TAREAS PARA LA MATERIA DE MATEMÁTICAS DISCRETAS

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1 UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA CENTRO UNIVERSITARIO DE CIENCIAS EXACTAS E INGENIERÍAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS TAREAS PARA LA MATERIA DE MATEMÁTICAS DISCRETAS P R E S E N T A M.S.I. JOSÉ FRANCISCO VILLALPANDO BECERRA

2 ÍNDICE ÍNDICE... i NOMENCLATURA... ii UNIDAD. RELACIONES... TAREA.... TAREA TAREA TAREA TAREA TAREA UNIDAD. INDUCCIÓN MATEMÁTICA... TAREA.... TAREA.... TAREA.3... UNIDAD 3. RELACIONES DE RECURRENCIA... 4 TAREA TAREA TAREA UNIDAD 4. PRINCIPIOS DE CONTEO... TAREA TAREA TAREA TAREA TAREA UNIDAD 5. GRAFOS... 9 TAREA TAREA TAREA TAREA UNIDAD 6. ÁRBOLES TAREA TAREA TAREA TAREA i

3 NOMENCLATURA A, B, C Conjuntos A B Poducto Catesiano de los conjuntos A y B a, b, c Elementos de algún conjunto A = {a, b, c} Conjunto A que consta de los elementos a, b, c A Cadinalidad del conjunto A Meno o igual que Mayo o igual que > Mayo que < Meno que Apoximadamente igual... Así sucesivamente Disyunción (y) Conjunción (o) Conjunto de los númeos natuales Conjunto de los númeos enteos Conjunto de los númeos acionales Conjunto de los númeos eales (a, b) Pa odenado Subconjunto Subconjunto popio t. q. Tal que Es elemento o petenece a No es elemento de o no petenece Paa todo Existe Unión Intesección Conjunto Vacío Difeencia simética Difeencia Si y sólo si ó equivalencia = Igual a Difeente a Si entonces R, S, T Relaciones R Cadinalidad de la elación R No es una elación a R b a está en elación con b a b a no está en elación con b Dom(R) Dominio de la elación R Cod(R) Codominio de la elación R R, ~R Complemento de la elación R R -, R ~ Inveso de una elación R P(R) Conjunto potencia de la elación R ii

4 S R Composición de las elaciones R y S R Extensión tansitiva de la elación R R * Ceadua tansitiva de la elación R [a] Clase de equivalencia de a a b a divide a b (división entea) a F b a no divide a b Ç Oden pacial a Ç b a está en elación con b en un oden pacial Ü No es un oden pacial a Ü b a no está en elación con b en un oden pacial Sumatoia Multiplicatoia Infinito ± Más menos! Factoial P(n, ) Pemutación de un conjunto de n elementos tomando elementos a la vez C(n, ) Combinación de un conjunto de n elementos tomando elementos a la vez n Coeficiente binomial n n n..., n t Coeficiente multinomial G = (V, E) Gafo G (i, j) ó e Lado ó aista de un gafo v Vétice K n Gafo completo de n vétices K m,n Gafo bipatita de m y n vétices (a, b, c, d ) Sucesión de lados δ(v) Gado o valencia del vétice v w(i, j) Peso del lado (i, j) A G Matiz de Adyacencia del gafo G I G Matiz de Incidencia del gafo G R Regiones o caas de un gafo T = (V, E) Ábol T h(t) Altua del ábol T iii

5 UNIDAD. RELACIONES TAREA.. Sean las siguientes elaciones en el conjunto de los númeos enteos: R = {(a, b) t. q. a b} S = {(a, b) t. q. a > b} T = {(a, b) t. q. a = b ó a = b} U = {(a, b) t. q. a = b} V = {(a, b) t. q. a = b + } W = {(a, b) t. q. a + b 3} Cuáles de las elaciones anteioes contienen a los siguientes paes odenados?: (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (4, 3), (, 3), (, ), (3, 3), (, 5), ( 3, ), (, 4), (, 3) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (4, 3) (, 3) (, ) (3, 3 ) (, 5) ( 3, ) (, 4) (, 3) R S T U V W. Sean A={x t. q. x <, x } y R={(x, y) t. q. 5 (x y), x y (división entea)} una elación sobe A. Detemine los elementos de R. A) {(6,),(7,),(8,3),(9,4),(,5)} B) {(5,),(6,),(7,),(8,3),(9,4)} C) {(6,),(7,),(8,3),(9,4)} D) {(5,),(6,),(7,),(8,3),(9,4),(,5)} 3. Sea R una elación de equivalencia sobe. Detemine el Codominio de R. + + A) B) C) D) 4. Sea R={(x, y) t. q. x + y = 3} una elación sobe A = {,, 3, 4}. Detemina el dominio de R. A) {,, 3, 4} B) {,, 3} C) {} D) {, } 5. Sea A={,,3} y sea R={(,),(,),(3,),(,3)} una elación sobe A. Coloque una V si la declaación es vedadeas una F si es falsa. A) R B) C) R 3 6. Sean A={,,,} y B={,,3,4} y sea R={(a, b) t. q. a+3b=3} una elación de A en B. Detemine los elementos de R. A) {(,),(7,),(4,3),(,4)} B) {(,),(,7)(3,4),{4,)} C) {(,3),(9,4)} D) {(3,),(4,9)}

6 7. Sea A={,,3} y sea R={(,),(,),(3,),(,3)} una elación sobe A. Coloque una V si la declaación es Vedadea y una F si es falsa. A) B) 3 R C) 3 8. Sean A={,,3,4} y B={,,,} y sea R={(a, b) t. q. 3a+b=3} una elación de A en B. Detemine los elementos de R. A) {(,),(7,),(4,3),(,4)} B) {(,),(,7)(3,4),{4,)} C) {(3,),(4,9)} D) {(,3),(9,4)} 9. Coloque una S si los siguientes conjuntos son elaciones de A={a, b, c} en B={, } y una N en caso contaio. R = {(a,),(a,),(c,)} U = {(,a),(,a),(,c)} T =. Sean A={,,3,4} y B={5,6,7}. Las elaciones R={(,),(,),(3,3),(4,4)}, S={(,),(3,)} y T = {(,7),(,6)} están definidas como: A) R sobe A, S de A en B, T de A en B B) R de A en B, S de A en B, T de A en B C) R sobe A, S sobe A, T de A en B D) R sobe A, S sobe A, T sobe A. Coloque una S si los siguientes conjuntos son elaciones de A = {a, b, c} en B = {, } y una N en caso contaio. R = {(a,),(b,)} T = A B U = {(,a),(,b)}. Sean A={,,3,4} y B={5,6,7}. Las elaciones R={(,),(,),(3,3)}, S={(3,5),(4,6)} y T = {(,7),(4,6)} están definidas como: A) R de A en B, S de A en B, T de A en B B) R sobe A, S de A en B, T de A en B C) R sobe A, S sobe B, T de A en B D) R sobe A, S sobe B, T sobe A 3. Sea A ={a t. q. a } y R={(a,b) t. q. a F b} una elación sobe A. Detemine R. A) {(,), (,), (,5), (,), (,), (5,5), (5,), (,), (,)} B) {(,), (,), (5,5), (,)} (,),(,),(,5),(5,5),(5,) C) {(,),(,5),(5,),(5,),(,),(,),(,5) } D) { } + 4. Sea R={(x, y) t. q. y } una elación sobe. Detemine el codominio o ango de R. + A) B) {, 4,6,..., n,...} C) {,, 4, 6,..., n,...} D) {} 5. Sea A = {a t. q. a 8} y R = {(x, y) t. q. x y, x, y A}. Defina la Matiz de elación esultante. A) B) C) D)

7 TAREA.. Sea A={,,3} y sean R={(,),(,),(3,3)} y S={(,),(,),(,3)} dos elaciones sobe A. Relacione las columnas colocando la leta coecta paa indica el esultado de cada una de las siguientes opeaciones. A) {(,),(,),(3,3)} R S B) {(,),(,3)} R S C) {(,),(,),(,3),(3,),(3,),(3,3)} R S D) {(,),(,),(,3)} S R E) {(,),(,3),(,),(,3),(3,),(3,)} R S F) {(,),(3,3)} R G) {(,),(,3),(,),(3,3)} S H) {(,),(,),(,3),(,),(3,3)} S - I) {(,),(,),(3,)} (S R) J) {(,)} R. Sean A={,, 3, 4, 5} y R={(x, y) t. q. x = y ; x, y A}. Relacione las columnas, indicando que epesenta cada uno de los siguientes conjuntos. A) {,3,4,5} Los elementos de R B) {(,),(3,),(4,3),(5,4)} Los elementos de R - C) {(,),(,3),(3,4),(4,5)} El Dominio de R D) {,,3,4} El Dominio de R - 3. Cuál de las siguientes opeaciones sobe elaciones es siempe vedadea: A) R = B) R R = C) R = D) R = R 4. Las siguientes opeaciones sobe las elaciones son siempe vedadeas EXCEPTO: A) R = R B) R = C) R = D) R R = 5. Sean R y S dos elaciones eflexivas. Seá vedadeo que R S y R S son eflexivas. A) Casi Siempe B) Nunca C) A veces D) Siempe 6. Sean A={,}, B={a,b,c} y C={c,d}, Detemine (A B) (A C). A) {{,d},{,c}} B) {(,c),(,c) } C) {(,d),(,d)} D) {(,c),(,d)} 7. Sean A el conjunto de los númeos natuales y sea R = {(a, b) t. q. 3a + 4b = 7} una elación sobe A. Detemine R. A) {(3,)} B) {(,7)} C) {(,3)} D) {(,6), (,5)} 8. Sean R y S dos elaciones siméticas sobe algún conjunto A, entonces seá siempe vedadeo que R S y R S son siméticas. A) Casi Siempe B) A veces C) Siempe D) Nunca 9. Sean A={a,b}, B={,} y C={,3}, Detemine (A B) (A C). A){(a,),(a,3),(b,),(b,3)} B){(a,3),(b,3)} C) {(a,),(b,)} D) {(a,),(a,),(b,),(b,)}. Sean A el conjunto de los númeos natuales y sea R={(a,b) tal que 4a+3b=7} una elación sobe A. Detemine R. A) {(3,)} B) {(,6), (,5),(3,4)} C) {(,3)} D) {(,7)}. Sea X={,,3,4,5,6} y sean las elaciones R={(,4), (,6), (3,3), (3,6), (4,4)} y S={(3,3),(4,),(4,4),(6,), (6,3)}. La elación S con especto a la elación R es: A) El complemento B) La cadinalidad C) El conjunto potencia D) El inveso 3

8 TAREA.3. Sean A={,,3,4}y R={(,),(,),(3,),(4,3)}. Encuente (R R) -. A) {(,),(,3),(3,4),(4,)} B) {(,),(,),(,3),(3,4)} C) {(,),(,),(3,3),(4,4)} D) {(,),(,),(,3),(,4)}. Sean A={,,3,4}y R={(,),(,),(3,),(4,3)}. Encuente R R. A) {(,),(,),(3,),(4,)} B){(,),(,),(3,),(4,3)} C){(,),(,),(3,3),(4,4)} D){(,),(,3),(3,4),(4,)} 3. Las siguientes popiedades de la composición de elaciones son vedadeas EXCEPTO: A) S R = R S B) S R R S C) T (S R) = (T S) R D) (S R) - = R - S - 4. Sean A={,,3,4} y R={(,),(3,)} una elación sobe A. Detemine el Codominio o ango de R R -. A) {4} B) {3} C) {} D) {} 5. Sean A={,,3,4} y R={(,),(3,)} una elación sobe A. Detemine el Dominio de R - R. A) {,4} B) {,,3,4,5} C) {,,3} D) {,3} 6. Cuál popiedad de la composición de elaciones es siempe vedadea: A) S R = R S B) S R R S C) T (S R) (T S) R D) T (S R) = R (S T) 7. Sean R = {(,), (,), (,)} y S = {(,),(,),(,)}, dos elaciones. Detemina cuál de las siguientes matices epesenta S R. A) B) C) D) 8. Sea R={(,),(,),(,),(,),(3,3)} una elación definida sobe el conjunto A={,,3}. Detemina el conjunto esultante de R R. A) {(,),(,) } B) {(,),(,),(,),(,),(3,3)} C) {(,),(,),(3,3)} D){(,), (,)} 9. Sean A = {a, b, c, d} y R = {(a, b),(a, c),(c, b)},detemina el codominio (imagen) de R R. A) {a} B) {a, b} C) {a, c} D) {b}. Sean A = {a, b, c, d}y R = {(a, b),(a, c),(c, b)}, detemina R R. A) {(a, c)} B) {(a, b), (a, c), (c, b)} C) {(a, b)} D) {(a, c), (c, b)}. Sean R = {(,), (,), (3,4)} y S = {(,3), (,5),(3,),(4,)}, dos elaciones. Enconta R (S R). A) {(3,)} B) {(,3),(,5),(3,),(4,)} C) {(,),(,),(3,4)} D) {(,3)} 4

9 TAREA.4. Cuáles popiedades tiene cada una de las siguientes elaciones binaias? A) R a B c d B) S a b c d C) T a b c d D U a b c d E) V a b c d a a a a a b b b b b c c c c c d d d d d Reflexiva, antisimética, no tansitiva Reflexiva, simética, no tansitiva Reflexiva, simética, tansitiva Ieflexiva, antisimética, tansitiva Ieflexiva, simética, no tansitiva. Sean las siguientes elaciones sobe el conjunto A = {,,3}. Relacione las columnas colocando la leta coecta paa indica las popiedades de cada elación. A) {(a, b) tal que a b} Reflexiva, simética B) {(a, b) tal que a > b} Reflexiva, antisimética C) {(a, b) tal que a = b} Ieflexiva, antisimética D) {(a, b) tal que a + b 3} Simética 3. Esciba una V si la afimación es vedadea y una F si es falsa. Si R es simética, entonces R - es simética Si R y S son tansitivas, entonces R S es tansitiva Si R y S son eflexivas, entonces R S es eflexiva 4. Esciba una V si la afimación es vedadea y una F si es falsa. Si R y S son tansitivas, entonces R S es tansitiva Si R es eflexiva, entonces R - es eflexiva Si R y S son eflexivas, entonces R S es eflexiva 5. Relacione las columnas indicando las popiedades que tiene cada una de las siguientes elaciones binaias sobe A={,,3,4}. A) {(,),(,3),(,3)} Reflexiva, antisimética y tansitiva B) {(,),(,),(,3),(,),(,3),(3,3),(4,4)} Ieflexiva, antisimética y tansitiva C) {(,),(,),(,),(,),(3,3),(4,4)} Reflexiva, simética y tansitiva 6. Sea L el conjunto de las ectas del plano. Coloque una S si la elación coespondiente es tansitiva sobe L o una N en caso contaio.47 U = L R L si L es paalela a L T = L R L si L es pependicula a L 7. Una elación es simética sobe un conjunto A si A) (x, y) R (y, x) R x y A B) (x, x) R x A C) (x, y) R (y, x) R x y A D) (x, y) R (y, x) R x y A 8. La elación dada po el siguiente gafo diigido (dígafo) es: A) Reflexiva y antisimética B) Ieflexiva e antisimética C) Ieflexiva y simética D) Reflexiva y simética 5

10 6 9. Una elación es ieflexiva sobe un conjunto A si: A) (x, y) R (y, x) R x y A B) (x, x) R x A C) (x, y) R (y, x) R x y A D) (x, y) R (y, x) R x y A. La elación dada po el gafo diigido es: A) Reflexiva y antisimética B) Ieflexiva e antisimética C) Ieflexiva y simética D) Reflexiva y simética. Sean A = {a, b, c, d} y R = {(a, b), (b, c), (c, b), (c, d)}. Enconta R. A) {(a, b), (a, c), (a, d), (b, b), (b, c), (b, d), (c, b), (c, c), (c, d)} B){ (a, b), (b, b), (b, c), (c, b), (c, c)} C) {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (b, d), (c, b), (c, c), (c, d)} D) {(a, b), (a, c), (b, c), (b, d), (c, b), (c, d)}. Sea el conjunto A = {,, 3, 4}, detemine cual matiz de elaciones epesenta una elación ieflexiva: A) B) C) D)

11 TAREA.5. Sea R={(,),(,),(,),(,),(3,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)} una elación de equivalencia sobe A={,,3,4,5}. Cuál es la patición oiginada po R. 5 A) {,,3,4,5} B) {{,},{3},{4,5}} C) {{,},{3,4},{5}} D) {{},{},{3},{4},{5}}. Encuente la elación de equivalencia cuyas clases de equivalencia son: {a}, {b, d} y {c} A) {(a,a),(b,b),(c,c},(d,d),(d,a),(b,c)} B) {(a,a),(b,b),(c,c},(d,d),(a,c),(c,a)} C) {(a,a),(b,b),(c,c},(d,d),(b,a),(d,c)} D) {(a,a),(b,b),(c,c},(d,d),(b,d),(d,b)} 3. Encuente la elación de equivalencia cuyas clases de equivalencia son: []=[]={,},[3]={3},[4]={4}. A) {(,),(,),(3,3),(4,4),(,3),(3,)} B) {(,),(,),(3,3),(4,4),(,4),(4,)} C) {(,),(,),(3,3),(4,4),(,),(,)} D) {(,),(,),(3,3),(4,4),(,4),(4,)} 4. Sea R={(a,a),(a,b),(b,b),(b,a),(c,c),(d,d),(d,e),(e,d),(e,e)} una elación de equivalencia sobe A={a,b,c,d,e}. Detemine cuál es la patición oiginada po la elación anteio sobe A. A) {{a,b},{c,d},{e}} B) {a,b,c,d,e} C) {{a,b},{c},{d,e}} D) {{a},{b},{c},{d},{e}} 5. Una elación R sobe un conjunto A, que es eflexiva, simética y tansitiva ecibe el nombe de: A) Relación de oden pacial B) Relación de equivalencia C) Conjunto pacialmente odenado D) Clase de Equivalencia 6. Sea A={a,b,c,d} y sea S={{a,b},{c,d}} una patición sobe A. Detemina la elación de equivalencia geneada po esta patición. A) {(a,b),(b,a),(c,d),(d,c)} B) {(a,a),(b,b),(a,b),(b,a),(c,c),(d,d),(c,d),(d,c)} C) {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)} D) {(a,c),(a,d),(c,a),(d,a),(b,c),(b,d),(c,b),(d,b)} 7. Sea R={(,),(,),(,),(,),(3,3),(3,4),(4,3), (4,4),(5,5) } una elación sobe el conjunto A={,, 3, 4, 5}. Detemina cuál es la patición sobe A oiginada po la elación R. A){{,},{3},{4,5}} B){,,3,4,5} C){{,},{3,4},{5}} D){{},{},{3},{4},{5}} 8. Sea X={,,3,4,5,...,}y R={(x,y) t. q. (x y) es divisible po 5}. Detemina []. A) {,7} B) {5,} C) {7} D) {, 7,} 9. Sean A={,,3,...,} y R={(a,b) t. q. (a b) es divisible po 4} una elación sobe A. Detemina []. A) {,5,9,3,7} B) {} C) {,} D) {4,8,,6,}. Sean A={,,3,...,} y R={(a,b) t. q. (a b) es divisible po 5} una elación sobe A. Detemina [5]. A) {5,,5,} B) {5} C) D) {,7,,7}. Sea A={,,3,,5}. Considee la elación de equivalencia sobe A A definida po (a, b) (c,d) si ad = bc. Halle la clase de equivalencia de (3,) A) B) {,3,4,6,9,,,5} C) {(3,),(6,4),(9,6),(5,)} D) {(3,)}. Sea A={,,3,,5}. Considee la elación de equivalencia ~ sobe A A definida po (a, b) ~ (c,d) si a+d = b+c. Halle la clase de equivalencia de (,). A) {(,),(,),(3,),(4,3),(5,4,(6,5)} B) C) {,,3,4,5,6,7,8,9,,,,3,4,5} D) {(,) } 3. Sea R={(,),(,),(,),(,),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)} una elación sobe el conjunto A = {,, 3, 4, 5, 6}. Detemina cuál es la patición oiginada po la elación anteio sobe A. A){{,},{3},{4,5,6}} B) {{},{},{3},{4},{5},{6}} C){{,},{3,4},{5,6}} D) {,,3,4,5,6} 7

12 4. Sea R la elación tiene el mismo tamaño que, definida en todos los subconjuntos finitos de, es deci, a R b si y sólo si A = B. Entonces R es: A) Una elación de oden pacial B) Una elación de equivalencia C) Una elación de oden total D) Una elación antisimética 5. En una elación de equivalencia sobe un conjunto A son válidas las siguientes afimaciones EXCEPTO A) S = {[a] a A} es una patición de A B) Si a R b entonces [a] = [b] C) Si [a] = [b] entonces [a] [b] D) Si a R b entonces [a] [b] = 6. Sea R la elación es semejante a, definida en el conjunto de todos los tiángulos, es deci, T R T si y sólo T es semejante a T. Entonces R es: A) Una elación de equivalencia B) Una elación de oden pacial C) Una elación de oden total D) Una elación antisimética 7. Sea R={(,),(,),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} una elación sobe A={,,3,4,5,6}. Detemina cuál es la patición oiginada po la elación anteio sobe A. A){{,},{3},{4,5,6}} B){,,3,4,5,6} C){{,},{3,4},{4,5}} D){{},{},{3},{4},{5},{6}} 8. En una elación de equivalencia sobe un conjunto A, cuál de las siguientes afimación es válida A) Si a R b entonces [a] = [b] B) Si a R b entonces [a] [b] C) Si [a] = [b] entonces [a] [b] = D) Si a R b entonces [a] [b] = 9. Coloque una S si la elación es de equivalencia sobe {,, 3, 4, 5} y una N si no lo es. A) {(, ), (, 3), (, ), (3, ), (3, 3), (4, 4), (5, 5)} B) {(, ), (, ), (3, 3), (4, 4), (5, 5)} C) {(, ), (, 3), (, 5), (, ), (3, ), (3, 3), (3, 5), (4, 4), (5, ), (5, 3), (5, 5) } D) {(, ), (, ), (, 3), (, 4), (, ), (, 3), (, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4), (5, 5) } 8

13 TAREA.6. Coloque una S si la elación es un Oden Pacial sobe y una N si no lo es. R = {(a, b) tal que a = b + } S = {(a, b) tal que a b} T = {(a, b) tal que a > b}. Coloque una S si la elación es un Oden Pacial sobe y una N si no lo es. R = {(a, b) tal que a b (división entea)} S = {(a, b) tal que a + b 3} T = {(a, b) tal que a = b*} 3. Una elación R sobe un conjunto A, que es eflexiva, antisimética y tansitiva ecibe el nombe de: A) Oden pacial B) Conjunto pacialmente odenado C) Conjunto totalmente odenado D) Oden total 4. Todas las siguientes elaciones sobe son odenes paciales EXCEPTO: A) R={(x, y) t. q. x > y} B) R={(x, y) t. q. x y} C) R={(x, y) t. q. x y } D) R={(x, y) t. q. x y} 5. Qué popiedades posee la elación Ü sobe : A) Reflexiva y simética B) Ieflexiva, antisimética y tansitiva C) Ieflexiva y simética D) Reflexiva, antisimética y tansitiva 6. Sean X = {,,3,4}y R = {(,),(,),(,3),(,),(,3),(3,3),(4,4)} una elación de oden pacial sobe X. En los siguientes conjuntos esciba una A si es una cadena, una B si es anticadena, una C si es cadena y anticadena o una D si no es ninguno de los dos. {} {,4} {,, 3} {,, 3, 4} 7. En un oden pacial R sobe un conjunto X, si a, b, c X y si a R b y b R c las siguientes afimaciones se cumplen EXCEPTO A) b R b B) b R a C) a R a D) a R c 9

14 UNIDAD. INDUCCIÓN MATEMÁTICA TAREA.. Todos las siguientes son popiedades de la multiplicación de EXCEPTO A) Ley Asociativa B) Ley Conmutativa C) Simético Multiplicativo D) Neuto Multiplicativo. Cuántos divisoes pimos tiene el númeo n, siendo n un enteo positivo? A) n B) C) D) n 3. La sucesión 6,, 8,..., 6n,... es un ejemplo de un conjunto A) Infinito no numeable B) Infinito numeable C) De númeos iacionales D) Finito 4. La sucesión,,,..., 4 n,... es un ejemplo de un conjunto A) Infinito no numeable B) Finito C) De númeos iacionales D) Infinito numeable 5. Todos los siguientes conjuntos son infinitos numeables EXCEPTO el conjunto de los númeos: A) Impaes positivos B) Reales positivos C) Múltiplos negativos de 5 D) Enteos negativos 6. Un ejemplo de un conjunto infinito numeable, es el conjunto de los númeos. A) Reales negativos B) Complejos C) Reales positivos D) Racionales 7. Todos los siguientes conjuntos son infinitos numeables EXCEPTO: + A) X={x t. q. x } B) X={x t. q. x } C) X={x t. q. x } D) X={x t. q. x } 8. Todos los siguientes conjuntos son infinitos numeables EXCEPTO A) {/n, n } B) + C) {n+, n } D) {n, n } 9. Sean los siguientes conjuntos {/n, n + },,{n+, n + } y {7n, n }. Cuántos de estos conjuntos son infinitos numeables? A) Ninguno B) Algunos C) No se puede sabe D) Todos

15 TAREA.. Dada la siguiente fómula n 3 = ( n) la suma de los cubos de los pimeos téminos da como esultado A) B) 4 C) 8, D) 44,. En la fómula ( ) n (n ) = [( ) n+ n(n+)]/ cuando tomamos los pimeos téminos el esultado es: A) 495 B) 55 C) 55 D) Dada la siguiente fómula (n ) = n la suma es: A) 5 B) 56 C) 96 D) 6 4. Dada la siguiente fómula n 3 = [(n)(n+)/] la suma de los cubos de los 5 pimeos téminos da como esultado: A) B) 4,4 C) 5 D) 3, Dada la siguiente fómula (n ) = n la suma es: A) 44 B) C) D) 4 6. Todas las siguientes fómulas inductivas son coectas EXCEPTO: n(n + )(n + 3) ( n)( n + ) A) (n ) = B) n = 3 n( n + )(n + ) n( n + 3) C) n = D) (n ) = La suma de los pimeos n númeos impaes (n ) queda expesada po la fómula inductiva: A) (n ) = (n+) B) (n ) = n(n + )/ C) (n ) = n D) (n ) = n 3 8. Dada la fómula n 3 =( n) la suma de los cubos de los 5 pimeos téminos es: A) 3 B) C) 5 D) Dada la fómula (n ) = n. La suma cuando n = 5, equivale a: A) 5 B) C) 5 D) 5. Sea la fómula n =, si se aplica cuando n = 5, se obtiene que: (n ) (n + ) n + A) = B) = C) = D) La fómula A) n = n( n + ) n = B) = aplicada cuando n=6, coesponde a la ecuación: = C) = D) 6 6. Dada la fómula inductiva (n ) = n, calcule A) 59 B) 44 C) D) = 6 7

16 TAREA.3 En cada uno de los siguientes cinco poblemas, detemine cuál es el elemento que se añade, de acuedo con el pincipio de inducción matemática, paa el Paso inductivo (n-) = n ( n )(n + ) 3 A) k+ B) (k+) C) (k+) D) (k ) (3n ) = n(3n )/. A) k+ B) 3k+ C) 3k+5 D) 3k (n ) 3 = n (n -) A) (k+) 3 B) (k ) C) (k+) D) (k+) n n = + (n ) n A) k+ B) k C) (k+) k D) (k+) k n( n + 3) + + = n( n + )( n + ) 4( n + )( n + ) A) k+ B) k( k + )( k + ) C) ( k + )( k + 3)( k + ) D) ( k + )( k + )( k + 4) 6. Como hipótesis inductiva tenemos que n 3 = ( n), y habiendo completado la base de la inducción, paa completa la demostación hay que veifica que: A) ( n) +(n + ) 3 = ( n) B) ( n) +(n + ) 3 = ( n) + (n + ) C) ( n) +(n + ) 3 = ( n + (n + )) D) ( n) +(n + ) 3 = ( n + (n + )) + (n + ) 3 7. Como hipótesis inductiva tenemos que! +!+...+n n! = (n + )!, y habiendo completado la base de la inducción, paa completa la demostación hay que veifica que: A) (n + )! + (n + )(n + )! = (n + )! B) (n + )! + (n + )(n + )! = (n + )! C) (n + )! + (n + )(n + )! = (n + )! + (n + )(n + )! D) (n + )! + (n + )(n + )! = (n + )! 8. Paa la fómula n =, detemina cuál es el elemento que se le va a añadi en el paso n( n + ) n + inductivo, de acuedo con el pincipio de inducción matemática. A) B) C) D) k + ( k + )( k ) k( k + ) ( k + )( k + ) 9. Paa la fómula n =, detemina cuál es el elemento que se le va a añadi en el (n )(n + ) n + paso inductivo, de acuedo con el pincipio de inducción matemática. A) B) C) D) k + (k + )(k + 3) (k + )(k + ) (k )(k + ). En la fómula n = n+, habiendo completado la base de la inducción, paa completa la demostación hay que veifica que: A) n+ + n+ = n+ + n+ B) n+ + n+ = n+ C) n+ + n+ = n+ D) n + n+ = n+. Dada la fómula inductiva (n ) = n ( n )(n + ), calcule A) 5 B) 55 C) 68 D) 4495

17 . Dada la fómula inductiva =, calcule n( n + ) ( n + ) (5)(6) A) 5/6 B) 6/5 C) D) 6/7 3. Detemina cuál de las siguientes fómulas inductivas epesenta la suma n A) n ( n+ ) 3 ( ) B) 4 ( n + ) ( n+ ) C) 3 + n n( n+ ) + (n ) 8 D) 6 4. Consideando el poblema ( n + )( n + ) n n = cuya solución es posible po inducción matemática. 6 El supone que (k + )( k + ) k k =, y demosta que (k + 3)( k + )( k + ) k + ( k + ) = 6 6 utilizando el supuesto anteio, se denomina: A) Paso base B) Paso inductivo C) Hipótesis de la inducción D) Fómula inductiva n n+ 5. Consideando el poblema n ( ) = + ( n ), n, paa el paso inductivo Cuál es el témino que se debe añadi a la hipótesis inductiva? A) (k + ) k + B) (k + ) k + C) (k + ) k + D) (k + )( k + ) n 6. Si queemos demosta po inducción matemática que ( 3k ) = ( 3n n) k= y habiendo veificado la base de la misma, paa completa la demostación seá necesaio mosta que: ( ) n A) ( 3 ) = 3( ) ( n k n n ) B) ( 3k ) = 3( n + ) ( n + ) k = ( ) + k = n ( ) n C) ( 3 k ) = 3( n + ) ( n ) + D) ( 3 k ) = 3( n + ) ( n + ) k = n k = ( ) 7. Sea k( k)! = ( n + )!, la cual se petende demosta po inducción matemática. Detemina cual es el elemento a k = añadi en el paso inductivo, de acuedo al pincipio de inducción matemática A) (k +) B) (k +)(k+)! C) (k +)!- D) (k +)! 8. Como hipótesis inductiva tenemos que (n+) n = n n+, n> y habiendo completado la base de la inducción, paa completa la demostación hay que veifica que: A) (k+) k +(k+) k+ = k k+ B) (k+) k +(k+) k+ = (k+) k+ C) (k+) k = (k+) k+ D) (k+) k +(k+) k+ = k k+ +(k+) 9. Si queemos demosta po inducción matemática que (n ) 3 = n (n -) y habiendo veificado la base de la misma, Cuál es el témino que se debe añadi a la hipótesis inductiva? A) (k+) 3 B) (k ) C) (k+) D) (k+) 3. Como hipótesis inductiva tenemos que n (n+) = [n(n+)(n+)]/3 y habiendo completado la base de la inducción, paa completa la demostación hay que veifica que: A) k (k+)+(k+)(k+) = [k(k+)(k+)]/3 B) k (k+)+(k+)(k+) = [k(k+)(k+)]/3 + [(k+)]/3 C) k (k+)+(k+)(k+) = [(k+)(k+)(k+3)]/3 D) k (k+) = [(k+)(k+)(k+3)]/3. Expeimentando con valoes pequeños de n, encuente una fómula inductiva paa la suma: = n ( n+ ) A) n( n + ) B) ( n + )( n + ) C) n ( n +) D) n n( n +) 3

18 UNIDAD 3. RELACIONES DE RECURRENCIA TAREA 3.. Dada la sucesión a =, a =4, a 3 =7, Cuál témino de la sucesión es 88? A) a 34 B) a 3 C) a 4 D) a 33. Dada la sucesión, 6, 8, 54, Cuál témino de la sucesión es 8,98? A) a B) a 7 C) a D) a 3. Detemine el témino a 7 de una pogesión geomética si a = 3 y a = 3 5/3 A) 3 /3 B) 3 4/3 C) 43 D) 7 4. Detemine la azón de la pogesión geomética, (x/3), (x /9), (x 3 /7), A) (x /3) B) (x/3) C) (x/ 3) D) (x/3) 5. Una pelota se deja cae desde,48 de altua. Su elasticidad es tal que ebota hasta llega a ¾ pates de la altua desde la que cayó. A qué altua llega la pelota en el quinto ebote? A) 648 B) 486 C) D) Dada la sucesión a =, a =4, a 3 =7, Cuál témino de la sucesión es 97? A) a 34 B) a 3 C) a 4 D) a Dada la sucesión, 6, 8, 54, Cuál témino de la sucesión es 39,366? A) a B) a 4 C) a D) a 8. Detemine el témino a 4 de una pogesión geomética si a = 3 y a = 3 5/3 A) 3 /3 B) 7 C) 3 4/3 D) Detemine la azón de la pogesión geomética, x+, x+, 3x+, A) x B) x+ C) D) x. Detemine la azón de la pogesión geomética, x-, 4x-3, 6x-5, A) x - B) x + C) x - D) x. Elija las palabas que completen coectamente el siguiente enunciado: Una pogesión es aquella en la que exceptuando el pimeo, cualquie témino se obtiene un númeo fijo al témino anteio A) Aitmética, multiplicando B) Aitmética, sumando C) Geomética, dividiendo D) Geomética, sumando. Coloque una G si la sucesión coespondiente es Geomética, una A si es Aitmética o una N paa ninguna de las dos sen π/4,, 4, (.5), (.7),(.9),(.),, 3, 6,, log(), log(), log(),, /, /3, /4, 3. Detemine el témino a de una pogesión aitmética si a 8 = 47 y a 9 = 53 A) 5 B) 6 C) D) 4. Detemine el témino a 5 de una pogesión geomética si a = 4 y a = 6. A) B) 3/ C) 7/8 D) 8/4 4

19 5. Calcule el pime témino (a ) de una sucesión geomética cuyos téminos a 6 = x-9 y a 5 = 8x-7 A) x B) - C) x- D) 6. Si el décimo y onceavo témino de una sucesión aitmética son: a = x + 37 y a = x + 4 espectivamente, obtenga el pime témino A) x 8 B) x + 8 C) x 3 D) x Obtenga el octavo témino de la sucesión 3, -3, 3, A).3 B).3 C) -.3 D) Sabiendo que, de una pogesión geomética, el témino a 8 = ½ y = ½, enconta a A) 64 B) (½) 8 C) 3 D) (½) 9. Coloque una G si la sucesión coespondiente es Geomética, una A si es Aitmética o una N paa ninguna de las dos, -,, -, 96, 48, 4,,..., -4, 8, -6,, x+, x+, 3x+,,,, 3, 5,.... Coloque una G si es una pogesión Geomética, una A, si es una pogesión Aitmética o un N si no es ninguna de las dos. A) 5(.3), 5(.7), 5(.), 5(.5),... B) 5(.), 5(.4), 5(.9), 5(.6),... C) 5(.5), 5(.5), 5(.5) 3, 5(.5) 4,.... Coloque una G si la sucesión coespondiente es Geomética, una A si es Aitmética o una N paa ninguna de las dos 33, -44, 88, -76, log (), log (4), log (8),, (-x/3), (x /9),(-x 3 /7), ln(3), ln(9), ln(7), ln(8),. Coloque una G si es una pogesión Geomética, una A, si es una pogesión Aitmética o un N si no es ninguna de las dos. A) (.), (.4), (.8), (.3),... B) (.), (.), (.) 3, (.) 4,... C) (.), (.), (.3), (.4), Si el pime y segundo témino de una sucesión aitmética son: a = + y a = 3 espectivamente, obtenga el onceavo témino A) B) C) 9 D) En cada caso se da una pogesión. Coloca una G si es Geomética, una A si es Aitmética o una N si no es ninguna de las dos A), -4, 8, -6, B),,, 3, 5,... C) 96, 48, 4,,... D) (.5),(.7),(.9),(.), Todas son pogesiones Aitméticas EXCEPTO A) 5, 5.5, 6,... B) 5, 9, 3,... C) 64, 6, 4,... D) 8, 5,, Encuente el valo del téminos a 3 en la sucesión geneada po a n = (n + 5) A) 9 B) C) 5 D) 49 5

20 7. Detemina la azón común de la sucesión geomética, x+, 4x+, 6x+ A) x B) x- C) x- D) x- 8. Todas son pogesiones Geométicas EXCEPTO A), 4, 8,... B) 6, 4,,... C), 4, 6,... D) 8, 4,, Sabiendo que, de una pogesión aitmética, el témino a 8 = 47 y a 9 = 53, enconta a A) 5 B) 6 C) D) 3. Coloque una G si es una pogesión Geomética, una A, si es una pogesión Aitmética o una N si no es ninguna de las dos. A) 5, 8,, 7,... B) -6,, -4, 48,... C) (7.5), (7.5), (7.5) 3, (7.5) 4,... D) ½, /3, ¼, /5, Todas son pogesiones Geométicas EXCEPTO A), 4, 6,... B), 4, 8,... C) 6, 4,,... D) 8, 4,,... 6

21 TAREA 3.. Es una elación de ecuencia lineal homogénea con coeficientes constantes: A) (π/)a = 3a + +a B) a = πa a C) a = πa - a - +3 D) a = a -. Detemine cuál de las siguientes elaciones de ecuencia es lineal homogénea con coeficientes constantes A) a 3a + a 8a 3 = B) a a = C) 4a + 3a 3a = D) a + 5a a = 6² Todas de las siguientes elaciones de ecuencia son lineales con coeficientes constantes EXCEPTO A) a 3a + a 8a 3 = B) 4a + 3a + 3a = C) a + 5a a = 6² + 5 D) a a = 4. Coloque una S si la elación de ecuencia es lineal con coeficientes constantes y una N si no lo es. /3 a +(senπ/)a - = ln(5) a - a + 5a - - a - = 6² Coloque una S si la elación de ecuencia es lineal con coeficientes constantes y una N si no lo es 4a + 3a - 3a - = a 3 = (a + a )/5 a - a - = a + 5a - a - = 6² + 5 a 3a - + a - 8a -3 = 6. Coloque una S si la elación de ecuencia es lineal con coeficientes constantes y una N si no lo es a = a - a - a = 3a - + a - 8a -3 a = 5² + + 5a - a - a = a - + 3a - a - a = (3-4a - )/3 7. En cada caso se da una fómula explícita. Enconta los téminos indicados A) a n = n + 3; a 4 = 5/6 B) a n = n/(n+); a 5 = -7 C) a n = (n-) ; a 4 = D) a n = (-3) n ; a 3 = Detemina la fómula explícita que epesenta cada una de las siguientes pogesiones A),3,5,7,... a n = 3n B) 7,4,,8,... a n = (½) n C),, 4, 8,... a n = (n ) D), 9, 5, 49,... a n = n 9. Encuente el valo del témino indicado en cada sucesión A) a n = (n ) ; a 4 = 8 B) a n = ( 3) n ; a 4 = 3 C) a n = n + 5; a 4 = 49. En cada caso se da una fómula explícita. Encuente el valo del témino indicado. A) a n = (n ) ; a 5 = 8 B) a n = ( 3) n- ; a 5 = 5 C) a n = n + 5; a 5 = 64 7

22 . Detemine la elación de ecuencia que coesponde a cada una de las siguientes sucesiones: A) 9, 3, 3, 9,... a n = ( a n )/3 B), 3, 3, 5,... 8a n = a n a n + a n 3 C) 9, 3,9, 457,... a n = a n a n D) 9, 3,, /3... a n = 3a n + 8a n 43a n 3 E) 9, 3, 3, 45/8,... a n = a n + 3a n. Encuente el valo del téminos a 3 en la sucesión geneada po a n = (n ) A) 36 B) 5 C) 9 D) Encuente una fómula ecusiva paa las siguientes sucesiones: A), 6,, 4,... a n = a n- + a n- B), 6,,,... a n = a n- + n C), 4, 6,, 6,... a n = a n- + n D), 5,, 7,... a n = a n Detemina la fómula ecusiva de la siguiente sucesión:, 5,, 85,... A) a 3 + B) a 4 C) a 3 D) a 4 + = n a n n = a n n = a n = n a n 5. Un concuso tiene 5 pemios que hacen un total de $5,. y ente los pemios sucesivos habá una difeencia de $.. Calcule el valo del quinto pemio A) $,3. B) $,. C) $. D) $8. 6. Detemina la fómula ecusiva de la siguiente sucesión:,, 5, 4,... 7 A) a 3 + B) a 4 C) a 3 D) a 4 + = n a n n = a n n = a n = n a n 7. Coloque una S si la elación de ecuencia es lineal con coeficientes constantes y una N si no lo es A) a = 3 + 3a - B) a = a - - a - C) a = ( - a - + 4a - )/ D) a = 3a - + a - - 8a -3 a -4 8

23 TAREA 3.3. Encuente la solución homogénea paa la elación de ecuencia a - = a A) A B) A + A C) A +A D) A. Sea a =7a 3a +, detemine la ecuación caacteística, paa la solución homogénea A) α 7α 3 B) α 7α+3 C) α +7α+3 D) α +7α 3 3. Dada la ecuación de ecuencia a = + n an a, la ecuación caacteística asociada es: n A) α + α + = B) α α + C) α α = D) α + α + 4. Detemina la elación de ecuencia con coeficientes constantes, si α =3 y α = son las aíces de la ecuación caacteística. A) a = 3a + a B) a = 5 a 6a C) a = 3a a D) a = 6a 5a 5. Detemina la solución homogénea paa la elación de ecuencia con coeficientes constantes a 6a + 5a = ( ) A) a h ( = A + A B) a h ) ( h) ( h) = A + A 5 C) a = + 5 D) a = A + A 5 6. Dada la elación de a 3a a n =, detemina la ecuación caacteística asociada. A) α 3 3α α= B) 3α α = C) α 3α = D) α 3 +3α +α= 7. Detemina la elación de ecuencia con coeficientes constantes, si α =5 y α = son las aíces de la ecuación caacteística A) a = 3a + a B) a = 5 a 6a C) a = 3a a D) a = 6a 5a 8. Detemina la solución homogénea paa la elación de ecuencia con coeficientes constantes a 5a + 6a = ( h) ( A) a = A5 A 6 B) a h ) ( h) ( h) = A3 + A C) a = 3 + D) a = A 3 + A 9. Dada la ecuación caacteística α +8α+6=, detemina la elación de ecuencia lineal con coeficientes constantes coespondiente A) a n = 8a n- 6a n- B) a n = 8a n- +6a n- C) a n = 8a n- 6 D) a n = 8a n- +6a n-. Dada la elación de ecuencia lineal con coeficientes constantes a 3a a - 3a 3 =, detemina la ecuación caacteística coespondiente A) α 3 3α +α= B) 3α α 3α 3 = C) α 3α = D) α 3 3α α 3=. Detemina la elación de ecuencia lineal con coeficientes constantes, si α = y α = son las aíces de la ecuación caacteística A) a = 3a + a B) a = 3a a C) a = 5 a 6a D) a = 6 a 5a. Detemina la solución homogénea paa la elación de ecuencia con lineal coeficientes constantes, a 4a + 3a = ( A) a h ) ( h) ( h) ( = A B) a = A + A 3 C) a = A + 3 D) a h ) = A + A 3. Sea a = 7a - 3a -, detemine la ecuación caacteística, paa la solución homogénea A) α 7α 3 = B) α + 7α + 3 = C) α 7α + 3 = D) α + 7α 3 = 9

24 4. Detemina la elación de ecuencia con coeficientes constantes, si α = 3 y α = son las aíces de la ecuación caacteística. A) a = a - + 6a - B) a = a - 6a - C) a = a - + 6a - D) a = a - 6a - 5. Detemina la solución homogénea paa la elación de ecuencia a +5a - + 6a - = ( h) ( h) ( h) ( h) A) a = A ( 3) + A () B) a = A( 3) + A ( ) C) a = A ( 3) + A () D) a = A( 3) + A ( ) 6. Detemina la elación de ecuencia con coeficientes constantes, si α = y α = son las aíces de la ecuación caacteística. A) a = a - + a - B) a = a - a - C) a = a - a - D) a = a - + a - 7. Sea a = 7a +3a, detemine la ecuación caacteística, paa la solución homogénea A) α + 7α 3 = B) α 7α 3 = C) α + 7α + 3 = D) α 7α + 3 = 8. Detemina la solución homogénea paa la ecuencia a 3a + 3a + a 3 = ( h) ( h) A) a = ( A + A + A3 )( 3) B) a = ( A + A + A3 )( ) ( h) ( h) C) a = ( A + A + A3 )() D) a = ( A + A + A3 )(3) 9. Detemina la elación de ecuencia, si α = α = son las aíces de la ecuación caacteística A) a = a + a B) a = a a C) a = a a D) a = a + a. Encuente la ecuación caacteística asociada a la ecuación de ecuencia a n = 3a n-4 A) α 4 3 = B) α = C) α 3 = D) α + 3 =. Encuente la solución homogénea paa la siguientes elación de ecuencia a n n = 3n + a n- A) A B) A + A C) A D) A n +A. Detemine la elación de ecuencia, si α = y α = 4 son las aíces de la ecuación caacteística A) a = 5 a 4a B) a = a + a C) a = a a D) a = a + a 3. Sea a = 7a 3a +, detemine su solución homogénea. A) A 3 B) A +A C) A 3 +A D) A 3 +A (/) 4. Detemina la foma de la solución paticula de la elación de ecuencia 3a = 3 a - + 7a - A)P3 B) P 3 C) P3 D) P3 5. Detemina la foma de la solución paticula de la elación de ecuencia 3a = 3 a - + 7a - A) P +P +P 3 B) P +P C) P 3 D) (P +P )3 6. Detemine la foma de la solución paticula de la elación de ecuencia a = 3 a + 7a A) 3 B) P 3 C) P3 D) P3

25 UNIDAD 4. PRINCIPIOS DE CONTEO TAREA 4.. Cuántos númeos telefónicos de siete dígitos podemos obtene si el pimeo, el quinto y el último dígito no pueden se ceo y se pemiten epeticiones? A) 7 9, B) 7 9, C), D) 7,. Cuántos númeos de 4 cifas pueden fomase a pati de los seis dígitos,,3,5,7 y 8, que sean menoes de 4, si no se pemiten epeticiones A) 36 B) 6 C) 8 D) 3. Cuántos automóviles difeentes se pueden constui si dispones de coloes difeentes, caoceías de 4 modelos, motoes de 3 potencias y tansmisión de tipos? A) 96 B) 7 C) 88 D) Cuántos númeos paes de tes dígitos se pueden foma a pati de los dígitos,, 5, 6 y 9 si cada dígito se puede usa sólo una vez? A) 36 B) C) D) 4 Los siguientes cuato poblemas se efieen a lo siguiente: En la fábica de placas de automóvil de un pequeño país, cada placa que se elaboa consta de letas y 3 dígitos. El alfabeto consta de 6 letas. Cuántas placas difeentes habá si: 5. El pime dígito no puede se ceo A) 4, B) 468, C) 68,4 D) 676, 6. No se pemite que se epitan las letas y los dígitos A) 4, B) 468, C) 68,4 D) 676, 7. No se pemite epeti letas ni dígitos y el pime dígito no puede se ceo A) 4, B) 468, C) 68,4 D) 676, 8. Se pemite epeti letas y dígitos A) 4, B) 468, C) 68,4 D) 676, Los siguientes dos poblemas se efieen a que en una escuela se ofecen cinco cusos po la mañana y siete po la tade. Cuántas opciones tiene un alumno si quiee inscibise en: 9. Un cuso en la mañana y oto en la tade A) B) 7 C) 35 D) 5. Un único cuso A) 5 B) 35 C) 7 D) Los siguientes dos poblemas se efieen a que en una escuela se ofecen ocho cusos po la mañana y seis po la tade. Cuántas opciones tiene un alumno si quiee inscibise en:. Un cuso en la mañana y oto en la tade A) 48 B) 8 C) 4 D) 6. Un único cuso A) 6 B) 8 C) 8 D) 4

26 Los siguientes cuato poblemas se efieen a que en México un númeo de Seguo Social tiene 9 dígitos. Paa fomalos se pemiten epeticiones. Cuántos númeos distintos hay si: 3. Se toman todos los posibles númeos que se puedan foma A) (9) () B) 9 C) 9 D) 9! 4. El pimeo y el último dígito no pueden se ceo A) (9) (7) B) 7 9 C) 7 D) Ningún dígito puede se un 8 A) (9) (9) B) 8 9 C) 9 D) Todos los dígitos deben se paes A) (9) (5) B) 9 5 C) 5 9 D) 5

