oposiciones 2008 MATEMÁTICAS FINANCIERAS

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1 oposicioes 2008 MATEMÁTIAS FINANIERAS

2 2 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras

3 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras 3 ÍNDIE (El texto señalado co sombreado o es materia de exame, pero si es material de cosulta y apoyo al estudio: Ejemplo: Los redimietos derivados de la trasmisió o reembolso de. De igual maera, los ejemplos ayuda a la compresió del módulo, pero o so materia de exame) 1. INTRODUIÓN FUNDAMENTOS MATEMÁTIOS Valor temporal del diero Itereses y tipo de iterés apitalizació y descueto Iterés simple y compuesto apitalizació a iterés simple Fórmulas geerales Variacioes e el capital. Números comerciales Iterés simple aticipado apitalizació a iterés compuesto Fórmulas geerales apitalizació periódica de los itereses Descueto simple y comercial Fórmulas geerales Descueto comercial y descueto racioal Las Letras del Tesoro Actualizació a iterés compuesto Fórmulas geerales Actualizació periódica de los itereses TIPOS DE INTERÉS Itroducció Fució de descueto urva cupó cero ocepto de Forward Rate Agreemet. (FRA)... 39

4 4 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras 3.5. Iterest Rate Swap (IRS) Bases de cálculo Tasa omial y efectiva e iterés compuesto RENTABILIDAD Retabilidad simple Tasa de retabilidad geométrica Tasa Itera de Retabilidad (TIR) Tasa Aual Equivalete (TAE) Tasa de Retabilidad Efectiva (TRE) Retabilidad real ANEXOS Aexo 1. Iterés simple y compuesto...54 Aexo 2. Deducció de la fórmula geeral de la capitalizació compuesta...55 Aexo 3. álculo de la fórmula del tipo de iterés (iterés compuesto) Aexo 4. álculo de la fórmula del tiempo (iterés compuesto)...58 Aexo 5. Fórmula del descueto racioal o matemático...60 Aexo 6. Valor del capital actual e fució de la frecuecia de actualizació...62 Aexo 7. Deducció de la fórmula del tipo de iterés efectivo aual...63 APÉNDIE FORMULARIO... 65

5 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras 5 1. INTRODUIÓN E este tema estudiarás alguos coceptos básicos para eteder qué variables del etoro ecoómico ifluye e las iversioes y cuáles so los fudametos de cálculo que permite medir la evolució de ua determiada iversió y su redimieto. Por eso, se trata dos aspectos diferetes: Fudametos matemáticos El diero es como ua mercacía que se puede comprar y veder; por eso tiee u precio. E realidad, el diero se presta y el precio del préstamo so los itereses. Tomar prestado y prestar diero, a cambio de uos itereses, es ua de las pricipales actividades de las etidades fiacieras. Se estudia las operacioes más habituales de cálculo realizadas a iterés simple y compuesto y, como ejemplo de aplicació, te propodremos alguos ejercicios prácticos que deberás resolver co ayuda de la calculadora cietífica. Medidas de la retabilidad El objetivo fial de cualquier iversió es coseguir u redimieto o retabilidad. Verás que existe diferetes magitudes que permite medirla a través de idicadores uméricos.

6 6 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras 2. FUNDAMENTOS MATEMÁTIOS Quie dispoe de diero puede sacarle u redimieto depositádolo e ua etidad fiaciera o prestádolo a u tercero. A cambio, al cabo de u tiempo, recibirá ua catidad superior. ualquier persoa preocupada por el redimieto de su diero se puede pregutar: cuáles so las gaacias que obtedré por depositar mi diero e ua etidad fiaciera?, de qué factores depede esas gaacias?, cuáto me ahorraría por adelatar el pago de ua deuda e lugar de esperar a su vecimieto?, qué catidad he de desembolsar periódicamete para teer, al cabo de u tiempo, cierto capital?... El cálculo fiaciero permite dar respuesta a estas pregutas. E el apédice ecotrarás, ordeadas y umeradas, todas las fórmulas que se emplea e la explicació. Podrás cosultarlas siempre que lo creas coveiete Valor temporal del diero Abrir ua cueta de ahorro, suscribir u pla de pesioes, comprar Deuda Pública, descotar ua letra de cambio u obteer u préstamo hipotecario so ejemplos de operacioes fiacieras. E el caso de u préstamo hipotecario, la etidad fiaciera etrega al cliete u determiado capital que recuperará gradualmete mediate cuotas periódicas. El importe total de esas cuotas periódicas será superior al capital prestado, ya que icluye los itereses del mismo por el tiempo e que ha estado a disposició del beeficiario del préstamo. El préstamo hipotecario es u claro ejemplo de operació fiaciera. Básicamete, ua operació fiaciera cosiste e u itercambio de diero e el que la etrega y la recuperació tiee lugar e fechas distitas. El valor del diero depede del mometo e que se dispoe de él. Por eso, u capital fiaciero es el cojuto de dos variables: u importe y ua fecha de dispoibilidad. ada capital va asociado a ua fecha y tiee el valor moetario que idica sólo para aquella fecha. Es decir, 800,00 EUR del 4 de eero o vale lo mismo que 800,00 EUR del 20 de marzo. Dos catidades de diero so comparables sólo si se sitúa e el mismo mometo. Si u capital o devega itereses, es preferible cobrarlo cuato ates o pagarlo lo más tarde posible.

