UNIDAD II DATOS BIVARIADOS Introducción: Sabemos que la Estadística es un medio de comunicación científica que suministra un lenguaje claro y conciso.

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL VALLEJO ÁREA DE MATEMÁTICAS ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD I UNIDAD II DATOS BIVARIADOS Inroducción: Sabemos que la Esadísica es un medio de comunicación cieníica que suminisra un lenguaje claro y conciso. Por medio de: Una graica Una abla Una ormula Un enunciado Por ejemplo: En el periódico La Jornada del mes de abril de 004 qp43dió esa abla de inormación: MATRIZ DE REASIGNACIÓN DE MUNICIPIOS 000 Y 003 GANADOR 000 GANADOR 003 PRI PAN PRD OTROS TOTALES PRI PAN PRD OTROS Nuevos Mpios TOTALES a) Podemos exraer inormación de ella? b) Qué ipo de inormación? c) Cómo podemos represenarla? Siendo un medio de comunicación eecivo para la predicción, logrando eso a ravés de los modelos maemáicos o de la maemaización de siuaciones reales, los cuales; permien explicar el comporamieno de esas siuaciones y predecir con ciera aproximación, cuesiones desconocidas. Por ejemplo los siguienes daos de los censos de población de México.

2 Unidad II Daos Bivariados Año Población Podemos enconrar alguna expresión maemáica que responda a esos daos? (explicación).. Será posible esimar la población en los años en los que no se realizaron censos durane el periodo ? (inerpolación). 3. Será posible esimar la población del año 005, y en algunos años uuros, a parir de esos daos? (predicción). Las siuaciones planeadas en la primera unidad de han reerido a la observación de una sola variable. Con el propósio de conocer los méodos más usuales empleados en la organización, análisis y medición de los daos aporados por dichas observaciones. Aunado a lo anerior, se presenan recuenemene en la invesigación casos que se reieren a la observación de dos o más variables, relacionadas o ligadas por algún ipo de relación que es imporane medir. Frecuenemene deseamos analizar más de una caracerísica de un elemeno de una muesra o población dando por resulado un análisis llamado análisis mulivariado, resringiéndonos en esa unidad a desarrollar el análisis de dos aribuos o variables asociadas a dos caracerísicas de un mismo elemeno de la muesro o población. DATOS BIVARIADOS Consideremos que de un elemeno enemos dos caracerísicas úiles para cieros esudios, dichas caracerísicas podrían ser analizadas cada una por separado, más sin embargo nuesro inerés esá cenrado en analizarlas en orma conjunas es decir cuando ellas ineracúan sobre el elemeno en consideración. Ala consideración conjuna de dos variables X, Y o dos aribuos A, B se les llama variable bidimensional (X, Y) con valores ( xi, yi) o aribuo bidimensional (A, B) con valores ( a i, b i ), juno con sus recuencias consiuyen una disribución bidimensional. Un subconjuno de daos bivariados consise en una colección de observaciones simulaneas de dos variables X, Y. Los daos bivariados relacionados con un elemeno se represenan mediane pares ordenados ( xi, yi). De la misma orma que se hace en el caso unidimensional, debemos buscar una orma organizada de presenar las observaciones. Esa organización la conseguimos al uilizar una abla de doble enrada. Una abla de doble enrada iene el siguiene aspeco:

3 Unidad II Daos Bivariados 3 Variable X Variable Y X/Y y 1 y y x x 1 x Toales i = 1 1 = i1 1 i = 1 = i i = 1 i = Toales = 1j 1 j = 1 j = 1 j = 1 i= 1 j= 1 = j j ij = = = n Donde j = 1 ij = represena la recuencia absolua de la observación conjuna ( xi, yi), ij i variable X, y aribuo Y. represena el numero de elemenos de la muesra que poseen el nivel i de la i = 1 ij = j es la recuencia de elemenos que ienen el nivel j de la variable o Las recuencias relaivas se calculan al dividir la correspondiene recuencia absolua de cada dao ordenado, por el oal de observaciones, n es decir; ij rij = n Donde n es el número oal de pares observados. El análisis para daos bivariados lo haremos considerando dos aspecos: 1) Que al menos una de las variables es cualiaiva. ) Ambas variables con cuaniaivas. Esos aspecos nos planean dividir el esudio de daos bivariados en dos secciones: a) Tablas de coningencia. b) Análisis de correlación y análisis de correlación.

