ESTADÍSTICA II TEMA IV: ESTIMACION

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1 ESTADÍSTICA II TEMA IV: ESTIMACION IV.. Itroducció. IV.. Estimació putual. Métodos y propiedades. IV... Cocepto y defiició. IV... Propiedades de los estimadores putuales. IV..3. Métodos de estimació putual. IV..3.. Máima verosimilitud IV.3. Estimació por itervalos de cofiaza. IV.3.. Itroducció. IV.3.. Métodos de costrucció de itervalos. IV.3.3. Itervalos de cofiaza e poblacioes ormales. IV.3.4. Itervalo de cofiaza para las proporcioes. IV.3.5. Tamaño muestral para ua precisió dada. IV.4.- Problemas.

2 Estimació IV.. Itroducció. Ates de comezar co los coteidos específicos de la estimació es coveiete recordar cuál es la situació habitual co la que os ecotramos e u proceso de iferecia. Nuestro iterés se cetra e el estudio de ua característica determiada de ua població. Dicha característica puede deotarse por ua variable aleatoria X defiida sobre la població y co fució de desidad f(). Si coocemos f() tedremos caracterizada a la variable aleatoria X y el problema queda resuelto. Si embargo, la mayoría de las veces o ocurre eso. E pricipio, es habitual dispoer solo de cierta iformació a priori sobre el comportamieto de la variable aleatoria X (dicha iformació, ormalmete proviee de las coclusioes de u estudio previo de esa variable realizado sobre la misma població u otra diferete). La fució f() puede ser totalmete descoocida o bie coocida solamete e su forma, es decir, sabemos qué tipo de distribució es pero os falta especificarla porque descoocemos el valor de uo o más parámetros de la misma. Por ejemplo podemos coocer que la variable aleatoria X sólo puede tomar dos valores, éito o fracaso, y que además la probabilidad de éito es muy baja. Segú esta iformació podemos supoer que X se distribuye como ua Poisso. No obstate, os falta iformació para poder defiir esa distribució (fució de desidad de la variable aleatoria X) puesto que descoocemos el valor de su media.

3 ESTADÍSTICA II El objetivo de la iferecia estadística es resolver este problema. Para ello se ha de seguir los siguietes pasos:. Obteció de la muestra.. Cálculo del estadístico que os iterese (utilizado la iformació muestral). 3. Utilizació del estadístico calculado e el apartado previo como estimador del parámetro poblacioal que descoocemos. De lo aterior se deduce que u estimador o es más que ua fució de los datos muestrales que se utiliza como valor de u parámetro poblacioal. O dicho de otra maera, u estimador o es más que u estadístico asociado a u valor poblacioal. Por ejemplo, podríamos decir que la media muestral es el estimador de la media poblacioal. El estadístico media muestral se calcula a través de la siguiete fució i= Cuado se establece ua relació etre este estadístico y u parámetro, e este caso cocreto la media poblacioal, el primero se covierte e estimador del segudo. i El iterrogate que surge a cotiuació es porqué la media muestral es u estimador de la media poblacioal, o más cocretamete, qué propiedades tiee el estadístico media muestral para ser cosiderado u bue estimador de la media poblacioal?. E el presete tema os cetraremos e el estudio de los siguietes aspectos: A. Tipos de estimació. Distiguiedo etre estimació 3

4 Estimació putual, procedimieto mediate el cual se estima el valor del parámetro poblacioal basádose e los datos muestrales mediate el uso de u estádistico, y estimació por itervalos, e el cual para realizar la estimació del parámetro poblacioal se determia u itervalo e el que de forma probable se ecuetra el valor del parámetro. Dicho itervalo recibirá el ombre de itervalo de cofiaza. B. Propiedades que debemos eigir a u estimador putual. C. Métodos dispoibles para la costrucció de estimadores putuales. D. Métodos dispoibles para la estimació de itervalos de cofiaza de u parámetro poblacioal. E. Determiació del tamaño de la muestra para que la estimació presete ua determiada precisió. IV.. Estimació putual. Métodos y propiedades. IV... Cocepto y defiició. Sea X ua variable aleatoria y supogamos que la fució de desidad de X, f(), depede de u cierto úmero de parámetros θ=(θ,..., θ k ) dode k es u úmero fiito. El problema de la estimació putual es ecotrar u estadístico a partir de ua muestra de la variable aleatoria X que estime los valores de θ. A este estadístico lo hemos llamado estimador. Lógicamete, eiste muchos posibles estimadores del parámetro θ por lo que es ecesario dar alguas propiedades deseables e los mismos que os ayude a decidir la elecció del estimador adecuado a cada caso cocreto. 4

5 ESTADÍSTICA II VII.. Propiedades de iterés e los estimadores putuales. Para que u estadístico muestral sea u bue estimador de u parámetro poblacioal debe ser isesgado, ivariate, cosistete suficiete, de variaza míima y eficiete. E todo caso, todas estas propiedades sería deseables e u estimador. A cotiuació se desarrolla alguas de estas características. IV... Isesgadez. Sea θˆ el estimador putual del parámetro θ. Diremos que θˆ es u estimador isesgado de θ si se verifica que E[ θ ˆ ] =θ El sigificado de esta propiedad es el siguiete: si de ua característica de ua població se obtuviese varias muestras de tamaño, podríamos obteer u estimador co cada ua de ellas y la media de los valores de esos estimadores tedería a coicidir co el valor del parámetro. E el caso límite, es decir, cuado obtuviésemos todas las muestras posibles de tamaño de la població, el valor de la media de todos los estimadores coicidiría eactamete co el valor del parámetro. Para ver u ejemplo, supogamos que queremos estimar el valor de la media de ua variable aleatoria X. Dode X se correspode co ua característica determiada de ua població de tamaño N y queremos demostrar que la media muestral es u estimador isesgado de la media poblacioal. Para ello debemos seleccioar ua muestra de tamaño, (X, X,..., X ), represetativa de la població e estudio. La media muestral se calcula mediate la 5

6 Estimació epresió ya coocida Llamaremos: = i= θ: parámetro poblacioal que queremos estimar. E este ejemplo θ = m = media de θˆ: estimador del parámetro poblacioal que se calcula a partir de los datos muestrales. i E este caso cocreto, el estadístico media muestral es el estimador del parámetro media poblacioal, es decir, θˆ= Para que el estimador cumpla la propiedad de isesgadez debe suceder que la esperaza del estadístico muestral (o lo que es lo mismo, la esperaza del estimador) coicida co el valor del parámetro poblacioal. E [ θ ˆ ] = θ Esta codició aplicada a uestro ejemplo se covierte e E [ ] = µ Si desarrollamos esa epresió E [ ] = E [ i= i ] = E[ i] = i= i= E[ i ] = µ = µ Co esto hemos demostrado que realmete la media muestral es u estimador isesgado de la media poblacioal. E alguos casos podemos ecotraros co estimadores que o cumple esta propiedad, so los deomiados estimadores sesgados. Diremos que θˆ es u estimador sesgado de θ si se verifica que 6

7 E[ θˆ ] = θ+b( θ ) ESTADÍSTICA II dode b(θ ) es el deomiado sesgo, ecetricidad o error sistemático. IV... Cosistecia. Se dice que u estimador es cosistete cuado al icremetarse el tamaño de la muestra, el valor del estimador tiede al valor del parámetro. Es decir, θˆ(x, X,..., X ), (esta omeclatura idica que el estimador se obtiee co los datos de la muestra X, X,..., X ) es u estimador cosistete de θ si se cumple Limθ ˆ(,,..., )= θ Es decir, u estimador es cosistete cuado al icremetar el tamaño de la muestra el estimador coicide co el parámetro. Por ejemplo, la media muestral es u estimador cosistete de la media poblacioal. La demostració es imediata. La media poblacioal es la suma de todos los valores de X i dividido por el tamaño de la població. Por otra parte, la media muestral es lo mismo pero e vez de sumar todos los valores de la població, solo sumamos los elemetos de la muestra. Si la muestra es muy grade sigifica que el valor de tiede a ser igual a N, tamaño de la població. Co lo cual las dos epresioes, la de la media de la muestra y la de la media d la població, so iguales. Por tato, la media muestral es u estimador cosiste de la media poblacioal. IV...3. Variaza míima. Sea θˆ θˆ,..,θˆ k todos los posibles estimadores del parámetro θ tal que todos ellos tiee la misma media. Es decir, 7

8 Estimació µ = µ =...= µ θˆ θˆ θ ˆ k Llamaremos estimador de variaza míima a aquel estimador que tega meor variaza. Es evidete que esta es ua propiedad deseable sobre todo el estimador es isesgado. La razó de ello se fudameta e el propio cocepto de variaza, sobre la cual podemos justificar que al teer meos variaza, la distribució del estimador es meos dispersa, co lo cual el error que cometemos e el proceso de iferecia es más pequeño Eficiecia. Se dice que u estimador, θˆ, es más eficiete que otro, θˆ, si se verifica que la variaza del primero es meor o igual que la del segudo para cualquier tamaño muestral. Es decir, θˆ es más eficiete que θˆ si y sólo si σ θˆ σ θˆ Para cualquier valor de. Por último se dice que u estimador posee propiedades asitóticas cuado las propiedades mecioadas ateriormete se cumple si el tamaño de la muestra tiede a ifiito. Así se puede hablar de estimadores asitóticamete isesgados, asitóticamete eficietes, etc... IV..3. Métodos de estimació putual. Ua vez visto el problema que se platea e cada proceso de estimació, e el setido de las propiedades que u estimador debe reuir para que se le pueda cosiderar como 8

9 ESTADÍSTICA II bueo, queda por resolver la cuestió de cómo proceder a la determiació de los estimadores. Los métodos más coocidos y usados de estimació so el método de los mometos, el método de los míimos cuadrados y el método de la máima verosimilitud. Detro de este apartado sólo desarrollaremos este último, dejado el de míimos cuadrados para los dos últimos temas de la asigatura. IV..3.. El método de la máima verosimilitud. Ates de empezar co la eplicació formal de este método es coveiete que recordemos el cocepto de fució de desidad o cuatía cojuta. Sea X e Y dos variables aleatorias. Diremos que f(y) es la fució de desidad a de cuatía cojuta si os da la probabilidad de que suceda cada posible par de modalidades (y). E el caso e que el alumo o recuerde este cocepto le remitimos al tema de variables aleatorias bidimesioales de la asigatura Estadística I. Sea X ua variable aleatoria que se distribuye co ua fució de desidad f(; θ), siedo θ uo de los parámetros de los que depede la fució de desidad. Sea θ descoocido. Sea X, X,..., X ua muestra aleatoria simple dode X represeta al primer elemeto de la muestra, X al segudo y así sucesivamete. Obsérvese que hasta ahora hablamos de ua muestra geérica de tamaño y o de ua realizació muestral. Ello implica que dado que X es cualquier elemeto de la població su fució de desidad, f(x ), coicidirá co la fució de desidad de la variable aleatoria, f(x). 9

10 Estimació Llamaremos distribució cojuta de la muestra y la deotaremos por f(x, X,..., X ) a aquella fució que os da la probabilidad de que se obtega ua muestra determiada. El método de máima verosimilitud estima el valor del parámetro θ, es decir, θˆ, como aquel valor que hace que la probabilidad de haber obteido ua determiada realizació muestral sea la máima posible. Para ua muestra obteida de tamaño, (,,..., ) se defie la fució de verosimilitud, y que se deota por L(,,..., ; θ) a: L(,,..., ; θ )= f(,,..., ; θ ) El método de máima verosimilitud cosiste e elegir como estimador del valor del parámetro poblacioal θ a aquel que hace máima la fució de verosimilitud. Ua de las vetajas de los métodos de estimació tales como el de máima verosimilitud es que las propiedades de los estimadores obteidos mediate los mismos se puede demostrar de forma geérica, cumpliédose por tato par cada caso particular. Se puede demostrar que los estimadores obteidos mediate el método de máima verosimilitud cumple las siguietes propiedades.. So asitóticamete isesgados. Es decir, al icremetar el tamaño muestral, la media del estimador tiede a ser igual al valor del parámetro.. So asítóticamete ormales. Es decir, la distribució del estimador tiede a teer u comportamieto de 0

11 ESTADÍSTICA II distribució Normal. 3. So asitóticamete de variaza míima. Es decir, tiede a ser eficiete. Deducció de alguos estimadores máimo verosímiles e el muestreo aleatorio simple para poblacioes ormales. A.- Estimació máimo verosímil de la media e poblacioes ormales. Sea X ua variable aleatoria ormal (m, s ) e dode descoocemos el valor de la media y de la variaza. Sea (X, X,..., X ) ua muestra aleatoria simple. Su fució de verosimilitud se deota L(X, X,..., X ; m,s ). Como e la muestra aleatoria simple X, X,..., X so idepedietes, la fució de verosimilitud cojuta se epresa como el producto de las compoetes margiales. = f( X ; µ, σ )* f( X ; µσ, )*...* f( X ; µ, σ ) L(X, X,..., X ; m,s )= Por seguir la variable aleatoria X ua distribució ormal de media m y variaza s su fució de desidad es la que aparece a cotiuació Etoces -µ - f() = e σ πσ

12 Estimació e ) - ( ) = ( = e *...* e )=, ; X f( )*...*, ; X f( )*, ; X f( i i= - ) - ( - ) - ( - µ πσ πσ πσ µσ µσ µσ σ σ µ σ µ E resume e ) - ( ) = ( L i i= - µ πσ σ Si aplicamos logaritmos eperiaos a L os queda ) - ( ) - ( ) - ( - )+ ( L = i i= i i= i i= - - = - = - - = e µ σ σ µ σ σ µ σ πσ π π l l l l l l l

13 ESTADÍSTICA II epresió esta última más fácil para derivar y, que, dadas las propiedades de la fució logaritmo, sabemos que alcaza los máimos y los míimos e los mismos putos que la fució L. Recordemos que para calcular el máimo de ua fució debemos derivar dicha fució e igualarla a cero, debiedo ser su seguda derivada egativa. E cosecuecia, para calcular el estimador máimo verosímil de la media teemos que calcular la primera derivada del logaritmo de la fució de verosimilitud co respecto a la media e igualarla a cero. δ l L = δµ σ i= ( i - µ ˆ )= 0 i= ( i - µ ˆ ) =0 i= i µ ˆ = = µ ˆ i= i i= = Segú este resultado, el estimador máimo verosímil de la media poblacioal de ua població ormal es la media muestral. B.- Estimació máimo verosímil de la variaza e 3

14 Estimació poblacioes ormales. Recordemos que hemos llegado al siguiete resultado l L = - l π - l σ - σ i= ( i- µ ) Para calcular el estimador máimo verosímil de la variaza debemos calcular la primera derivada del logaritmo eperiao de la fució de verosimilitud co respecto a la variaza e igualar el resultado a cero. δl L = - + δσ σˆ i= ( i - µ ˆ ) σˆ = 0 [- + ( i - µ ˆ ) ] =0 i= ˆ σˆ ( i - µ ˆ ) = i= σˆ [ ( i - µ ˆ ) ] i= σˆ = σ 4 El estimador máimo verosímil de de la variaza poblacioal de ua distribució ormal es la variaza muestral. Como el valor de la media poblacioal es descoocido, lo sustituimos por la media muestral que es su estimador máimo verosímil como ya hemos demostrado. [ σˆ = i= ( i - ) ] 4

15 ESTADÍSTICA II Estimació de proporcioes. Sea ua població de tamaño N e la cual se quiere estudiar si sus elemetos cumple ua determiada codició o o. Llamamos proporció poblacioal a P = k N dode: k = úmero de elemetos de la població que cumple la codició que estamos aalizado. N = tamaño de la població. Sea (X, X,..., X ) ua muestra aleatoria simple de idividuos perteecietes a la població e estudio. Podemos defiir la proporció muestral como p = dode: = úmero de idividuos de la muestra que cumple la codició aalizada. = tamaño muestral. Cada i puede tomar dos valores. Uo, si el idividuo i posee la característica que estamos estudiado y cero e caso cotrario. Es decir X i es ua distribució de Beroulli de parámetro p. Dada ua muestra aleatoria simple (X, X,..., X ) la 5

16 Estimació fució de verosimilitud viee dada por L( X, X,..., X ; p)= P( X )P( X = p i - ( - p ) i= i= i )... P( Si tomamos logaritmo eperiao obteemos l L = i= i l i= i X )= Si calculamos el valor de p que hace máima esta fució δ l L = δp i= i ) l(- p) p+(- +(p i -i i= i= = pˆ - pˆ -pˆ - i= = pˆ i -= pˆ i= i= i= p= ˆ i= i i i - ) - -p i = 0 Es decir, el estimador máimo verosímil de la proporció poblacioal es igual a la proporció muestral. IV.3.- Estimació por itervalos de cofiaza. IV.3..- Itroducció. El método de estimació por itervalo, como ya se ha dicho, tiee como objetivo estimar u parámetro θ, pero o de forma putual, sio mediate la determiació de u itervalo (z,z ) de tal maera que la probabilidad de que 6

17 ESTADÍSTICA II el itervalo cotega al parámetro de iterés sea alta. Formalmete, la estimació por itervalo pretede obteer u itervalo (z,z ) de tal maera que la probabilidad de que ese itervalo cotega al parámetro sea igual a -α. A α se le deomia ivel de sigificació, se determia previamete y desde fuera del proceso de iferecia. Habitualmete α toma los valores 0., ó 0.05, ó 0.0. E estos casos hablamos respectivamete de iveles de sigificació del 0%, 5% y % Al valor -α se le cooce como ivel de cofiaza. Es decir, si α es igual al 5%, el ivel de cofiaza es del 95%, esto os da ua medida de la cofiaza de la estimació por itervalo. Es decir, teemos ua cofiaza del 95% de que uestro itervalo cotega al valor del parámetro. Obsérvese que cuado hablamos del ivel de cofiaza, cuado defiimos el cocepto de estimació por itervalo, siempre lo hacemos e térmios de la probabilidad de que uestro itervalo cotega al parámetro, y uca e térmios de la probabilidad de que θ caiga detro del itervalo. Esto es debido a que lo que es variable es el itervalo, ya que es fució de los idividuos que forma la muestra. El parámetro es fijo y por tato la seguda lectura es icorrecta puesto que lo trata como ua variable. Nuestro objetivo, por tato, puede decirse que es: P [ z < q < z ] = -α 7

18 Estimació Sea u valor alto Depede de la muestra Es u valor fijo El siguiete puto a determiar, detro de la estimació por itervalos, es la determiació de los valores z y z dado el ivel de sigificació establecido (α). Las figuras a la 6 muestra la forma e que so seleccioados los valores de los etremos del itervalo, e dode, como se puede observar, se utiliza variables simétricas, variables asimétricas o sesgadas a derecha (o izquierda), variables que solo toma valores positivos, etc.. 8

19 ESTADÍSTICA II Por último, obsérvese tambié e estas figuras que la determiació de los valores de z y z eige el coocimieto de la fució de desidad de ua variable aleatoria que, primero, tega algo que ver co el parámetro que deseamos estimar (es decir sea ua fució del mismo), segudo, tega algo que ver co la realizació muestral (esté relacioada co los valores de la muestra), tercero, la fució de distribució de esta variable esté perfectamete defiida. Para poder obteer la estimació por itervalo os vamos a circuscribir solamete al estudio de la estimació por itervalo e el caso de estar trabajado co poblacioes ormales, (o debemos olvidar las propiedades que esta distribució tiee, tato e su propia forma como e los criterios de covergecia a ella) y de proporcioes. IV Itervalos de cofiaza e poblacioes Normales. IV Itervalo de cofiaza para la media de ua població Normal cuado se cooce el valor de la variaza. Supogamos que estamos iteresados e coocer el comportamieto probabilístico de la estatura de la població de los habitates de Las Palmas. Por estudios previos realizados e la misma zoa geográfica y e otras similares, sabemos que uestra variable de iterés, la estatura de los habitates de Las Palmas, a partir de ahora la deotaremos por X, tiee u comportamieto probabilístico como el de ua distribució Normal. Tambié por estudios previos, osotros coocemos la variaza de la 9

20 Estimació població e estudio, a partir de ahora σ. Nuestro objetivo se cetra e llevar a cabo ua estimació por itervalo para el valor de la media de la estatura de los habitates de Las Palmas. Es decir, partimos de ua població e la cual queremos estudiar ua de sus características, que deotaremos por X. Sabemos que X se comporta como ua distribució Normal de media µ (descoocida) y variaza σ (coocida). Nuestro objetivo es obteer ua estimació por itervalo de la media poblacioal µ para u ivel de sigificació α. Para ello obteemos ua muestra de tamaño. Es decir, mediate u proceso de muestreo aleatorio simple medimos la estatura de idividuos perteecietes a la població de Las Palmas. Esa muestra la vamos a deotar por {,,..., }. Visto el plateamieto realizado al pricipio del tema lo que ecesitamos es ua variable aleatoria que esté e fució del parámetro a estimar, µ, que depeda de la muestra y que además tegamos perfectamete defiida su fució de distribució. Para el caso que os ocupa, la estimació por itervalo de la media poblacioal, la variable que cumple todas esas premisas o eigecias es la variable aleatoria media muestral. Veámoslo. Si {,,..., } es ua muestra geérica cualquiera de tamaño, esto es o es ua realizació muestral, sabemos que cada ua de ellas, cada i se distribuye como ua distribució Normal de media µ y variaza σ. Además, si la forma de obteer la muestra es mediate el muestreo 0

21 ESTADÍSTICA II aleatorio simple, cada i es idepediete del resto. Por otra parte, la variable aleatoria media muestral, viee dada por X = = *( ) es decir, la variable aleatoria media muestral es la suma de variables Normales idepedietes multiplicado por /. Recordado los resultados de temas ateriores, sabemos que la variable media muestral se distribuye como ua variable Normal cuya media vale µ = E[ X ] = * * E[X] = µ y su variaza σx = E[ X - E[ X ] ] = E[ ( )- ( µ + µ µ ) ] = = * E[( - µ )+( - µ )+...+( - µ ) ] teiedo e cueta la idepedecia etre las i podemos seguir desarrollado y obteer

22 Estimació σ = * ( σ + σ σ )= σ Es decir, X N( µ, σ ) Como se puede observar, esta variable depede de la muestra, depede del parámetro a estimar, y si la tipificamos, su distribució está perfectamete defiida. Sea Z la variable tipificada de la media muestral. Z viee dada por

23 ESTADÍSTICA II X - µ X - µ Z = = σ σ/ siedo su distribució N(0,) para cualquier valor de µ. Esto implica que dado el valor de α, la determiació de los putos a y a viee dado por la figura 7 de forma 3

24 Estimació geeral, y e las figuras 8 a la 0 de forma particular para a=0.05, a=0.0 y a=0. respectivamete. Por ejemplo, para a=0.05 (5%) sabemos que, dado que Z es ua variable N(0,), P[-.96 < Z <.96 ] = 0.95 y teiedo e cueta la relació etre la variable media muestral y la variable Z, obteemos X - µ P[-.96 < <.96] = 0.95 σ/ Epresió de la cual podemos despejar µ, obteiedo el itervalo de cofiaza dado por P[ X -.96* σ / < µ < X +.96* σ/ ] = 0.95 Es decir, el itervalo ( X -.96* σ /,X -.96* σ/ ] cotiee a µ co ua probabilidad del 95% La geeralizació del itervalo para cualquier valor de α es imediata. Teiedo como referecia la figura 7, el itervalo ( X - a * σ /, X +a* σ/ ) es la estimació por itervalo que tiee ua probabilidad 4

25 ESTADÍSTICA II de -α de coteer el verdadero valor del parámetro µ. U aspecto importate e la estimació por itervalo es la precisió de la prueba. Es evidete que si estoy iteresado e estimar u parámetro θ mediate ua estimació por itervalo, la iterpretació del resultado (0,30) y del resultado (-00,00) para u mismo ivel de sigificació es completamete diferete. La prueba tedrá más precisió cuato más pequeño sea el itervalo. Es decir, podemos decir que el itervalo (-00, 00) cotiee a θ co ua probabilidad del 95% es u resultado muy impreciso co respecto al otro itervalo, (0,30). Dicho de otra forma, decir que Telde está e Gra Caaria es mucho más preciso que decir que Telde está e España. Por tato, la precisió e el coteto de la estimació por itervalo tiee que ver co la amplitud del mismo. Ua media muy utilizada de precisió es la mitad de la amplitud de la estimació por itervalo. IV Itervalo de cofiaza para la media de ua població Normal cuado o se cooce el valor de la variaza. El método para obteer este itervalo es el mismo que el descrito para el caso aterior. Nuestro problema ahora es que si os fijamos e el itervalo aterior, veremos que etre los datos ecesarios para poder estimarlo está la desviació típica de la població. Si embargo, e este caso, osotros descoocemos este valor. Esto implica que la variable aterior o es suficiete para poder llegar a la estimació por itervalo para el caso cocreto que os ocupa. Necesitamos ua ueva variable que os resuelva el problema. 5

26 Estimació Sea {,,..., } ua realizació muestral. Deotemos por S a la variaza de los datos de la muestra, esto es S = i= ( i - X ) Podemos demostrar que si defiimos ua variable U como *S /σ, está se distribuye como ua chi-cuadrado de (-) grados de libertad. Es decir U χ - Además, por los desarrollos previos, sabemos que la variable Z defiida como X - µ Z = σ/ ( ) se distribuye como ua distribució Normal de media cero y variaza, y podemos tambié demostrar que la variable Z es idepediete de la variable U previamete defiida. Co esta iformació, podemos defiir ua ueva variable T como 6

27 ESTADÍSTICA II T = Z U - que sabemos se distribuye como ua t-studet de - grados de libertad. Desarrollado la epresió aterior obteemos T = Z U - = X - µ σ/ * S / σ - = X - µ * s - Obsérvese que T es ua variable aleatoria que depede de la muestra, es fució del parámetro a estimar y su fució de distribució y desidad está perfectamete defiida dado el tamaño muestral. E cosecuecia, dado el tamaño muestral y el ivel de sigificació, los valores t α que determia el itervalo que cumple P[-t α < T < t α ] = - α 7

28 Estimació Figura es imediato. Por ejemplo para u tamaño muestral igual a 5 y para u ivel de sigificació del % el valor de t α es.977. El esquema geeral se muestra e la figura. Esto implica que X - µ P[-.977 < * s - <.977] =0.99 Despejado el valor del parámetro detro de la doble desigualdad, obteemos la estimació por itervalo. El resultado viee dado por 8

29 P[-.977 < X - µ * s - <.977] = 0.99 ESTADÍSTICA II P[ X -.977* S - < µ < X +.977* S ] = sustituyedo adecuadamete por el valor de la media muestral, la variaza muestral y el tamaño muestral, obtedremos la correspodiete estimació por itervalos. El plateamieto geeral viee represetado gráficamete por la figura, y aalíticamete por la siguiete epresió P[ X - t S - S - α* < µ α* ] =- < X +t α e dode t α correspode al valor de ua distribució t- Studet de - grados de libertad que deja a su izquierda ua masa probabilística igual a α/. 9

30 Estimació IV Itervalo de cofiaza para la diferecia de medias de poblacioes de medias cuado las variazas so coocidas. E este caso os iteresa teer ua estimació por itervalo de la diferecia de los valores medios de dos poblacioes ormales. El plateamieto lo haremos de forma reducida para que el alumo pueda utilizarlo como práctica. Partimos de dos poblacioes e dode estamos iteresados e estudiar las características X e Y respectivamete de ambas poblacioes. Además sabemos que X se distribuye como ua distribució Normal de media µ (descoocida) y 30

31 ESTADÍSTICA II desviació típica σ (coocida), y la variable Y se distribuye co media µ y (descoocida) y desviació típica σ y (coocida). Nuestro objetivo es obteer ua estimació por itervalo para la diferecia de las dos medias. Como hemos hecho hasta ahora, ecesitamos buscar ua variable a partir de la cual podamos determiar los valores de z y z, etremos del itervalo de cofiaza. Para ello obteemos dos muestras idepedietes. Ua muestra aleatoria simple de tamaño de la variable X y ua muestra de tamaño m de la variable Y. A partir de estas dos muestras, sabemos, por resultados previos, X N( µ, σ / ) Y N( µ y, σ y / m ) y dado que las dos muestras se ha obteido de forma idepediete, sabemos, por resultados previos, que X - Y N µ - µ y, σ σ + y m E cosecuecia, la variable Z defiida como 3

32 Estimació Z = ( X -Y )- ( µ - µ ) σ σy + m y se distribuye como ua distribució N(0,). De esta maera ua vez determiado el valor de α, ivel de sigificació, la determiació del valor a que verifica p[-a < Z < a ] = - α es imediato a partir de las tablas de la ormal reducida. (Ver figuras de la 7 a la 0 de este tema) Sustituyedo adecuadamete la variable Z e la epresió del cálculo de probabilidades ( X - Y ) -( µ - µ y ) P[-a < < a ] =-α σ σ + y m Despejado e la doble desigualdad el valor de la diferecia de las medias poblacioales, llegamos a la siguiete epresió para la estimació por itervalo para la diferecia de medias para u ivel de sigificació α P X - Y - a * σ + σy m < µ - µ < X -Y +a* y σ + σ y = -α m e dode a es el valor de la N(0,) que deja a su derecha ua masa probabilística igual a α/. 3

33 ESTADÍSTICA II V Itervalo de cofiaza para la diferecia de medias de dos poblacioes ormales cuado o se cooce sus variazas. Se distiguirá dos casos: Caso.- Cuado se dispoe de muestras grades (, m > 30). E este caso el itervalo de cofiaza viee dado mediate la siguiete epresió. P X - Y - a * S + S y m < µ - µ < X -Y * S + S y +a = -α y m e dode a sigue siedo el valor de la N(0,) que deja a su derecha α/ de masa probabilística, y S y S y so las variazas muestrales de la muestra de X e Y respectivamete. Caso.- Cuado las variazas so descoocidas pero supuestamete iguales. E este caso el itervalo de cofiaza viee dado por P X - Y + + m - < µ - µ < X -Y * +m * m t * S + m S y * +t S S y = -α y + m - +m - e dode t es el valor de la t-studet de +m- grados de libertad que deja a su derecha α/ de masa probabilística. IV Itervalo de cofiaza para la variaza de ua població Normal. 33

34 Estimació E este caso partimos de ua característica X que se comporta de forma ormal co media µ y desviació típica σ. Nuestro objetivo es obteer la estimació por itervalo de la variaza poblacioal. Para ello obteemos ua muestra aleatoria simple de tamaño, {,,..., }. Hemos dicho previamete que podríamos demostrar que Z=(*S /σ ) se distribuye como ua distribució chicuadrado de - grados de libertad. (Recordemos que S es la variaza de la muestra. Sabiedo como se distribuye esta variable Z, la determiació de los valores a y b que verifica P[ a <Z <b ] = -α es imediata a partir de la tabla de la distribució chicuadrado. Desarrollado la epresió aterior, obteemos el correspodiete itervalo de cofiaza. P[ a < * S σ <b ] = - α P[ b < σ * S < ] = -α a * P[ S b < σ * < S a ] = -α 34

35 ESTADÍSTICA II e dode a y b so los valores de ua distribució chicuadrado que cumple las codicioes establecidas e la figura 3. 35

36 Estimació Figura 3 IV Itervalo de cofiaza para las proporcioes Supogamos ua població de tamaño N e la que se quiere estudiar si sus elemetos cumple ua determiada codició. Podemos llamar proporció poblacioal (P) a la proporció de elemetos de la població que cumple la codició, de maera que P=k/N, siedo k el úmero de elemetos de la poblaciò que cumple la codició que estudiamos. Tomemos ahora ua muestra aleatoria simple de tamaño (,,... ) y llamemos proporció muestral (p) a la proporció de idividuos de la muestra que cumple la codició, de maera que: p= i /, siedo i la variable muestral. 36

37 ESTADÍSTICA II Cada i de la muestra puede tomar dos valores: valor si preseta la caracteristica estudiada y valor 0 si o la preseta, por lo que podemos eteder que se trata de ua distribució de Berouilli de parámetro p. Si aplicamos el método de máima verosimilitud es fácil deducir que el estimador máimoverosimil de la proporció poblacioal es igual a la proporció muestral, de maera que p= ˆ i= i = E este caso, la media tiee la iterpretació de proporció o frecuecia relativa que se observa e la muestra de elemetos co la característica estudiada. Sabemos que E(p)= ˆ E( )= µ = p V(p)=V( )= σ ˆ = pq p*( - p) = Si fijamos el ivel de cofiaza -α podemos obteer la costate a como hacemos habitualmete, y el itervalo de cofiaza para el parámetro P resultate será: pˆ - a p(- ˆ p) ˆ ; p+a ˆ ( p( ˆ - p) ˆ IV TAMAÑO MUESTRAL PARA UNA PRECISION DADA Nuestro objetivo e este epígrafe es cosiderar cómo se 37

38 Estimació puede determiar el tamaño de la muestra para realizar ua estimació por itervalos que presete ua determiada precisió. Nos limitaremos a los casos más frecuetes e ua ivestigació, es decir para la estimació de ua media poblacioal (co variaza coocida o descoocida) o de ua proporció. E todo caso, si coocemos el estimador por itervalos, el tamaño muestral para ua precisió dada lo podemos obteer despejado el valor de. IV Determiacio del tamaño de la muestra para estimar a media de ua poblacio co variaza coocida. Aplicaremos este caso tato si la població preseta ua distribució Normal como si preseta algú otro tipo de distribució pero el tamaño de la muestra es suficietemete grade como para que coverja a ua Normal. E ambos casos, sabemos ya que el itervalo de cofiaza de la media poblacioal para el ivel de cofiaza -α viee dado por P( X - a* σ/ µ X +a* σ/ )=-α que puede epresarse tambié, como sabemos, P( - µ a* σ/ )=-α dode X - µ es el error (e) que cometemos e el proceso de estimació. 38

39 ESTADÍSTICA II Nosotros podemos situar el error de estimació detro del límite aceptado, es decir, podemos hacer que e= - µ = a* σ/ y de aquí 39

40 Estimació * = a σ e La epresió aterior permite calcular el tamaño de la muestra () que habría que tomar, e el supuesto de que la variaza es coocida, dado u ivel de cofiaza -α del que depede el valor a y dado u error máimo (e) que estamos dispuestos a aceptar. IV Determiacio del tamaño de la muestra para estimar media de ua poblacio co variaza descoocida. E este caso, el itervalo de cofiaza de la media para el ivel e cofiaza de -α sabemos que es S P( X - t - S - α* µ X α* )=- +t α que puede epresarse tambié como S P( X - µ t α * )=-α - Por el mismo razoamieto del caso aterior, el tamaño muestral viee dado por la epresió tα* = S e + IV Determiacio del tamaño de la muestra ecesario para estimar la proporcio p de ua poblacio. Como e los casos ateriores, el puto de partida es el 40

41 ESTADÍSTICA II itervalo de cofiaza para el parámetro p para u ivel de cofiaza de -α: e= pˆ - p p(- ˆ p) ˆ )=-α p(- ˆ p) ˆ P( pˆ - a* p p+a ˆ * dode el error de estimació sería y la probabilidad de cometerlo: p(- ˆ p) ˆ P( pˆ - p a =-α de dode el tamaño de la muestra sería: a* p(- ˆ p) ˆ = e IV.- Problemas.- Dada ua muestra de tamaño, demostrar que el estimador de la media poblacioal θˆ - = i es u estimador sesgado. Calcular el sesgo. i= Solució. Para que el estimador sea isesgado debe cumplirse que la esperaza del estimador sea igual al valor del parámetro. E[ θˆ ] = E[ - = i= E( i - i= )= E[ θˆ ] = θ i - ] = E[ i= (-) µ ( - ) µ = µ = µ - i ] = 4

42 Estimació Siedo el sesgo del estimador µ b( θ )= -.- De ua població N(µ,) se obtiee ua muestra de tamaño 4 represetada por {,, 3, 4 }. Se cosidera los siguietes estimadores de µ: a) b) c) µˆ µˆ 3 µˆ 4 X + X + X = 3 3 X + X 6 + X = X + X 4 + X 3+ X 4 4 = 4 Pregutas:.- Determiar la sesgadez o isesgadez de los estimadores..- Calcular la variaza de los estimadores y determiar cual es el de meor variaza. Solució:.- Caso a) sesgado, sesgo=m/4 Caso b) Isesgado Caso c) Isesgado.- Caso a) variaza del estimador = 9s /6 Caso b) variaza del estimador = 0s /36 Caso c) variaza del estimador = s /4 Por lo tato el de meor variaza es el caso c), que o es más que la media aritmética de la muestra. 3.- Demostrar que la variaza muestral es u estimador 4

43 ESTADÍSTICA II sesgado de la variaza poblacioal. 4.- Demostrar que la covariaza muestral es u estimador isesgado de la variaza poblacioal. 5.- Sea X el úmero de accidetes que se produce e u cruce durate ua semaa. Sabemos que X se distribuye como ua Poisso de parámetro l =. Se va a realizar u estudio durate cico semaas y queremos coocer la probabilidad de que e la primera semaa se produzca tres accidetes, e la seguda, e la tercera iguo, e la cuarta dos y e la quita iguo. (E realidad e las cico semaas de estudio vamos a obteer ua muestra de la variable aleatoria X de tamaño =5 y lo que queremos es coocer la probabilidad de ua determiada realizació muestral). Nosotros debemos calcular la probabilidad del siguiete suceso: P[ X = 3) ( = ) ( 3 = 0) ( 4 = ) ( 5= 0)] = P( = 3)* P( = )* P( 3 =0)* P( 4= )* P( 5 =0) = e * e * e * e * e = 3!! 0!! 0! -0 6 = e = !*!*0!*!*0! Imagiemos que ahora sabemos que la variable aleatoria X se distribuye como ua Poisso pero os coocemos el valor de l. E este caso la probabilidad de obteer la muestra aterior vedrá dada por P[ X = 3) ( = ) ( 3 = 0) ( 4 = ) ( 5= 0)] = P( = 3)* P( = )* P( 3 =0)* P( 4= )* P( 5 =0) -λ 3 -λ -λ 0 -λ -lamda = e λ * e λ * e λ * e λ * e lamda 3!! 0!! 0! -5 λ ( ) -5λ 6 = e λ = e λ 3!*!*0!*!*0! Como se puede observar el valor de la probabilidad depede 43 0 =

44 Estimació del valor del parámetro l. Cuado empleamos el método de la máima verosimilitud para estimar el valor de l, lo que hacemos es escoger el valor que hacer que la probabilidad de haber obteido la realizació muestral co la que trabajamos sea la máima posible. Como ya sabemos la fució de verosimilitud viee dada por la fució de desidad cojuta. E este caso particular teemos -5λ P[3,,0,,0,; λ] = e λ -5λ L[3,,0,,0; λ] = e λ Para calcular el valor estimado de l debemos calcular el máimo de la fució de verosimilitud. Para facilitar los cálculos ormalmete se trabaja co el logaritmo eperiao de dicha fució. Para este ejemplo teemos l L = -5λl (e)+6 l λ- l δ l (L) = -5+6* = 0 δλ λˆ λˆ 6 = =, 5 δ l L - 6 = δλ λ Sea ua població defiida por -( + ) f(, θ )= θ,, θ > 0 θ Se pide obteer el estimador maimoverosímil del parámetro theta. Solució La fució de verosimilitud para muestras aleatorias simples de tamaño : 44

45 ESTADÍSTICA II L(X; θ )= f(, θ )...f(, θ )= -( +) -( +) = θ... θ = θ θ -( +) = (... ) θ θ Aplicamos logaritmos eperiaos ll(x; θ )= - ltheta-( +) l (... θ - lθ -( +) i; θ l δ l L(X; θ δθ ) = - + θ i= i= θ l i = 0 por lo que el estimador maimo verosimil será θ ˆ= i= l i )= 7.- sea X ua variable aleatoria co la siguiete fució de desidad 0 f(x;a)= a e -a si <0 si 0 Se toma ua muesta aleatoria simple de tamaño, siedo su realizació muestral (.5, 0.5,.75, 3, 4, 0). Calcular el estimador máimo verosimil de a. 8.- Sea X ua variable aleatoria cuya fució de cuatía viee dada por 45

46 a + b si = -3 a + 3 si = 0 f(x; a, b) = 3b 3 si = 5-3a - 5b 3 si = 0 si - 3,0,, Estimació a. demostrar que es ua verdadera fució de cuatía. b. Si tomamos ua muestra aleatoria simple co la siguiete realizació muestral {-3, 0,, }. Calcular los estimadores máimo verosímiles de a y b. 9.- Supogamos que teemos ua població que se comporta como ua distribució Normal de la cual o coocemos su media, pero si sabemos que su desviació típica es igual a 3. Para poder estudiar esta població, obteemos ua muestra obteiedo los siguietes resultados {8,,3,7,0, 7,3,4,6}. Obteer la estimació putual y por itervalos para u ivel de cofiaza del 95% Solució: La estimació putual por máima verosimilitud es la media muestral. Si calculamos la media de la muestra, obteemos que su valor es igual a 0. Esta es la estimació putual de la media poblacioal. Por otra parte, sabemos que el itervalo de cofiaza viee dado por 46

47 ESTADÍSTICA II ( X - a * σ /, X +a* σ/ ) para u ivel de sigificació geérico α. Para u ivel de sigificació del 5%, el valor de a es igual a.96. El valor de la media muestral es 0, el tamaño muestral 9 y la desviació típica 3. Lo úico que teemos que hacer es sustituir estos valores e la epresió aterior. (0 -.96*3/ 9,0+.96* 3/ 9 ) =(8.04,.96) Por lo tato, teemos ua probabilidad del 95% de que el itervalo (8.04,.96) cotega al verdadero valor de la media poblacioal. Obsérvese que si osotros tuviésemos otra muestra, la media muestral puede ser distita y e cosecuecia el itervalo tedría uos etremos distitos. 0.- Dada ua població N(30,0), ) qué tamaño míimo debe de teer la muestra para que la estimació de la media difiera del valor real e meos del 30% para u ivel de cofiaza del 95%. Solució: =43.- Se desea obteer u itervalo de cofiaza de la media de ua població Normal de parámetros descoocidos a partir de ua muestra dada por (5,7,5,3,,8,,4,6,8). Co u ivel de sigificació del 0% Solució: (5.667,.33).- El úmero diario de piezas fabricadas por la máquia 47

48 Estimació A e cico días ha sido {50, 48, 53, 60, 37}, mietras que e esos mismos días la máquia B ha hecho {40, 5, 6, 55, 64}. Se pide: a) Costruir u itervalo para la diferecia de medias etre las máquias A y B, supoiedo que ambas máquias tiee la misma desviació típica. b) Lo mismo, si supoer la misma desviació típica. c) Determiar cual debía haber sido el tamaño muestral de ambas muestras para que e el caso a) y co el mismo valor de la variaza estimada, la logitud del itervalo para la diferecia de medias co a= 5% fuese de 8 uidades. Solució: Caso a) [8.39,7.99] Caso b) [-4.8,5.] (solo aplicable a muestras mayores que 30) Caso c) > 54 días. 3.- Dada La població N(m,s) calcular el itervalo de cofiaza para la variaza sabiedo que e ua muestra de tamaño 8 hemos obteido ua variaza muestral igual a 9. Solució: [5.,33.3] 4.- De ua ura co bolas blacas y egras se obtiee ua muestra aleatoria simple de tamaño =40, observádose 80 bolas blacas. Hallar el itervalo de cofiaza de la proporció p de bolas blacas de la ura al ivel del 99.7% Solució El estimador maimoverosimil de la proporció poblacioal es 48

49 ESTADÍSTICA II p= ˆ i= i = =0,57 El valor de a para u ivel de o,997 es aproimadamete igual a 3. Por tato, el itervalo de cofiaza para p es: 49

50 (0,57-3 0,57(- 0,57) 40 ;0,57 +3 o,57(- 0,57) 40 )= [0,444;0,696] Estimació 5.- Determíese el tamaño de la muestra ecesario para estimar la media m de ua població co s=4,. si se quiere teer ua cofiaza del 95% de que el error de estimació se sitúe como mucho e el "0,05 Solucio Como -α es 0,95, e las tablas obteemos el valor,96. (,96 ) *(4, ) = ( Por tato 0,05 ) = Co el fi de estimar la media de ua població se defie los siguietes estimadores: θ = _( ) θ = ( + + i=3 i ) - Seleccioar el estimador adecuado para obteer ua estimació de la media (µ), a partir de ua muestra de tamaño = Supogamos que X ( de accidetes que ocurre e u determiado puto kilométrico de la carretera acioal 340 por semaa) es ua variable aleatoria, que se distribuye segú u modelo de Poisso de parámetro λ =. a) Cuál es la probabilidad de obteer la muestra de tamaño 5 (observacioes de 5 semaas cosecutivas) para el estudio de esta variable, formada por los valores ( 50

51 ESTADÍSTICA II 3,,0,,0)?. b) Cuál sería la probabilidad si descoociéramos el valor de λ?. 8.- Co las mismas codicioes del ejercicio aterior, y supoiédo que descoocemos λ. Calcular segú el M.M.V. (método de máima verosimilitud) el estimador de λ para dicha muestra. 9.- Sea X ua variable aleatoria cotíua, co la siguiete fució de desidad: -a f(; a)= a.e si 0 y 0 para el resto E el estudio de esta variable se toma ua muestra aleatoria simple de tamaño 6, siedo su realizació muestral (.5, 0.5,.75, 3, 4, 0). Se quiere calcular el ESTIMADOR MAXIMO VEROSIMIL de a. 0.- Ua variable aleatoria está distribuída uiformemete e el itervalo (0,θ). Si se etrae ua muestra de tamaño 4, y se defie el estimador de θ, como 4 i θˆ = k_ 4 Qué valor debe teer k para que el estimador θˆ sea isesgado?. i=.- E ua muestra de tamaño etraída de ua població ormal N( µ,) empleamos como estimadores de la media los siguietes estdísticos: 5

52 Estimació 5 MAXIMO.VEROSIMIL = ESTIMADOR = = 3 θ θ θ ˆ ˆ ˆ a) Cúal o cúales so isesgados? b) De los sesgados, cúal es más eficiete?.

53 ESTADÍSTICA II.- Hallar el estimador máimo verosimil de q, para ua variable aleatoria que tiee ua fució de cuatía f(;q)= p_ q dode q= - p, e muestras de etesió. 3.- Dada la fució de desidad f(; θ ) = e θ - θ, hallar π el estimador de máima verosimilitud para muestras de tamaño. 4.- Los datos que se da a cotiuació so los pesos e gramos del coteido de 6 cajas de cereales que se seleccioa e u proceso de lleado, co el propósito de verificar el peso promedio: 506, 508, 499, 503, 504, 50, 497, 5, 54, 505, 493, 496, 506, 50, 509, 496. Si el peso medio de cada caja es ua variable aleatoria ormal co ua desviació stadard de 5 gramos. Obteer el itervalo de cofiaza del 90% para la media de lleado de este proceso. 5.- La variable aleatoria "demada" (miles de pesetas) se distribuye como ua ormal co desviació típica igual a Se estudia ua muestra de 0 elemetos y se obtiee ua media de ptas. a) Cotruir u itervalo de cofiaza para la media poblacioal co u ivel de sigificació del 5%. b) ) qué tamaño míimo deberá teer la muestra para que la estimació de la media difiera del valor real e meos de ptas? ) Y e meos de.000 ptas?. 6.- Supogamos que teemos ua població que se comporta como ua distribució ormal, de la cual o coocemos su media, pero si su desviació típica que es igual a 3. Para 53

54 Estimació poder estudiar esta població, obteemos ua muestra co los siguietes resultados: 8,, 3, 7, 0, 7, 3, 4, 6. Obteer la estimació putual y por itervalos para u ivel de cofiaza del 95%. 7.- Sea ua variable X caracterizada por ua distribució ormal de media descoocida y variaza 4. Cotruir u itervalo de cofiaza para la media de la població co la siguiete iformació muestral: 9, 30, 35, 36, 40, 4, 45, 47, U fabricate de fibras sitéticas desea estimar la tesió de ruptura media de u tipo de fibra. Para ello, diseña u eperimeto e el que se observa las tesioes de ruptura, e libras, de 6 hilos seleccioados aleatoriamete. Las tesioes obteidas so 0.8, 0.6,.0, 0.9, 9.9, 0., 9.8, 9.6, 0.9,., 0.4, 0.6, 9.7, 9.6, 0.3, 0.7 Supógase que la tesió de ruptura de ua fibra se ecuetra modelada por ua distribució ormal co desviació típica de 0.45 libras. Costruir u itervalo de cofiaza estimado del 98% para el valor real de la tesió de ruptura promedio de la fibra. 9.- Se desea obteer u itervalo de cofiaza de la media de ua població ormal de parámetros descoocidos a partir de ua muestra dada por (5, 7, 5, 3,, 8,, 4, 6, 8), co u ivel de sigificació del 0% Ua muestra de 0 medidas de diámetro de ua esfera dió ua media de 4.38 pulgadas y ua desviació típica de 54

55 ESTADÍSTICA II 0.06 pulgadas. Hallar los límites de cofiaza para el diámetro verdadero del 95% de ivel de cofiaza. 3.- Se está estudiado el absetismo laboral femeio e ua empresa de determiado sector. Se eligiero, para ello, 0 trabajadoras al azar de ua determiada secció, aotádose el úmero de días que falta al trabajo por diferetes motivos, e los últimos 4 meses: EMPL. N FALTAS (días) Determiar u itervalo de cofiaza del 99% para el medio de días de absetismo laboral femeio e la empresa e el último cuatrimestre. 3.- Ua muestra de 50 bombillas del fabricate A diero ua vida media de 400 horas teiedo esta variable ua desviació poblacioal de 0 horas y otra muestra de 00 bombillas del fabricate B dio ua vida media de 00 horas co ua desviació poblacioal de 80 horas. Hallar los límites de cofiaza del 99% para la diferecia de las vidas medias de las poblacioes A y B Dos uiversidades públicas tiee métodos distitos para matricular a sus alumos. Los dos desea comparar el tiempo que tarda los alumos e completar el trámite de matriculació. Para ello, se aotaro los tiempos de matriculació e cada uiversidad para grupos de 00 alumos seleccioados al azar. Las medias y desviacioes típicas muestrales so las siguietes: 55

56 Estimació media = 50. media = 5.9 desviació = 4.8 desviació = 5.4 Si se supoe que el muestreo se lleva a cabo sobre dos distribucioes ormales e idepedietes, obteer los itervalos de cofiaza para el 90%, 95% y el 99%, para la diferecia de medias del tiempo de matriculació para las dos uiversidades Sea X e Y dos poblacioes ormales de medias descoocidas y de variazas comues. A partir de muestras de tamaño =0 y =, costruir u itervalo de cofiaza para la diferecia de medias poblacioales, si las medias muestrales so: 5.7 para la població y 4.3 para la població, y las desviacioes muestrales so 0. y 9.6 respectivamete, para iveles de cofiaza 90, 95 y 99% Si ua variable aleatoria tiee por fució de desidad a 3a- ( ) f(; a)= _ -a si 0 - a y a >0 Hallar el estimador máimo verosimil del parámetro a, para muestras aleatorias simples de tamaño Dada la població N( µ, σ ), calcular el itervalo de cofiaza para la variaza sabiedo que e ua muestra de tamaño 8, hemos obteido ua variaza muestral igual a 9. Para u ivel de sigificació del 5%, del 0% y del % U proceso produce cierta clase de cojietes de bola cuyo diámetro iterior es de 3 cm. Se seleccioa de forma aleatoria de estos cojietes y se mide sus diámetros 56

57 ESTADÍSTICA II iteros, resultado ua variaza muestral de Supoiedo que el diámetro es ua variable aleatoria de ormalmete distribuida, determiar el itervalo de cofiaza del 99% para la variaza Ua muestra aleatoria de 0 cojietes fabricados por ua máquia durate ua jorada dio ua media de 0.9 mm. y ua desviació de.067 mm. Hallar los itervalos de cofiaza del 95%, 98%, 99% y 90% de los diámetros medios de los cojietes Ua muestra tomada de ua població ormal dio los siguietes valores: 5, 509, 539, 56, 508, 57, 59, 50, 5, 53, 547, 504, 59. Determiar co ua cofiaza del 95%, si es admisible el valor 0 como posible desviació típica poblacioal Para comparar las putuacioes medias de asigaturas se ha cosiderado las calificacioes obteidas e cada ua de ellas, sobre ua muestra de 50 alumos, obteiédose los siguietes resultados: a = 5. Sa =.5 b = 6. = 3. Sb Obteer u itervalo de cofiaza para la diferecia de medias a u ivel del 95%. 4.- De dos grupos aálogos de efermos A y B formados por 50 y 00 idividuos, respectivamete, al primero le fue dado u uevo tipo de somífero y al segudo u tipo covecioal. Para los pacietes del primer grupo, el úmero medio de horas de sueño fue 7.8 co ua desviació de 0.4 horas. Para los del grupo B fuero 6.75 y 0.30 horas respectivamete. 57

58 Estimació Hallar los límites de cofiaza del 95% y 99% para la diferecia del úmero medio de horas de sueño iducidas por los dos tipos de somíferos. 4.- Sabiedo que el tato por uo de los clietes o morosos que correspode a cada uo de los represetates de ua empresa, se distribuye segú desidad de probabilidad dada por la curva de la familia: k f() = (k ++)_ si 0 < < dode k es u parámetro que puede tomar valores mayores que - y que depede del represetate e cuestió. Se pide obteer u estimador del parámetro k, basado e ua muestra de elemetos, a través del método de máima verosimilitud Ua cueta cotable formada por u gra úmero de asietos preseta ua variaza etre las cifras registradas igual a.4. cuál deberá ser el tamaño de la muestra para estimar el importe medio de todos los aputes cotabilizados co u error de pesetas, si supoemos ua població básica ormal y u 95% de cofiaza? El tiempo que tarda e cubrirse cierto trayecto de ua líea de guagua es aleatorio co distribució ormal de parámetros descoocidos. Teiedo e cueta que ua muestra de 0 autobuses daba para este mismo recorrido ua media de 3 miutos y ua variaza de 5, determiar: a) u itervalo de cofiaza para el tiempo promedio e el que se cubre dicho recorrido, co u 95% de cofiaza. b) el ivel de cofiaza que permitiría trabajar co ua precisió de (+/-),4 miutos Sea dos muestras distitas que ha sido diseñadas 58