7 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras 7 uato ates se dispoga del diero, ates se podrá utilizar. Ese uso del diero puede cosistir e: Gastarlo, obteiedo así ua satisfacció o utilidad. Ivertirlo, obteiedo u redimieto (por ejemplo, cotratado determiado producto fiaciero). Es lógico, pues, que quie presta su diero a otro preteda recibir, e el mometo de recuperarlo, ua catidad mayor que la prestada. Quie presta diero reucia durate cierto tiempo a gastarlo o a obteer u redimieto e otras iversioes alterativas. Por el cotrario, quie lo recibe tiee la oportuidad de utilizarlo (gastarlo o ivertirlo) durate ese mismo tiempo. Por eso, es razoable que quie recibe el diero compese ecoómicamete a quie lo presta. Se trata de pagarle por la reucia a dispoer de su diero. E térmios ecoómicos se dice que se compesa el coste de oportuidad. Quie presta diero se llama prestamista o acreedor. Quie lo recibe, prestatario o deudor. Ua persoa que deposita diero e u baco reucia a dispoer temporalmete de su diero y se covierte e acreedora del baco Itereses y tipo de iterés He aquí u ejemplo secillo de operació fiaciera: u cliete deposita 6 000,00 EUR e ua libreta de ahorro de u baco durate u año. Al cabo de ese tiempo recupera 6 120,00 EUR; esos 120,00 EUR adicioales so los itereses que ha pagado el baco por dispoer durate u año de u diero que o es suyo. A su vez, el cliete los ha cobrado para compesar su reucia a dispoer de ese mismo diero. Se llama tipo de iterés al redimieto producido por ua uidad de capital e ua uidad de tiempo. Es el precio uitario de la operació. Por lo tato, coociedo el importe de u capital y los itereses, o precio total, que devega durate u periodo de tiempo, por ejemplo u año, podemos calcular el tipo de iterés aual dividiedo estos itereses por el capital prestado. E cálculo fiaciero, el cocepto de capital idica los recursos empleados e ua operació fiaciera. Estos recursos puede ser diero u otros biees, que siempre se valora e diero. Por eso puede utilizarse idistitamete, y co el mismo sigificado, capital y diero. E las fórmulas de cálculo fiaciero utilizaremos el tipo de iterés expresado e tato por uo, auque lo más comú es hablar de porcetajes o tatos por cieto. overtir u tato por cieto e tato por uo es muy fácil: basta co dividir por 100 el porcetaje o tato por cieto.

8 8 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras Al tipo de iterés tambié se le llama rédito, tasa o tato de iterés. E este curso lo llamaremos siempre tipo de iterés y lo represetaremos por la letra i. uado el plazo de la operació es de u año, el tipo de iterés se deomia tipo de iterés omial. uado es iferior a u año, se deomia tipo de iterés efectivo y hace referecia al periodo. Así, por ejemplo, si los itereses producidos por 1 000,00 EUR durate 6 meses ha sido 30,00 EUR, hablamos de u tipo de iterés efectivo semestral del 3 % apitalizació y descueto uado ua etidad fiaciera presta u capital, lo recupera más tarde icremetado co los correspodietes itereses. Es lo que ocurre habitualmete e las operacioes de préstamo. uado ua empresa preseta al descueto a su etidad fiaciera ua letra de cambio, recibirá ua catidad iferior al omial que figura e la letra. Al calcular el valor futuro de u capital actual se suma a éste los itereses que devegará. Al calcular el valor actual de u capital futuro se resta de éste el importe de los itereses que todavía o ha devegado. El aplazamieto o el aticipo de u capital da lugar a operacioes fiacieras de capitalizació y actualizació (o descueto), respectivamete. apitalizar es sumar a u capital actual (préstamo o iversió) los itereses devegados. Actualizar o descotar es restar de u capital futuro los itereses que éste todavía o ha devegado. Al capital actual se le llama tambié capital iicial, y al capital futuro, capital fial. La diferecia etre el capital futuro (o fial) y el capital actual (o iicial) so los itereses. E algú caso, utilizaremos alguos gráficos para represetar operacioes fiacieras de capitalizació y descueto. Puesto que el valor de u capital depede de la fecha e que pueda dispoerse de él, e esos gráficos aparecerá siempre: Los capitales que iterviee e la operació. La fecha de dispoibilidad de cada capital.

9 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras 9 Sobre ua líea horizotal, que idica el discurrir del tiempo, se marcará las fechas. Los capitales se represetará mediate líeas perpediculares a la líea del tiempo; las orietadas hacia abajo idica capitales actuales o iiciales, mietras que las orietadas hacia arriba idica capitales futuros o fiales. Esta forma de represetació es covecioal; e otros casos (por ejemplo, cuado se idica cobros y pagos) el sigificado de las líeas podrá ser distito. Por ejemplo: La capitalizació, represetada e el gráfico siguiete, la idicamos mediate ua líea discotiua que refleja la coversió de u capital actual e otro capital futuro:

10 10 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras E la capitalizació se cumple que: apital futuro = apital actual + Itereses La persoa que adelata el pago de u capital deberá aboar ua catidad iferior a la que le correspodería si lo hiciera efectivo e su fecha de vecimieto. El descueto que obtiee equivale a los itereses que habría devegado el capital durate el tiempo e que ha avazado su pago. A esta operació se le llama descueto y la represetamos gráficamete mediate ua líea que idica la coversió de u capital futuro e otro capital actual: E la operació de descueto se cumple que: apital actual = apital futuro Descueto Puesto que e la operació de descueto se calcula el valor de u capital actual, se dice tambié que es ua operació de actualizació. Fiacieramete, descotar y actualizar so térmios sióimos, auque osotros os referiremos ormalmete al descueto e operacioes iferiores a u año (que se calcula a iterés simple) y hablaremos de actualizació e operacioes superiores a u año (que se calcula a iterés compuesto). asi todo el cálculo fiaciero se basa e operacioes de capitalizació y descueto, co las variates que estudiarás a lo largo del curso.

11 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras Iterés simple y compuesto E toda operació fiaciera debe cosiderarse dos aspectos importates: el periodo de cálculo de itereses y el modo de liquidació de estos itereses. Es decir, co qué periodicidad debe calcularse y cómo se liquida (paga o cobra) dichos itereses. El cálculo de itereses puede realizarse sólo ua vez, al acabar el periodo de duració de la operació, o bie por fraccioes de este periodo total (meses, trimestres, semestres, años). El iterés simple cosiste e el cálculo de itereses sobre todo el periodo de la operació y su liquidació de ua sola vez. El iterés compuesto cosiste e el cálculo de itereses sobre cada periodo de cálculo y la acumulació de estos itereses al capital iicial de ese periodo, lo que da lugar a u uevo capital sobre el cual calcular los uevos itereses. Los itereses se capitaliza e cada periodo de liquidació. El resultado obteido para ua misma operació varía sesiblemete segú se calcule por iterés simple o compuesto. El aexo 5 muestra esta diferecia. No debemos cofudir el modo de cálculo de los itereses (compuesto o simple) co la capitalizació de estos itereses. La mayoría de los productos fiacieros suele calcular los itereses por el método simple y los itereses devegados puede capitalizarse y geerar u uevo capital (hablamos etoces de productos de capitalizació, como los plaes de pesió) o bie liquidarse mateiedo ítegro el capital iicial (caso de la mayoría de los productos fiacieros). E el cálculo de actualizació a iterés compuesto, las catidades calculadas e cada periodo se va deduciedo del capital. Así, el capital es cada vez meor y produce sucesivamete meores descuetos. Recuerda que actualizació y descueto sigifica lo mismo pero, por razoes didácticas, utilizaremos ormalmete «actualizació» e iterés compuesto y «descueto» e iterés simple apitalizació a iterés simple A pesar de que el cálculo de los itereses es, probablemete, ua operació que domias, la repasaremos aquí para: Establecer los criterios que vamos a seguir e el uso de las uidades de tipo de iterés y de tiempo. Mostrar cómo se procede cuado el capital o el tipo de iterés varía a lo largo del periodo de capitalizació.

12 12 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras Te e cueta que la capitalizació a iterés simple suele utilizarse o aplicarse e operacioes cuya duració es igual o iferior a u año Fórmulas geerales Los itereses producidos por u capital depede del: Valor del propio capital. Tipo de iterés al que se remuera. Tiempo que dura la capitalizació. Así, pues, la fórmula matemática que permite calcular los itereses es: I = 0 i [1]* A partir de ahora te e cueta que los úmeros que aparece etre corchetes al lado de cada fórmula se correspode co los del formulario que ecotrarás e el apédice. Puedes cosultar dicho apédice cuado lo ecesites. siedo: I = Valor de los itereses. 0 = apital iicial (valor del capital al pricipio del periodo de capitalizació). i = Tipo de iterés expresado e tato por uo (iterés producido por 1 EUR de capital) y referido a u año. Es el tipo de iterés omial. = Tiempo, expresado e años, de duració de la capitalizació. Si el tipo de iterés se expresa e tato por cieto, la fórmula será: 0 i I = 100 Auque e la práctica los tipos de iterés suele idicarse e tato por cieto, e las fórmulas que maejaremos lo haremos siempre e tato por uo, ya que resulta más cómodo para escribirlas y hacer los cálculos. Para calcular el tipo de iterés omial hay que despejar el valor de i e la fórmula geeral: I = 0 i

13 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras 13 Por tato: I i = [2] 0 De forma similar a como hemos despejado i, se puede deducir de la fórmula geeral el valor de o el de 0 : I = [3] 0 i I 0 = [4] i El capital fial es la catidad de diero obteida al fial del periodo de capitalizació. Lo represetaremos por. omo = 0 + I, se puede sustituir I por 0 i, co lo que: = i y, sacado el capital iicial 0 como factor comú: = 0 (1 + i ) [5] Para resolver u problema de capitalizació hay que proceder de la siguiete forma: 1. Idetificar la icógita o el dato a calcular. Puede ser, 0, I, i o. 2. Idetificar los datos coocidos y sus valores. 3. Seleccioar la fórmula adecuada. 4. Sustituir, e la fórmula seleccioada, los valores de los datos coocidos. 5. Realizar los cálculos ecesarios para hallar el resultado, es decir, el valor de la icógita. (E realidad, éste es el procedimieto a seguir para resolver cualquier problema de los que veremos a lo largo de este tema.) I se puede calcular por diferecia etre y 0, por lo que: 0 = [8] 0 i

14 14 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras Es importate destacar que e la fórmula geeral, I = 0 i, y e las fórmulas derivadas, el tipo de iterés (i) y el tiempo () debe referirse a la misma uidad de tiempo. Es decir, si el tipo de iterés es u tato por uo aual el tiempo debe idicarse tambié e años. Si el tipo de iterés y el tiempo se refiere a uidades de tiempo distitas, ates de sustituir los valores de i y hay que homogeeizar dichas uidades. Te acosejamos que te acostumbres siempre a expresar ambas magitudes e años, de acuerdo co las siguietes reglas: Si el tipo de iterés es efectivo, porque se refiere a ua uidad de tiempo iferior al año (por ejemplo, tato por uo mesual), hay que multiplicar el tipo de iterés por el úmero de veces que esa uidad de tiempo cabe e u año. De este modo, obtedremos el tipo de iterés omial. Ejemplos: U iterés efectivo mesual de 0,01 por uo equivale a u tipo de iterés omial o aual de 0,12 por uo (0,01 12 meses = 0,12 aual). U iterés efectivo trimestral de 0,035 por uo equivale a u tipo de iterés omial o aual de 0,14 por uo (0,035 4 trimestres = 0,14 aual). Si el tiempo se refiere a ua uidad iferior al año (meses, trimestres, etcétera), hay que dividirlo por el factor que idica el úmero de veces que esa uidad cabe e u año. Ejemplos: 18 meses = 1,5 años (18 : 12 meses = 1,5 años) 3 trimestres = 0,75 años (3 : 4 trimestres = 0,75 años) E iterés simple es lo mismo hablar de u 0,06 por uo semestral que de u 0,12 por uo aual o u 0,01 por uo mesual. (E cambio, esta regla o es válida para el iterés compuesto.) Para covertir los días e años puede utilizarse el divisor 360, si se cosidera el año comercial (12 meses de 30 días), o el divisor 365, si se cosidera el año atural. E baca se emplea uo u otro divisor depediedo de la operació fiaciera a realizar. Nosotros utilizaremos, de mometo, siempre el año atural. Por tato, el divisor será geeralmete 365, cuado el tiempo se exprese e días. Hay que destacar tambié que, cuado se hable de periodos de tiempo compredidos etre dos fechas, debe calcularse los días de caledario exactos para luego trasformarlos e años. Así, etre el día 3 de marzo y el 20 de abril hay 48 días, es decir redodeado decimales 0,132 años (48 : 365).

15 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras Variacioes e el capital. Números comerciales E las operacioes de capitalizació puede ocurrir que, a lo largo del tiempo, varíe el capital o el tipo de iterés, o ambas cosas a la vez. La variació del tipo de iterés es meos frecuete y hablaremos de ella más adelate. Bastate más corriete es la variació del capital; u caso típico es el de la cueta corriete bacaria, que suele registrar frecuetes movimietos de diero. Para calcular los itereses, e ese caso, hay que cosiderar tatos periodos como capitales distitos exista a lo largo del tiempo de capitalizació. Después se sumará los itereses de todos los periodos. Gráficamete, la operació puede resumirse de este modo: Dividimos el tiempo total e tatos periodos ( 1, 2, 3...) como capitales distitos exista ( 0, 1, 2...). Hasta ahora, habíamos deomiado 0 al capital iicial y al capital fial de ua operació de capitalizació. E el gráfico que acabamos de ver, hay varios capitales y, e cosecuecia, varios periodos, de modo que el capital iicial de u periodo se correspode co el capital fial del periodo imediatamete aterior. Por tato: E el periodo 1 el capital iicial es 0 y el fial, 1. E el periodo siguiete, 2, el capital iicial es 1 y el fial, 2. Y así sucesivamete. El capital iicial 0 permaece si variació durate el tiempo 1. Después, se igresa o reitegra diero obteiédose otro capital 1 que permaece durate otro periodo 2. El siguiete movimieto da lugar a otro capital 2 durate u tiempo 3, etcétera. E cada uo de los cico periodos se produce, respectivamete, los itereses I 1, I 2, I 3, I 4, I 5, pero cosideramos que o se suma al capital porque éste es u caso de iterés simple. La suma de I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I 5 so los itereses simples totales devegados durate el tiempo total de capitalizació.

16 16 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras Los itereses de cada periodo será, respectivamete: I 1 = 0 i 1 I 2 = 1 i 2 I 3 = 2 i 3 I 4 = 3 i 4 I 5 = 4 i 5 Por tato, la fórmula para hallar la suma de itereses de todos los periodos será: I = ( 0 i 1 ) + ( 1 i 2 ) + ( 2 i 3 ) + ( 3 i 4 ) + ( 4 i 5 ) Se trata, e defiitiva, de aplicar la fórmula del iterés simple para cada uo de los periodos. El tipo de iterés (i) es comú, pero cada capital y tiempo de capitalizació puede ser distitos. Por esto, se puede sacar i como factor comú, obteiédose: I = i ( ) El producto de cada capital por el tiempo de su respectivo periodo 0 1, recibe el ombre de úmero comercial; lo represetaremos por la letra N. Así, N 1 = 0 1, N 2 = [9] E el cálculo de los úmeros comerciales de cuetas corrietes bacarias el tiempo se expresa e días, puesto que el capital puede variar a diario. La utilizació de úmeros comerciales os lleva a la fórmula, I = i (N 1 + N 2 + N 3 + N 4 + N 5 ) La aplicació de esta fórmula resulta más secilla que calcular los itereses de cada capital distito. Los úmeros comerciales se calcula co el tiempo expresado e días. omo el tipo de iterés se refiere al año, habrá que dividir los úmeros comerciales por 365, para covertirlos e años: N 1 + N 2 + N N I = i [10] 365 De este modo, el tipo de iterés y el tiempo viee referidos al año. Otra forma de hallar los itereses de ua cueta se basa e el cálculo del saldo medio acreedor. Volvamos al ejemplo aterior.

17 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras 17 Saldo Días 2 580,00 EUR ,00 EUR ,00 EUR ,00 EUR Se procede del siguiete modo: 1. Se calcula el saldo medio 2 580, , , ,00 60 Saldo medio = 195 Saldo medio = 3 256,92 EUR 1 Números comerciales Es decir: Saldo medio = Periodo total 2. Se halla los itereses cosiderado que el capital iicial es igual al saldo medio 195 I = 0 i = 3 256,92 0,03 = 52,20 EUR 365 Hasta ahora hemos supuesto que el tipo de iterés permaecía costate. Normalmete es así, pero a veces las circustacias de los mercados, o la importacia de los saldos de las cuetas, hace que se modifique los tipos de retribució de los depósitos e las etidades fiacieras. E ese caso, se dividirá el tiempo e tatos periodos como variacioes de tipo de iterés haya habido y se calculará itereses para cada uo, aplicado su tipo correspodiete. Otro motivo que obliga a aplicar u tipo de iterés variable so los depósitos que se remuera por tramos, segú la cuatía del saldo. Por ejemplo: los primeros 1 000,00 EUR o tiee igua retribució; desde 1 000,01 a 5 000,00, el 1 % aual; desde 5 000,01 hasta ,00, el 2 %; desde ,01 e adelate, el 4 %. El tipo de iterés variable puede aplicarse por distitos motivos. Hemos visto los dos pricipales. E cualquier caso se dividirá el tiempo de capitalizació e tatos periodos como sea ecesario y se aplicará, a cada uo, su tipo de iterés.

18 18 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras Iterés simple aticipado Lo más ormal es que los itereses se cobre al fial del periodo de capitalizació. Pero tambié puede cobrarse al pricipio. Este hecho, extraño e apariecia pero frecuete e la vida real, ocurre cuado se coloca u capital e ua etidad fiaciera y se recibe como remueració algú bie. Este bie se recibe al formalizar la operació y, al fial, se recuperará el mismo capital que se colocó. Supó, por ejemplo, que ua baco etrega u aparato de alta fidelidad, cuyo precio de mercado es 230,00 EUR, a aquellos clietes que deposite, durate u año, u capital de ,00 EUR. E este caso: Los itereses de la operació so 230,00 euros (por ser el precio del bie co el que se remuera al cliete). El tipo de iterés que la etidad ha pagado por aticipado es el 2 %. (Se obtiee dividiedo los itereses etre el capital ivertido: 230,00 / ,00 = 0,02.) Pero los 230,00 EUR de hoy o so lo mismo que 230,00 EUR de u año después. Por lo tato, los itereses que hemos calculado (aticipadamete) o será los mismos que si el cálculo lo hiciéramos al vecimieto. Para hacer el cálculo al vecimieto, habremos de supoer que el capital iicial es el capital depositado meos el importe del bie recibido; es decir: 0 = ,00 230,00 = ,00 EUR. El tipo de iterés aticipado (que idicaremos co el símbolo i ) se puede calcular a partir del tipo de iterés al vecimieto (que idicaremos co el símbolo i), aplicado la fórmula geeral del descueto: i i = [11] (1 + i ) A partir de esta fórmula se puede obteer la iversa, que permite coocer el valor de i: i i = [12] (1 i )

19 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras 19 Así, e el ejemplo aterior: i = 0,02 = 1 i 0,02 i = = = 0,0204 (1 i ) (1 0,02 1) Supó ahora que ua etidad fiaciera, por la imposició de u capital, etrega a sus clietes u determiado bie y, además, al fial del periodo paga uos itereses. Estaríamos ate u ejemplo de retribució mixta. Ejemplo: u baco etrega u DVD a los clietes que deposita durate dos años ,00 EUR y, al retirar el capital, paga u iterés adicioal del 1,5 %. Para calcular, e estos casos, el tipo de iterés total habríamos de sumar al 1,5 % de itereses simples vecidos el equivalete por el valor del DVD. Es decir, calcularíamos el tipo de iterés aticipado y lo covertiríamos a tipo de iterés al vecimieto, aplicado la fórmula que cooces apitalizació a iterés compuesto Recuerda que: E la capitalizació a iterés simple, el tipo de iterés se aplica siempre al mismo capital. E la capitalizació a iterés compuesto, se cosidera que los itereses se devega durate periodos itermedios etre la fecha iicial y la fecha fial y que éstos se acumula al capital e cada periodo, obteiédose u uevo capital sobre el cual calcular los itereses del siguiete periodo. E geeral, las operacioes fiacieras utiliza el iterés simple, es decir, se calcula el importe de los itereses devegados e cada periodo (estos periodos será siempre, como máximo, de u año) y estos itereses puede capitalizarse (sumarse al capital) o bie liquidarse (pagarse o cobrarse). La capitalizació de los itereses e las operacioes fiacieras es excepcioal; suele darse e alguas operacioes de pasivo a largo plazo, como las imposicioes a plazo o los fodos de iversió. A efectos fiacieros, que los itereses de u periodo se capitalice o bie se liquide es similar. E el primer caso, la etidad fiaciera o paga los itereses del periodo, sio que los acumula al capital y pagará por ello más itereses e los periodos sucesivos.

20 20 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras E el segudo caso, la etidad pagará e cada periodo los itereses devegados. Por lo tato, deberá utilizar su tesorería para realizar estos pagos y ello supoe u coste fiaciero adicioal para la etidad. Por esta razó, cuado queremos efectuar u cálculo de capitalizació (calcular el valor futuro de u capital actual) e el que iterviee varios periodos de devego de itereses, siempre es recomedable utilizar el método de los itereses compuestos, idepedietemete de si los itereses de la operació se ha de capitalizar o liquidar e cada periodo Fórmulas geerales Ua empresa tiee la iteció de ivertir u capital de ,00 EUR e ua cueta a plazo fijo de u año, remuerada al 3 % aual. Trascurrido el primer año, reovará la imposició acumulado los itereses cobrados al capital iicial. Repetirá la misma al cabo del segudo y el tercer año. Los cálculos que sigue se refiere a este ejemplo. Te e cueta que estamos calculado valores futuros de capitales presetes y o operacioes fiacieras reales, e las cuales se debería teer e cueta aspectos como las retecioes a cueta sobre itereses. La acumulació aual de itereses equivale a ua capitalizació a iterés compuesto, auque el cálculo de itereses lo hagamos a iterés simple. Los itereses obteidos al fial del primer año (I 1 ) sería: I 1 = 0 i = ,00 0,03 1 = 450,00 EUR Puesto que esos itereses se añade al capital, al comiezo del segudo año se dispodrá del capital obteido al fial del primero: 1 = , ,00 = ,00 EUR Los itereses al fial del segudo año (I2) ascederá a: I 2 = 1 i = ,00 0,03 1 = 463,50 EUR E cosecuecia, el capital al fial del segudo año e iicios del tercero será: 2 = , ,50 = ,50 EUR Si el tiempo de capitalizació fuera de 10 años, habría que repetir siete veces más los cálculos ateriores para obteer el importe del capital fial. Para evitar todas esas operacioes puede aplicarse directamete la siguiete fórmula geeral: = 0 (1 + i) [25] siedo:

21 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras 21 = capital fial (o futuro). 0 = capital iicial (o actual). i = tipo de iterés aual (expresado e tato por uo). = tiempo total de capitalizació expresado e años. Recuerda que el úmero que aparece etre corchetes al lado de cada fórmula es ua referecia para localizarla e el apédice. Puedes ver, e el aexo 6, cómo se deduce matemáticamete la fórmula aterior. omo veremos después, para poder aplicar correctamete esta fórmula a la resolució de problemas cocretos, es codició imprescidible que los siguietes coceptos esté referidos a ua misma uidad de tiempo: El tipo de iterés (i) (tato por uo aual, mesual...). El tiempo de capitalizació () (años, meses...). El periodo de liquidació de itereses (cada cuáto se calcula: aualmete, mesualmete...). Si estas tres magitudes o tiee las mismas uidades, ates de resolver u problema utilizado la fórmula aterior, hay que efectuar algua trasformació previa. Recordemos las fórmulas geerales para calcular el capital fial e las dos modalidades de capitalizació: Iterés simple: = 0 (1 + i ) [5] Iterés compuesto: = 0 (1 + i) [25] Lo que diferecia ua fórmula de la otra es el factor que multiplica al capital iicial ( 0 ). Este factor recibe el ombre de factor de capitalizació. El factor de capitalizació represeta el capital fial que se obtiee al cabo de u tiempo, y a u tipo de iterés omial dado, para u capital iicial de 1,00 EUR. Observa que, si 0 = 1, el resultado obteido para el capital fial, e iterés compuesto, será = 1 (1 + i) ; esto es, = (1 + i), que correspode al factor de capitalizació. uado el tiempo de capitalizació () es 1 año, el factor de capitalizació a iterés compuesto es igual que el factor de capitalizació a iterés simple.

22 22 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras La afirmació aterior es cierta porque (1 + i) = (1 + i) 1 = 1 + i y (1 + i ) = (1 + i 1) = = 1 + i. E cambio, cuado el tiempo es superior a 1 año ( > 1), el factor de capitalizació a iterés compuesto es mayor porque (1 + i) > (1 + i ) Por ejemplo, si i = 0,1 y = 3, el factor de capitalizació a iterés compuesto será (1 + 0,1) 3 = 1,331, mietras que el factor de capitalizació a iterés simple será (1 + 0,1 3) = 1,3. Multiplicado el valor del factor (1 + i) por el valor de u capital iicial cualquiera, se obtiee el capital fial. Es decir: Si el tipo de iterés (i) y el periodo de liquidació de itereses so auales, el tiempo total de capitalizació () tambié deberá expresarse e años. Si figura e otras uidades (meses, días...) deberá teerse e cueta que para covertir: Días e años, se deberá dividir los días etre 365. (O 360, segú el caso.) Meses e años, se deberá dividir los meses etre 12. Trimestres e años, se deberá dividir los trimestres etre 4. Etcétera. Por ejemplo: 60 días so 0,1644 años (60 : 365). 6 meses so 0,5 años (6 : 12). 4 trimestres so 1 año (4 : 4). 1 año y 3 meses so 1,25 años (15:12).

23 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras 23 E alguas ocasioes el dato descoocido o la icógita del problema puede ser el capital iicial ( 0 ), el tipo de iterés (i) o la duració de la operació (). La forma más rápida de calcular el valor del capital iicial ( 0 ), el tiempo () o el tipo de iterés (i) cosiste e despejar la icógita correspodiete de la fórmula geeral: = 0 (1 + i) Éstas so las fórmulas resultates: apital iicial (o actual): : 0 = [27] (1 + i) Tipo de iterés omial: i = 1 [28] 0 log log 0 Tiempo: = [29] log (1 + i) Éstas so las fórmulas resultates: Puedes ver e los aexos 7 y 8 cómo se deduce de la fórmula geeral las del tipo de iterés omial (i) y tiempo (). Tambié ecotrarás u ejemplo resuelto de la utilizació de cada ua apitalizació periódica de los itereses Hasta ahora hemos supuesto que los itereses se devega y liquida o acumula al capital que los geera ua vez al año. Si embargo, hay muchos productos fiacieros (cuetas corrietes y de ahorro, depósitos a plazo, etcétera) que geera itereses co ua periodicidad semestral, trimestral, mesual... Se llama frecuecia de capitalizació al úmero de veces que se devega itereses e u año. Se represeta mediate la letra k.

24 24 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras Éstas so las frecuecias de capitalizació más corrietes: Periodo de liquidació Aual Semestral Trimestral Mesual Frecuecia de capitalizació (k) uado la frecuecia de capitalizació es superior a 1, hay que teerlo e cueta para calcular el valor futuro del capital fial aplicado la fórmula geeral = 0 (1 + i). E este caso: El tipo de iterés (i) o será el aual sio el que correspoda a cada periodo de liquidació. Se deberá calcular el tipo de iterés efectivo de frecuecia k. El tiempo () será el úmero total de periodos (semestres, trimestres, meses...). Por ello hay que itroducir e la fórmula aterior dos modificacioes: 1. El tipo de iterés correspodiete a cada periodo o será i (tipo de iterés omial) sio i/k. Así, si la frecuecia es cuatro (k = 4), porque se liquida itereses trimestralmete, e lugar de i se utilizará i/4, es decir, el tipo de iterés efectivo trimestral. 2. El úmero total de veces que se devega y capitaliza itereses o será sio k, que es el úmero total de periodos de devego. Por cosiguiete, e este caso, la fórmula geeral a utilizar para calcular el valor del capital fial ( ) será: k i = 0 1+ [30] k Fíjate que cuado k = 1 la fórmula geeral se reduce a = 0 (1 + i). La correcció que acabas de ver tiee que hacerse tambié e las fórmulas derivadas. Así, por ejemplo, para calcular el tipo de iterés se utilizará la fórmula: i = k 1 k 0 [31]

25 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras 25 uato mayor sea la frecuecia de capitalizació a iterés compuesto más veces se liquidará itereses a lo largo del año y, por tato, más itereses se producirá. Al dismiuir la frecuecia de capitalizació, ocurre lo cotrario Descueto simple y comercial La operació fiaciera de descueto de capitales se efectúa esecialmete para adelatar la fecha de dispoibilidad de u capital. Veamos u ejemplo: u proveedor de cierta empresa le gira ua letra a 90 días para cobrar sus etregas de material. Para dispoer ates del diero, descueta la letra e ua etidad fiaciera. Ésta le adelata el importe, aboádole ua catidad iferior a la que figura e la letra. (Al llegar el vecimieto, la etidad fiaciera cobrará la letra a la empresa.) La forma más habitual de descueto es la que acabamos de describir: ua etidad fiaciera aticipa el importe de u título de crédito aú o vecido (letra de cambio, recibo, pagaré, certificació de obra o servicio...). Al hacer este adelato, deduce los itereses producidos durate el tiempo que media etre la fecha del aticipo y la del vecimieto del crédito. Represetamos el descueto de este modo: Al realizar ua operació de descueto, el capital coocido es el futuro. Por tato, hay que calcular el capital actual. La diferecia etre el capital futuro y el capital actual es el descueto.

26 26 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras Observa que el térmio descueto puede utilizarse co dos sigificados distitos: La operació fiaciera por la que se aticipa el cobro de u capital. El importe descotado e esa operació. Auque hasta ahora sólo habíamos relacioado el térmio itereses co la capitalizació, tambié represeta itereses los importes deducidos e las operacioes de descueto. El descueto practicado e operacioes comerciales, e cocepto de proto pago, tiee u sigificado parecido al descueto que practica las etidades fiacieras: quie vede está dispuesto a aplicar u descueto si cobra ates de lo previsto. Ese descueto correspode, de algú modo, a los itereses de la catidad adelatada Fórmulas geerales E ua operació de descueto, al capital futuro se le suele deomiar valor omial, y al capital actual, valor efectivo. El valor efectivo es la diferecia etre el valor omial (o capital futuro) y el descueto. Así pues: Valor efectivo (V e ) = Valor omial (V ) Descueto (D) Descueto (D) = Valor omial (V ) Valor efectivo (V e ) E el descueto se utiliza las expresioes valor omial y valor efectivo mejor que capital futuro y capital actual, respectivamete. El descueto correspode a los itereses que se deduce del valor omial (V ). Estos itereses depede, además de la cuatía del valor omial (V ), del tipo de iterés omial aplicado (i) y del tiempo () e que se adelata el pago o el cobro. A veces, e lugar de tipo de iterés omial (i) se habla de tipo de descueto omial (d). Nosotros utilizaremos siempre la expresió tipo de iterés omial (i). A cotiuació propodremos u divisor de 360 días e los cálculos del descueto, cuado hasta ahora habíamos utilizado u divisor de 365 días. Las etidades fiacieras utiliza el divisor de 365 días cuado calcula itereses de operacioes de pasivo (tratadas hasta ahora) y de 360 días cuado se trata de calcular operacioes de activo, como es el caso del descueto comercial. Utilizado los símbolos ya citados (D, V, i y ), y supoiedo que el tipo de iterés se exprese e tato por uo aual (o tipo de iterés omial), la fórmula que permite calcular el descueto es: D = V i [16]

27 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras 27 Esta fórmula es igual que la que hemos utilizado para el cálculo de los itereses producidos por u capital; la úica diferecia está e que, e lugar del capital iicial ( 0 ), utilizamos el valor omial del efecto (V ). De la fórmula geeral i, se puede despejar los valores de V, i o. osulta e el apédice las fórmulas derivadas [17] a [19]. uato más tiempo se adelata el cobro de u efecto comercial, mayor será el importe del descueto. El descueto del que aquí hablamos tiee setido para periodos de tiempo cortos: días o meses, si llegar a sobrepasar u año. uado el tiempo de adelato de u capital es superior al año, suele aplicarse el iterés compuesto. Hablaremos de él más adelate Descueto comercial y descueto racioal La persoa o empresa que descueta dispoe de u capital que es el valor efectivo (V e ) y o el valor omial (V ), que para él es u capital teórico. Por tato, parecería razoable que los itereses (es decir, el descueto) se calculara sobre el valor efectivo y o sobre el omial. (Si el tipo de iterés se aplicase sobre el valor efectivo, e lugar de hacerlo sobre el valor omial, el importe del descueto sería iferior ya que el valor efectivo es siempre iferior al valor omial.) El descueto calculado sobre el valor omial (V ) se llama descueto comercial o bacario (es el que se aplica ormalmete). uado se calcula sobre el valor efectivo (V e ), se llama descueto racioal o matemático. La fórmula del descueto racioal es, por tato: D = V e i [20] Se llama descueto racioal porque, como hemos explicado, parece más razoable calcular los itereses sobre el valor efectivo, que es el capital que realmete percibe quie solicita el descueto. Pero existe u pequeño problema para calcular el descueto racioal mediate la fórmula aterior: es ecesario coocer el valor efectivo, cuado lo ormal es que o se sepa más que el valor omial. Si embargo, existe ua fórmula que permite obteer el descueto racioal coociedo sólo el valor omial o capital futuro. osulta, si lo deseas, cómo se deduce matemáticamete e el aexo 9. La diferecia etre el importe del descueto comercial y el racioal puede ser sigificativa e cálculos co importes elevados. Recuerda, de todas formas, que e la práctica comercial y bacaria se utiliza casi siempre el descueto comercial. U producto fiaciero e el que se aplica el descueto racioal so las Letras del Tesoro.

28 28 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras Las Letras del Tesoro Las Letras del Tesoro so activos emitidos al descueto ya que el comprador cobra, al fial del periodo de emisió, el valor omial y paga, al iicio del periodo, el valor efectivo o descotado. Las emitidas a plazos iguales o iferiores a los 12 meses se calcula aplicado las fórmulas del descueto racioal que acabamos de estudiar. E cambio, las que se emite a 18 meses se calcula aplicado las fórmulas del iterés compuesto (que veremos más adelate). Ahora os referiremos úicamete a las Letras del Tesoro a 12 meses, que, por lo tato, utiliza las fórmulas del descueto racioal simple. Las Letras del Tesoro tiee u valor omial de 1 000,00 EUR. Las emitidas a 12 meses (o 52 semaas) tiee ua vida exacta de 364 días: las subastadas, por ejemplo, el 19 de abril vece el 18 de abril del año siguiete. E la subasta se fija el precio medio: es lo que debe pagar el comprador por cada 100,00 EUR. Así, u precio medio de 96,90 EUR idica que, para adquirir 100,00 EUR, hay que pagar 96,90 EUR. (Se trata, por cosiguiete, de u porcetaje o tato por cieto.) El tipo de iterés omial se obtiee aplicado la siguiete fórmula: D i = [22] V e La fórmula equivalete, co el tiempo expresado e días (t), será: i = V e D t 360 Se obtiee así el tipo de iterés que sale publicado e la subasta. Si el comprador basa sus cálculos e el año atural (365 días), al aplicar la fórmula aterior obtedrá u tipo de iterés ligeramete superior. Otra operació comú, e Letras del Tesoro, es calcular el descueto y, e cosecuecia, el valor efectivo, cuado se cooce el tipo de iterés. Se debe utilizar la fórmula del descueto racioal: V i D = [21] 1 + i Si el tiempo se expresa e días (t), la fórmula será:

29 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras 29 D t V i = 360 t 1+ i 360 Para calcular directamete el valor efectivo, se puede utilizar la siguiete fórmula, deducida de las ateriores: V V e = [24] 1 + i Fíjate que es ua fórmula derivada del cálculo del capital fial a iterés compuesto [ = o (1 + i )] siedo el valor omial (V ) y o el valor efectivo (V e ) Actualizació a iterés compuesto La actualizació a iterés compuesto tiee aplicació, por ejemplo, e los siguietes casos: alcular qué capital debe ivertirse e ua operació fiaciera de capitalizació para obteer e el futuro u capital determiado. oocer el valor actual de ua deuda que vece detro de u tiempo. Hallar el valor de emisió e ua operació cupó cero o de ua Letra del Tesoro cuya duració sea superior a u año. (Se trata de u tipo de emisió de títulos e la que el titular o recibe itereses durate la vida del valor, sio que lo hace ítegramete e el mometo e el que se amortiza el título.) E la capitalizació a iterés compuesto los itereses se añade periódicamete al capital, co lo que éste es cada vez mayor. Por el cotrario, e la actualizació a iterés compuesto: El descueto, e cada periodo de devego, se va deduciedo del capital. El capital es más pequeño e cada periodo de actualizació. El descueto se calcula sobre el valor del capital actualizado al iicio de cada periodo. El importe del descueto es más pequeño e cada período Fórmulas geerales A partir de la fórmula = 0 (1 + i), que idica el valor del capital fial o futuro, se puede obteer la fórmula del capital iicial o actual. Basta co despejar 0 : 0 = [32] [27] (1 + i)

30 30 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras La fórmula de la actualizació: 0 = (1 + i) Podría escribirse tambié: 0 1 = i ( 1+ ) 1 La expresió ( 1+ i ) idica el valor del capital iicial cuado el capital fial es 1,00 EUR. Se le llama factor de actualizació (fórmula 33 del apédice). Para obteer el valor de u capital actual cualquiera, bastará co multiplicar el capital fial por el factor de actualizació. 1 Matemáticamete, la expresió tambié puede expresarse como (1 + i), pero para ( ) 1+ i mayor claridad utilizaremos siempre fórmulas co expoetes positivos. Recuerda el sigificado del factor de capitalizació y del factor de actualizació: De la relació etre el factor de actualizació, el tipo de iterés y el tiempo se deduce que: uato más tiempo se aticipe o actualice u capital, meor será el valor actual obteido. uato meor sea el tipo de iterés al que se actualice u capital, mayor será el valor actual obteido. E el ejemplo aterior estamos ate ua operació de actualizació porque, dado u capital futuro, hay que calcular su valor actual.

31 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras Actualizació periódica de los itereses Hasta ahora hemos supuesto que, e la actualizació de capitales, la aplicació del descueto se hace ua vez al año. Es decir, estamos haciedo la simplificació de que el periodo de actualizació es igual al periodo al que se refiere el tipo de iterés, que casi siempre es aual. Pero, al igual que la capitalizació, la actualizació puede hacerse más de ua vez al año: semestralmete, trimestralmete, mesualmete... E estos casos la frecuecia de actualizació es superior a 1. E la actualizació compuesta se produce la misma situació, auque co u resultado diferete, al de la capitalizació compuesta: E la capitalizació, como sabes, al aumetar la frecuecia aumeta tambié los itereses y, por tato, el capital fial. E la actualizació, al aumetar la frecuecia del cálculo de itereses, aumeta éstos y, como cosecuecia, dismiuye más el capital actual. El aexo 10 muestra, a través de u ejemplo, la variació del capital actual e fució de la frecuecia de actualizació. uado la frecuecia de actualizació es superior a 1, o puede aplicarse la fórmula que hemos utilizado hasta ahora para calcular el capital actual. Hay que itroducir e ella las mismas correccioes que e la capitalizació: No puede utilizarse el tipo de iterés omial (i) que se refiere al año, sio sólo la parte que correspode a cada periodo liquidado, es decir, el tipo de iterés efectivo. Así, si la frecuecia es cuatro (k = 4), porque se aplica los descuetos trimestralmete, e lugar de i se utilizará el iterés efectivo trimestral i/4 (e geeral, i/k). Hay que multiplicar el úmero de años () por la frecuecia de actualizació aual (k). De este modo se tiee e cueta el úmero total de periodos e que se aplica los descuetos ( k). La fórmula geeral de la actualizació, cuado la frecuecia es superior a 1, será: = i 1 + k 0 [35] k

32 32 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras 3. TIPOS DE INTERÉS Tradicioalmete se ha veido utilizado el tipo de iterés omial o teórico (i, e la fórmula geeral) como valor de referecia del coste o redimieto de ua determiada operació fiaciera. Este tipo de iterés omial o teórico se expresa ormalmete e tato por cieto aual y se refiere a los itereses devegados por u capital dado, durate el plazo de u año. Pero es sólo u valor teórico, que o idica el redimieto o coste real de ua operació; para ello es preciso calcular el tipo de iterés (o tasa) efectivo. Al tratar del iterés simple ya hemos explicado que la tasa omial (o tipo de iterés omial) hacía referecia a los itereses devegados por u capital durate u año. uado el periodo es iferior os referíamos al tipo de iterés efectivo (mesual, trimestral...). E iterés compuesto la diferecia etre la tasa omial y la efectiva se produce por la frecuecia aual de devego de los itereses Itroducció El precio de u istrumeto fiaciero vedrá dado por el valor actual de sus flujos de caja. omo los flujos se reduce e mometos distitos del tiempo habrá que teer e cueta el valor temporal del diero para homogeeizarlos coveietemete. E defiitiva, es ecesario dispoer de algua técica que, dada la estructura temporal de tipos de iterés (ETTI) de la ecoomía e el mometo de la valoració, permita descotar co arreglo a dicha estructura cada uo de tales flujos para obteer su valor actual. Lo que os proporcioa la ETTI es iformació acerca de la relació etre los tipos y el plazo; es decir, muestra el valor que el mercado asiga a ua uidad moetaria e cualquier istate futuro. Existirá ua úica ETTI para cada moeda, mometo de tiempo y riesgo crediticio (cosiderado homogéeas las codicioes de liquidez y fiscalidad). Los factores de descueto aplicables a cada ua de las fechas e las que se produce los flujos se calcula a partir de los tipos de iterés de mercado vigetes e el mometo de su determiació. A partir de dicha fució de descueto se realiza ua serie de cálculos derivados que permite obteer alguos tipos de iterés muy relevates para los mercados (los tipos cupó cero y los tipos implícitos). E realidad, la fució de descueto, los tipos cupó cero y los tipos implícitos so tres formas de presetar exactamete lo mismo, o, e otras palabras, tres maifestacioes de ua misma cosa: la estructura temporal de los tipos de iterés.

33 Oposicioes Tema: Matemáticas fiacieras Fució de descueto E codicioes ormales ua ecoomía defiirá tipos de iterés diferetes de cero y positivos, por lo que ua uidad moetaria que será recibida co certeza e el futuro valdrá meos que ua uidad moetaria dispoible hoy. Este valor depederá del ivel de tipos de iterés vigete para el plazo e el que se recibirá esa uidad moetaria. Ua ecoomía o defie u tipo de iterés úico para cada plazo. Será varios los tipos de iterés dispoibles depediedo del istrumeto egociado e el mercado que se tome como referecia. Ua característica básica se referirá a la calidad crediticia del emisor del istrumeto; así, u prestatario co riesgo tesoro, tambié coocido como riesgo soberao, defiirá e geeral u tipo de iterés meor a u prestatario co riesgo bacario, de ese modo cada emisor tiee su fució de descueto asociada. Por ello se puede defiir como Factor de Descueto para tiempo t, P(t), al precio que se paga hoy por ua uidad moetaria que va a ser percibida e tiempo t. La fució P(t) es decreciete y toma valores e (0,1]. Existe pricipalmete dos tipos de técicas para la determiació de las fucioes: Paramétricas. E la cual partiedo de ua forma fucioal paramétrica, se optimiza estos parámetros hasta ecotrar la forma fucioal que mejor represete los datos de mercado. Etre estas técicas cabe resaltar las de Nelso-Siegel y la de Svesso. Bootstrappig. Técica recursiva mediate la cual se va calculado directamete los factores de descueto de cada vértice de mercado desde el de meor plazo al del mayor. La fució resultate es discreta, para determiar la fució fuera de los vértices se iterpola expoecialmete. Estas técicas usa como dato de partida iformació de mercado, por ejemplo, para el cálculo de la ETTI del tesoro español los datos de mercado (tambié llamados vértices) so letras del tesoro, obligacioes y deuda del estado. E el caso de la ETTI co riesgo iterbacario los vértices a usar so los depósitos y los tipos SWAPS (IRS) y para coocer la curva de descueta de Telefóica se usa los boos de la compañía. omo ejemplo, si coocemos la Fució de Descueto del Tesoro Español y os pide precio de u Boo cupó cero del Tesoro Español de omial 1M co vecimieto dos años podremos determiar su valor directamete.