UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO UNIDAD III. INFERENCIA ESTADÍSTICA

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1 UNIDAD III INFERENCIA ESTADISTICA (ESTIMACIÓN) 1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL VALLEJO ÁREA DE MATEMÁTICAS ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD II UNIDAD III. INFERENCIA ESTADÍSTICA ESTIMACIÓN PUNTUAL Y POR INTERVALO E la uidad II se trabajó co muestras tomadas de poblacioes dode sus parámetros se coocía, o bie, se podía tomar todas las muestras posibles de tamaño. Lo más comú es o coocer la població y el úico camio que queda es tomar muestras para poder estudiarla. E esta uidad se preseta la Estimació o Iferecia Estadística, para mostrar cómo se puede obteer estimadores de los parámetros descoocidos de ua població. Se muestra requisitos y el procedimieto para calcular los llamados itervalos de cofiaza, para la media y la població, dode esperamos ecotrar al verdadero valor poblacioal e estudio. INTRODUCCIÓN Las razoes para efectuar ua estimació e ua població, e lugar de estudiarla completamete puede ser, como ya se mecioo, que el tamaño de la població sea ifiito, que el muestreo sea destructivo, que la població sea fiita pero demasiado grade y alguas otras razoes como costo y tiempo. Por esto parece ser más práctico tomar muestras. Existe dos maeras básicas de hacer estimacioes: estimacioes putuales; e la cual se estima el parámetro descoocido por u solo valor. Estimació por itervalos, dode se estima el parámetro descoocido por medio de u itervalo de úmeros reales, el cual tiee asociado ua cierta probabilidad de coteerlo. Abril 007

2 UNIDAD III INFERENCIA ESTADISTICA (ESTIMACIÓN) ESTIMACIÓN. La estadística descriptiva o sólo os permite obteer u perfil del comportamieto de los datos muestrales; os permite tambié obteer estimacioes de parámetros poblacioales, lo que geeralmete es lo más importate. Por ua parte, e la població teemos medidas de tedecia cetral, de posició y de dispersió que so fijas e ivariables. Estas medidas so llamadas parámetros poblacioales o simplemete parámetros. Por ejemplo, la estatura promedio de la mujer mexicaa e la població es costate, así como su desviació estádar, su moda, su mediaa etc. Por otra parte, el cálculo de promedios, mediaas, etc. obteidos e ua muestra so estimacioes de esos parámetros. Estas medidas so llamadas parámetros estimados o estimadores. A diferecia de los parámetros poblacioales, los estimadores muestrales o so úicos, ya que varía al tomar distitas muestras de la misma població. E su carácter muestral, los estimadores so llamados medidas resume, estadígrafos o estadísticos. Los parámetros poblacioales habitualmete se simboliza co ua letra griega y sus estimadores co ua letra latia. Tambié es posible estimar distribucioes, coglomerados, etc. Característica Parámetro Estimador Media o Promedio μ X Desv. Estádar σ s Variaza σ s Error Estádar σ s Proporció π p Distribució Histograma Abril 007

3 UNIDAD III INFERENCIA ESTADISTICA (ESTIMACIÓN) 3 Las dos aplicacioes pricipales de la estadística iferecial implica el uso de datos de muestra para: a) estimar el valor de u parámetro de població, b) llegar a ua coclusió acerca de ua població. E esta uidad presetaremos métodos para estimar valores de los siguietes parámetros de població: medias y proporcioes. Cosideremos las temperaturas corporales de u grupo de u grupo de alumos, co base a estos valores de muestra, queremos estimar la media de todas las temperaturas corporales, podríamos usar ua estadística como la mediaa de la muestra, la mitad del rago o la moda como u estimado de la media μ de la població, pero la media de la muestra x es la que os da el mejor estimado de la media poblacioal. El uso de x se basa e u estudio y aálisis cuidadosos de la distribució de las diferetes estadísticas que podría servir como estimadores. U estimador es ua estadística de muestra que se usa para aproximar u parámetro de població. U estimado es u valor o itervalo de valores específico que se usa para aproximar algú parámetro de població. Dos razoes importates por lo que la media de ua muestra es u mejor estimador de ua media poblacioal so: a) E muchas poblacioes, la distribució de las medias de muestra x tiede ser más uiforme que las distribucioes de otras estadísticas de muestra. b) Para todas las poblacioes la media de muestra x es u estimador o sesgado de la població μ, lo que quiere decir que la distribució de las medias tiede a cetrarse alrededor del valor de la media de la població μ. Abril 007

4 UNIDAD III INFERENCIA ESTADISTICA (ESTIMACIÓN) 4 Por estas y otras razoes se utiliza la media como el mejor estimador de la media de la població. Puesto que la media de muestra x es u valor úico que correspode a u puto e la recta real, decimos que es u estimado putual. U estimado putual es u valor idividual (o puto) que se usa para aproximar u parámetro de població. La media muestral x es el mejor estimado putual de la media de la població μ. U itervalo de cofiaza (o estimació por itervalo) es ua gama (o u itervalo) de valores que probablemete cotiee el valor verdadero del parámetro de població. A u itervalo de cofiaza se le asocia u grado de cofiaza, que es ua medida de la certeza que teemos de que uestro itervalo cotiee el parámetro de població. El grado de cofiaza es la probabilidad 1 α de que el itervalo de cofiaza cotiee el verdadero parámetro de la població (al grado de cofiaza tambié se le da el ombre de ivel de cofiaza). Ahora estamos listos para desarrollar los procedimietos para estimar los parámetros de ua distribució muestral. La estimació comieza co ua muestra aleatoria y ua distribució de probabilidad asociada. Así los datos so utilizados par estimar e valor de los parámetros de la distribució de probabilidad. El primer objetivo e estudio estadístico es obteer u sólo úmero que mejor represete ua característica de la població. Abril 007

5 UNIDAD III INFERENCIA ESTADISTICA (ESTIMACIÓN) 5 Si θ represeta el parámetro poblacioal que deseamos estimar y ˆ θ es la estadística muestral o el estimador putual de θ. Por ejemplo θ puede ser el peso medio de los paquetes de las cajas de cereal de trigo, μ, o el porcetaje de familias que compra este tipo de cereal, π, así X, y ˆp so ejemplos de estimadores ˆ θ de los parámetros poblacioales. Coociedo la distribució de probabilidad podemos desarrollar ecuacioes matemáticas, llamados estimadores, las cuales puede ser utilizadas para estimar los parámetros. Def. U estimador putual ˆ θ, es ua fució de la muestra de datos que proporcioa u estimado de u parámetro descoocido. La media muestral y la mediaa so ejemplos de estimadores de la media poblacioal. La media tiee ua meor variaza que la mediaa para variables ormalmete distribuidas. La proporció poblacioal es u estimador de la probabilidad de éxitos e la distribució biomial. X i= 1 Por ejemplo la media muestral X = poblacioal μ (θ = μ ). i es u estimador putual ( ˆ θ = X ) de la media U estimador putual es u úmero calculado a partir de ua muestra de datos utilizado el estimador putual. Los estimadores putuales so variables aleatorias porque so fucioes de las observacioes muestrales que a su vez so variables aleatorias. El valor del estadístico varía de muestra a muestra, y o todos los valores estimados coicidirá co el valor del parámetro a estimar. Abril 007

6 UNIDAD III INFERENCIA ESTADISTICA (ESTIMACIÓN) 6 U bue estimador debe ofrecer, al meos e promedio, estimacioes correctas por lo que es deseable que tega las siguietes propiedades: U estimador isesgado, ˆ θ ; es u estimador dode el valor esperado es el valor del parámetro descoocido, matemáticamete E ( ˆ θ ) = θ Sesgo. Se llama sesgo a la diferecia que existe etre u estimador y el parámetro al cual estima. Este sesgo (o error) se preseta cuado hay problemas e la selecció de los sujetos que compoe la muestra, la calidad de los istrumetos utilizados, la cofiabilidad de las respuestas de persoas ecuestadas, etc. Evidetemete, mietras mayor es el sesgo, peor es la estimació del parámetro de iterés. Mietras mayor es la precisió, meor es el sesgo cometido. Cuado u estimador se "acerca" o "aproxima" cada vez más al parámetro al cual estima, a medida que el tamaño muestral aumeta, se deomia u estimador isesgado. Fialmete, dado que ua medida resume obteida e ua muestra es al fi y al cabo u sólo valor destiado a estimar u parámetro, y dado además que este estimador o es úico, suele llamarse u estimador putual. Se utilizará la distribució del estimador para calcular su valor esperado. U estimador es isesgado si el valor esperado del estimador es igual al del parámetro. Tato la media como la proporció muestral so estimadores isesgados. Estimador Eficiete Ua mayor eficiecia idica que el estadístico varía meos de ua muestra a otra Mayor precisió e la estimació del parámetro a partir del estadístico estimado e ua muestra. Abril 007

