GUÍA PARA ESTIMAR LA INCERTIDUMBRE DE LA MEDICIÓN

Transcripción

1 CENTRO NACIONAL DE METROLOGÍA GUÍA PARA ESTIMAR LA INCERTIDUMBRE DE LA MEDICIÓN Wolfgng A. Schmd y Ruben J. Lzos Mrtínez Revsón El Mrqués, Qro., Méco, brl de 004. NOTA. ESTE DOCUMENTO SE HA ELABORADO CON RECURSOS DEL GOBIERNO FEDERAL. SÓLO SE PERMITE SU REPRODUCCIÓN SIN FINES DE LUCRO Y HACIENDO REFERENCIA A LA FUENTE Guí pr estmr l ncertdumbre de l medcón. Rev / CENAM / WSchmd y RLzos / Febrero 004 / 7

2 PREFACIO Est Guí tene el propósto de unfcr crteros en l estmcón de ls ncertdumbres de ls medcones y está drgdo los metrólogos del CENAM, en prmer nstnc, y los responsbles de estmr ncertdumbres de medcón en lbortoros de clbrcón, lbortoros de pruebs, lbortoros ndustrles y todos quellos nteresdos en el tem. L necesdd de este documento tene su orgen en ls dverss nterpretcones de Gude to the epresson of Uncertnty n Mesurement, [] (GUM, dentro y fuer del CENAM que hn ddo lugr confusón, y veces conflcto, entre sus usuros. Est Guí observ los lnementos estblecdos en l GUM, sn embrgo no pretende sustturl como referenc mestr, por lo que se nvt l usuro consultrl en cso de dud. Se reconoce que l GUM, y por lo tnto est Guí, dolecen de deblddes todví no resuelts formlmente un en el ámbto nternconl. Sn embrgo, por el momento no se encuentrn otrs opcones generlmente ceptds. Se h procurdo que el contendo de est Guí se técncmente correcto, desde los puntos de vst mtemátco y metrológco, dentro de los límtes de l GUM, unque no se segur que puedn resolverse úncmente con ell tods ls duds sobre l estmcón de ncertdumbres, por lo que puede ser necesr l consult de otros documentos más específcos. Est Guí se peg estrctmente ls defncones dds en el Vocbulro Internconl de Metrologí, [] (VIM, consderndo el propósto de unfccón de crteros. Vros metrólogos del CENAM hn desrrolldo ejemplos sguendo este documento, los cules están dsponbles en publccones por seprdo. Est Guí reflej los resultdos de un grupo de trbjo sobre ncertdumbres en el CENAM, obtendos después de promdmente dos ños de trbjo. Debe menconrse el nprecble vlor de ls numeross opnones de otros colegs del CENAM y de otros estudosos de l metrologí, cuyos conceptos segurmente están ncludos en est Guí, pero cuy flt de trzbldd nítd no permte dstngur sus utores clrmente. L elborcón de este documento estuvo crgo de W. Schmd y de R. Lzos quenes grdecen los vlosos comentros recbdos. El Mrqués, Qro., brl de 000. NOTA: Este documento h estdo epuesto ls opnones de los nteresdos durnte cs un ño ntes de est mpresón, lpso en el cul se hn recbdo lguns sugerencs de correccones tpográfcs y de modfccones muy lgers de l form. El Mrqués, Qro., mrzo de 00. Est prmer revsón de l Guí ncorpor mejors con l ntencón de dr myor precsón y clrdd l teto, prtculrmente en l Seccón 0. El Mrqués, Qro., brl de 004. Guí pr estmr l ncertdumbre de l medcón. Rev / CENAM / WSchmd y RLzos / Febrero 004 / 7

3 GUÍA PARA ESTIMAR LA INCERTIDUMBRE DE LA MEDICIÓN ÍNDICE: Págn. Propóstos de l Guí 4. El Mensurndo 4 3. Modelo Físco 5 4. Modelo Mtemátco 6 5. Identfccón de ls fuentes de ncertdumbre 7 6. Cuntfccón 7 7. Determncón de ls ncertdumbres estándr 8. Combncón 9. Correlcón 5 0. Incertdumbre epndd 6. Dgrm pr l estmcón de ncertdumbres de medcón. Referencs Aneos: A Cálculo de l desvcón estándr pr un dstrbucón 3 rectngulr B Coefcente de sensbldd 4 C Ejemplo de formto pr gur l estmcón de l ncertdumbre 6 Guí pr estmr l ncertdumbre de l medcón. Rev / CENAM / WSchmd y RLzos / Febrero / 7

4 . Propóstos de l Guí Est Guí estblece, de form generl, lnementos pr estmr ncertdumbres de medcón de cuerdo l GUM [], l cul es consderd como l referenc mestr; subry spectos crítcos en l estmcón de ls ncertdumbres de medcón; clr lgunos puntos que pueden dr lugr confusones; estblece un esquem pr estmr ncertdumbres de l medcón.. El Mensurndo El propósto de un medcón es determnr el vlor de un mgntud, llmd el mensurndo, que de cuerdo l VIM [], es el trbuto sujeto medcón de un fenómeno, cuerpo o sustnc que puede ser dstngudo culttvmente y determndo cuntttvmente. L defncón del mensurndo es vtl pr obtener buenos resultdos de l medcón. En no pocs ocsones se mde lgo dstnto l propósto orgnl. L mperfeccón nturl de l relzcón de ls medcones, hce mposble conocer con certez bsolut el vlor verddero de un mgntud: Tod medcón llev mplíct un ncertdumbre, que de cuerdo l VIM, es un prámetro que crcterz l dspersón de los vlores que pueden ser trbudos rzonblemente l mensurndo. Un defncón complet del mensurndo ncluye especfccones sobre ls mgntudes de entrd relevntes. Por smltud con l GUM, en est Guí el térmno mgntud de entrd se us pr denotr tmbén mgntudes de nfluenc. El resultdo de un medcón ncluye l mejor estmcón del vlor del mensurndo y un estmcón de l ncertdumbre sobre ese vlor. L ncertdumbre se compone de contrbucones de dverss fuentes, lguns de ells descrts por ls mgntudes de entrd respectvs. Alguns contrbucones son nevtbles por l defncón del propo mensurndo, mentrs otrs pueden depender del prncpo de medcón, del método y del procedmento seleccondos pr l medcón. Por ejemplo, en l medcón de l longtud de un brr, l tempertur es un mgntud de entrd que fect drectmente l mensurndo por epnsón o contrccón térmc de l brr. Otr mgntud de entrd es l fuerz de contcto, presente cundo se usn nstrumentos que requeren contcto mecánco como los tornllos mcrométrcos, clbrdores verner, etc. Tmbén pueden nflur en el resultdo de l medcón, y por lo tnto en l ncertdumbre, lgunos trbutos no cuntfcbles en cuyo cso es sempre recomendble reducr en lo Guí pr estmr l ncertdumbre de l medcón. Rev / CENAM / WSchmd y RLzos / Febrero / 7

5 posble sus efectos, preferentemente hcendo uso de crteros de ceptcón en ls ctvddes tendentes reducr tles efectos. Por ejemplo, l lmpez de ls mss es un specto crítco en l clbrcón de mss de lt ecttud, lo cul oblg observr estrctmente crteros pr lmprls propdmente. El prncpo de medcón es el fundmento centífco usdo pr relzr un medcón. El conocmento del prncpo de medcón permte l metrólogo domnr l medcón, esto es, modfcrl, dseñr otr, evlur su convenenc, etc., demás es ndspensble pr estmr l ncertdumbre de l medcón. El método de medcón y el procedmento de medcón son descrpcones de l mner de llevr cbo l medcón, l prmer genérc, l segund específc. El prncpo, el método y el procedmento de medcón son determnntes en el vlor de l ncertdumbre de l medcón. Un conocmento nsufcente de ellos muy probblemente conducrá un estmcón equvocd, o ncomplet en el mejor de los csos, de l ncertdumbre de l medcón. Pr l plccón de este documento se supondrá que el prncpo, el método y el procedmento hn sdo prevmente determndos. L defncón del mensurndo usulmente lude, cs sempre de mner mplíct, un estmcón de l ncertdumbre que se requere. Es notble el lto resgo que se corre cundo l defncón del mensurndo no es corde con l estmcón de l ncertdumbre requerd. Por ejemplo, s se mnfest l mensurndo smplemente como el dámetro de un moned de un peso, l ncertdumbre requerd es myor que cundo el mensurndo se determn como el dámetro del círculo que crcunscrbe l moned. 3. Modelo físco Pretender estudr el proceso de medcón de mner ect y complet está usulmente fuer de ls ctvddes rutnrs del metrólogo, más ún, es el propósto de l nvestgcón centífc, cuy solucón pocs veces se vslumbr. Por lo tnto, es necesr l smplfccón del fenómeno o de l stucón rel conservndo ls crcterístcs más relevntes pr el propósto pretenddo, mednte l construccón de un modelo pr l medcón. Un modelo físco de l medcón consste en el conjunto de suposcones sobre el propo mensurndo y ls vrbles físcs o químcs relevntes pr l medcón. Ests suposcones usulmente ncluyen: relcones fenomenológcs entre vrbles; Guí pr estmr l ncertdumbre de l medcón. Rev / CENAM / WSchmd y RLzos / Febrero / 7

6 b consdercones sobre el fenómeno como conservcón de cntddes, comportmento temporl, comportmento espcl, smetrís; c consdercones sobre propeddes de l sustnc como homogenedd e sotropí. Un medcón físc, por smple que se, tene socdo un modelo que sólo prom el proceso rel. 4. Modelo mtemátco El modelo físco se represent por un modelo descrto con lenguje mtemátco. El modelo mtemátco supone promcones orgnds por l representcón mperfect o lmtd de ls relcones entre ls vrbles nvolucrds. Consderndo l medcón como un proceso, se dentfcn mgntudes de entrd denotds por el conjunto {X } epresón en l cul el índce tom vlores entre y el número de mgntudes de entrd N. L relcón entre ls mgntudes de entrd y el mensurndo Y como l mgntud de sld se represent como un funcón Y f({x } f(x, X,..., X N (4. representd por un tbl de vlores correspondentes, un gráfc o un ecucón, en cuyo cso y pr los fnes de este documento se hrá referenc un relcón funconl. Por ejemplo, l vscosdd es proporconl l tempo de flujo por un vscosímetro cplr como relcón funconl, en contrste l desconocmento de su relcón funconl con l tempertur. Aunque pr el propósto de este trbjo se consderrá Y como un esclr, puede plcrse el msmo formlsmo pr elementos mtemátcos más complejos como vectores o mtrces. En este trbjo se denot con l mejor estmdo de ls mgntudes de entrd X. Los vlores de ls mgntudes de entrd pueden ser resultdos de medcones recentes relzds por el usuro o tomdos de fuentes como certfcdos, ltertur, mnules, etc. El mejor estmdo y del vlor del mensurndo es el resultdo de clculr el vlor de l funcón f evlud en el mejor estmdo de cd mgntud de entrd, ( y f,,... N (4. En lguns ocsones se tom el mejor estmdo de Y como el promedo de vros vlores y j del mensurndo obtendos prtr de dversos conjuntos de vlores {X } j de ls mgntudes de entrd [, Sec. 4..4]. Guí pr estmr l ncertdumbre de l medcón. Rev / CENAM / WSchmd y RLzos / Febrero / 7

