6 El modelo de regresión lineal

Transcripción

1 6 El modelo de regresó leal 1. Coceptos báscos sobre el aálss de regresó leal. Ajuste de la recta de regresó 3. Bodad de ajuste. La regresó leal múltple 5. Descrpcó estadístca de la relacó etre dos varables: tabla resume Modelos predctvos o de regresó: la represetacó de la relacó etre dos (o más) varables a través de u modelo formal supoe cotar co ua expresó lógco-matemátca que, aparte de resumr cómo es esa relacó, va a permtr realzar predccoes de los valores que tomará ua de las dos varables, la que se asuma como varable de respuesta, a partr de los valores de la que se asuma como varable explcatva. E lo que respecta al papel que juega las varables e el modelo, metras que e el aálss de la relacó etre dos varables o se asumía u rol específco para las msmas (rol smétrco de las varables era lo msmo la relacó de la varable A co la varable B, que la de B co A), la aplcacó de u modelo de regresó supoe que ua de las varables adopta el papel de varable explcatva y la otra el de varable de respuesta y es, por tato, que se dce que las varables adopta u rol asmétrco o es el msmo el modelo de regresó de B sobre A, que el de A sobre B. E la lteratura estadístca se ha plateado dferetes tpos de modelos predctvos que ha dado respuesta a las dsttas característcas de las varables que puede aparecer mplcadas e el msmo, ya sea su escala de medda, la forma de su dstrbucó... El más coocdo es el modelo de regresó leal (varable de respuesta cuattatva), s be, otras opcoes a teer e cueta so el modelo de Profs. J. Gabrel Mola y María F. Rodrgo 1

2 Putuacó escala de estrés El modelo de regresó leal T. 9 regresó logístca (varable de respuesta categórca) o el modelo de Posso (varable de respuesta cuattatva co dstrbucó muy asmétrca), etre otros. 1. Coceptos báscos sobre el aálss de regresó leal El modelo de regresó leal es el más utlzado a la hora de predecr los valores de ua varable cuattatva a partr de los valores de otra varable explcatva també cuattatva (modelo de regresó leal smple). Ua geeralzacó de este modelo, el de regresó leal múltple, permte cosderar más de ua varable explcatva cuattatva e el modelo. E cocreto, segú el modelo de regresó leal smple, la dstrbucó cojuta de dos varables, ua de ellas cosderada como varable explcatva () y la otra como varable de respuesta (), cuya relacó sea más o meos leal (ver dagrama de dspersó) puede ser represetada (modelada) por la ecuacó de ua líea recta: Ŷ B B1 Ejemplo de aplcacó de u modelo de regresó leal smple a f de modelar la dstrbucó cojuta de las varables Estrategas de afrotameto y Estrés (ver el correspodete dagrama de dspersó e el gráfco de abajo a la zquerda). E este ejemplo cocreto, el modelo de regresó leal smple se cocreta e el ajuste a los datos de la sguete ecuacó (també coocda como recta de regresó): ˆ 75, (,76) El cómo ha sdo obtedo los coefcetes de dcha ecuacó (B y B 1 ) será tratado más adelate. E el gráfco de abajo a la derecha se ha dbujado la recta correspodete a la ctada ecuacó Estrategas de afrotameto Estrategas de afrotameto Ua mportate vetaja de cotar co el modelo de regresó de Estrés sobre Estrategas de afrotameto es que a partr del msmo podemos predecr cuál será la putuacó e Estrés a Profs. J. Gabrel Mola y María F. Rodrgo

3 El modelo de regresó leal T. 9 partr de u valor cualquera de Estrategas de afrotameto, por ejemplo, para ua putuacó de 5, la putuacó predcha de Estrés será de 37, ( 75,,76 5 ). Los dos coefcetes de la ecuacó del modelo de regresó leal smple, B y B 1, so coocdos como la costate y la pedete del modelo, respectvamete. E cojuto recbe el ombre de coefcetes de la ecuacó de regresó. la ecuacó de la recta de regresó es obteda a partr de ua muestra, que o ua poblacó, los coefcetes de la ecuacó de regresó que obtegamos será estadístcos, o parámetros, y la ecuacó se expresa smbólcamete como: Ŷ B B1 1 eñalar també que la ecuacó de la recta de regresó aparece expresada e alguos lbros de texto así: Ŷ A B Ua vez que sea coocdos los valores de B y B 1 del modelo de regresó leal smple, éste puede ser utlzado como modelo predctvo, esto es, para realzar predccoes de los valores que tomará la varable de respuesta para determados valores de la varable explcatva. Basta para ello co susttur e la ecuacó de regresó el valor cocreto de que se quera ( ). Al hacerlo, se obtedrá el valor predcho para para aquellos casos que e la varable tome el valor. Este valor es coocdo de forma geérca como putuacó predcha, sedo represetado smbólcamete como ' o ˆ. Ejercco 1: A partr de la dstrbucó cojuta de las varables cuattatvas e, dbuja e el correspodete dagrama de dspersó la recta de regresó que creas que mejor se ajusta a la ube de putos. Auque todavía o se haya vsto como obteer los valores de B y B 1 de la recta de regresó, teta deducr de forma tutva cuáles puede ser esos valores. has plateado la ecuacó, utlízala para realzar ua predccó de cuáles será los valores predchos e para dsttos valores de (por ejemplo, para = 3, para = 6, para = 9 ). També puedes realzar esas predccoes utlzado el gráfco feror a partr de la recta de regresó que has dbujado. Profs. J. Gabrel Mola y María F. Rodrgo 3

4 El modelo de regresó leal T Relacoes determstas vs. probablístcas y error de predccó: el ateror ejemplo represeta el caso de ua relacó determsta o perfecta etre e s se calcula R, os dará gual a 1. E cosecueca, los valores predchos ˆ a partr de segú el modelo de regresó cocdrá exactamete co los valores observados e, o cometédose gú error de predccó. embargo, esta stuacó es usual e el ámbto de las Cecas ocales y de la alud, dode cas sempre os ecotramos co relacoes etre varables o perfectas (R 1 o R 1). E estos casos, cuado se utlza la ecuacó de la recta de regresó para predecr cuál será el valor e para u determado valor, es más que probable que se cometa certo error e la predccó realzada. A este error se le cooce como error de predccó o resdual (E ) y queda defdo, por tato, como la dfereca etre el verdadero valor de u sujeto e la varable ( ) y su valor predcho segú la ecuacó de regresó ( ): ˆ E ˆ De la expresó ateror se derva que la putuacó observada de u sujeto e se puede obteer sumado a la putuacó predcha, el error de predccó o resdual para dcha putuacó, esto es: ˆ E Ejemplo de los coceptos presetados para dos varables e (N = 5), sedo el modelo de regresó leal ajustado a la dstrbucó cojuta de ambas varables, el sguete: ˆ, 1, 6 Profs. J. Gabrel Mola y María F. Rodrgo

5 El modelo de regresó leal T. 9 ID q r leal =,93 Utlzado la ecuacó de regresó ajustada a los datos, qué error cometemos al predecr a partr de para cada uo de los 5 casos? Por ejemplo, para el cuarto caso e la tabla ( = 6), el valor predcho es 1, ( ˆ =, + 1,6 6 = 1,) y, e cosecueca, su error de predccó o resdual es 1,6 (E = 1 1,), esto es, la dfereca etre su verdadero valor e la varable ( = 1) y su valor predcho segú la ecuacó de regresó ( ˆ = 1,). Del msmo modo, para el resto de casos: ID ˆ 1 6 6, 9 9, -, , -, 6 1 1, 1, ,6 -,6 Adelatar ya que la columa de los errores de predccó costtuye u elemeto de formacó clave a la hora de tratar el cocepto de bodad de ajuste de u modelo de regresó, algo que se abordará e ua seccó posteror. E 6 Gráfcamete, el resdual correspodete a cualquer caso (putos e el dagrama de dspersó) vee represetado por la dstaca vertcal del puto correspodete a la recta de regresó, tal como se muestra abajo para el caso º del ejemplo ateror. Profs. J. Gabrel Mola y María F. Rodrgo 5

6 El modelo de regresó leal T , = 1,6 1 6 q r leal =,93 6 Otro ejemplo (Loslla y cols., 5) para el caso de dos varables e cuyo dagrama de dspersó se muestra a cotuacó (gráfco de la zquerda). El modelo de regresó leal obtedo para la dstrbucó cojuta de ambas varables vee defdo por la sguete ecuacó: ˆ =,6 +,5 E el gráfco de la derecha se muestra el error de predccó, de acuerdo al modelo de regresó leal ajustado, para el caso cuya putuacó e y e es, respectvamete, 1,65 y 1,. Como puede observarse la putuacó predcha e para los sujetos que e so 1,65 es gual a 1,3, por lo que el error de predccó resultate es gual a,6. Iterpretacó de B y B 1 Profs. J. Gabrel Mola y María F. Rodrgo 6

7 El modelo de regresó leal T. 9 La costate de la ecuacó de la recta de regresó (B ) represeta el valor predcho e cuado la varable es gual a. e trata de u valor que o etraña especal terés a vel terpretatvo. El valor de la pedete (B 1 ) represeta el cambo esperado e la varable por cada udad de cremeto e la varable. E este setdo, B 1 represeta u dcador de la relevaca del efecto que los cambos e tee sobre. eñalar que, e cuato que represeta el cremeto e ˆ por cada cremeto de e ua udad, el valor de la pedete estará expresado e las msmas udades que la varable de respuesta. Ejemplo para el caso de varables, e, sedo la ecuacó de regresó de sobre la sguete: ˆ =,6 +,5. Tal como puede observarse e el dagrama de dspersó, cuado se aumeta e ua udad el valor de, e el valor de predcho por la recta de regresó se produce u aumeto de,5 udades. Valores que puede tomar B 1 : Puede tomar valores tato postvos como egatvos, depededo del setdo (drecto o verso) de la relacó etre las varables. u valor, e valor absoluto, será más alto cuato mayor sea la relacó leal etre las varables. A cotuacó se muestra cuatro ejemplos que muestra el vículo drecto etre el valor de B 1 y el tpo de relacó exstete etre las varables. E el ejemplo 1 la relacó etre e es drecta, por lo que el valor de la pedete será de sgo postvo. E el ejemplo la relacó etre e es versa, por tato B 1 será meor de. Las fguras 3 y evdeca la o exsteca de relacó leal etre las varables, e cuyo caso el valor de B 1 será ulo o práctcamete ulo B 1 > B 1 < Profs. J. Gabrel Mola y María F. Rodrgo 7

8 El modelo de regresó leal T. 9 Ejemplo 1. Relacó leal drecta. B 1 = Ejemplo. Relacó leal versa. B 1 = Ejemplo 3. Auseca de relacó. Ejemplo. Relacó o leal. A cotuacó se preseta los datos de u estudo cuyo objetvo fue vestgar el efecto del vel de estrategas de afrotameto () de los sujetos sobre su vel de estrés (). Estos datos va a ser utlzados e los sguetes apartados para lustrar: (1) cómo obteer el valor de los dos coefcetes del modelo de regresó leal lo que se cooce como el ajuste o detfcacó del modelo; () cómo utlzar el modelo de regresó obtedo para realzar predccoes e Estrés a partr del valor de Afrotameto de los sujetos; y (3) cómo valorar la caldad de dchas predccoes lo que se cooce como el aálss de la bodad de ajuste o capacdad predctva del modelo. Los datos correspodetes a este estudo se muestra e la tabla feror, e cocreto, las putuacoes recogdas a partr de ua muestra de 7 sujetos e ua escala observacoal de Estrés y e u test oretado a evaluar la utlzacó de estrategas de Afrotameto. El rago de putuacoes e ambas varables podía osclar etre a 1, sgfcado putuacoes más altas mayor estrés y mayor capacdad de utlzacó de mecasmos de afrotameto, respectvamete. El dagrama de dspersó permte vsualzar la dstrbucó cojuta de las putuacoes e ambas varables. Profs. J. Gabrel Mola y María F. Rodrgo

9 Putuacó escala de estrés El modelo de regresó leal T Estrategas de afrotameto. Ajuste de la recta de regresó La detfcacó o ajuste de u modelo de regresó supoe obteer los coefcetes que caracterza al msmo. E el caso del modelo de regresó leal smple, B y B 1. Ello supoe aplcar u procedmeto de cálculo (método de estmacó) que permta, a partr de los datos dspobles, obteer los coefcetes de la ecuacó de ua líea recta que represete óptmamete la dstrbucó cojuta de las varables modeladas. Ahora be, cuál es la líea recta que represeta óptmamete a la ube de putos de u dagrama de dspersó? E prcpo, u crtero atural de bodad de ajuste supoe cosderar la ecuacó de regresó que dé lugar a u meor error e las predccoes. Este aspecto se cocreta e que la mejor recta sea aquella para la que la suma de los cuadrados de los errores (CE) tega u valor más próxmo a. Así, para este método, coocdo como método de los mímos cuadrados ordaros, la mejor recta de regresó, de etre todas las posbles que se puede ajustar a la dstrbucó cojuta de varables, será aquélla para la que la CE sea míma: Mejor modelo de regresó m( CE) m E m ( ˆ ) Tras realzar las dervacoes matemátcas pertetes, sobre las que o se va a etrar aquí, las fórmulas de obtecó de los coefcetes del modelo de regresó leal smple ( Ŷ B B1 ) que va a satsfacer que la CE sea míma (crtero del método de los mímos cuadrados ordaros) so las sguetes: B R B B 1 1 Profs. J. Gabrel Mola y María F. Rodrgo 9

10 El modelo de regresó leal T. 9 Como puede observarse, la obtecó de B mplca haber calculado prevamete B 1. Ejercco : a) Obteer el valor de los coefcetes B y B 1 para el ejemplo sobre las varables Afrotameto y Estrés (ver eucado más arrba, p. 7-), teedo e cueta la sguete formacó sobre estas varables: R xy =,7; =,; =,37; = 5, e = 35,56 b) Platear la ecuacó de la recta de regresó. c) Qué predccó de estrés haríamos para el sujeto º, el cual tee ua putuacó de 7 e la escala de afrotameto ( = 7)? Cuál sería el error de predccó (E ) para este sujeto? d) Iterpretar los coefcetes de la recta de regresó e) Dbujar (de forma aproxmada) la recta de regresó sobre el dagrama de dspersó de las varables presetado aterormete. f) A cotuacó se muestra los outputs obtedos co el programa P del aálss de regresó para este ejemplo. Idetfcar e los msmos los resultados obtedos aterormete. Modelo 1 Resume del modelo R cuadrado Error típ. de la R R cuadrado corregda estmacó.7 a a. Varables predctoras: (Costate), Estrategas de af rotameto Modelo 1 (Costate) Estrategas de af rotameto Coefcetes a Coefcetes o estadarzados a. Varable depedete: Putuacó escala de estrés Coefcet es estadar zados B Error típ. Beta t g Bodad de ajuste La bodad de ajuste de u modelo de regresó se refere al grado e que éste es coveete como modelo que represeta a la dstrbucó cojuta de las varables mplcadas e el msmo. Tal como hemos vsto, al ajustar u modelo de regresó leal smple a la dstrbucó cojuta de varables obtedremos la mejor recta de regresó de etre todas las posbles que se puede ajustar a esa dstrbucó, ahora be, ello o sgfca que sea buea. Así, puede ocurrr que la dstrbucó Profs. J. Gabrel Mola y María F. Rodrgo 1

11 El modelo de regresó leal T. 9 cojuta de varables sea dfícl de modelar debdo a la exsteca de relacó etre las varables (ver, por ejemplo, el caso de la Fgura 1 a cotuacó), o be, que el modelo de regresó leal o sea el más adecuado para ese propósto (ver, por ejemplo, el caso de la Fgura ). Fgura 1: Auseca de relacó. Fgura : Relacó o leal. Ejemplo: la relacó etre los dos pares de varables (1, 1) y (, ) que aparece represetada e los dos sguetes dagramas de dspersó (Loslla y cls., 5) es ajustada, casualmete, por la msma ecuacó de regresó leal ( ' 5,7,56 ). embargo, tal como se puede tur a vel vsual, la bodad de ajuste de la ecuacó de la fgura de la zquerda será mejor que la de la fgura de la derecha Modelo 1: 1' 5,7,56 Modelo : ' 5,7,56 Exste dferetes aproxmacoes e la evaluacó de la bodad del ajuste de u modelo a la realdad que ese modelo pretede represetar. Ua elemetal cosste e comparar las putuacoes predchas por el modelo de regresó ( ˆ ) co las putuacoes reales a partr de las que ha sdo estmado ( ). El ídce más utlzado e esta aproxmacó es, precsamete, el coocdo como la suma de cuadrados de los errores de predccó (o resduales) (CE o C ), el cual ya fue troducdo e el apartado ateror como crtero de refereca del método de estmacó de mímos cuadrados ordaros e la estmacó de los coefcetes de la ecuacó de regresó: CE ( o C ) E 1 1 ( ˆ ) Profs. J. Gabrel Mola y María F. Rodrgo 11

12 El modelo de regresó leal T. 9 La suma de cuadrados de los resduales puede osclar etre y cualquer valor postvo. este sumatoro da, el modelo de regresó se ajusta perfectamete a los datos; cuato mayor sea su valor, ello sgfcará que más erróeas so las predccoes de la ecuacó de regresó y, por lo tato, peor su bodad como modelo predctvo. Cosecueca de esta auseca de u techo umérco, este ídce puede resultar dfícl de terpretar e la práctca. Dos ídces dervados del ateror: (1) el que se obtee como meda artmétca del cuadrado de los errores de predccó, esto es, el resultado de dvdr la CE por, el cual se deoma como varaza de los errores ( ). 1 ( ˆ ) () la raíz cuadrada del ateror, esto es, la desvacó típca de los errores de predccó ( ), más coocdo como el error típco de estmacó: 1 ( ˆ ) Ambos ídces adolece del msmo problema de terpretacó que CE. Otro ídce que supera el problema terpretatvo de los dos aterores ha sdo propuesto tras tomar como puto de refereca ua relacó básca que se da cuado se ajusta u modelo de regresó leal a (o más) varables. Es la que se cooce como gualdad de la descomposcó de la varaza de, la cual se derva del axoma que establece que la putuacó observada e la varable de respuesta es gual a la predcha segú el modelo de regresó más el error de predccó cometdo: ˆ E. A partr de la ateror gualdad se puede dervar algebracamete la sguete: C C ' C, o lo que es lo msmo: ' ' ( ) ( ) ( ) cada uo de los térmos de la expresó ateror lo dvdmos por, tedremos la msma gualdad expresada e forma de varazas: ' Así, la varaza e las putuacoes de la varable de respuesta () es gual a la varaza explcada por el modelo de regresó (varaza de las putuacoes predchas) más la varaza o explcada por el modelo de regresó (varaza de los errores o resduales). Profs. J. Gabrel Mola y María F. Rodrgo 1

13 El modelo de regresó leal T. 9 Cosecueca de la gualdad de descomposcó de la varazas, se puede platear de forma medata u ídce de bodad de ajuste del modelo de regresó como razó de la varaza explcada por el modelo de regresó ( ) respecto a la varaza total ( ) '. ' Cuato mayor sea la varaza explcada respecto a la varaza total, más próxmo a 1 será el valor de este ídce, poedo de mafesto ua mayor capacdad predctva de la varable explcatva respecto a la varable de respuesta. Este ídce, coocdo e la lteratura estadístca como coefcete de determacó, se expresa smbólcamete como R, pues també puede ser obtedo elevado al cuadrado el coefcete de correlacó de Pearso etre la varable predctora y la varable de respuesta. Por últmo, R puede també obteerse como razó de la suma de cuadrados explcada por el modelo de regresó ( C ) y la suma de cuadrados de la varable de respuesta ( C ): R ' C C ' o R ' El coefcete de determacó ( R ) represeta la proporcó de varaza de explcada por las varables mplcadas e el modelo de regresó ajustado a los datos ( e el modelo de regresó leal smple). E cuato que ua razó, este coefcete osclará sempre etre y 1, de modo que cuato más próxmo sea dstrbucó cojuta de las varables. R a 1, dcará mejor bodad de ajuste del modelo de regresó a la R es gual a 1, el ajuste será perfecto. Otro propuesta de ídce de bodad de ajuste complemetara a la ateror, auque mucho meos utlzada e la práctca, es el coocdo como coefcete de aleacó, el cual també oscla etre y 1, s be, e este caso valores próxmos a 1 dca peor bodad de ajuste del modelo a los datos. C CALN o CALN C Obvamete, CALN 1 R El sguete cuadro resume todos los coceptos vstos e este apartado: Profs. J. Gabrel Mola y María F. Rodrgo 13

14 El modelo de regresó leal T. 9 Varaza de = Varaza de explcada por + Varaza de o explcada por (varaza de las putuacoes predchas) (varaza de los errores o resduales) ( 1 ˆ = + ) = ( ˆ 1 ) + ( 1 ˆ ) ˆ Proporcó de la varaza de que es explcada por = Coefcete de determacó = R Proporcó de la varaza de que NO es explcada por = Coefcete de aleacó = 1 - R Ejemplo de cálculo de las varazas asocadas a la gualdad de descomposcó de la varaza e u aálss de regresó de ua varable sobre ua varable : abedo que: = 6; = 3,16; = 7; = 3,7; R =,69 y que la ecuacó de la recta de sobre : ˆ,, veamos cómo se obtee los valores predchos ( ˆ ) y los resduales ( E ) para cada caso: ˆ ,36,6 11,1 3,7 6,1 E -3,36,36 -,1 -,7 3, A partr de los valores predchos se puede obteer: - La varaza de los errores (o resduales) E 11,9 5,57,1,5 1,59 = 36,/5 = 7, = 7, - La varaza de las putuacoes predchas ' = 6,7 Descomposcó de la varaza de : ( ˆ ),69,69 16,1 1,76,67 = 33,6/5 = 6,7 ˆ Profs. J. Gabrel Mola y María F. Rodrgo 1

15 El modelo de regresó leal T. 9 = 3,7 = 1 1 = 6,7 + 7, ' Coefcete de determacó (proporcó de la varaza de explcada por ): R = 6,7/1 =, (=,69 ) Coefcete de aleacó (proporcó de la varaza de o explcada por ): CALN = 7,/1 =,5 (= 1,) Ejercco 3: Dadas dos varables Q y T de las que se sabe que la varaza de T es 1 ( T 1 ) y que e el aálss de regresó de T sobre Q, la varaza de los errores es ( ). A partr de esta formacó, teta obteer el coefcete de correlacó de Pearso etre Q y T. Ejercco : E ua muestra de 1 alumos de eseñaza secudara se ha meddo dos varables: (1) redmeto e el curso, cuatfcado como el promedo de las calfcacoes de las asgaturas del curso (); () el promedo de horas de estudo semaal durate el curso, obtedo a partr de auto-forme de los propos estudates (). Los datos recogdos (N = 1) so los que se muestra a cotuacó: abedo que 11, 6, = 3,77, = 1, y que R =,96, obteer: (a) la ecuacó del modelo de regresó leal de sobre ; (b) los valores predchos por la ecuacó de regresó para cada sujeto ( ˆ ); (c) los errores de predccó o resduales para cada sujeto (E ); (d) la varaza de los errores ( ); (e) la varaza de ( ); (f) la varaza de las putuacoes predchas ( ); (g) comprobar que es certa la gualdad de la descomposcó de la varaza ( ); (h) el TQ ˆ coefcete de determacó [de dos formas: (h.1) a partr de las varazas; (h.) a partr del coefcete de correlacó etre e ]; () terpretar los coefcetes de la recta de regresó obtedos (B y B 1 ); (j) estmar cuál será la putuacó meda obteda a fal de curso por u estudate que dedque 16 horas de estudo a la semaa de promedo. ˆ Profs. J. Gabrel Mola y María F. Rodrgo 15

16 El modelo de regresó leal T. 9 Ejercco 5: A cotuacó se muestra el output del aálss de regresó realzado co P para los datos del ejercco ateror. Idetfca e los msmos los resultados obtedos aterormete. Resume del modelo Modelo R R cuadrado R cuadrado corregda Error típ. de la estmacó 1.96(a) ANOVA Modelo uma de cuadrados gl Meda cuadrátca F g. 1 Regresó (a) Resdual.37.9 Total 3. 9 Coefcetes Modelo Coefcetes o estadarzados Coefcetes estadarzados T g. Itervalo de cofaza para B al 95% B Error típ. Beta Límte feror Límte superor 1 (Costate) Horas_estudo Ejercco 6: E u ejemplo troducdo aterormete co las varables de Afrotameto y Estrés, sabemos que R =,7 y que =,37. Pregutas: (a) cuál será el valor del coefcete de determacó?, cómo se terpreta dcho valor?; (b) cuál es el valor de la varaza de explcada por el modelo de regresó (e este caso, por la varable Afrotameto )?; (c) cuál el de la varaza de los resduales?. La regresó leal múltple Ua geeralzacó del modelo de regresó leal smple es el de regresó leal múltple, que permte cosderar más de ua varable explcatva e prcpo, cuattatvas e el modelo de regresó. La formulacó del modelo es: ˆ j j B B B B La mportaca relatva de cada varable explcatva es evaluada a través de su coefcete b j correspodete. Cabe señalar que para que dchos coefcetes sea comparables, ya que su magtud depede de la udad de medda de la varable a la que multplca, se ha de comparar su valor estadarzado (los deomados coefcetes tpfcados o Beta). Ejemplo de aplcacó de u modelo de regresó leal múltple para explcar la atsfaccó co la carrera e ua muestra de estudates uverstaros. atsfaccocarrera ' B B HorasEstudo B RelaccoProfesores B NotaAcceso 1 3 Profs. J. Gabrel Mola y María F. Rodrgo 16

17 El modelo de regresó leal T. 9 A cotuacó se muestra los resultados obtedos co P al ajustar el modelo de regresó ateror a u cojuto de datos de estas cuatro varables: Qué porcetaje de la varaza de atsfaccó co la carrera es explcada a partr de este modelo? Cuál de las varables explcatvas es más relevate? 5. Descrpcó estadístca de la relacó etre dos varables: tabla resume A lo largo de los temas 7, y 9 se ha presetado dversos procedmetos estadístcos, tato umércos como gráfcos, adecuados para descrbr la relacó etre dos varables. E la tabla sguete se resume esta formacó e fucó de la escala de medda de las varables mplcadas. Categórcacategórca Categórcacuattatva Cuattatvacuattatva Gráfcos Gráfco de barras agrupado Gráfco de barras apladas agrupado Gráfco de caja y bgotes agrupado Polígoo de frecuecas agrupado Pael de hstogramas Gráfco de medas Dagrama de dspersó Ídces umércos J-cuadrado de Pearso Ph de Pearso V de Cramer Dfereca de medas d de Cohe f de Cohe Covaraza Coef. de correlacó de Pearso Coefcete de determacó Ecuacó de regresó leal Coef. de correlacó de pearma (s relacó o leal) Referecas Loslla, J. M., Navarro, B., Palmer, A., Rodrgo, M. F. y Ato, M. (5). Del cotraste de hpótess al modelado estadístco. Documeta Uverstara. [ Profs. J. Gabrel Mola y María F. Rodrgo 17