4 Unidad II Daos Bivariados 4 VARIABLES CUALITATIVAS CUANTITATIVAS TABLAS DE CONTINGENCIA ANÁLISIS DE CORRELACIÓN ANÁLISIS DE REGRESIÓN Tablas de Coningencia Sea (a1, b1), (a, b), (a3, b3),, ( a n, b n ), una muesra de n observaciones de un aribuo esadísico bidimensional (A, B), de manera que A represena modalidades ( a1, a, a,..., a ) y B represena modalidades ( b1, b, b,..., b ) (El número de modalidades disinas que adopa A no iene por qué ser el mismo que adopa B). Llamaremos abla de coningencia de dos aribuos (A; B) a una abla de doble enrada que represena los valores observados de ambos aribuos y las recuencias (absoluas o relaivas) de aparición de cada par de valores, dicha abla iene la siguiene esrucura: Variable A Variable B A/B b 1 b b a a 1 a Toales i = 1 1 = i1 1 i = i = 1 i = 1 i = Toales = 1j 1 j = 1 j = 1 j = 1 i= 1 j= 1 = j j ij = = = n Donde ij es el número de veces que aparece repeido el par ( a i, b j ), y que llamaremos recuencia absolua del par ( a i, b j ). Denoamos por r ij la recuencia relaiva de dicho ij par, y que vendrá dada por la expresión rij =, donde n es el número oal de pares n observados.

5 Unidad II Daos Bivariados Ejemplo: Se realizó una encuesa enre un grupo de rabajadores para deerminar su nivel de esudios y su saisacción respeco al rabajo que desempeñan, obeniéndose los siguienes resulados: Nivel de esudios Primaria Secundaria Preparaoria Licenciaura Toales 5 Saisacción en el rabajo Mucha Regular Poca Toales Para ese ejemplo enemos dos aribuos: A) Saisacción en el rabajo, el cual iene 3 modalidades: Mucha, Regular, Poca. B) Nivel de esudios, que iene 4 modalidades: Primaria, Secundaria, Preparaoria y Licenciaura. Cada uno de los valores de ésa abla represena el número de rabajadores con un ciero nivel de saisacción en el rabajo y con esablecido nivel de esudios. Por ejemplo: la inersección de mucha saisacción con primaria enconramos el valor de 40 ( 11 = 40), el cual nos indica que hay 40 empleados que esán muy saisechos con su rabajo y que al mismo iempo ienen un nivel de esudios de primaria. Analizando algunos resulados más podemos observar que 87 rabajadores que ienen una saisacción regular, cuando su nivel de esudios es de secundaria; que hay 64 empleados con licenciaura que se sienen poco saisechos con su rabajo, ec. Represenaciones graicas La represenación graica más úil de dos aribuos agrupados es el diagrama de barras que se obiene represenando cada celda ( a i, b j ), como una barra de alura ij en el plano caresiano o en el plano ridimensional ( a i, b j, ij ).

6 Unidad II Daos Bivariados 6 Frecuencia Esudios vs Saisacción Prim. Sec. Prepa Lic. Nivel de Esudios O en la orma: Saisacción vs Esudios Podemos observar que el número oal de empleados enrevisados ue de 800, que 15 de ellos enían mucha saisacción en 0 su rabajo, que 355 desempeñan su rabajo don una saisacción 10 0 Esudios regular y que 50 iene poca saisacción al realizar su rabajo; ambién podemos noar que enemos 175 empleados con nivel de primaria, que 10 erminaron la secundaria, que 00 ienen esudios de preparaoria y que 15 alcanzaron a ener esudios de licenciaura. Frecuencia Prim. Disribuciones marginales Muchas veces, a pesar de que observamos pares de daos ( a i, b j ), podemos esar ineresados en esudiar el comporamieno de una sola de las variables, por ejemplo B, independienemene de la ora. A parir de las recuencias conjunas ( a i, b j ), ij podemos obener la recuencia de observación a i (con independencia de los valores de B). Eso es lo que se llama disribución marginal del aribuo A. Prepa Mucha Poca