7 5. Identfccón de ls fuentes de ncertdumbre Un vez determndos el mensurndo, el prncpo, el método y el procedmento de medcón, se dentfcn ls posbles fuentes de ncertdumbre. Ésts provenen de los dversos fctores nvolucrdos en l medcón, por ejemplo, los resultdos de l clbrcón del nstrumento; l ncertdumbre del ptrón o del mterl de referenc; l repetbldd de ls lecturs; l reproducbldd de ls medcones por cmbo de observdores, nstrumentos u otros elementos; crcterístcs del propo nstrumento, como resolucón, hstéress, derv, etc.; vrcones de ls condcones mbentles; l defncón del propo mensurndo; el modelo prtculr de l medcón; vrcones en ls mgntudes de nfluenc. No es recomendble desechr lgun de ls fuentes de ncertdumbre por l suposcón de que es poco sgnfctv sn un cuntfccón prev de su contrbucón, comprd con ls demás, poyd en medcones. Es preferble l nclusón de un eceso de fuentes que gnorr lguns entre ls cules puder descrtrse lgun mportnte. No obstnte, sempre estrán presentes efectos que l eperenc, conocmentos y cttud crítc del metrólogo permtrán clfcr como rrelevntes después de ls debds consdercones. Por ejemplo, en l clbrcón de termómetros de mercuro en vdro prece un pequeñ contrbucón de l tempertur mbente, pero se consder desprecble quell contrbucón debd l rdcón electromgnétc en el mbente. 6. Cuntfccón En l ltertur [] se dstnguen dos métodos prncples pr cuntfcr ls fuentes de ncertdumbre: El Método de Evlucón Tpo A está bsdo en un nálss estdístco de un sere de medcones, mentrs el Método de Evlucón Tpo B comprende tods ls demás mners de estmr l ncertdumbre. Cbe menconr que est clsfccón no sgnfc que est lgun dferenc en l nturlez de los componentes que resultn de cd uno de los dos tpos de evlucón, L GUM no utlz el térmno fuente de ncertdumbre, el cul se emple en este documento por smplcdd en el lenguje. Por smplcdd del lenguje, en este documento se llmn ncertdumbres tpo A quélls evluds con el Método de Evlucón Tpo A y de mner smlr pr el tpo B. Guí pr estmr l ncertdumbre de l medcón. Rev / CENAM / WSchmd y RLzos / Febrero / 7

8 puesto que mbos tpos están bsdos en dstrbucones de probbldd. L únc dferenc es que en un evlucón tpo A se estm est dstrbucón bsándose en medcones repetds obtends del msmo proceso de medcón mentrs en el cso de tpo B se supone un dstrbucón con bse en eperenc o nformcón etern l metrólogo. En l práctc est clsfccón no tene consecuenc lgun en ls etps sguentes pr estmr l ncertdumbre combnd. 6.. Evlucón tpo A L ncertdumbre de un mgntud de entrd X obtend prtr de observcones repetds bjo condcones de repetbldd, se estm con bse en l dspersón de los resultdos ndvdules. S X se determn por n medcones ndependentes, resultndo en vlores q, q,..., q n, el mejor estmdo pr el vlor de X es l med de los resultdos ndvdules: q q j n j n (6. L dspersón de los resultdos de l medcón q, q,..., q n pr l mgntud de entrd X se epres por su desvcón estándr epermentl: n s( q ( q j q (6. n j L ncertdumbre estándr u( de X se obtene fnlmente mednte el cálculo de l desvcón estándr epermentl de l med: s( q u( s( q (6.3 n Así que result pr l ncertdumbre estándr de X : n u( ( qk q (6.4 n n k Pr un medcón que se relz por un método ben crcterzdo y bjo condcones controlds, es rzonble suponer que l dstrbucón (dspersón de los q j no cmb, o se se mntene práctcmente gul pr medcones relzds en dferentes dís, por dstntos metrólogos, etc. (esto es, l medcón está bjo control estdístco. En este cso est componente de l ncertdumbre puede ser más confblemente estmd con l desvcón estándr s p obtend de un solo epermento nteror, que con l desvcón estándr epermentl s(q obtend por un número n de medcones, cs sempre pequeño, según l ec. (6.. L ncertdumbre estándr de l med se estm en este cso por: Guí pr estmr l ncertdumbre de l medcón. Rev / CENAM / WSchmd y RLzos / Febrero / 7

9 s p u( (6.5 n Cbe menconr que n es el número de medcones repetds pr evlur q, según l ec. (6., mentrs s p se determnó por un número dstnto (y grnde de medcones. No se puede dr un recomendcón generl pr el número del de ls repetcones n, y que éste depende de ls condcones y egencs (met pr l ncertdumbre de cd medcón específc. Hy que consderr que: Aumentr el número de repetcones result en un reduccón de l ncertdumbre por repetbldd, l cul es proporconl n. Un número grnde de repetcones ument el tempo de medcón, que puede ser contrproducente, s ls condcones mbentles u otrs mgntudes de entrd no se mntenen constntes en este tempo. En pocos csos se recomend o se requere n myor de 0 (ver Secs. 0. y 0.. Por ejemplo cundo se crcterzn nstrumentos o ptrones, o se hcen medcones o clbrcones de lt ecttud. Pr determnr el mpcto que tene n en l ncertdumbre epndd puede estmrse su nfluenc en el número de grdos efectvos de lbertd, de ser plcble este concepto (ver Sec.0.. Otrs fuentes de ncertdumbre que se evlún con este método son l reproducbldd y ls obtends l hcer un regresón lnel. 6.. Evlucón tpo B En un evlucón tpo B de l ncertdumbre de un mgntud de entrd se us nformcón etern u obtend por eperenc. Ls fuentes de nformcón pueden ser: - Certfcdos de clbrcón. - Mnules del nstrumento de medcón, especfccones del nstrumento. - Norms o ltertur. - Vlores de medcones nterores. - Conocmento sobre ls crcterístcs o el comportmento del sstem de medcón Dstrbucones de probbldd Guí pr estmr l ncertdumbre de l medcón. Rev / CENAM / WSchmd y RLzos / Febrero / 7

10 L cuntfccón de un fuente de ncertdumbre ncluye l sgncón de un vlor y l determncón de l dstrbucón l cul se refere este vlor. Ls dstrbucones que precen más frecuentemente son: Dstrbucón norml Los resultdos de un medcón repetd fectd por mgntudes de nfluenc que vrín letormente, generlmente sguen en buen promcón un dstrbucón norml. En prtculr, l dstrbucón de l med de un sere de medcones repetds se prom un norml ndependentemente de l dstrbucón de ls lecturs ndvdules 3. Tmbén l ncertdumbre ndcd en certfcdos de clbrcón se refere generlmente un dstrbucón norml. b Dstrbucón rectngulr En un dstrbucón rectngulr cd vlor en un ntervlo ddo tene l msm probbldd, o se l funcón de densdd de probbldd es constnte en este ntervlo. Ejemplos típcos son l resolucón de un nstrumento dgtl o l nformcón técnc sobre tolerncs de un nstrumento. En generl, cundo eclusvmente hy conocmento de los límtes superor e nferor del ntervlo de vrbldd de l mgntud de entrd, lo más conservdor es suponer un dstrbucón rectngulr. c Dstrbucón trngulr: S demás del conocmento de los límtes superor e nferor hy evdenc de que l probbldd es más lt pr vlores en el centro del ntervlo y se reduce hcí los límtes, puede ser más decudo bsr l estmcón de l ncertdumbre en un dstrbucón trngulr. Por ejemplo, en un bño termostátco, que se utlz pr medr l densdd de un líqudo, l tempertur puede tener un lger derv. S se mde l tempertur ntes y después de l medcón de l densdd (resultndo en T y T, se pude suponer pr el momento de l medcón de l densdd un tempertur de (T T / con un dstrbucón trngulr entre T y T. d Otrs dstrbucones Pueden encontrrse tmbén dstrbucones como l U, en l cul los etremos del ntervlo presentn los vlores con probbldd mám, típcmente cundo hy comportmentos oscltoros subycentes. 3 Est frmcón está justfcd por el Teorem del Límte Centrl, seccón 0.. Guí pr estmr l ncertdumbre de l medcón. Rev / CENAM / WSchmd y RLzos / Febrero / 7

11 7. Determncón de ls ncertdumbres estándr Con el fn de combnr contrbucones de l ncertdumbre que tenen dstrbucones dferentes, es necesro representr los vlores de ls ncertdumbres orgnles como ncertdumbres estándr. Pr ello se determn l desvcón estándr de l dstrbucón sgnd cd fuente. Dstrbucón norml: L desvcón estándr epermentl de l med clculd prtr de los resultdos de un medcón repetd según l ec. (6.4 y represent l ncertdumbre estándr. Cundo se dspone de vlores de un ncertdumbre epndd U y l dstrbucón del mensurndo es o se supone norml, como los presentdos por ejemplo en certfcdos de clbrcón, se dvde U entre el fctor de cobertur k, obtendo y se drectmente o prtr de un nvel de confnz ddo (ver Sec.0.: U u( (7. k b Dstrbucón rectngulr: S l mgntud de entrd X tene un dstrbucón rectngulr con el límte superor y el límte nferor -, el mejor estmdo pr el vlor de X está ddo por: y l ncertdumbre estándr se clcul por (ver Aneo A : u( (7. (7.3 o por u( (7.4 3 donde / es el semncho del ntervlo con (7.5 Un plccón típc es l resolucón de un nstrumento dgtl. Tmbén l ncertdumbre relcond con el número fnto de cfrs sgnfctvs de dtos tomdos de l ltertur puede ser trtd con est dstrbucón (sempre y cundo no hy ndcos que l ncertdumbre en reldd es myor que l ncertdumbre relcond con l últm cfr sgnfctv. S se plc l resolucón o dtos tomdos de l ltertur, corresponde l últmo dígto sgnfctvo o l últm cfr sgnfctv respectvmente. Guí pr estmr l ncertdumbre de l medcón. Rev / CENAM / WSchmd y RLzos / Febrero 004 / 7

12 c Dstrbucón trngulr: Como en un dstrbucón rectngulr, pr un mgntud de entrd X que tene un dstrbucón trngulr con los límtes y -, el mejor estmdo pr el vlor de X está ddo por: L ncertdumbre estándr se clcul en este cso por: u( 4 6 con defndo por l ec. (7.5. (7.6 ( Combncón El resultdo de l combncón de ls contrbucones de tods ls fuentes es l ncertdumbre estándr combnd u c (y. L contrbucón u (y de cd fuente l ncertdumbre combnd depende de l ncertdumbre estándr u( de l prop fuente y del mpcto de l fuente sobre el mensurndo. Es posble encontrr que un pequeñ vrcón de lgun de ls mgntudes de nfluenc teng un mpcto mportnte en el mensurndo, y vcevers. Se determn u (y por el producto de u( y su coefcente de sensbldd c (o fctor de sensbldd: u ( y c u( ( Coefcente de sensbldd El coefcente de sensbldd descrbe qué tn sensble es el mensurndo con respecto vrcones de l mgntud de entrd correspondente (ver Aneo B. Pr su determncón esten vros métodos: Determncón prtr de un relcón funconl S el modelo mtemátco pr el mensurndo Y f(x, X,..., X N descrbe l nfluenc de l mgntud de entrd X sufcentemente ben mednte un relcón funconl, el coefcente de sensbldd c se clcul por l dervd prcl de f con respecto X : Guí pr estmr l ncertdumbre de l medcón. Rev / CENAM / WSchmd y RLzos / Febrero 004 / 7

13 c f ( X,..., X N X X... XN N (8. b Otros métodos de determncón: S l nfluenc de l mgntud de entrd X en el mensurndo Y no está representd por un relcón funconl, se determn el coefcente de sensbldd c por un estmcón del mpcto de un vrcón de X en Y según: Y c (8.3 X Esto es, mntenendo constntes ls demás mgntudes de entrd, se determn el cmbo de Y producdo por un cmbo en X por un medcón o prtr de l nformcón dsponble (como un gráfc o un tbl. 8.. Propgcón de l ncertdumbre pr mgntudes de entrd no correlconds En el cso de mgntudes de entrd no correlconds, l ncertdumbre combnd u c (y se clcul por l sum geométrc de ls contrbucones prtculres: N uc ( y u ( y (8.4 Consderndo (8. y (8. result fnlmente: u ( y c N [ c u( ] N f X u( (8.5 L regl presentd en ec. (8.5 es llmd ley de propgcón de ncertdumbre. Note que l últm epresón en est ecucón se plc cundo se dspone de l relcón funconl entre Y y {X }. L ley de propgcón de ncertdumbre se debe plcr eclusvmente pr combnr ncertdumbres estándr. De nngun mner debe ser utlzd pr combnr ntervlos de confnz Mgntudes de entrd relconds con más de un fuente de ncertdumbre 4 El concepto de ntervlo de confnz es trtdo en l seccón 0. Guí pr estmr l ncertdumbre de l medcón. Rev / CENAM / WSchmd y RLzos / Febrero / 7

14 En l myorí de los csos un mgntud de entrd X es fectd por vrs fuentes de ncertdumbre, que pueden ser por ejemplo l resolucón del nstrumento, l dspersón de dtos obtends por medcones repetds y l ncertdumbre de l clbrcón del nstrumento. En este cso hy dos mners equvlentes de clculr l ncertdumbre combnd. Como prmer lterntv, se clcul l ncertdumbre totl (combnd relcond con cd mgntud de entrd X por l sum geométrc de ls ncertdumbres ndvdules: M [ u j ( ] u( (8.6 j donde u j ( es l ncertdumbre estándr de l fuente de ncertdumbre número j de ls M fuentes relconds con l mgntud de entrd X. Después se ntroducen los vlores de u( en l ec. (8.5. b S uno está nteresdo en ver el efecto prtculr que tene cd un de ls fuentes en l ncertdumbre combnd u c (y, cd fuente puede entrr ndvdulmente en l ec. (8.5, susttuyendo el número de mgntudes de entrd N en l sum por el número totl de fuentes de ncertdumbre. Cbe menconr que el coefcente de sensbldd c es gul pr tods ls fuentes de ncertdumbre relconds con l msm mgntud de entrd X. c N M c [ u j ( ] u ( y (8.7 j Cundo el coefcente de sensbldd c es cero o cundo l funcón no dmte un representcón lnel decud (úncmente con l prmer dervd en el ntervlo ±u( es convenente y un ndspensble consderr térmnos de segundo orden (que dependen de ls segunds dervds (ver 5...Not de []. Por ejemplo, s y y el vlor de 0, como en un detector de nulos con curv de respuest cudrátc, l contrbucón de prmer orden es nul. Es posble mejorr l promcón nteror y relzr el cálculo rguroso pr combnr ls contrbucones, el cul, sn embrgo, puede ser más o menos lboroso dependendo del modelo mtemátco [7] Cálculo con ncertdumbres reltvs S el modelo mtemátco se compone de productos de ls mgntudes de entrd X : Guí pr estmr l ncertdumbre de l medcón. Rev / CENAM / WSchmd y RLzos / Febrero / 7

15 N ( X f ( X,..., X const (8.8 N p donde const es un constnte y los eponentes p son constntes reles (postvs o negtvs, el cálculo (numérco de l ncertdumbre combnd se fclt utlzndo ncertdumbres reltvs. Los coefcentes de sensbldd en este cso son p, y l ley de propgcón de ncertdumbre (8.5 pr clculr l ncertdumbre combnd reltv u c,rel (y se smplfc: N N u c ( y u( uc, rel ( y [ p urel ( ] p (8.9 y Un cso prtculr muy común es que todos los eponentes p son o -, o se Y es un producto o cocente de ls mgntudes de entrd, puesto que en este cso ls coefcentes de sensbldd son y l ncertdumbre combnd reltv u c,rel (y es l sum geométrc de ls ncertdumbres reltvs de ls mgntudes de entrd: N c, rel y [ urel ( ] u ( ( Propgcón de l ncertdumbre pr mgntudes de entrd correlconds S lguns de ls mgntudes de entrd están correlconds, debe consderrse ls covrnzs entre ls mgntudes correlconds y l ec. (8.5 se modfc u ( y c N f u( X, j j N f X f X j u( u( j r( X, X j (8. donde r(x, X j es el fctor de correlcón entre ls mgntudes de entrd X y X j. 9. Correlcón A menudo los resultdos de medcones de dos mgntudes de entrd están lgdos, y se porque este un tercer mgntud que nfluye sobre mbs, porque se us el msmo nstrumento pr medr o el msmo ptrón pr clbrr [3], o por lgun otr rzón. Por ejemplo, en l clbrcón grvmétrc de meddores de volumen son mgntudes de entrd ls temperturs del gu y del mbente. Ests temperturs están relconds un cundo sus vlores puedn ser dferentes. L tempertur del gu será más lt cundo l tempertur mbente lo se y bjrá cundo lo hg l tempertur mbente, es decr este un correlcón entre ests mgntudes. Guí pr estmr l ncertdumbre de l medcón. Rev / CENAM / WSchmd y RLzos / Febrero / 7

16 Desde el punto de vst estdístco, dos vrbles son ndependentes cundo l probbldd socd un de ells no depende de l otr, esto es, s q y w son dos vrbles letors ndependentes, l probbldd conjunt se epres como el producto de ls probblddes de ls vrbles respectvs p ( q w p( q p( w, (9. Frecuentemente, se encuentrn mgntudes de entrd que no son ndependentes. L ndependenc lnel de dos vrbles puede estmrse estdístcmente con el coefcente de correlcón r ( q w u( q, w ( q u( w, (9. u En el denomndor precen ls ncertdumbres estándr de ls vrbles ludds y en el numerdor l covrnz de ls msms. L covrnz puede ser estmd (ver ejemplo en Sec. H. de []: por medo de ls relcones funconles entre mbs vrbles y l tercer que nfluye sobre ells (ec. F. de [], b prtr de un conjunto de n vlores de q y w según: u n, ( qk q ( wk w (9.3 n ( q w ( n k Un vlor de r 0 ndc ndependenc de q y w. Los vlores de r o ndcn un correlcón lnel totl. 0. Incertdumbre epndd L form de epresr l ncertdumbre como prte de los resultdos de l medcón depende de l convenenc del usuro. A veces se comunc smplemente como l ncertdumbre estándr combnd, otrs ocsones como un certo número de veces tl ncertdumbre, lgunos csos requeren se eprese en térmnos de un nvel de confnz ddo, etc. En culquer cso, es ndspensble comuncr sn mbgüeddes l mner en que l ncertdumbre está epresd. 0.. Fctor de cobertur y nvel de confnz L ncertdumbre estándr u c tene un vlor gul l desvcón estándr de l funcón de dstrbucón del mensurndo. El ntervlo centrdo en el mejor estmdo del mensurndo Guí pr estmr l ncertdumbre de l medcón. Rev / CENAM / WSchmd y RLzos / Febrero / 7

17 contene el vlor verddero con un probbldd p de 68% promdmente, bjo l suposcón de que los posbles vlores del mensurndo sguen un dstrbucón norml. Generlmente se dese un probbldd myor de 68%, lo que se obtene epndendo este ntervlo por un fctor k, llmdo fctor de cobertur. El resultdo se llm ncertdumbre epndd U U k (0. u c L ncertdumbre epndd U ndc entonces un ntervlo, llmdo ntervlo de confnz, que represent un frccón p de los vlores que puede probblemente tomr el mensurndo. El vlor de p es llmdo el nvel de confnz y puede ser elegdo convenenc. En el medo ndustrl, menudo se elge el nvel de confnz de mner tl que correspond un fctor de cobertur como un número entero de desvcones estándr en un dstrbucón norml. Por ejemplo, k corresponde p 68,7 %, k corresponde p 95,45% y k 3 p 99,73 %. L relcón entre el fctor de cobertur k y el nvel de confnz p depende de l dstrbucón de probbldd del mensurndo. Por ejemplo, en un dstrbucón rectngulr p57,74 % s k, y pr logr un nvel de confnz de 95,45 % se requere multplcr por k,65. Cundo es necesr un estmcón más rguros de l ncertdumbre epndd se consdern ls Secs. 0. hst 0.4; cundo no son necesrs estmcones muy rguross de l ncertdumbre, como en medcones de bj ecttud, entonces es sufcente segur con l Sec Dstrbucón t de Student Frecuentemente, los vlores del mensurndo sguen un dstrbucón norml. Sn embrgo, el mejor estmdo del mensurndo, l med (obtend por muestreos de n medcones repetds dvdd entre su desvcón estándr, sgue un dstrbucón llmd t de Student [5], l cul reflej ls lmtcones de l nformcón dsponble debds l número fnto de medcones. Est dstrbucón concde con l dstrbucón norml en el límte cundo n tende nfnto, pero dfere consderblemente de ell cundo n es pequeño. L dstrbucón t de Student es crcterzd por un prámetro ν llmdo número de grdos de lbertd. Por lo nteror, el ntervlo correspondente l nvel de confnz p, ddo ntes por l ec. 0., se clcul hor por ( c U t p ν u (0. El fctor t p (v ndc los límtes del ntervlo correspondente l nvel de confnz p de l dstrbucón y su vlor sempre es myor o gul que el fctor k (tomdo de l dstrbucón norml. Sus vlores se encuentrn en tbls. Guí pr estmr l ncertdumbre de l medcón. Rev / CENAM / WSchmd y RLzos / Febrero / 7

18 Cundo se combnn ls fuentes de ncertdumbre con sus respectvs dstrbucones pr obtener l ncertdumbre combnd u c del mensurndo, el Teorem del Límte Centrl ([4], Sec. G.3 de [] permte promr l dstrbucón resultnte por un dstrbucón norml. L promcón será mejor mentrs más grnde se el número de fuentes de ncertdumbre y sus contrbucones sen smlres, ndependentemente de l form prtculr de sus dstrbucones. Nuevmente, l dsponbldd lmtd de nformcón hce necesro el uso de l dstrbucón t de Student pr determnr l ncertdumbre epndd de mner rguros (con l suposcón de que los vlores del mensurndo obedecen un dstrbucón norml. El número efectvo de grdos de lbertd v ef pr est stucón se dscute en l Sec Cundo sólo es relevnte l contrbucón de un fuente cuy dstrbucón no es norml, lo más convenente es estmr l ncertdumbre epndd drectmente de los prámetros de l dstrbucón. Por ejemplo, cundo ls lecturs obtends con un nstrumento de bj ecttud son déntcs debdo l resolucón del nstrumento y ls otrs fuentes de ncertdumbre son nsgnfcntes, es plusble suponer que el mensurndo sgue un dstrbucón rectngulr cuyos límtes están determndos por el vlor de l escl del nstrumento. Entonces puede estmrse drectmente el ncho del ntervlo que contene l frccón p de los vlores que pueden trburse rzonblemente l mensurndo Grdos de lbertd De cert mner el número ν de grdos de lbertd socdo un dstrbucón de un mgntud (X o Y puede consderrse un medd de ncertdumbre de l ncertdumbre de es mgntud. Entre myor se ν l estmcón de l ncertdumbre será más confble. El número efectvo de grdos de lbertd ν ef del mensurndo consder el número de grdos de lbertd ν de cd fuente de ncertdumbre. En l estmcón de ncertdumbres por el método tpo A, ν depende drectmente del número de dtos consderdos y dsmnuye conforme el número de prámetros estmdos prtr de los msmos dtos. L repetbldd de un medcón, estmd por l desvcón estándr epermentl de n lecturs tene n- grdos de lbertd. Un regresón lnel de M puntos mednte un ecucón de m prámetros tene M-m grdos de lbertd. S l ncertdumbre se estm por un método tpo B, l determncón del número de grdos de lbertd mplc el crtero del metrólogo soportdo por su eperenc, un cundo se subjetv, pr determnr l ncertdumbre reltv de l prop ncertdumbre, y clculr el número de grdos de lbertd pr es fuente específc con l ecucón (ec. G.3 de []: Guí pr estmr l ncertdumbre de l medcón. Rev / CENAM / WSchmd y RLzos / Febrero / 7

19 u( u( ν (0.3 u( u( L cntdd u( es un estmcón de l ncertdumbre de l ncertdumbre u( de l fuente cuntfcd por el metrólogo. Es recomendble promr el resultdo del cálculo con l ecucón nteror l entero cercno más bjo. Por ejemplo, s u( es cero, es decr, el metrólogo está completmente seguro del vlor de u(, el número de grdos de lbertd socdo es fuente es nfnto. S el metrólogo consder que u( tene un ncertdumbre del 50%, el número de grdos de lbertd es de sólo, y s l consder del 0% el número de grdos de lbertd scende. Se observ tmbén que un vlor myor de u(, l ser un estmcón más conservdor, puede trer consgo un menor vlor de u( y por consguente un myor número de grdos de lbertd. Sguendo [], el número efectvo de grdos de lbertd se clcul según l ecucón de Welch-Stterthwte, un cundo estn observcones sobre su vldez merecedors de tencón [6]. Est ecucón puede escrbrse en térmnos de l relcón entre l contrbucón de l fuente y l ncertdumbre combnd como: ν ef N u u c ( y ( y ν 4 (0.4 S el vlor de ν ef resultnte no es entero, generlmente se consder ν ef como el entero menor más prómo. Un nálss de l ecucón nteror muestr el domno de ls fuentes con pocos grdos de lbertd en el cálculo de ν ef, sobre todo de quells cuys contrbucones son grndes l ncertdumbre combnd. De hecho un fuente cuy contrbucón es lt y con pocos grdos de lbertd, es determnnte del vlor de ν ef. Por ejemplo, s l repetbldd contrbuye con el 80% de l ncertdumbre combnd, se estm con 3 grdos de lbertd, y cd un de ls otrs fuentes tene un número nfnto de grdos de lbertd, el número efectvo de grdos de lbertd será promdmente de 7. S contrbuyer con el 60%, se obtendrín 3 grdos de lbertd Incertdumbre epndd Resumendo, s l funcón de dstrbucón de probbldd del mensurndo y es norml, de mner rguros l ncertdumbre epndd se clcul de cuerdo l ec. (0. como Guí pr estmr l ncertdumbre de l medcón. Rev / CENAM / WSchmd y RLzos / Febrero / 7

20 U u c t p ( ν ef donde t p (v ef es el fctor dervdo de l dstrbucón t de Student un nvel de confnz p y ν ef grdos de lbertd y obtendo de tbls []. Comprndo l ec. (0. con l ec. (0. es evdente que el fctor de cobertur k de l ec. (0. corresponde l vlor de t p (v ef. Frecuentemente, cundo ν ef es sufcentemente grnde, no se encuentr dferenc sgnfctv en los resultdos numércos obtendos con l ec. (0. pr un p ddo de quéllos obtendos con l ec. (0. tomndo k de l dstrbucón norml pr el msmo p. Un buen práctc es relzr el cálculo rguroso con l ec. (0. y entonces decdr sobre l convenenc de usr smplemente l ec. ( Epresón de l ncertdumbre En el CENAM, l polítc [8] es epresr los resultdos de sus medcones con un nvel de confnz no menor l 95%, en vst de l costumbre en lbortoros smlres. Es dfícl segurr un vlor precso de l ncertdumbre debdo ls múltples promcones relzds durnte su estmcón. Por ello, generlmente los vlores de t p (v ef pr p 95% se promn por los que corresponden t p (v ef pr p 95,45% con el fn de obtener un vlor de k,00 en el límte de un dstrbucón norml. Los vlores de t p (v ef pr p95,45% se muestrn en l sguente tbl 5 : ν t p (v ef 3,97 4,53 3,3,87,65,5,43,37,3,8,3,05,05,000 L epresón de l ncertdumbre epndd U ncluye su ndccón como un ntervlo centrdo en el mejor estmdo y del mensurndo, l frmcón de que p es del 95% (o el vlor elegdo promdmente y el número efectvo de grdos de lbertd, cundo se requerdo. Un mner de epresr el resultdo de l medcón es Y y ± U (0.5 El número de cfrs sgnfctvs en l epresón de l ncertdumbre es generlmente uno, o dos cundo l ecttud es lt (s l prmer cfr sgnfctv es uno o dos, cbe l posbldd de usr un dígto más pr evtr l pérdd de nformcón útl. Además debe segurrse que el número de cfrs sgnfctvs del vlor del mensurndo se consstente con el de l ncertdumbre. 5 Vlores tomdos de [] Guí pr estmr l ncertdumbre de l medcón. Rev / CENAM / WSchmd y RLzos / Febrero / 7

21 . Dgrm pr l estmcón de ncertdumbres de medcón Defnr el mensurndo Y Estblecer el modelo físco Identfcr ls mgntudes de entrd X Estblecer el modelo mtemátco 3,4 Identfcr ls fuentes de ncertdumbre 5 Cuntfcr l vrbldd de cd fuente y socrle un dstrbucón 6 Determnr l ncertdumbre estándr u( 7 Estmr correlcones 9 Clculr l ncertdumbre estándr combnd u c 8 Elegr el nvel de confnz p 0., 0.5 SÍ Cuntfcr el número de grdos NO Estmr los grdos de lbertd ν 0.3 Clculr el número efectvo de grdos de lbertd ν ef Determnr t p (ν ef Determnr el fctor de cobertur k Clculr l ncertdumbre epndd U 0.4 Los numerles en cd bloque ndcn l seccón relevnte de este documento. FIN Guí pr estmr l ncertdumbre de l medcón. Rev / CENAM / WSchmd y RLzos / Febrero 004 / 7

22 . Referencs [] NMX-CH-40-IMNC-00 Guí pr l Epresón de l Incertdumbre de ls Medcones equvlente Gude to the Epresson of Uncertnty n Mesurement, BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAP, IUPAC, OIML (995. [] Interntonl Vocbulry of Fundmentl nd Generl Terms n Metrology, BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAP, IUPAC, OIML (993. [3] d Svero, E. et l, XIV IMEKO World Congress, Tmpere, Fn., Vol V, (Jun 997 [4] Ppouls, A., Probblty, Rndom Vrbles nd Stochstc Processes, Mc Grw Hll Co. (965 [5] Hoel, P. G., Introducton to Mthemtcl Sttstcs, J. Wley & Sons (97. [6] Eberhrdt, Memors de Workshop on Sttstcs n Intercomprsons, Londres, (999. [7] Cstelzo, I, Comunccón personl. [8] Polítc pr l Declrcón de Incertdumbres en el CENAM. No. 00-AC-P.03 (octubre de 999. [9] Schmd W. A., Lzos Mrtínez R. J. y Trujllo Juárez S. Incertdumbre en l clbrcón de vscosímetros cplres, CENAM, (julo de 000. Guí pr estmr l ncertdumbre de l medcón. Rev / CENAM / WSchmd y RLzos / Febrero 004 / 7

23 Guí pr estmr l ncertdumbre de l medcón. Rev / CENAM / WSchmd y RLzos / Febrero / 7 Aneo A: Cálculo de l desvcón estándr pr un dstrbucón rectngulr Como ejemplo se present el cálculo de l desvcón estándr de un dstrbucón rectngulr. Pr obtener l desvcón estándr de otr dstrbucón, hy que plcr el msmo esquem de cálculo con es dstrbucón. Según l ec. (6., l desvcón estándr (epermentl de un sere de dtos,,..., n, se clcul por: s n k k n ( El cudrdo de l desvcón estándr s es llmdo vrnz. S el número de dtos n es muy grnde y s los dtos están dstrbudos de mner contnu, l sum puede ser susttud por un ntegrl, y se obtene l vrnz como: d p s ( ( donde p( es l funcón de densdd de probbldd de X y es l med de los dtos d p ( Pr un dstrbucón rectngulr cd vlor de dentro del ntervlo [ -, ] tene l msm probbldd, o se l de densdd de probbldd p( es constnte: > < y pr pr p 0 ( donde - - L med result: ( ( ( ( ( d L vrnz s se clcul: [ ] ( ( 3 3 ( ( d s L desvcón estándr fnlmente result: s

24 Aneo B: Coefcente de sensbldd El coefcente de sensbldd relcon el efecto que tene l ncertdumbre de un mgntud de entrd X en el mensurndo Y. De es mner determn que tn grnde es l vrbldd del mensurndo como resultdo de l vrbldd (o ncertdumbre de est mgntud de entrd. Un ejemplo sencllo puede yudr lustrr lo nteror: L dltcón o contrccón de un bloque ptrón debd cmbos de su tempertur se descrbe promdmente por: l( T l0 l( T l0 α l0 ( T T0 donde l(t es l longtud del bloque ptrón l tempertur ctul T, l 0 su longtud l tempertur de referenc T 0 y α su coefcente de dltcón térmc. Un vrcón de l tempertur T dentro de un ntervlo ± T lrededor de T 0 cusrá vrcones de l longtud del bloque ptrón dentro del ntervlo ±α l 0 T lrededor de l 0, como lo muestr l sguente gráfc. l(t l 0 l l 0 l 0 - l T l c T l T l T T 0 - T T 0 T 0 T T Como se puede ver, el ntervlo de vrbldd de l tempertur se trnsfere l ntervlo de l vrbldd de l longtud mednte l pendente de l(t, quere decr que l está ddo por el producto de l pendente de l(t con T 6 : l l( T l T T ct T donde c T α l0 T T L pendente de l(t se obtene clculndo l dervd (prcl de l(t con respecto T y es llmd coefcente de sensbldd c T. 6 En el cso de funcones no lneles en ntervlos grndes puede ser necesro gregr otros térmnos. Guí pr estmr l ncertdumbre de l medcón. Rev / CENAM / WSchmd y RLzos / Febrero / 7

25 Este concepto sgue sendo váldo s el ntervlo de vrbldd T es susttudo por l ncertdumbre estándr de l tempertur u(t, y se obtene pr l contrbucón de l ncertdumbre de l tempertur l ncertdumbre combnd: u ( l c u( T T T Generlmente el mensurndo depende de vrs mgntudes de entrd. En el ejemplo presentdo, l longtud l del bloque ptrón puede ser fectd por ejemplo por l fuerz F plcd por los plpdores del nstrumento de medcón, o por l presón tmosférc p. l l( T, F, p,... El coefcente de sensbldd c relcondo con un mgntud de entrd determnd X descrbe el mpcto que tene un vrcón de X en el mensurndo Y, mentrs tods ls demás mgntudes de entrd se mntenen constntes. En un lenguje mtemátco eso sgnfc que se obtene c determnndo l dervd prcl de Y con respecto X. Regresndo l ejemplo, puesto que l nfluenc de l presón tmosférc p es mínm, l longtud l del bloque ptrón práctcmente no cmb debdo vrcones p de l presón tmosférc, por lo cul l pendente l / p, y con esto el coefcente de sensbldd c p son cs cero. c p l( T, F, p,... p 0 Ls vrcones de l presón tmosférc, unque sen grndes, no cusrán un efecto notble en l longtud del bloque ptrón y su contrbucón l ncertdumbre combnd es práctcmente cero: u ( l c u( p 0 u( p 0 p p Guí pr estmr l ncertdumbre de l medcón. Rev / CENAM / WSchmd y RLzos / Febrero / 7

26 Aneo C: Ejemplo de formto pr gur l estmcón de l ncertdumbre Nº Mgntud de entrd X Fuente de ncertdumbre Vlor estmdo Fuente de nformcón Incertdumbre orgnl Tpo, Dstrbucón Incertdumbre estndr u( Coefcente de sensbldd c Contrbucón u (y Grdos de lbertd v X u( c u (y Fuente nfo vlor nfo u (... v m Fuente m nfo vlor nfo u m (... v m X u( c u (y Fuente nfo vlor nfo u (... v N X N N u( N c N u N (y N Fuente N nfo vlor nfo u ( N... v Y y u c (y v ef U Guí pr estmr l ncertdumbre de l medcón. Rev / CENAM / WSchmd y RLzos / Febrero / 7

27 Ejemplo: Clbrcón de un vscosímetro cplr con un mterl de referenc [9]: Se mde l constnte de prto C del vscosímetro utlzndo un líqudo de referenc con l vscosdd v MR : ν C MR ν MR t R U R T Nº Mgntud de entrd X Fuente de ncertdumbre Vlor estmdo Fuente de nformcón Incertdumbre orgnl Tpo, Dstrbucón Incertdumbre estndr u( Coefcente de sensbldd c Contrbucón u (y Grdos de lbertd ν Mterl de Referenc 75,48 v MR mm /s Certfcdo de clbrcón 0,63 mm /s B norml, k 0,35 mm /s, s mm /s 00 Tempo de flujo t R 4,55 s ,0 s 9, mm /s mm /s --- Repetbldd --- Medcones repetds 0,045 s A norml, k 0,045 s mm /s 4 b Resolucón cronómetro --- Escl 0,0 s B, rectngulr 0,009 s mm /s 50 c Clbrcón cronómetro --- Certfcdo de clbrcón 0, s B norml, k 0, s mm /s 00 3 Tempertur T 0 K ,0307 K 4, 0-3 mm /K s mm /s Resolucón termómetro --- Escl 0,005 K B, rectngulr 0,004 K mm /s 50 3b Clbrcón termómetro --- Certfcdo de clbrcón 0,0 K B norml, k 0,0 K mm /s 3c Estbldd tempertur --- Pruebs 0, K B, rectngulr 0,09 K mm /s 9 Constnte del vscosmetro C 46, mm /s 30 mm /s Gu pr estmr l ncertdumbre de l medcón / CENAM / Wschmd y Rlzos / Abrl / 7