Los métodos de resíduos ponderados

Transcripción

1 Los métodos de resíduos poderados Ua ecuació diferecial: - d dx yhxlm+qhxlyhxl-fhxlã0 es equivalete a: Ÿ a I- d yhxlm+qhxlyhxl-fhxlmwhxl xã0 para cualquier whxl; dx dode whxl es cualquier fució para la cual la itegral tiee setido. A ua aproximació FHxL se le impodrá cumplir co ua versió meos exigete, es decir: Ÿ a I- d dx FHxLM+qHxLFHxL-fHxLMw khxl xã0 para ciertas w k HxL; dode 8w k HxL< k=1 es u cojuto de fucioes coocido como pesos o poderacioes. A su vez la solució aproximada FHxL será ua comiació lieal de ciertas fucioes liealmete idepedietes, llamadas fucioes ase: FHxL=f 0 HxL+ j=1 c j f j HxL. Como ejemplo Se va a calcular ua solució aproximada a ua ecuació diferecial ordiaria, lieal e ihomogéea, - d yhxlm+qhxlyhxl=fhxl, co las dx codicioes de frotera yhal=y a, yhl=y, como se muestra a cotiuació:

2 2 MEF00075poderados. I[1]:= y, p, q, f, a, D; := 1+x; := 0; := x; a = 0.0; = 5.0; y a = ; y = +; Prit@TraditioalForm@ x Hp@xD x y@xdl+q@xd y@xd f@xddd; Prit@TraditioalForm@y@aD y a DD; Prit@TraditioalForm@y@D y DD; Hx+1Ly HxL y HxL x yh0.l 1. yh5.l 1.

3 MEF00075poderados. 3 La solució aproximada FHxL será ua comiació lieal de ciertas fucioes liealmete idepedietes, llamadas fucioes ase: FHxL=f 0 HxL+ j=1 c j f j HxL. Cada fució ase f j HxL cumple co las codicioes de frotera f j HaL=0, f j HL=0, excepto f 0 HxL, que cumple las codicioes de frotera del prolema f 0 HaL=y a, f 0 HL=y. I[12]:= Clear@, φ, x, jd; = 3; φ := y a + y y a a Hx al; φ := x φ := x a Hx al; a φ := x a 2 Hx al; 3 Hx al; fucioes = TaleAφ 8j, 0, <E; PlotAfucioes, 8x, a, <, PlotLael "Fucioes ase φ j ", PlotRage AllE Fucioes asef j Out[19]= -

4 4 MEF00075poderados. La solució aproximada tedrá la forma FHxL=f 0 HxL+ j=1 c j f j HxL. El ojetivo será ecotrar los coeficietes c j que de la mejor aproximació a la solució de la ecuació diferecial: I[20]:= Clear@Φ, cd; Φ@x_D := φ c j φ j=1 Prit@"Forma de la aproximació a la solució:"d Prit@"Φ@xD=", TraditioalForm@Φ@xDDD Forma de la aproximació a la solució: Φ@xD=0.008c 3 Hx+0.L H5. xl c 2 Hx+0.L H5. xl c 1 Hx+0.L H5. xl+0.4 Hx+0.L 1. La ecuació diferecial puede escriirse de la forma: - d dx yhxlm+qhxlyhxl-fhxl=0 Si reemplazamos la solució aproximada FHxL e lugar de la solució exacta yhxl e el lado izquierdo de la ecuació aterior, el resultado ya o será exactamete cero. E su lugar otedremos ua fució coocida como residuo, rhxl: - d IpHxL d FHxLM+qHxLFHxL-fHxL=rHxL dx dx Aajo se puede ver la expresió para el residuo e este ejemplo: I[24]:= r@x_d := x Hp@xD x Φ@xDL+q@xD Φ@xD f@xd; Prit@"Residuo de la aproximació:"d; Prit@"r@xD=", TraditioalForm@r@xDDD Residuo de la aproximació: r@xd= 0.008c 3 H5. xl c 2 H5. xl c 3 Hx+0.L H5. xl 2 0.2c 1 H5. xl+0.08c 2 Hx+0.L H5. xl Hx+1L I 0.048c 3 H5. xl c 2 H5. xl+0.048c 3 Hx+0.L H5. xl+0.08c 2 Hx+0.L 0.4c 1 M+ 0.2c 1 Hx+0.L x 0.4 La ecuació diferecial: - d IpHxL d yhxlm+qhxlyhxl-fhxlã0 dx dx es equivalete a: Ÿ a I- d IpHxL d yhxlm+qhxlyhxl-fhxlmwhxl xã0 para cualquier whxl; dx dx

5 MEF00075poderados. 5 dode whxl es cualquier fució para la cual la itegral tiee setido. A la aproximació FHxL se le impodrá cumplir co ua versió meos exigete, es decir: Ÿ a I- d dx FHxLM+qHxLFHxL-fHxLMw khxl xã0 para ciertas w k HxL; dode 8w k HxL< k=1 es u cojuto de fucioes coocido como pesos o poderacioes. Aajo se puede ver las poderacioes que usaremos e este ejemplo. Fuero escogidas de forma aritraria: I[27]:= Clear@ω, x, jd; ω := Cos@xD; ω := Si@xD; ω := Exp@ xd; pesos = TaleAω 8j, 1, <E; PlotApesos, 8x, a, <, PlotLael "Poderacioes ω j ", PlotRage AllE Poderacioes w j Out[32]= -

6 6 MEF00075poderados. A la aproximació FHxL=f 0 HxL+ j=1 c j f j HxL se le impodrá cumplir: Ÿ a I- d dx FHxLM+qHxLFHxL-fHxLMw khxl xã0 para las 8w k HxL< k=1 pero el itegrado es el producto del resíduo por la k-ésima poderació: Ÿ rhxlwk a HxL xã0 para las 8w k HxL< k=1 al evaluar cada ua de las itegrales, se otiee ua ecuació cuyas icogitas so los parámetros c k que queremos oteer: I[33]:= ecuacioes = TaleB ω r@xd x 0, 8j, 1, <F; a Out[35]//TraditioalForm= Prit@"Resíduos poderados"d; TraditioalForm@TaleForm@ecuacioesDD Resíduos poderados c c c c c c c c c A cotiuació se muestra el sistema de ecuacioes e forma matricial: I[36]:= parametros = TaleAc j, 8j, 1, <E; 8v, m< = N@ CoefficietArrays@ecuacioes, parametrosd D; Prit@MatrixForm@mD, ".", MatrixForm@parametrosD, "==", MatrixForm@ vd D c 1 c 2 c 3 == Como ya teemos la matriz y el vector del sistema lieal, podemos oteer la solució usado el comado LiearSolve de Mathematica: I[39]:= LiearSolve@m, vd Out[39]= , , < Si emargo el comado NSolve proporcioa la misma respuesta e u formato

7 MEF00075poderados. 7 más útil para ser usado después e este documeto: I[40]:= solucioes = NSolve@ecuacioes, parametrosd Out[40]= 88c , c , c << La solució aproximada se otiee reemplazado los coeficietes c j e la expresió FHxL=f 0 HxL+ j=1 c j f j HxL. Aajo se le llama ghxl a la solució aproximada que se otiee por este procedimieto: I[41]:= g@x_d := ReplaceAll@Φ@xD, solucioes@@1dd D; Prit@"Solució aproximada por el método de resíduos poderados: "D; Prit@"g@xD=", g@xdd Solució aproximada por el método de resíduos poderados: g@xd= H0. +xl H5. xl H0. +xl H5. xl 2 H0. +xl H5. xl 3 H0. +xl Ésta es la gráfica de la solució aproximada co el método de resíduos poderados: I[44]:= Plot@g@xD, 8x, a, <, PlotLael "Solució aproximada por resíduos poderados"d 3 Solució aproximada por resíduos poderados 2 Out[44]= 1-1

8 8 MEF00075poderados. A cotiuació se muestra la gráfica de la solució aalítica exacta, oteida co el comado DSolve: I[45]:= solexacta = DSolve@8 x Hp@xD x y@xdl+q@xd y@xd f@xd, y@ad y a, y@d y <, y@xd, xd; exacta@x_d := Evaluate@Expad@ReplaceAll@y@xD, solexacta@@1dd DD D; Plot@exacta@xD, 8x, a, <, PlotLael exacta@xdd x 2 + x logh2hx+1ll Out[47]= - A cotiuació se muestra jutas la aproximació y la solució exacta e este ejemplo: I[48]:= Plot@8exacta@xD, g@xd<, 8x, a, <, PlotLael "Exacta y aproximada"d 3 Exacta y aproximada 2 Out[48]= 1-1

9 MEF00075poderados. 9 A cotiuació se muestra la gráfica del error de la aproximació e este ejemplo: I[49]:= Plot@exacta@xD g@xd, 8x, a, <, PlotLael "Error = Aalítica Aproximada"D Error = Aalítica-Aproximada Out[49]= Ejercicios 1. MÉTODO DE COLOCACIÓN Modifica éste documeto para oteer ua solució aproximada al mismo prolema, pero usa como pesos fucioes Delta de Dirac: ω 1D; ω 3D; ω 4D; Como cada ua de estas fucioes vale cero para casi todos los valores de x, o es posile apreciarlas e la gráfica de poderacioes. Si emargo, al completar los cálculos, dees oteer las siguietes gráficas para la solució y el error: MÉTODO DE COLOCACIÓN Error = Aalítica-Aproximada MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

10 10 MEF00075poderados. Modifica éste documeto para oteer ua solució aproximada al mismo prolema, pero usa como pesos las siguietes expresioes, que depede de las fucioes ase: ω D@φ xd, xd; ω D@φ xd, xd; ω D@φ xd, xd; Es decir, w k HxL= d dx f km Al completar los cálculos, dees oteer las siguietes gráficas para la solució y el error: MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS Error = Aalítica-Aproximada

11 MEF00075poderados MÉTODO DE GALERKIN Modifica éste documeto para oteer ua solució aproximada al mismo prolema, pero usa como pesos las mismas fucioes ase: ω φ ω φ ω φ Es decir, w k HxL=f k HxL Al completar los cálculos, dees oteer las siguietes gráficas para la solució y el error: MÉTODO DE GALERKIN Error = Aalítica-Aproximada Referecias Adaptado por José Luis Gómez Muñoz Basado e el traajo de Joh H. Mathews Autor José Luis Gómez Muñoz I[50]:= Out[50]= $Versio 9.0 for Microsoft Widows H64 itl HJauary 25, 2013L I[51]:= Out[51]= DateStrig@D Wed 2 Apr :53:56