MATEMÁTICAS DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS. 3. Tanto nominal vs tanto efectivo. Tanto instantáneo.

Transcripción

1 MATEMÁTICAS DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS 1. Itroducció 2. Leyes fiacieras 3. Tato omial vs tato efectivo. Tato istatáeo. 4. Operació fiaciera: aálisis estático y aálisis diámico 5. Operacioes de amortizació 6. Tato efectivo de coste, tato efectivo de redimieto y TAE. 7. Valor fiaciero de la operació 8. Referecias bibliográficas 1

2 1. INTRODUCCIÓN Las matemáticas fiacieras se ocupa del estudio de las operacioes fiacieras y sirve para cuatificar el valor del diero e el tiempo. De hecho, la idea del valor temporal del diero es ua idea cetral que ecotraremos siempre al pricipio de cualquier libro de Fiazas. Para ilustrar esta idea supogamos que e u sorteo os toca y teemos que decidir si deseamos los hoy o detro de 2 años. Cuál sería la mejor opció? Lógicamete la elecció más correcta sería dispoer hoy de los , ya que así tedríamos la oportuidad de ivertir el diero (por ejemplo e ua imposició a plazo fijo e ua etidad fiaciera) y obteer ua cifra superior a detro de 2 años. E defiitiva, se trataría de ivertir ese diero realizado ua operació fiaciera. Esta preferecia por el cosumo presete frete al cosumo futuro es la base fudametal sobre la que se costruye las matemáticas fiacieras y se suele deomiar pricipio de subestimació de las ecesidades futuras frete a las presetes o tambié pricipio de preferecia por la liquidez. Este pricipio implica que sólo estaremos dispuestos a retrasar la dispoibilidad de u bie a cambio de recibir ua recompesa o compesació. E cotraposició, tambié estaremos dispuestos a reuciar a ua parte del diero al que teemos derecho a cambio de obteer ese diero co aterioridad a la fecha prevista (operacioes de descueto de capitales). E defiitiva, ua operació fiaciera es u itercambio o simultáeo de capitales que se realiza etre dos agetes de acuerdo co ua ley fiaciera determiada bajo la cual los cojutos de capitales que se itercambia etre ambas partes so equivaletes. E su versió más simple, este itercambio supoe que u agete etrega a otro u capital quedado obligado el agete que lo recibe a devolver, e el plazo acordado, el capital prestado más ua cuatía que represeta la recompesa que recibe el agete que pospoe la dispoibilidad del capital hasta ua fecha futura. Esa recompesa o compesació recibe el ombre de iterés y puede defiirse como la cuatía, expresada e uidades moetarias, que será ecesario pagar por dispoer de capitales ajeos durate u determiado período de tiempo (desde el puto de vista del agete que etrega el capital iicial el iterés es la recompesa o compesació que recibe al fial de dicho período de tiempo pactado por haber reuciado a dispoer de su capital al iicio de dicho periodo). U ejemplo típico de operació fiaciera sería ua imposició a plazo fijo a 2 años e ua etidad fiaciera por la que ua persoa ivierte hoy para recibir al cabo de 2 años E este caso, el iterés ascedería a 816 (= ). Se defie el cocepto de capital fiaciero como la medida o valor de u bie ecoómico e el mometo del tiempo e que está dispoible. Normalmete se represeta por u par de úmeros (C,t) dode C es la cuatía o valor del bie e uidades moetarias (euros, dólares, etc.) y t el vecimieto o mometo del tiempo e que está dispoible. U ejemplo de capital fiaciero sería (10.000, ), lo que sigifica que el 1 de octubre de 2004 se puede dispoer de u capital de cuatía euros. Nótese que C R + y t R. 2

3 Cómo se represeta los capitales fiacieros? Gráficamete se represeta mediate u sistema de coordeadas cartesiaas, situado las cuatías e el eje de ordeadas y el tiempo e el eje de abcisas. C C 2 (C 2, t 2 ) C 1 (C 1, t 1 ) t 1 t 2 t Si embargo, e la práctica suele represetarse de la forma: C 1 C 2 t 1 t 2 Es decir de forma esquemática, situado e la parte superior del eje temporal la cuatía de los capitales, y e la parte iferior el tiempo. E defiitiva, debe quedar claro que la reucia a dispoer de ua cuatía C e el mometo actual t, esto es, (C,t), supoe la obteció de u capital de cuatía superior C+I e u mometo futuro t, es decir, (C+I, t ), dode I es el iterés. C I C La siguiete cuestió a resolver hace referecia a cómo se determia la cuatía del iterés (esto es, la recompesa por diferir la dispoibilidad del capital). E otras palabras, cómo se establece la regla de cálculo que susteta el itercambio de capitales que tiee lugar e las operacioes fiacieras? 3

4 La expresió o modelo matemático que permite obteer dicha cuatía es lo que se cooce como ley fiaciera y, auque existe múltiples posibilidades para dar respuesta a esta preguta, e la práctica se utiliza fudametalmete tres leyes, la ley de capitalizació simple, la ley de capitalizació compuesta y la ley de descueto simple comercial. Ley fiaciera: Expresió matemática que permite obteer la cuatía del capital fiacieramete equivalete e u mometo t 2 (futuro o pasado) al que se reucia e el mometo t LEYES FINANCIERAS 2.1.) Ley de capitalizació simple. E este criterio, el iterés I que se pagará por dispoer de u capital de cuatía C por u período de tiempo dado, t t 0, se determia de forma proporcioal al capital dispuesto y la amplitud del período. Esto es: I C i C i (t t 0 ) [1.] co: C = la cuatía de capital dispuesto e uidades moetarias = t -t 0 el período de tiempo durate el cual se pospoe la disposició del capital expresado e uidades de tiempo. i = el parámetro que defie la ley utilizada ( que, como se verá posteriormete, represeta el tipo de iterés o precio a pagar al fial del período por uidad de capital y uidad de tiempo) expresado e la misma uidad e que vega medido el tiempo. Problema 1. Cuál sería el iterés, calculado e capitalizació simple, correspodiete a la disposició de u capital de durate dos años y utilizado u tipo de iterés aual del 4,00%? Si se utiliza la expresió aterior, el iterés será: I C i , euros De esta forma, la cuatía que se recibirá al fial de período, C, tedrá la siguiete expresió: C C I C C i C(1 i ) [2.] A partir de [2] la expresió de la ley de capitalizació simple será: L(t; t ) (1 i ) de forma que C C 1 i ) C L( t; t ) [3.] ( 4

5 C = C L(t,t ) I = C - C = C i C t t E la práctica, el parámetro i suele expresarse e térmios auales por lo que el tiempo,, se expresará e años o fracció de años. Esto es, dode: L(t;t ) 1 i k / m [4.] m = úmero atural que represeta los subperiodos de igual amplitud e que se ha divido el año (m=12 meses, m=4 trimestres, m=365 días, etc.) k = úmero de subperíodos compredidos etre t y t. Problema 2. Cuál sería el capital, calculado co capitalizació simple, que se recibiría al fial del periodo si se prestara u capital de 5000 durate 180 días a u tipo de iterés aual del 4,00%? y si el período fuera de 3 meses? Utilizado la expresió aterior: C C L(t;t ) = C k 1 i y depediedo del m período de tiempo, tedremos: k= 180 días 180 C , ,63 euros 365 k= 3 meses 3 C , euros 12 5

6 2.2.) Ley de capitalizació compuesta. Si se aplica la expresió aterior, la cuatía que se obtedría por pospoer la disposició del capital períodos sería: C C L(t;t ) C 1 i [5.] Si embargo, podría platearse ua alterativa a esta situació dividiedo la duració total del período e subperiodos y plateado la misma operativa para cada uo de ellos, esto es, reivirtiedo los capitales obteidos al fial de cada periodo por u periodo más. Así, 1º período (amplitud 1) C(1 i 1) C 1 2º período (amplitud 1) C C (1 i 1) C(1 i 1)(1 i 1) C i... período (amplitud 1) C C (1 i 1) C(1 i 1)(1 i 1)...(1 i 1) C(1 i [6.] 1 ) co: C = la cuatía de capital dispuesto e uidades moetarias = t -t el período de tiempo durate el cual se pospoe la disposició del capital expresado e uidades de tiempo. i = el parámetro que defie la ley utilizada ( que, como se verá posteriormete, represeta el tipo de iterés o precio a pagar al fial del período por uidad de capital y uidad de tiempo) expresado e la misma uidad e que vega medido el tiempo. Pues bie, la ley resultate de esta alterativa es lo que se deomia capitalizació compuesta y su expresió sería: L( t; t ) 1 i y, por tato, C C 1 i) C L( t; t ) [7.] ( Igual que e el caso aterior el parámetro i que defie la ley debe expresarse e la misma uidad e que se mide el tiempo y dado que, e la práctica, el parámetro i se suele referir al año, la expresió geeral de la ley sería: dode: L(t;t k / m ) 1 i [8.] m = úmero atural que represeta los subperiodos de igual amplitud e que se ha divido el año (m=12 meses, m=4 trimestres, m=365 días, etc.) k = úmero de subperiodos compredidos etre t y t. 6

7 Problema 3: Cuál sería el capital, calculado co capitalizació compuesta, que se recibiría al fial del periodo si se prestara u capital de durate 180 días a u tipo de iterés aual del 4,00%? y si el período fuera de 3 meses? Utilizado la expresió de la ley de capitalizació compuesta y, uevamete depediedo del periodo: C k / m C.L(t; t ) C.(1 i) k= 180 días k= 3 meses C C (1 0,04) (1 0,04) 180 / / , ,27 Por otra parte, los itereses se obtedría de la expresió: k / I C C C (1 i) 1 y si k / 1 I C i [9.] Problema 4: Cuál sería el iterés, calculado e capitalizació compuesta, correspodiete a la disposició de u capital de durate 3 años utilizado u tipo de iterés aual del 4,00%? Y e el caso de u periodo de tres meses utilizado u tipo de iterés trimestral del 1%? 3 3 I C C C (1 i) (1 0,04) 1 624,32 euros 1 3 I 2 C i ,01 50 euros 2.3) Comparació de las leyes de capitalizació simple y capitalizació compuesta. La idea fudametal de la capitalizació compuesta es la de que los itereses geere, a su vez, itereses. La utilizació de este criterio supodría el mismo resultado que la aplicació de la ley de capitalizació simple de forma sucesiva, reivirtiedo cada vez los capitales geerados e el periodo aterior. Así, si se compara los itereses por periodo obteidos co la aplicació de la ley de capitalizació simple co los obteidos mediate la capitalizació compuesta, se comprueba como e el primer caso la cuatía es costate mietras que e el segudo dicha cuatía es creciete y que la reiversió de los itereses, implícita e la ley de capitalizació compuesta, tiee u cosiderable efecto e la cuatía acumulada a medio y largo plazo. Si embargo, hay que señalar que, e el corto plazo, las dos leyes produce resultados similares y que, más aú, para valores de etre cero y uo, los itereses geerados mediate la capitalizació simple so superiores a los que se obtiee e la capitalizació compuesta. 7

8 Problema 5: Obtégase los itereses por periodo y acumulados, co ua ley de capitalizació simple y co ua ley de capitalizació compuesta, cosiderado u capital de y u tipo de iterés aual del 6%. Itereses Itereses Itereses Itereses (años) acumulados por período acumulados por período Capitalizació simple Capitalizació compuesta 0, ,67-0, ,56 14, ,00 30, ,60 63, ,02 67, ,48 71, ,23 75, ,52 80, ,63 85, ,85 90, ,48 95, ,85 101, ,30 107, ,20 113, ,93 120,73 Comparació capitalizació simple y compuesta Cuatía itereses Tiempo (años) Capitalizació compuesta Capitalizació simple 8

9 Fijémoos por ejemplo que los itereses obteidos para u período de 2 años al trabajar co la Ley de Capitalizació Simple (LCS) so los mismos que si hubiésemos realizado dos operacioes a u año de duració e las que la cuatía ivertida hubiese sido de 1000 euros y el tipo de iterés hubiese sido del 6%. E otras palabras, al utilizar la LCS los itereses se está calculado siempre sobre la cuatía iicialmete prestada por lo que los itereses ya recibidos o geera uevos itereses. Es lo mismo que si la etidad fiaciera hubiese pagado 60 euros de itereses al fializar el primer año y los hubiese puesto aparte e ua cueta paralela para etregarlos co la seguda tada de itereses de 60 euros cuado fializase la operació al cabo de los dos años. Pero, pesemos ahora, qué ocurriría si periódicamete procediésemos a deshacer la iversió y volviésemos a reivertir? o, e otras palabras, qué ocurre si el plazo del pago de itereses es meor y podemos ir reivirtiedo éstos? La retabilidad sería la idicada por el tipo de iterés aual? La respuesta es que ya o, y esto os lleva a hablar de la Ley de Capitalizació Compuesta (LCC), que es la que utiliza el Baco de España para el cálculo del TAE. E líeas geerales podemos idicar que al emplear la LCS implícitamete se está supoiedo que los itereses o geera itereses mietras que si utilizamos la LCC el tato efectivo sí refleja los itereses que habría geerado la reiversió de los itereses iiciales obteidos a partir de la cuatía iicial. E este caso, si al cabo del año los itereses los icorporamos a la cuatía iicial y co la ueva cuatía calculamos los itereses del segudo año, obtedríamos 123,60 euros de itereses. I 1 = C i t = ,06 1 = 60 I 2 = (C+I 1 ) i t = ( ) 0,06 1 = 63,60 Total = 123,60 Fijémoos como esta cuatía tambié la hubiésemos obteido al aplicar la LCC: I 2 = C (1+i) t C = 1.000(1+0,06) = 123,60 Así pues parece más lógico emplear la LCC para calcular la retabilidad que efectivamete obtiee el iversor asumiedo así, implícitamete, de que éste es capaz de realizar dichas reiversioes. De hecho, el TAE que el Baco de España obliga a las etidades fiacieras a publicar e la operatoria que realiza co su clietela, está basado e la LCC. Cuado utilizamos la LCC debemos, si embargo, distiguir etre dos tipos de coceptos, los cuales sirve ambos para idicar el tipo de iterés que se está utilizado e ua operació. Estos dos coceptos so el tato omial y el tato efectivo. Volveremos sobre esto e el siguiete apartado de estas otas. 9

10 2.4) Ley de descueto simple. E ocasioes, la operació fiaciera se platea desde otro águlo y se cocibe como el aboo e el mometo actual de ua catidad que debería recibirse e u mometo futuro. E este caso, el precio por proceder al adelato de la fecha de dispoibilidad llevará aparejado que la catidad recibida hoy sea iferior a la que se recibiría e el mometo futuro. Dicho precio o recompesa se deomia descueto e lugar de iterés y la ley fiaciera co que se calcula ley de descueto simple comercial. El descueto D que se pagará por dispoer e t 0 de u capital (C, t), esto es, aticipar su vecimieto u período de tiempo =t-t 0, se determia de forma proporcioal al capital aticipado y la amplitud del período. Esto es: co: D Cd [10.] C = la cuatía de capital cuya dispoibilidad se adelata (capital descotado) expresada e uidades moetarias. = t-t 0 el período que se adelata el vecimieto expresado e uidades de tiempo. d = el parámetro que defie la ley utilizada (que represeta el tipo de descueto o precio a pagar al iicio del período por uidad de capital y uidad de tiempo) expresado e la misma uidad e que vega medido el tiempo. Problema 6: Cuál sería el descueto que se produciría, utilizado la ley de descueto simple comercial, si se adelatase dos meses la dispoibilidad de la paga extra de Navidad, sabiedo que su importe es de y que el tipo de descueto es del 0,50% mesual? D Cd , Por tato, la cuatía C0 que se recibiría al iicio del período, se obtedría de la siguiete expresió: C 0 C D C C d C[1 d ] [11.] La expresió de la ley de descueto simple comercial es: A(t; t 0 ) 1 d y, por tato: C A(t; t ) [12.] C0 0 C (C,t) D= C- C 0 = C d C 0 = C A(t;t 0 ) t o t 10

11 E la práctica el parámetro d suele expresase e térmios auales por lo que el tiempo,, se expresará e años o fracció de años. Esto es: dode: A(t; t 0 ) 1 d k / m [13.] m= Número atural que represeta los subperíodos de igual amplitud e que se ha divido el año (m=12 meses, m=4 trimestres, m=365 días, etc.). k = Número de subperiodos compredidos etre t 0 y t. Problema 7: Cuál sería el capital, calculado co descueto simple comercial, que se recibiría al iicio del período si se procede a descotar u capital de a u tipo de descueto aual del 6% durate 90 días? y si el período fuera de 6 meses? Utilizado la expresió aterior: C0 C A(t; t 0 ) 1 d k / m y depediedo del período de tiempo: = 90 días C , , euros Nota: si se trabajase co la ley de descueto simple comercial, se emplearía 360 días e el deomiador. = 6 meses 6 C , euros TANTO NOMINAL VS TANTO EFECTIVO. TANTO INSTANTÁNEO. Defiició de magitudes: Rédito de u itervalo temporal: icremeto por uidad moetaria que se produce e ese determiado itervalo temporal por el diferimieto de la dispoibilidad del capital. Idica los itereses geerados por cada uidad moetaria e ese itervalo. Podemos hablar pues de rédito aual, semestral, mesual, etc. Tato omial: tipo de iterés omial (geeralmete aual) asociado a la operació. Costituye la suma aritmética de los réditos periodales asociados a cada uo de los periodos de pago de flujos de caja que existe detro de cada año. Tato efectivo: es el rédito aual de la LCC que permite establecer la equivalecia fiaciera etre las cuatías etregadas por ambos agetes. La diferecia etre el tato omial aual pagadero co frecuecia m y el tato efectivo aual es que el primero NO tiee e cueta la reiversió de los itereses previamete geerados mietras que el segudo asume implícitamete que los itereses obteidos previamete se reivierte e la propia cueta geerado, a su vez, uevos itereses, por lo que la retabilidad obteida a fial del año supera al tato omial. 11

12 Ejemplo: Supogamos ua persoa que desea ivertir sus ahorros ( euros) y para ello opta etre dos etidades fiacieras diferetes: Etidad A: Valora las operacioes de depósito a u 6% aual y paga aualmete los itereses geerados. Etidad B: Valora las operacioes de depósito tambié a u 6% aual pero paga semestralmete los itereses geerados. E este ejemplo, al sumiistrar la iformació, las etidades fiacieras está proporcioado e ambos casos el tipo de iterés omial que se va a utilizar para valorar dicha operació. Éste es el cocepto que ituitivamete cualquier persoa que o haya estudiado uca Matemática Fiaciera tiee del tipo de iterés. E el caso de la seguda etidad, parece lógico cosiderar que si el tipo de iterés aual es el 6%, etoces los itereses devegados al cabo de medio año será el 3% del capital ivertido. E otras palabras, la iformació que os proporcioa sobre el tato omial sirve para determiar el rédito periodal (icremeto por uidad moetaria durate el itervalo semestral e este caso ) que utilizaremos para calcular los itereses geerados e cada uo de los períodos e que se paga dichos itereses. Precisamete el hecho de que e la seguda etidad se pague los itereses devegados co ua frecuecia superior a la aual va a provocar que el tato efectivo (tipo efectivo o retabilidad real que proporcioa la operació) sea superior al tipo de iterés omial cotratado. Esto se deriva del hecho de que co la LCC lo que se está supoiedo es que los itereses geerados e cada uo de los períodos va a proporcioar, a su vez, uevos itereses a añadir a los que ya geera la cuatía iicial. Comprobémoslo: Etidad A: 1 1,06 0 1/2 1 Etidad B: 1 1,03 1,03 2 = 1, /2 1 12

13 El hecho de poder reivertir durate 6 meses los itereses obteidos al cabo de los 6 primeros meses es lo que provoca que la retabilidad real de la operació e la etidad B o sea el 6%, sio u porcetaje ligeramete superior, e cocreto el 6,09% ya que la cuatía fial obteida al cabo de u año o ha sido euros como e la etidad A (el capital ivertido más el 6% de itereses) sio euros. Si cotemplásemos e el aálisis, además de las ateriores, otra etidad (etidad C) que valorase las operacioes de depósito tambié a u 6% aual pero pagase trimestralmete los itereses geerados, la retabilidad aual fialmete obteida sería superior (6,1363%) debido a las mayores posibilidades de reiversió de los itereses previamete obteidos (puede comprobarse esto co la fórmula que aparece más abajo). De esta maera, el tipo de iterés omial suele veir asociado al tipo de iterés sumiistrado como iformació e la operació y que servirá para calcular los réditos de valoració asociados a cada uo de los períodos mietras que el efectivo es el que realmete proporcioa ua idicació más correcta de cual es realmete la retabilidad o el coste de ua operació de iversió o fiaciació, respectivamete. La relació etre ambas magitudes es la siguiete: j( m) m ( m) 1 i 1 1 i m siedo: i = tato (tipo de iterés) efectivo aual j(m) = tato (tipo de iterés) omial aual pagadero co frecuecia m. i (m) = tipo de iterés periodal (semestral, trimestral, mesual, etc...). Es el tipo de iterés que se aplica para determiar la cuatía de itereses devegada e el período cocreto (semestre, trimestre, mes, etc..) co el que se esté trabajado. E defiitiva, idica el icremeto por uidad moetaria asociado a ese periodo cocreto (semestre, trimestre, mes, etc ) m = úmero de veces e las que el periodo de referecia está compredido detro del año (p.ej: si los pagos so semestrales, m = 2; si so trimestrales, m = 4, etc.) m E el ejemplo visto: Etidad A (m = 1): j(1)= 0,06 = i Etidad B (m = 2): j(2)= 0,06 i (2) = 0,03 i= 0,0609 Etidad C (m = 4): j(4)= 0,06 i (4) = 0,015 i= 0, Como puede comprobarse, si m1 i > j(m) y a medida que el fraccioamieto es mayor (a medida que m es mayor) las diferecias etre j(m) e i será mayores. 13

14 El cocepto de TAE está haciedo referecia al tato efectivo aual (si bie el acróimo TAE e realidad idica tato aual equivalete) ya que pretede ser idicativo de cual es la retabilidad para el prestamista o el coste para el prestatario de ua operació fiaciera cocreta. Dicho TAE costituye e realidad u caso particular del tato efectivo (o rédito aual de la LCC que permite establecer la equivalecia fiaciera etre los capitales etregados y recibidos por ambas partes) e el que se está teiedo e cueta determiadas características comerciales (gastos, comisioes, etc.) que puede ifluir e la operació. El cocepto de TAE se aalizará e detalle e el apartado 6 de estas otas. Volvamos a la idea del tato efectivo como medida de retabilidad (para u agete) o coste (para el otro). Si defiimos los dos agetes que iterviee e la operació como PRESTAMISTA y PRESTATARIO, el tato efectivo costituye pues el parámetro idicativo de la retabilidad que obtiee el prestamista e esta operació y, alterativamete, del coste que dicha operació represeta para el prestatario. Así pues, a partir de todo lo visto, cual sería la respuesta más adecuada a las siguietes cuestioes? 1. Que alterativa etre las siguietes escogería ua persoa que desea ivertir sus ahorros e u depósito a plazo? a) Etidad A, que ofrece u tipo de iterés omial aual del 5% co pago de itereses trimestrales. b) Etidad B, que ofrece u tipo de iterés omial aual del 5% co pago de itereses mesuales. c) Etidad C, que ofrece u tipo de iterés omial aual del 5% co pago aual de itereses. d) Etidad D, que ofrece u tipo de iterés omial aual del 5% co pago de itereses semestrales. 2. Si se trata ahora de ua persoa que va a solicitar u préstamo, cuál de las siguietes alterativas escogería? a) Etidad A, que cocede préstamos a u tipo de iterés omial aual del 5% co pagos trimestrales. b) Etidad B, que cocede préstamos a u tipo de iterés omial aual del 5% co pagos mesuales. c) Etidad C, que cocede préstamos a u tipo de iterés omial aual del 5% co pagos auales. d) Etidad D, que cocede préstamos a u tipo de iterés omial aual del 5% co pagos semestrales. Tato istatáeo: hace referecia a u tato omial capitalizable istatáeamete. Por lo tato, costituye el límite del tato omial cuado la frecuecia de pago tiede a ifiito; esto es, cuado la amplitud del período tiede a cero. Co la Ley de Capitalizació Compuesta: L(t) = (1+i) t = e k t dode k = tato istatáeo = l(1+i) Tato istatáeo: k lim j( m). m 14

15 1 k i lim m 1 m k Por lo tato: m e El tato istatáeo es ua magitud muy utilizada e fiazas, especialmete e todo lo referete a la estimació de la estructura temporal de los tipos de iterés (ETTI) o, de forma alterativa, la fució de descueto. Ver ejemplo hoja cálculo Excel sobre comparació etre tato omial y tato efectivo. tato omial fraccioamietredito periodal tato efectivo (redito aual) x f(x) = (1+1/x)^x 10% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % ifiito % ifiito base log eperiao De forma alterativa, a partir de cada vez u meor tato omial puede obteerse idético tato efectivo si mas que icremetar el fraccioamieto tato efectivo fraccioamietredito periodal tato omial 10% % % 10% % % 10% % % 10% % % 10% % % 10% % % 10% % % 10% % % 10% % % ifiito % 15

16 4. OPERACIÓN FINANCIERA Defiició: costituye u itercambio de capitales o simultáeos que se realiza de acuerdo a u determiado criterio fiaciero de valoració. Ese criterio fiaciero de valoració viee represetado aalíticamete mediate ua expresió matemática que es lo que coocemos como ley fiaciera. E geeral, vamos a trabajar co la LCC, si bie existe operacioes e las que se emplea otras (por ejemplo, e la liquidació de cuetas corrietes y la valoració de letras del Tesoro a u plazo meor a u año se utiliza la LCS y el descueto de efectos comerciales se realiza co la ley de descueto simple comercial). Gráficamete: Prestació C 1 C 2 C 3 C m Cotraprestació C 1 C 2 C 3 C t 1 t 1 t 2 t 3 t 2 t 3 t m t Elemetos que defie ua operació fiaciera: so de dos tipos: Persoales: ya defiidos co aterioridad como PRESTAMISTA (quie etrega el primer capital) y PRESTATARIO (quie lo recibe). Al cojuto de capitales que etrega el prestamista se le deomia PRESTACIÓN y al que etrega el prestatario se le deomia CONTRAPRESTACIÓN. Fiacieros: aquí se está haciedo referecia al cojuto de capitales fiacieros que etrega cada ua de las partes así como a la ley fiaciera de valoració utilizada e dicha operació. A la hora de hablar de capital fiaciero debe hacerse referecia tato a la cuatía como a la fecha de vecimieto (C,t) ya que, tal y como señalamos e u pricipio, debido al pricipio de subestimació de las ecesidades futuras dos cuatías idéticas pero co vecimietos diferetes o tedrá el mismo valor fiaciero. Para que se produzca el itercambio de capitales ambos agetes deberá estar de acuerdo e realizarlo por lo que, de forma implícita, ambos cosiderará que ese itercambio es justo. Fiacieramete esto podemos traducirlo e el hecho de que ambos cojutos de capitales represete el mismo valor fiaciero e ua misma fecha, lo que os lleva a decir que esos cojutos de capitales so fiacieramete equivaletes. Esto es lo que geeralmete se cooce co el ombre de Pricipio de Equivalecia Fiaciera. Para ver esto más claro podemos comezar co el ejemplo más secillo de operació fiaciera, lo que se deomia Operació Fiaciera Simple. 16

17 Operació Fiaciera Simple (gráfico) C 1 C 0 t 0 t 1 E este caso, lo que se está diciedo es que C 0 es equivalete a C 1 de acuerdo co el criterio de valoració pactado etre ambos. Por ejemplo, hoy so equivaletes a de aquí u año si utilizamos ua ley que refleja u tipo de iterés del 5% pero ya o sería equivaletes si el tipo de iterés fuese otro (1.000 sería preferible si el tipo de iterés fuese mayor al 5% y o lo sería si fuese iferior). Para establecer la equivalecia fiaciera se utiliza lo que deomiamos factor fiaciero. El factor fiaciero asociado al período [t 0, t 1 ] o es más que el úmero de uidades moetarias e t 1 equivaletes a ua uidad moetaria e t 0. Por lo tato, es la cifra por la que tedremos que multiplicar a ua determiada cuatía co vecimieto e t 0 para hallar su cuatía equivalete (e base a la ley pactada) e la fecha t 1. Así por ejemplo, el factor asociado a u período de u año será 1,05 si el rédito de ese período aual es 0,05. t t Co la LCC el factor será 1 i si os desplazamos de t 0 a t 1 y 1 i si os desplazamos de t 1 a t 0. De esta forma el factor será > 1 si os desplazamos a la derecha (esto es, si se pretede obteer C 1 a partir de C 0 ) y <1 si os desplazamos a la izquierda (esto es, si se pretede obteer C 0 a partir de C 1 ). Imagiemos por ejemplo la siguiete situació: Depósito a tres meses de euros. Tipo de iterés (tato omial aual pagadero trimestralmete): 0,02 Cuál será el factor de ese período trimestral? Y la cuatía de itereses geerados? Para respoder ambas pregutas teemos que hallar el rédito del período. Recuérdese que el rédito idica el icremeto por uidad moetaria que se produce al pasar desde el iicio al fial del período y dicho rédito puede obteerse secillamete como j(m)/m. E este caso i (4) = 0,02/4 = 0,005. Esto idica que cada uidad ivertida al pricipio del periodo (trimestre) crece 0,005 uidades durate dicho periodo trimestral. Por lo tato el factor (úmero de uidades equivaletes al fial del periodo a 1 uidad situada al pricipio del periodo) asociado a ese periodo trimestral será: (1+ i (4) ) = 1,005. De esta maera, la cuatía equivalete al cabo de los tres meses será: ,005 = euros co lo que los itereses geerados será = 5 euros. t t 17

18 Esta cifra tambié podía haberse obteido simplemete como i (4) = 5 ya que los itereses que geera u capital de cuatía C durate u período de tiempo determiado siempre puede calcularse como la cuatía del capital por el rédito del período. I = C i(t 1,t 2 ) = C (u(t 1,t 2 )-1) Lo que debe de quedar claro aquí es que para platear equivalecias fiacieras lo que utilizamos so los factores (bie sea de desplazamieto a la derecha o a la izquierda) y para coseguir esos factores lo que hacemos es sumar la uidad al rédito periodal correspodiete. Así, sí el rédito asociado a u período cocreto [t 0, t 1 ] (que puede ser u mes, o 47 días, o u semestre, o u año, etc.) es i (m), etoces: El factor que permite ir de t 0 a t 1 será (1+i (m) ) El factor que permite ir de t 1 a t 0 será (1+i (m) ) -1 Así: C 0 (1+i (m) ) = C 1 C 0 = C 1 (1+i (m) ) -1 Lo que hemos visto para ua operació simple puede extederse fácilmete para ua operació compuesta, esto es, ua operació dode bie la prestació, bie la cotraprestació o ambas está formadas por más de u capital fiaciero. E cada uo de los casos hablaríamos, respectivamete, de operació de costitució (pla de pesioes), operació de amortizació (préstamo) u operació doblemete compuesta (cueta corriete de depósito). E todas estas operacioes se emplea el pricipio de equivalecia fiaciera para hallar las cuatías a etregar por cada uo de los agetes que pacta la operació. Vamos a ver u ejemplo de este tipo y posteriormete estudiaremos las operacioes de amortizació (préstamos) debido a su importacia relativa co respecto al resto de operacioes. Sea la siguiete operació fiaciera: Prestació: {(10.000, ), (40.000, )} Cotraprestació{(20.000, ), (20.000, ) (X, ) } Si la operació se valora co la LCC utilizado u tipo de iterés que viee expresado como u tato omial aual del 6% pagadero trimestralmete, cuál será la cuatía X que permite restablecer la equivalecia fiaciera? Ambos cojutos de capitales tedrá que represetar el mismo valor e base a la ley fiaciera pactada. Para ello hay que sumar fiacieramete las cuatías que forma la prestació por u lado y las cuatías que forma la cotraprestació por otro. Debemos teer e cueta que será sumas fiacieras, esto es, o podemos realizar la suma aritmética si más porque esos capitales tiee distito vecimieto (recordar pricipio de preferecia por la liquidez). Así pues llevamos todas las cuatías a ua misma fecha (por ejemplo, ) utilizado los factores correspodietes y posteriormete las sumamos (1,015) (1,015) 2 = (1,015) (1,015) + X X = ,07 18

19 Lo visto hasta ahora costituye el deomiado ANALISIS ESTATICO de la operació. Tambié podemos, si embargo, realizar el deomiado ANALISIS DINÁMICO e el que lo que se examia es la deuda que e cada fecha tiee u agete co el otro. A esa deuda se le deomia geeralmete Reserva Matemática o Saldo fiaciero de la operació y su cuatía viee a idicar el importe del capital que debería pagarle el deudor al acreedor e dicha fecha para poder cacelar la operació. Es, por lo tato, el capital que permite restablecer el equilibrio fiaciero e esa fecha. Gráfico cálculo reserva matemática R 2 + R 3 - R 0 + R 1 - R 3 + R 4 - R - 0 = R 4 + = 0 R 1 + R 2 - E este ejemplo la evolució de la reserva matemática sería la siguiete: t Reserva por la izquierda Reserva por la derecha 0 ( ) ( ) ( ) -9997, ,25 3 ( ) 30452, ,28 4 ( ) 10609,07 0 PROCEDIMIENTOS para calcular la reserva matemática: método retrospectivo, que cosiste e valorar e esa fecha la suma fiaciera de todos los capitales de la prestació ya vecidos y restárselo a la suma fiaciera e esa misma fecha de todos los capitales de la cotraprestació ya vecidos (S 1 S 1 ). método prospectivo, que cosiste e valorar e esa fecha la suma fiaciera de todos los capitales futuros de la cotraprestació y restárselo a la suma fiaciera e esa misma fecha de todos los capitales futuros de la prestació (S 2 S 2 ). método recurrete, que cosiste e obteer la deuda viva e ua fecha determiada a partir del coocimieto de la deuda e u mometo aterior. R = R factor ( ) + D( ) 19

20 Cuatía e térmios absolutos: cuatifica el importe de la deuda Sigo: idica cuál de los dos agetes (prestamista o prestatario) es el deudor y cual es el acreedor e dicha fecha. 5. OPERACIÓN DE AMORTIZACIÓN Operació fiaciera de prestació úica y cotraprestació múltiple, que tiee por objeto cacelar o amortizar u capital (el capital prestado) mediate etregas o desembolsos periódicos. De esta forma, la operació queda defiida por: Prestació:(C 0, t 0 ) Cotraprestació:(a 1, t 1 ) (a 2, t 2 ) (a 3, t 3 )... (a -1, t -1 ) (a, t ) Los capitales de la cotraprestació se deomia térmios amortizativos y su fialidad es la devolució del capital prestado (C 0 ) juto co el aboo de los itereses devegados por el aplazamieto. Debe hacerse otar, si embargo, que e la termiología bacaria habitual, se les suele deomiar cuotas amortizativas. C 0 a 1 a 2... a S-1 a S... a -1 a t 0 i 1 t 1 i 2 t 2 t S-1 i S t S t -1 i t Ley de valoració: Ley de Capitalizació Compuesta. Estudio estático de la operació Ecuació de equivalecia fiaciera e el orige de la operació: C0 ar 1 ih r 1 r h1 1 Estudio diámico de la operació La reserva matemática o saldo fiaciero e u mometo determiado tiee la iterpretació de capital vivo, capital pediete de amortizar o deuda pediete e el mometo dode ésta se esté calculado. Si e la fecha de cálculo de la deuda pediete de amortizar se produce el vecimieto de algú térmio amortizativo, deberá distiguirse etre reserva por la izquierda (deuda existete ates de que se produzca el vecimieto de dicho térmio amortizativo) y reserva por la derecha (deuda existete u istate después de pagarse dicha cuatía). 20

21 Cálculo de la reserva matemática (deuda pediete) por la derecha e u mometo t s : Método retrospectivo (Prestació pasada - Cotraprestació pasada) s s s1 Cs C01ih ar ihas 1 h1 r1 hr1 Método prospectivo (Cotraprestació futura Prestació futura) C s r ar1 ih rs1 hs1 1 Ecuació diámica de la amortizació: pricipales variables. Evolució del capital vivo: reserva por el Método Recurrete: a S-1 Cs-1 a S Cs t S-1 i S t S Ecuació diámica de la amortizació: C s = C s-1 (1+i s ) - a s Operado: C s = C s-1 + C s-1 i s - a s => a s = C s-1 - C s + C s-1 i s = A s + I s A s = C s-1 - C s = Cuota de amortizació. Idica la dismiució de la deuda pediete e el periodo (t s-1, t s ). I s = C s-1 i s = Cuota de iterés geerada e el periodo (t s-1, t s ) por el capital vivo al iicio del mismo (C s-1 ). La ecuació aterior sigifica que el térmio amortizativo tiee ua doble fució: - cubrir los itereses que geera el capital vivo (deuda) existete a pricipio del periodo (I s ) y - amortizar (devolver) la deuda pediete e ua cuatía determiada (A s ). Debe resaltarse que la cuatía del térmio se destia a pagar e primer lugar los itereses geerados y si dicha cuatía supera a éstos, etoces se produce ua dismiució de la deuda pediete al iicio del periodo. 21

22 Gráfico evolució de la reserva C 0 I 1 a 1 A 1 A 1 I 2 C 1 a 2 A 2 A 2 I... C 2 A A a C t 0 i 1 t 1 i 2 t 3 t -1 i t De la defiició de cuota de amortizació se desprede de forma imediata las siguietes relacioes: C 0 Cs A Ah h1 hs1 h Ahora podemos itroducir ua ueva variable, M s, que represeta la cuatía del capital ya amortizado: Ms C0 Cs Ah Ah A h1 hs1 h1 s h Cuadros de amortizació. Resulta útil recoger la evolució de las distitas variables de la operació para cada uo de los períodos de la misma. Normalmete éstas se represeta e ua tabla, deomiada cuadro de amortizació, e dode se explicita los valores, para cada período, de a s, I s, A s, C s y M s. t s a s I s A s C s M s C a 1 = I 1 +A 1 I 1 = C 0 i 1 A 1 C 1 =C 0 -A 1 M 1 =A 1 s a s = I s +A s I s = C s-1 i s A s C s =C s-1 -A s M s =A 1 + A A s a = I +A I = C -1 i A C =C -1 -A =0 M =A 1 + A A =C 0 Nota: Ates de estudiar los métodos particulares de amortizació, vamos a defiir de ua forma clara los coceptos de iterés fijo, variable e idexado o flotate, coceptos que e ocasioes los participates del mercado utiliza de forma icorrecta. * U préstamo (o, e geeral, ua operació fiaciera) se dice que está pactada a tipo de iterés fijo cuado el rédito de valoració es el mismo para todos los períodos e que ésta se divide. Es decir: i 1 = i 2 = i 3 = i 4 =... = i = i 22

23 * Se dice que u préstamo es a iterés variable cuado los réditos de valoració de cada uo de los períodos o so iguales pero sí so coocidos a priori, cuado se pacta la operació. Es decir: i 1, i 2, i 3, i 4,..., i al meos algú i i i j * Se dice que u préstamo es a iterés idexado o flotate cuado los réditos de valoració de cada uo de los períodos o está fijados de atemao, cuado se pacta la operació, sio que está e fució de la evolució que haya sufrido u ídice o tipo de referecia. Métodos específicos de amortizació: Método americao Se trata de ua operació de amortizació e la que al fial de cada período se paga exclusivamete los itereses devegados e el mismo, dejado la amortizació del pricipal para el fial de la operació. Este método de amortizació implica, por tato, las siguietes codicioes equivaletes: a s I C 1 a I A C i C s 0 is s,2, A 1 0 ; A2 0 ;... ;A 1 0; A C0 C C... C ; C Método fracés a 1 = a 2 = a 3 =... = a = a i 1 = i 2 = i 3 =... = i = i Co aterioridad a estudiar este método coviee profudizar e otros coceptos que os servirá para determiar alguas de las variables que aparece e este método de amortizació. E cocreto estamos refiriédoos a la deomiada teoría de retas, e la que lo úico que vamos a hacer es obteer expresioes relativamete secillas que os permitirá obteer la suma fiaciera de u cojuto de capitales e ua fecha determiada si estos cumple determiadas características. Recordemos que la ecuació de equivalecia fiaciera que debe platearse siempre e el aálisis estático para obteer alguo de los capitales que debe pagar prestamista o prestatario implica calcular la suma fiaciera tato de los capitales de la prestació como de la cotraprestació e u mometo determiado para poder igualarlos y a partir de ahí obteer la cuatía deseada. Pues bie, si el cojuto de capitales que pretedemos hallar preseta idética cuatía etoces la suma fiaciera de los mismos puede obteerse como sigue. 23

24 Valor iicial de ua reta costate de cuatía C valorada co ua ley de capitalizació compuesta co u tipo de iterés efectivo periodal i: C C C C t 0 t 1 t 2 t -1 t Su valor fiaciero e t 0, valor iicial o actual, represetado por a co N, será: i dode V 1 2 s 0 C( 1 i) C(1 i)... C(1 i) C (1 i) s1 s1 ( 1 s 1 2 i ) (1 i) (1 i)... (1 i) i a y dado que se trata de la suma de los térmios de ua serie de úmeros cuya cuatía 1 crece e progresió geométrica de primer térmio a (1 i, último a (1 i, y razó r (1 i) 1, se puede escribir: 1 ) ) a i a1 ar 1 r (1 i) 1 (1 i) 1 (1 i) 1 (1 i) 1 1 (1 i) i Así pues, el valor iicial de la reta os sirve para platear tato la ecuació de equivalecia fiaciera co el método fracés como la reserva matemática: Ecuació de equivalecia Saldo vivo (Reserva) e t s C 0 = a a i C s = a a -s i = C 0 (1+i) s - a S s i Ley de Recurrecia Cuotas de Amortizació: Método progresivo A s+1 = A s (1+i) A s = A 1 (1+i) s-1 siedo A 1 = a - C 0 i Método de cuotas de amortizació costates A 1 = A 2 = A 3 =... = A -1 = A a s = C s-1 i s + A Dado que debe cumplirse siempre que C A A A C 0 h h1 0 24

25 Método de térmios amortizativos variables e progresió geométrica a 1 = a; a 2 = a q; a 3 = a 2 q = a q 2 ;... a = a -1 q = a q -1 11i q Ecuació de equivalecia (e el orige): C 0 = A(a,q) i = a 1iq NOTA: Existe dos metodologías claramete difereciadas a la hora de calcular los térmios amortizativos e las operacioes a tipo de iterés fijo: Cuado la iformació hace referecia a la evolució de los térmios: se platea la ecuació de equivalecia fiaciera Cuado la iformació hace referecia a las cuotas de amortizació: e este caso platear la ecuació de equivalecia o permite hallar la cuatía de los térmios (quedaría ua ecuació co icógitas) por lo que se hace ecesario acudir a la estructura del térmio amortizativo calculado previamete la cuatía de la cuota de amortizació de cada período y a partir de ellas, de la reserva matemática que servirá para hallar la cuota de iterés del período. Operació de amortizació idexada E geeral, ua operació de amortizació idexada es aquélla e la que los térmios amortizativos está ligados a la evolució de u ídice represetativo del comportamieto de algua magitud. Así pues, las operacioes idexadas so operacioes posdetermiadas e las que su coste o redimieto, que sólo puede coocerse a posteriori, depede de la evolució de u ídice de referecia. La idexació puede ser: total (si todo el térmio amortizativo, a s, se ve afectado por la variació del ídice de referecia) parcial (cuado la variació del ídice sólo afecta a uo de los compoetes del térmio amortizativo, ya sea A s o I s ). El caso habitual e el mercado español es la idexació e cuota de iterés, por lo que os cetraremos e esta situació. Estas operacioes e el mercado suele deomiarse a tipo de iterés variable, pero esta deomiació o permite distiguir etre dos modalidades totalmete diferetes: las operacioes a tipo variable predetermiado y posdetermiado. E el primer caso el coste o redimieto puede ser coocido a priori y e el segudo, que es el aalizado e este epígrafe, o. Así pues, e estos préstamos la cuota de iterés de cada período o está determiada a priori sio que depederá de la evolució que siga u determiado ídice de referecia. Habitualmete tambié suele pactarse u diferecial que, aplicado al ídice mecioado, permite determiar el rédito de valoració del período que habrá de 25

26 aplicarse al capital vivo para así determiar la cuatía correspodiete a la cuota de iterés. Es decir, los réditos aplicables a los distitos períodos exceptuado habitualmete el primero, dode el tipo de iterés sí es coocido a priori se obtiee a partir de los valores que va tomado el ídice de referecia, segú el procedimieto pactado e el cotrato. E dicho procedimieto deberá determiarse los siguietes aspectos: a) Cual es el valor del ídice de referecia aplicable a cada período (último valor publicado, media del mes aterior, etc.) y cómo se recogerá dicho valor (tal y como se publica, redodeado al alza, etc.) b) Cual será el ídice que se utilizará e el caso de que el escogido e primer lugar dejara de estar dispoible. c) Cual será la relació etre dicho ídice y el rédito del periodo. Esto se recoge mediate el coveio de idexació. La forma más habitual de establecer dicha relació, pero o la úica, es la siguiete: dode: js m irs m js m i s m d [1 j s m: tato omial aplicable al período (t s-1, t s ); m i s : rédito periodal aplicable al capital vivo para determiar la cuota de iterés; i rs : valor ídice de referecia para el mismo período obteido segú el procedimieto pactado; d: diferecial pactado, expresado e las mismas uidades que el tipo de iterés. E este tipo de operacioes suele especificarse a priori los períodos e los que el tipo de iterés permaecerá fijo, modificádose el fial de cada uo de ellos de acuerdo co las variacioes del ídice de referecia. Nótese que estos periodos o tiee porqué coicidir co los correspodietes al pago de los térmios amortizativos. Ésta es la modalidad habitual. Resolució de las operacioes: depederá de cómo se defia los térmios amortizativos. Existe dos posibilidades: A) Térmios amortizativos de cuatía o predetermiada: A.1) Co cuotas de amortizació prefijadas A.2) Método fracés idexado. B) Térmios amortizativos de cuatía predetermiada. 26

27 A) Térmios amortizativos de cuatía o predetermiada. A.1) Co cuotas de amortizació prefijadas Se cooce a priori: - las cuotas de amortizació. - duració de la operació. Dado que obligatoriamete debe cumplirse que: C 0 Ah h1 etoces los térmios amortizativos (a s ) se obtedrá al sumar a las cuotas de amortizació ya coocidas las correspodietes cuotas de iterés ua vez se coozca el valor del ídice ecesario para costruir el rédito idexado aplicable a cada período. Los sucesivos capitales vivos o reservas ecesarios para determiar las cuotas de iterés se cooce ya a priori precisamete porque so coocidas las cuotas de amortizació. De esta forma, el flujo de caja de cada período será variable pero la duració de la operació está predetermiada al quedar especificada la diámica amortizativa a través de las cuotas de amortizació. A.2) Método fracés idexado Es el método de amortizació más habitual e estos mometos e uestro mercado fiaciero. Aquí tambié se cooce la duració total de la operació pero, a diferecia del caso aterior, i los térmios i sus dos compoetes (cuotas de amortizació y de iterés) so coocidos para todos los períodos cuado se pacta la operació. Su deomiació idica cual es su pricipal característica: si los tipos de iterés o varía, etoces los térmios amortizativos tampoco variará (esto es, la característica defiitoria del método fracés de amortizació); ahora bie, si la aplicació del coveio de idexació provoca que el tipo de iterés aplicable al período de iterés sea distito del aplicado e el período aterior, etoces el térmio amortizativo tambié será diferete. Este método exige que al fializar cada período de iterés se replatee la ecuació de equivalecia fiaciera a partir de la deuda existete e esos mometos y empleado el uevo rédito de valoració aplicable al período de iterés que comieza e esa fecha. La idea es asumir implícitamete que al iicio de cada período de iterés se cacela teóricamete el préstamo aterior y se platea u uevo préstamo por el importe del capital vivo. Cada uo de estos préstamos se resuelve como si efectivamete se tratara de u préstamo co térmios amortizativos costates y tipo de iterés fijo, utilizado el tipo de iterés de valoració del período e que supuestamete se iicia, que será el 27

28 resultate de la aplicació de las codicioes cotractuales. La cuatía de la prestació de cada uo de los préstamos será el capital vivo del aterior y la duració el úmero de períodos de iterés que resta hasta el vecimieto pactado cotractualmete. Por tato, la operació tedrá el siguiete esquema: Prestació: (C 0, t 0 ). Duració de la operació: años. Térmios amortizativos co periodicidad m. Períodos de iterés de amplitud t s-1,t s. Tato omial aplicable al primer período de iterés: (m) j1 (m) j 1 (m) i1 m Tato omial aplicable al resto de la operació: (m) js (m) js (m) i r, s d is para s = 2, 3,...,. m E estas codicioes: Primer período de iterés: Térmios amortizativos: 1 a C 0 a (m) xm i 1 Capital vivo al fializar el primer período de iterés: C a (m) 1 1 a (xm) m i 1 Segudo período de iterés: Térmios amortizativos: a 2 a C 1 (m) xm m i 2 Capital vivo al fializar el segudo período de iterés: C a (m) 2 2 a xm2m i 2 -ésimo (último) período de iterés: Térmios amortizativos : a C a 1 C = 0 (m) m i La operació resultate, al seguir este procedimieto, presetará térmios amortizativos costates durate cada período de iterés y que irá variado e los sucesivos depediedo de la evolució del ídice de referecia. 28

29 B) Térmios amortizativos de cuatía predetermiada. E esta ocasió se cooce e el mometo iicial la cuatía de los térmios amortizativos, que puede ser costate o variable, segú sea la diámica de amortizació establecida. Si embargo, el descoocimieto de la cuota de iterés para cada período (al depeder su cuatía del valor que tome el ídice de referecia para ese período cocreto) provoca que tampoco pueda coocerse co certeza la correspodiete cuota de amortizació, dado que lo que sí se sabe es el flujo de caja a pagar por el prestatario, esto es, el térmio amortizativo, que egloba tato la cuota de iterés como la de amortizació. Obviamete, si o se cooce a priori las sucesivas A s, tampoco podrá coocerse la duració total de la operació, pues o olvidemos que la cuota de amortizació represeta la reducció de la deuda pediete que se produce e cada período. Así, si o se sabe a priori cuato se reducirá la deuda, o puede saberse cuado ésta estará totalmete redimida; esto es, cacelada e su totalidad. La cuatía de los térmios amortizativos, fijada a priori, suele determiarse bie por acuerdo etre las partes -teiedo e cueta que es habitual establecer ua duració máxima para la operació- o bie cosiderado que el tipo de iterés iicial se matiee costate durate toda la operació. Nótese, si embargo, que la cuatía del último térmio amortizativo ormalmete diferirá de la cuatía de lo previsto iicialmete. Geeralmete, dicha cuatía será iferior, pero tambié podría ser superior e el caso de que la operació o pudiese prologarse u período más por haber llegado a su límite máximo. E esta modalidad el deudor cooce pues a priori cual va a ser el flujo de caja que debe destiar al servicio de la amortizació del préstamo, si bie la variabilidad del ídice de referecia puede provocar u alargamieto o u acortamieto de la operació, al añadir o elimiar uo o varios reembolsos segú se amiore o acelere la amortizació del capital prestado a través de las cuatías A s. 29