7 UNIDAD III INFERENCIA ESTADISTICA (ESTIMACIÓN) 7 Ej. Comparació de dos estadísticos: Media y mediaa. Cuál es más eficiete? σ σ ( X ) = y ( X ) ( X ) σ ( X ~ ) σ < ~ σ σ = 1.57 Ej. Ilustració eficiecia/sesgo El cetro de la diaa represeta el parámetro a estimar. Hacemos 10 lazamietos que represeta las estimacioes del parámetro e 10 muestras Isesgado Sesgado Sesgado Eficiete Eficiete Ieficiete Isesgado/ieficiete? La estimació promedio sería correcta, pero, al teer mucha variabilidad, podría ofrecer estimacioes muy alejadas del valor poblacioal E u cojuto de estimadores isesgados, el de meor variaza, se dice que es el más eficiete. La eficiecia relativa de dos estimadores es defiidas como: la razó de las variazas de los dos estimadores. Estimador Cosistete Abril 007

8 UNIDAD III INFERENCIA ESTADISTICA (ESTIMACIÓN) 8 Al ametar, aumeta la probabilidad de que el estadístico coicida exactamete co el valor del parámetro e las distitas muestras. U estimador cosistete es u estimador que se aproxima al verdadero valor del parámetro coforme el tamaño de muestra se icremeta. Estimador suficiete U estimador es eficiete si usa toda la iformació de la muestra. La estimació putual proporcioa u bue úmero para represetar u sistema o proceso de iterés, si embargo para u mejor etedimieto del proceso que se esta geerado e la població tambié se requiere de ua medida de variabilidad. Por ejemplo el úmero de autos producidos por día e ua fabrica es ua medida importate, más si embargo amplias variacioes hacia arriba o hacia abajo de la media puede resultar e excesivos costos de ivetario o a perdidas de vetas. Es por esto que ecesitamos obteer medicioes de tedecia cetral y de variabilidad, úmeros que cotega ambos, iformació y error. La más importate medida de variabilidad so la variaza y la desviació estádar. La desviació estádar de variables aleatorias ormales puede utilizarse juto co la media para calcular la probabilidad de que las observacioes esté detro de itervalos desigados. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA. Para realizar la estimació por itervalo para la media y la proporció utilizaremos itervalos que combie mediadas de tedecia cetral y de variabilidad. Abril 007

9 UNIDAD III INFERENCIA ESTADISTICA (ESTIMACIÓN) 9 El etedimieto de los itervalos de cofiaza, puede ser desarrollado cosiderado los siguietes ejemplos: Itervalo de cofiaza. El itervalo de cofiaza al (1 α )100% es calculado como: X ± Z α El itervalo de cofiaza es costruido de tal forma que (1 α )100% de los itervalos icluye a la media de la població. Z α Es el valor z positivo que establece la frotera de u área de α e la cola derecha de la distribució ormal estádar. σ Por ejemplo Deseamos estimar co itervalo de cofiaza, la tasa de producció por hora para u cierto cereal de trigo, la variaza de la taza de producció por hora es de 100. Ua muestra aleatoria de 5 horas de tasas de producció es recolectada, obteiédose ua media muestral de 90 uidades por hora, a partir de esta iformació deseamos costruir u itervalo de 95% de cofiaza. La ecuació para este itervalo es X ± Z0.05 σ Sustituyedo los valores de este ejemplo ecotramos que: 90 ± ± El itervalo es desde a 93.9 y podemos iterpretarlo como: Después de muchos itetos, el 95% de los itervalos de cofiaza costruidos utilizado este procedimieto deberá coteer la media de la població, tomado muchas muestras de tamaño 5 de esta població. Abril 007

10 UNIDAD III INFERENCIA ESTADISTICA (ESTIMACIÓN) 10 Cada itervalo es costruido a partir ua muestra aleatoria cetrada e la media muestral X. La media muestral puede diferir de muestra a muestra, y etoces los itervalos tambié ser diferetes. E muchos casos el itervalo icluye la media μ, si embargo, e el 5% de los caso el itervalo completo esta por arriba o por debajo de la media poblacioal μ, recordemos que la media poblacioal es siempre la misma, auque se coozca su valor. Esto es los itervalos puede variar de uo a otro. Depediedo del problema se puede calcular itervalos de cofiaza co diferetes probabilidades de error, u itervalo del 99% o cotiee a la media de la població e aproximadamete el 1% de los casos pero es más acho que el itervalo del 95%, e cotraste u itervalo al 90%, esquiva a la media de la població e el 10% de los casos siedo más agosto que el itervalo del 95%. Los itervalos de cofiaza so útiles porque proporcioa ua medida de tedecia cetral y ua medida de la variabilidad. Mostraremos ahora que el tamaño del itervalo puede ser cambiado al cambiar el riesgo o al cambiar el tamaño de la muestra. Como los itervalos de cofiaza so diferetes para cada media muestral X, ya que los itervalos de cofiaza está cetrados sobre la media de la muestra, y a que la media de la població es siempre la misma, etoces podemos asegurar que el (1 α )100% de los itervalos costruidos usado ua media de muestra X, cotiee a la verdadera media μ, es decir aproximadamete α 100% de las muestras puede o icluir a la media de la població. Los itervalos de cofiaza so calculados utilizado la desviació estádar de la població σ y el tamaño de la muestra. La desviació estádar de la media muestral Abril 007

11 UNIDAD III INFERENCIA ESTADISTICA (ESTIMACIÓN) 11 es igual a la desviació estádar de la població dividida por la raíz cuadrada de el tamaño de la muestra teemos que: σ σ P X zα μ X + zα = 1 α X ± Z α Esta forma efatiza que el acho del itervalo de cofiaza varia iversamete co la raíz cuadrada del tamaño de muestra, por tato u gra tamaño de muestra proporcioa u itervalo de cofiaza agosto de gra precisió. σ Ejemplo 1.- Se ha producido varios cietos de marcadores. El gerete está iteresado e la logitud de ua líea cotiua que puede ser trazada por cada marcador ates de que se quede si color, esto defie la vida útil del marcador. El gerete sabe que la variaza de la producció es de 65 m². 50 marcadores so seleccioados aleatoriamete y probados, obteiédose ua líea cotiua trazada promedio de 300 m. Costruya el itervalo de cofiaza del 95% para la vida útil de este lote de producció. Solució: = 50 Como el itervalo debe estar cetrado e el estimador putual, debemos x = 300 de dividir la cofiaza por dos, es decir 1 α = 0.95 = 0.475, co este valor σ = 65 1 α = 0.95 vamos a la tabla de distribució ormal para determiar el valor de z α, σ = 5 revisado la tabla para ecotrar el valor más próximo a obteemos que: z α = 1.96 Calculado el error estádar: σ 5 σ x = = = Sustituyedo e: x z σ μ x + z σ α x α x (3.5355) μ (3.5355) Abril 007

12 UNIDAD III INFERENCIA ESTADISTICA (ESTIMACIÓN) μ μ De acuerdo a la muestra podemos teer la cofiaza del 95% de que, la vida útil media de los plumoes se ecuetra etre m y m. Ejemplo.- Estamos iteresados e la media de los galoes de gasolia cosumidos por familias que toma semaas de vacacioes durate el mes de agosto. De ua muestra de 180 familias se ecotró que: x = 10 galoes y s = 66 galoes Podemos costruir el itervalo de cofiaza del 90% para el úmero promedio de galoes gastados por todos los viajeros durate estas dos semaas? Por qué si o por qué o? Si es posible hágalo. Solució: A pesar de que o coocemos la forma de la distribució de cosumo de gasolia y a que o coocemos la variaza de la població, podemos hacer uso de las estadísticas muestrales, ya que la muestra es grade y esto os permite utilizar el TLC. = 180 Dividiedo el ivel de cofiaza por dos y buscado e la tabla de la x = 300 distribució ormal estádar, obteemos que para 1 α = 0.90 = 0.45 da u s = 60 1 α = 0.90 valor de z α = 1.64 Calculado el error estádar: σ 66 σ x = = = Sustituyedo e: x z σ μ x + z σ α x α x (4.9193) μ (4.9193) μ μ De acuerdo a la muestra podemos teer la cofiaza del 90% de que, el cosumo promedio familiar de gasolia e esta dos semaas se ecuetra etre galoes y galoes. Abril 007

13 UNIDAD III INFERENCIA ESTADISTICA (ESTIMACIÓN) 13 TAMAÑO DE MUESTRA Hasta el mometo se ha hablado de hacer estimacioes de itervalo para la media, supoiedo que teemos datos coocidos de ua muestra, pero que pasa si o teemos aú la muestra, Cómo sabemos cuátos elemetos debemos seleccioar de la població?. Dado que el marge de error de estimació esta dado por: ε = z α podemos obteer ua expresió para despejado de la expresió aterior, por lo que: σ zα σ = ε El tamaño de muestra debe ser u úmero etero, pero e ocasioes esta expresió puede producir valores o eteros, para este caso debemos redodear al siguiete etero para asegurar que es del tamaño requerido. Ejemplo 1.- Ua psicóloga ha ideado ua ueva prueba de percepció espacial, y quiere estimar el putaje medio que alcaza los pilotos del sexo masculio. Cuátas persoas deberá probar si quiere que la media de muestra tega u error de o más de putos, co ua cofiaza del 95%. De u estudio aterior se sabe que σ = 1.1. Para ua cofiaza del 95% sabemos que: z α = 1.96 σ = 1.1 ε = 1 α = 0.95 Sustituyedo valores: 1.96(1.1) = = Dado que el resultado o es etero lo redodeamos al siguiete etero, por que el tamaño adecuado para alcazar esta cofiaza y máximo error es de141 o más. Ejemplo.- Se va a realizar ua ecuesta e u sector del área metropolitaa para determiar el igreso familiar promedio de ese sector. Se desea hacer ua estimació de la media co u valor que se ecuetre a $150 de la media verdadera co u ivel Abril 007

14 UNIDAD III INFERENCIA ESTADISTICA (ESTIMACIÓN) 14 de cofiaza del 99%. Se sabe de estudios ateriores que la desviació típica de la població es de $ Para ua cofiaza del 9% sabemos que: σ = 3000 ε = α = (3000) = = 150 ( 51.6) z α =.58 =65.56 Redodeado al siguiete etero positivo, esto os idica que el úmero buscado es 653 o más elemetos de l a població par lograr los objetivos plateados ESTIMACIÓN POR INTERVALO PARA LA PROPORCION. Al realizar ua ivestigació de mercado para FMC, se averigua que ua muestra aleatoria de 10 hogares cotiee 1054 e los que se posee u vehículo. Co base e este resultado, costruir u itervalo de cofiaza del 98% para el porcetaje de todos los hogares e los que se posee u automóvil. Dado que la població es grade podemos aplicar el Teorema Cetral del Límite. Calculamos la proporció muestral de hogares que posee automóvil; 1054 p = = Calculemos ahora la desviació estádar de la distribució de proporcioes como: σ p ( ) = = Para ua cofiaza del 98% z 0.01 =.33 El itervalo de cofiaza al 98% es: (0.0098) π (0.0098) π π Abril 007

15 UNIDAD III INFERENCIA ESTADISTICA (ESTIMACIÓN) 15 Esperamos que la proporció de hogares que posee automóvil se ecuetre etre 84.11% y 88.67%, co ua cofiaza del 98%. Ua pequeña firma compro u cojuto de 650 partes electróicas a ua gra compañía, y al revisar e ua muestra de 80 partes comprobó que 10 de ellas estaba defectuosas. Estime la proporció partes defectuosas para todo el cojuto empleado u itervalo de cofiaza del a) 90%, b) 95% Sol. Calculemos la proporció muestral de partes defectuosas: 10 p = = debido la població es fiita calculamos la desviació estádar de la distribució de proporcioes como: 0.15(1 0.15) σ p = = para ua cofiaza del 90% z 0.05 = 1.64 a) el itervalo de cofiaza al 90% es: (.0346) π (.0346) π π Se tiee ua cofiaza del 90% de que el porcetaje de defectuosos se pueda ecotrar detro del itervalo del 6.83% al 18.17%. b) para ua cofiaza del 90% z 0.5 = 1.96 el itervalo de cofiaza al 95% es: (.0346) π (.0346) π π Se tiee ua cofiaza del 95% de que el porcetaje de defectuosos se pueda ecotrar detro del itervalo del 5.7% al 19.8%. Abril 007

16 UNIDAD III INFERENCIA ESTADISTICA (ESTIMACIÓN) 16 TAMAÑO DE MUESTRA PARA ESTIMAR LA PROPORCIÓN Ahora describiremos el procedimieto para determiar lo grade que debe ser ua muestra cuado se desea ecotrar el valor aproximado de la proporció de ua població. Sabemos que el marge de error de estimació esta dado por: ε = z α despejado para obteer el tamaño de muestra: zα pq ˆˆ = ε Co esta expresió se debe teer u estimado preelimiar de ˆp, el cual se puede obteer por medio de u muestreo piloto o co datos históricos o u valor proporcioado por u experto. pq ˆˆ E caso de o coocer este valor se debe tomar el valor de 0.5 para ˆp, que es el valor que os daría la mejor aproximació al tamaño de muestra buscado, por lo que el tamaño de muestra es: zα = ε Ejemplo 1.- Ua firma publicitaria afirma que su reciete campaña publicitaria llego al 7% de las familias de cierta zoa de la ciudad. La cía. que cotrato a esta firma tiee dudas acerca de esta afirmació y desea hacer ua ecuesta para aclarar la situació. De qué tamaño debe tomar la muestra para teer u 98% de cofiaza y su estimació o tega u error mayor a 1.5%? pˆ = 0.7 Teemos que: = 65 1 α = 0.98 z = Abril 007

17 UNIDAD III INFERENCIA ESTADISTICA (ESTIMACIÓN) 17 = z pˆ(1 pˆ) α ε = (.33) (0.7)(1 0.7) (0.015) = El úmero míimo de muestra para cumplir co las codicioes establecidas es 4756 o más grade. PROBLEMAS PROPUESTOS I.- Marcar la respuesta correcta a cada ua de las afirmacioes siguietes, o completa la frase: 1) La estimació de tipo putual es más recomedable que ua por itervalo. V F ) U itervalo de cofiaza se costruye co el estimador y su desviació típica. V F 3) La formula para obteer u itervalo de cofiaza es: 4) U estimador es isesgado cuado su valor esperado coicide co el parámetro poblacioal. V F 5) Los errores típicos de estimació se puede obteer de: 6) U estimador es más eficiete que otro cuado su desviació típica es mayor. V F 7) La probabilidad asociada a u itervalo de cofiaza se relacioa co 8) El valor del coeficiete de cofiaza se calcula co Z y la tabla de distribució ormal. V F 9) El itervalo de cofiaza para estimar la proporció poblacioa l es: 10) A mayor ivel de cofiaza, mayor acho de itervalo. V F 11) A mayor tamaño de muestra, mayor acho de itervalo. V F 1) U estimador es cosistete cuado a medida que aumeta el tamaño de muestra, se aleja del parámetro poblacioal. V F 13) La media es u estimador de la desviació estádar de la població. V F 14) El úmero de elemetos de ua muestra o depede del ivel de cofiaza, V F 15) La estimació putual tiee ua alta probabilidad de ser igual al parámetro poblacioal, V F Abril 007

18 UNIDAD III INFERENCIA ESTADISTICA (ESTIMACIÓN) El colesterol de ua paciete medido 30 veces dio ua media de 56 mg/dl co ua desviació estádar de 3 mg/dl. Ecotrar el itervalo del 97%..- Medicioes de presió saguíea de 35 mujeres de edad avazada tiee ua media de 140 mm. de mercurio. Si estos datos se puede cosiderar como ua muestra tomada al azar de ua població ormal co σ = 10 mm. de mercurio, costruya u itervalo de cofiaza del 98% de la media de la població µ. 3.- Durate varios años, se había aplicado ua prueba de ivel de matemáticas a todos los alumos de primer igreso de cierta uiversidad. Si 64 estudiates, seleccioados al azar e este periodo tardaro e promedio 8.5 miutos e resolver la prueba co ua variaza de 9.3, costruya u itervalo de cofiaza del 99% del tiempo promedio verdadero que tarda u alumo de primer igreso e resolver el problema. 4.- La logitud de los cráeos de 10 esqueletos fósiles de ua especie de ave extita tiee ua media de 5.68 y ua desviació estádar de s = 0.9 mm. Supoiedo que estas medicioes está ormalmete distribuidas, obtega el itervalo de cofiaza del 95% para la logitud media de los cráeos de esta especie de aves. 5.- U especialista e geética está iteresado e la proporció de hombres africaos que preseta u desorde saguíeo leve. E ua muestra aleatoria de 100 de ellos, se ecotró que 4 presetaba dicho desorde. Calcule el itervalo de cofiaza del 99% para la proporció de hombres africaos que tiee este desorde saguíeo. 6.- U experto e eficiecia desea determiar el tiempo promedio que tarda el persoal de u foso de reparacioes e cambiar u cojuto de 4 eumáticos a u auto de carrera. Determiar el tamaño de muestra requerido para poder afirmar, co el 95% de cofiaza, que la media de muestra difiere de la media real e cuado mucho dos segudos. Por estudios realizados ates se sabe que la desviació estádar de la població es de 1 segudos. Abril 007

19 UNIDAD III INFERENCIA ESTADISTICA (ESTIMACIÓN) U geeral desea estimar la aptitud física promedio (medida a través de cierta prueba) de miles de soldados que tiee a su cargo, sobre la base de ua muestra aleatoria de ellos. El geeral desea que tal estimació tega u error de cuado mucho putos de la prueba, co ua cofiaza míima del 99%. Si sabe por experiecia que el valor de la desviació estádar es de 15, Cuál es el tamaño míimo de la muestra de soldados a quiees debe aplicar la prueba? 8.- Ua utrióloga estima, sobre la base de aálisis previos, que la desviació estádar del coteido de proteías por cada lata de atú de cierta marca es de aproximadamete 3. gr. Qué ta grade debe ser el tamaño de la muestra de latas que debe aalizar para que el error e la estimació del parámetro que descooce (µ) sea de cuado más 1.5 gr. Co ua cofiaza míima de a) 95%, b) 99%. 9.- Cierto porcetaje de estudiates de ua uiversidad cosidera que hay que cambiar el diseño de las evaluacioes de profesores, debido a que el formato actual las ha covertido e cocursos de popularidad y además se presta a vegazas recíprocas. Supoga que se lleva a cabo ua pequeña ecuesta piloto e las cafeterías y se observo que el 30% de los ecuestados maifestaro estar a favor de ua modificació e el diseño de las evaluacioes a docetes. Determie el tamaño de la muestra de estudiates que se debe ecuestar, para teer ua cofiaza del 95% de que el estadístico pˆ estime al parámetro P co u marge de error de cuado mucho 3% Supoga que e el ejercicio aterior o se realiza igua ecuesta piloto, y se desea calcular directamete el tamaño de la muestra bajo las mismas codicioes U grupo de cirujaos detistas, desea averiguar el porcetaje de adolescetes que requiere trabajos de ortodocia. Determie el tamaño de muestra de adolescetes que debe examiarse, co objeto de que el porcetaje de esa muestra sea represetativo del porcetaje verdadero de toda la població adolescete, co u marge de error de ± 4% y u ivel de cofiaza del 94%. Abril 007

20 UNIDAD III INFERENCIA ESTADISTICA (ESTIMACIÓN) E u plebiscito realizado etre los habitates de la ciudad de México, se realiza ua ecuesta cuyo objetivo es determiar la proporció de habitates que está a favor de que se costruya u segudo piso e ua importate aveida de la ciudad. Qué ta grade debe ser la muestra de persoas que respoda a esa ecuesta si se desea que el máximo error e la estimació sea igual a; a) 3% co 96% de cofiaza?, b) 0.0 co 95% de cofiaza?, c) 5% co 90% de cofiaza? 13.- U sodeo efectuado co 400 familias de cierta clase social de ua ciudad reveló u gasto promedio de 74 pesos e productos de tocador, co ua desviació estádar de 45 pesos. Determie los itervalos de cofiaza del 90%, 95% y 99% para estimar el gasto promedio mesual e productos de tocador, 14.- Si el redimieto promedio de 80 automóviles de la marca K, es de 10.9 km. por litro co ua desviació estádar de 4.5 km. Determie los itervalos de estimació del 9%, 96% y 98% para estimar el redimieto promedio de todos los automóviles de la marca K E ua muestra aleatoria de 1000 casas e ua determiada ciudad, se ecuetra que 8 de ellas tiee aire acodicioado. Ecuetre los itervalos de cofiaza del 90%, 96% y 99% para la proporció de hogares de esta ciudad co aire acodicioado Se seleccioa ua muestra aleatoria de 300 ciudadaos y 14 de ellos está de acuerdo co la Reforma Fiscal. Costruya los itervalos de cofiaza del 88%, 95% y 99.5% para estimar la proporció de ciudadaos que está de acuerdo co la Reforma Fiscal. Abril 007