7 Unidad II Daos Bivariados Se denomina disribución marginal a la disribución de recuencias obenida al esudiar la variable (a o B), aisladamene, es decir con independencia del reso de aribuos. 7 Variable A Variable B A/B b 1 b b a 1 11 a 1 1 Disribución 1 a 1 Disribución marginal marginal A = 1j 1 j = 1 j = 1 j = 1 = j j = B i = 1 = i1 1 i = i = 1 i = 1 i = i= 1 j= 1 = = n ij Para nuesro ejemplo la disribución marginal para el aribuo saisacción en el rabajo es de la orma: Toales Saisacción en el rabajo Mucha 15 Regular 335 Poca 50 Toales 800

8 Unidad II Daos Bivariados La disribución marginal para el aribuo nivel de esudios es de la orma: 8 Nivel de esudios Primaria Secundaria Preparaoria Licenciaura Toales Toales Disribuciones Condicionadas. En oras ocasiones esamos ineresados en la disribución de una de las variables para un valor ijo de la ora, es decir raamos de responder a la preguna Cómo se compora la variable A cuando la variable B oma el valor ijo b j? Eso es lo que se conoce como disribuciones condicionadas. La disribución de aribuo B condicionado a que A oma el valor a i (A= a i ) es la disribución de B que se obiene considerando sólo los elemenos que ienen para el aribuo A el valor a i Variable A Variable B A/B b 1 b b a i i 1 i i j = 1 Toales ij = Disribución marginal de B dado el valor A= a i i

9 Unidad II Daos Bivariados Por ejemplo deseamos deerminar la disribución condicionada del nivel de esudios dada una saisacción regula en el rabajo. Esa disribución esá indicada por el renglón que indica una saisacción regular en el rabajo, la cual incluye odos los niveles de esudios. Nivel de esudios Primaria Secundaria Preparaoria Licenciaura Toales 9 Saisacción en el rabajo Mucha Regular Poca Toales Para la cual podemos consruir el siguiene diagrama de barras; En orma análoga, la disribución del aribuo A condicionado a que el aribuo B oma el valor b j (B = b j ), es la disribución de A que se obiene considerado sólo los elemenos que ienen para el aribuo B el valor b j.

10 Unidad II Daos Bivariados 10 Variable A Variable B A/B b j a 1 1 j Toales a j a j Toales ij = j i = 1 Disribución condicional de A dado el valor de B = b j Siguiendo con nuesro ejemplo deseamos enconrar la disribución condicionada de la saisacción en el rabajo dado el nivel de esudios de preparaoria. Nivel de esudios Primaria Secundaria Preparaoria Licenciaura Toales Saisacción en el rabajo Mucha Regular Poca Toales Que al presenarla mediane un diagrama de barras obenemos:

11 Unidad II Daos Bivariados 11 Ejercicio: Tenemos hambre pero no enemos mucho iempo para comes y decidimos pasar a una ienda para comprar algo para calmar nuesra hambre. Qué ipo de alimeno y bebida compraríamos? Alimeno A/B Papas Friuras Pan Galleas Toales Bebidas Agua Reresco Yogur Jugo Toales a. Deerminar los oales marginales. b. Consruir la abla de recuencias relaivas respeco al oal de la muesra. c. Elaborar la gráica de barras para la abla de coningencia. d. Consruir la abla marginal y consruir el diagrama de barras con respeco a la bebida adquirida. e. Enconrar la abla marginal y consruir el diagrama de barras con respeco al ipo de alimeno comprado.. Deerminar la disribución condicional de bebida dado que el alimeno que se compra es de riuras. g. Enconrar la disribución condicional de los alimenos, dado que adquirieron como bebida yogur.

