SELECCIÓN DE PORTAFOLIOS DE ACCIONES A PARTIR DE LA LINEA DE MERCADO DE CAPITALES CON ACTIVOS FINANCIEROS DE COLOMBIA

Transcripción

1 Scenta et echnca Año XIII, o 35, Agosto de Unversdad ecnológca de erera. ISS SELECCIÓ DE ORAFOLIOS DE ACCIOES A ARIR DE LA LIEA DE MERCADO DE CAIALES CO ACIVOS FIACIEROS DE COLOMBIA Selecton of stocks portfolos to leave of t lnes her of market of captals wth fnancal assets of Colomba RESUME La meta prncpal de los nversonstas en los mercados fnanceros es lograr maxmzar los rendmentos mnmzando resgos. ara alcanzar estos obetvos han surgdo dferentes teorías en épocas recentes. El trabao plantea la aplcacón de varos modelos de optmzacón en Excel que permte crear portafolos optmzados a partr de las teorías de portafolos de renta fa, de renta varable de Markowtz, y por ultmo el concepto de línea de mercado de captales para determnar la composcón porcentual acconara que optmza la prma por resgo en el conunto efcente. ALABRAS CLAVES: Línea de mercado de captales, ortafolos de accones, portafolos de Renta fa. ABSRAC he man goal of the nvestors n the fnancal markets s to be able to maxmze the yelds mnmzng rsks. o reach these obectves dfferent theores they have arsen n recent tmes. he work outlnes the applcaton of several models of optmzaton n Excel that allows to create portfolos optmzed startng from the theores of portfolos of fxed rent, of rent varable of Markowtz, and for fnsh the concept of lne of market of captals to determne the stock percentage composton that optmzes the yelds for rsk n the effcent fronter. EDUARDO ARURO CRUZ Ingenero Industral, M.Sc rofesor Asstente Unversdad ecnológca de erera ecruz@utp.edu.co JORGE HERA RESREO Ingenero Industral, M.Sc. rofesor Asstente Unversdad ecnológca de erera hrestrepoco@utp.edu.co EDRO DAIEL MEDIA V Ingenero Mecánco, M.Sc. rofesor Especal Unversdad ecnológca de erera pmedn@utp.edu.co GRUO DE IVESIGACIÓ ADMIISRACIÓ ECOÓMICA Y FIACIERA. KEYWORDS: Lne of market of captals, portfolos of fxed Rent, stocks portfolos.. IRODUCCIÓ Los nversonstas de mercados fnanceros se enfrentan a dferentes actvos fnanceros en lo referente a los plazos de maduracón, de rendmentos ofrecdos y de nvel de resgo. Se han desarrollado dferentes trabaos nvestgatvos que orenten al nversor y le faclten la toma de decsones en mercados altamente especulatvos. Entre los trabaos que se apoya la presente nvestgacón, vale la pena resaltar los trabaos de Markowtz (952), con el modelo de varanza/ covaranza para determnar la frontera efcente, los modelos teórcos presentados por Black (972), Merton (973) y más tarde por Levy y Sarnat (982), Elton (995) y Gruber (997), el resumen elaborado por Alexander, Sharp y Balley (2003), conduce a que el portafolo optmo se puede encontrar utlzando prncpalmente la línea de mercado de captales para selecconar en la frontera efcente la partcpacón porcentual de la nversón en cada accón que genere el máxmo rendmento a través de la prma por el resgo nvolucrado. En el proceso decsoro por parte del nversonsta es necesaro evaluar s las decsones tomadas en el maneo de los recursos fnanceros son las más acertadas?, Cuál sería la nversón en actvos de renta varable que genere Fecha de Recepcón: 8 Mayo de 2007 Fecha de Aceptacón: 03 Julo de 2007 la prma por resgo óptma?. El proceso de nversón en los mercados fnanceros es una labor dfícl y complea porque el retorno sobre la nversón está altamente correlaconado con el resgo y a mayores tasas de rentabldad mayor es el resgo. El presente trabao, presenta una metodología que conduce al lector a hallar la dstrbucón porcentual de las nversones en cada uno de los nstrumentos fnanceros preselecconados, partendo de la tasa de oportundad obtenda con el prmer portafolo optmzado de renta fa. osterormente, se construye la frontera efcente del portafolo optmzado de accones ordnaras, partendo de mnmzar el resgo a determnados nveles de rentabldad. or ultmo, se optmza la pendente de la línea de mercado de captales que parte del portafolo de renta fa y es tangente a la frontera efcente, en éste punto se establecen los porcentaes de nversón en cada una de las accones que conducen a la mayor prma por resgo del portafolo. 2. FORMULACIO MAEMAICA DE LOS MODELOS 2. Modelo de portafolo de renta fa optmo ara determnar la tasa de retorno del portafolo de

2 300 Scenta et echnca Año XIII, o 35, Agosto de Unversdad ecnológca de erera. nstrumentos fnanceros de renta fa se recurre al método de programacón lneal, la defncón de varables es la sguente: A = asa de nterés ofrecda por el título. C = Cantdad de dnero requerdo en el perodo D = asa de mpuestos en el perodo Q = Cantdad de dnero de segurdad en el perodo S = Saldo ncal en cada perodo R = Valor de maduracón de los títulos en el perodo. X = Dnero para nvertr en el título, en el tempo. Zk = Valor de los títulos en el momento de nvertr. Con base en las anterores defncones el problema general del portafolo de nversón en renta fa a corto plazo es: Encuentre los valores de X, X2, X3,... XM tales que Maxmcen Σ(AX+A2X AMXM ) y que cumplan con todas las sguentes restrccones: S + ΣR + Σ(R*A ) - XM - C D ZK Q S2 + ΣR + Σ(R*A ) -XM2 C2 D2 - ZK2 Q2 S + ΣR + Σ(R*A) -XM C D - ZK Q XI 0, YJ 0 Z 0 según []. = = FC Calcular: V(I)= = 0 para determnar la tasa ( ) + nterna de retorno del portafolo de renta fa. 2.2 Modelo de portafolo de renta varable (accones ordnaras) óptmo La conformacón de portafolos es una estratega para dsmnur el resgo, es decr, el resgo del portafolo debe ser menor que la suma de los resgos de las accones que lo conforman. ara construr portafolos efcentes se emplean las sguentes modelacones: El rendmento de un actvo para un solo período es: t t R = donde, R es la rentabldad del actvo, t t es el preco de mercado del actvo en el período t y t- es el preco en el período nmedatamente anteror. El rendmento promedo de cada actvo es: Rt t= E( R ) = Donde R es el rendmento del actvo en un período dado t y es el número de perodos que se analzan. El resgo de cada actvo, meddo como la desvacón típca de la rentabldad; esta dada por: = t= ( R t E( R )) 2 La covaranza entre los dferentes actvos, calculada a través de la regresón smple (tomando cada par de actvos) se obtene con la sguente ecuacón: [ Rt E( R )][. Rt E( R ] ) t = COV = La rentabldad esperada del portafolo se obtene así: E ( R ) = A E ( R ) Donde A es el = porcentae de nversón en cada actvo del portafolo y el número de actvos que partcpan en el portafolo. El resgo de un portafolo con múltples alternatvas de nversón se logra a través del cálculo de su desvacón típca: 2 2 = A + 2 = = = A A Donde es el resgo del portafolo. La optmzacón del portafolo de accones a través de la programacón cuadrátca se expresa así: Funcón Obetvo: Mnmzar el resgo del portafolo 2 2 A + = = = 2 A A Sueto a las sguentes restrccones = = A = 00% A E( R ) = B A >= 0 El total de las nversones deben ser guales al 00% del captal dsponble, en cada teracón se establece un nvel de rentabldad deseado y factble B y el valor porcentual de las nversones no puede ser negatvo. Lo anteror permte construr una nfnta gama de combnacón de portafolos que son óptmos pero en cada uno de ellos se manea un nvel de resgo y rentabldad dferentes. Hasta este momento es decsón del nversor determnar en que punto de la frontera de portafolos óptmos (a que tpo de portafolo le quere apuntar) de acuerdo a su perfl como nversonsta, s a un portafolo de alta rentabldad o uno de mínmo resgo. La frontera efcente es el conunto de portafolos optmzados dentro de un rango consderado entre un portafolo maxmzando la rentabldad y uno mnmzando el resgo, de ahí en adelante se construyen

3 Scenta et echnca Año XIII, o 35, Agosto de Unversdad ecnológca de erera. 30 nfndad de portafolos, se toman varacones comprenddas entre los dos extremos presentados anterormente: Máxma rentabldad hasta el mínmo resgo, con un nvel de rendmento determnado, se optmza el resgo. [2] 2.3 La recta del mercado de captales La recta del mercado de captales permte obtener un portafolo de la frontera efcente, donde el portafolo óptmo es el punto de tangenca de la línea de mercado de captales y la curva de portafolos (frontera efcente)[3]. La recta del mercado de captales se expresa análogamente de acuerdo a la expresón matemátca de la línea recta: Y = A + MX donde Y es la rentabldad, A es la rentabldad lbre de resgo, M es la pendente de la recta y X representa el resgo. La pendente M se puede Y YL expresar así: M = donde Y es la X X L rentabldad del portafolo de accones, Y L es la rentabldad del portafolo lbre de resgo, X es el resgo del portafolo de accones y X L es el resgo del portafolo de renta fa (Son títulos lbres de resgo: X L = 0). R R M = L Donde R es la rentabldad del portafolo, R L es la rentabldad lbre de resgo y es el resgo del portafolo. portafolo acconaro representado por la frontera efcente, para selecconar el portafolo buscado en la frontera efcente, se utlza la línea de mercado de captales que pasa tangencalmente por la frontera efcente. En la Fgura 0, se lustra el procedmento. Fgura 0. ortafolo optmo con base en actvos lbre de resgo 3. Determnacón de la rentabldad lbre de resgo (R L ) El nversonsta sondea el mercado en busca de títulos de renta fa consderando los crteros de rentabldad, maduracón y calfcacón del título (AAA= sn resgo). ara este caso se consderan unos requermentos y un stock de segurdad para un perodo de nversón de 4 meses. Los datos se lustran en la fgura : El punto de tangenca debe estar localzado en la recta con la máxma pendente, conformada entre el punto de rentabldad lbre de resgo y el punto de frontera efcente con máxma prma de resgo. El modelo a optmzar es del tpo de programacón lneal con las sguentes característcas: Max Aθ = R R 2 2 A + = = = Sueto a las sguentes condcones: = L 2 A A A = 00% El total de las nversones = 00% A >= 0 Fgura. Datos de entrada del portafolo de renta fa. Se formula el modelo para hallar la solucón óptma maxmzando la rentabldad como sgue en la fgura 2: 3 EXLICACIO DE LA MEODOLOGIA ALICADA A contnuacón se descrbe el procedmento a aplcar y la construccón de cada uno de los elementos requerdos en el modelo que al fnal debe conducr a hallar el únco portafolo de accones que ofrece la mayor rentabldad partendo de los rendmentos ofrecdos por los actvos lbres de resgo que conforman el portafolo de renta fa y se llega al rendmento adconal (prma por resgo) por asumr nstrumentos de renta varable contemplados en el Fgura 2. Formulacón del modelo de renta fa El modelo formulado se condcona en térmnos de programacón lneal para hallar la solucón óptma a

4 302 Scenta et echnca Año XIII, o 35, Agosto de Unversdad ecnológca de erera. través del complemento solver para Excel, como se muestra en la fgura 3. Con base en los precos de mercado de las accones se calculan la varacón de preco (rentabldad) y la varanza, como se apreca en la fgura 6. Fgura 3. arámetros de optmzacón La solucón encontrada muestra la dstrbucón de la nversón óptma y la tasa nterna de retorno (IR) del portafolo y será la tasa de rendmento lbre de resgo (R L ), según lustracón de la fgura 4: Fgura 6. Cálculo de rentabldad y varanza de las accones. osterormente se defnen los rangos con las varacones de los precos para cada accón para facltar los cálculos con los sguentes nombres: Cementos Argos = VCA, Bavara = VBA, Banco de Bogotá = VBB, Coltabaco = VA y Suramercana de Inversones = VSU. Luego, se calcula la matrz de covaranzas entre cada par de accones, como se muestra en la Fgura 7. Fgura 4. Solucón óptma del portafolo de renta fa. 3.2 Calculo de los portafolos de accones óptmos y la frontera efcente ara armar el portafolo de accones se toman como eemplo, las accones de Cementos Argos, Bavara, Banco de Bogotá, Coltabaco y Suramercana de Inversones. Las cotzacones se toman en perodos de sete días, como se lustra en la fgura 5. Fgura 7. Matrz de Covaranzas La ponderacón de la nversón se realza en térmnos porcentuales, tenendo en cuenta que la suma de la nversón total debe ser del 00% y se acomodan los datos ya calculados de rentabldad y varanza de cada accón, según se lustra en la fgura 8. Fgura 8. onderacón de la nversón Se formulan los parámetros de rentabldad, varanza y resgo del portafolo de accones, de acuerdo a la fgura 9. Fgura 5. reco promedo ponderado de las accones Fgura 9. Cálculo de rentabldad y resgo del portafolo.

5 Scenta et echnca Año XIII, o 35, Agosto de Unversdad ecnológca de erera. 303 Se modelan las condcones del portafolo para realzar la optmzacón por programacón cuadrátca con el complemento Solver de Excel. La celda obetvo es el resgo del portafolo, los datos a cambar son los porcentaes de nversón en cada accón; las restrccones son que los porcentaes de nversón no sean negatvos y que el total de la nversón sea del 00%, como se lustra en la fgura 0. Se construye la grafca de la frontera efcente enfrentando el resgo versus rentabldad del portafolo, como se lustra en la fgura 3. Fgura 3 Frontera efcente del portafolo acconaro. Fgura 0. Formulacón para optmzar el portafolo. La solucón con Solver entrega los porcentaes a nvertr de acuerdo a los parámetros dados, cumplendo las respectvas restrccones, según la fgura. 3.3 Construccón de la línea del mercado de captales Con base en la tasa de rentabldad lbre de resgo obtenda en el portafolo de renta fa y con la frontera efcente del portafolo de accones, se procede a calcular la línea de mercado de captales, buscando aquella que tenga la pendente más alta (mayor prma por resgo), como se lustra en la fgura 4. Fgura. Resultado obtendo del portafolo optmzado Se optmza el portafolo maxmzando la rentabldad y luego se optmza mnmzando el resgo, con los dos valores de rentabldad obtendos como extremos, se procede a conformar una sere de portafolos optmzando el resgo a dferentes nveles de rentabldad (se agrega una restrccón gualando la celda de rentabldad del portafolo a un valor deseado), ncludos dentro del ntervalo ya establecdo. Los valores obtendos de cada una de las optmzacones calculadas se presentan en la fgura 2. Fgura 4. Línea de mercado de captales a calcular. Se formulan los componentes de prma por resgo y el resgo y se relaconan para calcular la pendente, ver fgura 5. Fgura 5. Formulacón de la línea de mercado de captales Fgura 2. Resultados obtendos de rentabldad y resgo. Se construyen las condcones para modelar la optmzacón de la tangente de la línea de mercado de captales así: la celda obetvo es la pendente de la línea de mercado de captales, las celdas a cambar son los porcentaes de partcpacón de cada accón dentro del

6 304 Scenta et echnca Año XIII, o 35, Agosto de Unversdad ecnológca de erera. portafolo, y las condcones a satsfacer son que los valores hallados no sean negatvos y la nversón total alcance el 00%. Ver fgura 6. Fgura 9 Cálculo de la nversón en accones de acuerdo a la línea de mercado de captales. Fgura 6 Condcones para optmzar la prma por resgo A contnuacón se presentan los resultados encontrados en la optmzacón: la prma por resgo es de.08%, el resgo es de 4.0% del portafolo con una pendente de 27.05%. Ver fgura 7. Fgura 7. Resultados obtendos en la optmzacón. La conformacón del portafolo se concentra en tres accones solamente, Bavara con una nversón de 24.%, Banco de Bogotá con 36.6% y Coltabaco con nversones de 39.3%. Se presenta a contnuacón los resultados en la fgura 8: Fgura 8 Dstrbucón porcentual de nversón en las accones. A contnuacón se presenta la Fgura de La Rentabldad versus el Resgo ncluyendo los valores obtendos de la tasa de rentabldad lbre de resgo, la frontera efcente del portafolo de accones, la prma por resgo, el resgo del portafolo, la línea de mercado de captales con los valores obtendos de las accones en el punto que toca tangencalmente a la frontera efcente y es el punto que se consdera para tomar la decsón de nvertr en el portafolo acconaro, como se lustra en la fgura COCLUSIOES Y RECOMEDACIOES Se realza un proceso de optmzacón para cada paso en la metodología propuesta: portafolo de renta fa para determnar la tasa de oportundad del nversonsta, portafolo de accones para determnar el conunto efcente de la nversón en accones y línea de mercado de captales para determnar los porcentaes de nversón en las accones que conformaran el portafolo. La tasa de rentabldad lbre de resgo puede ser dferente para cada ndvduo, tenendo en cuenta sus posbldades y conocmento del mercado de renta fa. En este caso se plantea solo títulos de renta fa en el mercado prmaro, pero ben podría nclurse títulos de mercado secundaro, operacones carrusel y swaps (permutas fnanceras) de títulos de renta fa. Determnar cuál es el portafolo dentro del conunto de portafolos efcentes depende mucho del perfl del nversonsta (preferenca por rentabldad alta o por resgo bao), pero a través de la metodología expuesta se propone el crtero de la línea de mercado de captales para realzar la seleccón de forma oportuna, obvando el calculo teratvo de la frontera efcente. El modelo planteado es una guía que se puede generalzar para un grupo de actvos fnanceros mucho más amplo, lmtado solo por la capacdad de Excel. 5. BIBLIOGRAFÍA [] E. A. Cruz,. Duarte, y L. Aras M. "rocedmento para realzar nversones en nstrumentos fnanceros utlzando la programacón lneal", U, vol. 0, 26 pp. -4, [2] E. A. Cruz., J. H. Restrepo C., y J. J. Sanchez, "ortafolo de Inversón en accones optmzado", Unversdad ecnológca de erera, vol., 27 pp , [3] G. L. Dumrauf, Fnanzas Corporatvas, ra. Ed., Ed. Grupo Gua,, 2003, pp