Conceptualizando. Por: DrC Fidel Gilart González Centro Nacional de Electromagnetismo Aplicado

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1 Conceptualizando Po: DC Fidel Gilat González Cento Nacional de Electoagnetiso Aplicado Cento Nacional de Electoagnetiso Aplicado (CNEA) Ave de las Aéicas s/n. Santiago de Cuba. CP P.O.Box:

2 El capo agnético El capo agnético es una defoación paticula del espacio que se poduce alededo de una caga eléctica en oviiento. Puede se detectado po la fueza que este ejece sobe ota caga eléctica en oviiento, sobe un conducto eléctico con coiente, po el toque sobe un dipolo agnético o po la eoientación de los espines de los electones en cietos tipos de átoos. El toque sobe la aguja de una bújula, ejeplificando un dipolo agnético, es pobableente la popiedad ás failia de un capo agnético. El capo agnético puede debese a la coiente eléctica que fluye po un conducto, coo fue descubieto po Oested en Ota foa de poduci un capo agnético es a tavés de un ián peanente. En este caso no existe una coiente eléctica convencional, sin ebago, existen dento del ián los oviientos obitales y de espín de los electones, denoinados coientes de Apee, los cuales conducen a una agnetización dento del ateial y a un capo agnético dento y afuea. El capo agnético se descibe cuantitativaente ediante tes capos vectoiales: B, M, H, denoinados inducción agnética, agnetización e intensidad, espectivaente. Cento Nacional de Electoagnetiso Aplicado (CNEA) Ave de las Aéicas s/n. Santiago de Cuba. CP P.O.Box:

3 El capo vectoial B La fueza F que un capo agnético ejece sobe una patícula de caga q que se ueve en el vacío con una velocidad v constante o vaiable, se puede calcula usando F = q v B La ecuación anteio intoduce foalente al capo vectoial B = Bê B (donde B es el ódulo del vecto B y ê B es un vecto unitaio en la diección y sentido de B ) en la descipción cuantitativa del capo agnético. De acuedo con ella la inducción agnética B se puede intepeta coo la fueza agnética áxia (cuando v y B son pependiculaes ente sí) que actuaía sobe dicha patícula po unidad de caga, po unidad de velocidad en cada punto. En el sistea intenacional de unidades la inducción agnética B se expesa en Teslas (T). La expeiencia deuesta que el capo agnético B es un capo solenoidal, es deci, es un capo vectoial de líneas ceadas, po tanto su divegencia es nula dondequiea: B = 0 Cento Nacional de Electoagnetiso Aplicado (CNEA) Ave de las Aéicas s/n. Santiago de Cuba. CP P.O.Box:

4 Valoes típicos de inducción agnética B En la supeficie de un núcleo atóico: En la supeficie de un pulsa: Máxio alcanzado en laboatoio po copesión explosiva de la líneas: Máxio alcanzado en laboatoio en condiciones estacionaias: Electoianes esistivos Ceca de un pequeño ián ceáico: En una ancha sola: Ceca del alabado eléctico doéstico: Teeste en Santiago de Cuba: En la luz sola (..s.): En la nebulosa del Cangejo: En una onda de adio (..s.): En el espacio integaláctico: Poducidos po el cuepo huano: Poducidos po el coazón: Poducidos po el ceebo: ~10 12 T ~10 8 T ~10 3 T ~30 T ~2 T ~2 x10-2 T ~10-2 T ~10-4 T ~4 x10-5 T ~3 x10-6 T ~10-8 T ~10-9 T ~10-10 T ~3 x10-10 T ~10-10 a T ~10-12 a T Cento Nacional de Electoagnetiso Aplicado (CNEA) Ave de las Aéicas s/n. Santiago de Cuba. CP P.O.Box:

5 El capo vectoial M El capo vectoial M descibe el estado de polaización agnética de la sustancia. El vecto M = Mê M (donde M es el ódulo de M y ê M es un vecto unitaio en la diección y sentido de M ) expesa el oento agnético po unidad de voluen en un eleento físico de voluen V : M = V V Las unidades de la agnetización M coinciden con las de una densidad lineal de coiente. En el sistea intenacional de unidades M se expesa en Apees/eto (A/). El oto de M da la densidad J de las coientes oleculaes de Apee: M = J El oto de B esulta popocional a la sua de las densidades J, J = D t y J de las coientes convencionales, de las coientes de desplazaiento de Maxwell y de las coientes oleculaes de Apee, espectivaente: = µ (J + J + J ) B 0 D i D Cento Nacional de Electoagnetiso Aplicado (CNEA) Ave de las Aéicas s/n. Santiago de Cuba. CP P.O.Box:

6 El capo vectoial H El capo vectoial H se intoduce en el Magnetiso coo un capo auxilia cuyo oto es independiente de la densidad J = M de las coientes oleculaes de Apee, dependiendo sólo de las densidades J y J = D t de las coientes convencionales y de desplazaiento de Maxwell, espectivaente: H = J + El capo H así intoducido se elaciona con los capos M y B ediante la expesión B H = M µ D 0 y es denoinado intensidad del capo agnético. Las unidades de la intensidad H del capo agnético coinciden con las de una densidad lineal de coiente. En el sistea intenacional de unidades H se expesa en Apees/eto (A/). El capo vectoial H no es un capo solenoidal, ya que su divegencia es igual a la divegencia del capo M con signo cabiado: H = M Los capos vectoiales H y B del Magnetiso son foalente los análogos de los capos vectoiales D y E de la Electicidad, espectivaente. De esta anea seía ás apopiado llaa a H desplazaiento agnético y a B intensidad del capo agnético. J D Cento Nacional de Electoagnetiso Aplicado (CNEA) Ave de las Aéicas s/n. Santiago de Cuba. CP P.O.Box:

7 Capos fundaentales y auxiliaes Fuea de un ián las líneas del capo H son idénticas a las líneas del capo B, peo dento ellas apuntan en diecciones opuestas. Tanto dento coo fuea de un ián, las líneas del capo H se inician en el polo note N y teinan en el polo su S. En este sentido el capo H es análogo al capo eléctico E cuyas líneas se inician en las cagas positivas y teinan en las cagas negativas. Asuiendo que el agnetiso ea debido a cagas agnéticas, Sieon Denis Poisson desaolló en 1924 una de las pieas teoías ateáticas del agnetiso. En su odelo el capo H ea el análogo del capo fundaental E y el capo B ea el análogo del capo auxilia D. Desafotunadaente este odelo, aunque pedice la elación coecta ente los capos H y B, es incoecto. El agnetiso no se debe a cagas agnéticas ni es ceado po el capo H polaizando la caga agnética en un ateial. El agnetiso se debe a las coientes elécticas. En la copensión odena, el capo B es econocido coo el capo fundaental, siendo el capo H un capo auxilia definido coo una odificación del capo B debido a la polaización agnética de la sustancia. Cento Nacional de Electoagnetiso Aplicado (CNEA) Ave de las Aéicas s/n. Santiago de Cuba. CP P.O.Box:

8 Ecuaciones de Maxwell La divegencia y el oto de un capo vectoial son dos popiedades ateáticas ipotantes de este que lo elacionan, espectivaente, con sus fuentes escalaes y con sus fuentes vectoiales. Las ecuaciones que expesan la divegencia y el oto de los capos E y B son la ley de Gauss de la electicidad, la ley de Faaday, la ley de Gauss del agnetiso y la ley de Apee-Maxwell. Ellas foan las denoinadas ecuaciones de Maxwell: donde ρ + ρ P E = o bien D = ρ ε 0 B E = t B = 0 B = µ 0 (J + J D + J ) o bien H = J + J D = P ρ P, D E B = ε 0 + P, J = M y H = M µ 0 Las ecuaciones de Maxwell junto con la ecuación de la fueza de Loentz F = q (E + v B) son las leyes fundaentales de la Electodináica Clásica. Cento Nacional de Electoagnetiso Aplicado (CNEA) Ave de las Aéicas s/n. Santiago de Cuba. CP P.O.Box:

9 Potenciales electoagnéticos La solución de las ecuaciones de Maxwell se siplifica en uchos pobleas ediante la intoducción de un capo escala ϕ y de un capo vectoial A denoinados potenciales electoagnéticos. En esta epesentación el potencial escala ϕ y el potencial vectoial A son definidos a pati de B = A A E = ϕ t La piea definición se deiva de la cobinación de B = 0 con la identidad A 0. La segunda se deiva de la cobinación de ley de Faaday con la piea definición y la identidad ϕ 0. Los potenciales así definidos no son unívocos. Cualquie función escala del tiepo que sea constante en el espacio puede se adicionada a ϕ sin afecta ϕ, y cualquie función vectoial del espacio que tenga un oto nulo puede se adicionada a A sin afecta A. Los cabios ealizados po la adición de tales funciones se denoinan tansfoaciones de calibación. Así, los potenciales A = A + G G ϕ = ϕ t donde G es una función escala continua abitaia, llaada geneado de calibación, desciben el iso capo electoagnético E, B que los potenciales ϕ y A. Cento Nacional de Electoagnetiso Aplicado (CNEA) Ave de las Aéicas s/n. Santiago de Cuba. CP P.O.Box:

10 Ley de Lenz La ecuación d dφ ε = d = dt B S dt expesa la ley de inducción de Faaday. Podeos descibi la elación ente los signos de la fe inducida ε y de la deivada dφ/dt del flujo de B solo desde el punto de vista cicuital, ediante la ley de Lenz, la cual plantea que el sentido de la fe inducida es tal que esta tiende a oponese a la vaiación del flujo de B Al hace este planteaiento heos evitado el copoiso haciendo uso de la palaba tiende, ya que si hay inductoes y capacitoes pesentes en el cicuito la coiente puede no esta en el iso sentido que la fe poducida po la vaiación en el flujo exteno. Es la diección (el sentido) de la fe y no necesaiaente el de la coiente, lo que es dado po la ley de Lenz y po el signo en la expesión de la ley de inducción de Faaday. Cento Nacional de Electoagnetiso Aplicado (CNEA) Ave de las Aéicas s/n. Santiago de Cuba. CP P.O.Box:

11 Geneado hoopola Poco después del descubiiento de la inducción electoagnética, Faaday llevó a cabo el expeiento cuyo esquea se uesta en la figua. Un ián cilíndico etálico se sostiene colgando veticalente con uno de los polos suegido en ecuio. El polo supeio se conecta al ecuio ediante un cable. Si el ián se pone en oviiento de otación, se obseva el paso de coiente po el galvanóeto G. Webe pensó que solaente uno de los polos estaba involucado en el fenóeno y acuñó el téino de inducción hoopola efiiéndose a este. Fecuenteente se afia que la inducción hoopola es intigante en el sentido de que el flujo que ataviesa el cicuito no cabia con el tiepo y sin ebago, se poduce una fe. Tal intiga desapaece si se tiene en cuenta que en el geneado hoopola cualquie adio del cilindo en otación, fijo a este, se puede considea coo pate de una tayectoia de integación ceada de diensiones vaiables en el tiepo a tavés de la cual vaía el flujo de B. En efecto, se puede deosta que a tavés de una tayectoia ceada que se ueve con velocidad v con elación al sistea en el cual el capo agnético es edido coo B, el flujo de B vaía con la apidez dφ B = ds (v B) ds dt t En el geneado hoopola B t = 0 peo dφ dt = (v B) ds = ε Cento Nacional de Electoagnetiso Aplicado (CNEA) Ave de las Aéicas s/n. Santiago de Cuba. CP P.O.Box:

12 Medición del capo agnético B Los dispositivos usados paa la edición del capo agnético local se denoinan agnetóetos. Los étodos de edición epleados pueden se divididos en geneal en dos categoías: 1. Métodos que dependen de la inducción de una fe en una bobina, 2. Métodos que dependen de la alteación de las popiedades de un ateial causada po la pesencia de un capo agnético. Son ejeplos de los pieos el agnetóeto de la bobina estacionaia, el agnetóeto de la bobina de extacción, el agnetóeto de la bobina otatoia, el agnetóeto de la bobina vibante, el agnetóeto de la uesta vibante y el agnetóeto de copueta de flujo. Son ejeplos de los segundos el agnetóeto de agnetoesistencia, el agnetóeto agneto-óptico, el agnetóeto de esonancia agnética nuclea, el agnetóeto SQUID, el agnetóeto de agnetosticción y el agnetóeto de efecto Hall. El capo agnético de los objetos astonóicos distantes puede se deteinado a tavés de sus efectos sobe las patículas cagadas locales. Po ejeplo, los electones en oviiento espial alededo de una línea de capo poducen adiación de sincotón la cual es detectable en las ondas de adio. El eno capo agnético edido es del oden de T, el ayo poducido en un laboatoio es de T (VNIIEF en Saov, Rusia, 1998). El capo agnético en la supeficie de un núcleo atóico es del oden de T. Cento Nacional de Electoagnetiso Aplicado (CNEA) Ave de las Aéicas s/n. Santiago de Cuba. CP P.O.Box:

13 El capo geoagnético El capo geoagnético es un capo dipola geocéntico, alineado apoxiadaente con el eje de otación la Tiea. Lo ás pobable es que este se oigine a pati del denoinado efecto de dinao autoexcitado, dónde el oviiento de la pate líquida del núcleo de hieo de la Tiea a tavés de un capo agnético débil ya existente genea una coiente eléctica que poduce un capo agnético secundaio. La intensidad del capo geoagnético va desde ceca de 68 µt en los polos agnéticos, dónde las líneas del capo son veticales, hasta ceca de 23 µt alededo del ecuado agnético, dónde las líneas del capo son paalelas a la supeficie de la Tiea. Debido a los cabios en los patones de flujo no estacionaios geneados en el núcleo líquido exteio de la Tiea y a los pocesos de fontea en el anto del núcleo, el capo geoagnético deiva constanteente. Los polos del capo geoagnético ecoen anualente vaias décias de gado (vaiación secula) y la intensidad total de este ha disinuido apoxiadaente un 10% desde A intevalos iegulaes de ceca de años los polos se invieten. Cento Nacional de Electoagnetiso Aplicado (CNEA) Ave de las Aéicas s/n. Santiago de Cuba. CP P.O.Box:

14 Cálculo de las coponentes hoizontal y vetical de la inducción agnética teeste Consideando que la fuente del capo geoagnético estático es un dipolo agnético de oento dipola constante e igual a 8 x A. 2 ubicado en el cento de la Tiea, las coponentes hoizontal B h y vetical B v de la inducción agnética B B h + B v 2 2 = sobe un punto paticula de la supeficie teeste se pueden calcula (en Gauss) usando B h = 0.31cosβ B v = 0.62senβ donde β = sen 1 [ senβ senβ + cosβ cosβcos( λ λ )] B B B β es la latitud geoagnética, β B = 79 º Note es la latitud geogáfica de la intesección boeal del eje agnético con la supeficie teeste, β es la latitud geogáfica ( 20º paa la ciudad de Santiago de Cuba), λ es longitud geogáfica ( 76 º paa la ciudad de Santiago de Cuba), λ B = 70 º Oeste es la longitud geogáfica de la intesección boeal del eje agnético con la supeficie teeste. Paa la ciudad de Santiago de Cuba se obtiene B h = G, B v = G y B = G. Téngase en cuenta que 1 G = 10-4 T y que 1 T = 10 6 µt, po lo que 1 G = 10 2 µt. Cento Nacional de Electoagnetiso Aplicado (CNEA) Ave de las Aéicas s/n. Santiago de Cuba. CP P.O.Box:

15 Fueza consevativa y capo vectoial consevativo Una fueza F es consevativa si conseva la enegía ecánica del sistea. Un capo vectoial F es consevativo si satisface cualquiea de las siguientes condiciones equivalentes: 1. El oto de F es ceo F = 0 2. La integal de línea de F es ceo paa cualquie tayectoia ceada F d = 0 3. F puede se escito coo el gadiente de una función escala ϕ F = ϕ Las fuezas consevativas ás failiaes son la de gavedad, la eléctica (en un capo agnético independiente del tiepo) y la elástica. Muchas fuezas (en paticula las que dependen de la velocidad) no son capos vectoiales. En esos casos las condiciones anteioes no son ateáticaente equivalentes, el oto no está definido y F no satisface la condición 3. La fueza agnética F = q v B no es un capo vectoial. Coo actúa siepe pependiculaente a la velocidad de la patícula no ealiza tabajo sobe esta; es po tanto una fueza consevativa. Esta fueza es un caso inusual; la ayoía de las fuezas dependientes de la velocidad, tales coo la ficción, son no consevativas. Cento Nacional de Electoagnetiso Aplicado (CNEA) Ave de las Aéicas s/n. Santiago de Cuba. CP P.O.Box:

16 Dipolo agnético Un dipolo agnético es una distibución de coiente que genea un capo agnético lejano cuyo potencial vectoial A tiene la foa µ 0 A() = 3 4 π donde = I I d dl 2 = 2 y se denoina oento agnético del dipolo. Coo ejeplo de epleo de la foula anteio calculeos el oento agnético de un cicuito plano con coiente I que yace en el plano XY. Es fácil ve que el vecto (1 2)( dl ) es igual al áea del tiángulo sobeado y apunta hacia aiba. En consecuencia: 1 S = l 2 d y = I S Cento Nacional de Electoagnetiso Aplicado (CNEA) Ave de las Aéicas s/n. Santiago de Cuba. CP P.O.Box:

17 Fueza agnética sobe un dipolo puntual en un capo agnético exteio La enegía potencial de un dipolo agnético puntual de oento en un capo agnético exteio B es B U = Po tanto, la fueza sobe el dipolo se puede calcula a pati de F = U = ( B) Usando la identidad vectoial con a = y b = B (a b) = a ( b) + b ( a) + (b )a + (a )b se puede escibi F = ( B) + B ( ) + (B ) + ( )B Teniendo en cuenta que no vaía con la posición se obtiene F = ( B) + ( )B En consecuencia, en un capo agnético B unifoe F seía nula. Si en el punto donde está el dipolo B = 0 ( J + J D + J = 0 ) F = ( ) B La fueza agnética sobe un dipolo no puntual se puede deteina dividiendo este en egiones infinitésias que tienen su popio oento y a continuación sua la fueza sobe cada una de estas egiones. Cento Nacional de Electoagnetiso Aplicado (CNEA) Ave de las Aéicas s/n. Santiago de Cuba. CP P.O.Box:

18 Fuezas y ecuación de oviiento de una patícula en un sepaado agnético La ecuación del oviiento de una patícula en un sepaado agnético se puede escibi en foa vectoial coo F = F k = pa k p es la asa de la patícula y a p su aceleación F k son todas las fuezas que actúan sobe la patícula. Ente otas, estas son las siguientes: fueza agnética, fueza de gavedad, fueza de aaste hidodináico, fueza centífuga, fueza de ficción, fuezas supeficiales, fuezas dipolaes agnéticas intepatículas, fuezas electostáticas intepatículas. Paa esolve la ecuación vectoial anteio se necesita expesa las coponentes de la fueza en las coodenadas apopiadas. Las coodenadas polaes son las convenientes paa la ayoía de los tipos de sepaadoes agnéticos. En estas F = F ˆe F ˆ siendo p + θ e θ F = p 2 d dθ 2 dt dt 2 2 d θ Fθ = p dt d dt dθ dt Cento Nacional de Electoagnetiso Aplicado (CNEA) Ave de las Aéicas s/n. Santiago de Cuba. CP P.O.Box:

19 Dipolos agnéticos del icoundo (a) Moentos agnéticos de átoos libes Sugen debido a tes factoes: 1) el oviiento obital de los electones, 2) la existencia del oento agnético popio del electón (espín), 3) la existencia del espín nuclea. Paa el electón: L e 3 1 S = S S = h s( s + 1) = h S z = sh = ± 2 2 donde s = 1 2 e = L L = h l( l + 1) Lz 2 l = 0, 1, 2,..., ( n 1) n = 1, 2, 3,... l s = 0, ± 1, ± 2,..., ± l = ± 1 2 Estictaente S q = g 2 q S = h l h g es el facto de desdoblaiento espectal. Paa el electón q = - e y g = 2,00232 Paa el potón q = e y g = 5,5856 El oento agnético de espín del potón es ucho eno que el del electón: S potón 1000 S electón Puede habe, en pincipio, dos cainos de apaición del oento agnético total del átoo: 1) Acoplaiento LS, 2) Acoplaiento JJ. Acoplaiento LS o de inteacción espín-espín: Cento Nacional de Electoagnetiso Aplicado (CNEA) Ave de las Aéicas s/n. Santiago de Cuba. CP P.O.Box:

20 Los oentos agnéticos de espín de los electones se acoplan ente sí foando un oento agnético de espín del átoo. Los oentos agnéticos obitales se acoplan tabién ente sí foando un oento agnético obital del átoo, es deci La = Li S = S Luego L a y S a se acoplan paa da el oento esultante del átoo. J a = La + Sa Si Acoplaiento JJ o de inteacción espín-obita: Paa cada electón Ji = Li + Si Paa el átoo J a J = i a = Li + i a = ja a ( j + 1) En la ayoía de los casos, a excepción de los eleentos ás pesados, el acoplaiento JJ no se ealiza, ya que la inteacción espín-espín de los electones es ás fuete que la inteacción espín-obita. Debido a que la azón gioagnética espinoial difiee de la obital, el oento agnético total del átoo puede se no colineal con su oento ecánico inteno total. El poblea de la deteinación de los oentos agnéticos de los átoos libes se siplifica eced a que, desde el punto de vista enegético, es ventajoso que el llenado de las capas electónicas se ealice de tal foa que el oento total del átoo posea el valo ínio. Debido a esto, los oentos L, S y J de las capas copletaente llenas son nulos. Po lo tanto, el oento J a se deteina solo po los electones de las capas que no están llenas po copleto. En la ayoía de los casos esas capas son las exteioes. Una siplificación adicional se obtiene si se tiene en cuenta el Pincipio de Exclusión de Paulí. Este pincipio plantea que no pueden existi en un átoo dos electones en el iso estado cuántico, es deci, con el iso juego de núeos cuánticos n, l, l, s. Po esta azón, el oento agnético del átoo libe se deteina, en lo fundaental, po los espines no copensados de los electones exteioes. (b) Moentos agnéticos de las oléculas: El oento agnético de la olécula no es igual a la sua de los oentos agnéticos de los átoos libes ya que la ealización del enlace quíico ente los átoos equiee cieta eestuctuación de las capas electónicas exteioes. La tendencia geneal al foa las oléculas consiste en gaantiza un oento total nulo. J h Cento Nacional de Electoagnetiso Aplicado (CNEA) Ave de las Aéicas s/n. Santiago de Cuba. CP P.O.Box: