Teorema de aproximación de Weierstrass y grandes desviaciones

Transcripción

1 UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA Teorema de aproxmacó de Weerstrass y grades desvacoes Trabajo Especal de Grado presetado ate la lustre Uversdad Cetral de Veezuela por el Br. Eddre Peña para optar al título de Lcecado e Matemátca. Tutor: Marsela Domíguez. Caracas, Veezuela Marzo, 006

2 Nosotros, los abajo frmates, desgados por la Uversdad Cetral de Veezuela como tegrates del Jurado Examador del Trabajo Especal de Grado ttulado Teorema de aproxmacó de Weerstrass y grades desvacoes, presetado por el Br. Eddre Peña, ttular de la Cédula de Idetdad , certfcamos que este trabajo cumple co los requstos exgdos por uestra Maga Casa de Estudos para optar al título de Lcecado e Matemátca. Marsela Domíguez Tutor Margarta Olvares Jurado Ramó Bruzual Jurado

3 Agradecmeto Gracas a Dos por darme vda y salud. Gracas a ms padres y hermaos que de ua u otra forma sempre me apoyaro a lo largo de la carrera. Gracas a la profesora Marsela Domíguez por todo su apoyo y colaboracó e la realzacó de este trabajo. Gracas a la profesora Maree Cola por su codcoal apoyo sempre que la eceste. Gracas a la profesora Margarta Olvares y al profesor Ramó Bruzual por sus sugerecas e la culmacó de este trabajo. Gracas al Cosejo de Desarrollo Cetífco y Humastíco de la Uversdad Cetral de Veezuela por su colaboracó e la edcó de este trabajo. E f GRACIAS A TODOS...

4 Ídce geeral Itroduccó 1 Capítulo 1. Alguas ocoes de probabldades 3 1. Espaco de Probabldad 3. Varable aleatora Esperaza y varaza 8 4. Desgualdades de Markov y de Chebyshev Covergeca e probabldad y ley débl de los grades úmeros 1 Capítulo. Polomos de Berste y teorema de aproxmacó de Weerstrass 14 Capítulo 3. Teorema de aproxmacó de Weerstrass y grades desvacoes Métodos probablístcos 17. Velocdad de covergeca para fucoes de Lpschtz 5 Bblografía 8 v

5 Itroduccó El objetvo de este trabajo es compreder el artículo The Weerstrass approxmato theorem ad large desvatos de Heryk Gzyl y José Lus Palacos publcado e la revsta Amerca Mathematcal Mothly, La prueba de Berste (191 del teorema de aproxmacó de Weerstrass es ua aplcacó clásca de teoría de probabldades al aálss. La herrameta prcpal utlzada por Berste es la desgualdad de Chebyshev. S el argumeto se aplca a fucoes que satsface la codcó de Lpschtz, se puede probar que la velocdad de covergeca de los polomos de Berste a la fucó es al meos de orde 1/ 1/3. El resultado del artículo de Gzyl y Palacos establece que s e lugar de usar la desgualdad de Chebyshev se usa otra herrameta probablístca (la teoría de grades desvacoes etoces se puede probar que la velocdad de covergeca es al meos de orde l /. Gzyl y Palacos e su publcacó preseta u resultado probablístco, ates de dar la prueba del teorema que muestra dcha covergeca. Para compreder estos resultados es ecesaro teer coocmetos báscos e teoría de probabldades, así como també ocoes de aálss como lo so la codcó de Lpschtz y los polomos de Berste etre otros. E el prmer capítulo se hace u breve repaso sobre alguas defcoes báscas e la teoría de probabldades como lo so las varables aleatoras, el valor esperado y las desgualdades de Chebyshev y Markov. Además recordamos resultados mportates de probabldades que so usados para la demostracó del teorema de aproxmacó. E el segudo capítulo se troduce los polomos de Berste y damos la prueba del teorema de aproxmacó de Weerstrass usado la desgualdad de Chevyshev. 1

6 INTRODUCCIÓN E el tercer capítulo se desarrolla el artículo de Gzyl y Palacos presetado sus resultados e este trabajo.

7 CAPíTULO 1 Alguas ocoes de probabldades 1. Espaco de Probabldad Cuado realzamos u expermeto os teresa saber s certos subcojutos del espaco muestral Ω, cojuto de resultados, ocurre o o. A estos subcojutos de terés los llamamos evetos o sucesos. U eveto A Ω ocurre, al realzar u expermeto, s el resultado ω obtedo es tal que ω A. Deotaremos a la famla de subcojutos de Ω formada por los evetos, como A y co la sguete defcó daremos las propedades que debe cumplr. Defcó 1.1. Ua famla A de subcojutos de Ω es ua σ-álgebra s satsface las sguetes propedades: Ω A, es decr que la realzacó del expermeto produce u resultado. Al cojuto Ω lo llamaremos eveto certo o seguro, ya que este eveto sempre ocurre. A A mplca que A c A, es decr s A es u eveto etoces A o ocurre també es u eveto. A A, para = 1,... etoces eveto. A A, es decr que la uó de evetos es u Ejemplo 1.. El cojuto de partes de Ω, P(Ω es ua σ-álgebra. =1 Defcó 1.3. Sea Ω u espaco muestral y A ua famla de evetos de Ω. Ua medda de probabldad o probabldad sobre Ω, es ua fucó P defda sobre A que satsface los sguetes axomas: P es o egatva, es decr para todo eveto A A se cumple que P (A 0. P es σ adtva es decr, s (A 1 A so dsjutos dos a dos (lo que sgfca A A j = para cada j etoces ( P A = P (A. =1 =1 3

8 1. ESPACIO DE PROBABILIDAD 4 El eveto certo tee probabldad 1: P (Ω = 1. La tera (Ω, A, P se deoma espaco de probabldad, el valor P (A se deoma probabldad de A. Ejemplo 1.4. S lazamos ua moeda al are etoces podemos descrbr este eveto como u espaco de probabldad: sea Ω = {cara, sello} el espaco muestral, co A = P(Ω la σ-álgebra etoces: P (cara = 1, P (sello = 0 Defcó 1.5. U expermeto que tee dos posbles resultados se deoma esayo de Beroull.

9 . VARIABLE ALEATORIA. 5. Varable aleatora. Defcó 1.6. Sea (Ω, P(Ω, P u espaco de probabldad dscreto. Ua varable aleatora real es ua fucó X : Ω R que a cada ω Ω le asoca u úco valor real X(ω. Defcó 1.7. Ua varable aleatora se deoma dscreta, s su rago es u cojuto dscreto (fto o umerable. E este caso exste u cojuto (x 1 (cojuto de valores de X tal que P (X = x = 1. 1 E partcular, las varables defdas sobre espacos de probabldad dscretos so dscretas. S embargo ua varable aleatora defda sobre u espaco de probabldad o dscreto puede ser dscreta. Ejemplo 1.8. Sea c R u úmero fjo. Se defe X(ω = c para todo ω Ω, es decr X es costate. Etoces para todo tervalo I R se tee que { X 1 Ω s c I (I = [ω Ω : X(ω I] = s c I c. Por lo tato P ( X 1 (I { 1 s c I = P ([ω Ω : X(ω I] = 0 s c I c. S e el ejemplo ateror cosderamos al espaco muestral Ω = [a, b] R, dode a < b, se obtee varables aleatoras dscretas defdas sobre espacos o dscretos. Varable aleatora de Beroull Idetfquemos los resultados de u esayo de Beroull como éxto y fracaso; y sea p (0, 1 la probabldad de obteer éxto e ua realzacó del expermeto. Defmos la

10 . VARIABLE ALEATORIA. 6 varable aleatora X = 1 cuado el resultado es éxto y X = 0 cuado el resultado es fracaso. Es decr, teemos Ω = { éxto, fracaso } X : Ω R X( éxto = 1 X( fracaso = 0 Ua varable aleatora de este tpo se deoma varable aleatora de Beroull. Varable aleatora bomal Supogamos que se realza esayos de Beroull depedetes y co probabldad de éxto p. La varable aleatora Y defda como el úmero de éxtos e los esayos, se deoma varable aleatora bomal co parámetros y p. Esto també se expresa medate la otacó Y B(, p. Es decr sea Ω = { cero éxto, u éxto,..., éxtos} Y : Ω R Y ( cero éxto = 0 Y ( u éxto = 1... Y ( éxtos =. Probabldad de ua varable aleatora. Defcó 1.9. Dada ua varable aleatora dscreta X cuyo cojuto de valores es u cojuto {x } 1, la fucó P : (x 1 [0, 1] x P( = p = P (X = x se deoma fucó de probabldad de la varable aleatora X.

11 . VARIABLE ALEATORIA. 7 Observacó Esta fucó satsface la codcó p = P (X = x = Probabldad de ua varable aleatora de Beroull. S X es ua varable aleatora Beroull co probabldad de éxto p teemos que su fucó de probabldad es P : {0, 1} [0, 1] 1 p 0 1 p Es decr, P(1 = p 1 = P {X = 1} = p P(0 = p 0 = P {X = 0} = 1 p Probabldad de ua varable aleatora bomal. S Y es ua varable aleatora bomal co parámetros y p, es decr Y B(, p teemos que su fucó de dstrbucó es para = 0,...,. b(,, p = P( = p = P (Y = = ( p (1 p Observemos que la fucó dada por (p =1 es ua fucó de probabldad ya que p = p (1 p = (p + 1 p = 1 =0 =1

12 3. ESPERANZA Y VARIANZA 8 Esperaza de ua varable aleatora. 3. Esperaza y varaza Defcó Sea X ua varable aleatora dscreta tal que su cojuto de valores es (x 1 y su fucó de probabldad (p 1, dode p = P (X = x. La esperaza matemátca, valor esperado o meda de X es el úmero deotado por E[X] y defdo como E[X] = X(ωdP (ω = x P (X = x = x p Ω =0 =0 sempre y cuado la sere ateror sea covergete. E este caso se dce que exste la esperaza matemátca de X. Defcó 1.1. Sea X ua varable aleatora dscreta (como e la defcó ateror. Sea h : R R ua fucó etoces la composcó h X també es ua varable aleatora dscreta y su cojuto de valores es {h(x } 1. Además la esperaza de h X se deota por E(h(X y E(h(X = h(x(ωdp (ω = = Ω h(x P {X = x } =0 h(x p. =0 Teorema S X 1, X,..., X so varables aleatoras co esperazas ftas, etoces la esperaza de su suma exste y es gual a la suma de sus esperazas: E(X X = E(X E(X Demostracó. Es sufcete demostrarlo para dos varables X y Y. Utlzado la defcó de esperaza y la lealdad de la tegral podemos escrbr: E(X + E(Y = X(ωdP (ω + Y (ωdp (ω = (X(ω + Y (ωdp (ω = E(X + Y. Ω Ω Ω lo cual completa la demostracó.

13 3. ESPERANZA Y VARIANZA 9 Teorema S X, Y so varables aleatoras depedetes, co esperaza fta, etoces su producto es ua varable aleatora co esperaza fta, y E(XY = E(XE(Y. Demostracó. Para calcular E(XY debemos multplcar cada valor posble x j y k por su probabldad f(x j g(y k correspodete. Por cosguete E(XY = ( ( x j y k f(x j g(y k = x j f(x j y k g(y k j,k j k dode el rearreglo se justfca, dado que la sere es absolutamete covergete. Observacó La msma regla de multplcacó es válda, por duccó, para cualquer úmero de varables aleatoras depedetes. Ejemplo A cotuacó estudaremos la esperaza de la varable aleatora bomal. Sea S el úmero de éxtos e esayos de Beroull que tee probabldad p de éxto. Sabemos que S tee la dstrbucó bomal, S B(, p de dode teemos que E(S = b(,, p = p b( 1, 1, p. =0 =0 La últma suma cluye todos los térmos de la dstrbucó bomal para 1 esayos y, por lo tato, es gual a 1. E cosecueca la esperaza de la dstrbucó bomal es: E(S = p Varaza de ua varable aleatora Defcó S X es ua varable aleatora co meda E[X] = µ, etoces la varaza de X, deotada V ar[x], se defe como V ar[x] = E[X ] (E[X] = E[X ] µ.

14 3. ESPERANZA Y VARIANZA 10 La varaza de X es ua medda del dsperso de los valores de X alrededor de la meda. Ejemplo Calcularemos la varaza para ua varable aleatora bomal. Sea X B(, p, sabemos que E[X] = p etoces ( E[X ] = k P (X = k = k p k (1 p k k Por lo tato = = = k=0 k=0 k=0 k! k!( k! pk (1 p k = (k! k + k k!( k! pk (1 p k k=0! k(k 1 k!( k! pk (1 p k + E[X] k=0 k= = p ( 1 = p ( 1! (k!( k! pk (1 p k + E[X] (! (k!( k! pk (1 p k + E[X] ( p k (1 p k + E[X] k k= k= = p ( 1(p + (1 p + E[X] = p ( 1 + p = p(1 + ( 1p. V ar[x] = E[X ] (E[X] = p(1 + ( 1p (p = p(1 p

15 4. DESIGUALDADES DE MARKOV Y DE CHEBYSHEV 11 Desgualdad de Markov 4. Desgualdades de Markov y de Chebyshev Proposcó S X es ua varable aleatora co valores o egatvos, etoces para a > 0 P (X > a E(X a Demostracó. Sea A = {j : x j a} y P (X = x j = p j etoces: P (X > a = j A p j E(X = j A x j p j + j A c x j p j j A x j p j j A ap j = ap (X > a P (X > a E(X a Desgualdad de Chebyshev: Proposcó 1.0. S X es ua varable aleatora co meda fta µ y varaza σ, etoces para cualquer k > 0 (co E[X] <. P [ X µ k] σ k = E[(X µ ] k Demostracó. Como Y = (X µ > 0 es ua varable aleatora y defedo a = k > 0 se puede usar la desgualdad de Markov. Obteedo: P (Y a = P ( X µ k = P ((X µ k E[(X µ ] k = σ k. Observacó 1.1. Estas desgualdades da cotas de la probabldad sólo cuado la esperaza o la varaza so ftas.

16 5. CONVERGENCIA EN PROBABILIDAD Y LEY DÉBIL DE LOS GRANDES NÚMEROS 1 5. Covergeca e probabldad y ley débl de los grades úmeros Defcó 1.. Sea {X } 1 ua sucesó de varables aleatoras e (Ω, A, P y X ua varable aleatora e (Ω, A, P. Decmos que {X } 1 coverge a X e probabldad dado α > 0 lím P { X X > α} = 0. Es decr, dados α, ε > 0 exste N tal que P { X X > α} < ε s N. s Teorema 1.3 (Ley débl de los grades úmeros. Sea {X } 1 ua sucesó de varables aleatoras depedetes, détcamete dstrbudas cada uo co esperaza E(X = µ y varaza σ (ambas ftas. Etoces para cada ε > 0 { } X X P µ ε 0 cuado. Teorema 1.4 (Teorema de la covergeca domada de Lebesgue. Sea X : Ω R, N, ua sucesó de varables aleatoras que coverge putualmete a ua varable aleatora X. Supogamos que exste ua varable aleatora Y tal que E(Y es fta y, ω, X (ω Y (ω. (Y doma a las X. Etoces, cada X es tegrable, X es tegrable y se cumple que lím X dp (ω = lím X dp (ω = XdP (ω. Mas aú, se tee que Ω Ω lím X X dp (ω = 0. Ω Ω

17 5. CONVERGENCIA EN PROBABILIDAD Y LEY DÉBIL DE LOS GRANDES NÚMEROS 13 Teorema 1.5 (Teorema de la covergeca domada e probabldad. Sea X : Ω R, N, ua sucesó de varables aleatoras que coverge e probabldad a ua varable aleatora X. Supogamos que exste ua varable aleatora Y tal que E(Y es fta y, ω, X (ω Y (ω. (Y doma a las X. Etoces, cada X es tegrable, X es tegrable y se cumple que lím X dp (ω = lím X dp (ω = XdP (ω. Mas aú, se tee que Ω Ω lím X X dp (ω = 0. Ω Ω

18 CAPíTULO Polomos de Berste y teorema de aproxmacó de Weerstrass Polomo de Berste Defcó.1. Sea f : [0, 1] R ua fucó cotua. El polomo -ésmo de Berste P de la fucó f se defe como: dode ( = k! k!( k! P (x = f k=0 ( k ( x k (1 x k, k A cotuacó veremos ua demostracó probablístca del teorema de Weerstrass referete a la aproxmacó de fucoes cotuas por polomos. Teorema.. Sea f ua fucó cotua e [0, 1] y sea P el -ésmo polomo de Berste de f etoces P coverge a f uformemete e [0, 1]. Demostracó. Sea x fjo veamos que P (x coverge a f(x putualmete. Sea (X ua sucesó de varables aleatoras depedetes Beroull { 1 co probabldad x X = 0 co probabldad 1 x. Sea S = X sabemos que =1 P (S = k = ( x k (1 x k. k 14

19 . POLINOMIOS DE BERNSTEIN Y TEOREMA DE APROXIMACIÓN DE WEIERSTRASS 15 Como los X so depedetes, equdstrbudos y de cuadrado tegrable, por la ley débl de los grades úmeros S coverge a x e probabldad lo que mplca que f ( S coverge a f(x e probabldad, de dode E ( f ( S coverge a E(f(x = f(x es decr: f k=1 ( k Veamos ahora la covergeca uforme: ( x k (1 x k coverge a f(x putualmete. k Para δ > 0, usado el bomo de Newto aplcado a (x + (1 x = 1 obteemos ( ( k ( P (x f(x = f x k (1 x k f(x x k (1 x k k k k=0 k=0 ( ( ( k = f f(x x k (1 x k k k=0 ( ( k f f(x x k (1 x k k k=0 ( ( S = E f f(x ( ( S (ω = f f(x Ω dp (ω ( ( S = f f(x { S x >δ} dp ( ( S + f f(x dp. { S x δ} Como f es cotua e el compacto [0, 1] etoces f es uformemete cotua por lo tato dado ε > 0 podemos tomar δ tal que : x y δ mplca f(x f(y < ε Así Como E(S = x y P (x f(x para todo x, y [0, 1]. ( ( S f f(x ( S x >δ dp + ε ( S f P x > δ + ε V ar(s = σ (S = (1 xx

20 . POLINOMIOS DE BERNSTEIN Y TEOREMA DE APROXIMACIÓN DE WEIERSTRASS 16 por la desgualdad de Chebyshev: ( S P x > δ E ( S x δ ( = σ S = δ 1 σ (S (1 xx = δ x(1 x = 1 1 δ 4 δ. Pero δ coverge a 0 cuado. Por lo tato P (x coverge a f(x uformemete. δ

21 CAPíTULO 3 Teorema de aproxmacó de Weerstrass y grades desvacoes 1. Métodos probablístcos Comezamos recordado u resultado básco de aálss matemátco. Teorema 3.1. S D R y D es u compacto, s f : D R es ua fucó cotua. Sea M = sup{f(x : x D}, m = íf{f(x : x D}. Etoces exste p, q D tales que f(p = M, f(q = m. Observacó 3.. U resultado aálogo es certo para u compacto D R. Observacó 3.3. Claramete u tervalo de la forma [a, b], co a, b R es u subcojuto compacto de R. Utlzado este hecho y el teorema ateror se puede afrmar que toda fucó cotua e u tervalo cerrado y acotado alcaza su valor máxmo y su valor mímo e ese tervalo. Todo el materal usado referete a grades desvacoes puede hallarse e [1]. Teorema 3.4. Sea B(, x ua varable aleatora bomal co evetos depedetes y probabldad de éxto x co x [0, 1] para cada uo de ellos y sea a > 0 arbtraro etoces ( a (3.1 P ( B(, x x > a exp Idea de la prueba: Sea X 1,, X varables aleatoras depedetes détcamete dstrbudas co: P (X = 1 x = x, 17

22 1. MÉTODOS PROBABILÍSTICOS 18 P (X = x = 1 x, y sea X = X X. Veamos que X tee dstrbucó B(, x x. Sea Y (ω = { 1 s X (ω = 1 x 0 s X (ω = x. Es claro que los Y tee dstrbucó de Beroull dode: Sea Y = Y Y luego ( P (Y = k = P Y = k = =1 P (Y = 1 = P (X = 1 x = x P (Y = 0 = P (X = x = 1 x. ( [P (Y = 1] k [P (Y = 0] k = k ( x k (1 x k. k Sea ω tal que Y (ω = co = h + k dode k es el úmero de veces que Y (ω = 1 y h es el úmero de veces que Y = 0, por lo tato hay k veces e que X (ω = 1 x y h veces e que X (ω = x luego: X(ω = X (ω = =1 h+k X (ω =1 = k(1 x + h( x = k x(h + k = k x. Como estamos cosderado el caso e que Y (ω = k etoces Por lo tato X B(, x x. Quero probar que Sabemos que: X(ω = Y (ω x ( a P ( B(, x x > a exp ( a P ( X > a exp. X(ω > a mplca X(ω > a ó X(ω > a {ω Ω : X(ω > a} {ω Ω : X(ω > a} {ω Ω : X(ω > a} P {ω Ω : X(ω > a} P {ω Ω : X(ω > a} + P {ω Ω : X(ω > a}

23 1. MÉTODOS PROBABILÍSTICOS 19 como X es smétrco P {ω Ω : X(ω > a} = P {ω Ω : X(ω > a} P {ω Ω : X(ω > a} P {ω Ω : X(ω > a} Es decr uestro problema se reduce a demostrar que ( a P (X > a exp Lo cual demostraremos utlzado los sguetes tres lemas. Lema 3.5. Sea α, β R co α 1, teemos (3. cosh(β + α sh(β exp Demostracó. Recordemos que Cuado α = 1 teemos, S α = 1 etoces: cosh(β = sh(β = (αβ + β exp(β + exp( β exp(β exp( β exp(β + exp( β exp(β exp( β cosh(β + α sh(β = + = exp(β < exp (β + β. exp(β + exp( β exp(β exp( β cosh(β + α sh(β = = exp( β < exp ( β + β. E lo que sgue cosderamos dos stuacoes: prmero lo que ocurre fuera del compacto [ 100, 100] y luego lo que ocurre detro de este cojuto. S β 100 etoces β 100 ó β 100. S β 100 etoces αβ + β < β + β

24 1. MÉTODOS PROBABILÍSTICOS 0 para α < 1 luego: cosh(β + α sh(β = = Por otro lado teemos: exp(β + exp( β α exp(β α exp( β + exp(β(1 + α + exp( β(1 α. Además, 1 < α < 1 mplca 0 < 1 + α <. De dode 1 < α < 1 mplca > 1 α > 0. exp(β(1 + α + exp( β(1 α exp(β + exp( β < = exp(β + exp( β. Como exp( β < exp(β co β 100 etoces exp(β + exp( β < exp(β además β < β mplca ( β exp(β < exp < β mplca < exp(β. De dode Falmete S β 100 etoces para α < 1 luego: ( β exp(β < exp exp(β. cosh(β + α sh(β exp αβ + β < β β exp(β(1 + α + exp( β(1 α (αβ + β. exp(β + exp( β < = exp(β + exp( β. Como exp( β > exp(β co β 100

