MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE j= PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA

Transcripción

1 a MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE = = PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA x lx = a VENTURA MARCO, MANUEL MENEU GAYA, ROBERT PÉREZ-SALAMERO GONZÁLEZ, JUAN M.

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3 MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA Mauel Vetura Marco Robert Meeu Gaya Jua Mauel Pérez-Salamero Gozález Profesores del Departamet d Ecoomia Fiacera i Matemàtica Uiversitat de Valècia

4 LINGO es ua marca registrada de Lido Systems, Ic. Revisió, febrero 203. Mauel Vetura Marco, Robert Meeu Gaya y Jua Mauel Pérez-Salamero Gozález Depósito Legal: V I.S.B.N Edició e Impresió: Repro-Express, S.L. Tlfo repro-expres@waadoo.es C/Ramó Llull, 7-B 4602-Valecia

5 ÍNDICE PREFACIO... CAPÍTULO.- Modelos de optimizació e Ecoomía Toma de decisioes y modelos de optimizació Idetificació y aálisis de los elemetos de u modelo de optimizació e Ecoomía Clasificació de modelos de optimizació e Ecoomía Modelos básicos de problemas ecoómicos Miimizació de costes Maximizació de la utilidad Selecció de cartera Elecció ocio-cosumo Modelo multiperiodo de producció e ivetarios Plaificació ecoómica Modelos básicos e programació lieal Combiació óptima de recursos Problemas de mezcla Selecció de procesos Modelos de optimizació e redes y combiatoria CAPÍTULO 2.- Aspectos metodológicos de la modelizació matemática de problemas de optimizació e Ecoomía Itroducció Fases del proceso de modelizació Variables Tipos de variables Codificació de variables Valores iiciales de las variables Restriccioes Tipos de restriccioes Codificació de restriccioes Cotas Simplificació y preprocesamieto Optimizació elástica Fució obetivo Obetivos múltiples / obetivo úico Observacioes sobre la formulació de la fució obetivo e P.N.L Métrica del modelo. Problemática del escalado MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA I

6 Vetura, M.; Meeu, R.; Pérez-Salamero, J.M Métrica del modelo Problemática del escalado Modelizació alterativa Modelizació alterativa e fució de las características del agete decisor Modelizació alterativa e fució de la resolució del modelo Sistemas soporte de optimizació y resolució del modelo Clasificació de aplicacioes de apoyo a la toma de decisioes Métodos de resolució Parámetros de elecció de u sistema soporte ANEXO.- Itroducció al LINGO... 7 I.- Itroducció II.- LINGO y modelizació matemática III.- Uso básico de LINGO IV.- Uso avazado de LINGO V.- Lista de comados de LINGO VI.- Eemplo de uso del leguae de modelizació ANEXO 2.- Breve itroducció a los métodos uméricos e programació o lieal... 0 I.- Métodos e optimizació si restriccioes II.- Métodos e optimizació co restriccioes CAPÍTULO 3.- Modelos de programació o lieal resueltos mediate programació lieal y programació etera mixta Itroducció Problemas o lieales resueltos mediate programació lieal Maximizació (miimizació) de fucioes de redimietos decrecietes (crecietes) o lieales y o difereciables Problemas de optimizació de fucioes de coeficietes fios Problemas de programació por obetivos resueltos mediate P.L Problemas de programació fraccioal lieal Problemas o lieales resueltos mediate programació etera mixta Problemas de carga fia o de coste fio Problemas de lote de producció II MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA

7 Ídice Miimizació (maximizació) de fucioes de redimietos decrecietes (crecietes) o lieales y o difereciables Problemas co la fució valor absoluto Otras trasformacioes de problemas de P.N.L Problemas resueltos Problemas propuestos CAPÍTULO 4.- Aálisis de modelos de programació o lieal Itroducció Esquema geeral del aálisis e P.N.L Codicioes de cocavidad/covexidad para fucioes de clase C Estudio de la existecia de solució Características de las codicioes de Kuh y Tucker Estudio de la globalidad y uicidad de las solucioes locales Estudio de la estabilidad de la solució: Aálisis de sesibilidad e P.N.L Problemas resueltos Problemas propuestos CAPÍTULO 5.- Otros modelos de programació o lieal Itroducció Problemas de programació separable Plateamieto Métodos Procedimieto Aplicacioes Problemas de programació cuadrática Plateamieto Métodos de resolució. El método de Wolfe Sistemas soporte y códigos algorítmicos Programació cuadrática o cócava/covexa Trascedecia y aplicacioes Problemas de programació geométrica Plateamieto Procedimietos y algoritmos de resolució Aplicacioes Problemas de programació fraccioal cócava Plateamieto Aplicacioes MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA III

8 Vetura, M.; Meeu, R.; Pérez-Salamero, J.M Metodología de procedimieto Estructuras particulares y extesioes Problemas resueltos... 3 Problemas propuestos ANEXO 3.- Modelo media-variaza de selecció de cartera óptima I.- Itroducció II.- Modelo básico y fudametació teórica III.- Retabilidad y riesgo de la cartera IV.- Valoració del modelo e la práctica ANEXO 4.- Itroducció a los modelos D.E.A I.- Itroducció II.- Elemetos y formulació de u modelo básico III.- Problemática práctica Bibliografía IV MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA

9 PREFACIO La optimizació matemática es la parte de las matemáticas que se ecarga de la elecció de la meor alterativa de etre todas las posibles. El presete texto pretede ser ua herramieta para facilitar ua formulació matemática adecuada a cada problema ecoómico de optimizació, así como servir de guía para iterpretar correctamete los resultados que pueda obteerse mediate u sistema de apoyo a la toma de decisioes mediate ordeador. Los problemas que e este texto se recoge so fudametalmete de programació matemática, es decir, e su mayoría so problemas estáticos, determiistas, co u solo sueto decisor y ua sola fució obetivo. Se advierte, pues, al lector que o espere ecotrar e estas págias ada referete a métodos de cotrastació empírica de los modelos ecoómicos; herramietas, por otra parte, imprescidibles e el proceso de formulació de modelos ecoómicos. La explicació de esas técicas queda reservada para otras áreas de coocimieto como la Estadística y la Ecoometría. Por tato, el obetivo del presete libro es proporcioar al lector los coocimietos básicos para modelizar problemas de optimizació e Ecoomía, resolverlos e iterpretar sus resultados, icidiedo e problemas de programació o lieal (P.N.L.) e geeral, por ser u couto de problemas más amplio que los de programació lieal (P.L.) y etera (P.E.). Dada la abudate literatura dedicada a modelos y métodos de programació lieal y etera, se ha optado por o explicar e estas págias i los métodos de resolució de este tipo de problemas i el aálisis de los mismos, refiriedo al lector e cada caso al texto más adecuado. Además del obetivo aterior, se ha realizado u esfuerzo e mostrar tipos específicos de problemas de programació o lieal uto a sus métodos propios de resolució, así como las aplicacioes más importates que esa clase de problemas tiee e Ecoomía. Co esto se pretede que el lector adquiera ua leve oció de problemas de programació cuadrática, separable, geométrica y fraccioal, cuya estructura es apta para muchos problemas de optimizació ecoómica, y para los que se ha ido desarrollado métodos de resolució específicos, ormalmete más eficietes que los geerales. El libro o es autocoteido, puesto que se supoe que el lector tiee los coocimietos de partida adecuados sobre cálculo diferecial, álgebra lieal, aálisis covexo, programació lieal y o lieal, programació etera, etc., que le facilite ua lectura compresiva de este texto. El libro se ha dividido e cico capítulos. El primer capítulo itroduce las ocioes básicas de los modelos de optimizació e Ecoomía. Se defie lo que se etiede por modelo ecoómico de optimizació y qué elemetos hay que teer e cueta e u modelo. Tambié se realiza ua clasificació de los modelos segú MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA

10 Vetura, M.; Meeu, R.; Pérez-Salamero, J.M. distitos criterios. La última secció del capítulo muestra alguas aplicacioes básicas de problemas de optimizació e Ecoomía. Las primeras seccioes del segudo capítulo preseta la metodología para formular u modelo de optimizació e Ecoomía, detallado las fases a seguir e la modelizació y aputado tato los factores como la problemática a teer e cueta cuado se trabaa co los distitos elemetos de u modelo (variables, restriccioes, fució obetivo,...). La secció 2.7 itroduce distitas ustificacioes a modelizacioes alterativas de u mismo problema. La última secció proporcioa ocioes básicas sobre lo que es u sistema soporte a la toma de decisioes, aportado tambié ua clasificació de los mismos para dar al lector ua visió rápida y paorámica del desarrollo actual de los mismos. El capítulo 2 se complemeta co dos aexos. El primero está dedicado a la aplicació del programa o paquete iformático LINGO de Lido Systems, Ic. No pretede ser u amplio maual del usuario de la aplicació, sio ua breve, pero útil, guía de la misma. El lector que desee profudizar e el coocimieto de la aplicació deberá acudir al maual del usuario y a otros textos que utiliza la misma aplicació para tratar problemas de optimizació. Se ha elegido esta aplicació por su potecialidad como leguae de modelizació, su etoro de trabao amigable y por la facilidad de acceso al producto. 2 El segudo aexo proporcioa ua rápida visió de los métodos uméricos de resolució de problemas de P.N.L. a fi de orietar al lector sobre cómo fucioa los algoritmos implemetados e las aplicacioes iformáticas que sirve de soporte a la toma de decisioes. E muchas ocasioes, para abordar la resolució de u problema de P.N.L. es acoseable trasformarlo e u uevo problema de P.L., P.L.E., P.E. mixta (P.E.M.), o icluso e otro de P.N.L., de maera que dicha trasformació permita obteer la solució, si el plateamieto origial o lo permitía, o simplemete resuelva el problema de maera más eficiete. Etre las causas más comues que acosea la trasformació se puede citar la o difereciabilidad del problema origial, el iteto de garatizar la globalidad de la solució proporcioada por el Los siguietes textos utiliza la aplicació LINGO, facilitado además el software: Camm, J., Evas, J. Maagemet Sciece. South-Wester College Publishig. ISBN Liberatore, M., Nydick, R. Itroductio to Decisio Techology. Dispoible e Scharage, L. (998) Optimizatio Modelig with LINGO. LINDO Systems, Ic. Wisto, W.L. Operatios Research: Applicatios ad Algorithms. 3ª edició. Wadsworth Publishig. ISBN Se puede obteer ua copia de demostració de ua versió reducida de los programas de la compañía Lido Systems, Ic. e la siguiete direcció: La versió LINGO 6 (Noviembre, 999) permite trabaar co 50 restriccioes y 300 variables, siedo 30 de ellas o lieales y/o eteras. 2 MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA

11 Prefacio sistema soporte, el aprovechamieto de las potecialidades de éste último (leguae de modelizació, métodos de resolució), etc. El capítulo 3 de este libro se dedica a todo este tipo de trasformacioes. Como se acaba de decir, ua de las causas que acosea ua trasformació del problema es el icoveiete que supoe que los sistemas soporte de resolució sólo proporcioe, e muchos casos, solucioes locales. Además, e los problemas de optimizació matemática e Ecoomía hay tres cuestioes de iterés relacioadas co su solució: su existecia, su uicidad y su estabilidad. El cuarto capítulo facilita las codicioes para estudiar estos aspectos, costituyedo ese estudio el aálisis geeral de los problemas de P.N.L., auque ua referecia más completa es el texto de los autores Fudametos de optimizació matemática e Ecoomía. Los capítulos 3 y 4 se completa co eemplos y problemas resueltos que muestra: las trasformacioes sugeridas e el tercer capítulo; la puesta e marcha de las etapas del proceso de modelizació atediedo a su problemática tratada e el capítulo 2; el uso del leguae de modelizació de LINGO; y cómo hacer uso de las codicioes que garatiza la existecia, globalidad, uicidad y estabilidad de la solució euciadas e el cuarto capítulo. Alguos problemas de P.N.L. admite ua estructura peculiar que ha facilitado el desarrollo de métodos específicos de resolució más eficietes que los geerales. El quito capítulo se dedica a dar a coocer el plateamieto, los métodos de resolució y las pricipales aplicacioes ecoómicas de cuatro grupos de modelos de P.N.L. co esa estructura especial, como so los problemas de programació separable, cuadrática, geométrica y fraccioal. Si bie estos problemas puede resolverse mediate las técicas geerales válidas para todo problema de P.N.L., se ustifica su tratamieto difereciado por los diversos feómeos ecoómicos que puede modelizarse co esa estructura particular. Así, el capítulo 5 se completa co dos aexos dedicados a dos aplicacioes ecoómicas. El primero platea el problema de selecció de cartera óptima mediate el modelo media-variaza, que es ua aplicació de la programació cuadrática, mietras que el segudo proporcioa ua itroducció a los modelos D.E.A., modelos de aálisis evolvete de datos, que es ua aplicació de la programació fraccioal. Para termiar, los autores quiere mostrar su agradecimieto al resto de compañeros del Departamet d Ecoomia Fiacera i Matemàtica de la Uiversitat de Valècia, que e mayor o meor medida ha cotribuido a la elaboració de este libro, así como maifestar su deseo de compesar proto la ifiita paciecia maifestada permaetemete por los miembros de sus familias para co su trabao. MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA 3