12 CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEAL Unidad II Daos Bivariados 1 Consideremos ahora que nuesras variable bidimensional (X, Y) son del ipo cuaniaivo y queremos deerminar si exise una relación enre las dos variables, y de exisir, ideniicar qué ipo de relación es. Si exise al relación, sería bueno expresarla con una sencilla ecuación que nos permia predecir el valor de una de las variables si conocemos el valor de la ora. Lo primero que se hará es considerar el concepo de correlación, que sirve para deerminar si exise una relación esadísicamene signiicaiva enre dos variables. Poseriormene en el análisis de regresión, expresamos la relación exisene enre las dos variables con una ecuación, es decir enconraremos una ormula maemáica que relaciona dichas variables y se aprenderá a usar dicha ecuación para predecir los valores de una de ellas. El análisis de las relaciones exisenes enre dos o más variables requiere del raamieno esadísico cuando: a) La esrucura verdadera de la relación se desconoce. b) No exise una dependencia uncional exaca enre las variables consideradas. Por lo que en el esudio de la asociación enre variables exisen dos aspecos relacionados: 1) El análisis de correlación que iene como objeivo deerminar el grado de relación enre variables. ) El análisis de regresión que raa de esablecer la nauraleza de la relación enre variables, es decir, esudiar la relación uncional enre las variables y por lo ano proporcionar un mecanismo de predicción o pronosico. El análisis de asociación puede dividirse en simple y múliple, el primero se aplica solamene cuando dos variables y el segundo cuando la asociación es enre res o más variables. Además exise ambién la dierencia enre asociación lineal y no lineal, según el ipo de relación que exise enre las variables. Primer aspeco Exise dependencia enre las variables? Ejemplo 1: A medida que una persona aumena de esaura, se espera que gane peso, se podrá pregunar en ese caso Exise una relación enre la esaura y el peso?

13 Unidad II Daos Bivariados 13 Ejemplo : Como esudianes nos dedicamos a esudiar y a resolver exámenes, Será ciero que cuano más se esudie ano mayor es la caliicación obenida? Ejemplo 3: Como proesores deseamos saber si el desempeño de los esudianes en secundaria iene un eeco en las caliicaciones obenidas en maemáicas, habrá una relación enre el promedio de caliicaciones de secundaria y el promedio de caliicación en maemáicas? Es decir, en odos los casos queremos saber si exise una ciera variación conjuna enre las dos variables, y si es asó deerminar el grado de dependencia que exise enre ellas y por supueso verla relejada mediane una regla o ecuación. El esudio de la relación enre dos variables inicia con el caso más sencillo, el de la asociación exisene enre las variables, supongamos que se oman dos mediciones a cada uno de varios objeos. Deseamos deerminar cuál de esas variables medibles denominada Y, iende a aumenar o disminuir mienras la ora variable, llamada X, varía. El primer paso en la deerminación de sí exise o no una relación enre dos variables es examinar la gráica de los daos observados, a la cual se le da el nombre de diagrama de dispersión. El diagrama de dispersión consise en el razo de odos los pares ordenados de daos bivariados sobre un sisema de ejes coordenados. La variable de enrada A, se uiliza para el eje horizonal, y la variable Y para el eje verical. Para analizar el diagrama de dispersión es necesario uilizar nuesra inuición para deerminar si la relación es lineal (una línea reca), o una curva. Si la relación es lineal se deseará saber si la relación es posiiva o negaiva y cuál es la pendiene de la línea que se ajusa a los punos dados y por úlimo se necesia saber el grado de la relación, eso es, qué an cerca esán los punos de la curva que mejor los ajusa. Ejemplo 1: Observemos el siguiene diagrama de dispersión A qué conclusiones podemos llegar? En ese diagrama de dispersión podemos observar que a medida que el valor de la variable independiene (regularmene indicada por X) aumena, el valor de la variable

14 Unidad II Daos Bivariados 14 dependiene (usualmene indicada por Y) aumena, eso nos indica que exise una evolución posiiva, y que evidenemene los punos se agrupan alrededor de una curva (que no es una reca) de la cual no conocemos su orma uncional. Ejemplo : Revisemos el siguiene diagrama de dispersión, Cuáles son ahora nuesras conclusiones? Podemos observar que no hay un comporamieno uniorme ya que primero conorme aumena el valor de la variable independiene el valor de la variable dependiene disminuye y poseriormene comienza a aumenar, además observar que los punos siguen un parón no lineal, por lo que evidenemene la relación que pudiéramos uilizar para expresar la relación enre ellas no sería una línea reca. Ejemplo 3: Comenemos el siguiene diagrama de dispersión, Qué conclusiones podemos obener? En ese diagrama de dispersión podemos observar dos propiedades; primera cuando una de las variables aumena su valor, el valor de la ora variable aumena, es decir,

15 Unidad II Daos Bivariados 15 iene una variación posiiva, segundo; evidenemene la relación que pudiéramos uilizar para relacionarlas pudiera ser una línea reca, ya que el conjuno de punos presena un parón de comporamieno cercano a una reca con pendiene posiiva. Ejemplo 4; Qué conclusiones son apropiadas para el siguiene diagrama de dispersión? Para ese diagrama de dispersión los punos no sigue parón alguno ya que no se vislumbra ningún comporamieno uniorme que describa a los daos por lo que resularía diícil enconrar alguna relación que permiiera describir a ese conjuno de daos. En resumen analizar el diagrama de dispersión nos es úil para: a) Que visualmene busquemos parones que nos indiquen que las variables esán relacionadas. b) Y si eso sucede en él se esboza el ipo de curva (reca, parábola, ec.) que puede describir esa relación. Apliquemos esos concepos al siguiene ejercicio:

16 Unidad II Daos Bivariados 16 Ejemplo 1: Un economisa, esá ineresado en deerminar si exise alguna relación enre el ingreso amiliar (X) y el porcenaje de ingreso gasado en alimenación (Y). La abla, abajo mosrada, indica los resulados de un esudio de 8 amilias seleccionadas al azar.. X ( $ 1000) Y (%) Primero consruyamos el diagrama de dispersión para ese conjuno de daos, para analizarlo poseriormene y deerminar si las variables esán relacionadas y de qué orma esán relacionadas, obenemos el siguiene diagrama: Parece ser que los punos del diagrama de dispersión se agluinan alrededor de un parón de ipo lineal, por lo que podríamos inuir que exise una relación de ipo lineal enre el ingreso y el porcenaje de ingreso gasado en alimenación. Aún más podemos observar que a medida que el ingreso aumena el porcenaje de gaso en alimenación disminuye (es decir ienen un comporamieno inverso). Debido a que las conclusiones que podemos sacar de los diagramas de dispersión ienden a ser subjeivas, se necesian méodos precisos y objeivos para conirmar nuesras conclusiones alcanzadas al analizar el diagrama de dispersión. CORRELACIÓN

