Arago Sera, Corado Augusto Urá Sera y Giovai Pérez Ortega Escuela de Igeiería de la Orgaizació, Facultad de Mias, Uiversidad Nacioal de Colobia, Sede Medellí. darago@ualed.edu.co, caserau@ualed.edu.co, gperez@ualed.edu.co Abstract A ratioal approach toward decisio-akig should take ito accout hua subectivity, rather tha eployig oly obective probability easures. This attitude towards the ucertaity of hua behavior led to the study of a relatively ew decisio aalysis field: Fuzzy decisio akig, which icorporates iprecisio ad subectivity ito the odel forulatio ad solutio process ad represets a attractive tool to aid research i idustrial egieerig whe the dyaics of the decisio eviroet liit the specificatio of odel obectives, costraits ad the precise easureet of odel paraeters. This article gives a overview of the applicatios that have fuzzy logic i the idustrial field ad presets a MRP odel to which apply soe of these cocepts. Key words: MRP, fuzzy logic, schedulig, fuzzy atheatical prograig, decisio aalysis, idustrial Egieerig. Prograació ateática difusa aplicada e la plaeació de requeriietos de aterial (MRP) Resue U efoque racioal para la toa de decisioes debe teer e cueta la subetividad huaa, e lugar de eplear sólo edidas co distribució de probabilidad. Esta actitud hacia la icertidubre del coportaieto huao ha llevado al estudio de u relativaete uevo capo de aálisis de decisió coo es, la toa de decisioes difusas, la cual icorpora la subetividad y la iprecisió e la forulació de odelos y procesos de solució y represeta ua atractiva herraieta de ayuda a la ivestigació e igeiería idustrial cuado la diáica de las decisioes está liitadas por iprecisioes e los odelos forulados. El presete artículo hace u resue de las aplicacioes que ha teido la lógica difusa e el capo idustrial y preseta u odelo MRP al cual se aplica alguos de estos coceptos. Palabras clave: MRP, lógica difusa, aálisis de decisioes, plaeació de la producció, igeiería idustrial, prograació ateática difusa. 1. Itroducció La igeiería idustrial ha sufrido iportates cabios co el eoraieto de las tecologías de la iforació, las cuales ha peritido diesioar la plaificació de la producció a cotextos cosiderados hasta hace sólo 30 años coo iaeables; así por eeplo, el aálisis sobre la deada de u producto e particular estaba sueto e la ayoría de los casos a las coclusioes obteidas del aálisis de ua serie de tiepos si teer e cosideració otras variables coo so los tiepos de suiistro, costos de operació, por lo que los étodos de Rev. Téc. Ig. Uiv. Zulia. Vol. 33, No. 1, 2010

2 78 Arago y col. plaificació o era lo suficieteete apropiados para cotar co plaes de producció óptios, esto es la satisfacció de la deada al costo ás bao. Tato los uevos desarrollo e hardware y software, ha peritido u redireccioaieto de la plaificació, dado que co ellos se ha logrado itegrar o sólo variables lógicas si o tabié abiguas o difusas. Es así, coo surge etodologías que ivolucra la icertidubre e la prograació ateática para resolver probleas de plaificació. E las etodologías plateadas por los coutos difusos los expertos e el sistea aalizado puede ser iterrogados para proporcioar idicacioes relativas a las variables ivolucradas; la iforació obteida de esta aera, está represetada geeralete por frases ligüística que puede ser usadas adecuadaete a través de úeros difusos [1]. 2. Cocepto de couto difuso La teoría de coutos difusos fue itroducida por Lofti Zadeh, co el obetivo de proveer ua herraieta capaz de describir probleas e dode la iprecisió se derivada de la ausecia de u criterio para distiguir claraete etre diferetes categorías, ás que de la presecia de variables aleatorias [2]. Las propiedades de los coutos difusos se describe detro de u tipo de obetivos co u grado de ebresía, o grado de perteecia cotiuo e el itervalo [0,1] y se defie ateáticaete coo [3]: A ( x, ( x)), x U (1) A Las aplicacioes de la lógica difusa se ha ido cosolidado, lo cual ha hecho que actualete se etieda que la teoría de lógica difusa y la teoría de probabilidades está dirigidas a distitas clases de icertidubres [4]. 3. Aplicacioes de la lógica difusa e la igeiería idustrial Los odelos de lógica difusa aplicados a la aufactura se basa e la iteracció del eecutor y el aalista e la toa de decisioes coducetes a dar ua solució satisfactoria al problea [5]. A cotiuació se hace u resue de alguos de los trabaos que usa los odelos difusos para la solució de probleas e el capo idustrial: Petrovic [6] trató de idetificar el ivel de existecias y las catidades a ordear e ua cadea de suiistro, co u aálisis de dos fuetes de icertidubre: la deada de los clietes y abasteciieto extero de aterias prias; este odelo busca la reducció de costos e los procesos de fabricació y e geeral e la cadea de suiistros. Otra aplicació e la cadea de suiistro es presetada por Arago et al. [7] quiees aplica el cocepto difuso para decidir sobre la destiació de recursos e estrategias de vetas o de copras cuyos resultados so difusos. Tsuiura e 1992 [8] preseta u odelo de prograació ateática fuzzy para la plaificació agregada co últiples obetivos. Lee et al. [9] itroduce la aplicació de la Teoría de los Coutos Difusos al problea del diesioado del lote e u sistea MRP de ua úica etapa. Mula [10] proporcioa u uevo odelo de prograació lieal, deoiado MRPDet, para la Plaificació de la Producció a edio plazo e u etoro de fabricació MRP co restriccioes de capacidad, ulti-producto, ulti-ivel y ulti-período. Vasat [5], usa ua curva-s coo fució de perteecia para la selecció de ua ezcla de productos e ua fabrica de chocolates e dode la iforació co la que se cueta es iprecisa o difusa. Hop [11] aborda u odelo de balaceo de líea co tiepo de procesaieto difuso; y forula u étodo de prograació lieal biaria difusa para su solució. Chag y Liao [12] preseta u uevo efoque ediate la cobiació de apas auto orgaizativos y reglas difusas para la predicció del tiepo de fluo e ua fábrica de seicoductores. Kahraa et al. [13] propoe alguos odelos difusos basados e valores presete difusos para edir la flexibilidad de fabricació. Estos odelos so básicaete odelos de decisió de igeiería ecoóica e los que la icertidubre de los fluos de efectivo y las tasas de descueto se especifica coo úeros difusos triagulares. Hasuike [14] exaia varios odelos de probleas de decisió de ezcla de productos y probleas de Rev. Téc. Ig. Uiv. Zulia. Vol. 33, No. 1, 2010

3 Prograació ateática difusa aplicada e la plaeació de requeriietos de aterial (MRP) 79 plaeació de la producció e codicioes de icertidubre. E geeral, la teoría de coutos difusos se ha aplicado apliaete e la igeiería idustrial e capos coo la plaeació, el cotrol de la calidad, la ergooía, uestreo de aceptació, distribucioes de plata, etre otros. Para Kahraa [15], La idoeidad y cotribució a la solució de probleas idustriales ha peritido que el uso de los coutos difusos, sea coparable al uso de la ivestigació de operacioes e la ayoría de sus capos. 4. Prograació ateática difusa La aplicació de coutos difusos e la toa de decisioes y ás específicaete e la prograació ateática, e su ayor parte, cosiste e trasforar las teorías clásicas e odelos difusos equivaletes [16]. Es así coo, e uchas situacioes prácticas e u problea de prograació lieal típico o es razoable exigir que la fució obetivo o las restriccioes se especifique de fora precisa; e tales situacioes, es coveiete utilizar algú tipo de prograació lieal difusa. E la Tabla 1 se uestra u problea típico de prograació lieal y su equivalete difuso. E el odelo difuso A i, B i, C, so úeros difusos, X i so variables difusas y las operacioes de sua y ultiplicació so operacioes aritéticas difusas, adeás el síbolo deota ua desigualdad difusa. Este odelo supoe que tato la fució obetivo coo las restriccioes puede icluir úeros y variables difusas Modelo de prograació lieal co úeros difusos al lado derecho de la restricció. U caso particular es cosiderar que el lado derecho de las restriccioes so iprecisas, por lo que B i podría ser defiido coo u valor perteeciete al itervalo[ bi, bi p i ].De acuerdo a esta cosideració se defie el siguiete odelo de prograació lieal difusa, e el cual se desea iiizar la fució obetivo: Tabla 1 Probleas de prograació lieal clásico y difuso Max z Mi z i i c x Sa. ax B ( i 1 i i x 0 ( Hipótesis 1 (4) B i es u úero difuso que tedría la siguiete fora 1 x bi Bi ( x) pi 0 si x bi pi si bi x bi pi x bi (5) dode x R, coo se puede apreciar e la Figura 1. Para cada vector X ( x1, x2,, x ), priero se calcula el grado, Di ( x), co el que x satisface la restricció i (i ) co la fórula: c x D ( x) B a x i i i 1 Problea clásico Sa. ax b ( i Max z 1 i i x 0 ( i C X N Problea difuso Sa. AX B ( i 1 i i X 0 ( (2) (3) (6) Rev. Téc. Ig. Uiv. Zulia. Vol. 33, No. 1, 2010

4 80 Arago y col. 1 1 dode Di ( x )es u couto difuso e R,ysuitersecció, Di, es u couto difuso factible. i1 Ahora, para deteriar el couto difuso de valores óptios, se calcula los líites iferior y superior etre los cuales se ecotraría dichos valores. Para hallar el líite iferior de los valores óptios (z ) y el líite superior (z + ) del iso couto, se solucioa siguietes probleas de prograació lieal estádar: Mi z i c x Sa. ax b ( i Mi z 1 i i x 0 ( i c x Sa. ax b p ( i 1 i i i x 0 ( (7) (8) Hipótesis 2 El couto difuso de valores óptios (U), el cual es u subcouto difuso de R [17], dode el grado de satisfacció del decisor () aueta e la edida e que la respuesta obteida se acerca a z (Figura 2). La ecuació queda defiida por: 1 z U( x) z 0 b i x z si x z si z x z x z b+p i i Figura 1. Núero difuso b i. (9) La solució ás eficiete se ecuetra resolviedo el siguiete odelo de prograació lieal: Max i Sa. ( z z ) c x z 1 ax p b ( i N i i i x, 0 ( N ) ) (10) es el ivel que coo íio tiee que alcazar todas las fucioes de perteecia. Lo aterior se iterpretará coo el ivel de aspiració o de satisfacció de u decidor [18]. El aterior problea es u odelo para ecotrar x R sueto a que la ecuació (11) alcace el íio valor: Di U ( X ) (11) i1 Z- Z+ Figura 2. Núero difuso z. Esta etodología es plateada por Zadeh [3] y es llaada étodo siétrico (las restriccioes y etas so tratadas siétricaete) Modelo de prograació lieal co coeficietes tecológicos difusos Otro caso es supoer que el odelo de prograació lieal tiee coeficietes tecológicos difusos; es decir, la atriz de coeficietes A i tedría valores defiidos e los itervalos [a i,a i + d i ], por lo que u odelo prograació ateática difusa de iiizació tedría la siguiete fora: Rev. Téc. Ig. Uiv. Zulia. Vol. 33, No. 1, 2010

5 Prograació ateática difusa aplicada e la plaeació de requeriietos de aterial (MRP) 81 Mi z i c X Sa. AX b ( i 1 i i X 0 ( (12) Hipótesis 3 El couto difuso de las i restriccioes C i, el cual es u subcouto de R, está defiido por: 1 Ci ( x) 0 1 ( a d ) x b i i i 1 dx i si a x b 1 i i si a x b i i 1 1 ( a d ) x i i si b ( a d ) x i i i 1 (13) Hipótesis 4 La fució ebrecía para el couto difuso de valores óptios (U), se defie igual al caso aterior Ver ecuació (9). Por lo tato, la ecuació (12) puede ser reescrita coo sigue: Max i Sa. ( z z ) c x z 1 ( a d d ) x b i i i i ( i x, 0 ( (14) Es de aotar que las restriccioes que cotiee el producto x, so restriccioes o lieales, lo que hace que el problea sea u odelo o lieal. 