Toría dl Gas Ral 0 OTRA MAERA DE VISUALIZAR LA EXPASIÓ DE U GAS. Itroducció E l prst capítulo s ivita al lctor a aalizar d otra mara la pasió o comprsió d u gas. E bas a sta mara difrt d ivolucraros l fómo trmodiámico, s plata l modlo l qu s basa la toría dl prst tto. S dsarrolla l balac d rgía dl modlo s prsta la cuació qu dscrib d mara acta l comportamito dl gas ral, la llamada Ecuació d la Etalpía Rsidual. Fialmt s rsulv problmas spcíficos qu ivolucra las propidads trmodiámicas dl itrógo ragos d prsió tmpratura, dod l comportamito d dicho gas s ala d l dl gas idal.. El Modlo Los ttos covcioals maa la pasió d u gas como producto dl icrmto d su tmpratura, rsultado d u aumto d la rgía ciética d sus moléculas. Esto stá uivrsalmt acptado sta obra o s la cpció. La divrgcia co sta toría cosist la tractoria qu sigu dichas moléculas cuado so citadas. Covcioalmt s acpta qu tals moléculas choca viaa d ua forma dsordada, su tractoria dpd úicamt d la colisió por lo tato, la prsió s l producto d millos d colisios co la pard dl cotdor. Si sto fura cirto, tocs cómo plicar lo siguit: Supogamos qu s ti u rcipit d trs mtros d altura dos mtros d diámtro, dicho cotdor pos ua boquilla para librar prsió d dos pulgadas. Est rcipit coti u gas cualquira, suto a ua dtrmiada prsió. Bao st squma l ára d boquilla rprsta sólo l 0.0% dl ára total d la suprfici itrior dl taqu. La toría d qu las colisios co la pard dl rcipit gra la prsió, sugir qu l momto d abrir la boquilla, l gas cotido l itrior trará cotacto co l trior coscucia la prsió dl taqu dismiuirá, sgú sto, por
Toría dl Gas Ral qu alguas d las moléculas dl gas qu choca tr sí, saldrá por l orificio como producto d u momtum grado por las colisios. Cómo crr qu por u ára d boquilla qu rprsta aproimadamt l 0.0% dl ára itrior dl taqu, s libr prsió ua rlació: P 0V 0P fv f mucho maor al 0.0%, si s supo qu s u fómo totalmt alatorio dod o itrvi ada más qu la colisió d las moléculas?, dicho d otra mara: Acaso la rlació tr áras o itrvi la probabilidad d qu ua molécula d gas al golpar otra, s diria al ára d la boquilla o s diria al 99.98% dl ára rstat?, Cómo plicar qu u caos d choqus molculars, usto al momto d abrir ua boquilla, d rpt las moléculas sal ordadamt por u 0.0% dl ára total?. E la prst obra s dfi qu, por l cotrario, las moléculas, al sr citadas, mprd tractorias co tdcias bi dfiidas hacia ua dtrmiada gomtría. Esta gomtría dpd d la forma spacial qu s sté trasfirido calor al sistma mcioado. Figura. Esfra gasosa d masa m suta a la trasfrcia d calor q E la figura. s prsta u modlo dod la trasfrcia d calor ti ua forma gométrica bi dfiida. Imagimos ua sfra gasosa d masa m, qu stá suta a la acció d ua fut d calor q. Dicha sfra origialmt ti u volum V 0 para qu, mdiat la acció d calor, icrmt su volum a V f a prsió costat. Situados la frotra d V 0
Toría dl Gas Ral lo qu s pud obsrvar s u movimito ormal al plao co ua aclració a, durat u timpo t. Est fómo físico bi pud sr cosidrado como fluo cocétrico stimulado por u cambio d dsidad las capas cocétricas, dod l prfil d dsidads s grado por l difrcial d tmpraturas, rsultado d la trasfrcia d calor. Supogamos qu s ti u matraz crrado suto a ua fut d calor costat a través dl cotoro dl vidrio. Sgú la toría d colisios dicho calor provoca ua citació molcular dl gas cotido qu llva a u úmro d choqus cotra l vidrio, los cuals provocaría qu la prsió s icrmt hasta u puto d fractura dl vidrio. Ahora si l procdimito s rpitis, pro co l matraz abirto, habría qu supor qu l vto sría l mismo pusto qu las colisios so producto clusivamt d la citació molcular. Pro la ralidad s qu, bao sta última codició, l matraz o sufr ruptura algua. Por qué?, Cuál s la razó qu vita qu l matraz s quibr, si s supo qu las colisios so totalmt alatorias, s dcir, o orita a molécula algua hacia igú lado spcífico, sio d ua mara dsordada?, por lo qu s spraría choqus molculars cotra l vidrio qu trmiaría co la fractura d ést. Estas prgutas o pud cotstars por la toría d colisios. Como s sab, l gas pos rgía ciética itra, qu s ua porció d la rgía itra U, la rgía ciética itra total s compo d: l movimito traslacioal d las moléculas, l movimito rotacioal d éstas fialmt, l movimito vibracioal d los átomos dtro d las moléculas. Admás s sab qu sólo la rgía traslacioal s mdida por la tmpratura dl gas. Es usto la rgía traslacioal dod s basa la hipótsis prstada st tto, l stido d qu las moléculas s traslada d ua mara ordada siguido u patró bi dfiido por la forma gométrica qu s sté trasfirido calor. La prsió d u gas o cambia como rsultado d colisios molculars, sio como rsultado d la aclració o dsaclració d las moléculas qu s traslada ordadamt. Cómo plicar tocs l fómo qu ocurr dtro dl matraz atriormt pusto? El calor trasfrido a través dl vidrio va formado distitas capas d dsidad l gas cotido, vr figura., sto gra dos furzas opustas tr sí: la primra pusta la figura., qu s pud
Toría dl Gas Ral 3 rprstar como l momtum grado por u cambio la talpía dl gas, rprstado por la siguit rlació: d H R ρ v d v Figura. Capas d gas cocétricas formadas dtro d u matraz La sguda furza s pud dfiir como l momtum grado por u cambio la prsió dl gas, mostrado d la siguit mara: d P ρ vdv Ambas furzas s aulará mutuamt simpr qu s cosrv la siguit igualdad: d H R d P Es importat mcioar qu para stas dos últimas rlacios auqu la dsidad s variabl, o s tratada así pusto qu su variació s míima tr capas colidats. E rsum: la pasió d u gas, l fcto microscópico dl distaciamito tr moléculas sucd, pro quda limitado por l fcto macroscópico dl momtum grado por l cambio d dsidad tr capas d fluido, producto dl cambio d talpía las mismas. E las capas dl fluido fialmt s produc l momtum; como l stiramito d ua liga, cua rsistcia so las furzas itrmolculars, qu más qu darl
Toría dl Gas Ral furza cocidrabl d arrastr a las moléculas, la qu obti d la Etalpía Rsidual, l da dircció al vctor l stido spacial opusto l qu s stá trasfirido calor. Furzas a las qu l año 873 Johas Didrik va dr Waals adudicara las dsviacios obsrvadas d la l dl gas idal..3 Balac d Ergía sobr l Modlo Aplicado l balac d rgía al sistma mcioado, s ti qu l cambio d rgía dtro dl sistma cotabiliza trs tipos: la rgía itra, la rgía ciética la rgía potcial. Mitras qu la rgía d los alrddors cocist l calor trasfrido l trabao ralizado. Todo sto os llva a la coocida cuació: Es dcir: U E c E P ± Q ± W (.) v U g Z Q W (.) El calor trasfrido al sistma s dscompo la suma d dos talpías: la talpía cotida por l gas: H g la Etalpía Rsidual: H R, qu s la rgía qu usa l gas su movimito d pasió, misma qu toma d la rgía calorífica qu s stá trasfirido. Esto s rprsta la siguit cuació: Q H g H R (.3) Itroducido la famosa cuació d la rgía itra, s ti lo siguit: U H g PV (.) Cosidrado úicamt l trabao ralizado por la masa dl fluido W PV, u procso a prsió costat dod admás, los fctos d la gravdad srá covitmt dsprciados, sustitudo (.3) (.) (.) s llga a lo siguit:
Toría dl Gas Ral 5 v H R 0 (.5) E forma difrcial, s prsta a cotiuació: d H R Itgrado s ti lo siguit: v dv (.6) ( v v ) H v dh R vdv (.7) H v Figura.3 Vctor vlocidad origiado por u cambio d talpía El sigo gativo (.6) sigifica qu l stido dl vctor vlocidad s cotrario al d la trasfrcia d calor. E la figura.3 s rprsta l vctor vlocidad para la pasió d u gas
Toría dl Gas Ral 6 coform trascurr l procso, s formará u prfil d vlocidads, producto d u prfil d dsidads, ést último formado por ua fut d calor q. Vr figura... S tid qu dicho procso iiciará co ua aclració qu irá dismiudo hasta qu la trasfrcia d calor llgu a su fi. Figura. Procso d pasió d u gas.. La Ecuació d Covcció- Difusió sobr l Modlo Aplicado la Ecuació d Covcció-Difusió para u gas l qu mpzará la trasfrcia d calor, s pud obsrvar claramt qu térmio corrspod a la talpía dl gas H g qu térmio corrspod a la Etalpía Rsidual H R, dicha cuació s prsta dos dimsios a cotiuació: T T T T T ρ Cp u v k Q t t t (.8) Sabmos qu la talpía dl gas la Etalpía Rsidual, rspctivamt s rprsta por las siguits rlacios:
Toría dl Gas Ral 7 H g T T T ρ Cp ; H R ρcpu v (.8a) t t t Sustitudo (.8a) (.8), s ti lo siguit: H R H g Q Qu s la cuació (.3), prviamt prstada. Es importat rcalcar qu (.8) rprsta dsidad costat lo cual o s ustro caso, pro para fis d plicar la difrcia tr Hg, H R cosidrado qu s ralmt poco l cambio d dsidad putual, la tomamos válida para u puto dl domiio.la cuació (.8a) stablc qu la vlocidad d las capas dl gas s fució clusiva d la Etalpía Rsidual qu l úico factor dod itrvi la aturalza dl gas, s dcir, l tipo d compusto, s la capacidad calorífica Cp. Por lo qu s tdrá difrts Etalpías Rsiduals coscucia, difrts vlocidads para cada sustacia, Sutas a la misma fut d calor. Esto último coduc obviamt a qu s tga difrt volum sgú l compusto para la misma fut d calor.. Ahora supogamos qu stamos l timpo dód la trasfrcia d calor ha trmiado, si aplicamos sta codició a la cuació (.7) s ti lo siguit: v 0 v v v ct (.9) La cuació (.9) stablc qu ua vz qu csa la trasfrcia d calor qu provocó l fluo másico cocétrico, l gas cotiúa padiédos a vlocidad costat. Sólo ua furza mcáica tra al fómo trmodiámico dtdría l procso. Si rgrsamos al momto iicial, dod pricipia l procso, l qu l sistma stá rposo, s dcir, l istat l qu la primra capa iiciará a primtar movimito ormal al plao, cuado s sab qu v 0. Sustitudo valors (.7) para st momto, obtmos la siguit rlació:
Toría dl Gas Ral 8 v H R 0 v0 H R (.0) Dod v 0 s la vlocidad iicial d la primra capa como l gradit d tmpratura irá dismiudo csariamt, lugo tocs s ti la crtza d qu sta vlocidad s, tambié, la máima qu pud alcazar l sistma: v ma H R (.).5 La Ergía Ciética Ivolucrada l Procso La figura.5 mustra l simpl aálisis d la rgía ciética ivolucrada la pasió dl gas. El ára bao la curva rprsta dicha rgía stá tambié rprstada por la itgral d la cuació (.7). Por qué o cosidrar la cuació qu dscrib la pasió d u gas d u volum iicial a otro fial, la rgía ciética, si d algua mara ti qu cotabilizars las propidads d stado fials? Figura.5 Ergía ciética ivolucrada la pasió d u gas
Toría dl Gas Ral 9 La Etalpía Rsidual másica s obti a partir d la cuació (.6) para u total d masa m, u dtrmiado volum. S ti lo siguit: d H R ρ v dv (.) Dod d H R s la Etalpía Rsidual másica por uidad d volum.6 Ecuació d la Etalpía Rsidual La cuació gral d stado para gas ral, tomado cuta la Etalpía Rsidual d (.7) icorporádola a la rlació P,V T, quda dfiida d la siguit mara: PV vdv RT (.3) Dod R s la costat uivrsal d los gass. Esta última rlació para ua masa dfiida s prsa d la siguit mara: PV m v R T g c (.) La cuació (.3) dfi l comportamito d todo gas ral d mara acta, a qu todo factor a ivl molcular qu puda ifluir las propidads trmodiámicas dl compusto, fialmt qudará cotabilizado la rgía ciética dl gas. El térmio ircial d (.3) ha stado aust todas las cuacios d stado atriors a ésta. La cuació (.3) cumpl co la Primra L d la Trmodiámica, sta cuació rcib l ombr d Etalpía Rsidual, pusto qu si s sustitu (.3) (.7), s pud vr claramt qu s la Etalpía Rsidual la rgía origiadora dl fómo trmodiámico.
Toría dl Gas Ral 0.7 Procso a Volum Costat Supogamos u sistma idético al dscrito l modlo d la scció., pro ahora la frotra cotdora srá sólida, s dcir, la vlocidad d la capa trma srá igual a cro. Para fis d dmostració, s dsprciará la coductividad térmica d dicha frotra, lo qu s busca s dscribir l fómo trmodiámico dtro d la frotra o la frotra misma. Para st caso particular, s ti la crtza d qu la vlocidad fial d las capas dl gas tdrá a cro para fis prácticos, así como cro, la cosidrarmos. Substitudo (.7) la mcioada vlocidad fial tomado cuta la masa dl gas m, s ti lo siguit: H mv R 0 g c (.5) Sustitudo (.5) (.) s llga a lo siguit: P ˆ o P ρ H R (.6) Dod P 0 RT / V, qu s la prsió si l gas fus cosidrado como idal. El sgudo térmio d la drcha (.6) rprsta la iflucia qu ti sobr la prsió dl gas l movimito dl mismo, l térmio dl fcto ircial. Dbido a qu la rgía itra dl gas s fució clusiva d la tmpratura, así tambié lo so la talpía l Cp. Es por ésto qu: Q Cp T, s para todo tipo d procso, o sólo aqullos a prsió costat [Smith t al (987)] Gas itrógo a 85 Psia s caltará d 76 o K hasta 9 o K a volum costat d V.336 ft 3 ; s dsa coocr la prsió fial. S ti los siguits datos primtals: La dsidad s ρ 0.977 lb / ft 3 H 55. BTU / lbmol Bas d cálculo: lbm
Toría dl Gas Ral H 55.5 BTU / lbmol Cp.65 BTU / o K lbmol La Etalpía Rsidual, como s dio atriormt, s la difrcia tr l calor total trasfrido, qu s l calor trasfrido l procso dl gas idal Q o, a qu st tipo d gas o toma cuta la rgía ciética dl procso, mos l calor cotido por l gas, qu s la difrcia d talpías tr l stado uo, H l stado dos, H. Esto s prsa d la siguit mara: El calor trasfrido l procso d gas idal, Q o s mustra a cotiuació: Q o Cp T o o ( 9 K 76 K ) BTU.65 0. o lbmol K BTU lbmol La talpía qu coti l gas, H g s la siguit: BTU H g H H 55.5 55. 0.3 lbmol Lugo tocs d (.3), la Etalpía Rsidual s la siguit: 0 BTU H R Q H g 0. 0.3. lbmol La prsió para l stado idal, P o s calcula d la mara tradicioal como s mustra a cotiuació: o P ( 85) ( 55.6) 89.9 Psia 96.8 La prsió fial s obti d (.6) substitudo valors aplicado factors d covrsió como s mustra sguida:
Toría dl Gas Ral. 777.65 P 89.9 90 8 ( 0.977 ) Psia La prsió fial primtal tambié s d 90 Psia..8 Procso a Prsió Costat Gas itrógo icrmta su volum a prsió costat d 85 Psia al caltars dsd 5 o K hasta 350 o K; s dsa coocr l volum fial dl gas (cuo valor primtal s d.8 ft 3 ), si l volum iicial s d V.05 ft 3. S ti los siguits datos primtals: H 97.5 BTU / lbmol H 685. BTU / lbmol Cp.69 BTU / o K lbmol Bas d cálculo: lbm El calor total trasfrido Q o s obti igual qu la scció atrior, como s mustra sguida: Q 0 (.69) ( 350 5) 8. BTU lbmol El calor cotido por l gas s l siguit: BTU H g H H 685. 97.5.7 lbmol La Etalpía Rsidual s obti d la siguit mara: 0 BTU H R Q H g 8..7 5.5 lbmol El volum d gas idal V o s obti d la forma tradicioal:
Toría dl Gas Ral 3 V (.05) ( 630) ( 57.).875 ft 0 3 Tabla.: Volum d itrógo gas pis cúbicos, sgú prsió (Psia) tmpratura ( o K). T 00 o K P EXP Idal VDV RW SWR PR EER.7.597.695.700.700.69.683.597 0.0 3.353 3.8 3.375 3.385 3.379 3.3 3.357 30.0.0.99.8.87.3.7.0 0.0.66.7.678.689.63.67.6 50.0.80.379.307.333.87.3.80 60.0.09.9.07.086.05.09.050 70.0 0.883 0.985 0.90 0.97 0.887 0.933 0.883 80.0 0.759 0.86 0.790 0.787 0.76 0.80 0.759 90.0 0.66 0.766 0.685 0.703 0.688 0.708 0.66 00.0 0.583 0.689 0.6 0.66 0.59 0.63 0.583 T 8 o K P EXP Idal VDV RW SWR PR EER.7 8.67 8.99 8.73 8.73 8.8 8.50 8.65 0.0 6.5 6. 6.8 6.0 6.3 6. 6. 30.0.33.6.3.39..0.30 0.0 3.090 3. 3.09 3.099 3.099 3.053 3.096 50.0.69.97.68.7.7..67 60.0.053.080.056.05.055.005.05 70.0.756.78.756.756.755.703.755 80.0.533.56.533.533.53.80.533 90.0.360.388.359.359.359.307.360 00.0..5.3.3.3.66.0
Toría dl Gas Ral Sustitudo (.5) (.), pro ahora dspado para volum s ti lo siguit: V m P o V ˆ R (.7) Sustitudo valors (.7) aplicado factors d covrsió s llga a lo siguit: V ( 5.5) ( 777.65) ( 85) ( 8) ( ).875.8 ft 3 El valor dl volum calculado coicid co l primtal. La tabla. mustra ua sri d volúms calculados a apartir d ua dtrmiada tmpratura para difrts prsios, utilizado difrts cuacios d stado. Las siguits corrlacios matmáticas: Idal, gas idal; VDV, Va dr Waals; RW, Rdlich-Kwog; SWR, Soav; PR, Pg Robiso; S compara co: Ep, datos primtals EER, Ecuació d la Etalpía Rsidual. Como s pud obsrvar dicha tabla, l rago d maor dsviació d las corrlacios matmáticas sobr todo d la dl gas idal, cotra los datos primtals d (.3), ocurr a baas tmpraturas altas prsios, como ra d sprars, l rago usto dod la dsidad dl gas s maor. Esto tambié pud plicars dsd la prspctiva qu, mitras más dso s l gas, maor rgía s rquir su movimito, lugo tocs maor Etalpía Rsidual s rquir covrtir rgía ciética mos idal s comporta l gas. E tabla. s v claramt qu, como s dio co atrioridad, las corrlacios matmáticas s austa a los datos primtals sólo para alguos ragos, pro para otros s dsvía irrmdiablmt su comportamito. E ralidad los datos obtidos por EER dbría sr idéticos a los d Ep, pro l problma aquí s qu EER s utiliza l Cp como s sab, st factor s fució d la tmpratura s rquir d prsios mu prcisas dl Cp para obtr datos idéticos.
Toría dl Gas Ral 5.9 Coclucios E l prst capítulo s dsarrolló la toría s prstó la Ecuació d la Etalpía Rsidual. S dfiió cómo, mdiat ua trasformació d ua part d la talpía qu gaa o cd l gas rgía ciética, s adquir vlocidad. Est fómo físico ti otro puto importat qu cotmplar: Psmos qué pasaría, hipotéticamt si o sólo ua part, sio todo l calor s covirtis movimito (.3). Es dcir qu H g 0 H R Q si aplicamos (.) para talpía másica para dtrmiar cual sría la máima vlocidad capaz d dsarrollars. Ahora si sustituimos la famosa cuació d Eistai E mc, s ti lo siguit: v Hˆ c c (.8) Ma R Dod c s la vlocidad d la luz.
Toría dl Gas Ral 6 ITERACCIÓ CO OTRAS LEYES. Itroducció E l prst capítulo s prsta d qu mara itractúa la Ecuació d la Etalpía Rsidual co otras ls como so: La L d Bol La L d Charls. Tambié s dsarrolla la EER, para llgar a la Primra L d la Trmodiámica, comprobado qu dicha cuació cumpl co sta l.. Itractuado co la L d Bol E l siglo XVII l químico Robrt Bol (67-69) proució la l qu llva su ombr acrca dl comportamito dl gas cuado s hac variar algua propidad d ést, la sguda dició d su obra: uvos primtos físico-mcáicos acrca d la lasticidad dl air sus fctos (66). El uciado d Bol s l siguit: Si la tmpratura d u gas s mati costat, la prsió rcida por l gas varía ivrsamt co l volum. La prsió matmática d sta l s la siguit: PV k B (.) Dod k B s ua costat qu toma cosidració l úmro d moléculas la tmpratura.
Toría dl Gas Ral 7 Figura. Evas co pistó dos posicios: (a) (b) Todo sto s pud visualizar mdiat l mplo d u vas d gas co u pistó movibl la part suprior, como s mustra la figura.. El procso iicia como s mustra la figura. (a) para trmiar como s mustra. (b). Es dcir, qu l pistó rcorrió ua distacia tal, qu rduo l volum dl cotdor a la mitad. Todo sto a tmpratura costat. Si l producto d la prsió por l volum da ua costat, drivado (.) s ti lo siguit: d PV 0 (.) Itgrado dl stado al stado, s llga a lo siguit: P V P V (.3) Ahora bi, si sabmos qu V V sustitudo sta última rlació (.3), s coclu lo siguit: P P (.)
Toría dl Gas Ral 8 La rlació (.) pruba l uciado d Bol. Ahora lo qu s busca, itractuado co sta l, s qu a partir d la EER obtgamos (.) para las mismas codicios. Para llo s dsarrolla l siguit procdimito: Si l volum s rduo a la mitad s sab qu l ára s costat, lugo:. Difrciado sta última rlació co rspcto al timpo tmos lo siguit: d d t d (.5) d t Lo qu s pud rscribir así: v v (.6) Para itroducir la EER drivamos (.) co rspcto al timpo, sabido d atmao qu la rlació PV s costat qu tambié la tmpratura T, prmac costat. Dsarrollado térmios s coclu lo qu s mustra a cotiuació: d dt mv g mv c g c 0 (.7) Aplicado la drivada s llga a lo siguit: dv mv dt dv mv (.8) d t Esto lo podmos prsar d la siguit mara: m a v m a v (.9) Aplicado la sguda l d wto: F ma, (.9), s obti lo siguit:
Toría dl Gas Ral 9 F v F v (.0) Dividido ambos lados d la igualdad tr l ára A itroducido la rlació tr furza prsió a (.0), s llga a lo pusto a cotiuació: Es dcir: F F v v (.) A A P v P v (.) Sustitudo (.6) (.), s llga a (.) como s mustra a cotiuació: P P Evidtmt qudó rsulto qu la EER, bao las mismas codicios qu la l d Bol, llga a los mismos rsultados. Pro ésto va más allá. Esto dmustra a su vz, qu bao stas codicios, la o idalidad dl gas o ti igú fcto sobr l procso. Por qué? Buo; l prst tto s sosti qu s la trasfrcia d calor, ustamt, dod s prsta la o idalidad dl gas. Es dcir, bao l uciado d Bol l stido d gar la trasfrcia d calor al sistma, cualquir gas s comporta como idal. Es d sprars, tocs, qu procsos dod sí s cosidr la trasfrcia d calor, l factor d o idalidad s maifist..3 Itractuado co la L d Charls El físico fracés Jaqus Aladr César Charls (76-83) dscubrió la siguit rlació tr l volum d u gas su tmpratura: El volum d ua catidad d gas, matido a ua prsió fia, varía dirctamt co la tmpratura Klvi. E forma matmática s ti lo siguit: V k T (.3)
Toría dl Gas Ral 30 Dod k s la costat d proporcioalidad. Supogamos l procso dsrcrito la scció. mostrado por la figura., dod s ti la pasió d u gas d u volum V hasta otro volum V, supoido qu V V. Ahora bi, difrciado (.3) s ti lo siguit: V d 0 (.) T Itgrado (.) dl stado al stado s mustra sguida: O bi: V V V d 0 (.5) T T T V T V (.6) T Dádolo fució d V, s llga a lo siguit: Es dcir: V T T V T T (.7) La itció s, ahora llgar a (.7) a partir d (.3). Para llo comsarmos drivado los trs térmios d (.3) como s mustra a cotiuació: ( PV vdv) drt d (.8)
Toría dl Gas Ral 3 Dsarrollado (.8) a prsió costat tmos lo siguit: PdV vdv RdT (.9) Itgrado para los stados l térmio d la drcha l primr térmio d la izquirda, lo qu s mustra a cotiuació: PdV P( V V ) (.0) RdT R( T T ) (.) Ats d sustituir (.6) (.9), s itgra l térmio d la Etalpía Rsidual, como s mustra sguida: dh R H R (.) Por lo tato (.9) s pud rprstar d la siguit forma: P V V H R T T (.3) R Dsarrollado (.3), cosidrado qu V V, s ti lo siguit: PV H R R T T (.) R Para l stado sólo para s istat s pud otorgar lo siguit: PV T R (.5)
Toría dl Gas Ral 3 Dbido a qu la trasfrcia d calor o ha iiciado aú l stado, (.5) s pud aplicar, pus l fcto d o idalidad o s ha prstado todavía. Esto da d sr válido para l istat postrior. Sustitudo (.5) (.) obtmos la siguit rlació: H T T R (.6) R Esta última rlació s mu parcida a (.7) pro vidtmt toma cuta l fcto d o idalidad dbido a qu para st caso, la trasfrcia d calor stá ivolucrada d mara dircta l procso, a difrcia d la scció. dod o s ivolucra.. Itractuado co la Primra L d la Trmodiámica La itció ahora, s llgar a la primra l d la trmodiámica a partir d (.3). Para llo s cosidra l procso dscrito la scció. mostrado por la figura. utilizamos la a dsarrollada cuació (.9) tomado cuta la rlació d la costat uivrsal d los gass co las capacidads caloríficas: R Cp Cv, como s mustra sguida: d PV v dv C dt C d T (.9a) p v Sustitudo (.6) (.9a) itgrado todos los térmios, llgamos a lo qu sigu: dh Cp dt PdV R Cv dt (.7)
Toría dl Gas Ral 33 Utilizado las coocidas rlacios trmodiámicas d H U co sus rspctivas capacidads caloríficas sustitudo (. ) (.7) s ti lo siguit: PV H H U (.8) R g Sustitudo (.9) (.8) aplicado la rlació dl trabao co la prsió l volum W PV, admás d ragrupar térmios llgamos a la siguit igualdad: U Q W (.9) La cuació (.9) s la Primra L d la Trmodiámica para sistmas crrados, s dcir, sistmas dod o ha cambios la rgía potcial dl gas dod dicho gas o staba prviamt movimito..5 Coclusios E st capítulo s prstó la itracció co las fórmulas d Bol, Charls la Primra L d la Trmodiámica, cocludo qu todas stas ls la EER guarda ua rlació d corrspodcia. Pro para l caso d la l trmodiámica lo importat fué dmostrar qu s cumpl co s importat uciado d la fisicoquímica. Quizá l lctor s prgut l por qué s stá utilizado cocptos propios dl gas idal como aqullos usados (.9a) (.7) por aú, s mzcla co la toría d gas ral. Buo, la rspusta s la siguit: Al pricipio d st tto s stablc claramt l cocpto d qu la toría dl gas idal, cocrtamt la cuació, o s icorrcta para l cálculo d st tipo d procsos, simplmt stá icomplta. Es por so qu factors como las capacidads caloríficas o la costat uivrsal so corrctos su uso la toría d gas ral. Estos factors o s modifica por l hcho d qu ua porció dl calor trasfrido al gas, sa utilizada, trasformada rgía ciética para qu ést logr padirs o comprimirs, sgú sa l caso.
Toría dl Gas Ral 3 3 MODELO DEL GAS REAL 3. Itroducció Ua vz dfiido l procso d pasió dl gas como u movimito d capas cocétrico, pud aplicars la toría d fluo comprsibl a la comprsió o pasió d u gas. Todo sto basado strictamt (.). Sabmos qu los modlos matmáticos para fluo comprsibl varía sgú l tipo d fluo, a sa suprsóico, sóico o subsóico. Auqu (.8) mustra qu toría, s pudis dsarrollar grads vlocidads, lo cirto s qu l fómo qu os atid s l fluo subsóico. E l prst capítulo s dsarrolla l modlo para fluo comprsibl. 3. La Ecuació d Cotiuidad Las fucios comus utilizadas para l modlo d fluo comprsibl so: (,, z, t ) ; ψ (,, z, t ) Llamadas l potcial d vlocidad la fució d corrit, rspctivamt. Si dfiimos a la dsidad como ua propidad cotiua utilizado ua dscripció Eulriaa, s stablc qu sta s ua fució
Toría dl Gas Ral 35 tato d la posició como dl timpo. Utilizado l sistma d coordadas cartsiaas rctagulars s dfi así: ρ ρ (,, z, t ) U cambio d sta variabl quda dfiido por mdio d la siguit prsió: ρ ρ ρ ρ dρ d d dz dt (3.) z t El pricipio d la cosrvació d la masa stablc qu la masa dfiida dtro d u sistma prmac costat. Cosidérs u lmto stacioario d u volum d d dz l spacio, a través dl cual ist fluo d matria, como s idica la figura 3.. Ahora si rstrigimos l aálisis dl fluo úicamt la dircció dl, la vlocidad d trada d matria a través dl plao z situado s: ( v ) ρ ddz (3.) La vlocidad d salida d matria a través dl plao situado d stá dado por: ( v d ) ρ d dz (3.3) Para los otros plaos pud scribirs cuacios aálogas. La vlocidad d acumulació d matria l lmto d volum s dfi así: ρ dddz t (3.) Ralizado u balac d matria los trs s coordados s obti la siguit prsió:
Toría dl Gas Ral 36 ρ dddz t ( ρv ρv ) ( ρv ρv ) ( ρv ρv ) z d d z dz (3.5) Figura 3. Rgió d volum fia l spacio Dividido (3.5) tr d d dz tomado límit cuado stas dimsios tid a cro, s ti lo siguit: ρ ρv t ρv ρv z z (3.6) Qu s la cuació d cotiuidad, la cual dscrib la variació d la dsidad coform cambia la vlocidad másica ρ v. El sigo gativo stablc la dismiució d la dsidad d fluo d matria por uidad d volum. Utilizado otació vctorial s llga a la siguit prsió: ρ ρ (3.7) t ( v )
Toría dl Gas Ral 37 3.3 Formulació dos Dimsios La cuació d cotiuidad (3.7) dos dimsios pud prsars como: ρ ( ρu ) ( ρv ) (3.8) t La fució d corrit l potcial d vlocidad s pud dfiir a través d las siguits rlacios: u ρ 0 0 ψ ρ ρ ψ v (3.9a) ρ u v (3.9b) Dod u s la compot horizotal v la compot vrtical d vlocidad. Para facilitar l dsarrollo qu s llvará a cabo s itroduc la siguit otació: ψ ψ ; ψ ψ
Toría dl Gas Ral 38 ; ; ψ ψ ψ ψ ; ψ ψ ; ; ψ ψ ψ ψ ; A cotiuació s prsta l dsarrollo para obtr la cuació difrcial qu gobira l fómo bao studio térmios dl potcial d vlocidad substitudo las prsios (3.9) (3.8), utilizado la otació prstada, s llga a lo siguit:
Toría dl Gas Ral 39 ρ ρ (3.0) t ( ρ ) Dsarrollado la difrcial (3.0) s ti l siguit rsultado: ( ) ρ ρ ρ ρ (3.) t Otra mara d dscribir la cosrvació dl momtum qu os sirv para dsarrollar l modlo s la siguit: ρ v ρ d ρ v d v (3.) Arrglado térmios s llga a la siguit prsió: d ρ d v ρ (3.3) v Si covitmt dfiimos qu v c, dod c s la vlocidad dl soido quda así: Sustitudo (3.) (.), s ti lo siguit: d ρ d v ρ (3.) c c ˆ R d H (3.5) d ρ E (3.5) s toma l valor absoluto pus l sigo sólo mustra l stido. La cuació (.) forma vctorial quda d la siguit mara:
Toría dl Gas Ral 0 dhˆ R v ρd u v ρd ρd (3.6) Substitudo (3.6) (3.5) s ti lo siguit: dhˆ R ρ dρ d (3.7) c c Difrciado (3.7) co rspcto a a, s prsta las siguits prsios: ρ ρ c ( ) (3.8) ρ ρ c ( ) (3.9) Sustitudo (3.8) (3.9) (3.) arrglado térmios s obti: ρ c (3.0) c c t S pud vr qu l úico térmio qu stá fució dl timpo s l d la drcha (3.0), podmos tocs dfiir l térmio mcioado como la siguit fució:
Toría dl Gas Ral ρ G t (,, t ) Multiplicado por c, s obti fialmt: c c G (3.a) Esta última prsió s la cuació gral qu gobira l comportamito d u gas térmios dl potcial d vlocidad. Por comodidad l aálisis, cosidrarmos stado stabl l rsto d las sccios d st tto, cpto la scció.6 corrspodit a la formulació para gas ral. Por lo qu G (,, t) 0 la cuació (3.a) la rscribirmos como s mustra a cotiuació: ( c ) ( c ) 0 (3.b) La variació d c fució dl potcial d vlocidad quda rprstado d la siguit mara: k c c u ( v ) 0 k c ( ) 0 (3.) Dod k s la rlació tr calors spcíficos C p / C v. Esta última cuació s d orm utilidad, a qu para la solució d (3.b) por métodos uméricos s mu covit utilizar u procdimito itrativo sta última cuació (3.) s mpla para dtrmiar la vlocidad dl soido, misma qu s utilizada (3.b), cada ua d las itracios.
Toría dl Gas Ral Las codicios frotra típicas para los problmas gobrados por las cuacios (3.b) (3.) so las d uma Dirichlt. Estas s prsa, rspctivamt, d la siguit mara: f g (, ) Γ (, ) Γ (3.3) El dsarrollo térmios d la fució d corrit s mu similar al pusto atriormt para l potcial d vlocidad procd d la siguit mara: Para iiciar co l siguit procdimito covi rcordar qu las compots dl vctor vlocidad s dfi térmios d la fució d corrit a través d las siguits rlacios: ρ0 ρ0 u ψ ; v ψ (3.) ρ ρ La magitud dl vctor vlocidad cualquir puto stá dado térmios d la fució d corrit por la siguit prsió [Shapiro(976)]: v ( ψ ψ ) u v (3.5) ρ La codició d irrotacioalidad térmios d la fució d corrit, supoido qu s ti u fluo uiform, s prsa d la siguit mara: Ѵ v 0 (3.6)
Toría dl Gas Ral 3 0 v u (3.7) u v (3.8) Sustitudo (3.6), (3.7) (3.8) (3.), s ti lo qu sigu: ψ ρ ψ ρ (3.9) Difrciado (3.9) acomodado térmios: ρ ψ ρ ψ ψ ψ ρ (3.30) A partir d (3.6) s obti l siguit rsultado: v d dh R ρ (3.3) Si s combia (3.3) co (3.7) la rlació quda así: v R d c u d c c dh d ψ ψ ρ ρ ρ ρ (3.3) Difrciado l térmio d la trma drcha, s ti:
Toría dl Gas Ral ρ ρ ψ ψ ρ ψ ψ ψ ψ ρ ρ ρ d d d c d (3.33) A partir d (3.33) s pud dtrmiar las drivadas parcials ρ ρ : c ψ ψ ρ ψ ψ ψ ψ ρ ρ (3.3) c ψ ψ ρ ψ ψ ψ ψ ρ ρ (3.35) Si stas drivadas parcials s sustitu (3.6), s ti: 0 c c c ψ ψ ψ ρ ψ ψ ρ ψ ψ ρ (3.36) La cuació d la vlocidad dl soido térmios d la fució d corrit stá dada por la siguit prsió: 0 k c c ψ ψ ρ (3.37) Ahora para cotiuar co l dsarrollo s csario dfiir l úmro Mach: v M c (3.38)
Toría dl Gas Ral 5 La rlació tr l úmro Mach la dsidad s dfi así: 0 k M k ρ ρ (3.39) Sustitudo (3.5) (3.36) (3.37) s obti la prsió qu prmit rlacioar la fució d corrit térmios dl cocit ρ o / ρ : 0 k c k ψ ψ ρ ρ ρ (3.0) Multiplicado (3.36) por ρ c s obti: [ ] [ ] 0 c c ψ ψ ψ ψ ψ ρ ψ ψ ρ (3.) Esta última s la cuació gral qu rig l comportamito d u gas térmios d la fució d corrit. Similar a la formulació para l potcial d vlocidad, las codicios frotra para (3.) so:,, Γ Γ f g ψ ψ (3.) 3. Técicas para Rsolvr Problmas d Fluo Comprsibl
Toría dl Gas Ral 6 Las técicas para rsolvr problmas d fluo comprsibl so pricipalmt uméricas. Si mbargo alguos casos s pud obtr rsultados co la itgració d sistmas d cuacios difrcials ua forma aalítica. Abordarmos brvmt la técica d Difrcias Fiitas para postriormt prstar l Método d Elmtos Fiitos, técica utilizada l prst tto para rsolvr problmas d fluo comprsibl. Difrcias Fiitas El método más comú para la rsolució d problmas d fluos gral, fu l d Difrcias Fiitas, l cual rmplaza las cuacios difrcials origials qu modla l problma por u couto d cuacios algbraicas. El aálisis cosist discrtizar l ára co ua malla d odos. E cada odo s aproima la drivada corrspodit dtro d la cuació difrcial por mdio d ua cuació algbraica d modo qu s obti u sistma d cuacios algbraicas, l cual s rsulv para las variabls dpdits cada odo. A cotiuació s prsta l dsarrollo d difrcias fiitas para la cuació d fluo potcial dos dimsios stado stabl. Para l lctor qu ds más dtall dl tma, s sugir cosult la litratura corrspodit. La cuació d Laplac térmios dl potcial d vlocidad s rprsta d la siguit mara: 0 (3.3) Suto a u valor coocido d ua porció dl cotoro qu dlimita al domiio a u valor coocido d la part rstat d la frotra dod l fluo s uiform. La técica d Difrcias Fiitas divid la rgió comprdida por l fluido ua malla d odos, qu pud sr quidistats como s mustra la figura 3.
Toría dl Gas Ral 7 Figura 3. Rprstació d malla difrcias fiitas Las distacias horizotals vrticals tr cada odo so, rspctivamt,. Los subídics i, dota la posició dl odo. i, (, ) (3.) Ua aproimació algbraica para la drivada d la fució co rspcto a coocida como difrcias hacia adlat, ti la siguit forma: i (, ) ( ), i, D ua forma más compacta quda así: (3.5) i, i, ( ) i, i, (3.6) Ua aproimació similar, pro ahora para la sguda drivada, s la siguit:
Toría dl Gas Ral 8 i i i i i,,,,, (3.7) Mdiat u procdimito similar s llga a las rlacios co rspcto a : i i i i,,,, (3.8) tambié :,,,,, i i i i i (3.9) Las fórmulas d Difrcias Fiitas atriors proporcioa u valor acto l límit cuado 0 0, simultáamt. Si mbargo l aálisis umérico s mati fiitos los tamaños d. Justamt d ahí l ombr d Difrcias Fiitas. La figura 3.3 s ua típica malla para Difrcias Fiitas qu rprsta la scció ifrior d ua pasió d 5 o. Sustitudo las cuacios (3.7) (3.9) la cuació d Laplac (3.3) s obti lo siguit: i i i i i,,,,, β β (3.50) Dod: β (3.5)
Toría dl Gas Ral 9 El factor β dpd dl tamaño d malla slccioado, l valor más usual s ua malla β, cuadrada, para lo cual la cuació (3.50) s rduc a la siguit prsió : i, ( i, i, i, i, ) (3.5) Por lo qu cada valor odal srá igual al promdio aritmético dl valor d sus cuatro vcios imdiatos. Las vlocidads horizotal vrtical s obti co las cuacios (3.6) (3.8), rspctivamt. El mplo d st método la solució aproimada d problmas complos la mcáica d fluidos gral, a ti más d cicuta años. Est método prsta dficicias ( s difrcía dl Método d Elmtos Fiitos) cuado s prsta situacios como: gomtrías, o codicios d frotra complas. Figura 3.3 Malla d difrcias para pasió d 5 grados Figura 3. Malla d difrcias Fiitas para ua gomtría irrgular
Toría dl Gas Ral 50 La figura 3. mustra ua gomtría irrgular discrtizada por ua malla d Difrcias Fiitas. La lía cotiua rprsta la frotra irrgular. S pud vr qu s prácticamt imposibl situar actamt los odos dicha frotra. Para solucioar st problma, s ti qu ivolucrar opracios adicioals para itrpolar los valors d los parámtros aldaños obtr l valor d los parámtros la posició acta d la frotra. Esto último, lógicamt, tra como coscucia rror adicioal la solució aproimada. Sumada a stas dficicias dl método s ti otra más: La codició frotra típica para problmas d fluidos cocist la drivada ormal, usto la frotra: f (, ) Γ Para rsolvr st último dtall, s csario rcurrir, ua vz más, a alguas opracios d itrpolació qu, como a s mcioó, ivolucra rror adicioal a la solució aproimada. 3.5 El Método d Elmtos Fiitos (MEF) El Método d Elmtos Fiitos s ua técica umérica para obtr solucios aproimadas a cuacios qu dscrib l comportamito d fómos físicos sutos a iflucias tras. Eist difrts altrativas para formular las cuacios dl MEF a partir d la cuació origial sus codicios frotra: Método Dircto: Ua fució aproimació s sustitu dirctamt la cuació difrcial origial para obtr las cuacios algbraicas. Método Variacioal: Ua fució aproimació s sustitu l fucioal asociado a la cuació difrcial para podr sr tratado como fució o como fucioal. La fució s trmizada, a qu dicho
Toría dl Gas Ral 5 fucioal stá rlacioado co pricipios d rgía, para obtr las cuacios algbraicas. Método d Rsiduos Psados o Podrados: La difrcia tr la cuació difrcial origial valuada para la fució solució acta la cuació difrcial valuada para ua fució aproimació, s cooc como rsiduo. El promdio podrado d st rsiduo todo l domiio s hac cro. 3.6 El Método Variacioal Est método pos alguas vtaas sobr los dmás, alguas d llas so: El fucioal pos u claro sigificado físico: la tropía dl sistma. El fucioal stá formado por drivadas d la fució solució d mor ord, comparadas co las d la cuació difrcial asociada, sto aumta la catidad d fucios d forma qu pud utilizars. La formulació variacioal prmit trabaar como codició d frotra atural, codicios d frotra complicadas. Etr los métodos variacioals stá: Ritz, Katrovich Trfftz, tr otros. El Método Ritz s ua técica práctica para obtr ua solució umérica aproimada dirctamt a partir d la formulació variacioal. El siguit dsarrollo stá basado l prstado por Brutt (988). S busca hacr stacioario l fucioal, s dcir, obtr u trmo máimo o míimo d ést. Para ésto, sgú l cálculo variacioal, s prciso aplicar la primra variació a dicho fucioal, lo cual s rprsta d la siguit forma: δ I ( ) 0 (3.53)
Toría dl Gas Ral 5 Substitudo (3.53) ua fució aproimació, l fucioal s covirt ua itgral d parámtros, a qu la itgral co rspcto a a pud sr valuada co auda d los valors spcíficos. Esto trasforma l problma dl uivrso dl cálculo variacioal (dod las variabls idpdits so fucios), al uivrso dl cálculo itgral (dod las variabls idpdits so parámtros), sto quda prsado d la siguit mara: [ ( ; ; ) ] I ( ) I (3.5) Dod, so parámtros d la fució aproimació. Ahora la itgral d la fució la podmos hacr stacioaria aplicado las rglas dl cálculo itgral, igualado a cro la drivada d la fució, como s prsa a cotiuació: di 0 (3.55) di I I... I d d dm m 0 (3.56) Dod m s l úmro total d putos discrtos l domiio. Dbido a qu cada parámtro pud variar idpditmt d los dmás para qu s cumpla (3.56), s csario qu cada coficit por sparado valga cro. Esto s pud prsar d la siguit mara: I 0; I I 0 ;... m 0 (3.57) Las prsios (3.57) costitu l sistma d cuacios algbraicas a rsolvr. 3.7 MEF para Fluo Comprsibl; Estado dl Art
Toría dl Gas Ral 53 Ha varios modlos MEF para fluo comprsibl, a cotiuació s prsta alguos: Modlo d Loard Las cuacios qu gobira l fluo comprsibl o viscoso, stado stabl isotrópico, so lializadas [d Vris t al (970)]. Cosidrado qu l fluo total cosist u campo d fluo coocido más ua prturbació impusta, las cuacios rsultats so prsadas forma matricial d la siguit mara: 3 [ P ] { v} [ Φ]{ v} { 0} (3.58) Dod [Φ] [P ] so matrics d parámtros dl fluo pricipal v s l vctor qu s prsa d la siguit mara: { v} u v w ρ (3.59) Dod las variabls atriors s dfi d la siguit mara: u v w ρ u v w ρ (3.60) c c c ρ Dod u, v ω so las compots d la vlocidad d prturbació, cualquira qu ésta sa. ρ s la dsidad d prturbació. c ρ so la vlocidad local dl soido la dsidad, rspctivamt dl fluo pricipal.
Toría dl Gas Ral 5 La rprstació Elmtos Fiitos para v s substitu (3.58) para obtr l rsiduo R l lado drcho, lugar d cros. El sistma matricial d cuacios s obtido utilizado la siguit prsió dl Método d Rsiduos Psados: Ω W ip R dω 0 i (3.6) p,... ; i,... M Modlo d Gldr Est modlo stá basado la suposició d fluo comprsibl subsóico, bidimsioal, isotrópico irrotacioal [d Vris t al (970)] dod s db cumplir la siguit prsió: ( v) 0 Ω g (3.6) Co codicios frotra d Dirichlt, dod g, s ua fució d la posició d v v El siguit fucioal db sr miimizado: I Ω v v 0 g ( d v v) dd (3.63) La dsidad, al igual qu (3.39), pud sr prsada d la siguit forma: k ρ k 0 (3.6) ρ c0
Toría dl Gas Ral 55 Modlo d d Vris, Brard, orri Las cosidracios so: fluo comprsibl o viscoso, bidimcioal, isotrópico irrotacioal stado stabl [d Vris t al (970)]. Dod la cuació difrcial parcial o lial qu rig l comportamito s: c c 0 (3.65) Dod la vlocidad dl soido d rfrcia s prsa d la siguit mara: ( ) c A B (3.66) Las compots A B s dfi d la siguit forma: A k k c v ; B (3.67) Las codicios frotra so, primro, la d Dirichlt: g Γ (3.68) la d Cauch, qu s prsa d la siguit mara: d Φ α 0 Γ (3.69) d La solució a la cuació d campo suta a las codicios frotra atriors, s aqulla fució σ qu hac stacioario l siguit fucioal:
Toría dl Gas Ral 56 Φ Ω Ω D dd d c c I ασ σ θσ σ σ ϕ σ σ σ σ σ (3.70) Mdiat u método d Ritz itrativo, dod para cada itració las fucios c, ϕ, θ Φ so icorporadas como fucios d posició coocidas, las cuals s dtrmia co la solució d la itració atrior las siguits prsios: c c ϕ θ ϕ 3 3 3 (3.7) Dod so los compots d la ormal a la frotra. 3.8 Coclusios E l prst capítulo s dsarrolló la mtodología para obtr las cuacios qu dscrib l comportamito dl fluo comprsibl, ua vz qu s dtrmió qu l gas sigu st comportamito su procso pasivo o comprsivo. S hizo u rpaso dl stado d art d st fómo físico, para prstar las bass d las hrramitas qu s utilizará l capítulo siguit para rsolvr problmas d gas ral.
Toría dl Gas Ral 57 FORMULACIÓ DE ECUACIOES PARA EL MEF. Itroducció E st capítulo s mostrará l procdimito dl MEF para obtr la matriz d rigidz l vctor furza, s dcir, l sistma d cuacios algbraicas corrspodits cua solució proporcioa los valors aproimados dl potcial d vlocidad los odos. Est procdimito s basa aplicar l método Ritz. Es importat comtar qu l valor dl potcial d vlocidad por sí solo, o s suficit para ralizar l aálisis qu qurmos, s csario tambié las drivadas parcials d sta fució co rspcto a a. para obtr los prfils d vlocidad, prsió dsidad.. Formulació para Fluo Comprsibl Como s vió l capítulo 3 ha distitas formas (modlos) para la formulació d st tipo d problmas. Admás l problma pud sr
Toría dl Gas Ral 58 formulado utilizado l potcial d vlocidad o la fució d corrit. La formulació térmios d ψ, ti l tipo d codicios frotra ψ ct. Para todo tipo d frotras sólidas, si mbargo l valor d sa costat s dscoocido. Para solucioar s tipo d problmas d Vris t al (97) dsarrollaro u procdimito d fluo icomprsibl basado ua técica d suprposició. Dod para la frotra Γ : ψ g, g s ua fució coocida. El siguit paso s rprstar la solució complta como la suma d dos parts como s prsa sguida: ( ) ψ (, ) bψ (, ) ψ, (.) Dod b s ua costat a dtrmiar. D sta mara l problma s modifica a rsolvr dos problmas por sparado prsados como sigu: ψ 0 Ω (, ) Γ ψ g (.) ψ 0 Γ ψ 0 Ω ψ 0 Γ (.3) ψ Γ Los sistmas d cuacios (.) (.3) s pud rsolvr por algú procdimito dl MEF. Ua vz obtidas ψ (, ) ψ (, ) s obti b d la cuació (.) valuado ψ (, ) algú puto d Ω crca d la frotra Γ dod ψ (, ) s coocida. Esto rsulta ua cuació a rsolvr para b así compltar l procdimito d solució.
Toría dl Gas Ral 59 Para l caso d la formulació térmios d o s csario aplicar lo atriormt pusto tato para fluo icomprsibl como para fluo comprsibl. Cuado s utiliza la formulació térmios dl potcial d vlocidad, alguas codicios d frotra so dl tipo uma, como s mustra la figura., para frotras sólidas o frotras dod la prturbació (cualquira qu ésta sa), o surta fcto. Est tipo d codicios d frotra s pud prsar d la siguit mara: 0 (.) Las codicios d frotra para tradas o salidas so dl siguit tipo: U (.5) Dod U, s la vlocidad d fluo si prturbacios Figura.: Codicios d frotra usuals para.
Toría dl Gas Ral 60 El fucioal asociado co st problma ti icorporadas stas codicios d frotra aturals la itgral d lía, si mbargo la solució d st fucioal fució d las codicios frotra d uma carc d uicidad [Hubr (98)], lo qu llva a qu cuado s discrtiza l domiio s formula sambla las cuacios, la matriz [K] sa sigular. Para vcr st obstáculo, s slccioa uo, o alguos odos s l asiga u valor a llos, s dcir, s stá impoido ua codició d frotra Dirichlt l odo (vr figura. b), lo cual s pud prsar d la siguit mara: costat (.6) La itrprtació física d sta última codició d frotra s qu sa rgió dl domiio, l vctor vlocidad s prpdicular al ára trasvrsal dl fluo. Esto s logra rgios aladas a las prturbacios cualsquira qu sa, como s mustra la figura..3 Dscripció dl Problma E sta scció s aalizará fluo comprsibl, dos dimsios, irrotacioal, o viscoso isotrópico. Como a s ha mcioado aquí, la cuació qu rig l comportamito dl fluido s ua cuació difrcial parcial o lial dos dimsios. El procdimito d solució cocist dicrtizar la rgió lmtos formular las cuacios corrspodits. Ha varias técicas itrativas d liarizació para rsolvr sistmas o lials tr otras stá: la itració d wto-raphso la itració d Poisso. Ua d las formas más comus d tratar l fcto d comprsibilidad d los fluidos, qu rprsta, prcisamt la o lialidad dl sistma, s utilizado u algoritmo d liarizació itrativa dl tipo Picard. Los térmios o lials d la cuació s pasa al lado drcho d la igualdad s valúa
Toría dl Gas Ral 6 utilizado ua solució prvia (d la itració atrior) d mara similar a ua fució forzat. Est método fu usado por Raligh 96 para l aálisis d fluo comprsibl utilizado técicas d variabl compla [Od(986)]. Partido d la cuació (3.b) dsarrolládola, s ti lo siguit: c c 0 (.7) Agrupado los térmios o lials u lado d la igualdad s obti lo siguit: ( ) (.8) c Obsrvado l térmio d la drcha (.8) sustitudo la fució por, s dcir, la fució la itració prvia a la itració, podmos scribir la cuació atrior d la siguit mara: F ( ) (.9) Qu s la cuació d Poisso, simpr cuado s utilic forma itrativa.. El Fucioal Asociado El fucioal asociado al problma [Hubr (98)] qu forma itrativa, como s vió la scció prvia, s quivalt a la cuació d campo (.9), tambié forma itrativa sus rspctivas codicios d frotra (3.3), s prsa a cotiuació: ( ) [ F ( )( )] dω f Γ Ω Γ (.0)
Toría dl Gas Ral 6 Dod Γ Ω s la itració imdiata postrior a la itració óts qu l sgudo térmio d la drcha ivolucra la sigut codició d frotra, dod l sigo gativo rprsta solamt l stido dl fluo: f U Γ (.) La prsió (.) s utiliza para tradas o salidas. La itrprtació física s qu u fluo atravisa sa rgió, cuado ésta, stá lo suficitmt alada d la prturbació. S pud cocluir qu dicho fluo, sa rgió stá compusto por vctors d vlocidad prpdiculars al plao d trada o salida, sgú sa l caso. Es dcir, o ha compots vrticals d la vlocidad.para sa rgió. Vr figura.. Para frotras sólidas s utiliza la cuació (.). La otra codició d frotra qu utilizarmos s la a mcioada Dirichlt: (, ) costat Γ g (.) Esta última codició d frotra s pud itrprtar como qu sta part dl domiio, l cambio d a lo largo dl cotoro Γ s igual a cro. Esto s mustra a cotiuació: 0 S costat Γ Dod S s la suprfici a lo largo dl cotoro Γ. Esto implica qu l vctor vlocidad s prpdicular al ára trasvrsal, como s había mcioado a. Sólo para mplificar las codicios d frotra atriors, s toma como domiio ua pasió coordadas rctagulars dos dimsios, figura..
Toría dl Gas Ral 63 La frotra Γ cumpl co la codició Dirichlt úicamt cuado sa rgió stá lo suficitmt alada d la prturbació, para qu ésta última o surta fcto sobr l fluo. Cab aclarar qu la dsigació d frotras Γ Γ s idistita, s sgú l stido. Es dcir, si l fluo s d izquirda a drcha, las frotras so como las mostradas figura., pro si l fluo s stido cotrario, s ivirt los subídics Γ. Figura. (a) Rprstació d la fució d corrit ua pasió
Toría dl Gas Ral 6 Figura. (b) Rprstació dl potcial d vlocidad ua pasió. Volvido al dsarrollo qu culmió co la cuació (.9), la fució F ( ) s prsa d la siguit mara [Hubr (98)]: c F (.3) Dod la vlocidad dl soido s prsa d la siguit mara: 0 k c c (.) La prsió (.) s la cuació (3.) ada más qu aquí quda prsada térmios d la itració, rcordado qu c o s la vlocidad dl soido d rfrcia k s la rlació d calors spcíficos. E térmios d la itració, la cuació (3.b) ragrupada, s la cuació d Poisso (.9), lo cual quir dcir qu al asigar u dtrmiado
Toría dl Gas Ral 65 valor a la cuació (.3), s obti u dtrmiado valor para F ( ) por lo tato sta última fució trmia dpdido úicamt d d. Esto último hac posibl qu l problma puda sr tratado como uo lial para cada itració, s dcir, la solució s obti por l dsarrollo d u sistma lial d cuacios. Empzado co la divisió dl problma por lmtos, la cotribució dl fucioal d u lmto al fucioal l domiio Ω, s: I (). Por lo tato la suma d cotribucios s prsa d la siguit mara: I E I ( ) Dod E s l úmro d lmtos l domiio. (.5) El fucioal l lmto s prsa así [Hubr (98)]: I I ( ) ( ) ( ) ( ) F ( r ) Ω ( ) ( ) dω ( ) ( Γ ) f ( ) ( ) ( ) dγ (.6) El suprídic s cluó co l fi d qu s aprci mor (.6). El siguit dsarrollo qu iclu las cuacios (.7) a (.5) d (.7) a (.8) s u procdimito stádar qu prsta varios autors como Burtt ( 988) u Od (986), co cpció d (.8) d (.59) a (.7), qu s ua aportació d st tto.
Toría dl Gas Ral 66 Buscado hacr stacioario l fucioal, la primra variació dl fucioal s prsta sguida: δ I ( ) 0 La suma d primras variacios por lmto quda: E ( ) δ I δ I (.7) Aplicado l Método Ritz (vr capítulo 3) sustitudo la fució aproimació l fucioal por lmto, s ti lo siguit: d I E d I ( ) (.8) Buscado l trmo d la fució por lmto s ti lo siguit: d I ( ) 0 d I ( ) I ( ) ( ) ( ) I I d... d dr r 0 (.9) Dod r s l úmro d valors discrtos (odos) l lmto. Ya qu cada parámtro varía idpditmt d los dmás, para qu la drivada total d la fució sa cro, s csario qu cada coficit por sparado valga cro. ( ) I i 0 i... r (.0) Itroducido las fucios d forma, s obti lo siguit:
Toría dl Gas Ral 67 { } r, (.) Dod, so: la fució aproimació por lmto, las fucios d forma l lmto, los parámtros a obtr por lmto, rspctivamt. D la cuació (.9) s dduc las siguits cuacios: { } r (.) { } r (.3) Sustitudo (.0) (.6) para l odo i, s obti lo siguit: Ω Ω i i i i d F I (.) 0 Γ Γ i d f D las cuacios (..), (.) (.3) s obti las siguits prsios:
Toría dl Gas Ral 68 i i ( ) ( ) i ( ) ( ) i (.5) (.6) ( ) ( ) (.7) Admás la fució F % [Villacorta (995)] s trabaa igual qu qu s ti lo siguit: i i %, por lo F ( ) ( ) ( ) ( ) r F ( ) { F } (.8) Dod F so valors obtidos al valuar (.3) putos (, ) dtrmiados. Esto s cosigu cuado s sustitu % térmios d ( ) utilizado los parámtros, stos parámtros so valors coocidos a qu ( ) prtc a la itració prvia. Para la fució f s ti algo similar: f ( ) d ( ) ( ) d ( ) d f ( ) { f } (.9) Dod d() so las fucios d forma valuadas co las caras dl lmto, s dcir, stas fucios so itgradas sobr ua lía o sobr u ára, d ( ) s l úmro d odos qu ha la cara dl lmto. f so los valors qu s obti al valuar la fució la frotra Γ (), lo qu s pud prsar, l caso particular d problmas d fluidos, d la siguit forma:
Toría dl Gas Ral 69 f U d,... d (.30) La furza itra ( ) F s obti fácilmt gracias a qu l procdimito itrativo spcifica qu sta fució srá calculada co l valor d los parámtros d la itració prvia, s dcir, s u valor a coocido. La discrtizació s llva a cabo sustitudo (.), (.), (.3), (.5), (.6), (.7), (.8) (.9) (.) s llga a la siguit prsió: I ( ) ( ) i ( Ω ) ( ) { } i ( ) ( ) ( ) { } ( ) i ( ) ( ) ( ) ( ) { F } i dω ( Γ ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) { f } i dγ 0 (.3) La prsió (.) para los r odos l lmto, utilizado (.3) quda así: ( ) ( ) T ( ) I i ( Ω ) ( Γ ) d ( ) T d ( ) { } ( ) ( ) T ( ) ( ) ( ) { f } dγ 0 ( ) ( ) T { } i,... r E otació matricial s pud rprstar d la siguit mara: ( ) ( ) ( ) [ k ]{ } { R } o bi Dod las matrics s rprsta d la siguit mara: K ( ) ( ) ( ) { F } dω (.3) R (.33)
Toría dl Gas Ral 70 ( ) [ k ] ( ) Ω T ( ) ( ) ( ) ( ) T dω ( ) (.3) ( ) ( ) [ R ] ( Ω ) T ( ) ( ) ( ) { F } dω ( Γ ) d ( ) T d ( ) ( ) ( ) { f } dγ (.35) Los cálculos d (.3) (.35) o so hchos dirctamt sobr l subdomiio Ω () sio sobr u spacio stádar ( ) Ωˆ prtcit a ua figura gométrica qu pud sr u triágulo isóscls, para u lmto triagular u rctágulo, para u lmto cuadrilátro, cuas coordadas, so coordadas locals clusivas para dichas figuras. E la figura.3 s mustra las gomtrías.
Toría dl Gas Ral 7 Figura.3: Gomtría d lmtos: triagular cuadrático Las fucios d forma térmios d las coordadas locals corrspodits s prsa a cotiuació: Triágulo lial, 3 ( ), ( ), (.36) Triágulo cuadrático
Toría dl Gas Ral 7,,, 3 (.37),,, 6 5 Cuadrilátro lial:,, (.38)
Toría dl Gas Ral 73 Cuadrilátro cuadrático (Srdipit): 3, ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) 3, ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( )