ESTADISTICA DESCRIPTIVA

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1 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS ESTADISTICA DESCRIPTIVA Qué es la Estadístca? La Estadístca es ua ceca que costa de u cojuto de procedmetos, que os permte recoger formacó, aalzarla y posterormete extraer coclusoes, ayudádoos a compreder y modelar el comportameto de ua stuacó real. Auque la palabra Estadístca tee u sgfcado partcular depededo del área que uo se desarrolle, e geeral se le asoca a formacó, o más be a u cojuto de cfras. Por ejemplo: Perodsta deportvo...goles, tros arco etc. Drector escuela...ausetsmo escolar Ivestgador médco...cosecueca de ua droga Todas estas persoas está usado correctamete la palabra estadístca, s embargo, cada ua le da u sgfcado lgeramete dferete y lo usa para u propósto u poco dstto. Pero por Estadístca debe etederse algo mucho más elaborado, por ua parte y más susceptble de tratameto cetífco por otra. Se observa e las cfras del cosumo de combustble de los buses tercomuales es muy parecdo día tras día. També se matee la relacó de automóvles y buses que trasta por ua calle, o la carga trasportada por ferrocarrl preseta valores de smlar magtud. Pese a que exste alguas varacoes e las cfras, estas se matee detro de certos ragos que permte mateer algua uformdad e alguas oportudades, o al meos estos se repte co certa perodcdad. Los métodos estadístcos os ayuda a tomar decsoes respecto de u cojuto grade de elemetos, e base a la formacó recoplada e u grupo más pequeño, que perteece a este grupo mayor. E la empresa modera, los geretes aplca alguas téccas estadístcas práctcamete e todas las ramas de su orgazacó, los cetífcos ecesta de esta ceca para probar sus hpótess, y osotros msmos e la vda dara s daros cueta estamos ocupado alguas téccas estadístcas. Estas téccas so ta dversas que suele agruparse e dos categorías geerales: Estadístca Descrptva y Estadístca Iferecal. Estadístca Descrptva. Cosste e la recoplacó de datos a partr de la observacó de muestras co el propósto de descubrr las característcas del feómeo estudado. Los datos se resume y se aalza sobre la base de tablas y gráfcos, s preteder sacar coclusoes de tpo mas geeral.

2 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS Estadístca Iferecal. Cosste e aplcar resultados de estudos de ua muestra a la poblacó y emtr jucos y coclusoes sobre la poblacó e geeral. La Estadístca, el método cetífco. El método de vestgacó para el coocmeto de la realdad observable, que cosste e formularse terrogates sobre esa realdad, co base e la teoría ya exstete, tratado de hallar solucoes a los problemas plateados. El método cetífco (mtc) se basa e la recoplacó de datos, su ordeameto y su posteror aálss. Pasos del Método Cetífco: Observacó: el prmer paso es la observacó de ua parte lmtada del uverso o poblacó que costtuye la muestra. Aotacó de lo observable, posteror ordeameto, tabulacó y seleccó de los datos obtedos, para quedarse co los más represetatvos. Hpótess: se desarrolla e esta etapa, el plateameto de las hpótess que explque los hechos ocurrdos (observados). Este paso teta explcar la relacó causa efecto etre los hechos. Para buscar la relacó causa efecto se utlza la aalogía y el método ductvo. La HP debe estar de acuerdo co lo que se pretede explcar (atgeca) y o se debe cotrapoer a otras HP geerales ya aceptadas. La HP debe teer matces predctvos, s es posble. Cuato más smple sea, mas fáclmete demostrable (las HP complejas, geeralmete so reformulables a dos o más HP smples). La HP debe poder ser comprobable expermetalmete por otros vestgadores, o sea ser reproducble. Expermetacó: la hpótess debe ser comprobada e estudos cotrolados, co autetca veracdad. Hpótess e Ivestgacó: Hpótess sgfca lteralmete lo que se supoe. Está compuesta por eucados teórcos probables, referetes a varables o relacoes etre ellas. E el campo de la vestgacó, la hpótess, supoe solucoes probables al problema de estudo. El proceso estadístco se basa e la comprobacó de hpótess (HP). Exste dos tpos de HP, a saber: HP. Altera o Cetífca: es la HP que pretede comprobar el vestgador e su muestra de pacetes. Báscamete sgfca que la meda de ua característca o propedad de u grupo es dferete a la meda del otro grupo o grupos, o que la dstrbucó y frecueca de u eveto e u grupo es dferete del otro. H : grupo grupo HP. Nula: es lo cotraro de la ateror, o sea que o exste dferecas etre dos o más grupos o muestras. H0 : grupo grupo El valor de p es etoces la medda de la evdeca cotra la H0.Cuato meor sea el valor de p, meor será la posbldad de que la HP. Nula sea certa, por lo cual se rechazará, aceptado a la HP. Cetífca como verdadera.

3 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 3 Los datos so coleccoes de u úmero cualquera de observacoes relacoadas etre sí. Podemos reur la catdad de teléfoos que varos trabajadores stala e u día determado o que uo de ellos stala por día durate u período de varos días; a los resultados podemos llamarlos datos. Ua coleccó de varos datos recbe el ombre de cojuto de datos, y se da el ombre de puto de datos a ua sola observacó. Los datos ayuda e la toma de decsoes, a hacer cojeturas be fudametadas acerca de las causas, y por tato, sobre los efectos probables de certas característcas e alguas ocasoes. Por lo demás, el coocmeto de las tedecas adqurdo co la expereca permte coocer los posbles resultados y plaear co atcpacó. Nuestra vestgacó del mercado quzás revele que producto es preferdo por mujeres mayores de 35 años. Etoces el mesaje publctaro deberá drgrse a esta audeca eta. Cuado los datos se orgaza e forma compacta y útl, los ecargados de la toma de decsoes cosgue formacó cofable del medo e que se desevuelve, y se vale de ella para llegar a decsoes telgetes. E el mometo actual las computadoras permte reur eormes volúmees de observacoes y codesarlas statáeamete e tablas, gráfcas úmeros, pero se debe teer mucho cudado y asegurarse que los datos que se está utlzado se basa e suposcoes e terpretacoes correctas. Para poder cofar e la terpretacó de uos datos cualesquera, ates se prueba formulado las sguetes pregutas. De dóde procede los datos? Apoya o cotradce los datos la otra evdeca co que cotamos? Exste datos que goramos y que os haría llegar a ua coclusó dferete? Represeta a todos los grupos que queremos estudar? Es lógca la coclusó? Hemos sacado coclusoes e base solamete de los datos obtedos? Poblacó y Muestra La poblacó(o uverso) es ua coleccó de todos los elemetos que estamos estudado de los cuales tetamos extraer coclusoes. Debemos defrla, de maera que quede claro s u elemeto es o o membro de ella. La muestra es ua coleccó de alguos de los elemetos que compoe ua poblacó.

4 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 4 Es muy comú observar e los supermercados, seccoes e dode se realce degustacoes de los productos que allí se vede. Geeralmete se prueba u trozo de queso, por ejemplo ates de adqurrlo, del cual se deduce todos los parámetros de gusto del trozo mayor. De gual forma u catador prueba solamete ua copa de vo para poder medr el sabor del toel completo. S el catador tuvera que tomarse todo el toel o el comprador se comera todo el queso o quedaría ada para vederse. El tempo es a meudo otro factor mportate cuado se desea tomar algua decsó rápda. Pogamos el caso de ua máqua, que automátcamete clasfca mles de cartas. Para qué teer que esperar todo el proceso de u día para verfcar s la máqua está fucoado be? E este caso se toma muestras a dsttos horaros para verfcar s la máqua está fucoado correctamete. Desde el puto de vsta matemátco, podemos obteer de la poblacó y de la muestra las dferetes meddas defdas prevamete como el promedo, la medaa, la varaza, etc. Cuado estos térmos se refere a la poblacó se deoma parámetros y cuado se refere a la muestra se deoma estadístcos. MUESTRA Estadístcos POBLACION Parámetros Ceso y Ecuesta El ceso es examar a todas las persoas o membros de la poblacó que queremos estudar La ecuesta es el método que se utlza para coocer el estado de opó sobre u determado tema y que cosste e realzar ua sere de pregutas a ua poblacó o a ua muestra represetatva de la msma. Es ua técca muy utlzada para obteer formacó sobre algú aspecto de la realdad socal y determadas opoes o reaccoes dvduales. Suele realzarse medate u cuestoaro escrto, al que debe respoder u grupo de persoas escogdo al azar o seleccoado segú certos crteros.

5 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 5 Parámetros y Estadístcos Parámetro: Es ua medda descrptva de la poblacó total de todas las observacoes de terés para el vestgador. Estadístco: Es ua medda descrptva de ua muestra y srve como estmacó del parámetro de la poblacó correspodete. Tpos de varables ATRIBUTOS Y VARIABLES El cojuto de todos los valores que puede tomar la característca o feómeo observado recbe el ombre de varable. Estadístcamete, estas se puede agrupar e dos tpos, la Varable Cualtatva y Cuattatva. Varable Cualtatva Cuado la observacó se refere a los atrbutos de u cojuto, por ejemplo: Estado Cvl (soltero-casado-separado-vudo), Profesó (geerocotador-técco-secretara), Sexo (masculo-femeo), etc. Varable Cuattatva Cuado la observacó tee u valor expresado por u úmero, por ejemplo: Numero de hjos (0,,,3,...), IPC (0,-0,5), Peso e klos (58-65,7), Altura de u adulto (,65-,80), etc. Ua varable cuattatva puede ser Dscreta o Cotua. Varable Cotua: So aquellas que puede tomar cualquer valor real detro de certo rago. Varable Dscreta: So aquellas que sólo toma valores eteros. Varable Cuattatva Dscreta Es aquella que costa de u úmero fto o fto de valores, ejemplo úmero de empleados de ua fábrca, úmero de hjos por famla. Geeralmete se trata de úmeros eteros y postvos, por ejemplo, ua famla puede teer 0,,,... hjos, pero o u valor termedo. Varable Cuattatva Cotua Es aquella que puede teer ftos valores, por ejemplo Peso de ua persoa, Catdad de agua caída e el mes, estatura, carga trasportada, etc.

6 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 6 Esta dfereca que preseta la varable cuattatva, dscreta de la cotua es más be teórca que real. Cuado medmos ua varable, resulta ser sempre dscreta, pues todas las medcoes se expresa solamete e las udades que realmete se puede medr. Por ejemplo, es posble que ua persoa mda, mts, pero para cualquer f práctco su estatura se cosdera solamete como,65 mts. Datos croológcos y o croológcos Cuado el tempo de ocurreca de la característca e estudo costtuye u elemeto mportate se dce que el cojuto de datos es ua sere croológca. E cambo, s e el estudo estadístco o teresa el mometo e que se produjero las observacoes se dce que los datos forma ua sere No Croológca. Seres de datos Udmesoales y Bdmesoales Udmesoales: Cuado se estuda solamete el comportameto de ua varable o atrbuto se dce que la sere de datos es udmesoal. Bdmesoales: Cuado se estuda dos varables o dos atrbutos, o ua varable y u atrbuto se dce que la sere de datos es bdmesoal.

7 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 7 ESTUDIO DESCRIPTIVO DE LA INFORMACIÓN Puede decrse que la estadístca descrptva es u cojuto de métodos y procedmetos para obteer, descrbr e terpretar los datos de la observacó de u feómeo que se produce e los umerosos elemetos de u cojuto y de tal maera dar ua aprecacó correcta de dcho feómeo. Arreglo básco de datos Ua vez recolectado los datos de las dversas meddas efectuadas, se obtee u cojuto desordeado de valores que o so susceptbles de terpretacó medata, por esto, se procede a su ordeacó, de tal forma que se faclte su compresó y posteror aálss. El arreglo de datos de forma ascedete o descedete es ua de las formas más secllas de presetar formacó, y ofrece certas vetajas sobre la presetacó de los datos "brutos" Por ejemplo, s se dspoe de cargas trasportada por camoes, se puede obteer la sguete formacó:.- Podemos descrbr rápdamete los valores máxmos y mímos..- Podemos dvdr fáclmete los datos e seccoes. 3.- Podemos daros cueta s alguos valores aparece más de ua vez e el arreglo. 4.- Podemos observar la dstaca etre valores cosecutvos de la tabla. Pese a las vetajas que acabamos de cometar, alguas veces u arreglo de datos de este tpo o resulta práctco, puesto que al coteer todas las observacoes, resulta egorroso resumr la formacó y hacerla útl para ua posteror terpretacó. Es cómodo por lo secllo que resulta su terpretacó, dstrbur las observacoes e cuadros o tablas de maera que permta ua rápda aprecacó de los datos reudos. Cofeccó de ua Tabla de Frecuecas U jefe de persoal de ua empresa de bacara, ha regstrado e 30 días los atrasos del persoal a su cargo. caso,,3,4,,30. Desgaremos por x el úmero de atrasos del día, e este

8 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 8 X 0 X X 3 0 X 4 0 X 5 3 X 6 0 X 7 4 X 8 4 X 9 X 0 3 X X X 3 5 X 4 X 5 X 6 4 X 7 3 X 8 7 X 9 8 X 0 5 X X X 3 3 X 4 3 X 5 6 X 6 4 X 7 5 X 8 3 X 9 4 X 30 7 Los valores de la varable la desgaremos por Y Defcó de Térmos: Frecueca Absoluta ( ) Es el úmero de veces que se repte u determado valor de la varable N Tamaño de la Poblacó e uestro ejemplo N30 Frecueca Absoluta Acumulada Ascedete (N a ) Es el úmero de observacoes meores o guales que u determado valor de la varable. Frecueca Absoluta Acumulada Descedete (N d ) Es el úmero de observacoes mayores o guales que u determado valor de la varable. Frecueca Relatva (h ) Es el cuocete etre la frecueca absoluta y el úmero total de observacoes. Es decr h 0 h N h

9 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 9 Frecueca Relatva Porcetual o Porcetaje Es la frecueca relatva 00 Frecueca Relatva Porcetual Acumulada Ascedete Es el porcetaje de observacoes meores o guales a u determado valor de la varable. Frecueca Relatva Porcetual Acumulada Descedete Es el porcetaje de observacoes mayores o guales a u determado valor de la varable. Atrasos Persoal Valores de la varable Días Frecue ca Absolu ta Frecuec a Absoluta Acu. Asce. Frecuec a Absoluta Acu. Desce. Frecue ca Relatv a Frec.Rel a. Acu.Asc e. Frec.Rel a. Acu.Des c. Frec.Rel a. Porceta je Frec.Rela. Por.Acu.As c.. Y N a N d h h a h d h 00 h 00(A) Y ,3 0,3,0 3 3 Y ,7 0,30 0, Y 3 3 0,0 0,40 0, Y ,0 0,60 0, Y ,7 0,77 0, Y ,0 0,87 0, Y ,03 0,90 0, Y ,07 0,97 0, Y ,03,0 0, Por ejemplo, podríamos decr que hubero 6 días del mes, e dode hubo 3 persoas atrasadas. 9 9 TOTALES 30 h

10 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 0 Dstrbucó de Frecueca La dstrbucó de frecueca es ua tabla que orgaza los datos e clases o categorías y muestra el úmero de observacoes proveetes del cojuto de datos que cae detro de cada ua de las clases. Costruccó de ua tabla de dstrbucó de frecueca segur los sguetes pasos: Para costrur ua tabla de dstrbucó de frecueca se debe.- Escoger el úmero de clases e los cuales se clasfca las observacoes. El úmero de clases o tervalo se elge de acuerdo al úmero de observacoes que se dspoga. Auque o exste ua regla para defr el úmero de tervalos, uca es meor que 6 mayor que 5. Cuato más sea las observacoes o más ampla la gama, más clases se ecestará, para represetarlos. Desde luego, s teemos solamete 0 datos, sería absurdo teer també 0 clases..- Determar el acho de los tervalos de clase Dado que ecestamos tomar los tervalos de clase de gual tamaño, el úmero de clases determa el acho de cada uo de ellos. Se defe Rago Máxmo valor - Mímo Valor Así, el acho del tervalo de clase se determará como Acho I.C. Rago + udad sgfcatva N de tervalos de clase Ejemplo :Supogamos que queremos teer 6 tervalos de u grupo de observacoes, de las cuales se extrajo la sguete formacó Máxmo Valor : 69 Mímo Valor : 5 Rago : Acho I.C

11 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS Los tervalos sería etoces Exste varadas formas de costrur tablas de dstrbucó de frecuecas y que podemos ecotrar e algú texto de estudo, como el que a cotuacó se muestra, co los msmos datos aterores: [5-55) [5 (5+3)) [55-58) [55 (55+3)) [58-6) [58 (58+3)) [6-64) [6 (6+3)) [64-67) [64 (64+3)) [67 70) [67 (67+3)) [ ] Sgfca que se cosdera desde y hasta esa cfra. ( ) Sgfca que se cosdera hasta el valor ateror Pero, que pasará s el cuocete para determar el acho del tervalo o etrega u resduo gual a cero? Ejemplo : Veamos ahora el sguete ejemplo, para 8 tervalos Máxmo Valor : Mímo Valor : 46 Rago : Acho I.C : 8 9,5 --> Acho del tervalo 4 Amplar los tervalos a (9) Dstrbucó del resto co 8 tervalos : 9 9 Acho del tervalo :8 0 Acho del tervalo 0 0

12 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS Luego repartmos los complemetos e el tervalo mímo y máxmo Luego los tervalos quedará de la sguete maera (9) Itervalos co Acho (9) (8) Itervalos co Acho (0) () 44-5 () () 53-6 () (3) 6-70 (3) (4) 7-79 (4) (5) (5) (6) (6) (7) (7) 04-3 (8) 07 5 (8) 4-3 (9) 6 4 Aquí se puede otar que se sacrfcó el úmero de tervalos aumetado a ueve y e el otro caso dsmuyedo a ocho. Normalmete este tpo de stuacoes o revste demasada mportaca ya que o flurá e las coclusoes fales que se pueda extraer de la varable bajo estudo. Ejemplo 3 : Supogamos ahora que teemos la sguete formacó para 9 tervalos Máxmo Valor : 0.59 Mímo Valor : 0.5 Rago : Acho I.C