5. Modelo de pla de requeriieto de ateriales co lógica difusa Se ha cosiderado el siguiete odelo MRP para ilustrar la aplicació de la prograació lieal difusa e los sisteas de producció. La copleidad de u sistea MRP se traduce e la gra catidad de iforació que es ecesario aipular para adiistrar apropiadaete los procesos productivos. Es ecesario coocer, por lo tato, co aticipació la siguiete iforació: Tiepo de suiistro. La catidad íia de producció o de copra. El actual ivel de ivetario. Los copoetes ecesarios lista de ateriales (BOM). E el siguiete eeplo se ilustra u sistea MRP: Cosidereos u producto fial A8172, el cual posee la lista de ateriales ostrada e la Figura 3 y Tabla 2. Si supoeos ua deada para el AJ8172 e los próxios ocho periodos de 20, 30, 10, 20, 30, 20, 30 y 40. El resultado del MRP es dado a cotiuació e la Tabla 3. El cual a su vez da orige al pla de requeriietos de los copoetes que lo cofora de acuerdo a la lista de ateriales. Ua fució obetivo sería, etoces, realizar los pedidos cosiderado el taaño íio a pedir y el ivel de stock proedio que se geera e el horizote de plaeació. Es decir realizar el lazaieto de pedidos ta tarde coo sea posible pero si sobrepasar la fecha del requeriieto. Para ecotrar ua solució al odelo plateado defiios las variables e la Tabla 4. La fució obetivo estaría forulada de la siguiete aera: P Mi x ( T t) x i T i1 t 1 (15) Dicha fució busca solicitar el ayor úero de uidades del copoete i ta tarde coo sea posible, co lo cual se garatiza u ivel ivetario bao, teiedo presete las siguietes restriccioes: La catidad de ateriales requeridos ás las existecias e ivetario, debe ser igual o superior a la deada del periodo correspodiete y el taaño del pedido del copote i e el periodo t debe ser cero (0) o superior a LS(i): Rev. Téc. Ig. Uiv. Zulia. Vol. 33, No. 1, 2010

6 82 Arago y col. N1100 W7348 L8811 R0098 A8172 Figura 3. Lista de ateriales A8172. Xit, it, LS() i (16) dode it, es u idicador de producció que puede ser uo (1), si el copoete i es iiciado e el periodo t o cero e caso cotrario. Ua siguiete restricció es: it, { 01., } No egatividad: x it, 0. Al cosiderar la deada deteriista cuado e la realidad es icierta, obtedreos ua solució que dea de ser óptia si la deada es diferete al valor proosticado, y lo ás probable es que así sea. Esto preseta ua situació Tabla 2 Iforació de etrada MRP A8172 L8811 R0098 N1100 W7342 Tiepo de suiistro Taaño íio de lote Copoetes L8811 (2), R0098 (1) N1100 (1), W7342 (1) N/a N/a N/a Ivetario iicial Tabla 3 MRP Iicial. Referecia A8172 Referecia: A8172 Días Deada Ivetarios Recepció de Pedidos Lazaieto de Pedidos Tabla 4 Defiició de variables Variable P T R(i,) D(i,) I(i,0) LS(i) X(i,t) M Defiició Núero de copoetes Horizote de plaeació Núero de copoetes i ecesarios para realizar copoetes Deada extera para el copoete i e el periodo t Ivetario iicial del copoete i Taaño de lote íio para el copoete i Catidad de pedido del copoete i solicitado e el periodo t U úero uy grade Rev. Téc. Ig. Uiv. Zulia. Vol. 33, No. 1, 2010

7 Prograació ateática difusa aplicada e la plaeació de requeriietos de aterial (MRP) 83 difusa, dado que o se cooce y o se podría estiar la deada co precisió. Ua fora de flexibilizar la estiació de la deada, si recurrir a defiirla coo u valor úico para cada uo de los periodos de tiepo, es defiir u itervalo e el cual la probabilidad de que la deada se ecuetre e éste sea uy alta. Para defiir dicho itervalo los igeieros puede estiar (co el apoyo de expertos o datos históricos) u valor íio y áxio para la deada e cada uo de los periodos, coo se uestra e la Tabla 5. A cotiuació se aborda ua de las etodologías de la lógica difusa para el trataieto de la icertidubre e la deada y e los coeficietes tecológicos del odelo de prograació ateática MRP co icertidubre e la deada El odelo coo se ha plateado hasta ahora, es u odelo deteriístico que puede ser solucioado por uchos de los paquetes de optiizació que actualete se coercializa. Si ebargo el odelo se puede volver u poco ás copleo al cosiderar que la deada (D(i,t)) es u valor ipreciso que puede estar etre u valor íio (D (i,t)) y áxio (D (i,t)+ p (i,t)). Al teerse e cueta la aterior cosideració el odelo MRP iicial toa la fora de u odelo de prograació lieal difusa siilar al ostrado e la ecuació (4), por lo que se puede reescribir de la siguiete aera. Max P T i i1 t 1 Sa. ( z z ) ( Ttx ) z tlt () i xi 1 0 x 0 t Ii (, 0) ( Di (, ) ( Ri (, x ) p )) 0 1 p J 1 i (17) 5.2. MRP co icertidubre e los coeficietes tecológicos Otro caso de icertidubre y que es iherete a los odelos MRP, coo los presetados e este artículo, es cosiderar que el factorr(, i ), o está copletaete defiido para alguos copoetes dado los desperdicios que puede ser geerados e el proceso productivo; si ebargo, sí es posible defiir u itervalo de valores [R(i,), R(i,)+d(i,)] etre los cuales puede estar. De esta aera el odelo MRP presetado al iicio de este capítulo es siilar al problea plateado, por lo que puede reescribirse la ecuació (17) de la siguiete aera: Max P T i i1 t1 Sa. ( z z ) ( Ttx ) z tlt() i xi 1 1 x 0 t Ii (, 0) ( Di (, ) ( Ri (, ) di (, )) x ) 0 1 P 1 (18) Para la solució de este odelo se cosidera que el proceso para producir el producto AJ8172 ecesita etre 2 y 2.2 uidades del copoete L8811, del cual se puede geerar u desperdicio de 0 a 0.2 uidades Aálisis de resultados E la Tabla 6 se uestra los resultados de las variables x i, obteidos al aplicar la prograació ateática de aera clásica y co icertidubre e la deada y e los coeficietes tecológicos. Las deás variables x i que o está e la tabla tiee el valor de cero. El resultado obteido e la fució obetivo si cosiderar icertidubre presete e el odelo es z = Para el segudo caso se cosidero la icertidubre e la deada obteiedo que los valores de z + y z so Tabla 5 Deada para A8172 Periodo Deada Míia Deada Máxia Rev. Téc. Ig. Uiv. Zulia. Vol. 33, No. 1, 2010

8 84 Arago y col. Producto i pedido e el periodo Método clásico Icertidubre e la deada Tabla 6 Resultados MRP Coeficietes Producto i tecológicos pedido e el difusos periodo Método clásico Icertidubre e la deada Coeficietes tecológicos difusos X 1(-1) 25 25,00 25 X 3(-5) 20 20,00 20 X ,00 35 X ,00 32 X ,00 35 X ,00 35 X ,00 25 X ,00 25 X ,50 25 X ,50 25 X ,50 40 X ,50 40 X 2(-4) 45 45,00 45 X ,00 45 X 2(-3) 45 56,99 51 X ,99 51 X 2(-1) 70 76,00 73,5 X ,00 73,5 X ,00 52,5 X ,00 52,5 X ,99 52,5 X ,99 52,5 X ,00 84 X , y 8349 respectivaete y la fució obetivo es z = 9143, lo cual puede cosiderarse coo ua solució iteredia que equilibra los criterios pesiistas y optiistas del decisor, dado que su ivel de auste a la eor solució z es de = , cifra que puede ser cosiderada coo ivel de satisfacció del decisor. Para la solució del problea co coeficietes tecológicos difusos, es iportate cosiderar que las fucioes (12) y (13) ivierte sus resultados, dado que el factor a i x es egativo e (18). Por lo tato los valores líites etre los que estará el couto de solucioes factibles, se obtiee reeplazado a a i por a i +d i para hallar z, por cosiguiete z + se calcula deado el coeficiete a i ivariable, dode z = 8349 y z + = La fució obetivo es etoces z = , la cual represeta u ivel de satisfacció de = 0.5, el cual se puede explicar cosiderado que el valor de z hallado es ua solució iteredia etre lo eor que puede ocurrir (esto es si a i = 2) y el caso eos favorable (que da lugar cuado a i = ). 6. Coclusioes E este artículo se ha ostrado la aplicació que posee la lógica difusa e el capo de la producció, ás específicaete e los sisteas MRP. La solució obteida peritió valorar el resultado co respecto al áxio beeficio que se tedría si se estuviera e u capo deteriista. Es ecesario aclarar etoces que el decisor tedrá cofiaza e que la ipleetació de la solució expresada, puede estar de coforidad co sus deseos, toda vez que el ídice de satisfacció es cosiderableete adecuado (aproxiadaete u 40% de satisfacció). Hay que aotar que e la edida que la iforació co la que cueta el decisor sea ás precisa, etoces la satisfacció será ayor. Auque iicialete, la fució obetivo era la plaeació óptia de pedidos que peritiera u ivel bao de ivetarios, el odelo puede ser apliado e ivolucrar costos o liitacioes de capacidad, forulado adeás odelos MRP II a los cuales sea posible aplicarles las técicas aquí aalizadas. Rev. Téc. Ig. Uiv. Zulia. Vol. 33, No. 1, 2010

9 Prograació ateática difusa aplicada e la plaeació de requeriietos de aterial (MRP) 85 Ua de las ayores fortalezas que posee la lógica difusa aplicada a las técicas de toa de decisioes, es que se puede ivolucrar tato la iforació correspodiete a datos históricos coo opiioes subetivas o ituitivas de persoas expertas e el capo de aálisis. Lo que perite u trataieto ateático de la iprecisió que posee alguos paráetros. Vale decir que la técica o suprie dicha iprecisió o icertidubre, sio que establece u étodo para su aeo, es decir, e vez de igorar la icertidubre que es iherete al odelo geera solucioes que la ivolucra. Agradeciietos Los autores expresa sus agradeciietos a la DIME Uiversidad Nacioal de Colobia, por la fiaciació del proyecto: Desarrollo de odelos de prograació ateática fuzzy para la plaificació de la producció e cotextos de icertidubre. U caso aplicado a la idustria autootriz que da orige a este artículo. Referecias Bibliográficas 1. Caiazzo, F, et al. Fuzzy Perforace Evaluator of AMSS. Desig of Advaced Maufacturig Systes, Vol. 1,Spriger, Netherlads, 005, pp Matta, A. Desig of Advace Maufacture Systes. Vol 1, Netherlads, Spriger, 2005, pp Zadeh, L.A. Fuzzy Sets ad Their Applicatios to Cogitive ad Decisio Processes. Acadeic Press Ic. Lodo, pp McNeill, M. y Thro, E. Fuzzy Logic: A Practical Approach. Vol 1, AP Professioal, Nueva York, 994. pp Vasat, P. Optiizatio i Product Mix Proble Usig Fuzzy Liear Prograig. Departet of Matheatics, Aerica Degree Progra Nilai Iteratioal College Malaysia, 2004, pp Petrovic, D., Xie, Y., Burha, K. Coordiated Cotrol of Distributio Supply Chais i the Presece of Fuzzy Custoer Dead. Europea Joural of Operatioal Research, Vol. 185, Nº 1, febrero 2008, pp Arago, M.D.; Sera, C. y Pérez,G. Aplicacioes de lógica difusa a las cadeas de suiistro. Avace e Sisteas e Iforática, Vol. 5, Nº 3, diciebre, 2008, pp Tsuiura, Y. y Ge, M. Method for Solvig Multiobective Aggregate Productio Plaig Proble with Fuzzy Paraeters. Coputers ad Idustrial Egieerig, Vol 23, Nº 1-4, oviebre 1992, pp Lee, Y.Y, Kraer, B.A, Hwag C.L. A Coparative Study of Three Lot-Sizig Methods for the Case of Fuzzy Dead. Joural of Operatios ad Productio Maageet, Vol.11 No 7, 1991, pp Mula, J. et al. Aplicacioes de la Teoría de los Coutos Difusos e la Plaificació de la Producció: U Estudio de la Literatura. Meorias VIII Cogreso de Igeiería de Orgaizació. Legaés, septiebre, pp Hop, N.V. A Heuristic Solutio for Fuzzy Mixed-Model Lie Balacig Proble, Europea Joural of Operatioal Research, Vol. 168, No. 3, febrero 2006, pp Chag, P.C., Liao, T.W. Cobiig SOM ad Fuzzy Rule Base for Flow Tie Predictio i Seicoductor Maufacturig Factory, Applied Soft Coputig, Vol 6, Nº 2, eero, 2006, pp Kahraa C., Gülbay, M. y Kabak, Ö. Applicatios of Fuzzy Sets i Idustrial Egieerig: A Topical Classificatio. Fuzzy Applicatios i Idustrial Egieerig, Vol 2 Spriger Istabul, pp Hasuike, T y Ishii H. O Flexible Product-Mix Decisio Probles Uder Radoess Ad Fuzziess. Oega, Vol. 37, Nº 4, agosto, 2008 pp Kahraa, C., Beskese A. y Rua, D. Measurig Flexibility of Coputer Itegrated Maufacturig Systes Usig Fuzzy Cash Flow Aalysis. Iforatio Scieces, Vol. 168, Nº. 1-4, 2004, pp Petty, D.J., Stirlig, M.D., Travis, L.C. y Beett, R. (2000) Coditios for the successful ipleetatio of fiite capacity/ MRPII hybrid cotrol systes. Joural of Egieerig Maufacture, Part B, Proceed- Rev. Téc. Ig. Uiv. Zulia. Vol. 33, No. 1, 2010

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