12 Vetura, M.; Meeu, R.; Pérez-Salamero, J.M. 4 MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA

13 CAPÍTULO Modelos de optimizació e Ecoomía..- TOMA DE DECISIONES Y MODELOS DE OPTIMIZACIÓN.2.- IDENTIFICACIÓN Y ANÁLISIS DE LOS ELEMENTOS DE UN MODELO DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA.3.- CLASIFICACIÓN DE MODELOS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA.4.- MODELOS BÁSICOS DE PROBLEMAS ECONÓMICOS.5.- MODELOS BÁSICOS EN PROGRAMACIÓN LINEAL

14 Vetura, M.; Meeu, R.; Pérez-Salamero, J.M...- TOMA DE DECISIONES Y MODELOS DE OPTIMIZACIÓN E la vida, todo ser o etidad se ecuetra algua vez ate el hecho de tomar ua decisió que le afectará de ua u otra maera, (casarse, teer hios, lazar u uevo producto al mercado, adquirir ua vivieda, comer u determiado producto, etc.). Se etiede por toma de decisioes el proceso de seleccioar ua alterativa detro de u couto de opcioes. El proceso de toma de decisioes admite múltiples posibilidades, que va desde la pura ituició hasta métodos muy sofisticados. Pero la ituició o coduce ecesariamete a tomar la meor decisió, por lo que se ha desarrollado la toma de decisioes sobre la base del método cietífico, fudametalmete tras la II Guerra Mudial, sustetado e tres áreas del saber: - La Ivestigació Operativa (O.R., Operatios Research ). - La Ciecia de la Gestió (M.S., Maagemet Sciece). - El Aálisis de Sistemas. La O.R. y la M.S. proporcioa la tecología de la decisió, lo que se traduce e el uso de modelos matemáticos y técicas de resolució de los mismos para ayudar a tomar decisioes correctas. Se habla de ayudar, pues tampoco el método cietífico asegura siempre alcazar la meor decisió, auque siempre va a ser útil su aplicació 2. Por sistema se etiede ua colecció de elemetos, partes o subsistemas, iterrelacioadas e iterdepedietes, diseñado co la fialidad de coseguir ua serie de obetivos. El aálisis de u sistema es el proceso de descripció del mismo e ivestigació de las relacioes relevates etre sus partes. El aálisis de la realidad como u sistema o es suficiete para tomar ua decisió co base cietífica, para ello es ecesario costruir u modelo, cuestió que atañe a la O.R./M.S. Ates de avazar e el coocimieto de los elemetos de u modelo de optimizació y de los tipos de modelos, coviee dear claro qué se etiede por modelo, y e particular, por modelo ecoómico de optimizació. E Europa se prefiere la deomiació Operatioal Research. 2 Ua breve descripció de la ivestigació operativa e el cotexto de la evolució histórica de la optimizació matemática se ecuetra e el primer capítulo de Meeu y otros (999), epígrafe.2.4. E cocreto, la diferecia etre O.R. y M.S. se ecuetra descrita e el peúltimo párrafo de la pág MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA

15 Modelos de optimizació e Ecoomía Defiició..- Segú la acepció 5ª del Diccioario de la Real Academia Española de la Legua, u modelo es u esquema teórico, geeralmete e forma matemática, de u sistema o de ua realidad complea (por eemplo, la evolució ecoómica de u país), que se elabora para facilitar su compresió y el estudio de su comportamieto. Defiició.2.- U modelo ecoómico es ua formalizació matemática de ua determiada teoría ecoómica o represetació simplificada de algú aspecto de la realidad ecoómica. Por tato, supoe ua abstracció que sólo tiee e cueta los factores cosiderados relevates por el agete decisor. Defiició.3.- U modelo ecoómico de optimizació es u modelo ecoómico dode se supoe u comportamieto optimizador de los agetes ecoómicos implicados. Este comportamieto optimizador es el que se etiede como comportamieto racioal e muchos de los modelos del aálisis ecoómico. Igualmete, auque es e el segudo capítulo cuado se aborda los aspectos metodológicos básicos de la modelizació matemática de problemas de optimizació e Ecoomía mediate la aproximació de sistemas, coviee señalar que el proceso de costrucció de modelos tiee las siguietes etapas 3 :.- Aálisis de la realidad: Se estudia el feómeo o problema ecoómico que quiere modelizarse. Se pretede determiar los factores relevates que iterviee e el problema, sus características así como las relacioes existetes etre los distitos tipos de elemetos a cosiderar e la descricpió del feómeo. 2.- Represetació coceptual: Ua vez aalizada la realidad ecoómica, se describe todos los elemetos que iterviee e el problema a modelizar y sus relacioes, si que exista ambigüedades i cotradiccioes e dicha represetació. Se tedría u modelo teórico de explicació de la realidad aalizada, pero todavía si formalizar. 3.- Formulació del modelo: Tras describir todos los elemetos e el modelo coceptual se formula el modelo matemático que represeta a los elemetos del modelo coceptual mediate variables y a sus relacioes mediate fucioes. La expresió e iclusió fial e el modelo matemático depede de las coclusioes obteidas de la represetació coceptual, de u posible cotraste de la relevacia y características de las variables así como de las iterrelacioes plateadas e el modelo coceptual co los datos reales. 4.- Solució geeral del modelo: Co el modelo plateado se procede a obteer la solució del mismo para el caso geeral mediate los algoritmos y desarrollos aalíticos adecuados. 3 Se sigue básicamete a Villalba y Jerez (990), pág. 2, fig... MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA 7

16 Vetura, M.; Meeu, R.; Pérez-Salamero, J.M. 5.- Solució particular del modelo: Para los datos cocretos de ua situació se resuelve el modelo obteiedo ua solució particular. 6.- Verificació: Tras coocer la solució del modelo particular se verifica que o exista cotradiccioes de los resultados obteidos co lo que se espera obteer de la represetació coceptual. Se trata de comprobar si el modelo es válido para cumplir los fies previstos que ustificaro su costrucció. Si o se cumple los fies co el modelo formulado se revisa las etapas ateriores hasta coseguir que los resultados obteidos co la última reformulació sea satisfactorios, procediedo, segú qué casos a replatear el modelo coceptual, o el matemático, o bie, a buscar uevos métodos de resolució del problema represetado. 7.- Implemetació y cotrol: Verificado el modelo de optimizació se poe e práctica la solució facilitada por dicho modelo, haciedo valer esta herramieta de apoyo a la toma de decisioes. Se cotrola tambié todo el proceso de implemetació de la solució o solucioes propuestas por el modelo. Cuado se formula u modelo se persigue que sea operativo, es decir, que represete la realidad y que a la vez sea maeable matemáticamete. Así pues, la operatividad de u modelo depede del equilibrio etre su represetatividad del sistema real y su tratabilidad matemática, buscado combiar mayor realismo y mayor simplicidad. No obstate, co el desarrollo de la iformática, co ordeadores más potetes y aplicacioes más sofisticadas, se ha avazado eormemete e poder tratar modelos más compleos matemáticamete, es decir, co u úmero mayor de variables y restriccioes, lo que permite formular sistemas que represeta más fielmete la realidad. 8 MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA

17 Modelos de optimizació e Ecoomía.2.- IDENTIFICACIÓN Y ANÁLISIS DE LOS ELEMENTOS DE UN MODELO DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA E geeral, u modelo ecoómico de optimizació cosiste e u problema de optimizació matemática co la siguiete estructura: Opt. f(x) sueto a x S. Iicialmete, e u problema de optimizació se trata de idetificar y aalizar sus elemetos: la fució obetivo, f(x), y el couto de oportuidades, S. El criterio de optimizació, Opt., cosiste, geeralmete, e maximizar o miimizar ua fució, la fució obetivo f: D R R k, co respecto al vector de variables de decisió o istrumetos, x R. Si k > se trata de u problema multiobetivo, si k= sólo hay u obetivo a optimizar. El couto de solucioes factibles, couto de oportuidades o regió factible es aquel couto de elemetos del espacio iicial, R, dode esté defiida la fució obetivo que satisface todas las restriccioes del problema. S = {x D/ x satisface todas las restriccioes}. Segú su expresió matemática, las restriccioes puede ser de los siguietes tipos: de igualdad geerales o fucioales de desigualdad acotacioes e geeral de couto o regioales codicioes de o egatividad. Se etiede como solució o solucioes de u problema de optimizació al couto de los valores de las variables de decisió que cumpliedo las restriccioes del couto de oportuidades, S, proporcioa el valor óptimo a la fució obetivo. E todo modelo ecoómico de optimizació iteresa coocer tres cuestioes acerca de la solució óptima o de equilibrio: existecia, uicidad y estabilidad. Las dos primeras cuestioes se traduce e el aálisis matemático del modelo, es decir, e aalizar las propiedades de la fució obetivo así como del couto de oportuidades, lo que implica estudiar las características de sus elemetos, las variables, así como las restriccioes que lo caracteriza. La estabilidad se lleva a MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA 9

18 Vetura, M.; Meeu, R.; Pérez-Salamero, J.M. cabo mediate el aálisis de sesibilidad, que cosiste e estudiar la respuesta de la solució óptima e varios escearios relacioados co perturbacioes producidas e diferetes parámetros del modelo. De mometo, se relega el estudio de dicha cuestió hasta el capítulo 4 para problemas de programació o lieal. Ua vez idetificados los elemetos de u modelo de optimizació es preceptivo estudiar las siguietes propiedades ecamiadas a respoder a las dos primeras cuestioes: a) Compacidad y covexidad de S, b) Cotiuidad, difereciabilidad, homogeeidad y cocavidad o covexidad de las fucioes del modelo. Co esto se persigue aplicar los teoremas de existecia de solució global del problema y, e su caso, la uicidad de la misma: Teorema de Weierstrass y sus extesioes 4 : existe u x* S que resuelva el problema?. Teorema Local-Global y sus extesioes 5 : Si existe x* S, es solució úica?. Tras este aálisis previo del problema se cueta co ua iformació referete a los posibles resultados a obteer si se resuelve el problema, lo que puede aimar a resolverlo. Tambié, esa iformació del modelo puede coducir a reformularlo tras haber detectado defectos o carecias e la modelizació. E problemas de programació lieal este aálisis previo o tiee tato setido efectuarlo, pues so coocidas previamete muchas de las propiedades: difereciabilidad, cocavidad/ covexidad de las fucioes del modelo, o la globalidad de la solució, e el caso de que exista. El capítulo 4 icide co mayor detalle e este aálisis previo de los problemas de optimizació matemática. 4 El Teorema de Weierstrass y sus extesioes sobre existecia de solució óptima se trata e el epígrafe Para u aálisis más formal puede cosultarse e Meeu y otros (999) la secció 4.2, así como el Teorema. y el cometario posterior. 5 El Teorema local-global y sus extesioes se trata e el epígrafe Para mayor detalle, véase e Meeu y otros (999) el Teorema 2.7, el Teorema 3.8 y el Teorema 3.9, así como las otas y cometarios a los mismos. 0 MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA

19 Modelos de optimizació e Ecoomía.3.- CLASIFICACIÓN DE MODELOS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA E esta secció se procede a realizar ua clasificació de los modelos ecoómicos de optimizació e fució de los distitos criterios teidos e cueta para tal fi, si que preteda ser ua clasificació exhaustiva. Así, los criterios que se va a platear para clasificar los modelos so su grado de abstracció, la fialidad perseguida, la uidad sometida a estudio, el grado de especificació de los supuestos, el tipo de fucioes empleadas, el tratamieto dado al tiempo, el tratamieto de la icertidumbre del etoro y el área de aplicació. Segú el grado de abstracció (de meor grado a mayor), los modelos se puede agrupar e: Modelos físicos: Se trata de ua represetació física de los feómeos, obetos, o seres que se quiere modelizar. Modelos aerodiámicos, hidrodiámicos, plaetarios, maquetas, estatuas,... E problemas ecoómicos esta represetació física o es posible dada la compleidad de los modelos ecoómicos. Si embargo, podría cosiderarse, para la ecoomía Chia, que las ciudades elegidas para desarrollar ua ecoomía de mercado so u modelo físico que explicaría lo que dicho sistema ecoómico podría deparar a la totalidad del país. Tambié se costata el iteto de Phillips e los años 50 de represetar la ecoomía de u país mediate ua "máquia de fluidos" que mediate el pricipio físico de los vasos comuicates llevaría al equilibrio. Modelos gráficos: So represetacioes gráficas de los sistemas, obetos o seres a modelizar. Mapas, plaos, gráficos de vetas, diagramas de fluo,... U modelo de optimizació matemática como el que se platea e el problema de maximizació de la utilidad del cosumidor sueta a ua restricció presupuestaria, vedría represetado por la recta (o hiperplao) de balace o presupuestaria que delimita, uto co las codicioes de o egatividad de las variables, al couto de combiacioes posibles de cosumo, así como las curvas de idiferecia para represetar a la fució de utilidad a maximizar. Modelos simbólicos: Se trata de modelos que mediate símbolos represeta la realidad. E Ecoomía, los modelos simbólicos se represeta geeralmete mediate ecuacioes matemáticas, auque e otras áreas del saber y de las artes se utiliza otros símbolos: petagrama y las otas musicales, fórmulas químicas, software, etc. MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA

20 Vetura, M.; Meeu, R.; Pérez-Salamero, J.M. Segú el obetivo o fi que persiga: Modelos teóricos o aalíticos: Istrumetos de cocepto y aálisis. Atediedo a la fialidad específica que co ellos se persigue puede subclasificarse a su vez e: Modelos Explicativos: Sítesis de creecias que trata de reflear el mecaismo de fucioamieto, global o parcial, de la ecoomía, es decir, trata de explicar lo que sucede. Modelos Predictivos: Trata de obteer implicacioes sobre algú aspecto del sistema ecoómico a partir de determiadas hipótesis. Es decir, trata de predecir lo que va a suceder. Modelos aplicados: So istrumetos orietados a la prescripció o toma efectiva de decisioes e los que el agete decisor puede eercer ua ifluecia directa sobre las variables implicadas. Segú la uidad de estudio: Modelos de comportamieto idividual: Equilibrio parcial de las uidades ecoómicas básicas: familia, empresa, gobiero, sidicatos, etc. Modelos de equilibrio de mercado: Compatibiliza los comportamietos idividuales de los agetes participates o uidades ecoómicas básicas. Modelos de equilibrio geeral: Compatibiliza las asigacioes realizadas e los distitos mercados que compoe el sistema ecoómico real. Estos modelos permite aalizar la iteracció etre las distitas fuerzas ecoómicas desde ua perspectiva de sistema global. Segú el grado de especificació de los supuestos: Modelos co especificació parcial: Se trata de modelos que adopta supuestos muy geerales para poder explicar comportamietos optimizadores geéricos, es decir, relativos a u colectivo de decisores (cosumidores, empresas, etc.) y o a u elemeto de dicho colectivo e particular. Así, se ecuetra modelos que o llega a determiar explícitamete todas las fucioes que iterviee e el modelo. E uos casos, se especifica sólo las variables de las que depede ua fució y las propiedades matemáticas de ésta (difereciabilidad, covexidad o cocavidad, sigo de las derivadas parciales, etc.). Modelos co especificació completa: Se trata de modelos que trata de explicar el comportamieto optimizador de u agete ecoómico cocreto o represetar u problema específico de gestió empresarial. Se debe dispoer de 2 MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA

21 Modelos de optimizació e Ecoomía iformació acerca de todos los elemetos que iterviee, adoptado los supuestos pertietes para tal fi. Segú las formas fucioales: Lieales: Todas las fucioes que iterviee e el modelo muestra ua relació lieal etre las variables. No lieales: Algua de las fucioes que iterviee e el modelo o recoge ua relació lieal etre las variables, o bie, siedo lieal, lo es por tramos. Muchos modelos o lieales se puede trasformar e lieales, y otros puede resolverse mediate métodos de resolució de problemas lieales adaptados, como por eemplo, los de programació cuadrática. Segú el criterio temporal: Estáticos: Las fucioes y las variables que iterviee e el modelo o depede del tiempo. Los coeficietes, parámetros y relacioes etre las variables permaece costates. Se trata de represetar ua elecció óptima e u mometo dado del tiempo para el que es válida la especificació del modelo de optimizació empleado. La mayoría de los modelos de optimizació ecoómica que se aborda e las materias de los primeros cursos de ua Liceciatura e Ecoomía o e Admiistració y Direcció de Empresas so modelos estáticos. Diámicos: Cuado la toma de decisioes cotempla u horizote temporal amplio, es decir, o reducido a u istate del tiempo, se procede a modelizar la realidad mediate modelos diámicos, cuya característica fudametal es la existecia de variables edógeas desplazadas, ya que de lo cotrario se tedría u simple modelo estático idexado respecto del tiempo o modelo estático histórico. E dichos modelos, el tiempo es ua variable más a teer e cueta para la elecció óptima. Los coeficietes, los parámetros y/o las variables depede del tiempo. Los modelos matemáticos de optimizació los proporcioa la Teoría de la Optimizació Diámica. Tambié se cueta co la Programació Diámica que es u efoque de solució de tipo geeral para problemas e los que es ecesario tomar decisioes e sucesivas etapas 6. Eemplos de modelos ecoómicos de optimizació diámicos se ecuetra e casi todas las áreas de Ecoomía y Fiazas, pudiédose subclasificar e: Modelos multiperiodo o de desequilibrio: Se cosidera todo el horizote temporal, siedo la solució ua trayectoria temporal de covergecia o divergecia. 6 Ríos (993), pág MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA 3

22 Vetura, M.; Meeu, R.; Pérez-Salamero, J.M. Modelos de estado estacioario o de equilibrio: Se cosidera sólo el estado fial y o la trayectoria temporal de auste al mismo, por lo que se asume la misma decisió de forma repetida para todos los periodos como solució de largo plazo. So aceptables sólo bao codicioes de costacia e ivel de recursos, tecología, precios, etc., y siempre que la solució de estado estacioario exista, y sea coherete ecoómica y matemáticamete, ya que a veces puede existir la solució de estado estacioario pero o ua trayectoria temporal de auste al mismo. Segú el tratamieto de la icertidumbre del etoro: Modelos Determiistas: Auque el mudo que os rodea es icierto, a meudo se supoe que el etoro es determiista, es decir, todos los elemetos del modelo puede determiarse co completa exactitud. E este caso, los modelos determiistas se emplea e problemas de Programació Lieal (P.L.), Programació por Obetivos (P.O.), Programació Multicriterio (P.M.), Programació Etera (P.E.), Programació Etera Mixta (P.E.M.), Programació No Lieal, (P.N.L.), Teoría de Redes, Simulació determiista, y e otros campos. Modelos Estocásticos: Cuado los sucesos represetados está suetos a las leyes de la probabilidad, se está supoiedo u etoro de riesgo, aleatorio o estocástico. Etre las metodologías que trabaa co ambiete estocástico se ecuetra las de árboles de decisió, la teoría de la decisió e situacioes de icertidumbre, gestió de ivetarios, teoría de colas, cadeas de Markov, simulació estocástica,... Modelos Borrosos: Cuado los sucesos represetados so iciertos, pero o está suetos a igua ley de probabilidad, se supoe u etoro icierto borroso o difuso. La distició etre modelos borrosos y modelos estocásticos se susteta e la distició etre probabilidad y posibilidad. Así se cooce que lazado u dado se tiee ua probabilidad de /6 de obteer u seis, lo que permite catalogar al suceso como aleatorio, pero si embargo coocer las calorías, vitamias, sales mierales, proteías, hidratos de carboo, etc., que ecesita u idividuo e cocreto puede cosiderarse como icierto si seguir igua ley de probabilidad, por lo que puede ser más apropiado tratar esas variables como borrosas o difusas e lugar de aleatorias. La icertidumbre sobre el volume de recursos a dedicar al lazamieto de u uevo producto, sobre el presupuesto a dedicar a saidad e ua ació, sobre el úmero míimo de pruebas a realizar para diagosticar ua efermedad, etc., so problemas que podría teer u meor tratamieto trabaado co modelos borrosos. Las variables borrosas puede represetarse mediate itervalos de cofiaza, úmeros borrosos triagulares, etc. 4 MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA

23 Modelos de optimizació e Ecoomía Segú el área de aplicació los modelos puede agruparse e: Modelos de plaificació estratégica. Modelos de plaificació de la producció y cotrol de ivetarios. Modelos de plaificació fiaciera. Modelos de evaluació y asigació de iversioes. Modelos de plaificació comercial. Modelos de plaificació de persoal y asigació de tareas. Modelos de localizació de platas y almacees. Modelos de localizació de cetros de ateció. Modelos de distribució. Modelos de crecimieto ecoómico.... La secció siguiete preseta varias aplicacioes básicas de la optimizació matemática a problemas ecoómicos. Coocer cómo se ha modelizado diversos problemas ayuda a modelizar problemas uevos, pues sugiere al modelizador qué variables y restriccioes puede emplear para represetar situacioes aálogas. La aplicació de miimizació de costes se ha clasificado segú los criterios aquí recogidos. Se ivita al lector a que haga el mismo eercicio co el resto de aplicacioes. MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA 5

24 Vetura, M.; Meeu, R.; Pérez-Salamero, J.M..4.- MODELOS BÁSICOS DE PROBLEMAS ECONÓMICOS.4..- Miimizació de costes El plateamieto geeral del modelo básico de miimizació de costes e la empresa es Mi.C s.a co = i= f ( x,, x ) y, x i 0, i {, 2,, }, w > 0, i {, 2,, }, i y > θ. w i x, dode C es la fució de costes, x i es la catidad usada del i-ésimo factor de producció (iput) y w i su precio, y R m tal que m es el vector de produccioes míimas admisibles y f:d R R m es la fució de producció. La estructura del modelo correspode a u problema de optimizació matemática e el que la úica forma fucioal que hace falta especificar e dicho modelo para proceder a su aálisis es la fució de producció. Si se cosidera que m =, etoces las más frecuetes y coveietes segú la literatura sobre el particular so: Fució CES (Elasticidad de Sustitució Costate) 0 si x i f (x) = ρ k δix i i= = 0 υ ρ i para algú i resto de casos, siedo k > 0, υ > 0, δ i > 0 i, ρ 0, ρ > - ; δi =. Fució lieal f (x) = k i= δ x i i= Caso particular de la CES cuado ρ - y υ =. i, {,2,,} 6 MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA

25 Modelos de optimizació e Ecoomía MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA 7 Fució Cobb-Douglass = = i a i, x k (x) f i dode k > 0 y a i > 0 i N(). Es u caso particular de la CES cuado ρ 0. Es la más coocida y utilizada. Fució de Leotief o de coeficietes fios, x,, x Mí = f (x) α γ γ Caso particular de la CES cuado ρ. Se utiliza frecuetemete e la modelizació de producció itermedia. Cuado se descooce la forma fucioal de la fució de producció o o se sabe cuál puede ser la más adecuada se utiliza formas fucioales flexibles que cosiste e aproximacioes cuadráticas mediate poliomios de Taylor ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ), x x b 2 x a a x x x f x x x x 2 x x f x x x f x) Hf(x)(x x) (x 2 x) f (x)(x x f x f i i i i i i 0 i 2 i i i i i i i t = = = = = = + + = = + + = = + + = dode ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). x x x f b, x x x f x - x x f = a, x x x f x x 2 x x f x x f a i 2 i i 2 i i i 2 i i i i i 0 = + = = = = = Ua variate de dicho método muy utilizada e aplicacioes prácticas es la aproximació logarítmica trascedetal o fució traslog ( ) = = = + + = i, i i i i i 0 x l l x b 2 l x a a x fˆ

26 Vetura, M.; Meeu, R.; Pérez-Salamero, J.M. que se obtiee difereciado la fució f(x) respecto a los logaritmos de las catidades. Los diversos criterios de clasificació establecidos e la secció.3 puede aplicarse al modelo de miimizació de costes. Así, segú el grado de abstracció, es u modelo simbólico, pues represeta a la realidad mediate expresioes (fucioes y restriccioes) matemáticas. Segú el fi perseguido, se trata de u modelo explicativo, pues iteta reflear cómo se comportaría ua empresa que miimice costes. Si se coociera las variables de decisió cocretas, los parámetros del modelo e fucioes y restriccioes, podría cosiderarse como u modelo aplicado si el modelo hubiera sido plateado por el agete decisor para tomar ua decisió determiada. Segú la uidad de estudio, se trata de u modelo de comportamieto idividual (modelo microecoómico), pues sólo recoge la decisió de ua úica empresa que trata de miimizar sus costes. Segú el grado de especificació de los supuestos, se trata de u modelo co especificació parcial, pues o todas las fucioes está determiadas (la fució de producció que aparece e la restricció de producció míima), y aú e el caso de coocer qué tipo de fució iterviee e la restricció, quedaría por especificar los valores de los parámetros del modelo (precios, parámetros de las fucioes de producció, etc.). Segú las formas fucioales, se puede decir que auque la fució obetivo sea lieal, la liealidad del modelo depederá de la fució de producció elegida, si ésta es lieal, el modelo será lieal, pero si o lo es (Cobb-Douglas, CES, loglieal, etc.), el modelo será o lieal. Segú el criterio temporal, se trata de u modelo estático, ya que las fucioes y variables del modelo o depede del tiempo, y todos los parámetros permaece costates, represetado la elecció, por parte de ua empresa, de la combiació óptima a emplear de sus factores para miimizar su coste e u istate dado. Segú el etoro, se trata de u modelo determiista, o se hace meció e el modelo a que algua variable o parámetro sea aleatorio. No existe icertidumbre algua sobre los valores de los parámetros, los precios de los factores vedrá dados por el mercado, y por tato será coocidos; la producció míima para satisfacer la demada (térmios idepedietes de las restriccioes) so coocidos; etc. Se podría cosiderar producció míima aleatoria (modelo estocástico) o icierta (modelo borroso), por eemplo, pero para ello se tedría que especificar e el modelo plateado, y eso o se hace. Segú el área de aplicació, podría ecuadrarse detro de la de plaificació de la producció, auque si se especificara más los supuestos, podría ecuadrarse tambié e otras áreas maximizació de la utilidad El plateamieto geeral del problema de elecció del cosumidor mediate el modelo básico de maximizació de la utilidad es 8 MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA

27 Modelos de optimizació e Ecoomía Max. U x s.a. co x p (,, x ) p x + + p x 0, x 2 > 0,,p 0,,x M, 0, > 0 ; M > 0, dode p i es el precio del bie i, M es la reta dispoible, x i es la catidad cosumida del bie i. Al igual que el problema de miimizació de costes, e geeral, se trata de u problema de P.N.L.. La úica forma fucioal a determiar para aalizar el problema es la correspodiete a la fució de utilidad. Etre las formas fucioales más habituales para la misma está Fució aditiva lieal o de biees sustitutivos perfectos U(x) = Fució de coeficietes fios o de perfecta complemetariedad etre biees U(x) = Mí. i= x i { a x,,a x }. Fució de utilidad co preferecias cuasilieales U(x) = x + u i. ( x,, x, x,, x ), i i+ dode i {, 2,, } y u: D u R - R. Se utiliza para el aálisis parcial de u determiado bie. U caso particular de la aterior bastate frecuete es U(x) Fució de utilidad homotética U(x) = x = f + i= 2 a l x, [ u( x,, x )]. Es ua fució compuesta, f [u]: D R R, dode f : D f R R, es ua fució real de variable real moótoa creciete y u: D u R R, es ua fució escalar homogéea de grado uo. Su iterés se cetra e que tiee la propiedad de que la elasticidad respecto al igreso es uitaria. Fució Klei-Rubik i i U(x) = l A + a co A > 0 y i= a i i l > 0, ( x d ), x i i i > d i > 0, i {,2,, }. MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA 9

28 Vetura, M.; Meeu, R.; Pérez-Salamero, J.M. Esta fució de utilidad co estructura aditiva es la trasformada e logaritmos aturales de la de Stoe-Geary ( x i di ) i U(x) = A, i= que o es más que ua fució tipo Cobb-Douglas pero defiida sobre las variables (x i -d i ). U caso particular de la fució Klei-Rubick es la fució de utilidad loglieal U(x) = i= e la que l x i A = 0 y a i a =, d = 0, i {,2,,}. E el supuesto de que se descoozca qué tipo de fució de utilidad puede ser la más coveiete para ua determiada aplicació, puede utilizarse algua forma fucioal flexible tipo traslog Selecció de cartera El problema de selecció de cartera es u caso particular del problema de plaificació de iversioes que icorpora la icertidumbre e el mismo. El Modelo media-variaza de selecció de cartera óptima de Markovitz (959) es el puto de referecia básico, tratádose de u problema de programació cuadrática. U plateamieto geeral del mismo es dode Mi. V ( x, x,, x )- βr( x, x,, x ) 2 = ( x, x,, x ) - β u i { E[ R ] x + E[ R ] x + + E[ R ] x } s.a x x 0, u 2 + x es el úmero de iversioes distitas posibles, x a a a a a a + + x =, 0,, u x a x a 2 x 2 - a x, 0. x es el % de la iversió total o presupuesto dedicado a la iversió -ésima, 20 MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA

29 Modelos de optimizació e Ecoomía E[ R ] es la retabilidad esperada de la iversió -ésima, β 0 es u factor de poderació de la retabilidad respecto al riesgo. Si β = 0 al iversor le es idiferete la retabilidad obteida. A mayor valor de β se prefiere mayor retabilidad frete a meor riesgo, a i es la covariaza etre las retabilidades esperadas de las iversioes i-ésima y -ésima, V( x, x 2,..., x ) es la variaza total de la cartera que mide el riesgo de la misma. Se trata de ua forma cuadrática semidefiida positiva y, por lo tato, de ua fució covexa, R( x, x 2,..., x ) es la retabilidad media esperada de la cartera, resultate de la poderació de las retabilidades esperadas de cada iversió mediate el % de participació. u > 0 es ua cota superior admisible para la iversió -ésima Elecció ocio-cosumo dode El modelo geeral de elecció etre cosumo real y ocio es Max. U(C,D), s.a. pc (- τ)[w(t - D) + R], C 0, T D 0, C es el cosumo real por uidad de tiempo, D es el tiempo dedicado al ocio, p > 0 es el ídice de precios al cosumo, τ [ 0, ) es el tipo impositivo medio, w > 0 es el ídice de salarios omiales, T es el tiempo total dispoible a repartir etre trabao y ocio, R es la reta o salarial (igresos o procedetes del trabao). Este modelo se puede trasformar e Max. U(x,D), s.a t p x [w(t - D) + R], x θ,t D 0, MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA 2

30 Vetura, M.; Meeu, R.; Pérez-Salamero, J.M. dode x R es el vector de biees cosumidos, p > θ R es el vector de precios Modelo multiperiodo de producció-ivetarios U modelo base para T periodos e el que se cosidera u úico bie y u úico factor de producció es el modelo lieal cuadrático de miimizació costes de auste Mi. C(u,I ) = s.a L I u Lt 0, I 0, h t t t t t t = I = h 0, t = t = ( a t t + pl f, b p f t )L, 0, {, 2,,T} t t T t= 2 [ c u + c I ] dode u t es la variació e la fuerza de trabao e t, h t so las cotratacioes e t, f t so los despidos e t, I t es el ivel de ivetarios e t, L t es la fuerza de trabao e t, c > 0 es el coste de auste e la variació de la fuerza de trabao, c 2 > 0 es el coste uitario de almaceamieto, a t 0 es el tato por uo de ubilacioes e t, d t > 0 es la demada durate el periodo t, I 0 y L 0 so datos coocidos de los iveles iiciales de ivetarios y fuerza de trabao, pudiedo tambié serlo los iveles fiales I T y L T, t t d, t + u t t,, 2 t, 22 MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA

31 Modelos de optimizació e Ecoomía p > 0 es el úmero de uidades producidas por trabaador durate u periodo dado, b 0 es la capacidad de producció. Como puede observarse, e los modelos diámicos es preciso por lo geeral determiar u mayor úmero de elemetos que e los estáticos. Así, básicamete se debe defiir: ) La amplitud total del periodo temporal cosiderado y la fecha de iicio. 2) La amplitud de los subitervalos temporales cosiderados. 3) El estado iicial y/o el estado fial. Además, muchas veces se debe determiar tambié otros elemetos como la duració de cada actividad, la tasa de preferecia temporal (tato de descueto o tato de capitalizació), el tratamieto de la icertidumbre, etc Plaificació ecoómica U problema de plaificació ecoómica suele modelizarse como u problema de maximizació restrigida a gra escala (de gra tamaño). La fució obetivo se idetifica co ua medida de bieestar social que debe maximizarse sueta a restriccioes que represeta procesos de producció dispoibles y dotacioes de recursos de la ecoomía. Uo de los modelos más coocidos e este ámbito es la aproximació de precios y catidades de Heal (97) 7 : dode Max. W(y,, y s.a T (y, x ) 0, i = x i i x i i i R 0, y i, ), θ, i i W es la fució de bieestar social, {, 2,, }, {, 2,, m }, {, 2,, } y {, 2,, m }, existe empresas productoras, l productos diferetes y m recursos dispoibles, x i es la catidad de recurso asigada a la empresa i, 7 Heal, G.M. (97): Plaig, prices ad icreasig returs, Review of Ecoomic Studies, MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA 23

32 Vetura, M.; Meeu, R.; Pérez-Salamero, J.M. y i R l es el vector de biees producidos por la empresa i, x i es el vector de factores productivos de la empresa i, T i es la fució implícita que represeta las posibilidades de producció de la empresa i, R > 0 es la catidad total de recurso dispoible e la ecoomía. 24 MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA

33 Modelos de optimizació e Ecoomía.5.- MODELOS BÁSICOS EN PROGRAMACIÓN LINEAL Los modelos que trata la P.L. tiee ua serie de limitacioes como so el o garatizar valores eteros para aquellas variables que lo requiera, el carácter determiista de los mismos (ausecia de icertidumbre) y la suposició de la liealidad de las relacioes etre las variables (aditividad y proporcioalidad), si embargo, so aplicables a ua amplia gama de decisioes ecoómicas. E realidad, muchos de estos problemas estaría ecuadrados como casos particulares o extesioes del problema de miimizació de costes visto ateriormete o del problema geeral de maximizació de beeficios Combiació óptima de recursos Los modelos de combiació óptima de recursos se caracteriza por: a) Ua fució obetivo que cosiste e maximizar el beeficio de explotació que se obtiee al realizar ua serie de actividades, (producció y veta de productos). Se supoe que la catidad producida se vede totalmete e el mercado, por lo que o existe la posibilidad de almacear igua catidad sobrate (Ley de Say: oferta = demada). b) Uas restriccioes que se debe a la limitació de recursos productivos y a la demada de los productos. dode Su formulació es: sueto x D a :, Max x = B = a i x L, x = b (p i c i ) x 0, {,2,..., m }, {,2,..., }, x es la catidad de producto ( =,2,..., ) producido y vedido, b i es la catidad dispoible del recurso productivo i (i =,2,..., m), a i es la uidades del recurso i requeridas para producir ua uidad del producto, D es la demada máxima del producto, L es el ivel míimo de producció para el producto, MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA 25

34 Vetura, M.; Meeu, R.; Pérez-Salamero, J.M. p es el precio de veta uitario del producto, c es el coste variable uitario del producto, Problemas de mezcla Estos problemas surge cuado es ecesario mezclar varios materiales para obteer u producto fial que cumpla ua serie de requisitos. El problema es determiar la mezcla más barata que cumpla todas las especificacioes. Eemplos de este tipo de problemas se tiee e empresas de refiado, mierales, fibras, alimetació, fertilizates, etc., así como e problemas de combiació óptima de activos fiacieros, e problemas de selecció de iversioes, o e problemas de marketig para determiar la mezcla adecuada de medios a emplear e ua campaña publicitaria, por eemplo. Se supoe que hay productos y m especificacioes. Para que el problema resulte e u problema de P.L., cada propiedad debe coseguirse mediate la combiació lieal de las propiedades de los materiales empleados e la mezcla. sueto a: La formulació matemática resultate es la siguiete: Mi. C(x, x 2,..., x ) = c x, = = = = = a a a i i i x x x p x b, i = b, i b, i =, i i i {,...,k}, { k +,...,k + s}, { k + s +,...,m }, dode x es la catidad de material utilizado por uidad de producto (=,2,...,), c es el coste uitario del material, b i es la especificació requerida de la propiedad i del producto, 26 MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA