Autor: Gabriel Rodríguez. Esquema: 1. - Introducción

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1 ADM. DE EMPRESAS Capitalizació TEMA 4: La capitalizació simple: El iterés simple. El descueto simple. La equivalecia fiaciera. Las cuetas corrietes. La capitalizació compuesta: El iterés compuesto. El descueto compuesto. Tatos equivaletes. Autor: Gabriel Rodríguez Esquema:. - Itroducció REV.: /5 ifo@preparadores.eu Web: La capitalizació simple: El iterés simple El descueto simple La equivalecia fiaciera 3. - Las cuetas corrietes 4. - La capitalizació compuesta El iterés compuesto El descueto compuesto Tatos equivaletes 5. - Coclusioes 6. - Referecias bibliográficas y documetales. - INTRODUCCIÓN E este tema se expoe de forma resumida, pero precisa y co rigor la capitalizació y el descueto simple, la capitalizació y el descueto compuesto y los tatos equivaletes e simple y e compuesto. Para su correcta compresió es ecesario domiar las siguietes herramietas istrumetales de matemáticas: reglas de tres simples y compuestas, sistemas de ecuacioes, logaritmos, expoeciales y represetació secilla de fucioes lieales y logarítmicas. Ates de cotestar a cada uo de los epígrafes del tema coviee aclarar los siguietes coceptos prelimiares básicos: ) El diero como Mercacía fiaciera. Las empresas fiacieras (bacos, cajas de ahorro, cooperativas de crédito, etidades fiacieras, sociedades de leasig y fáctorig, etc.) comercia co el diero o mercacía fiaciera. E lo sucesivo se llamará capital (C)

2 ADM. DE EMPRESAS Capitalizació 2 2) El tiempo. Es la variable que mide la distacia que existe etre el presete y el pasado (tiempo egativo) o etre el presete y el futuro (tiempo positivo). E el mudo fiaciero siempre se cosidera el tiempo positivo que se puede represetar e u eje de abscisas por,2,3,..., Es importate señalar que la uidad de medida del tiempo e los cálculos fiacieros es el año. Distiguiedo etre año civil y comercial. - Año civil: El úmero de días que compoe cada mes depede del caledario oficial. Se compoe de 365 días. - Año comercial: Es ua simplificació del año civil que totaliza los meses del año a 30 días y e cosecuecia el año tiee 360 días. Más adelate comprobaremos que los itereses calculados co la referecia del año comercial so superiores a los que se obtedría co el año civil, siedo ésta la razó pricipal por la que se utiliza el año comercial e vez del civil. 3) Valor moetario del tiempo. E circustacias iguales, todo sujeto ecoómico, prefiere dispoer de los biees (mercacías) e el presete ates que e el futuro. Rebajar el tiempo de dispoibilidad de los biees futuros tiee u precio. De este modo se puede valorar e uidades moetarias el tiempo que separa el futuro del presete, siedo éstas las que estaría dispuesto a etregar cualquier sujeto ecoómico por dispoer e el presete de u bie que podrá dispoer e el futuro. Es preferible dispoer de euros hoy ates que al fializar el año 20. Si el lector todavía o está covecido piese e la siguiete oferta: dispoer hoy de de euros o poder dispoer de ellos detro de 50 años que tal vez o viva para cotarlo. Qué prefiere?.esa preferecia tiee u precio. Técicamete el precio de la preferecia de los biees presetes ates que los futuros se deomia por el profesor Vicete T. Gozález Catalá como ley de la subestimació de las ecesidades futuras 4) Cotrato fiaciero. Es u cotrato mercatil, por u tiempo determiado, etre dos o más persoas físicas o jurídicas que se compromete a itercambiar capitales, equivaletes, e distitos mometos de tiempo. Se formaliza etre dos partes: - Ua es acreedora que tiee la obligació de etregar la mercacía (el diero) e el mometo de formalizar el cotrato (t 0 ) y adquiere, como míimo, dos derechos: recibir el precio del cotrato y recuperar, al fializar el cotrato, el diero etregado al comiezo de éste. Vicete T. Gozález Catalá: Aálisis de las Operacioes Fiacieras Bacárias y Bursátiles, pág. 25

3 ADM. DE EMPRESAS Capitalizació 3 - La otra es deudora. Tiee el derecho de recibir la mercacía (el diero) e el mometo de firmar el cotrato y adquiere, como míimo, dos obligacioes: la devolució del diero recibido (al fializar el cotrato o a lo largo de su duració) y etregar al acreedor el precio pactado del cotrato. Es importate destacar el mometo (o vecimieto) e el que se realiza las prestacioes (obligacioes del acreedor) y cotraprestacioes (obligacioes del deudor). - El acreedor etrega el capital (C 0 ) al deudor al iicio del cotrato (t 0 ). - El deudor realiza la cotraprestació como sigue: * Devuelve el capital al fializar el cotrato (t ). * Paga los itereses, segú estipulació del cotrato, al iicio o al fial. Si el pago se realiza al fializar el cotrato (t ) se dice que es pospagable o por vecido. Si el pago de itereses se realiza se realiza al comezar el cotrato (t 0 ) se dice que es por aticipado o prepagable. E este caso el deudor e vez de realizar u pago positivo de itereses sufre ua rebaja descueto del capital iicial. Es decir el acreedor rebaja del capital iicial el precio del cotrato 5) Leyes fiacieras. Se deomia leyes fiacieras a las que permite cambiar capitales o iguales pero equivaletes e distitos mometos de tiempo. Gráficamete sería: (Capitales) C 0 C } (C - C 0 ) Rédito t0 t (tiempo) C 0 < C, pero so equivaletes: (C 0, t 0 ) (C, t ) Nota: E el subepígrafe 2.3 se estudia el cocepto de equivalecia Las leyes fiacieras que permite pasar de (C 0, t 0 ) a (C, t ) o calcular (C, t ) e fució de (C 0, t 0 ) se deomia de capitalizació. Es decir las leyes de capitalizació permite proyectar al futuro (C, t ) u capital situado e el presete (C 0, t 0 ).

4 ADM. DE EMPRESAS Capitalizació 4 Las leyes fiacieras que permite pasar de (C, t ) a (C 0, t 0 ) a o calcular (C 0, t 0 ) e fució de (C, t ) se deomia de actualizació o descueto. Es decir las leyes de actualizació o descueto permite proyectar al presete (C 0, t 0 ) u capital situado e el futuro (C, t ) LA CAPITALIZACIÓN SIMPLE El iterés simple 2..a) Rédito. Es el redimieto que produce u capital al acreedor Rédito C C 2 } (C 2 - C ) C 2 - C Rédito o beeficio que se puede expresar e porcetaje de la siguiete maera: 2 r% 00 (F) t t 2 C Se puede observar que o se cosidera el tiempo para obteer el rédito, que, segú se deduce de la fórmula, es el redimieto proporcioal al capital que lo produce. 2..b) El iterés. E todo cotrato fiaciero el deudor ha de pagar u precio al acreedor por el uso, durate u tiempo, del capital que recibe e préstamo. Desde el puto de vista del deudor el precio que paga supoe u coste Se deomia iterés al precio que recibe el acreedor al fializar el cotrato. Lo que para él supoe ua gaacia o u beeficio. 2..c) El tato de iterés. Se puede expresar sobre la base de 00 u. m. (se deomia porcetaje - % -) o sobre la base de u. m. (tato uitario), cosiderado el año como uidad de tiempo. E el ámbito de las matemáticas fiacieras es corriete utilizar, e los cálculos y fórmulas, el tato uitario que se recooce por la letra i y se defie como el iterés (o beeficio) que produce (al acreedor) u. m. e año. 2..d) Comparació etre el rédito y el tato de iterés. El rédito o tiee e cueta el tiempo y si se quiere calcular sobre la base de la uidad tedríamos: C C

5 ADM. DE EMPRESAS Capitalizació 5 Si C produce u beeficio de (C 2 - C ) Etoces u.m. r Las dos proposicioes forma ua regla de tres simple de dode fácilmete se deduce que el rédito uitario es: C C r ( 2 ) (F2) C Si tomamos e cosideració el tiempo podríamos calcular el iterés uitario de la siguiete forma: Si C produce u beeficio de (C 2 - C ) e u tiempo (t 2 - t ), etoces u.m. produce u beeficio de - i - e u tiempo de año. Las dos proposicioes forma ua regla de tres compuesta de dode fácilmete se deduce que el iterés uitario es: i C2-C um.. añ o C ( t2 t) (F3) de dode um añ o ( C2 C) i C( t2 t) (F4) Si comparamos por divisió el rédito y el tato de iterés uitarios se obtiee: r i C2 C C C2 C C( t2 t) ( t2 t) de dode i t r t 2 (F5) fácilmete se deduce que cuado el tiempo (t 2 - t ) año, el rédito uitario y el tato uitario so iguales. 2..e) Defiició del tato de iterés uitario. E lo sucesivo al tato de iterés uitario se le deomiará secillamete tato de iterés y se defie como el rédito que produce ua uidad moetaria e la uidad de tiempo 2..f) Iterés simple. Se defie como aquel que se obtiee de aplicar el tato de iterés directamete proporcioal al capital y al tiempo. Se deomia I. La fórmula se deduce fácilmete de la siguiete regla de tres compuesta. Si C 0 produce u iterés de u.m. e u tiempo (t - t 0 ), etoces u.m. produce u iterés de - i - e u tiempo de año. I i C0 ( t t0) um añ o (F6) de dode I C0 ( t t0) i um añ o (F7) La fórmula (F7) se expresa de varias maeras e fució de que el tiempo (t - t 0 ) sea años, meses o días:

6 ADM. DE EMPRESAS Capitalizació 6 Para (t - t 0 ) años I C0 ( t t0) i (F8) y para el caso particular de (t - t 0 ) año I C0 i (F9) Para (t - t 0 ) meses I C0 ( t t0) i 2 (F0) ( t t0) Para (t - t 0 ) días I C0 i (F). Si se utiliza el año 360 comercial. De utilizarse el año civil el deomiador sería 365 días. Ahora se puede compreder por qué los itereses calculados co el año comercial so mayores que los calculados utilizado el año civil pues el cociete (I) es meor cuado se icremeta el deomiador o divisor. 2..g) Cálculo abreviado del iterés simple: Números comerciales, Divisor fijo y multiplicador fijo. E la fórmula F se puede dividir umerador y deomiador por i : I C0( t t0) i ( t t0) C i i C0( t t0) i i N D I N (F2) D Siedo N Números comerciales Capital por tiempo y D Divisor fijo La uidad de tiempo (el año) dividido por el tato de iterés. El iterés tambié se puede calcular usado el multiplicador fijo (M). I ( t t0) i C0 i C0( t t0) N M I N M (F3) siedo M i h) Capitalizació simple. La capitalizació simple permite proyectar a u futuro determiado (e u vecimieto cocreto o t ) u capital situado e el presete (t 0 ) de tal maera que los itereses se acumula al capital de forma improductiva, es decir: los itereses o geera uevos itereses 2..i) Cálculo del motate e capitalizació simple. El motate se calcula sumado al capital iicial los itereses que éste produce durate el tiempo del cotrato fiaciero. Por tato al vecimieto del cotrato el capital costituido será: C C 0 + I T (F4). El capital fial o motate se calcula tal como se explica e la siguiete gráfica:

7 ADM. DE EMPRESAS Capitalizació 7 Capital C C - I C 2 } I T C -C 0 C I 2 C 0 I 0 { 2 - Tiempo Si los períodos de tiempo se matiee costates (por ejemplo de año) y el tato de iterés i tambié lo hace etoces los itereses so todos iguales porque se calcula, cada uo de ellos, sobre el capital iicial C 0 I I 2... I I C0 i Ci 0 (F5) Los itereses totales, sustituyedo cada uo de ellos por F5, so: IT I + I I + I C0i C0i (F6) Sustituyedo e F2 el valor de F4 el motate que se obtiee es: C Co + IT Co (+i) La fórmula (F7) del motate e capitalizació compuesta costituye ua ecuació simple. Se compoe de cuatro datos de los que se cooce (ormalmete tres). El que falta es la icógita que fácilmete se obtiee al despejarla por trasposició de térmios.

8 ADM. DE EMPRESAS Capitalizació El descueto simple 2.2.a) Descueto E fució del vecimieto, el descueto (D) supoe, para el acreedor, el cobro aticipado de los itereses. El acreedor presta (o etrega) al deudor u capital deomiado omial (N) e el iicio del cotrato (t 0 ). Al tiempo descueta el beeficio que cobra por aticipado. E cosecuecia, e el mometo iicial etrega al deudor el siguiete capital efectivo (E) o real: E N - D (F8) C 0 C } (N - E)D (descueto) } N } E t 0 t Nomial Capital escriturado e el cotrato objeto de cambio Efectivo Capital real que recibe el deudor E el cotrato fiaciero que firma el acreedor y el deudor se pacta para éste lo siguiete: - Derecho. A la firma del cotrato recibe del acreedor u capital Nomial (N) estipulado e el cotrato - Obligacioes. a) A la firma del cotrato (t 0 ) paga los itereses de la operació. b) Al fializar el cotrato (t ) devuelve el capital Nomial recibido. De este cotrato fiaciero dode el acreedor cobra los itereses por aticipado se produce e la práctica ua operació de descueto. Pues el acreedor e realidad etrega al deudor, e el mometo iicial (t 0 ), u capital efectivo (E) que surge de descotar (o rebajar) al capital Nomial los itereses 2.2.b) Descueto simple El descueto se cosidera simple cuado se calcula directamete proporcioal al omial, al tiempo y al tato de descueto o e su caso de iterés. De existir varios períodos, el descueto simple siempre se calcula sobre la misma cuatía de capital 2.2.c) Descueto comercial o bacario Es el que utiliza los comerciates e el corto plazo, ormalmete e operacioes de plazo iferior a u año. Se obtiee de aplicar u tato de iterés al capital Nomial y al tiempo que media etre el orige y el fial de la operació fiaciera de descueto:

9 ADM. DE EMPRESAS Capitalizació 9 ( t t0) Dc N i (F9) y simplificado co (t - t 0 ) tiempo queda: añ o Dc N i Dc Ni (F20) La fórmula (F9) se puede expresar de varias maeras e fució de que el tiempo (t - t 0 ) sea años, meses o días, de forma similar a lo visto e el apartado 2..f. Cálculo del efectivo comercial: E c Co las fórmulas (F8) y (F20) se puede compoer u sistema de ecuacioes de dode sustituyedo se obtiee: Ec N Dc Ec N Ni N ( i) Ec N ( i) (F2) Para que tega setido fiaciero el descueto, el efectivo ha de ser mayor que cero. Es decir: Ec N( -i) > 0. Dicho de otra forma: el tiempo de descueto o puede ser superior al iverso del tato de iterés i, pues se caería e el absurdo de que el acreedor tedría que pagar itereses al deudor.la represetació gráfica de la fórmula 2 sería Efectivo E c N(-0i)N E c N(-2i) E c N ( i i) /i Ec N(-i) E c N 0 N(-i) N(-2i) 2 0 /i E c <0 >/i 2.2.d) Descueto racioal o actualizació Surge de racioalizar sobre la fórmula de la capitalizació simple (F7). E efecto, si C 0 E r y C N (por que es el capital omial o escriturado que el deudor devuelve al fializar el cotrato e el mometo t ). Cálculo del D r e fució del capital efectivo: Sustituyedo e N - E r D r (F22) el capital omial que se obtiee directamete de (F7) C C ( i) + 0 se tiee: C0( + i) C0 Dr y simplificado queda Dr Ci 0 Ei (F23)

10 ADM. DE EMPRESAS Capitalizació 0 Cálculo del D r e fució del capital omial: Sustituyedo e N - E r D r (F22) y el capital efectivo que se C obtiee de despejar C 0 e (F7) Ec C0 se tiee: ( + i) N Ni Ni Dr N Er N Dr ( + i ) + i + i (F24) 2.2.e) Comparació etre el Descueto comercial y el racioal. Este apartado o tiee utilidad práctica auque aparece e la mayoría de los textos sobre cálculo fiaciero a corto plazo. De la comparació surge ua serie de fórmulas, más o meos llamativas, que permite al profesor/a comprobar el grado de ateció de los alumos/as. Es importate señalar que el D c es mayor que el D r puesto que el primero se calcula sobre el valor omia (F20) y el segudo sobre el efectivo (F23) Comparació por sustracció o diferecia: Ni Ni i Ni D c D r Ni ( ) + i + i i i + de dode se obtiee dos fórmulas: D D D i c r c + i (F25) y Dc Dr Dri (F26) Relació por proporció o cociete: a) D c Ni + i de dode se obtiee co facilidad dos fórmulas: Dr Ni + i Dc Dc Dr( + i) (F27) y Dr (F28) + i b) Si el D c se multiplica por el D r y se divide por (F26) queda: Dc Dr Ni Dr N id r N Dc Dr Di r Di r Dc Dr Dc Dr (F29) La equivalecia fiaciera Es el postulado esecial sobre el que se cimieta todo el cálculo fiaciero Permite que se pueda itercambiar capitales de distito sigo (acreedores y deudores) y cuatía co vecimietos diferetes. Se puede decir que dos capitales co vecimietos distitos (C 0, t 0 ) y (C, t ) co equivaletes desde el puto de vista fiaciero si:

11 ADM. DE EMPRESAS Capitalizació Al acreedor le es idiferete pagar C 0 e t 0 y recibir C e t siedo C 0 < C Al deudor le es idiferete recibir C 0 e t 0 y pagar C e t siedo C 0 < C El cocepto fiaciero de iterés es lo que hace que los capitales C 0 y C, siedo diferetes e cuatía sea equivaletes Por tato las características de la equivalecia fiaciera so: * Se itercambia capitales acreedores por capitales deudores * Existe ua diferecia de tiempo etre los vecimietos capitales acreedores y de los deudores * La idiferecia o equivalecia fiaciera se cosigue co el cocepto de iterés que se sustacia e uidades moetarias que se compromete a pagar el deudor por el uso del diero recibido durate u cierto tiempo compredido etre las fechas de los vecimietos que fija las etregas de los capitales acreedores y deudores. Simplificado e dos capitales, uo acreedor C 0 co vecimieto e t 0 y otro deudor C co vecimieto e t se puede decir que: (C 0, t 0 ) (C, t ) si C C 0 + I t 2.3.a) Ecuació geeral de equivalecia Ua corriete de capitales acreedores co sus respectivos vecimietos es equivalete a otra de capitales deudores co sus respectivos vecimietos si trasportadas fiacieramete (co ua ley fiaciera que puede ser de iterés o de descueto) a u mometo de tiempo comú arroja la misma cuatía total. E E 2 CAPITALES ACREEDORES a u tato de iterés i E C C 2 C t 0 t t 2 t E E 2 CAPITALES DEUDORES al mismo tato de iterés E C C 2 C t 0 t t 2 t

12 ADM. DE EMPRESAS Capitalizació 2 Si se aplica la ley fiaciera del descueto comercial utilizado el divisor fijo Ec C y se sustituye E + E E E + E E por D las expresioes correspodietes Ec C D t t C t2 t0 t t0 + C2 + + C... D D D t t 0 t t 0 C C (F30) D D La primera parte de la ecuació correspode a la prestació y la seguda a la cotraprestació del cotrato fiaciero. La ecuació geeral de equivalecia (a pesar de su apariecia) sigue siedo ua ecuació de primer grado dode sólo puede haber ua sola icógita para su resolució. Por simplificar la ecuació la seguda parte de la ecuació suele compoerse de u sólo capital. E la seguda parte se suele colocar la icógita, que puede ser: - El tiempo. Da lugar a los problemas de vecimieto, siedo los más característicos: el vecimieto comú y el vecimieto medio. - El capital. Da lugar a los problemas de sustitució de capitales 2.3.a) Problemas de vecimieto: Comú y medio Co el fi de simplificar la ecuació geeral de equivalecia se realiza las siguietes sustitucioes: (t x - t 0 ) t x es la icógita; (t - t 0 ) t ; (t 2 - t 0 ) t 2 ; etc. y (t - t 0 ) t De este modo la ecuació queda como sigue: C td C t 2 t + 2 C D C D tx (F3) D Despejar de (F3) el vecimieto t x es extremadamete secillo puesto que la primera parte de la ecuació es u úmero. No obstate se expoe a cotiuació las fórmulas del vecimieto comú y medio. Vecimieto comú. Se caracteriza por: C+ C C C Al despejar t x de la ecuació geeral de equivalecia queda: t x DC [ ( C+ C C) ] + ( Ct + Ct Ct ) C (F32)

13 ADM. DE EMPRESAS Capitalizació 3 Esta fórmula se puede esquematizar más si teemos e cueta los úmeros comerciales vistos e el apartado (2..g). DC Ch Nh h + h tx (F33) C Para que el vecimieto t x >0 el umerador ha de ser positivo, es decir: DC Ch Nh + > 0 de dode operado se puede cocluir que h h C > Ch h h D N Es decir, para que el vecimieto tega setido ecoómico, el capital de la cotra-prestació (C) ha de ser superior a la suma de los capitales de la prestació meos el descueto comercial de dichos capitales Vecimieto medio. Es ua variate codicioada y simplificada del vecimieto comú. Se caracteriza por: * C+ C C C C h * No tiee tato de iterés h h La ecuació geeral de equivalecia se codicioa co la siguiete característica: C+ C C C Ch, que al itroducirla e (F 33) simplifica extraordiariamete el umerador puesto que DC por lo que la fórmula del vecimieto medio queda reducida a: h Ch h 0 t m Nh h C h h N C h h (F34) que es la media aritmética poderada de capitales por tiempo. Esta fórmula permite resolver ua serie de problemas como: aticipo y retraso de pagos, divisió de u capital e otros dos y variates de ambos. Todos estos problemas se caracteriza porque o aporta el tato de iterés como dato, ya que desaparece de la fórmula e el proceso de simplificació.

14 ADM. DE EMPRESAS Capitalizació b) Problemas de sustitució de capitales 2 De la ecuació geeral de equivalecia (F30) la icógita suele ser (C), pero tambié podría ser cualquier otro capital (C,..., C ). Como es ua ecuació de primer grado el despejar la icógita o reviste mayor dificultad. Para el caso de C tedríamos: C t t C C D D tx D (F35) 3. - LAS CUENTAS CORRIENTES Desde el puto de vista fiaciero, las cuetas corrietes, supoe u caso particular de la prestació y cotraprestació múltiple de capitales. Si el itercambio de capitales etre dos persoas físicas o jurídicas es cotiuo se suele acordar liquidar el saldo, co los itereses correspodietes, e ua fecha determiada. 3. Cocepto mercatil de cueta corriete. El cotrato de cueta corriete o está regulado e el Código de comercio (Español). Los especialistas mercatiles se ispira el cotrato de depósito mercatil para ecuadrar y describir el cotrato de cueta corriete como u cotrato de depósito mercatil. E el cotrato de depósito, ua persoa (el depositate) etrega ua cosa mueble (objeto de comercio) a otra persoa (depositario) para que lo coserve y posteriormete lo devuelva co sus aumetos, si los tuviere, cuado el depositate se lo pida. El depósito puede ser regular o irregular: Regular: El depositario está obligado a devolver la misma cosa que recibió Irregular: El depositario o está obligado a devolver la misma cosa que recibió, pero sí ha devolver otro tato de la misma calidad y especie. Esta es la razó por la cual se defie el cotrato de cueta corriete como u cotrato de depósito irregular ya que el capital que se devuelve o es el mimo que se recibió pero si su cuatía y especie. Nótese que la devolució se hace co sus icremetos que so los itereses. 2 Nota: E realidad todos los problemas de vecimietos y de sustitució de capitales se puede resolver despejado la icógita correspodiete de la ecuació geeral de equivalecia (F3). No es ecesario tata fórmula salvo para el lucimieto expositivo.

15 ADM. DE EMPRESAS Capitalizació a) Aspecto cotable de la C/c: Rayado. Ua empresa puede mateer ua relació de cueta corriete co u cliete o co u proveedor. El método de aotació y liquidació de los aputes es puramete cotable etre dos persoas físicas o jurídicas: Ua: la persoa que realiza las aotacioes cotables e el libro Mayor que es el teedor El titular de la c/c (que puede ser u cliete o u sumiistrador), tambié se llama cuetacorretista E el debe se registrará las etregas que el resposable de la cotabilidad (teedor) hace al titular de la c/c y e el haber se registra las catidades que se recibe. La matemática fiaciera se limita a calcular los itereses acreedores y deudores, establecer el saldo y aotarlo dode cotablemete proceda. Por tato el rayado se correspode co el del libro mayor de cotabilidad y dos columas que se añade para las aotacioes de los úmeros comerciales (capitales por tiempo) que permitirá calcular los itereses. El rayado que se propoe es el siguiete: El saldo puede ser deudor (+) o acreedor (-): Es deudor o a favor del teedor si la suma de capitales deudores es mayor que la suma de capitales acreedores: si D > H Sd (+) Es acreedor o a favor del titular si D < H Sa (-) Titular de la cueta corriete: Tato de iterés: Nombre: Sr. cuetacoretista Direcció Fecha de cierre: Fecha Cocepto Capitales Saldo Fecha Día s Números C. hecho de la operació cotable que aota el teedor ZONA CONTABLE Cuad o se produ ce el hecho Debe + El teedor etrega al titular Habe r - El teedor recibe del titular Valor Deb e Hab er Nota: E esta columa se poe el sigo del saldo D deudor o H acreedor D / H CÁLCULO INTERESES Cuad o el hecho tiee valor ecoó mico DE

16 ADM. DE EMPRESAS Capitalizació b) Clasificació de las c/c Si todas las operacioes de compra-veta se hiciese al cotado o haría falta aotar los débitos y los créditos. La cueta corriete obedece a la posibilidad de itercambiar capitales co distitos vecimietos y se puede pactar ua fecha de cierre para liquidar la cueta. Tambié se puede pactar la existecia o o de itereses. Desde este puto de vista las cuetas corrietes se puede clasificar e: Cuetas corrietes si iterés: o so objeto de este estudio Cuetas corrietes co iterés, que a su vez se subdivide e: C/c co iterés recíproco: se aplica idética tasa de iterés a las catidades deudoras y a las acreedoras C/c co tatos de iterés o recíproco: Las catidades deudoras y las acreedoras devega itereses co tatos de iterés distitos. C/c co tatos de iterés variable: Los tatos de iterés puede variar a lo largo de la vida de la c/c tato para los capitales acreedores como para los deudores e fució de las circustacias coyuturales exteras (iflació, política moetarias, etc.) 3.2 Liquidació de las cuetas corrietes. Para liquidar ua cueta corriete, e la fecha de cierre, se procede e cuatro pasos: Primero se calcula el saldo de capitales: Debe meos Haber Segudo se halla los itereses acreedores y los deudores y por diferecia se obtiee el saldo de itereses Tercero se suma el saldo de itereses a la columa de capitales que tiee el mismo sigo (saldo deudor a la columa de debe y acreedor a la columa de haber) y se procede a recalcular el saldo de capitales El saldo uevo recalculado de capitales si es deudor se reclama al acreedor su cuatía y si es acreedor se le etrega o se aota e cueta para el siguiete período. Para realizar la liquidació de la cueta corriete se ha popularizado tres métodos que simplifica el proceso, sobre todo cuado el úmero de aputes es exteso. Estos métodos so: Directo, idirecto y Hamburgués

17 ADM. DE EMPRESAS Capitalizació a Método directo. CAPITALES DEUDORES (t c -t 0 ) C 0 + I 0 (t c -t ) C + I C 0 C... C (t c -t ) C + I t 0 t... t tc la liquidació po9r el método Directo se hace e la fecha de cierre (t c ) (t c -t 0) C 0 + I 0 CAPITALES ACREEDORES O DEL TITULAR DE C/C (t c -t ) C + I C 0 C... C (t c -t ) C + I t 0 t... t tc MD ± Ch + Ih C h + I h h h h h D<H (F36) El saldo es Sd (+) si D>H y Sa (-) si F36 se puede simplificar como sigue: MD ± ( Ch C h) ± ( ) ( ) Ch tc th C h tc t h ± ( Ch C h) ± D D h 0 h 0 h 0 h 0 h 0 N h N D h (F37) Es decir: el saldo e la fecha de cierre es igual al saldo de los capitales más o meos el saldo de los itereses. El método directo tiee el siguiete icoveiete: es ecesario coocer co aticipació la fecha de cierre pues de ella depede el computo de los días para calcular los itereses. Veremos a cotiuació como el método idirecto supera este gra icoveiete. 3.2.b Método idirecto. Este método supera el icoveiete ateriormete citado. Para ello hace lo que se deomia técicamete ua rectificació de úmeros comerciales. El proceso es como sigue: - Se halla el saldo de capitales por suma algebraica - Se calcula los úmeros comerciales egativos. El cómputo de días se calcula e fució de la Época (cualquier día aterior o igual a primero de los vecimietos que llamamos t e ). Siedo la época u día pasado los úmeros comerciales será todos egativos. - Cuado se decide liquidar la c/c se procede a la rectificació de los

18 ADM. DE EMPRESAS Capitalizació 8 úmeros al multiplicar el saldo de capitales por los días que va desde la Época (t e ) a la fecha de cierre (t c ) Números comerciales egativos C C 2... C t e t t 2... t t c Rectificació de úmeros comerciales Nota: es ecesario observar que la rectificació de úmeros covierte el método idirecto e directo es decir - (t -t e ) + (t c -t e ) - t +t e +t c -t e (t c -t ) igual ocurre co el resto de los vecimietos. Los cáculos del método idirecto sería: Ct ( te) Ct ( te) C ( t te) C ( t te) MI ± ( Ch C h) ± m ± h D D D D h ( Ch C h) ( tc te) D La fórmula aterior se puede simplificar si (t -t e )t ; (t 2 -t e )t 2 ;...; (t -t e )t y (t c -t e )t c m MI ± ( Ch C h) + h Ct hh± C ht h± ( Ch C h) tc D h h h (F38) Es decir: el saldo e la fecha de cierre es igual al saldo de los capitales m Ct hh± C ht h h h ( Ch C h) meos el saldo de los itereses egativos h D ( Ch C h) tc h más el saldo de los itereses rectificados D

19 ADM. DE EMPRESAS Capitalizació c Método Hamburgués. Este método se desarrolló e Hamburgo, ciudad del orte de Alemaia (atigua república federal). Situada e el estuario del Elba. Es el primer puerto comercial de Alemaia. Nudo de comuicacioes. Tambié se deomia método de saldos o método escalar puesto que los úmeros comerciales se obtiee sobre el saldo que aparece co cada uevo movimieto de capital. Es el método más evolucioado. Es posterior e el tiempo a los dos ateriores y los supera e versatilidad. Los pasos a seguir so: Se aota el primer apute y se halla e primer saldo Se aota el segudo apute y se haya el segudo saldo Se calcula los úmeros comerciales que correspode al primer saldo, siedo estos el resultado de multiplicar el primer saldo por los días de diferecia etre el segudo saldo y el primero. Se aota el tercer apute y se haya el tercer saldo. Se calcula los úmeros comerciales del segudo saldo multiplicado éste por los días que va desde el segudo al tercer saldo. La liquidació fial y cierre se realiza como e los métodos ateriores. La represetació gráfica es como sigue: Por simplificar se expoe la siguiete gráfica para el caso cocreto de dos capitales de la prestació y otros dos capitales de la cotraprestació. La líea del medio recoge los saldos que permitirá calcular los úmeros comerciales C C 2 t 0 t t 2 t c (Saldos) C S S 2 (S -C ) S 3 (S 2 +C 2 ) S 4 (S 3 -C 2) La expresió matemática del método hamburgués sería para el caso cocreto de los cuatro capitales que se represeta e la gráfica: S I 4 MH ( Ch C h) ± S h S( t t) + S2( t2 t ) + S3( t 2 t2) + S4( tc t 2) D I (F39) Siedo S I Saldo de itereses 4 h S N D S h y sustituyedo e (F39)

20 ADM. DE EMPRESAS Capitalizació 20 4 h S queda: MH ( Ch C h) ± h 4 N D S h (F40) 3.2.d) Los mismos métodos co otras variates. E el caso de los itereses o recíprocos las fórmulas varía al teer que itroducir dos divisores fijos: D para los úmeros comerciales deudores y D para los acreedores. Igual ocurre para el caso de los itereses variables. Cuado varía se hace u corte hallado el saldo de los capitales e itereses ateriores y se comieza como si fuese de uevo co el tato ya cambiado LA CAPITALIZACIÓN COMPUESTA La ley fiaciera de capitalizació compuesta permite proyectar u capital presete (C 0, t 0 ) a u futuro determiado (t ) de tal maera que los itereses se acumula al capital de forma productiva, es decir: los itereses se acumula al capital para formar ua ueva base sobre la que calcular los itereses para el período siguiete y así sucesivamete. 4.. El iterés compuesto: fórmula geeral El iterés compuesto os permite coocer el capital fial o motate (C ) al capitalizar periódicamete el capital iicial (C 0 ). Los motates sucesivos que se obtiee so: C 0, C, C 2,...,C C 0 C C 2 C 3... C - C t 0 t t 2 t 3... t - t i El tato de iterés uitario permaece costate a lo largo de los ee períodos Siedo: C 0 C 0 Tambié podemos decir que C 0 C 0 (+i) 0 ; C C 0 +C 0 i C 0 (+i) Tambié podemos decir que C C 0 (+i) C 2 C +C i C 0 (+i) + C 0 (+i)i C 0 (+i) ( + i) C 0 (+i) 2 C 3 C 2 +C 2 i C 0 (+i) 2 + C 0 (+i) 2 i C 0 (+i) 2 (+i) C 0 (+i) 3 Siguiedo la secuecia podemos cocluir que: C C - +C - i C 0 (+i) - + C 0 (+i) - i C 0 (+i) - (+i)c 0 (+i) Llegamos así a la fórmula geeral de la capitalizació o iterés compuesto: C C 0 ( + i) (F4) A partir de la fórmula (F4) se obtiee el resto de los posibles valores que puede ser icógitas:

21 ADM. DE EMPRESAS Capitalizació 2 C 0 C ( + i) C( + i) C log C logc logc log( + i) log( + i) 0 0 C C i C0 C El descueto compuesto: fórmula geeral El descueto compuesto surge de aplicar u tato de descueto a u capital omial co vecimieto futuro para obteer u capital efectivo co vecimieto actual. Es decir, partiedo de C co u tato de descueto se llega a C 0. Los capitales efectivos sucesivos que se obtiee so: C, C -, C -2,...,C 0 C 0 C... C -2 C - C t 0 t... t -2 t - t El tato de descueto uitario permaece costate a lo largo de los ee períodos d Siedo: C C Tambié podemos decir que C C (-d) 0 ; C - C -C d C (-d) Tambié podemos decir que C - C (-d) C -2 C - -C - d C (-d) - C (-d) d C (-d) (-d) C (-d) 2 Siguiedo la secuecia podemos cocluir que: C - C 0 C -(-) -C -(-)dc (-d) - + C (-d) - dc (-d) - (-d) C (-d) Llegamos así a la fórmula geeral del descueto compuesto C0 C( d) (F42) de dode se obtiee las siguietes icógitas: C C0 ( d ) C0( d) C0 log C log C0 log C log( d ) log( d ) d C 0 C C C Tatos equivaletes Se dice que dos tatos diferetes so equivaletes si aplicados al mismo capital durate el mismo tiempo proporcioa itereses o descuetos de igual cuatía Si la uidad de tiempo se fraccioa e eme partes podemos comparar la equivalecia del tato referido a la emésima parte co la del tato referido a la uidad de tiempo.

22 ADM. DE EMPRESAS Capitalizació 22 ) 0 i E capitalizació simple: +i +m i(m) (F43) 0 { 2... m E capitalizació E capitalizació simple los tatos equivaletes so proporcioales al i tiempo, tal como se deduce de (F43), siedo: i m i( m) y i( m) m E capitalizació compuesta los tatos equivaletes tiee ua relació expoecial. De (F44) se puede despejar i o i (m), El tato i se llama efectivo o TAE (tato aual equivalete): ( ( )) (F45) TAE i + i m m y el tato i (m) se llama tato efectivo emésimo: i( m) ( + i) m (F46) 4.3.a) Tato omial aual La fórmula (F46) permite coocer u tato efectivo, por ejemplo trimestral o mesual coocido u tato efectivo aual i, de ua maera u poco compleja y para etedidos. Ua maera mucho más secilla de ecotrar el tato efectivo emésimo lo proporcioa el tato omial aual o bacario. Es u tato proporcioal que aparece e los cotratos fiacieros y permite ecotrar el tato efectivo emésimo por simple divisió. Se represeta como J (m) dode (m) idica la fracció de tiempo dode se produce los vecimietos de los itereses: mesual (m2), trimestral (m4), etc. i ( m) J ( m) (F47) y tambié J ( m) i( m) m (F48) m 4.3.b) Tato aual equivalete e fució del tato omial (J (m) ) Es el tato efectivo o real i que se obtiee de sustituir (F47) e (F46): TAE m J ( m) i + m (F49) 4.3.c) Tato istatáeo Es u tato omial aual capitalizable pos istates de tiempo, es decir cuado la uidad de tiempo se fraccioa ifiitamete o cuado (m) tiede a ifiito:

23 ADM. DE EMPRESAS Capitalizació 23 ( + i) m ( + i) m L( + i) 2 m J ( ) LimJ ( m) Lim ( + i) m m Lim L Hôpital L( i) m m + m 2 m m Luego: J ( ) L( + i) (F50) es decir El tato istatáeo es igual al logaritmo eperiao de (+i) 5. - CONCLUSIONES Desde el puto de vista del acreedor el iterés es el precio que cobra por el capital prestado. La forma que permite calcular los itereses depede de los pactos etre acreedor y deudor. La capitalizació simple se utiliza para períodos iferiores o iguales al año y la compuesta para los superiores, tal como se deduce de la siguiete gráfica comparativa. a)gráfica de la capitalizació simple La capitalizació simple C C 0 (+i) es ua ecuació lieal de coeficiete agular i que tiee el siguiete campo de defiició supoiedo que C 0 : Para 0 C ; para C (+i) y cuado 8 el motate C crece idefiidamete. La primera derivada respecto del tiempo (C i) es positiva y la fució es creciete Tiempo Capital (+i) 0 b) Gráfica de la capitalizació compuesta La capitalizació compuesta C C 0 (+i) es ua ecuació expoecial que tiee el siguiete campo de defiició supoiedo que C 0 : Para 0 C ; para C (+i) y cuado 8 el motate C crece idefiidamete. La primera derivada respecto del tiempo [C (+i) L(+i) > 0] es positiva y la fució es creciete La seguda derivada [C (+i) L 2 (+i) Tiempo > 0] muestra la covexidad de la fució Capital (+i) 0

24 ADM. DE EMPRESAS Capitalizació 24 c) Comparació etre la capitalizació simple y la compuesta La comparació gráfica y simultáea de Capital las dos curvas eseña dos coclusioes de suma importacia: C C 0 (+i). - Para tiempos iferiores a u año, es decir e el corto plazo la capitalizació simple es superior a la capitalizació compuesta. (+y) 2. - Para tiempos superiores a u año o C C 0 (+i) e el largo plazo la capitalizació compuesta es superior C.S C.C Tiempo 0 Coveio lieal y coveio expoecial Para capitalizacioes co u tiempo de duració que tiee parte etera y parte fraccioada se utiliza el coveio lieal: La parte etera se capitaliza co iterés compuesto y la fraccioada (de m partes se coge h) co simple, cosiguiedo de este modo optimizar el motate. C 0 C (+h/m) t 0 t... t +h/m t + h a) Coveio lieal: C C ( i) m i ( + h / m ) (F5) b) Coveio expoecial: se capitaliza co iterés compuesto tato la parte etera como la fraccioada h + m C( + h / m) C0( + i) (52) La actualizació compuesta sustituye al descueto compuesto Al comparar el descueto compuesto co la capitalizació compuesta se observa que: se puede sustituir el descueto compuesto por la actualizació compuesta, para todo tiempo, si los tatos de descueto y de iterés so equivaletes. E efecto: si el tato d es equivalete al tato i al aplicarse sobre el mismo capital el efectivo que proporcioa es el mismo.

25 ADM. DE EMPRESAS Capitalizació 25 C 0 Descotar C0 C( d) Actualizar C0 C ( i) + t 0... t Si se iguala las dos ecuacioes queda: C( d) C( + i) La ecuació simplificada será: ( d) ( + i ) (F53) de dode fácilmete se despeja: d i d y el tato de iterés es i +i d Si los tatos so equivaletes es mucho más cómodo utilizar la actualizació compuesta que es descueto compuesto pues segú (F53) se puede sustituir. C 6. - REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y DOCUMENTALES Matemáticas fiacieras. Autor: Gabriel Rodríguez Martíez Ed. Editex. Madrid 994 Matemáticas de las operacioes fiacieras. Autor: Lorezo Gil Peláez De. Rodagraf,S.A. Madrid 982 Aálisis de las operacioes fiacieras bacarias y bursátiles Autor: Vicete T. Gozález Catalá De. Edicioes de las ciecias sociales,s.a. Madrid 992

26 ADM. DE EMPRESAS Capitalizació 26 REV.: /5 Web: NOTAS