17 Unidad II Daos Bivariados 17 Ahora el problema consise en deerminar si hay alguna relación aparene enre dos variables, a una relación de ese ipo se le llama correlación lineal. Deinición: Exise una correlación enre dos variables si una de ellas esá relacionada o ligada con la ora de alguna manera. Una vez que se ha deecado que exise una correlación lineal enre nuesra dos variables, nuesro objeivo es medir el grado de asociación enre esas variables. Para nuesro ejemplo, en el primer análisis deerminamos que la relación es posiblemene de ipo lineal, uilizaremos el coeiciene de correlación lineal (el cual sirve para deecar parones de línea reca). Deinición: Se llama coeiciene de correlación a un índice numérico absraco, que indica el grado de relación enre dos variables. Es decir elcoeiciene de correlación mide el grado al cual se relaciona en orma lineal dos varibles enre sí. El más popular y uilizado de los coeicienes de correlación es el de Pearson, que para su aplicación es requisio indispensable que la correlación sea de ipo lineal. El coeiciene de correlación se calcula mediane la ecuación: donde: r = nxy ( x)( y) [ nx ( x) ] n y ( y) [ ] NOTACIÓN PARA EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN n Número de pares de daos x Suma de los valores de x y Suma de los valores de y x Indica que cada valor de x se debe elevar al cuadrado y luego sumar odos los cuadrados y Indica que cada valor de y se debe elevar al cuadrado y luego sumar odos los cuadrados ( x ) Indica el cuadrado de la suma de los valores de x (primero se suman los valores de x y la suma se eleva al cuadrado) ( y ) Indica el cuadrado de la suma de los valores de y (primero se suman los valores de y y la suma se eleva al cuadrado) xy Indica la suma de los producos de x y y (se muliplica cada valor de x por su correspondiene y y luego se suman los producos)

18 Unidad II Daos Bivariados 18 El valor de r siempre debe quedar enre 1 y +1 inclusive. Si r es cercano a 0, concluimos que no exise una correlación lineal signiicaiva enre x, y, pero si r esá cerca de 1 o +1, concluimos que exise una correlación lineal signiicaiva enre x, y. En la correlación de dos variables se disinguen dos casos básicos: los casos de correlación posiiva, que ocurre cuando al crecer o decrecer una de las variables la ora crece o decrece paralelamene. (es decir, ambas ienen el mismo comporamieno, ambas crecen o ambas decrecen). Por ora pare exisen ambién los casos de correlación negaiva que ocurre cuando al crecer una de las variables, la ora decrece (es decir ienen un comporamieno inverso). Los casos exremos ocurren cuando: 1.- La relación de dos variables es perecamene posiiva, o sea cuando al variar la primera, la segunda varía en las mismas proporciones y en la misma dirección, el coeiciene de correlación es La relación de dos variables es perecamene negaiva, o sea cuando al variar la primera, la segunda varía en las mismas proporciones pero en dirección conraria, el coeiciene de correlación es No exise relación enre dos variables, o sea cuando al variar la primera, las variaciones de la segunda no relejan dependencia o conexión alguna con las variaciones de la primera, el coeiciene de correlación es 0. Lo anerior signiica que, enre 0 y +1 cabe oda una gama de correlaciones posiivas, que serán ano más direcamene proporcionales, cuando más se acerquen a +1, Diagrama de dispersión con una correlación posiiva uere (r cercana a +1)

19 Unidad II Daos Bivariados 19 Diagrama de dispersión con una correlación posiiva moderada ( 0.5 r 0.8) Y enre 1 y 0 cabe oda una gama de correlaciones negaivas, que serán ano más inversamene proporcionales cuano más se acerquen a 1. Diagrama de dispersión con una correlación negaiva uere (r cercana a -1) Diagrama de dispersión con una correlación posiiva moderada ( 0.8 r 0.5 )

20 Unidad II Daos Bivariados 0 Los coeicienes de correlación en las cercanías del 0 indicarán ausencia de correlación. Diagrama de dispersión con una correlación posiiva (o negaiva) débil ( 0.5 r ) De acuerdo al valor del coeiciene de correlación, podemos describir el ipo de relacion exisene enre dos variables de acuerdo a la siguiene abla: C O R R E L A C I O N Tipo de Negaiva o inversa Posiiva o direca correlación Fuere Moderada Débil Débil Moderada Fuere Valor de R -1 a a a 0 0 a a a 1 Coninuando con nuesro ejemplo; calcularemos el valor del coeiciene de correlación lineal r para nuesro conjuno de daos, los érminos que necesiamos se obienen realizando los cálculos indicados en la siguiene abla. Ese ipo de abla acilia los cálculos. No. x y xy x x y xy x y y r = (8)(854) (18)(198) [(8)(380) ( 18) ][(8)(564) (198) ] [ ][ ] = r = 51 [ 656][ 908] = = =

21 Unidad II Daos Bivariados 1 De acuerdo a ese valor podemos concluir que exise una correlación lineal inversa (r es negaivo) signiicaivamene uere enre el ingreso y el porcenaje en gasos de alimenación, es decir a medida que el ingreso aumena, el porcenaje de ingreso gasado en alimenación disminuye. Ahora como sabemos ya, que exise una correlación lineal signiicaiva enre dos variables, queremos describir la relación enconrando la ecuación de la línea reca que la represena y poseriormene razando la gráica de la misma sobre el diagrama de dispersión. Esa ecuación se denomina ecuación de regresión y su gráica se denomina línea de regresión. Deinición: Dada una colección de daos de muesras apareados, la ecuación de regresión y ˆ = m x + b describe la relación enre las dos variables. Donde : m: es la pendiene de la reca de regresión b: es la ordenada al origen de la reca de regresión. ŷ : es el valor esimado mediane la ecuación de regresión. x: es la variable independiene. Esa deinición expresa una relación enre x (llamada variable independiene o variable predicora) y y (llamada variable dependiene o variable de respuesa). Los valores de b y m se calculan mediane las ecuaciones: m = n xy ( x)( y) n x ( x) b = y m n x Una vez evaluados m y b podemos ideniicar la ecuación de regresión esimada, que iene la siguiene propiedad: La línea de regresión es la que mejor ajusa a los punos de la muesra. Calculemos ahora los coeicienes de la reca de regresión para nuesro ejemplo, no es necesario realizar más cálculos ya que los necesarios esán en la abla que uilizamos para calcular el coeiciene de correlación: 8(85) (18)(198) m = = = = (380) (18) ( )(18) b = = = omando los valores de m y b, obenemos que la reca de regresión iene como ecuación:

22 y ˆ = x Unidad II Daos Bivariados La pendiene se puede inerprear como que por cada $1000 de ingreso el porcenaje de ingreso gasado en alimenación disminuye 0.94%. La ordenada al origen es el valor que se esperaría endría la variable dependiene cuando la variable independiene es cero. Pero hay que ener cuidado con su inerpreación pracica ya que en ocasiones no iene senido hablar de su valor. Para ese ejemplo su inerpreación no iene senido pracico ya que nos indicaría que cuando el ingreso es cero, el porcenaje del mismo gasado en alimenación es del 39.88%. No iene inerpreación prácica ya que al no haber ingreso no puede haber porcenaje de gaso. Usando la ecuación de regresión, para cada valor de x calculamos los valores de esimación mediane la reca de regresión, para eso susiuimos cada valor del ingreso en la ecuación de regresión, realizando las operaciones indicadas. Por ejemplo: Para x = 8 ŷ = *(8) = = Eso signiica que para un ingreso de $ el porcenaje de ingreso gasado en alimenación se esima en 3.31 % Para x = 9 ŷ = *(9) = = Eso nos indica que para un ingreso de $ el porcenaje de ingreso gasado en alimenación se esima en % Para x = 1 ŷ = *(1) = = y así sucesivamene. Los resulados de esas evaluaciones se expresan en la siguiene abla: No. X y ŷ Graicando en orma conjuna ano los daos pareados como la línea de regresión obenemos la siguiene gráica.

23 Unidad II Daos Bivariados 3 Cuando la reca de regresión se uiliza para deerminar valores de la variable Y considerando valores denro del rango de la variable independiene, decimos que esamos inerpolando valores. Cuando la reca de regresión se uiliza daos cercanos a los que conocemos para la variable independiene, pero que quedan uera de su rango se dice que esamos exrapolando valores o realizando un pronósico. Observación. Debemos ener presene que esa ecuación es una esimación de la verdadera ecuación de regresión ya que esa se basa en un conjuno especiico de daos muesra, ya que cualquier ora muesra exraída de la misma población probablemene proporcione una ecuación de regresión un poco dierene.

24 Unidad II Daos Bivariados 4 ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL Y DE CORRELACIÓN SIMPLE ALGUNAS PRECAUCIONES El empleo adecuado del análisis de regresión y de correlación proporciona herramienas úiles y poderosas para el análisis de daos. Sin embargo, se debe eviar su uso incorreco o la mala inerpreación de resulados al emplearla inapropiadamene. El hecho de que los daos indiquen una ala relación lineal no debe inerprearse como un indicio de relación de causa y eeco. Un coeiciene de correlación muesral muy signiicaivo, enre X e Y, puede ser un relejo cualquiera de las siguienes siuaciones: 1. X es causa de Y. Cuando las variaciones de la variable dependiene Y son eeco de las variaciones de X (Regresión causal).. Y es causa de X. Cuando las variaciones de la variable dependiene X, dependen causalmene de las variaciones de Y, (Relación causal) 3. Alguna ercera variable es causa de X y de Y, direca o indirecamene. Cuando las variaciones de Y no dependen de X sino que ambas varían en unción de una causa común. (Relación concomiane) 4. Ha ocurrido un eveno improbable y se ha obenido una muesra con coeiciene de correlación signiicaivo, como resulado de la casualidad solamene, en una población en la que X e Y no esán correlacionadas (Relación oruia) 5. La correlación es puramene espuria. Esas correlaciones son debido a suposiciones engañosas, y esa es uno de los principales peligras que hay que eviar, ya que el índice de correlación por sí sólo no consiuye evidencia de que exisa una relación plausible, o que el hecho de haber enconrado un alo coeiciene de correlación implique auomáicamene que exise dependencia enre las dos variables. En el análisis de regresión hay que proceder con cauela cuneado se esá considerando la predicción de Y para valores de X uera de los límies de aquella variable represenada en la muesra. Esa prácica, que denominamos exrapolación, puede producir resulados erróneos. Cuando se emplea una ecuación de regresión lineal simple para predecir Y en un valor de X más allá del límie superior de los valores de X de la muesra, se supone que la relación enre X e Y coninúa siendo lineal en esa región. Si la suposición no se hace, la predicción será errónea, El mismo razonamieno se aplica a la esimación de valores Y correspondienes a valores de X más pequeños que el valor mínimo de X en la muesra. Se debe usar la exrapolación solamene cuando de sabe que la relación es lineal en el área en que aquella iene lugar.

25 RESUMEN DE LA UNIDAD Unidad II Daos Bivariados 5 En esa unidad nos ocupamos del análisis de daos bivariados, es decir de inormación sobre elemenos de una muesra que describen dos de sus caracerísicas. Cuando las variables a esudiar son aribuos, la inormación la ordenamos ormando una abla de doble enrada denominada abla de coningencia. Con respeco a las ablas de coningencia, las hemos uilizado para obener Diagramas de barras que represenan la inormación. La disribución marginal para una de las variables. La consrucción del diagrama de barras para una disribución marginal. La disribución condicionada de una de las variables con respeco a un valor especiico de ora variable. La consrucción de la disribución condicionada de una de las variables. También se esudio la relación enre dos variables cuaniaivas mediane los procedimienos del análisis de regresión lineal y del análisis de correlación simple, y las hemos empleado para obener inerpolaciones de la variable dependiene conociendo algunos valores de la variable independiene. Se ha sugerido el siguiene procedimieno para el empleo del análisis de regresión lineal: 1. Ideniicar el modelo mediane el diagrama de dispersión.. Deerminar el valor del coeiciene de correlación de Pearson. 3. Obener la ecuación de regresión, mediane el méodo de mínimos cuadrados. 4. Uilizar la ecuación de regresión. Hemos esudiado el uso de la ecuación de regresión muesral para predecir el valor que probablemene omará Y para una X dada. El análisis de correlación se ha cenrado en el coeiciene de correlación de Pearson como medida de la uerza de la relación enre dos variables. Por úlimo hemos mencionado algunas de las precauciones que se deben omar en cuena cuando se emplea el análisis de regresión y correlación.