13 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS Clasfcar los putos de datos e clases y cotar el úmero de putos e cada clase. Toda observacó debe perteecer a ua y solamete ua clase, s exstera algua duda respecto a la clasfcacó de algú dato, sgfca que los tervalos está mal costrudos. Ejemplo : El Presdete del baco Express, está tratado de estmar cuato ha sdo los tempos de demora e días e aprobar los crédtos hpotecaros. Sus asesores ha reudo los sguetes tempos de espera de las solctudes presetadas e el año ateror. Los datos se da e días a cotar desde la fecha de solctud hasta el dctame del baco. Costrur ua dstrbucó de frecueca usado 0 tervalos gualmete espacados. Qué tervalo ocurre co mayor frecueca? Máxmo Valor : 5 Mímo Valor : Rago 5 30 Acho I.C E este caso como el complemeto es solo ua udad, esta udad puede ser desprecable para el vestgador, por lo tato se le suma al ultmo tervalo, por lo que se puede aprecar, todos los valores gual se ecuetra detro de los tervalos. Marca de Clase: Se defe como el valor medo del Itervalo de Clase Itervalo de Clase Marca de Clase Frecueca absoluta Frecueca Absoluta Acum. Asc. Frecueca relatva Frecue. Relat. (%) Frec. Relat. Acum. (%) ascedete Total 50 00

14 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 4 Meddas de tedeca cetral o Estadígrafos de Poscó Ua de las prmeras meddas de terés para el aálss de datos so aquellas que dca la poscó de los datos recolectados. Como prmera staca se estudará aquellas meddas que pudera ubcar el "cetro" de u grupo de datos, para posterormete extederse el estudo haca cualquer medda de poscó de la dstrbucó de los datos. Notacó : Deotaremos por x a cualquera de los valores x,x,...x que toma ua varable X. El Promedo (Meda Artmétca) El Promedo, també coocdo como meda artmétca, de u cojuto de observacoes, es el cetro de gravedad de ese cojuto de valores. El promedo se calcula sumado las observacoes y posterormete dvdedo esta sumatora por el total de observacoes a) Datos o agrupados Se calcula como X x b) Para datos agrupados Se calcula como X x e dode x es la -ésma marca de clase frecueca observada para la clase es el úmero de clases Este promedo també se cooce como promedo poderado ya que está cosderado f veces cada uos de los valores de la varable que se preseta e la dstrbucó. Propedades a) S a cada valor de la varable se le suma ua costate, el promedo de estos uevos valores, será gual al promedo de los valores orgales más la costate. b) S a cada valor de la varable se multplca por ua costate etoces el promedo calculado co estos uevos valores será gual al promedo de los valores orgales multplcado por la costate. c) El promedo de u grupo de valores guales es gual a uo de esos valores.

15 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 5 Meda Artmétca poderada Se defe como: X x + x k k x k x Meda Geométrca (G) La meda geométrca se aplca especalmete e casos e que exste ua tasa de crecmeto relatvamete costate (poblacó, motos medos de captales sujetos a terés compuesto, etc.) o smplemete cuado se desea u porcetaje medo de crecmeto o baja, segú correspoda. G x x x x Ejemplo: Ua cudad tee e 980 ua poblacó de,5 mlloes de persoas, lo que sube e 990 a, mlloes de persoas y e el 000 a 4, mlloes de persoas. Se preguta por la poblacó meda del perodo. G 3,5, 4,,38 su meda artmétca x, 6 Ahora, s para el msmo ejercco calculamos, el promedo o La Medaa La medaa de u cojuto de valores, es el valor que dvde a las observacoes e 50% meores y 50% mayores que ese valor. a) Para datos o agrupados: Prmeramete se calcula la poscó de la medaa y luego se calcula el estadístco. a) S es par Me X + X / / + a) S es mpar Me X ( +) /

16 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 6 b) Para datos agrupados: Prmeramete se calcula la poscó de la medaa y luego se calcula el estadístco. f Me L + f med ( ) C e dode L... Límte feror real de la clase de la medaa... úmero de observacoes (Σf)...suma de frecuecas de las clases ferores a la de la medaa f med...frecueca de la clase medaa C...achura del tervalo de clase de la medaa La Moda La moda es el valor del grupo de observacoes que se repte e más oportudades (tee mayor frecueca), detro del cojuto de datos. S el cojuto de datos tee ua sola moda, se le deoma moomodal, de la msma maera puede ser bmodal o multmodal, segú se aprece dos o más valores modales respectvamete. a) Para datos o agrupados Se revsa los datos y se seleccoa aquel se repte más veces. E caso de o exstr u valor que se repte, etoces se dce que el grupo de observacoes o tee Moda. b) Para datos agrupados Mo L + C + e dode L...Límte feror real de la clase modal....exceso de frecueca modal sobre la clase feror medata. Exceso de la frecueca modal sobre la clase superor medata. C...Achura del tervalo de clase modal.

17 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 7 Ejerccos:.- El exame fal de u curso vale tres veces mas que ua evaluacó parcal, y u estudate tee ua ota de 6, e el exame fal y u 5,5 y u 3,8 e las dos pruebas parcales. Cuál es la calfcacó meda obteda por el alumo? X () (5,5) + () (3,8) + (3) (6,) ,58.- El cojuto de doce datos es el sguete: 5,, 8, 9, 0,,, 0, 9,, 9, 7 Calcular: a) X b) M e c) M o Desarrollo: a) X 8, 6 b) poscó,,5,7,9,9,9,0,0,,, 8 M e X / + / + X Me + + 6,5 poscó M e poscó,,5,7,9,9,9,0,0,,,8 poscó El calculo del estadístco es M e 9 c) M 9 es el dato que mas se repte o 3.- El cojuto de sete datos es el sguete:

18 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 8, 5, 3, 8, 0, 6, 5 Calcular: a) X b) M e c) M o a) X 9, b) M e 4 poscó M 3, 5, 8, 0,, 5, 6 e M e 0 c) M o No tee Porque o hay gú dato que se repta 4.- Se sabe que los sueldos e ua empresa bacara so los sguetes: Los empleados gaa $ y so 50, $ para los ejecutvos y so 0 y de $ para los geretes de áreas y so 5. Calcular el sueldo promedo de la Empresa Bacara? X S la reta aual meda de los trabajadores agrícolas y o agrícolas e Estados Udos, es de US$ y US$ respectvamete. S se sabe que hay u trabajador agrícola por cada trabajadores o agrícolas, determar la reta promedo aual de estos trabajadores. X US$ X US$ a a X US$ Se tee los sguetes datos agrupados: Calcular la Meda, Medaa y Moda.

19 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 9 Y x x h h h ,00 0,00 0, ,67 0,67 6, ,7 0,484 48, ,00 0,684 68, ,50 0,834 83, ,6 0,950 95, ,050,000 00, a a Meda: X x ,35 60 Medaa: Me L + ( f ) f med 60 9 C 5,5 + 53,5 Moda: Mo L + C ,5 + 46, El úmero de prestamos cursados durate 3 días, e ua facera fuero los sguetes: a) Costruya ua tabla de frecuecas co 8 tervalos. b) Calcule la meda c) Calcule la medaa d) Calcule la moda 8.- El úmero de usuaros ateddos e ua Captaía de Puerto, durate 80 días fuero los sguetes:

20 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS a)costruya ua tabla de frecuecas co 9 tervalos. b)calcule la meda c)calcule la medaa d)calcule la moda 9.- El úmero de tarjetas vsas veddas por 40 empleados de ua empresa bacara, está represetadas e la sguete tabla:: a)calcule la meda b)calcule la medaa c)calcule la moda Tarjetas Vsa Frecueca Total Los cletes ateddos por ua ejecutva de cuetas de u baco durate dez días cosecutvos fuero los sguetes: a)calcule la meda b)calcule la medaa Das Nro. Cletes U tre lleva 600 pasajeros co ua estatura meda de,70 metros. Slos /3 so mujeres cuya estatura meda es de,60. Cuál es la estatura meda de los hombres?

21 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS X x + x k k x k x X x + x + Se sabe que N Etoces reemplazado e la formula y despegado X teemos:, X, X,9 Los Fractles

22 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS So meddas descrptvas de ua sere de observacoes que cosdera fraccoes acumuladas de estas. Podemos eumerar los sguetes fractles: Decles (Dk k,,...,0) Dvde el cojuto de observacoes e dez sectores de 0% de los datos cada uo. El D5 cocde co la medaa D ( k /0) ( f L ) + f d k k C e dode L...Límte feror real de la clase del decl...úmero de observacoes k...valor del decl que se desea calcular (Σf)...suma de frecuecas de las clases ferores a la del decl C...achura del tervalo de clase del decl f...valor de frecueca e dode se ubca el decl dk Percetles (Pk k,,...,00) Dvde el cojuto de observacoes e ce sectores de % de los datos cada uo. El P50 cocde co la medaa. (k / 00) ( f) P k L + C f pk Cuartles: (Qk k,,3,4) Dvde el cojuto de observacoes e cuatro sectores de 5% de los datos cada uo. El Q cocde co la medaa Q ( k / 4) ( f L ) + f q k k C OBS: P5Q P50 QD5 P0D P75Q3 P0D P30D3, etc..- Se tee los sguetes datos agrupados:

23 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 3 Calcular: Decl 7, Percetl 59, Cuartl Y x x h h h ,00 0,00 0, ,67 0,67 6, ,7 0,484 48, ,00 0,684 68, ,50 0,834 83, ,6 0,950 95, ,050,000 00, a a D 7 7,5 + 74, P 59 5,5 + 6, Q 09,5 + 8,4 0 Examemos detedamete las sguetes fguras, cada ua de las cuales cotee u ejemplo de posbles dstrbucoes de frecueca, es decr posbles comportametos de u grupo de datos. fg c, lo está a la zquerda. La fg. a, es smétrca, la fg b, está sesgada a la derecha y la

24 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 4 PromedoMedaaModa Fg a : Dstrbucó de datos forma smétrca Fgb : Dstrbucó de datos forma sesgada a la derecha Fg c : Dstrbucó de datos forma sesgada a la zquerda E la fg a, dode la dstrbucó es smétrca, y solamete exste ua moda, la tres meddas de tedeca cetral, (la moda, la medaa y el promedo) cocde co el puto más alto de la gráfca. E la fg. b, el cojuto de datos está sesgado haca la derecha. Aquí la moda está todavía e el puto más alto de la gráfca, pero la medaa está a la derecha de ese puto y el promedo se ecuetra a la derecha de la medaa. Cuado la dstrbucó es asmétrca a la zquerda, como ocurre e la fg. c, la moda se ecuetra e el puto más alto de la gráfca, la medaa se stúa a la zquerda de

25 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 5 la moda, y el promedo també se ecuetra a la zquerda pero de la medaa. Cualquera que sea la forma, la moda sempre se stúa e el puto más alto. Cuado resolvemos u problema de carácter estadístco, se ha de decdr s usar la medaa, la moda o el promedo como medda de tedeca cetral. Las dstrbucoes que so smétrcas, sempre tee el msmo valor para las tres meddas como se demostró prevamete. Cuado la poblacó tee u sesgo postvo o egatvo, la medaa es a meudo la mejor medda de ubcacó, puesto que sempre se ecuetra etre el promedo y la moda. A la medaa o la afecta tato la frecueca de ocurreca de u solo valor como la moda, tampoco es atraída por valores extremos como el promedo. Estadígrafos de Dspersó Dos cojutos de datos puede teer las msmas meddas de tedeca cetral y ser muy dferetes. Esto queda demostrado e las dstrbucoes de frecueca de la sguete fgura B C A Esquema de tres curvas co gual promedo pero dferetes varabldades El promedo e las tres curvas es el msmo, pero la curva A tee meor dspersó (varabldad) que la curva B y ésta a su vez preseta meor varabldad que la C. S calculamos solamete el promedo de estas tres curvas llegaremos a la coclusó erróea que sus dstrbucoes so guales s captar la dfereca etre ellas. Para mejorar el coocmeto sobre las dstrbucoes de frecueca, es precso que se mda su dspersó, o sea su varabldad. La dspersó es ua característca mportate de medr y eteder porque etrega formacó que permte juzgar la cofabldad de la medda de tedeca cetral. S los datos está amplamete dspersos como los de la curva C, el promedo será meos "represetatvo" de los datos e geeral que lo que ocurre co la curva A.

26 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 6 Desvacó Meda Para calcular la desvacó meda, se debe calcular e prmer lugar el promedo de las observacoes, luego se determa el valor absoluto de la dfereca de cada observacó y el promedo. Falmete se suma todas estas dferecas y se dvde por el úmero total de elemetos de la muestra. Smbólcamete tedremos que: Para datos s agrupar la formula es la sguete: MD x X e dode X promedo de las observacoes. x X Desvacó absoluta de x co respecto de X. Esta desvacó meda es ua buea medda de dspersó porque toma e cueta todas las observacoes, podera por gual a cada elemeto e dca a qué dstaca del promedo se halla cada observacó. Pese a estas vetajas, o se utlza mucho debdo a razoes téccas. Ejercco: Se tee la sguete formacó del umero de tarjetas vsa, veddas por 0 vededores, durate el perodo de ua semaa. Vededores Tarjetas Vsa Calcular la meda artmétca, medaa, moda, desvacó meda. X 8,8 tarjetas vsas M e M o 7,5 4

27 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 7 Para el calculo de la desvacó meda, teemos que costrur la sguete tabla: OBSERVACIÓN x MEDIA X DESVIACIÓN x X ( ) DESVIACIÓN ABSOLUTA x X 8,8-6,8 6,8 4 8,8-4,8 4,8 4 8,8-4,8 4,8 6 8,8 -,8,8 7 8,8 -,8,8 8 8,8-0,8 0,8 9 8,8 0, 0, 8,8 3, 3, 3 8,8 4, 4, 3 8,8 4, 4,, 6 Por tato, reemplazado e la formula teemos que: MD x X 43,6 0 4,36 Para datos agrupados la formula de la desvacó meda se calcula como: MD k f m X e dode k úmero de tervalos f frecueca de la -ésma clase m -ésma marca de clase úmero de observacoes

28 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 8 Ejercco: Calcular la desvacó meda de la sguete tabla, s sabemos que e cálculos aterores la X 55, 35 Y f m ( m X ) f m X ,35 338, ,35 353, ,35 86, ,65 79, ,65 48, ,65 340, ,65 08, , 3 Por tato reemplazado e la formula teemos que: 7 MD f m X.756,3 9,7 60 Varaza La Varaza es la medda de dspersó más mportate e la estadístca, prcpalmete porque cumple muchas propedades que la hace ser preferda ate otras meddas de dspersó. Para datos s agrupar, la formula es la sguete: La Varaza se calcula de la sguete maera: S ( x X )

29 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 9 Del ejercco de los vededores de tarjetas vsa, calcular la varaza: OBSERVACIÓN x MEDIA X DESVIACIÓN x X ( ) ( x X ) 8,8-6,8 46,4 4 8,8-4,8 3,04 4 8,8-4,8 3,04 6 8,8 -,8 7,84 7 8,8 -,8 3,4 8 8,8 0,8 0,64 9 8,8 0, 0,04 8,8 3, 0,4 3 8,8 4, 7,64 3 8,8 4, 0,64, 6 Luego reemplazado e la formula teemos que: S 0 ( x X ) 333, ,06 Para datos agrupados, la Varaza se calcula de la sguete maera: S k f ( m X ) Para los sguetes datos descrtos e la tabla, calcularemos la varaza: Y f m ( X ) m ( m X ) f ( m X ) , ,3 9.05, ,35.49,6.496, ,35 05,9.676, ,65 44, 530, ,65 764, , ,65.366, , , , 4.553, , 55

30 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 30 Luego reemplazado e la formula teemos que: S k f ( m X ) 7.757,55.33,8 59 Propedades de la Varaza.- S > S 0 s sólo sí todas las observacoes so guales. S cada ua de las observacoes aumeta e k udades, la varaza calculada co estas uevas observacoes o camba. v.- S cada ua de las observacoes se multplca por ua costate k, etoces la ueva varaza calculada co estas observacoes, será gual a la varaza orgal multplcada por la costate k al cuadrado. Al calcular la varaza para u grupo de datos, os percatamos que el valor resultate quedará expresado e las udades de las observacoes pero al cuadrado, es decr, metros cuadrados, dólares cuadrados, autos cuadrados, etc. Estas dos últmas expresoes o so tutvamete claras fácles de terpretar. Por este motvo, es ecesaro realzar u cambo mportate e la varaza para obteer ua medda útl de la dspersó, la cual o os platee u problema co las udades de medda y que por lo msmo resulte meos cofusa. Esta medda recbe el ombre de Desvacó Stadard. Desvacó Stadard La Desvacó Stadard, es smplemete la raíz cuadrada de la varaza de la poblacó, tato para datos s agrupar y agrupados. Para datos s agrupar la formula es S k ( x X )

31 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 3 Para datos agrupados la formula es S k f ( m X ) Ejercco: Calcular la desvacó estadar para los ejerccos aterores: La desvacó estadar para las vetas de tarjetas vsa (datos s agrupar) S 6,08 La desvacó estadar para el ejercco de datos agrupados S 35, Coefcete de Varacó El coefcete de varacó se obtee dvdedo la desvacó estádar por su meda, expresádose el resultado e térmos porcetuales. s y CVy 00 % y Este coefcete se utlza para comparar dos o más muestras las cuales o ecesaramete debe teer el msmo tamaño () y determar cuál tee mayor o meor varabldad relatva o be cuál es más homogéea. Metras meor sea el coefcete de varacó la muestra es más homogéea. Se debe teer presete que el valor del coefcete de varacó es porcetual por lo que o mporta su sgo. Lo ateror ocurre cuado las observacoes de la muestra toma valores egatvos por lo que la meda puede dar u valor egatvo. Para establecer el grado de homogeedad o heterogeedad de ua muestra, se clasfcará el coefcete de varacó e los sguetes ragos: Muestra Homogéea : 0% cv y 5% Muestra Regularmete Homogéea : 5% < cv y 75% Muestra Heterogéea : 75% cv 00% < y Ejemplo: Para los 00 gresos de los empleados de ua empresa se obtuvero los sguetes resultados: y $ S y

32 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 3 Se quere coocer la homogeedad de la empresa e térmos del pago de sueldos a sus empleados. Para ello es ecesaro coocer la desvacó estádar: s y $ Por lo tato, el valor del coefcete de varacó de la muestra será: cv y $ $ ,% Lo que refleja que la muestra o es muy dspersa e térmos del sueldo de los empleados. Dstrbucoes Bdmesoales E los capítulos aterores se ha cotemplado el caso de dstrbucó de los valores de sólo ua varable, a meudo se preseta las observacoes respecto a dos varables e forma smultaea, como ocurre cuado se cooce el peso y edad de u grupo de alumos, la estatura de padres e hjos, o los gresos y gastos de varas famlas. Se trata e estos casos de dstrbucoes bdmesoales. Es posble aalzar posterormete s exste algua relacó fucoal etre ambas varables e cluso, cuatfcar esta relacó. Presetacó de los Datos. Los atecedetes propos de las dstrbucoes bdmesoales, para los fes de su estudo, puede correspoder a u pequeño grupo de observacoes o a uo muy umeroso. Cuado los datos so mas umerosos, su presetacó y su aálss es algo mas egorroso. Ejemplo: Supógase que se posee los sguetes datos de u grupo de 7 famlas, que cosdera las varables Igresos y Gastos e cosumo respectvamete. Igresos (x) Gasto Cosumo (y) Nro. Famlas

33 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS Como por ejemplo debe terpretar e el setdo de que exste dos famlas, dode el Igreso es de 7 y el Gasto e cosumo es de 47. Para determar el cuadro de frecuecas se hace gual que el caso de ua varable, teedo presete x represeta el -esmo valor de la varable Igreso. metras y j sgfca el j-esmo valor de la otra varable, e este caso el gasto e Cosumo. La frecueca absoluta j correspode al úmero de veces que se preseta cojutamete los valores de x y y j Para el ejemplo, costrur ua tabla de frecuecas de 6 tervalos de clases: Y 47 + Varable Igreso: Varable Gasto: X DISTRIBUCIÓN DE FAMILIAS CONSIDERANDO EL INGRESO Y EL GASTO EN CONSUMO j

34 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 34 Ejercco: A partr de la tabla ateror, calcular la meda, varaza y desvacó estadar y coefcete de varacó, para la dstrbucó margal del gasto e cosumo y de los gresos respectvamete. Para la varable Gasto Y 66, 6 S 3, 50 S, CV 0, 6 Para la varable Igresos X 4, 3 S 44, 7 S, 0 CV 0, 08 Covaraza y X y X Y X Cuado se estuda dos varables, se defrá ua ueva medda de dspersó, la covaraza. Se puede cosderar que la covaraza represeta el grado de varabldad cojuta de ambas varables e relacó co sus respectvas medas. La formula para datos o agrupados es: Cov( x, y) ( x x) ( y y) La formula para datos agrupados es: Cov( x, y) ( x x) ( y y) j La covaraza puede tomar cualquer valor: cero, postvo o egatvo. Cov( x, y) > 0, sgfca que las dos varables se mueve e el msmo setdo, es decr, a medda que ua varable crece la otra també crece y vceversa. Por ejemplo, greso y ahorro, por lo geeral, tee ua covaraza postva ya que a medda que aumeta los gresos mayor es la capacdad de ahorro. Cov( x, y) < 0 sgfca que las varables se mueve e setdo cotraro, es decr, a medda que ua varable crece la otra decrece y vceversa. Por ejemplo, gasto y ahorro, por lo geeral, tee ua covaraza egatva ya que a medda que aumeta los gastos meor es la capacdad de ahorro. Cov( x, y) 0 sgfca ua de dos cosas, o ua de las varables es costate, o las dos varables so depedetes, es decr, o exste gua relacó etre ellas. Observacó: dos covarazas so comparables sólo s las varables se ecuetra expresadas e udades comparables. Dstrbucó Normal

35 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 35 Ua de las dstrbucoes teórcas mejor estudadas y más utlzada e la práctca es la dstrbucó ormal, també llamada dstrbucó gaussaa. Su mportaca se debe fudametalmete a la frecueca co la que dsttas varables asocadas a feómeos aturales y cotdaos sgue, aproxmadamete, esta dstrbucó. Caracteres morfológcos (como la talla o el peso), o pscológcos (como el coefcete telectual) so ejemplos de varables de las que frecuetemete se asume que sgue ua dstrbucó ormal. El uso exteddo de la dstrbucó ormal e las aplcacoes estadístcas puede explcarse, además, por otras razoes. Muchos de los procedmetos estadístcos habtualmete utlzados asume la ormaldad de los datos observados. Auque muchas de estas téccas o so demasado sesbles a desvacoes de la ormal y, e geeral, esta hpótess puede obvarse cuado se dspoe de u úmero sufcete de datos, resulta recomedable cotrastar sempre s se puede asumr o o ua dstrbucó Normal. La smple exploracó vsual de los datos puede sugerr la forma de su dstrbucó. No obstate, exste otras meddas, gráfcos de ormaldad y cotrastes de hpótess que puede ayudaros a decdr, de u modo más rguroso, s la muestra de la que se dspoe procede o o de ua dstrbucó ormal. E resume, la mportaca de la dstrbucó ormal se debe prcpalmete a que hay muchas varables asocadas a feómeos aturales que sgue el modelo de la ormal. Caracteres morfológcos de dvduos (persoas, amales, platas) de ua espece, por ejemplo, tallas, pesos, evergaduras, dámetros, perímetros. Caracteres fsológcos, por ejemplo: efecto de ua msma doss de u fármaco, o de ua msma catdad de aboo. Caracteres socológcos, por ejemplo: cosumo de certo producto por u msmo grupo de dvduos, putuacoes de exame. Caracteres pscológcos, por ejemplo, coefcete telectual, grado de adaptacó a u medo. La dstrbucó ormal tee forma de campaa, e dóde exste ua smetría e la dstrbucó de los valores e toro a su meda. A su vez se tee que la meda, medaa y moda so guales. Para ua dstrbucó ormal se tee que: El 68,3% de las observacoes se ecuetra e el tervalo [ y s y + ], ; y s y El 95,5% de las observacoes se ecuetra e el tervalo [ y s, y + ] ; y s y El 99,7% de las observacoes se ecuetra e el tervalo [ y s, y + 3 ] 3. y s y

36 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 36 Por lo tato, metras más pequeño sea el valor de la desvacó estádar la muestra es más homogéea. Ejemplo: La sguete tabla muestra los sueldos de 50 fucoaros de u baco (e mles de $), calcular los tervalos e que se ecuetra el 68,3%, el 95,5% y el 99,7% de los datos. Itervalos Total 50 Etoces teemos que calcular, la meda, varaza y la desvacó estadar: y.96,8 S y S Y El 68,3% de los gresos se ecuetra e el tervalo [ y s y + ],, es decr, y s y El 95,5% de los gresos se ecuetra e el tervalo: [ y s, y + ], es decr y s y El 99,7% de los gresos se ecuetra e el tervalo: [ y s, y + 3 ] 3, es decr y s y

37 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 37 E geeral, el eje de smetría de ua dstrbucó ormal será el valor de la meda. y Me Mo y E este caso la dstrbucó ormal es smétrca respecto de su meda, ya que se observa la msma catdad de valores tato a la derecha como a la zquerda del valor de la meda. E alguos casos exste dstrbucoes asmétrcas a la derecha o zquerda de la meda. Dstrbucó Asmétrca Postva (Alargameto Derecha) Dstrbucó Asmétrca Nagatva (Alargameto Izquerda) y Mo Me y y Me Mo y Meddas de Forma: Las meddas de forma permte coocer que forma tee la curva que represeta la sere de datos de la muestra. Se puede estudar las sguetes característcas de la curva: Cocetracó: mde s los valores de la varable está más o meos uformemete repartdos a lo largo de la muestra. Asmetría: mde s la curva tee ua forma smétrca, es decr, s respecto al cetro de la msma (cetro de smetría) los segmetos de curva que queda a la derecha e zquerda so smlares.

38 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 38 Curtoss: mde s los valores de la dstrbucó está más o meos cocetrados alrededor de los valores medos de la muestra. Represetacó gráfca U gráfco es ua represetacó pctórca (medate fguras geométrcas u otros elemetos) que proporcoa vsualmete u resume de la formacó que teresa

39 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 39 destacar, y lo más mportate recordar. El gráfco cumple aspectos e mejor forma que u cuadro umérco, el que a su vez, tee terés desde otros putos de vsta. Reglas para dbujar gráfcos La observacó de las reglas que se mecoará y cometará, es mportate para que el gráfco cumpla correctamete su cometdo prcpal: dar ua vsó global del problema, co elemetos que guarda las proporcoes correspodetes. També es mportate coocer estas reglas o solamete para costrur u gráfco, so que cuado os efretemos a uo hecho por otra persoa, o os egañe co falsas proporcoes o udades de medda dferete para cada uo de los ejes. Naturalmete la aplcacó de las reglas debe teer certa flexbldad y e más de algua ocasó será ecesaro apartarse lgeramete de ellas. a) La dsposcó geeral de u gráfco debe avazar de zquerda a derecha. b) Sempre que sea posble, debe represetarse las catdades por magtudes leales, pues las áreas y volúmees se presta a cofusoes. c) Debe procurarse que aparezca e el dagrama la líea correspodete al cero. Ua de las excepcoes es cuado ua de las varables es el año. d)cuado o puede aparecer la líea del cero debdo a la magtud de los valores represetados, debe "quebrarse" la líea de las abcsas (Y) o de las ordeadas (X), segú sea el caso. e) La líea del cero debe ser más gruesa que los trazos que represeta otras coordeadas. f) E las escalas que tee porcetaje, covee hacer resaltar claramete la líea del 00% u otra que se utlce para comparacó. g) E alguas ocasoes es coveete clur e el gráfco los datos respectvos o las fórmulas represetadas. h) S o se cluye los datos e el gráfco, se debe presetar e u lugar cercao al gráfco, u cuadro que cotega las cfras grafcadas. ) Sempre debe clurse las udades de medda para la abcsa y la ordeada. j) Todo gráfco debe coteer e forma clara y lo mas completa posble, la formacó ecesara para su fácl y total compresó, como títulos, período que comprede la formacó, udades de medda, fuete, etc. Gráfcos empleados co mayor frecueca

40 INSTITUTO DE ESTUDIOS BANCARIOS 40 BARRAS SEPARADAS: Cada barra represeta u acotecmeto. Su largo correspode a la frecueca co que se ha presetado el acotecmeto. BARRAS AGRUPADAS: Cuado se desea comparar la frecueca del acotecmeto e dos o más categorías de udades de observacó, cada acotecmeto se preseta por u grupo de barras correspodetes a las categorías. BARRAS SUBDIVIDIDAS: Cuado se requere mostrar la dferete proporcó co que ocurre los feómeos e determados grupos es coveete subdvdr las barras correspodete a los grupos HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS: Cosste e ua sere de rectágulos que tee: Sus barras sobre el eje horzotal (el eje X), co cetros e las marcas de clase y logtud gual al tamaño de los tervalos de clase. Superfces proporcoales a las frecuecas de clase. POLÍGONO DE FRECUENCIAS: Es u gráfco de lea trazado sobre las marcas de clase. Puede obteerse uedo los putos medos de los techos de los rectágulos e el Hstograma. E geeral exste ua dversdad de otros tpos de gráfcos y su uso y tpo va a depeder de lo que se quera mostrar: -Sectorales o crculares o de torta -Líeas o sere de tempo -Frecuecas acumuladas o áreas -Tela de araña o radal -Dspersó, etc. Tarea : Co formacó actualzada, presetar 7 gráfcos dferetes

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