27 TAREA 4.. Cuántas maneas difeentes hay de asigna la posición de salida de 8 autos que Paticipan en una caea de fómula A) 4,3 B) 8 C) 56, D) 4, Los siguientes dos poblemas se efieen a que en una escuela se ofecen cinco cusos po la mañana y siete po la tade. Cuántas opciones tiene un alumno si quiee inscibise en:. Dos cusos en la mañana y dos en la tade A) B) 7 C) 35 D) 4 3. Todos los cusos posibles A) C(,5)*C(,7) B) P(,5)*P(,7) C) C(,) D) P(,) Los siguientes dos poblemas se efieen a que en una escuela se ofecen ocho cusos po la mañana y seis po la tade. Cuántas opciones tiene un alumno si quiee inscibise en: 4. Dos cusos en la mañana y dos en la tade A) 9 B) 4 C) 768 D) Todos los cusos posibles A) C(4,8)*C(4,6) B) P(4,8)*P(4,6) C) P(4,4) D) C(4,4) 6. En una Copa de Fútbol paticipan 3 equipos. Los pemios son copas de oo, plata, cobe y bonce del o al 4 o luga. De cuántas fomas pueden epatise las copas, si un equipo solamente puede gana una? A) C(3,4) B) 3!/4! C) 3! D) P(3,4) 7. De cuántas maneas puede un agiculto semba 5 poductos difeentes en 5 campos agícolas si solamente cultiva un poducto en cada campo A) B) 5 C) D) 5 8. En Alemania 6 paticipan 3 equipos de fútbol. Los pemios son medallas de oo, planta y bonce, al pimeo, segundo y tece luga. De cuántas fomas pueden epatise las medallas, si un equipo solamente puede gana una de ellas? A) 9,76 B) 3!/3! C) 3! D) 4,96 9. Cuántas cadenas de 8 bits tienen exactamente 3 ceos? A) 3! B) 5! C) 56 D) 7. De un conjunto de 6 hombes y 7 mujees, de cuántas maneas se puede elegi un comité de 5 pesonas. A), B) 54,44 C),87 D) 65. En la final de la caea de los metos planos paticipan 8 finalistas. Los pemios son medallas de oo, planta y bonce, al pimeo, segundo y tece luga. De cuántas fomas pueden epatise las medallas, si un finalista solamente puede gana una de ellas? A) 56 B) 8!/3! C) 8! D) 336. Cuántas cadenas de 8 bits tienen exactamente 5 ceos? A) 3! B) 56 C) 5! D) 7 3. De cuántas maneas puede un agiculto semba 4 poductos difeentes en 4 campos agícolas si solamente cultiva un poducto en cada campo A) 4 B) 8 C) 6 D) 4 3

28 4. De un conjunto de 8 hombes y 4 mujees, de cuántas maneas se puede elegi un comité de 5 pesonas. A) 79 B) 7 C) 495 D) 95,4 5. El geente de CHEDRAUI desea implementa ventas noctunas 3 veces a la semana. De cuántas maneas distintas se pueden implementa dichas ventas. A) B) 35 C) 5 D) 6. Un cagamento de 5 micopocesadoes contiene 4 defectuosos. De cuántas maneas puedo selecciona 4 micopocesadoes no defectuosos? A) 67,5 B) 3,3 C) 63,85 D)6,7 7. De cuántas fomas puede elegise un comité de 4 epublicanos, 3 demócatas y independientes de un gupo de epublicanos, demócatas y 4 independientes? A) 4 B) P(,4)*P(,3)*P(4,) C) 4 D) P(,4)+P(,3)+P(4,) * * Cuántas odenaciones de las letas ABCDEFGH contienen las letas DEFGH juntas y en ese mismo oden A) 4,3 B) 4 C) 6,7 D) De cuántas fomas se pueden pogama a tes confeencistas paa tes euniones difeentes si todos están disponibles en cualquiea de cinco fechas difeentes? A) 4 B) 6 C) D) 4. Supóngase que tenemos 7 habitaciones y queemos asigna 4 de ellas como oficinas paa pogamadoes. De cuántas maneas puede ealizase dicho acomodo? A) 84 B),96 C) 35 D). Cuato matimonios compaon ocho lugaes en la misma fila paa un concieto. De cuántas fomas difeentes se pueden senta si cada paeja debe esta junta? A),63 B) 7 C) 4 D) 8. De cuántas fomas pueden asignase siete científicos en tes habitaciones de un hotel si una habitación es tiple y dos son dobles? A) B) 7! C) 64 D) 3. Un entenado de baloncesto dispone de jugadoes Cuántos equipos de 5 jugadoes puede foma? A) 79 B) 95,4 C) 6 D) 4. El geente de AURRERA desea implementa ebajas sobe ebajas tes veces a la semana. De cuántas maneas distintas se pueden implementa dichas ebajas. A) B) 35 C) 4 D) 5. En una compañía hay 3 obeos y administativos. De cuántas maneas se puede foma un comité compuesto po 3 obeos y 4 administativos? A), B) 3,6 C) 9, D) 85,6 4

29 TAREA 4.3. Cuántas cadenas se pueden foma con las siguientes letas: BENZENE? A) B) 84 C) 5,4 D) 4. Cuántas cadenas se pueden foma con las siguientes letas: FANTASMA? A) 56 B) 336 C) 6,7 D) 4,3 3. De cuántas maneas de pueden epati 5 libos idénticos de matemáticas ente 6 estudiantes. A),6 B) 5,54 C) 9 D) 6! 4. Cuántas palabas pueden fomase eodenando las letas de la palaba SALESPERSONS, si las cuato S, deben se consecutivas (juntas)? A) 36,88 B) 8,44 C)!/! D)86,88 5. Se tienen 5 pilas de pelotas, cada pila de difeente colo, además cada pila tiene al menos 6 pelotas. De cuántos modos se pueden selecciona 6 pelotas? A) 6 B) 7 C) D) 5,4 6. De cuántas fomas difeentes se pueden odena 3 focos ojos, 4 amaillos y azules en una seie de luces navideñas con nueve potalámpaas? A) 9! B) 4 C),6 D) 94 Los siguientes cuato poblemas se efieen a lo siguiente: De cuántas fomas difeentes se pueden odena las letas de MISSISSIPPI si: 7. Se tiene que comenza con una I A) 84 B) 6,3 C) 3,78 D),6 8. Las dos P deben esta juntas A) 84 B) 6,3 C) 3,78 D),6 9. Las cuato S deben esta juntas A) 84 B) 6,3 C) 3,78 D),6. Se debe comenza y temina con una S A) 84 B) 6,3 C) 3,78 D),6. Cuántas cadenas se pueden obtene con las letas de la palaba MATEMATICAS? A) 663, B) C), D)! 5

30 TAREA 4.4 Los siguientes cinco poblemas se efieen a una escuela de depotes en la que hay 4 alumnos de los cuales 4 toman Básquetbol, 5 Natación, 45 Ciclismo, 7 Natación y Básquetbol, 6 Natación y Ciclismo, 8 Básquetbol y Ciclismo; y 3 que toman los 3 cusos.. Cuántos alumnos distintos hay que toman uno o dos cusos únicamente A) B) 35 C) 7 D) 4. Cuántos alumnos distintos hay que no toman ninguno de estos cusos A) 5 B) 3 C) 5 D) 8 3. Cuántos alumnos distintos hay que toman al menos un cuso A) 7 B) C) 35 D) 4 4. Cuántos alumnos distintos hay que toman exactamente dos cusos A) 8 B) 5 C) D) 5. Cuántos alumnos distintos hay que toman exactamente un cuso A) 35 B) C) 4 D) 7 Los siguientes cinco poblemas se efieen a una escuela de ates maciales en la que hay alumnos de los cuales 3 toman Kaate, 4 Tae Kwan Do, 35 Judo, 9 Kaate y Tae Kwan Do, Tae Kwan Do y Judo, 8 Kaate y Judo; y 6 que toman los 3 cusos. 6. Cuántos alumnos distintos hay que toman uno o dos cusos únicamente A) 67 B) 77 C) 83 D) 5 7. Cuántos alumnos distintos hay que no toman ninguno de estos cusos A) 3 B) 5 C) 7 D) 8. Cuántos alumnos distintos hay que toman al menos un cuso A) 83 B) 5 C) 67 D) Cuántos alumnos distintos hay que toman exactamente dos cusos A) 8 B) C) 6 D). Cuántos alumnos distintos hay que toman exactamente un cuso A) 77 B) 7 C) 67 D) 83 Los siguientes cinco poblemas se efieen a una academia en la que hay 3 alumnos de los cuales 43 toman Ceámica, 57 Pintua y 9 Escultua, en Ceámica y Pintua hay alumnos, 5 en Pintua y Escultua, 5 en Ceámica y Escultua; y hay que toman los 3 cusos.. Cuántos alumnos distintos hay que toman exactamente un cuso A) 9 B) C) 95 D) 9. Cuántos alumnos distintos hay que toman al menos un cuso A) B) 9 C) 9 D) 9 3. Cuántos alumnos distintos hay que toman exactamente dos cusos A) 9 B) C) 6 D) 4 6

31 4. Cuántos alumnos distintos hay que toman uno o dos cusos únicamente A) B) 9 C) 9 D) Cuántos alumnos distintos hay que no toman ninguno de estos cusos A) 9 B) C) D) 4 6. En una escuela hay,3 alumnos inscitos en el cuso de inglés, 879 al cuso de fancés y 4 al de alemán. Además 3 están inscitos en inglés y fancés, 3 en inglés y alemán, 4 en fancés y alemán y 7 en los tes cusos. Cuántos estudiantes toman al menos un cuso? A),9 B),37 C),5 D),6 7. De 4 estudiantes, estudian matemáticas discetas, 4 álgeba, cálculo, 7 matemáticas discetas y álgeba, 5 matemáticas discetas y cálculo, 3 álgeba y cálculo y 9 no estudian ninguna de las 3 mateias. Cuántos estudian las tes mateias? A) 5 B) C) 7 D) 3 7

32 TAREA 4.5. En una casa de huéspedes hay 3 habitaciones. En una tempoada de vacaciones llega una excusión con 35 pesonas que quieen alojase. De acuedo a este suceso, qué nos asegua el Pincipio de Diichlet? A) Cada huésped está en alguna habitación. B) Hay una habitación que hospeda más de un huésped C) Hay tes huéspedes sin habitación D) Se tienen habitaciones donde puede ecibi más de un huésped. Cuántos alumnos habá en una clase paa gaantiza que al menos dos alumnos eciban la misma calificación, suponiendo que las calificaciones van de a A) B) C) D) 3 3. Calcula el coeficiente del témino xy 3 que esulta del binomio (3x y) 4 A) 96 B) 96 C) 6 D) 6 4. Cuántos téminos tendá en total el desaollo del tinomio (x + 3y + z) 3? A) 7 B) 4 C) D) 3 5. Detemina el coeficiente del témino x 4 y 7 que se obtiene al desaolla (x+y) A) 38 B) 8 C) 56 D) Calcula el coeficiente del témino x y que esulta del binomio (3x y) 4 A) 96 B) 96 C) 6 D) 6 7. Cuántos téminos tendá en total el desaollo del tinomio (x + y + z)? A) 3 B) 6 C) 7 D) 4 8. Detemina el coeficiente del témino x 5 y 5 que se obtiene al desaolla (x+y) A) 45 B) C) D) 5 9. Detemina el coeficiente del cuato témino que se obtiene al desaolla (x+3y) A) 8,9 B) 6,73 C) 4,455 D) 33. Detemina el coeficiente del témino x 5 y 7 que se obtiene al desaolla (x+y) A) 495 B) 66 C) 94 D) 79. Obtenga el coeficiente del tece témino de (a + b) A) B) C),4 D) 9. Puesto que n n y sabiendo que n = a + b, entonces todas las siguientes afimaciones son cietas EXCEPTO = n A) n n B) n n C) n n D) n n = n b a = n a b = a b = a b b a 8

33 UNIDAD 5. GRAFOS TAREA 5.. Detemine el númeo de aistas que tiene el gafo K 9? A) 9 B) 7 C) 45 D) 36. Qué gado o valencia tendá cada vétice de un gafo K 6? A) 6 B) 5 C) 7 D) 4 3. Es un gafo en el que hay datos asociados a sus lados A) Pondeado B) Conexo C) Multigafo D) Subgafo 4. Detemine el númeo de aistas que tiene el gafo K? A) 9 B) C) 45 D) Qué gado o valencia tendá cada vétice de un gafo K n? A) n B) n C) n + D) n 6. Coloque la leta coecta de acuedo al tipo de gafo. Nota: un gafo puede se de más de un tipo. Conexo A) B) C) Simple Completo 7. Cuál de los siguiente gafos epesenta un subgafo geneado paa K 4 A) B) C) D) 8. Cuál de los siguientes subgafos es el complemento de con especto a K 4 A) B) C) D) 9. Es un gafo en el que no existe lazos ni lados paalelos A) Simple B) Completo C) Conexo D) No conexo. Todos los siguientes subgafos son geneadoes de K 4 EXCEPTO A) B) C) D). Cuál de los siguientes subgafos es el complemento de con especto a K 4 A) B) C) D). Se dice que un G es un subgafo geneado de G si contiene: A) Algunos lados de G B) Todos los lados de G C) Algunos vétices de G D) Todos los vétices de G 9

34 3. El gafo G es G G A) Isomofo con G B) Complemento de G C) Subgafo geneado de G D) Isomofo bajo vétices de gado con G 4. Es un gafo en la que siempe existe un camino ente cualquie pa de vétices A) No conexo B) Completo C) Conexo D) Simple 5. Qué tipo de gafo es el siguiente: A) Completo (K 5 ) B) Simple C) Pondeado D) Dígafo 6. Colocando la leta coecta de acuedo al tipo de gafo (que puede se de más de un tipo) 3 Gafo pondeado 8 6 Gafo no simple 4 Gafo completo A) B) C) Dígafo Gafo no conexo Multigafo D) E) F) 3

35 TAREA 5.. Coloque una S si el gafo coespondiente contiene un cicuito de Eule o una N en caso contaio. A) K 4 B) K 9 C) K 6 D) K 3 a b Basándose en el gafo c contesta los cuato poblemas siguientes: d e. Cuál de las siguientes sucesiones de lados es un camino? A) (a, b, c, b, a, d) B) (a, b, c, d, a, b) C) (a, b, c, d, e, c) D) (a, b, a, c, a, d) 3. Cuál de las siguientes sucesiones de lados es un camino simple? A) (a, b, c, e, d, a) B) (a, b, c, d, e, c) C) (a, b, c, a, d) D) (a, b, c, e, d) 4. Cuál de las siguientes sucesiones de lados es un cicuito? A) (a, c, d, a, b, a) B) (a, b, c, e, d, c, a) C) (a, b, c, d, c, a) D) (a, b, a, c, a) 5. Cuál de las siguientes sucesiones de lados es un cicuito simple? A) (a, b, c, e, d, a) B) (a, b, c, d, c, a) C) (a, c, e, d, c, a) D) (a, b, c, e, d, c, a) 6. Coloque una S si el gafo coespondiente contiene un cicuito de Eule o una N en caso contaio. A) K B) K C) K 4 D) K 7 Basándose en el siguiente gafo b a c contesta los cuato poblemas que siguen: e d 7. Cuál de las siguientes sucesiones de lados es un camino? A) (a, b, c, b, a, e) B) (a, b, c, d, e, c) C) (a, b, c, d, a, b) D) (a, b, a, e, a, b) 8. Cuál de las siguientes sucesiones de lados es un camino simple? A) (a, b, c, d, e) B) (a, b, c, d, e, c) C) (a, b, c, a, d) D) (a, b, c, d, e, a) 9. Cuál de las siguientes sucesiones de lados es un cicuito? A) (a, e, c, d, c, a) B) (a, c, d, a, b, a) C) (a, b, c, e, d, a) D) (a, d, e, d, c, a). Cuál de las siguientes sucesiones de lados es un cicuito simple? A) (a, b, c, e, d, c, a) B) (a, b, c, d, e, a) C) (a, b, c, d, c, a) D) (a, e, d, a, c, b, a). Cuál de los siguientes gafos tiene simultáneamente un cicuito de Eule y un cicuito de Hamilton A) B) C) D). Sucesión de lados que incluye todos los lados de un gafo dado. A) Cicuito de Eule B) Cicuito de Hamilton C) Cicuito Simple D) Cicuito 3