25 1. MÉTODOS PROBABILÍSTICOS 1 etoces además β < β exp(β + exp( β < exp( β mplca ( β exp( β < exp < β mplca < exp( β. De dode ( β exp( β < exp exp( β. Falmete cosh(β + α sh(β exp (αβ + β. A cotuacó trabajaremos co β [ 100, 100]. Supogamos que (3. o se satsface etoces cosh(β + α sh(β > exp (αβ + β la fucó f(α, β = cosh(β + α sh(β exp (αβ + β dode f(α, β > 0. Como f es cotua e el compacto [ 1, 1] [ 100, 100] etoces f alcaza u mímo y u máxmo e ese cojuto. Aalcemos los putos crítcos de f tomado dervadas parcales guales a cero: de dode f(α, β α = sh(β β exp sh(β = β exp (αβ + β (αβ + β. f(α, β = sh(β + α cosh β (α + β exp (αβ + β β susttuyedo el valor de sh(β ecotrado teemos: β exp (αβ + β + α cosh β = (α + β exp (αβ + β α cosh β = (α + β exp (αβ + β β exp α cosh β = α exp (αβ + β cosh β = exp (αβ + β. (αβ + β

26 1. MÉTODOS PROBABILÍSTICOS Luego ( tah β = sh β β exp αβ + β cosh β = ( = β. exp αβ + β Lo que mplca que β = 0 de dode f alcaza el máxmo y el mímo cuado β = 0. Pero f(α, 0 = 0 y esto cotradce f(α, β > 0. La cotradccó vee de supoer que (3. o se satsface. Lema 3.6. Para todo θ [0, 1] y para todo λ ( λ θ exp(λ(1 θ + (1 θ exp( λθ exp 8 Demostracó. Sea θ [0, 1] etoces θ 1 1. Aplcado el Lema 1 a α = θ 1 y β = λ obteemos cosh ( λ + (θ 1 sh ( λ exp ( ( λ + (θ 1λ De esto se sgue las sguetes desgualdades: exp ( ( λ + exp λ + (θ 1 exp ( ( λ exp λ ( λ exp 8 + θλ λ exp ( ( λ (1 + θ 1 + exp λ ( ( (1 θ + 1 λ exp exp θλ λ 8 ( ( ( ( λ λ λ θ exp + (1 θ exp exp exp θλ λ 8 θ exp ( ( λ + (1 θ exp λ ( λ exp ( exp θλ λ 8 ( λ θ exp θλ + λ ( λ + (1 θ exp θλ + λ ( λ exp 8 ( λ θ exp (λ(1 θ + (1 θ exp( λθ exp. 8 Lema 3.7. Sea X tal que: P (X = 1 x = x, P (X = x = 1 x,

27 1. MÉTODOS PROBABILÍSTICOS 3 para λ > 0 se tee que ( λ E[exp(λX ] = x exp(λ(1 x + (1 x exp( λx exp 8 dode E[.] es el valor esperado. Demostracó. Por defcó teemos: E[g(X] = g(xp (X = x = g(x P (X = x x R(X =1 Como E[exp(λX] = exp(λx P (X = x =1 P (X = 1 x = x, P (X = x = 1 x etoces E[exp(λX ] = exp( λxp (X = x + exp(λ(1 xp (X = 1 x = (1 x exp( λx + x exp(λ(1 x. Por el Lema y dado que x [0, 1] y λ > 0 teemos que ( λ E[exp(λX ] = (1 x exp( λx + x exp(λ(1 x exp 8 Ya podemos probar el Teorema 3.4. Demostracó. Sabemos que ( E[exp(λX] = E[exp(λ(X 1 + X... + X ] = E exp(λx = =1 E(exp(λX Hemos poddo tercambar el producto co la esperaza debdo a que los X so depedetes. Como además está détcamete dstrbudos obteemos: ( ( λ E[exp(λX] = E(exp(λX 1 ( λ exp = exp 8 8 Ahora aplcado la desgualdad de Markov, P (X > a = P (exp(λx > exp(λa E[λX] ( λ exp(λa exp 8 λa =1

28 1. MÉTODOS PROBABILÍSTICOS 4 Falmete tomado λ = 4a obteemos: luego P (X > a exp ( 16a 8 4a ( a P (X > a exp

29 . VELOCIDAD DE CONVERGENCIA PARA FUNCIONES DE LIPSCHITZ 5. Velocdad de covergeca para fucoes de Lpschtz Codcó de Lpschtz Defcó 3.8. Ua fucó real f e [0, 1] satsface ua codcó de Lpschtz s exste ua costate postva C tal que f(x f(y < C x y x, y [0, 1] Teorema 3.9. Para ua fucó f que satsface la codcó de Lpschtz, teemos ua sucesó de polomos P dode el grado de P es y ua costate k la cual depede de f, etoces P f k dode. es la orma del supremo. l( Nota: Como la fucó f es Lpchtz, etoces es uformemete cotua y acotada por ua costate M tal que f M. Demostracó. Defamos el polomo de Berste como: ( ( P (x = x (1 x f Luego separado la sumatora : x a P (x f(x = = + =0 =0 ( ( x (1 x f : x a : x >a Aplcado la desgualdad tragular obteemos: ( ( x (1 x f f(x ( ( x (1 x f ( ( x (1 x f : x a f(x f(x f(x. ( ( x (1 x f f(x.

30 . VELOCIDAD DE CONVERGENCIA PARA FUNCIONES DE LIPSCHITZ 6 Luego : x >a ( ( x (1 x f Sabemos que f es Lpschtz es decr y como teemos: : x a Además como f M y etoces: Luego: : x >a Falmete por el teorema 3.4: f(x : x >a f(x f(y C x y =0 ( x (1 x = 1 ( ( x (1 x f P ( B(, x x > a = : x >a ( ( ( x (1 x f + f(x. f(x ac ( x (1 x ( ( ( x (1 x f + f(x MP ( B(, x x > a P (x f(x ac + MP ( B(, x x > a P (x f(x ac + M exp ( a Ahora optmcemos el parámetro a e térmos de. Cosderemos la fucó: etoces: F (x = xc F (x = C + M exp + 8Mx ( x ( x exp Sea x tal que F (x = 0 despejado la ecuacó expoecal obteemos: ( x x exp = C 8M,..

31 . VELOCIDAD DE CONVERGENCIA PARA FUNCIONES DE LIPSCHITZ 7 No podemos dar ua solucó exacta para esta ecuacó expoecal. S embargo ella coduce a la solucó astótca l x =. l Tomado a = se obtee P (x f(x ac ( a + M exp ( l C + M exp ( l Co K = C + M l y para 3 C l l + M 1 C l + M l ( C + M l l.

32 Bblografía [1] ALON, N. AND SPENCER, J. The Probablstc method, Wley, New York, 199. [] ARRIOJAS, M. Notas de teoría de probabldades. Caracas. Edc. de la Escuela de Matemátcas U.C.V. [3] BACHMAN, G. AND NARICI, L. Fuctoal aalyss. Academc Press, [4] BETZ, C. Itroduccó a la teoría de la medda e tegracó. U.C.V.199 [5] CHUNG K.L. A Course probablty theory d ed., Academc Press, New York, [6] CHUNG, K.L. Elemetary probablty theory wth stochastc process. Spger Verlag, [7] FELLER, W. Itroduccó a la teoría de probabldad y sus aplcacoes. Edtoral Lmusa. Vol.1. [8] GZYL, H. AND PALACIOS, J.L. The Weerstrass Aproxmato theorem ad large desvatos. Amerca Mathematcal Motly, 104 pag , [9] HALMOS, P. Teoría tutva de los cojutos. CECSA, [10] KOLMOGOROV, A. AND FOMIN, S. Elemetos de la teoría de fucoes y de aálss fucoal. MIR, [11] MEYER, P. Probabldad y aplcacoes estadístcas. Bogota; Fodo Educatvo Iteramercao [1] OLIVARES, M. Curso de probabldades. Caracas. Edc. de la Escuela de Matemátcas U.C.V. Octubre 00. [13] ROYDEN, H.L. Real aalyss. Coller Macmlla, [14] RUDIN, W. Real ad complex aalyss. Mc Graw-Hll,