3. Estabilidad de sistemas discretos.

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1 SISEMAS DE CONROL APLICADO - Capítul 3 - pág Estabilidad de sistemas discrets. 3.. Discretizació de sistemas ctius Cversió a ecuació de diferecias de la ecuació diferecial de u elemet ctiu. Cuad u cmpete ctiu frma parte de u sistema de ctrl discret, resulta imprtate pder calcular su respuesta a señales muestreadas y asimism aalizar su ifluecia sbre la estabilidad glbal del sistema. Si se cueta c la descripció aalítica del elemet ctiu baj la frma de ua ecuació diferecial rdiaria lieal, resulta psible discretizarla, es decir cvertirla e ua ecuació de diferecias. Sea m d y d y dy d u du = m + + m + 0 a a a y b b b u (3.) dt dt dt dt dt la ecuació diferecial del elemet ctiu de la Fig. 3.. u(t) Elemet Ctiu y(t) Fig. 3.. Si la señal u(t) es muestreada c períd e iteresa ccer ls valres de y(t) e ls istates de muestre, la ecuació (3.) puede ser discretizada, reemplazad las derivadas primeras pr diferecias retrógradas sbre el períd de muestre. ( ) dy y( k ) y( k ) y ( k ) = (3.) dt t= k Las derivadas de rde superir se frma cm diferecias de diferecias: d y t= k ( ) ( ) ( ) y( k ) y( k ) y ( k ) y ( k ) y ( k ) = dt ( ) ( ) y( k ) y ( k ) + y ( k ) = (3.3) 3 d y dt t= k ( ) ( ) ( ) y( k ) y( k ) 3 y ( k ) + 3 y ( k ) y ( k 3) = (3.4)

2 SISEMAS DE CONROL APLICADO - Capítul 3 - pág. 3- y así sucesivamete. Observams que las expresies (3.) a (3.4) s tat más exactas cuat mer sea el períd de muestre respect de las cstates de tiemp dmiates del elemet lieal. Remplazad e (3.) las derivadas pr las crrespdietes diferecias bteems ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y( k ) + α y ( k ) + α y ( k ) + + α y ( k ) = β u( k ) + β u ( k ) + + β u ( k m) 0 m (3.5) esta ecuació de diferecias represeta ua relació etre u úmer de valres precedetes de la señal de salida y ls m valres aterires de la señal de excitació. Obsérvese que m y se crrespde c el rde de las derivadas presetes e la ecuació diferecial rigial (3.). Pr ciert, aplicad trasfrmació z sbre (3.5), pdems bteer la fució de trasferecia de pulss crrespdiete al elemet discretizad. m + αz + αz + + αz = U β0 + βz + + βmz = U + z + z + + z m β0 + βz + + βmz α α α. (3.6) 3... rasfrmació z exacta. Muy frecuetemete la peració de ua plata ctiua se ecuetra isertada e ua laz discret de ctrl, recibied la señal del ctrladr digital a través de u actuadr que es perad pr u cvertidr A/D dtad de u dispsitiv de reteció. La variable ctrlada es medida y cvertida e señal digital a través de u cversr A/D que pera cm muestreadr, de acuerd al esquema geeral de las figuras (.) y (.3) del capítul precedete, cuyas pricipales características resumims e la Fig. 3.. DEL CONROLADOR DIGIAL u* s e y(t) y(k) G( s ) A/D U s CONV. D/A CON REENCION PLANA CONINUA CONV. A/D y MUESREADOR Fig. 3. Plata ctiua baj ctrl discret. Nuestra tarea csistirá e calcular la fució de trasferecia de pulss de la plata ctiua cuya fució de trasferecia es (3.7), cmplemetada pr el dispsitiv de reteció para u ciert valr del períd de muestre.

3 SISEMAS DE CONROL APLICADO - Capítul 3 - pág. 3-3 m bms + + b s + b G( s) = s + + a s + a 0 0 (3.7) Observems que el prblema prpuest ya ha sid resuelt para u cas particular e el put.3.. (expresies (.65) a (.68)) del capítul precedete. Frmalmete etces tedrems: s e z G( s) G = = Z G( s) = Z (3.8) U s z s G(s) puede ser descmpuesta e fraccies parciales. Demiarems R λ a ls residus calculads sbre ls pls s λ, supuests simples, de G(s). Rλ ( G) G( s) = (3.9) s s λ= λ Pr la prpiedad de liealidad de la trasfrmació z, resulta psible trasfrmar ls sumads rigiads pr (3.9) e frma idividual y lueg sumarls, c l que (3.8) queda: G z Z R ( G) (3.0) λ = L z λ = s( s sλ ) t= k Para s λ 0 resulta de acuerd a la tabla del Apédice A: Para s λ = 0 aparece u pl dble e el rige, y es sλ ( e ) z sλ ( )( ) Rλ ( G) R λ Z L =. (3.) s ( s sλ ) s z z e t= k λ Rλ ( G) Rλ z Z L =. (3.) s t = k ( z ) E cada sumad se puede simplificar (z ) del demiadr c el factr de la sumatria (3.0). Ua z e el umeradr se puede asimism simplificar c el divisr de la sumatria. Emplead la defiició s z e λ se btiee para s λ 0 λ = R ( G) z G λ λ =. (3.3) s z z λ = λ λ

4 SISEMAS DE CONROL APLICADO - Capítul 3 - pág. 3-4 Pr ciert, si se dispe de Matlab, se prcederá cm se hiz e el put.3., emplead la fució cd(sys,,'zh') para cvertir el sistema ctiu sys e discret emplead u dispsitiv de reteció de rde cer 'zh' rasfrmació z aprximada. s La trasfrmació z exacta emplea la relació z = e, pr l que e pricipi debiera ser psible emplear la relació iversa s = l(z)/, para trasfrmar la fució de trasferecia ctiua. Lametablemete la relació iversa cduce a ua fució de trasferecia racial e z. E csecuecia, se busca relacies simples que, auque aprximadas, cduzca a ccietes pliómics secills. Partied de la fució de trasferecia ctiua G( s) = que represeta a u itegradr, s buscarems fucies discretas que aprxime la itegració. Recrdad el métd uméric de itegració pr la regla del rectágul teems ds psibilidades: perar c la suma superir c la suma iferir sbre el pas de itegració, que pr ciert cicide c uestr períd de muestre. Suma superir: y[ k] = y[ k ] + u[ k] = U z z = ; U z Suma iferir: y[ k] = y[ k ] + u[ k ] = U z z =. U z (3.4) (3.5) eems etces iicialmete ds alterativas de sustitució para la variable s bie z z, es decir: s s z z (3.6) z, es decir: s. s z (3.7) Ua mejr aprximació al itegradr ctiu es la que prprcia la regla del trapeci para la itegració umérica y[ k] = y[ k ] + ( u[ k] + u[ k ]) Y = + U z z (3.8)

5 SISEMAS DE CONROL APLICADO - Capítul 3 - pág. 3-5 z + = U z, (3.9) que cduce a la substitució z z +, es decir s s z z +. (3.0) Ntams pr ua parte que la regla del trapeci crrespde a la semisuma de ls resultads que brida la suma iferir y la suma superir de la regla del rectágul: de (3.6) y (3.7) bteems (3.0) z z + + = z z z. Pr tra parte, del desarrll e serie del lgaritm de variable cmpleja 3 5 z z z l = (3.) z + 3 z + 5 z + trucad e el primer térmi, tambié se btiee: z s z +, (3.) que es demiada fórmula de usti. U U U Suma superir Suma iferir Regla del trapeci (usti) Fig. 3.3 Realizacies de itegradres discrets Cmparació gráfica de las trasfrmacies z exacta y sus aprximacies. La trasfrmació z exacta (Fig. 3.4) trasfrma rectas paralelas al eje imagiari del pla s e circuferecias cetradas e el rige de z. El eje imagiari es trasfrmad e la circuferecia uitaria del pla z. Rectas paralelas al eje real de s se mapea e rectas que pasa pr el rige del pla z.

6 SISEMAS DE CONROL APLICADO - Capítul 3 - pág. 3-6 Fig. 3.4 rasfrmació exacta. La trasfrmació segú la suma iferir pr la regla del rectágul, brida ua mala aprximació (véase Fig. 3.5). Fig. 3.5 Mape pr suma iferir (regla del rectágul). Aplicad la trasfrmació pr la suma superir, bteems la Fig. 3.6: Fig. 3.6 Mape pr suma superir (regla del rectágul). Para períds de muestre pequeñs c respect a las cstates de tiemp dmiates del sistema, la aprximació de usti (regla de itegració del trapeci) brida u mape relativamete bue.

7 SISEMAS DE CONROL APLICADO - Capítul 3 - pág. 3-7 Fig. 3.7 Mape pr la fórmula de usti (regla trapecial). 3.. Aálisis de estabilidad Defiicies y cdicies geerales de estabilidad. Al igual que e el cas ctiu, u sistema discret es estable si, smetid a ua señal de etrada de amplitud limitada, respde c ua señal de salida tambié limitada. U sistema de tiemp discret que es excitad pr ua secuecia actada u(k) < c psee estabilidad de etrada/salida (e iglés BIBO stability) si su respuesta impulsiva cverge hacia cer para k lim g( k) = 0. (3.3) La fució de trasferecia de pulss es la trasfrmada z de la respuesta impulsiva k { g k } G = Z ( ), (3.4) y puede ser descmpuesta e fraccies parciales, cuad se cce sus pls (raíces del demiadr). E cas de pls simples se btiee R z G λ = (3.5) z z λ= λ sied z λ ls pls y R λ ls residus crrespdietes. Pr tra parte y de acuerd a la expresió (B.5) del Apédice B, g(k) admite el desarrll e serie g( k) = R z. (3.6) λ = k λ λ BIBO = Buded Iput Buded Output (etrada actada salida actada).

8 SISEMAS DE CONROL APLICADO - Capítul 3 - pág. 3-8 Vems que para que g(k) cverja hacia cer para k, es ecesari que cada u de ls sumads de (3.6) tieda a cer, l cual bviamete requiere que z λ <. El mism aálisis es igualmete válid para pls múltiples. Hems demstrad etces que u sistema de tiemp discret es estable, cuad tds ls pls de la fució de trasferecia de pulss se ecuetra e el iterir del círcul uitari e el pla z. El desarrll de las herramietas de sftware para simulació de sistemas discrets, iduce la tedecia simplista de querer cmprbar la estabilidad e frma directa simulad la respuesta del sistema a ua etrada ccida. Si la simulació da estable, etces el sistema debiera ser estable. Per ell es ecesariamete verdader, tal cm l demuestra el siguiete ejempl, desarrllad a partir de la Fig x e e s s 3s s ( + ) ( ) + s x a Fig. 3.8 Ejempl de scilacies cultas. z La excitació de etrada es u escaló x e (k) =σ(k) c trasfrmada X e =. z La salida se calcula c las tablas del Apédice A: z 3s X a = X e Z z ( s + ) ( s ) + z z z e si( ) = Z = s s + ( s ) + z z e z ze cs( ) + e (3.7) c l que k k x ( k ) = e e si( k ) (3.8) a E (3.8) el térmi seidal psee amplitud creciete, debid a la expecial psitiva. Ahra bie, si el períd de muestre es =π, el se desaparece y la respuesta que se btiee es k x ( kπ ) = e π (3.9) a aparetemete estable. La iestabilidad ha quedad culta emascarada pr u valr del períd de muestre que permite su bservació. L que acabams de exper se grafica e la Fig. 3.9, dde se bserva claramete la iestabilidad de la salida para u períd de muestre diferete de =π.

9 SISEMAS DE CONROL APLICADO - Capítul 3 - pág. 3-9 Fig. 3.9 Respuestas al escaló del sistema de la Fig 3.8 para diferetes tiemps de muestre Cdicies uméricas de estabilidad. E este apartad darems algus criteris, mediate ls cuales puede prbarse si las raíces de u plimi P z = a + a z + a z + + a z = a = (3.30) ( ) 0 0, c se ecuetra e el iterir del círcul uitari del pla z. Pr supuest, puede bjetarse que dispied de Matlab de tr sftware aplicativ matemátic, el prblema práctic de la determiació de las raíces de u plimi se ecuetra resuelt y pr l tat pudiera parecer cis hablar de cdicies uméricas de estabilidad. Si embarg estas cdicies y ls métds asciads a las mismas permite reslver prblemas geeralizads, tales cm las determiació de rags de parámetrs de ctrladres que asegure el fuciamiet estable del sistema discret rasfrmació bilieal. Emplead la trasfrmació bilieal + w z = (3.3) w el iterir del círcul uitari e z, se mapea sbre el semipla izquierd de w. E csecuecia, el prblema de determiar la existecia de raíces de P(z) e el iterir del círcul uitari se reduce a determiar si tdas las raíces de P(w) se ecuetra e el semipla izquierd de w pr aplicació del criteri de Ruth sbre P(w). Véase al respect: K. Ogata, Igeiería de Ctrl Mdera, capítul 6.

10 SISEMAS DE CONROL APLICADO - Capítul 3 - pág. 3-0 Cm la trasfrmació bilieal resulta e la práctica u métd trabajs de aplicar, existe la tedecia de emplear trs criteris que brida cdicies aplicables directamete sbre P(z) Cdicies ecesarias. Para evitar cálcul iecesaris, es siempre cveiete ccer cdicies simples, ya sea ecesarias slamete suficietes para asegurar la estabilidad de u sistema discret lieal. Existe multitud de tales cdicies, de las cuales s realmete útiles aquéllas que pueda verificarse c facilidad. Si demstració 3, euciarems alguas cdicies ecesarias aplicables al plimi P(z):. 0 a < a. (3.3). 0 < P() <, 0 < ( ) P( ) < (3.33) dde es el grad del plimi P(z). 3. ai < ak, i = 0,,, (3.34) k = 0 4. Desarrllad el prduct P = ( z z) ( z z) ( z z ), a =, se btiee para z i < la cdició ecesaria ai <, i = 0,,,. (3.35) i Para plimis c ceficietes reales, alguas de estas cdicies puede especificarse aú más: = a <, a < 0 = 3 a <, < a < 3, a < 3 0 = 4 a <, a < 4, < a < 6, a < (3.36) Cdicies suficietes. El cumplimiet de algua de las siguietes cdicies es suficiete para asegurar que las raíces del plimi P(z) se ecuetra e el iterir del círcul uitari:. a > ak. (3.37) k = 0 3 Recmedams al lectr curis la bra de E.I. Jury, hery ad applicati f the z-trasfrm methd. New Yrk: J. Wiley 964.

11 SISEMAS DE CONROL APLICADO - Capítul 3 - pág. 3-. Cuad tds ls ceficietes del plimi P = a0 + az + + az s psitivs, etces sus raíces perteece a la regió aular m z M dde m y M s el mer y el mayr de ls valres crrespdietes a: a a a0,, (3.38) a a a Para el cas m = 0, M = se btiee la cdició suficiete de estabilidad 0 < a0 < a < < a. (3.39) est de Jury. El test de estabilidad de Jury (ccid tambié cm criteri de Jury-Blachard 4 ) da las cdicies ecesarias y suficietes para que las raíces de P(z) se halle e el iterir del círcul uitari (cdició de estabilidad estricta). Ha de verificarse: P() > 0, ( ) P( ) > 0, (3.40) y además ha de cumplirse las ( ) restriccies a < a ; b < b ; c < c ; q < q ; (3.4) dde b i, c i,... q i, se btiee de la tabulació de Jury: Fila z z z z z z 0 k a a a a a a 0 k a a a a a a k 0 b b b b b 0 k b b b b b 3 k 0 c c c c 0 c c c c p p p p 0 3 p p p p 3 0 q q q 0 abla 3.. Arregl tabular de Jury 4 E. I. Jury J. Blachard: A Stability est fr Liear Discrete Systems i able Frm. Prc. IRE 49, N, Diciembre 96, págs

12 SISEMAS DE CONROL APLICADO - Capítul 3 - pág. 3- Ls elemets de la tabla queda defiids pr a a b b c c b = ; c = ; d = ; 0 k 0 k 0 k k k k a ak b bk c ck q p p p p = ; q = p3 p0 p3 p (3.4) Nótese que e la tabulació de Jury ls elemets de las filas pares (k+) tiee ls misms elemets que las filas impares precedetes (k+) escrits e rde ivers Aálisis gráfic de la estabilidad Lugar de Raíces. E las aplicacies técicas, resulta de much iterés el cálcul de la estabilidad de sistemas de ctrl cuya fució de trasferecia z de laz abiert es ccida, cm asimism sus sigularidades (pls y cers). N ( z z ) ( z z ) G z = K = K m < c cm ( ), D ( z z p) ( z z p) (3.43) El factr de amplificació K es u parámetr de fácil ajuste. La ecuació característica de laz cerrad vale + G = 0 D + K N = 0, bie G =. (3.44) El lugar de raíces es el lugar gemétric de ls cers de (3.44) depediete del parámetr K. Su trazad respde a las reglas ccidas de curss precedetes, pr l que se isistirá al respect. Reiterams que, e el cas de sistemas de tiemp discret el dmii de estabilidad está restrigid al iterir del círcul uitari. A md de ejempl, sea determiar el rag de valres de K para ls que se garatiza la estabilidad del sistema de ctrl de la Fig = e s s K e s( s + ).5s Fig Sistema de ctrl muestread. s.5s ( e ) K e ( z 0.03)( z.755) G + + = Z 0.3K = (3.45) s ( s + ) z ( z )( z 0.368)

13 SISEMAS DE CONROL APLICADO - Capítul 3 - pág. 3-3 Emplearems ls siguietes cmads Matlab para bteer el trazad del lugar de raíces: >> G=zpk([ ],[ ],[0.3],) Zer/ple/gai: 0.3 (z+0.03) (z+.755) z^ (z-) (z-0.368) Samplig time: La fució ivcada psee la sitaxis zpk([cers],[pls],[gaacia],) sied el períd de muestre (e uestr cas =). Defiid el sistema G, ivcams ahra >> rlcus(g) para bteer el gráfic. Fig. 3.. Lugar de raíces del sistema de la Fig Observad la Fig. 3. deducims que el sistema prpuest es estable para valres de K perteecietes al rag 0 < K < Aálisis de estabilidad e el espaci de estads. La frmulació de sistemas de tiemp discret emplead las técicas de variables de estad cduce de maera atural a la utilizació de cdicies aalíticas de estabilidad que cfigura el métd de Liapuv. Diferims su presetació para cuad estudiems sistemas lieales Aálisis e estad de régime. Al igual que para ls sistemas ctius, resulta psible aplicar para sistemas de ctrl muestread ls ccepts de errr de psició, errr de velcidad y errr de aceleració.

14 SISEMAS DE CONROL APLICADO - Capítul 3 - pág. 3-4 w e G y Fig. 3.. Sistema de laz cerrad. Para variables de cmad w e escaló, rampa y parábla se desea calcular el errr de régime lim e( k ) pr aplicació del terema del valr fial (ver B.8) de la trasfrmada z. k El errr estaciari de u sistema de ctrl estable es: ( z ) W lim e( k ) = lim ( z ) E = lim k z z + G ( z ) (3.46) Para ua etrada e escaló w( t) = σ ( t), W = z /( z ) se tiee u errr de psició e p : = + G () (3.47) Evidetemete, el errr de psició se aula si G psee u pl e z =. Si el cmad es ua rampa aparece u errr de velcidad w( t) = t, W = z /( z ) ev : = lim( z ) G y el errr de velcidad se aula si G psee u pl dble e z =. z (3.48) Para ua etrada parabólica aceleració w( t) = t, W = z( z + ) / ( z ) e : = a tedrems u errr de 3 lim ( z ) G z (3.49) que se hará cer, si G psee u pl triple e z =. Para el errr e(k) e ls istates de muestre, resulta idiferete si las itegracies crrespde a ls pls de u ctrladr discret e z = a ls pls e s = 0 de la parte ctiua. Si embarg, el cmprtamiet etre ls istates de muestre es diferete e u y tr cas y el sistema será capaz de seguir a la etrada e frma exacta, si ls itegradres crrespde a la parte ctiua (icluyed e ella al dispsitiv de reteció de rde cer).